Bất đẳng thức biến phân hỗn hợp với toán tử nhiễu không đơn điệu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN VĂN GIANG BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN HỖN HỢP VỚI TỐN TỬ NHIỄU KHƠNG ĐƠN ĐIỆU Chun ngành: TỐN ỨNG DỤNG Mã số : 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thái Ngun - Năm 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Bất đẳng thức biến phân hỗn hợp 1.1 Một số khái niệm kết giải tích hàm phi tuyến 1.1.1 Một số tính chất hình học khơng gian 1.1.2 Toán tử đơn điệu 1.1.3 Phiếm hàm lồi 1.2 Bất đẳng thức biến phân hỗn hợp 12 1.2.1 Phát biểu toán 12 1.2.2 Một số trường hợp đặc biệt bất đẳng thức biến phân hỗn hợp 16 1.2.3 Ví dụ thực tế bất đẳng thức biến phân hỗn hợp 16 Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân hỗn hợp với toán tử nhiễu không đơn điệu 21 2.1 Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân hỗn hợp đơn điệu 21 2.1.1 Sự tồn nghiệm tính chất tập nghiệm 21 2.1.2 Phương pháp hiệu chỉnh 24 2.2 Bất đẳng thức biến phân hỗn hợp với toán tử nhiễu không đơn điệu 28 2.2.1 Phương pháp hiệu chỉnh hội tụ 28 2.2.2 Tham số hiệu chỉnh tốc độ hội tụ 33 Kết luận 40 Tài liệu tham khảo 41 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Cho X không gian Banach thực phản xạ, X ∗ khơng gian liên hợp X, hai có chuẩn kí hiệu , A : X → X ∗ toán tử đơn điệu đơn trị ϕ : X → R ∪ {+∞} phiếm hàm lồi thường nửa liên tục Bài tốn bất đẳng thức biến phân hỗn hợp (mixed variational inequality) phát biểu sau (xem [3]): với f ∈ X ∗ , tìm x0 ∈ X cho Ax0 − f, x − x0 + ϕ(x) − ϕ(x0 ) ≥ 0, ∀x ∈ X, (0.1) x∗ , x kí hiệu giá trị phiếm hàm tuyến tính liên tục x∗ ∈ X ∗ x ∈ X Bất đẳng thức biến phân hỗn hợp (0.1), toán tử A khơng có tính chất đơn điệu đơn điệu mạnh hàm ϕ khơng lồi mạnh, nói chung tốn đặt khơng chỉnh (ill-posed) theo nghĩa nghiệm khơng phụ thuộc liên tục vào kiện đầu vào Do việc giải số tốn gặp khó khăn, lý sai số nhỏ kiện tốn dẫn đến sai số lời giải Vì thế, người ta phải sử dụng phương pháp giải ổn định cho sai số kiện nhỏ nghiệm xấp xỉ tìm gần với nghiệm toán ban đầu Một phương pháp sử dụng rộng rãi có hiệu phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov Bằng phương pháp O A Liskovets [7] xây dựng nghiệm hiệu chỉnh dựa việc giải bất đẳng thức biến phân: tìm phần tử xτα ∈ X cho Ah xτα + αU s (xτα − x∗ ) − fδ , x − xτα + ϕε (x) − ϕε (xτα ) ≥ 0, ∀x ∈ X, (0.2) (Ah , fδ , ϕε ) xấp xỉ (A, f, ϕ), τ = (h, δ, ε), U s ánh xạ đối ngẫu tổng quát X, α tham số (gọi tham số hiệu chỉnh) Năm 2008 Nguyễn Bường Nguyễn Thị Thu Thủy [2] đưa cách chọn giá trị tham số hiệu chỉnh α đánh giá tốc độ hội tụ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn nghiệm hiệu chỉnh xτα bất đẳng thức biến phân hiệu chỉnh Liskovets (0.2) với toán tử ngược đơn điệu mạnh Kết tương tự trường hợp toán tử nhiễu đơn điệu nghiên cứu [8] Nếu toán tử nhiễu Ah khơng đơn điệu bất đẳng thức biến phân hiệu chỉnh (0.2) Liskovets khơng có nghiệm Trong trường hợp này, mở rộng kết với bất đẳng thức biến phân cổ điển