Một số thuật toán tìm điểm chung của tập nghiệm bài toán bất đẳng thức biến phân và tập điểm bất động của ánh xạ không giãn tt

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BỘ QUỐC PHÒNG VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ QUÂN SỰ NGÔ XUÂN PHƯƠNG MỘT SỐ THUẬT TỐN TÌM ĐIỂM CHUNG CỦA TẬP NGHIỆM BÀI TỐN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VÀ TẬP ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHƠNG GIÃN Chun ngành: Cơ sở tốn học cho tin học Mã số: 9460110 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Hà Nội – 2018 Cơng trình hồn thành tại: VIỆN KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ QUÂN SỰ BỘ QUỐC PHÒNG NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS Phạm Ngọc Anh TS Nguyễn Mạnh Linh Phản biện 1: GS TS Lê Dũng Mưu Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam Phản biện 2: PGS TS Nguyễn Bá Minh Trường Đại học Thương mại Phản biện 3: PGS TS Nguyễn Năng Tâm Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Luận án bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án tiến sĩ cấp Viện Viện Khoa học Công nghệ Quân Vào hồi ngày tháng năm 2018 Có thể tìm hiểu luận án tại: - Thư viện Viện Khoa học Công nghệ Quân - Thư viện Quốc gia Việt Nam MỞ ĐẦU Tính cấp thiết đề tài: Cho C tập đóng khác rỗng khơng gian Hilbert thực H ánh xạ F : C → H, toán bất đẳng thức biến phân, viết tắt V I(F, C), có dạng: Tìm véc tơ x∗ ∈ C cho F (x∗ ), x − x∗ ≥ với x ∈ C Ánh xạ F thường gọi ánh xạ giá toán V I(F, C) Dễ thấy rằng, x∗ ∈ intC, toán viết dạng toán giải phương trình F (x∗ ) = Bài tốn V I(F, C) biểu diễn đơn giản, bao hàm nhiều lớp toán quan trọng thuộc nhiều lĩnh vực khác nhau, chẳng hạn toán bù phi tuyến, toán tối ưu lồi khả vi, mơ hình cân mạng giao thơng, v.v; hợp toán theo phương pháp nghiên cứu chung tiện lợi Bài toán bất đẳng thức biến phân giới thiệu lần vào năm 1966 Hartman Stampacchia Những nghiên cứu bất đẳng thức biến phân liên quan tới việc giải toán bù phi tuyến, toán điều khiển tối ưu tốn biên có dạng phương trình đạo hàm riêng Bài tốn bất đẳng thức biến phân không gian vô hạn chiều ứng dụng giới thiệu sách “An introduction to variational inequalities and their applications” Kinderlehrer Stampacchia xuất năm 1980 sách “Variational and quasivarational inequalities: Application to free boundary problems” Baiocchi Capelo xuất năm 1984 Năm 1979, Michael J Smith đưa toán cân mạng giao thông năm 1980 Defermos rằng: Điểm cân toán nghiệm toán bất đẳng thức biến phân Từ đó, tốn bất đẳng thức biến phân phát triển trở thành công cụ hữu hiệu để nghiên cứu giải toán cân kinh tế, vận tải, lý thuyết trò chơi nhiều mơ hình tốn khác