Phương pháp điểm gần kề giải một bài toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp DC (LV thạc sĩ)

Phương pháp điểm gần kề giải một bài toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp DC (LV thạc sĩ)Phương pháp điểm gần kề giải một bài toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp DC (LV thạc sĩ)Phương pháp điểm gần kề giải một bài toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp DC (LV thạc sĩ)Phương pháp điểm gần kề giải một bài toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp DC (LV thạc sĩ)Phương pháp điểm gần kề giải một bài toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp DC (LV thạc sĩ)Phương pháp điểm gần kề giải một bài toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp DC (LV thạc sĩ)Phương pháp điểm gần kề giải một bài toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp DC (LV thạc sĩ)Phương pháp điểm gần kề giải một bài toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp DC (LV thạc sĩ)Phương pháp điểm gần kề giải một bài toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp DC (LV thạc sĩ)Phương pháp điểm gần kề giải một bài toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp DC (LV thạc sĩ)Phương pháp điểm gần kề giải một bài toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp DC (LV thạc sĩ)Phương pháp điểm gần kề giải một bài toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp DC (LV thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ DUNG PHƯƠNG PHÁP ĐIỂM GẦN KỀ GIẢI MỘT BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN HỖN HỢP DC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ DUNG PHƯƠNG PHÁP ĐIỂM GẦN KỀ GIẢI MỘT BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN HỖN HỢP DC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Lê Dũng Mưu THÁI NGUYÊN - 2016 i Mục lục Lời mở đầu ii Kiến thức hàm lồi tập lồi 1.1 Tập lồi tập lồi đa diện 1.2 Hàm lồi 1.3 Dưới vi phân 1.4 Tính đơn điệu Bài toán bất đẳng thức biến phân 2.1 Phát biểu tốn ví dụ 2.2 Mơt số tính chất 10 2.2.1 Sự tồn nghiệm 10 2.2.2 Các toán liên quan 15 Bài toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp DC 19 3.1 Hàm DC 19 3.2 Phát biểu toán ví dụ 23 3.3 Phương pháp điểm gần kề giải toán bất đẳng thức biến 3.4 phân hỗn hợp DC 24 Một mơ hình cân bán độc quyền 33 Kết luận 36 Tài liệu tham khảo 37 ii Lời mở đầu Bất đẳng thức biến phân toán quan trọng toán học ứng dụng Do tốn nhiều người quan tâm nghiên cứu Trong hướng nghiên cứu này, phương pháp điểm gần kề giải toán bất đẳng thức biến hỗn hợp DC đề tài quan trọng Mục đích luận văn tập trung giới thiệu trình bày tốn bất đẳng thức biến phân, số tính chất tập nghiệm bất đẳng thức biến phân Đặc biệt sâu vào việc giới thiệu phương pháp giải lớp toán Luận văn bao gồm chương Chương 1: Các kiến thức giải tích lồi, chương nhắc lại trình bày khái niệm, định lý, tính chất