Liskovets, Nguyễn Thị Thu Thủy [9] nghiên cứu toán hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân hỗn hợp (0.1): tìm phần tử xτα ∈ X cho Ah xτα + αU s (xτα − x∗ ) − fδ , x − xτα + ϕε (x) − ϕε (xτα ) ≥ −µg( xτα ) x − xτα , ∀x ∈ X, µ ≥ h, (0.3) µ số dương đủ bé Mục đích luận văn nhằm trình bày kết [9] Nguyễn Thị Thu Thủy hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân hỗn hợp với toán tử nhiễu không đơn điệu Nội dung luận văn trình bày hai chương Chương giới thiệu bất đẳng thức biến phân hỗn hợp không gian Banach phản xạ thực X Một số trường hợp đặc biệt bất đẳng thức biến phân hỗn hợp toán thực tế bất đẳng thức biến phân hỗn hợp trình bày phần cuối chương Trong chương trình bày phương pháp hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân hỗn hợp (0.1) với tốn tử nhiễu khơng đơn điệu Cụ thể trình bày định lý tồn nghiệm toán hiệu chỉnh (0.3), hội tụ mạnh nghiệm hiệu chỉnh đến nghiệm xác bất đẳng thức biến phân (0.1), đồng thời đánh giá tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh tốn tử A có tính chất ngược đơn điệu mạnh Tơi xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Thị Thu Thủy, trưởng Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, người hướng dẫn, dạy tận tình để tơi hồn thành luận Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn văn Tôi xin chân thành cảm ơn thầy, cô công tác trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, trường Đại học Khoa học tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, Viện Toán học, Viện Công nghệ Thông tin thuộc Viện Khoa học Công nghệ Việt Nam truyền thụ kiến thức cho tơi suốt q trình học tập vừa qua Tôi xin cảm ơn quan, bạn bè, gia đình chia sẻ, giúp đỡ, động viên, tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành luận văn Người viết luận văn Nguyễn Văn Giang Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Một số ký hiệu chữ viết tắt H không gian Hilbert thực X không gian Banach thực X∗ không gian liên hợp X Rn không gian Euclide n chiều ∅ tập rỗng x := y x định nghĩa y ∀x với x ∃x tồn x inf F (x) x∈X infimum tập {F (x) : x ∈ X} I ánh xạ đơn vị AT ma trận chuyển vị ma trận A a∼b a tương đương với b A∗ toán tử liên hợp toán tử A D(A) miền xác định toán tử A R(A) miền giá trị toán tử A xk → x xk x dãy {xk } hội tụ mạnh tới x dãy {xk } hội tụ yếu tới x Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Bất đẳng thức biến phân hỗn hợp 1.1 Một số khái niệm kết giải tích hàm phi tuyến Cho X không gian Banach thực phản xạ, X ∗ không gian liên hợp X, hai có chuẩn kí hiệu , kí hiệu x∗ , x giá trị phiếm hàm tuyến tính liên tục x∗ ∈ X ∗ x ∈ X Các khái niệm kết mục tham khảo tài liệu [1], [3], [6] [10] 1.1.1 Một số tính chất hình học không gian Định nghĩa 1.1 Không gian Banach X gọi lồi chặt mặt cầu đơn vị S = {x ∈ X : x = 1} X lồi chặt, tức từ x, y ∈ S kéo theo x + y < (nói cách khác biên S khơng chứa đoạn thẳng nào) Ví dụ 1.1 Khơng gian Lp [a, b], < p < ∞, không gian lồi chặt Định nghĩa 1.2 Không gian Banach X gọi lồi với ε > tồn số δ > cho