Chính điều mà tốn bất đẳng thức biến phân nhiều người quan tâm nghiên cứu hướng tồn nghiệm, cấu trúc tập nghiệm thuật tốn giải Thơng thường phương pháp giải tốn tìm điểm chung tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động ánh xạ khơng giãn nói riêng ánh xạ nói chung khơng gian Hilbert H, xấp xỉ qua phương pháp giải không giãn hữu hạn chiều Rn , mở rộng thơng qua phương pháp tìm điểm bất động chung ánh xạ, phương pháp tìm nghiệm chung toán bất đẳng thức biên phân Theo hiểu biết chúng tôi, số phương pháp tiếp cận đề xuất thuật tốn thường gặp để giải tốn tìm nghiệm chung tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chia loại sau: - Loại thứ kết hợp phương pháp phép chiếu phương pháp lặp Mann - Loại thứ hai kết hợp phương pháp phép chiếu phương pháp lặp Halpern - Loại thứ ba phương pháp lặp ẩn Trên sở thuật tốn để giải tốn tìm điểm chung tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động ánh xạ không giãn, vấn đề đặt cần xây dựng thuật tốn với mục tiêu khơng mở rộng cải tiến mà cần tính tốn hiệu máy tính phương pháp có để giải tốn Đặc biệt tốn có giả thiết nhẹ tính đơn điệu liên tục Lipschitz ánh xạ giá, giả đơn điệu, tựa đơn điệu, chí khơng đơn điệu lớp ánh xạ mở rộng ánh xạ không giãn ánh xạ giả co chặt, ánh xạ tựa khơng giãn Rất nhiều thuật tốn đề xuất, khó cho ta biết tính hiệu thực với ứng dụng vào mơ hình thực tế với tính tốn cụ thể Vì vậy, chọn vấn đề để làm đề tài luận án: "Một số thuật tốn tìm điểm chung tập nghiệm toán bất đẳng thức phân tập điểm bất động ánh xạ không giãn" Bố cục luận án: Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục cơng trình khoa học tác giả liên quan đến luận án danh mục tài liệu tham khảo, luận án gồm chương: • Chương Bất đẳng thức biến phân ánh xạ khơng giãn • Chương Phương pháp điểm bất động • Chương Thuật tốn đạo hàm tăng cường mở rộng • Chương Thuật tốn phép chiếu Các kết luận án công bố 04 báo Cụ thể, có 02 xuất tạp chí quốc tế có uy tín danh mục xếp hạng ISI SCOPUS, 02 gửi đăng Các kết báo cáo tại: • Hội thảo Việt Nam-Hàn Quốc, Đà Nẵng, 2017; • Hội thảo Tối ưu Tính tốn Khoa học lần thứ 12, Ba Vì, 2016; • Hội nghị Tốn ứng dụng tồn quốc, Trường Đại học Kinh tế Quốc dân, 2015; • Hội nghị tốn ứng dụng miền Trung Tây ngun, 2015; • Xêmina Lab Tốn ứng dụng Tính tốn, Học viện Cơng nghệ Bưu Viễn thơng; Chương BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VÀ ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN Một số kiến thức toán bất đẳng thức biến phân, tốn điểm bất động ánh xạ khơng giãn ánh xạ giả co chặt, số phương pháp tìm điểm chung tập nghiệm tốn bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động ánh xạ không