dùng để nghiên cứu tốn bất đẳng thức biến phân chương sau Chương 2: Bài tốn bất đẳng thức biến phân, chương trình bày định nghĩa toán bất đẳng thức biến phân ví dụ Đồng thời trình bày tồn tính chất tập nghiệm tốn bất đẳng thức biến phân không gian hữu hạn chiều Rn Chương 3: Trình khái niệm, tính chất hàm DC, phương pháp điểm gần kề giải toán bất đẳng thức biến hỗn hợp DC Nhân dịp tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn GS TSKH Lê Dũng Mưu, người thầy tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tơi suốt q trình làm hồn thiện luận văn Tơi xin kính gửi lời cảm ơn tới thầy, Khoa Tốn Tin, bạn sinh viên lớp cao học toán K8A, trường Đại học Khoa học tạo điều kiện thuận lợi, động viên, giúp đỡ tơi suốt q trình học iii tập nghiên cứu trường Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình người thân ln khuyến khích, động viên giúp đỡ tơi suốt q trình học cao học hồn thành luận văn Tơi xin trân trọng cảm ơn! Thái Nguyên, 2016 Nguyễn Thị Dung Học viên Cao học Toán K8A, Trường ĐH Khoa học - ĐH Thái Nguyên Chương Kiến thức hàm lồi tập lồi Dưới đây, ta nhắc lại số khái niệm tính chất giải tích lồi như: Tập lồi, hàm lồi, vi phân, Các kiến thức chương lấy chủ yếu từ tài liệu ([1]), ([3]) sử dụng chương sau 1.1 Tập lồi tập lồi đa diện Cho hai điểm a, b ∈ Rn Tập tất điểm x = (1 − λ)a + λb với λ ∈ [0, 1] gọi đoạn thẳng (đóng) nối a, b kí hiệu [a, b] Định nghĩa 1.1 Một tập C ⊆ Rn gọi tập lồi chứa trọn đoạn thẳng nối hai điểm thuộc Tức là, (1 − λ)a + λb ∈ C với a, b ∈ C λ ∈ [0, 1] Hình 1.1: Tập A lồi Tập B khơng lồi Định nghĩa 1.2 Điểm x ∈ Rn có dạng k k λ i x = λ1 a + λ2 a + + λk a = i=1 với k i n a ∈ R , λi ≥ 0, λi = i=1 gọi tổ hợp lồi điểm a , a , , ak Tập C lồi chứa tổ hợp lồi phần tử thuộc Thứ nguyên (số chiều) tập lồi C, kí hiệu dimC, thứ nguyên (số chiều) bao affine Một tập lồi C Rn gọi có thứ nguyên đầy dimC = n Định nghĩa 1.3 Điểm x ∈ Rn có dạng x = λ1 a1 + λ2 a2 + + λk ak k i n a ∈R , λi = i=1 gọi tổ hợp affine điểm a , a2 , , ak M tập affine M chứa tổ hợp affine phần tử thuộc Giao họ tập affine tập affine Cho E môt tập Rn , có tập affine chứa E, cụ thể Rn Một số tập lồi đáng ý: a) Siêu phẳng tập có dạng H = {x ∈ Rn : aT x =α, a ∈ R\{0}, α ∈ R} b) Nửa khơng gian đóng H1 = {x ∈ Rn : aT x ≤ α}, H2 = {x ∈ Rn : aT x ≥ α} c) Nửa không gian mở K1 = {x ∈ Rn : aT x < α}, K2 = {x ∈ Rn : aT x > α} d) Hình cầu đóng B(a, r) = {x ∈ Rn : x − a ≤ r }, a ∈ Rn , r > e) Tập lồi đa diện D = {x ∈ Rn : Ax ≤ b}, A ∈ Rm×n , b ∈ Rm f) Nón lồi đa diện K = {x ∈ Rn : Ax ≤ 0}, A ∈ Rm×n , ∈ Rm Từ định nghĩa tập lồi trực tiếp suy số tính chất đơn giản sau: a) Giao họ tập lồi tập lồi b) Tổng, hiệu hai tập lồi tập lồi C ± D = {x ± y : x ∈ C, y ∈ D} c) Nếu C ⊂ Rm , D ⊂ Rn tích C × D = {(x, y) : x ∈ C, y ∈ D} tập lồi Rm×n (Có thể mở rộng cho tích nhiều tập lồi) Định nghĩa 1.4 Cho E tập Rn a) Giao tập affine chứa