với x, y ∈ X thỏa mãn x ≤ 1, y ≤ 1, x − y = ε bất đẳng thức x + y ≤ 2(1 − δ) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Định nghĩa 1.3 Không gian Banach thực X gọi khơng gian có tính chất Ephimov-Stechkin (hay khơng gian có tính chất E-S) X phản xạ X hội tụ yếu phần tử xn chuẩn xn → x kéo theo hội tụ mạnh x hội tụ xn − x → Ví dụ 1.2 Khơng gian Hilbert khơng gian có tính chất E-S 1.1.2 Tốn tử đơn điệu Cho toán tử đơn trị A : X → X ∗ , thường lệ ta ký hiệu miền hữu hiệu A D(A), miền giá trị A R(A) đồ thị A GraA Theo định nghĩa ta có: D(A) = {x ∈ X : Ax = ∅}, R(A) := {y ∈ Y ∗ : y = Ax, x ∈ D(A)}, GraA := {(x, y) : y = Ax, x ∈ X} Định nghĩa 1.4 Toán tử A gọi (i) đơn điệu Ax − Ay, x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ D(A); (ii) đơn điệu ngặt x = y Ax − Ay, x − y > 0, ∀x, y ∈ D(A); (iii) đơn điệu tồn hàm không âm δ (t) không giảm với t ≥ 0, δ(0) = Ax − Ay, x − y ≥ δ x − y ), ∀x, y ∈ D(A); (iv) đơn điệu mạnh ∃τ > 0, (τ = const) thỏa mãn Ax − Ay, x − y ≥ τ x − y , ∀x, y ∈ D(A); Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (v) ngược đơn điệu mạnh tồn số mA > thỏa mãn Ax − Ay, x − y ≥ mA Ax − Ay , ∀x, y ∈ D(A) Ví dụ 1.3 Cho tốn tử A xác định R, A(x) = x với x ∈ R Khi A tốn tử đơn điệu Thật vậy, với x, y ∈ R ta có: Ax − Ay, x − y = x − y, x − y = (x − y)2 ≥ Định nghĩa 1.5 Cho X không gian Banach phản xạ thực, D ⊆ X, A : X → X ∗ Toán tử A gọi là: (i) hemi-liên tục x0 ∈ D A(x0 + tn x) Ax0 tn → với véc tơ x tùy ý cho x0 + tn x ∈ D ≤ tn ≤ t(x0 ); (ii) demi-liên tục x0 ∈ D với dãy {xn } ⊂ D cho xn → x0 kéo theo Axn Ax0 Nhận xét 1.1 Một toán tử đơn điệu hemi-liên tục X demiliên tục X Định nghĩa 1.6 Cho A : X → Y tốn tử từ khơng gian Banach X vào khơng gian Banach Y Toán tử A gọi khả vi Fréchet điểm x ∈ X, tồn T ∈ L(X, Y ) cho A(x + h) = A(x) + T h + o( h ), với h thuộc lân cận điểm θ Nếu tồn tại, T gọi đạo hàm Fréchet A x, ta viết A (x) = T ∗ Định nghĩa 1.7 Ánh xạ U s : X → 2X gọi ánh xạ đối ngẫu tổng quát X U s (x) = {x∗ ∈ X ∗ : x∗ , x = x∗ x , x∗ = x s−1 }, s ≥ Khi s = U s thường U gọi ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc X Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Tính đơn trị ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc U cho mệnh đề sau Mệnh đề 1.1 (xem [1]) Giả sử X khơng gian Banach Khi đó, 1) U (x) tập lồi, U (λx) = λU (x) với λ ∈ R; 2) U ánh xạ đơn trị X ∗ không gian lồi chặt Nhận xét 1.2 i) Trong không gian Hilbert H, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc toán tử đơn vị I H ii) Ánh xạ đối ngẫu ví dụ tốn tử đơn điệu, tồn khơng gian Banach Ví dụ 1.4 Với X = Lp (Ω), < p < ∞ Ω tập đo khơng gian Rn ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc U có dạng (U x)(t) = x 2−p |x(t)|p−2 x(t), t ∈ Ω Định lý 1.1 (xem [1]) Nếu X ∗ khơng gian Banach lồi chặt ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc U : X → X ∗ toán tử đơn điệu, demi-liên tục Hơn nữa, X không gian Banach lồi chặt U tốn tử đơn điệu chặt Định nghĩa 1.8 Toán tử A : X → X ∗ có tính chất Γ từ hội tụ yếu dãy xn (xn x) Axn − Ax, xn − x → suy hội tụ mạnh (xn → x) n → ∞ 1.1.3 Phiếm hàm lồi Cho D ⊂ X tập lồi khác rỗng, ϕ : X → R ∪ {+∞} Miền hữu hiệu hàm ϕ định nghĩa domϕ := {x ∈ X : ϕ(x) = 0} Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 28 Từ bất đẳng thức Bổ đề 2.1 suy x¯ ∈ S Hơn nữa, từ (2.17) thay x0 = x¯ ta có hg( xτα ) + δ τ xα − x α (2.21) + U (¯ x − x∗ ), x¯ − xτα ε + [d( x¯ ) + d( xτα )] α Vì dãy {xτα } bị chặn hội tụ yếu đến x¯ ∈ S, từ bất đẳng thức (2.21) mU xτα − x¯ ≤ tính chất E-S khơng gian X suy hội tụ mạnh dãy {xτα } đến x¯ α → Mặt khác từ (2.15), ta suy U (x0 − x∗ ), x0 − xτα ≤ δ h g( x0 ) + xτα − x0 α α ε + d( x0 ) + d( xτα ) , ∀x0 ∈ S α (2.22) Cho α → ta nhận U (x0 − x∗ ), x0 − x¯ ≤ 0, ∀x0 ∈ S Thay x0 t¯ x + (1 − t)x0 , t ∈ (0, 1) bất đẳng thức cuối cùng, sau chia hai vế cho (1 − t) cho t tiến đến ta nhận U (¯ x − x∗ ), x0 − x¯ ≥ 0, ∀x0 ∈ S Từ bất đẳng thức suy U (¯ x − x∗ ), x0 − x∗ ≥ U (¯ x − x∗ ), x¯ − x∗ = x¯ − x∗ , ∀x0 ∈ S Hay, x¯ − x∗ ≤ x0 − x∗ , ∀x0 ∈ S Vì tính lồi đóng S, tính lồi chặt X suy x¯ nghiệm có x∗ -chuẩn nhỏ nhất toán (2.1) ✷ 2.2 Bất đẳng thức biến phân hỗn hợp với tốn tử nhiễu khơng đơn điệu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 29 2.2.1 Phương pháp hiệu chỉnh hội tụ Trong trường hợp toán tử nhiễu Ah không đơn điệu, bất đẳng thức biến phân hiệu chỉnh (2.8) Liskovets khơng có nghiệm Nguyễn Thị Thu Thủy [9] nghiên cứu toán hiệu chỉnh: tìm phần tử xτα ∈ X thỏa mãn Ah xτα + αU s (xτα − x∗ ) − fδ , x − xτα + ϕε (x) − ϕε (xτα ) ≥ −µg( xτα ) x − xτα , ∀x ∈ X, µ ≥ h, (2.23) µ số dương đủ bé, U s ánh xạ đối ngẫu tổng quát X (xem Định nghĩa 1.7) Giả sử A, f , ϕ cho xấp xỉ Ah , fδ , ϕε thỏa mãn (1)-(3) với điều kiện Ah khơng có tính chất đơn điệu Ngồi ra, hàm ϕ cịn giả thiết thỏa mãn điều kiện sau: |ϕε (x) − ϕε (y)| ≤ C0 x − y , ∀x, y ∈ X, (2.24) với C0 số dương Ta có kết sau Bổ đề 2.4 (xem [9]) Giả sử X ∗ khơng gian Banach, A tốn tử đơn điệu, hemi-liên tục, bị chặn với D(A) = X điều kiện (2), (3) thỏa mãn Khi đó, bất đẳng thức (2.23) có nghiệm với α > fδ ∈ X ∗ Chứng minh: Giả sử xε ∈ dom ϕε Từ tính đơn điệu tốn tử A điều kiện (3) ta có: Ax + αU s (x − x∗ ), x − xε + ϕε (x) x α x − x∗ s−1 x − x∗ − x∗ − xε ≥ x xε − Axε + − cε , s ≥ 2, x Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 30 với x > rε Suy ra, (2.2) thỏa mãn cho cặp (A + αU s , ϕε ) Do đó, với α > fδ ∈ X ∗ , tồn nghiệm bất đẳng thức biến phân sau đây: Ax + αU s (x − x∗ ) − fδ , z − x + ϕε (z) − ϕε (x) ≥ 0, (2.25) ∀z ∈ X, x ∈ X Tính nghiệm bất đẳng thức chứng minh tương tự Bổ đề 2.1 Giả sử xδ,ε α nghiệm (2.25), nghĩa s δ,ε δ,ε δ,ε Axδ,ε α + αU (xα − x∗ ) − fδ , z − xα + ϕε (z) − ϕε (xα ) ≥ 0, (2.26) ∀z ∈ X Với h > 0, kết hợp với điều kiện (2.6), từ (2.26) ta nhận s δ,ε δ,ε δ,ε Ah xδ,ε α + αU (xα − x∗ ) − fδ , z − xα + ϕε (z) − ϕε (xα ) δ,ε ≥ −hg( xδ,ε α ) z − xα , ∀z ∈ X (2.27) Vì µ ≥ h, ta suy xδ,ε α nghiệm (2.23) ✷ Giả sử xτα nghiệm (2.23) Ta có kết hội tụ dãy nghiệm đến nghiệm x0 có x∗ -chuẩn nhỏ bất đẳng thức biến phân hỗn hợp (2.1) định lý sau Định lý 2.3 (xem [9]) Giả sử X X ∗ không gian Banach lồi chặt, A toán tử đơn điệu, h-liên tục bị chặn với D(A) = X, điều kiện (1)-(3) thỏa mãn, ánh xạ đối ngẫu tổng quát U s thỏa mãn U s (x) − U s (y), x − y ≥ mU x − y s , mU > 0, s ≥ (2.28) Giả thiết thêm tốn tử A có tính chất Γ µ+δ+ε = α→0 α lim (2.29) Khi đó, dãy nghiệm {xτα } (2.23) hội tụ mạnh đến phần tử x0 ∈ S0 có x∗ -chuẩn nhỏ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 31 Chứng minh: Từ (2.1) (2.23) ta có Ah xτα + αU s (xτα − x∗ ) − fδ , x0 − xτα + ϕε (x0 ) − ϕε (xτα ) + Ax0 − f, xτα − x0 + ϕ(xτα ) − ϕ(x0 ) ≥ −µg( xτα ) x0 − xτα Hay α U s (xτα − x∗ ) − U s (x0 − x∗ ), xτα − x0 ≤ α U s (x0 − x∗ ), x0 − xτα + Ah xτα − Axτα , x0 − xτα + Ax0 − Axτα , xτα − x0 + f − fδ , x0 − xτα (2.30) + ϕε (x0 ) − ϕ(x0 ) + ϕ(xτα ) − ϕε (xτα ) + µg( xτα ) x0 − xτα Từ tính chất đơn điệu tốn tử A, điều kiện (1), bất đẳng thức (2.6), (2.7), (2.28), (2.30) ta nhận mU xτα − x0 s ≤ h+µ δ x0 − xτα g( xτα ) + α α ε + d( x0 ) + d( xτα ) α + U s (x0 − x∗ ), x0 − xτα (2.31) Từ µ/α → α → (suy h/α → 0), kết hợp (2.29) bất đẳng thức cuối ta suy tập xτα bị chặn Do tồn dãy dãy này, kí hiệu xτα , hội tụ yếu đến xˆ ∈ X Bây ta chứng minh dãy {xτα } hội tụ mạnh đến xˆ Thật vậy, từ tính chất đơn điệu toán tử A U s suy ≤ Axτα − Aˆ x, xτα − xˆ ≤ Axτα + αU s (xτα − x∗ ) − Aˆ x − αU s (ˆ x − x∗ ), xτα − xˆ = Axτα + αU s (xτα − x∗ ), xτα − xˆ − Aˆ x + αU s (¯ x − x∗ ), xτα − xˆ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (2.32) 32 Từ tính hội tụ yếu dãy {xτα } đến xˆ, ta suy lim Aˆ x + αU s (ˆ x − x∗ ), xτα − xˆ = α→0 (2.33) Sử dụng bất đẳng thức (2.6) ta nhận Axτα + αU s (xτα − x∗ ), xτα − xˆ = Axτα − Ah xτα + Ah xτα + αU s (xτα − x∗ ), xτα − xˆ (2.34) ≤ Ah xτα + αU s (xτα − x∗ ), xτα − xˆ + hg( xτα ) xτα − xˆ Hơn nữa, từ (2.23) ta suy Ah xτα + αU s (xτα − x∗ ), xτα − xˆ = Ah xτα + αU s (xτα − x∗ ) − fδ , xτα − xˆ + fδ , xτα − xˆ (2.35) ≤ fδ , xτα − xˆ + ϕε (ˆ x) − ϕε (xτα ) + µg( xτα ) xˆ − xτα Vì xτα xˆ ϕε phiếm hàm lồi thường, nửa liên tục yếu X, từ (2.35) suy lim Ah xτα + αU s (xτα − x∗ ), xτα − xˆ ≤ α→0 (2.36) Từ (2.32)-(2.34) (2.36), ta nhận lim Axτα − Aˆ x, xτα − xˆ = α→0 Cuối cùng, từ tính chất Γ toán tử A suy dãy {xτα } hội tụ mạnh đến xˆ ∈ X Ta chứng minh xˆ ∈ S Từ (2.6) (2.23) ta nhận Axτα + αU s (xτα − x∗ ) − fδ , x − xτα + ϕε (x) − ϕε (xτα ) ≥ −(h + µ)g( xτα ) x − xτα , ∀x ∈ X (2.37) Vì hàm ϕ nửa liên tục yếu nên ϕ(ˆ x) ≤ lim inf ϕ(xτα ) (2.38) α→0 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 33 Từ dãy {xτα } bị chặn, kết hợp với (2.7), tồn số c2 dương cho ϕ(xτα ) ≤ ϕε (xτα ) + c2 ε (2.39) Trong (2.23) ta cho α → với ý toán tử A demi-liên tục, từ (2.6), (2.7), (2.38), (2.39) điều kiện (1) suy Aˆ x − f, x − xˆ + ϕ(x) − ϕ(ˆ x) ≥ 0, ∀x ∈ X Điều có nghĩa xˆ ∈ S Cuối ta chứng minh xˆ = x0 Thật vậy, sử dụng tính đơn điệu ánh xạ U s bất đẳng thức (2.6), (2.7), (2.28), (2.37) viết lại thành U s (x − x∗ ), xτα − x ≤ δ h+µ x − xτα g( xτα ) + α α ε + d( x ) + d( xτα ) , ∀x ∈ S α