E gọi bao affine E, kí hiệu affE Đó tập affine nhỏ chứa E b) Giao tất tập lồi chứa E gọi bao lồi E, kí hiệu conE Đó tập lồi nhỏ chứa E Định nghĩa 1.5 Một tập K Rn gọi nón hay tập nón với x ∈ K λ > λx ∈ K Nón K gọi nón lồi K tập lồi Định nghĩa 1.6 Một tập giao số hữu hạn nửa khơng gian đóng gọi tập lồi đa diện Nói cách khác, tập nghiệm hệ hữu hạn bất phương trình tuyến tính: ai1 x1 + ai2 x2 + + ain xn ≤ bi , i = 1, 2, , m nghĩa tập x nghiệm Ax ≤ b với A = (aij ) ∈ Rm×n , b = (b1 , , bm )T Nhận xét 1.7 Vì phương trình tuyến tính biểu diễn tương đương hai bất phương trình tuyến tính nên tập nghiệm hệ (hữu hạn) phương trình bất phương trình tuyến tính tập lồi đa diện Một tập lồi đa diện khơng bị chặn (không giới nội) Một tập lồi đa diện bị chặn (giới nội) gọi đa diện lồi Định nghĩa 1.8 Ta nói hai tập lồi khác rỗng C, D Rn tách siêu phẳng H = { x ∈ Rn : t, x = α} , t ∈ Rn \ { 0} α ∈ R, inf t, x ≥ α ≥ sup t, y x∈C (1.1) y∈D Định lý 1.1 (Định lý tách I) Hai tập lồi C D Rn khác rỗng, khơng có điểm chung tách siêu phẳng, nghĩa tồn vectơ t ∈ Rn (t = 0) số α ∈ R cho (1.1) thỏa mãn Định nghĩa 1.9 Ta nói hai tập lồi khác rỗng C, D Rn tách hẳn siêu phẳng H = { x ∈ Rn : t, x = α} , t ∈ Rn \ { 0} α ∈ R, inf t, x > α > sup t, y x∈C (1.2) y∈D Định lý 1.2 (Định lý tách II) Hai tập lồi đóng C D Rn khác rỗng, khơng cắt với hai tập compact, tách hẳn bới siêu phẳng, nghĩa tồn vectơ t ∈ Rn (t = 0) số α ∈ R cho (1.2) thỏa mãn 1.2 Hàm lồi Định nghĩa 1.10 Hàm f : S → (−∞, +∞] xác định tập hợp lồi S ⊆ Rn gọi hàm lồi S với x1 , x2 ∈ S số thực λ ∈ [0, 1] ta có f (1 − λ) x1 + λx2 ≤ (1 − λ) f x1 + λf x2 • Hàm f gọi lồi chặt S với x1 , x2 ∈ S, x1 = x2 λ ∈ (0, 1) ta có f (1 − λ) x1 + λx2 < (1 − λ) f x1 + λf x2 Hiển nhiên hàm lồi chặt lồi, điều ngược lại không • Hàm f gọi hàm lõm (lõm chặt) trêm S −f lồi (lồi chặt) S, gọi tuyến tính affine S f hữu hạn vừa lồi vừa lõm S Một hàm affine Rn có dạng f (x) = a, x + α với a ∈ Rn , α ∈ R, với x1 , x2 ∈ Rn λ ∈ [0, 1] ta có f (1 − λ) x1 + λx2 = (1 − λ) f x1 + λf x2 Tuy nhiên, hàm affine không lồi chặt hay lõm chặt Định nghĩa 1.11 Cho hàm f : S → (−∞, +∞] với S ⊆ Rn , tập domf = {x ∈ S : f (x) < +∞} epif = {(x, α) ∈ S × R : f (x) ≤ α} , gọi miền hữu dụng tập đồ thị hàm f Nếu domf khác rỗng (f không đồng +∞) f (x) > −∞ với x ∈ S ta nói hàm f thường Nói cách khác, f thường domf = ∅ f hữu hạn domf Có thể chứng minh hàm f lồi không nhận giá trị −∞ S hai điều kiện sau thỏa mãn a) Tập đồ thị epif tập lồi b) m f λk x k=1 với xk ∈ S, m k=1 m k λk f xk ≤ k=1 λk = 1, λk ≥ với k (bất đẳng thức Jensen) 23 lân cận U1 x cho F (U1 ) ⊂ U2 Thì lt (f1 , , fm ) m = a0t + ait fi+ − i=1 m = a0t + m −M i=1 i=1 m i=1 ait fi− (M + ait ) fi+ + m i=1 (M − ait ) fi− fi+ + fi− = pt − q với pt q lồi, q khơng phụ thuộc vào t Thì g (f1 , , fm ) = sup lt (f1 , , fm ) = sup (pt − q) = sup pt − q = p − q, t t t nghĩa g (f1 , , fm ) DC địa phương Ω1 Do đó, theo Mệnh đề 3.3, g ◦ f ∈ DC (Ω1 ) Hệ 3.2 Cho Ω1 ⊂ Rn , Ω2 ⊂ Rm tập lồi cho Ω1 mở (hoặc đóng), Ω2 mở Nếu F1 : Ω1 → Ω2 DC Ω1 ⊂ Rn F2 : Ω2 → Rk C trơn F2 ◦ F1 DC Ω1 Đặc biệt tích hai hàm DC DC, f (x) DC tập lồi đóng (hoặc mở) Ω f (x) = 0, ∀x ∈ Ω 1 , |f (x)| /m f (x) DC Ω Nhận xét 3.2 Khi hàm f DC f = g − h DC biểu diễn f với hàm lồi u,f = (g + u) − (h + u) hàm DC biểu diễn f 3.2 Phát biểu tốn ví dụ Cho ∅ = C ⊂ Rn tập lồi đóng F ánh xạ từ Rn → C ϕ hàm (không thiết lồi) định nghĩa Rn Chúng ta xem xét giải toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp (MVIP): Lấy x∗ ∈ C cho F (x∗ )T (y − x∗ ) + ϕ (y) − ϕ (x∗ ) ≥ 0, ∀y ∈ C (3.4) 24 Gọi x∗ lời giải địa phương toán, tức x∗ ∈ C thỏa mãn: F (x∗ )T (y − x∗ ) + ϕ (y) − ϕ (x∗ ) , ∀y ∈ C ∩ U, (3.5) với U lân cận mở x∗ Khi ϕ lồi C, lời giải địa phương toàn cục Khi ϕ khơng lồi, lời giải địa phương khơng tồn cục 3.3 Phương pháp điểm gần kề giải toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp DC Định nghĩa 3.3 Cho NC := {(x, U ) : x ∈ C, U lân cận x} , định nghĩa ánh xạ S : NC → 2c hàm m : NC → R cách lấy S (x, U ) := argmin F (x)T (y − x) + ϕ (y) : y ∈ C ∩ U , (3.6) m (x, U ) := F (x)T (y − x) + ϕ (y) − ϕ (x) : y ∈ C ∩ U , (3.7) Ta gọi m(x, U ) hàm khoảng cách địa phương cho toán (3.4) Mệnh đề 3.5 Giả sử S (x, U ) = ∅ với (x, U ) ∈ NC Những điều kiện sau tương đương a) x∗ lời giải địa phương (3.4); b) x∗ ∈ C x∗ ∈ S(x∗ , U ); c) x∗ ∈ C m(x∗ , U ) = Chứng minh Đầu tiên chứng minh (a) tương đương với (b) Giả sử x∗ ∈ C x∗ ∈ S(x∗ , U ) Khi = F (x∗ )T (x∗ − x∗ ) + ϕ (x∗ ) − ϕ (x∗ ) ≤ F (x∗ )T (y − x∗ ) + ϕ (y) − ϕ (x∗ ) , ∀y ∈ C ∩ U Do đó, x∗ lời giải địa phương toán (3.4) Ngược lại, F (x∗ )T (y − x∗ ) + ϕ (y) − ϕ (x∗ ) ≥ 0, ∀y ∈ C ∩ U (3.8) 25 rõ ràng x∗ ∈ S(x∗ , U ) Ta thấy m(x, U ) ≤ với x ∈ C ∩ U Do x∗ ∈ C ∩ U m(x∗ , U ) = F (x∗ )T (y − x∗ ) + ϕ (y) − ϕ (x∗ ) ≥ 0, ∀y ∈ C ∩ U nghĩa (a) (c) tương đương Rõ ràng, Mệnh đề 3.5, U chứa C x∗ lời giải địa phương tốn (3.4) Khơng giống bất đẳng thức biến phân hỗn hợp lồi (bao gồm tối ưu hóa bất đẳng thức biến phân), bất đẳng thức hỗn hợp DC khơng có lời giải ánh xạ giá liên tục tập C compact Ví dụ 3.1 Nếu lấy C := [−1, 1] ⊂ R, F (x) = x ϕ (x) = −x2 (một hàm lõm) toán (3.4) khơng có lời giải Ta kí hiệu ΓC tập tất hàm lồi, khả vi phân tập lồi C giả sử hai hàm g h thuộc ΓC Hơn nữa, ϕ (x) = (g (x) + g1 (x)) − (h (x) + g1 (x)) với hàm g1 ∈ ΓC tùy ý, ta giả sử hai hàm g h lồi mạnh C Từ Mệnh đề 3.5, ta có x lời giải toán (3.4) x lời giải toán tối ưu sau: F (x)T (y − x) + g (y) − h (y) : y ∈ C Trên sở thực tế định nghĩa điểm dừng toán (3.4) sau : Định nghĩa 3.4 Một điểm x ∈ C gọi điểm dừng toán (3.4) ∈ F (x) + ∂g (x) − ∂h (x) + NC (x) , NC (x) := w : wT (y − x) ≤ 0, ∀y ∈ C (3.9) 26 Do NC nón, với c > 0, (3.9) tương đương với ∈ c {F (x) + ∂g (x) − ∂h (x)} + NC (x) (3.10) Ta định nghĩa g1 (x) := g (x) + δC (x) , ∂δC (x) vi phân hàm số δC C x Sau áp dụng định lý Moreau-Rockafellar, ta có ∂g1 (x) = ∂g (x) + ∂δC (x) Như vậy, theo định nghĩa x điểm dừng ∈ c (F (x) + ∂g (x) − ∂h (x)) + ∂δC (x) , c > gọi tham số hiệu chỉnh thuật toán định nghĩa Giống tối ưu hóa từ Mệnh đề 3.5 ta có lời giải địa phương tốn (3.4) điểm dừng Do ∂δC (x) = NC (x), nên ta có ∂g1 (x) = ∂g (x) + NC (x) với x ∈ C Mệnh đề 3.6 Điều kiện cần đủ để x điểm dừng cho toán (3.4) là: x ∈ (I + c∂g1 )−1 (x − cF (x) + c∂h (x)) , (3.11) c > I viết tắt ánh xạ đồng Chứng minh Do g1 tập lồi đóng, (I + ∂g1 )−1 giá trị Do đó, x thỏa mãn (3.11) x − cF (x) + cv (x) ∈ (I + c∂g1 ) (x) v (x) ∈ ∂h (x) Do NC (x) nón ∂g1 (x) = ∂g (x) + ∂δC (x) = ∂g (x) + NC (x) , x − cF (x) + cv (x) ∈ (I + c∂g1 ) (x) tương đương ∈ F (x) + ∂g (x) − ∂h (x) + NC (x) Nếu kí hiệu vế phải (3.11) Z(x) (3.11) trở thành x ∈ Z(x) Mệnh đề 3.6 cho thấy việc tìm kiếm điểm dừng tốn (3.4) tìm điểm bất động ánh xạ Z Theo khuân khổ phương pháp điểm gần kề xây dựng trình tự lặp sau: 27 • Lấy tùy ý x0 ∈ C k := • Với k = 0, 1, 2, , ta có xk , xác định xk+1 bởi: xk+1 = (I + ck ∂g1 )−1 xk − ck F xk + ck v xk , (3.12) v xk ∈ ∂h xk Nếu ta đặt y k := xk − ck F xk + ck v xk việc tính xk+1 trở giải tốn tối ưu lồi mạnh: g (x) + x − yk 2ck :x∈C (3.13) Thật vậy, xk+1 lời giải toán (3.13) ∈ ∂g xk+1 + k+1 x − y k + NC xk+1 ck Lưu ý F ≡ h ≡ toán (3.12) trở thành thuật toán điểm gần kề cho toán quy hoạch lồi, F ≡ thuật tốn gần kề cho tối ưu hóa DC Để chứng minh hội tụ thuật toán điểm gần kề cần định nghĩa sau n Cho ánh xạ φ : C → 2R : • Ta nói φ đơn điệu C (u − v)T (x − y) ≥ 0, ∀x, y ∈ C, ∀u ∈ φ (x) , v ∈ φ (y) ; • φ đơn điệu cực đại đơn điệu đồ thị khơng bị chứa thực đồ thị toán tử đơn điệu khác; • φ gọi đơn diệu mạnh với hệ số τ > 0, (τ đơn điệu mạnh) C (u − v)T (x − y) ≥ τ x − y , ∀x, y ∈ C, ∀u ∈ φ (x) , v ∈ φ (y) ; 28 • φ gọi đơn điệu mạnh ngược với hệ số σ > 0, (σ đơn điệu mạnh ngược) C (u − v)T (x − y) ≥ σ u − v , ∀x, y ∈ C, ∀u ∈ φ (x) , v ∈ φ (y) Rõ ràng, φ ánh xạ đơn trị σ đơn điệu mạnh ngược, φ σ − Lipschitz Mệnh đề 3.7 Giả sử tập hợp điểm dừng S ∗ toán (3.4) khác rỗng F σ đơn điệu mạnh ngược, g lồi mạnh C với hệ số τ > 0, h hàm số Lipschitz khả vi C với số L Khi đó, với x∗ ∈ S ∗ , có αk xk − x∗ − βk xk+1 − x∗ 2 ≥ ck (2σ − ck ) F xk − F (x∗ ) , (3.14) αk = + ck Lt, βk = + 2ck τ − ck Lt , t > Chứng minh Cho g xác định lồi đóng C = ∅ lồi đóng, ánh xạ (I + ck ∂g1 )−1 có giá trị với ck > Như dãy xk xây dựng (3.12) xác định Từ (3.12) ta có xk+1 = xk − ck F xk + ck v k − ck z k+1 , (3.15) v k = ∇h xk z k+1 ∈ ∂g1 xk+1 = ∂g xk+1 + NC xk+1 Để đơn giản viết F k cho F (xk ) F ∗ cho F (x∗ ) Theo định nghĩa, x∗ điểm dừng để MVIP (3.4) = z ∗ + F (x∗ ) − v ∗ z ∗ ∈ ∂g1 (x∗ ) , v ∗ = ∇h xk 29 Là đơn điệu mạnh ngược F C có nghĩa T ≤ Fk − F∗ = Fk − F∗ T xk − x∗ − σ F k − F ∗ xk − x∗ − ck F k + ck F ∗ − ∆k , ∆k = (σ − ck ) F k − F ∗ Do F ∗ = v ∗ − z ∗ xk+1 = xk − ck F k + ck v k − ck z k+1 , có bất đẳng thức ≤ Fk − F∗ T xk − ck F k + ck v k − ck z k+1 − x∗ −ck F k − F ∗ T v k − v ∗ − z k+1 + z ∗ − ∆k = Fk − F∗ T xk+1 − x∗ − ck F k − F ∗ T v k − v ∗ − z k+1 + z ∗ − ∆k (3.16) Mặt khác, g lồi mạnh với hệ số τ > 0, rõ ràng ∂g đơn điệu mạnh với hệ số τ ánh xạ ∂g1 := ∂g + NC đơn điệu mạnh với hệ số τ Như vậy, từ z k+1 ∈ ∂g1 xk+1 , viết xk+1 − x∗ T z k+1 − z ∗ − τ xk+1 −x∗ (3.17) ≥ Từ (3.16) (3.17), sử dụng z ∗ + F (x∗ ) = v ∗ (3.15), ta ≤ F k − F ∗ + z k+1 − z ∗ k −ck F − F ∗ = x k+1 k − x∗ −ck F − F ∗ T T T T xk+1 − x∗ v k − v ∗ − z k+1 + z ∗ − τ xk+1 − x∗ vk + (xk −x∗ )−(xk+1 −x∗ ) ck − ∆k − v∗ v k − v ∗ − z k+1 + z ∗ − τ xk+1 − x∗ − ∆k Ta nói xk := xk − x∗ , xk+1 := xk+1 − x∗ , v k := v k − v ∗ , z k+1 := z k+1 − z ∗ 30 F k := F k − F ∗ Chúng ta viết bất đẳng thức cuối 2ck xk+1 T k v −2 xk+1 T T xk+1 − xk −2c2k F k v k − z k+1 −2ck τ xk+1 −2ck ∆k (3.18) Từ (3.15), có xˆ k+1 − xˆk = c2k Fˆ k + c2k zˆk+1 − vˆk − 2c2k Fˆ k + xk+1 T vˆk − zˆk+1 Khi cách sử dụng xk+1 T xk+1 − xk = xk+1 − xk 2 − xk , có từ (3.18) k+1 T k v −(1 + 2ck τ ) x 2ck x k+1 + x k −c2k F k 2 −c2k v k − z k+1 −2ck ∆k ≥ (3.19) Do ∇h L-Lipschitz liên tục, có v k ≤ L xk Ta chứng minh bất đẳng thức Chebyshev k+1 T k x v ≤ xk+1 v k ≤ 2L xk Như thay xk+1 2L t x k xk+1 ≤ 2L t x k xk+1 + t T k v xk+1 + t vào (3.19) sử dụng định nghĩa ∆k để có αk xk − βk xk+1 ≥ ck (2σ − ck ) F k 2 + c2k v k − z k+1 , αk = + ck Lt, βk = + 2ck τ − ck Lt t > (3.20) , ∀t > 31 Hệ 3.3 Dưới giả thiết Mệnh đề 3.7, giả sử thêm τ ≥ L Khi dãy xk tạo (3.12) hội tụ đến điểm dừng toán (3.4) Hơn nữa, τ > L F µ đơn điệu mạnh, dãy xk hội tụ tuyến tính đến điểm dừng tốn (3.4) Chứng minh Giả sử τ ≥ L Lấy M m hai số thực cho < m ≤ ck ≤ M < 2σ Nếu cho t = 1, theo (3.20) ta có xk − x∗ − xk+1 − x∗ Do đó, xk bị chặn dãy ≥ m (2σ − M ) F xk − F (x∗ ) + ML xk − x∗ 2 ≥ hội tụ, dãy khơng tăng bị chặn Hơn nữa, bất đẳng thức có nghĩa lim F xk = k→∞ F (x ) Lưu ý rằng, từ (3.15) có ∗ xk+1 − xk = lim = lim v k − z k+1 − F k = lim v k − z k+1 − F ∗ , k→∞ k→∞ k→∞ ck từ giả thiết −F ∗ = z ∗ − v ∗ mà lim v k − v ∗ − z k+1 + z ∗ = k→∞ Để x∞ điểm giới hạn dãy bị chặn xk xk : k ∈ K dãy hội tụ tới x∞ Do F đơn điệu mạnh ngược, liên tục Do lim F xk = k→∞ F (x ) nghĩa F (x ) = F (x ) Giả sử ∇h L-Lipschitz, có ∗ ∞ ∗ v k − v ∗ ≤ L xk − x∗ Như v k bị chặn Lấy dãy v k : k ∈ K hội tụ đến v ∞ Sử dụng tính liên tục ∇h, có v ∞ = ∇h (x∞ ) Chúng ta thấy v ∞ − F (x∞ ) ∈ ∂g1 (x∞ ) Lấy z ∈ ∂g1 (x) từ đơn điệu mạnh ∂g1 ≤ τ xk − x = zk − z T ≤ zk − z T xk − x = z k − z xk − x∞ + z k − v k−1 − z T T xk − x∞ + z k − z (x∞ − x) + v k−1 Lưu ý rằng, từ lim v k − v ∗ − z k+1 + z ∗ = 0, có k→∞ z k+1 − v k → z ∗ − v ∗ = −F (x∗ ) T T (x∞ − x) (x∞ − x 32 Khi đó, lấy giới hạn bên trái bất đẳng thức, có (v ∞ − F (x∗ ) − x)T (x∞ − x) ≥ đó, đơn điệu cực đại ∂g1 , v ∞ −F (x∗ ) ∈ ∂g1 (x∞ ) Do F (x∞ ) = F (x∗ ) , có v ∞ − F (x∞ ) ∈ ∂g1 (x∞ ) Lưu ý v ∞ = ∇h (x∞ ) có ∈ ∂g1 (x∞ ) + F (x∞ ) − ∇h (x∞ ) , có nghĩa x∞ điểm dừng toán (3.4) Thay x∗ x∞ vào (3.14) thấy xk − x∞ hội tụ, thấy tồn dãy xk hội tụ tới x∞ , dãy hội tụ tới x∞ , từ (3.14) αk xk − x∗ ≥ βk Như vậy, L < τ < r := αk βk xk+1 − x∗ < với k ≥ Do xk+1 − x∗ ≤ r xk − x∗ , ta thấy dãy xk hội tụ tới x∗ Nếu F đơn điệu mạnh với hệ số µ > F xk − F (x∗ ) xk − x∗ ≥ F xk − F (x∗ ) T xk − x∗ ≥ µ xk − x∗ Do F xk − F (x∗ ) 2 ≥ µ2 xk − x∗ Thay bất đẳng thức vào (3.14), nhận αk − µ2 ck (2σ − ck ) xk − x∗ 2 ≥ βk xk+1 − x∗ Sử dụng giả thiết < m ≤ ck ≤ M < 2σ lấy t = 1, có bất đẳng thức + ck L − µ2 ck (2σ − ck ) xk − x∗ Do m > L, + ck L − µ2 ck (2σ − ck ) < + 2ck τ − ck L, hội tụ đến x∗ τ + µ2 σ − ta thấy xk ≥ (1 + 2ck τ − ck L) xk+1 − x∗ 33 3.4 Một mơ hình cân bán độc quyền Trong mơ hình giả sử có n doanh nghiệp sản xuất loại hàng hóa, kí hiệu x1 , x2 , , xn số lượng hàng hóa mà doanh nghiệp cần sản xuất Giả sử Ci tập chiến lược doanh nghiệp thứ i (i=1,2, ,n) (nghĩa số lượng hàng hóa doanh nghiệp thứ i nằm Ci ) (i) Pi giá thành đơn vị hàng hóa phụ thuộc vào n xi i=1 (ii) hi (xi ) chi phí doanh nghiệp i sản xuất lượng hàng hóa xi Vậy lợi nhuận doanh nghiệp thứ i là: n fi (x1 , , xn ) = xi pi xi − hi (xi ) (i = 1, , n) (3.21) i=1 Trong thực tế doanh nghiệp muốn tìm phương án sản xuất tập chiến lược cho lợi nhuận lớn Tuy nhiên phương án tối ưu cho tất doanh nghiệp thực tế thường khơng tồn tại, lợi ích doanh nghiệp thường mâu thuẫn, đối kháng Trong trường hợp sử dụng cân Nash Một điểm x∗ = (x∗1 , , x∗n ) ∈ C := C1 × × Cn coi điểm cân Nash fi (x∗1 , , x∗i−1 , yi , x∗i+1 , , x∗n ) ≤ fi (x∗1 , , x∗n ) , ∀yi ∈ Ci , ∀i = 1, , n (3.22) Theo định nghĩa điểm cân bằng, doanh nghiệp thay đổi phương án sản xuất doanh nghiệp khác giữ ngun phương án sản xuất cân lợi ích doanh nghiệp thay đổi bị thiệt Dưới ta mơ hình cân Nash với hàm giá cước phí affine chuyển tốn tối ưu tồn phương lồi mạnh Còn hàm chi phí lõm việc tìm điểm cân Nash quay tốn bất đẳng thức biến phân hỗn hợp DC 34 Đặt n ψ (x, y) := − (3.23) fi (x1 , , xi−1 , yi , xi+1 , , xn ), i=1 (3.24) φ (x, y) := ψ (x, y) − ψ (x, x) Khi tốn tìm điểm cân Nash viết dạng toán cân Cho x∗ ∈ C cho φ (x∗ , y) ≥ với y ∈ C (EP) Trong mơ hình cổ điển, giá hàm chi phí cho doanh nghiệp giả thiết affine pi (σ) ≡ p (σ) = α0 − βσ, α0 ≥ 0, β > 0, với σ = n xi , i=1 hi (xi ) = µi xi + ξi , µi ≥ 0, ξi ≥ (i = 1, , n) Trong trường hợp sử dụng (3.21)-(3.24) ta có φ (x, y) = Ax + µ − α T (y − x) + y T Ay − xT Ax,  β   β  A=   0   β β    β β    , A =      0 β β β β β   β   ,   αT = (α0 , , α0 ) , µT = (µ1 , , µn ) Vậy tốn tìm điểm cân Nash trở toán: x ∈ C cho Ax + µ − α T (y − x) + y T Ay − xT Ax ≥ 0, ∀y ∈ C (3.25) Với Q := 2A + A Do β > nên Q ma trận đối xứng xác định dương Khi bất