Vì α → 0, ε/α, δ/α, µ/α → (và h/α → 0), bất đẳng thức cuối trở thành U s (x − x∗ ), x¯ − x ≤ 0, ∀x ∈ S Thay x tˆ x + (1 − t)x, t ∈ (0, 1) bất đẳng thức này, chia hai vế cho (1 − t) sau cho t tiến tới 1, ta nhận U s (ˆ x − x∗ ), xˆ − x ≤ 0, ∀x ∈ S hay U s (ˆ x − x∗ ), xˆ − x∗ ≤ U s (ˆ x − x∗ ), x − x∗ , ∀x ∈ S Sử dụng tính chất U s , ta có xˆ − x∗ ≤ x − x∗ , ∀x ∈ S Vì tính lồi đóng S tính lồi chặt X, ta suy xˆ = x0 ✷ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 34 2.2.2 Tham số hiệu chỉnh tốc độ hội tụ Bây ta xét toán chọn tham số hiệu chỉnh hậu nghiệm α ˜ = α(µ, δ, ε) cho lim α(µ, δ, ε) = µ,δ,ε→0 µ+δ+ε = µ,δ,ε→0 α(µ, δ, ε) lim Để giải toán ta sử dụng nguyên lý độ lệch suy rộng, nghĩa α ˜ = α(µ, δ, ε) xây dựng sở phương trình ρ(˜ α) = (µ + δ + ε)p α ˜ −q , p, q > 0, với ρ(˜ α) = α ˜ c + xτα˜ − x∗ s−1 (2.40) ˜, , xτα˜ nghiệm (2.23) với α = α c số dương Bổ đề 2.5 (xem [9]) Cho X X ∗ không gian Banach lồi chặt A : X → X ∗ toán tử đơn điệu, bị chặn, hemi-liên tục với D(A) = X Giả sử điều kiện (1), (2) thỏa mãn, ánh xạ đối ngẫu tổng quát U s thỏa mãn điều kiện (2.28) Khi hàm ρ(α) = α c + xτα − x∗ s−1 đơn trị liên tục với α ≥ α0 > 0, xτα nghiệm (2.23) Chứng minh: Tính đơn trị giải bất đẳng thức biến phân (2.23) suy tính chất đơn trị hàm ρ(α) Giả sử α1 , α2 ≥ α0 với α0 > tùy ý Từ (2.23) ta suy α1 U s (xτα1 − x∗ ), xτα2 − xτα1 + α2 U s (xτα2 − x∗ ), xτα1 − xτα2 + Ah xτα1 − Ah xτα2 , xτα2 − xτα1 ≥ −µ g( xτα1 ) + g( xτα2 (2.41) xτα1 − xτα2 , xτα1 xτα2 nghiệm (2.23) với α = α1 α = α2 Sử dụng điều kiện (2) tính chất đơn điệu tốn tử A, ta có α1 U s (xτα1 − x∗ ) − U s (xτα2 − x∗ ), xτα1 − xτα2 ≤ (α2 − α1 ) U s (xτα2 − x∗ ), xτα1 − xτα2 + (h + µ) g( xτα1 ) + g( xτα2 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên xτα1 − xτα2 http://www.lrc-tnu.edu.vn 35 Từ (2.28) bất đẳng thức ta nhận mU xτα1 − xτα2 s ≤ |α1 − α2 | τ xα2 − x∗ α0 s−1 + (h + µ) g( xτα1 ) + g( xτα2 Rõ ràng xτα1 → xτα2 µ → α1 → α2 Điều nghĩa hàm xτα − x∗ s−1 liên tục đoạn [α0 ; +∞) Do hàm ρ(α) liên tục [α0 ; +∞) ✷ Định lý 2.4 (xem [9]) Cho X X ∗ không gian Banach lồi chặt, A : X → X ∗ toán tử đơn điệu, bị chặn, hemi-liên tục với D(A) = X Giả sử điều kiện (1)-(3) thỏa mãn, ánh xạ đối ngẫu tổng quát U s thỏa mãn điều kiện (2.28) Khi đó, (i) tồn nghiệm α ˜ phương trình (2.40); (ii) µ, δ, ε → 0, (1) α ˜ → 0; µ+δ+ε → 0, xτα˜ → x0 ∈ S có x∗ -chuẩn α ˜ nhỏ tồn số C1 , C2 > cho với µ, δ, ε > đủ bé (2) < p < q ta có C1 ≤ (µ + δ + ε)p α ˜ −1−q ≤ C2 (2.42) Chứng minh: (i) Với < α < 1, từ (2.23) ta nhận Ah xτα + αU s (xτα − x∗ ) − fδ , x∗ − xτα + ϕε (x∗ ) − ϕε (xτα ) ≥ −µg( xτα ) x∗ − xτα Suy ra, α U s (xτα − x∗ ), xτα − x∗ ≤ µg( xτα ) x∗ − xτα + ϕε (x∗ ) − ϕε (xτα ) + Ah xτα − Axτα + Axτα − Ax∗ + Ax∗ − f + f − fδ , x∗ − xτα Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 36 Kết hợp điều kiện (1), tính đơn điệu toán tử A, (2.6), (2.24), định nghĩa ánh xạ U s bất đẳng thức cuối suy α xτα − x∗ s−1 ≤ (h + µ)g( xτα ) + C0 + Ax∗ − f + δ (2.43) Từ (2.43) dạng hàm ρ(α) ta nhận αq ρ(α) = α1+q c + xτα − x∗ s−1 = cα1+q + αq × α xτα − x∗ s−1 ≤ cα1+q + αq (h + µ)g( xτα ) + C0 + Ax∗ − f + δ Từ suy limα→+0 αq ρ(α) = Mặt khác, lim αq ρ(α) ≥ c lim α1+q = +∞ α→+∞ α→+∞ Vì hàm ρ(α) liên tục nên tồn giá trị α ˜ thỏa mãn (2.40) (ii) Từ (2.40) dạng hàm ρ(˜ α) suy α ˜ ≤ c−1/(1+q) (µ + δ + ε)p/(1+q) Do đó, α ˜ → µ, δ, ε → Nếu < p < q, từ (2.40) (2.43) ta nhận µ+δ+ε α ˜ p = (µ + δ + ε)p α ˜ −q α ˜ q−p = c˜ α+α ˜ xτα˜ − x∗ s−1 α ˜ q−p ≤ c˜ α1+q−p + α ˜ q−p 2µg( xτα˜ ) + C0 + Ax∗ − f + δ Do đó, lim µ,δ,ε→0 µ+δ+ε α ˜ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên p = http://www.lrc-tnu.edu.vn 37 Theo Định lý 2.3 dãy nghiệm xτα˜ hội tụ đến x0 ∈ S có x∗ -chuẩn nhỏ µ, δ, ε → Rõ ràng, (µ + δ + ε)p α ˜ −1−q = α ˜ −1 ρ(˜ α) = (c + xτα˜ − x∗ s−1 ), đó, tồn số C2 thỏa mãn (2.42) Mặt khác, c > nên tồn số dương C1 thỏa mãn (2.42) Định lý chứng minh ✷ Tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân hỗn hợp với tốn tử nhiễu khơng đơn điệu trình bày định lý sau Định lý 2.5 (xem [9]) Cho X không gian Banach lồi chặt, A toán tử đơn điệu, hemi-liên tục bị chặn với D(A) = X Giả sử (i) với h, δ, ε > điều kiện (1)-(3) thỏa mãn; (ii) ánh xạ U s thỏa mãn điều kiện (2.28); (iii) A toán tử ngược đơn điệu mạnh từ X vào X ∗ , khả vi Fréchet lân cận điểm x0 ∈ S0 thỏa mãn A(x) − A(x0 ) − A (x0 )(x − x0 ) ≤ τ˜ A(x) − A(x0 ) ; (2.44) (iv) tồn phần tử z ∈ X cho A (x0 )∗ z = U s (x0 − x∗ ); tham số α = α(µ, δ, ε) chọn (2.40) với < p < q, ta có xτα(µ,δ,ε) − x0 = O((µ + δ + ε)µ1 ), µ1 = 1+q−p p , 1+q s 2s Chứng minh: Bằng cách làm tương tự chứng minh phần đầu Định lý 2.3, ta nhận (2.31) Tính bị chặn dãy {xτα } suy Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 38 từ (2.31), tính chất g(t), d(t) α Mặt khác, sở (2.30), tính chất U s tính ngược đơn điệu mạnh toán tử A ta nhận A(xτα ) − A(x0 ) ≤ m−1 A (h + µ)g( xτα ) + δ + α xτα − x∗ s−1 × x0 − xτα + ε[d( x0 ) + d( xτα )] Suy ra, A(xτα ) − A(x0 ) = O( δ + µ + ε + α) Hơn nữa, sử dụng điều kiện (iii), (iv) định lý đánh giá cuối ta nhận U s (x0 − x∗ ), x0 − xτα = z, A (x0 )(x0 − xτα ) ≤ z (˜ τ + 1) A(xτα ) − A(x0 ) ≤ z (˜ τ + 1)O( δ + µ + ε + α) Khi (2.31) có dạng 2µg( xτα ) + δ x0 − xτα α + z (˜ τ + 1)O( δ + µ + ε + α) ε + [d( x0 ) + d( xτα )] α Vì α chọn từ (2.40), từ Định lý 2.3 suy mU xτα − x0 s ≤ −1/(1+q) α(µ, δ, ε) ≤ C1 (2.45) (µ + δ + ε)p/(1+q) µ+δ+ε ≤ C2 (µ + δ + ε)1−p αq (µ, δ, ε) α(µ, δ, ε) −q/(1+q) ≤ C2 C1 (µ + δ + ε)1−p/(1+q) Do (2.45) có dạng mU xτα(µ,δ,ε) − x0 s ≤ C˜1 (µ + δ + ε)1−p/(1+q) xτα(µ,δ,ε) − x0 + C˜2 (µ + δ + ε)1−p/(1+q) + C˜3 (µ + δ + ε)p/2(1+q) , Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 39 C˜i , i = 1, 2, 3, số dương Sử dụng bất đẳng thức a, b, c ≥ 0, s > t, as ≤ bat + c ⇒ as = O(bs/(s−t) + c), ta nhận đánh giá xτα(µ,δ,ε) − x0 = O (µ + δ + ε)µ1 ✷ Chú ý 2.1 Nếu tham số α chọn trước thỏa mãn α ∼ (µ + δ + ε)η , < η < 1, từ (2.45) suy mU xτα(µ,δ,ε) − x0 s ≤ C˜4 (µ + δ + ε)1−η x0 − xτα(µ,δ,ε) + C˜5 (µ + δ + ε)η/2 + C˜6 (µ + δ + ε)1−η Do đó, xτα(µ,δ,ε) − x0 = O((µ + δ + ε)µ2 ), µ2 = Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 1−η η , s 2s http://www.lrc-tnu.edu.vn 40 Kết luận Đề tài luận văn đề cập đến vấn đề sau: • Nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân hỗn hợp với tốn tử nhiễu khơng đơn điệu; • Nghiên cứu toán chọn tham số hiệu chỉnh theo ngun lí độ lệch suy rộng; • Đánh giá tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh sở tham số hiệu chỉnh chọn hậu nghiệm chọn tiên nghiệm Các vấn đề nghiên cứu dựa kết Nguyễn Thị Thu Thủy [9] năm 2011 Hướng nghiên cứu tốn mở tiếp tục cho tốn tìm nghiệm chung cho j bất đẳng thức biến phân hỗn hợp, j = 1, , N với N ≥ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 41 Tài liệu tham khảo [1] Ya I Alber and I P Ryazantseva, Nonlinear Ill-Posed Problems of Monotone Type, Springer Verlag, New York (2006) [2] Ng Buong and Ng T T Thuy (2008), "On regularization parameter choice and convergence rates in regularization for ill-posed mixed variational inequalities", International Journal of Contemporary Mathematical Sciences, 4(3), pp 181-198 [3] I Ekeland and R Temam, Convex Analysis and Variational Problems, North-Holland Publishing Company, Amsterdam, Holland (1970) [4] I V Konnov and E O Volotskaya (2002), "Mixed variational inequalities and economic equilibrium problems", Journal of Applied Mathematics, 6, pp 289-314 [5] G M Lee, N N Tam and N D Yen, Quadratic Programming and Affine Variational Inequalities: A Qualitative Study, Springer (2005) [6] J L Lions, Quelques Methodes de Resolution des Problemes aux Limites Nonlineaires, Dunod and Gauthier-Villars, Paris (1969) [7] O A Liskovets (1991), "Regularization for ill-posed mixed variational inequalities", Soviet Mathematics Doklady, 43, pp 384-387 (in Russian) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 42 [8] Ng T T Thuy (2010), "Convergence rates of the Tikhonov regularzation for ill-posed mixed varritional inequalities with inversestrongly monotone perturbations", Nonlinear Functional Analysis and Applications, pp 467-479 [9] Ng T T Thuy (2011), "Regularization of ill-posed mixed variational inequalities with non-monotone perturbations", Journal of Inequalities and Application doi:10.1186/1029-242X-2011-25 [10] E Zeidler, Nonlinear Functional Analysis and Its Applications, Springer, New York, (1985) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... Ví dụ thực tế bất đẳng thức biến phân hỗn hợp 16 Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân hỗn hợp với toán tử nhiễu không đơn điệu 21 2.1 Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân hỗn hợp đơn điệu 21 2.1.1... bất đẳng thức biến phân hiệu chỉnh Liskovets (0.2) với toán tử ngược đơn điệu mạnh Kết tương tự trường hợp toán tử nhiễu đơn điệu nghiên cứu [8] Nếu toán tử nhiễu Ah khơng đơn điệu bất đẳng thức. .. Thu Thủy hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân hỗn hợp với toán tử nhiễu không đơn điệu Nội dung luận văn trình bày hai chương Chương giới thiệu bất đẳng thức biến phân hỗn hợp không gian Banach phản