đẳng thức biến phân hỗn hợp (3.25) định nghĩa tương đương với tốn quy hoạch tồn phương bậc hai sau: x∈U T x Qx + (µ − α)T x (QP) 35 Vì vậy, tốn có phương án tối ưu điểm cân mơ hình cân thị trường tốn độc quyền cổ điển Nash Hàm chi phí giả định phụ thuộc tuyến tính số lượng hàng hóa nói chung khơng thực tế, thường chi phí để sản xuất cho đơn vị hàng hóa giảm số lượng sản xuất tăng Từ mơ hình này, phần xem xét mơ hình cân với chi phí lõm Giả sử n pi (σ) := pi n = αi − βi xj j=1 xj , αi ≥ 0, βi > (i = 1, , n) j=1 (3.26) Trong trường hợp này, kí hiệu  β   β  B :=    0 0 αT = (α1 , , αn ) ,   0   β     , B :=      βn βn β1 β1 β1   β2 β2   ,   βn βn n h (x) := hi (xi ) i=1 Với hi (i = 1, , n) hàm lõm Rõ ràng, B ma trận xác định dương Khi đó, xây dựng tốn (EP) sau: Cho x∗ ∈ C cho f (x∗ , y) := F (x∗ )T (y − x∗ ) + ϕ (y) − ϕ (x∗ ) ≥ 0, ∀y ∈ C, F (x) := B (x) − α ϕ (x) := xT Bx + h (x) Do B đối xứng xác định dương h lõm, tốn có dạng (3.4) 36 Kết luận Nội dung luân văn nghiên cứu phương pháp điểm gần kề giải toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp DC Qua chương, luận văn hồn thành cơng việc sau: Trình bày định nghĩa, tính chất hàm lồi tập lồi, kiến thức giải tích hàm có liên quan Trình bày chi tiết tốn bất đẳng thức biến phân, định nghĩa, ví dụ, tồn nghiệm tính chất tập nghiệm tốn Trình bày phương pháp điểm gần kề giải toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp DC 37 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Lê Dũng Mưu, Nguyễn Văn Hiền, Nguyễn Hữu Điển (2015), Nhập mơn giải tích lồi ứng dụng, NXB ĐHQG, Hà Nội Tiếng Anh [2] Facchinei S and Pang J (2003), Finite-Dimensional VariationalInequalities and Complementarity Problems, Springr - Verlag, NewYork [3] Heinz H Bauschke Patrick L Combettes, (2010), Convex Analysis and Monotone Operator Theoryin Hilbert Spaces, Springer [4] Konnov, I V (2001), Combined Relaxation Methods for Variational Inequalities., Springer, Berlin [5] Konnov I V (2007), Equilibrium Models and Variational Inequalities, Mathematics in Science and Engineering [6] Muu L.D and Quoc T.D (2010), “One step from DC optimization to DC mixed variational inequalities”,Optimization 59, 63-76 [7] Tuy H (2008), Convex Analysis and Global Optimization, Springer ... Bài toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp DC Dưới đây, ta trình bày số kiến thức hàm DC, sử dụng phương pháp điểm gần kề giải toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp DC Tiếp theo mở rộng phương pháp. .. 15 Bài toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp DC 19 3.1 Hàm DC 19 3.2 Phát biểu tốn ví dụ 23 3.3 Phương pháp điểm gần kề giải toán bất đẳng thức biến. .. này, phương pháp điểm gần kề giải toán bất đẳng thức biến hỗn hợp DC đề tài quan trọng Mục đích luận văn tập trung giới thiệu trình bày tốn bất đẳng thức biến phân, số tính chất tập nghiệm bất đẳng