giãn không gian Hilbert thực H, giới thiệu chương Các phương pháp giải có liên quan đến thuật tốn giải chương sau 1.1 Một số khái niệm Cho H không gian Hilbert thực với tích vơ hướng ·, · chuẩn tương ứng xác định x = x, x , với x ∈ H Một dãy {xk } ⊂ H gọi hội tụ mạnh (hội tụ yếu) tới x∗ ∈ H, ký hiệu xk → x∗ x∗ ), xk − x∗ → (tương ứng u, xk − x∗ → với (tương ứng xk u ∈ H) k → ∞ Cho C = ∅, C ⊂ H Ánh xạ S : C → H gọi nửa đóng 0, {xk } dãy C cho xk x¯ (I − S)(xk ) → 0, (I − S)(¯ x) = Bổ đề 1.1 Với x, y ∈ H, ta có (i) x − y = x − y (ii) T (x) + (1 − t) y 2 − x − y, y , = t x + (1 − t) y − t (1 − t) x − y ∀t ∈ [0, 1] Bổ đề 1.2 Cho C tập lồi đóng khác rỗng H Khi đó, (i) x − P rC (x), y − P rC (x) ≤ ∀y ∈ C, x ∈ H; (ii) P rC (x) − P rC (y), x − y ≥ P rC (x) − P rC (y) (iii) x − P rC (x) ≤ x−y − y − P rC (x) 2 ∀x, y ∈ H; ∀x ∈ H, y ∈ C; (iv) P rC (x) − P rC (y) ≤ x − y , ∀x, y ∈ H; (v) P rC (x)−P rC (y) 1.2 ≤ x−y − P rC (x)−x+y−P rC (y) , ∀x, y ∈ H Bài toán bất đẳng thức biến phân Định nghĩa 1.1 Cho C tập lồi đóng khác rỗng H F : C → H ánh xạ đơn trị Bài toán bất đẳng thức biến phân xác định C F , ký hiệu V I(F, C), tốn tìm véc tơ x∗ ∈ C cho F (x∗ ), x − x∗ ≥ ∀x ∈ C Tập nghiệm toán ký hiệu Sol(C, F ) Ánh xạ F thường gọi ánh xạ giá Mệnh đề 1.1 Điểm x∗ ∈ C nghiệm toán bất đẳng thức biến phân V I(F, C) x∗ = P rC (x∗ − λF (x∗ )), λ số dương 1.3 Bài toán điểm bất động Cho C tập khác rỗng H Ánh xạ S : C → C gọi giả co chặt, tồn số L ∈ [0, 1) cho S(x) − S(y) ≤ x−y + L (I − S)(x) − (I − S)(y) ∀x, y ∈ C, I ánh xạ đồng Rn Khi L = 0, S gọi ánh xạ không giãn C Tập điểm bất động S ký hiệu F ix(S), nghĩa F ix(S) := {x ∈ C : S(x) = x} Ánh xạ S gọi tựa giả co chặt, tồn L ∈ [0, 1) cho S(x) − p ≤ x−p + L x − S(x) ∀x ∈ C, p ∈ F ix(S) Trong trường hợp L = 0, ánh xạ S gọi ánh xạ tựa không giãn C Như vậy, ánh xạ giả co chặt ánh xạ tựa không giãn C dạng mở rộng ánh xạ không giãn 1.4 Một số phương pháp lặp cho toán bất đẳng thức biến phân ánh xạ không giãn 1.4.1 Phương pháp đạo hàm tăng cường 1.4.2 Phương pháp xấp xỉ gắn kết 1.4.3 Phương pháp đạo hàm tăng cường-lai ghép 1.5 Kết luận Chương Trong chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức sở giải tích lồi, toán bất đẳng biến phân tính chất nó, ánh xạ khơng giãn dạng ánh xạ không giãn mở rộng ánh xạ giả co chặt, ánh xạ tựa không giãn Đồng thời trình bày số bổ đề dùng cho chương sau phương pháp giải tốn tìm nghiệm chung tốn bất đẳng thức biến phân toán điểm bất động ánh xạ không giãn, làm sở xây dựng thuật toán chương sau Chương THUẬT TOÁN CHIẾU ARMIJO Trong chương này, chúng tơi giới thiệu thuật tốn lặp mới, gọi thuật tốn chiếu-Armijo, để giải tốn tìm điểm chung tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân V I(F, C) tập điểm bất động p ánh xạ giả co chặt Si (i = 1, 2, , p) không gian Rn Sự hội tụ dãy lặp thuật tốn điểm bất động phân tích chứng minh chi tiết với giả thiết ánh xạ giá F giả đơn điệu không cần đơn điệu mạnh ngược Các kết tính tốn áp dụng cho ví dụ minh họa mơ hình cân Walrasian lấy từ ví dụ Mathiesen Các kết lấy từ cơng trình [1] 2.1 Thuật tốn định lý hội tụ Thuật toán 2.1 Bước 0: Chọn điểm ban đầu tham số: p x ∈ C, σ ∈ (0, 1), θ ∈ (0, 1), {λn,i } ⊂ (0, 1), λn,i = 1, τ > 0, i=1 1−L L = max{Li : ≤ i ≤ p} ∈ (0, 1), α = , {βk } ⊂ [a, b] ⊂ (0, 2α) Bước 1: y k = P rC (xk − τ F (xk )) Nếu y k = xk , đặt z k := xk chuyển tới Bước Ngược lại, chuyển tới Bước Bước 2: Tìm số ngun khơng âm nhỏ m cho σ k F ((1 − θm )xk + θm y k ), xk − y k ≥ x − y k , đặt tk = (1 − θm )xk + θm y τ k k k F (t ), x − t v k := xk − F (tk ) z k = P rC (v k ) F (tk ) p k+1 Bước 3: x := P rC k z − βk λk,i Si (z k ) I− i=1 Bổ đề 2.1 Giả sử F liên tục C bước lặp thứ k điểm lặp xk khơng phải nghiệm tốn bất đẳng thức biến phân V I(F, C) hay xk ∈ / Sol(C, F ) Khi (i) Tồn số nguyên dương nhỏ m; (ii) F (tk ), xk − tk > với k ∈ N Bổ đề 2.2 Đặt L = max{Li : ≤ i ≤ p} ∈ [0, 1), {βk } ⊂ [c, d] ⊂ (0, − L), τ > α > với k ≥ and ∩pi=1 F ix(Si ) ∩ Sol(C, F ) = ∅ Nếu tồn k0 cho xk = y k với k ≥ k0 , dãy {xk } xác định Thuật toán 2.1 hội tụ yếu tới x¯ ∈ ∩pi=1 F ix(Si ) ∩ Sol(C, F ) Định lý 2.1 Cho C tập lồi đóng khác rỗng H, Si : C → C Li -giả co chặt với i = 1, · · · , p F : C → H thỏa mãn hạn chế sau: (i) F giả đơn điệu C; (ii) F liên tục C; (iii) ∩pi=1 F ix(Si ) ∩ Sol(C, F ) = ∅ Khi đó, dãy {xk }, {y k } {z k } xác định Thuật toán 2.1 hội tụ yếu tới điểm x∗ , x∗ = lim P r∩pi=1 Fix(Si ,C)∩Sol(C,F ) (xk ) k→∞ 2.2 Các ví dụ tính tốn Để minh họa Thuật toán 2.1, ta xét toán bất đẳng thức biến phân V I(F, C) không gian H := R3 , miền chấp nhận C ánh xạ giá F : C ⊆ R3 → R3 xác định bởi: C = {(x1 , x2 , x3 )T ∈ R3+ : x1 + x2 + x3 = 1, x1 − x2 − x3 ≤ 0, x1 ≥ 0.1, x2 ≥ 0.1}, Chương THUẬT TOÁN ĐẠO HÀM TĂNG CƯỜNG MỞ RỘNG 3.1 Thuật toán đạo hàm tăng cường song song Cho C tập lồi đóng khác rỗng H ánh xạ giá Fi : C → H với i ∈ I := {1, 2, , n} Xét tốn tìm điểm chung tập nghiệm toán V IP (C, Fi ) (i ∈ I) tập điểm bất động ánh xạ tựa khơng giãn S sau: Tìm x∗ ∈ Sol(C, Fi ) ∩ F ix(S), (3.1) i∈I Giả sử S, Fi với i ∈ I, dãy tham số {αn } {βn } thỏa mãn điều kiện sau: (A1 ) Fi giả đơn điệu C; (A2 ) {xn } dãy H hội tụ yếu tới x¯, {Fi (xn )} hội tụ mạnh tới Fi (¯ x); (A3 ) Fi liên tục Lipschitz với số Li > C thỏa mãn < τ < : i∈I ; Li ∞ (A4 ) {αn } ⊂ (0, 1) cho lim αn = 0, n→∞ αn = ∞, {βn } ⊂ [a, b] ⊂ (0, 1); n=1 (A5 ) S tựa không giãn C cho I − S nửa đóng 0; Sol(C, Fi ) ∩ F ix(S) = ∅ (A6 ) Ω := i∈I 12 Bổ đề 3.1 Cho F : H → H giả đơn điệu liên tục Lipschitz với số L > C, τ > Sol(C, F ) = ∅ Cho x ∈ H, đặt U (x) = P rC (x − τ F (x)) T x = {w ∈ H : x − τ F (x) − U (x), w − U (x) ≤ 0} V (x) = P rT x [x − τ F (U (x))] Khi đó, với x∗ ∈ Sol(C, F ), ta có V (x) − x∗ ≤ x − x∗ − (1 − τ L) x − U (x) − (1 − τ L) V (x) − U (x) Hơn nữa, τ L < 1, V (x) − x∗ ≤ x − x∗ Bổ đề 3.2 Với i ∈ I, cho ánh xạ Fi : H → H thỏa mãn giả thiết (A2 ) Chọn τ > đặt U := P rC (I − τ Fi ) Nếu dãy xn thỏa mãn xn x¯ xn − U (xn ) → 0, x¯ ∈ Sol(C, Fi ) = F ix(U ) Thuật toán 3.1 Bước 0: Chọn điểm ban đầu x0 ∈ H Bước 1: Với i ∈ I, tính tốn song song hình chiếu: yin = P rC (xn − τ Fi (xn )), zin = P rTni [xn − τ Fi (yin )], Tni = {w ∈ H : xn − τ Fi (xn ) − yin , w − yin ≤ 0}; Tìm z¯n := argmax{ zin − xn : i ∈ I}, z n = αn x0 + (1 − αn )¯ zn, Bước 2: xn+1 = βn xn + (1 − βn )Sz n Định lý 3.1 Cho C tập lồi đóng khác rỗng H Giả sử điều kiện (A1 ) − (A6 ) thỏa mãn Cho {xn } xác định Thuật toán 3.1 Khi đó, dãy {xn } hội tụ mạnh tới điểm nghiệm P rΩ x0 13 3.2 Thuật toán đạo hàm tăng cường Mann Với i ∈ I := {1, 2, , n}, cho Ci tập lồi đóng khác rỗng H cho ∩i∈I Ci = ∅, ánh xạ giá Fi : H → H Bài toán bất đẳng thức biến phân tương đối xét lần Censor đồng nghiệp có dạng: Tìm x∗ ∈ ∩i∈I Sol(Ci , Fi ), (3.2) đây, với i ∈ I, ký hiệu Sol(Ci , Fi ) tập nghiệm tốn bất đẳng thức biến phân: Tìm xˆ ∈ Ci cho Fi (ˆ x), x − xˆ ≥ với y ∈ Ci Với i ∈ I, tốn tìm điểm chung họ hữu hạn ánh xạ {Si : Ci → Ci }i∈I viết dạng: Tìm x∗ ∈ C cho x∗ ∈ ∩i∈I F ix(Ci , Si ), (3.3) F ix(Ci , Si ) tập điểm bất động ánh xạ Si Ký hiệu Sol(V I) tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân tương đối (3.2) Sol(F ix) := ∩i∈I F ix(Ci , Si ) tập điểm bất động tốn (3.3) Mục đích phần đề xuất thuật tốn để giải tốn tìm nghiệm chung hai toán (3.2) (3.3) Chi tiết, tốn phát biểu dạng: Tìm x∗ ∈ Sol(F ix) ∩ Sol(V I) (3.4) Giả thiết 3.1 Với i ∈ I, ta giả thiết ánh xạ giá Fi ánh xạ Si toán (3.4) thỏa mãn điều kiện sau: (i) Fi giả đơn điệu; (ii) Fi is Li −liên tục Lipschitz H; (iii) Si : Ci → Ci không giãn; 14 (iv) Sol(V I) ∩ Sol(F ix) = ∅ Thuật toán 3.2 Bước khởi tạo: Chọn điểm xuất phát x0 ∈ H cho k = Chọn dãy số dương {λk,i }, {αk,i } {γk,i } với i ∈ I thỏa mãn hạn chế: αk,i ≤ c < 1, a ∈ (0, 1), λk,i ∈ c, 1−a , lim inf γk,i > 0, γk,i ≤ (3.5) k→∞ Li Bước lặp k(k = 0, 1, ): Thực bước sau:       k k k   y := P r  Ci (x − λk,i Fi (x ))  i         Với i ∈ I, tính tốn zik := P rCi (xk − λk,i Fi (yik ))             tki := αk,i xk + (1 − αk,i )Si (zik ),    Ck,i := {x ∈ H : xk − tki , x − xk − γk,i (tki − xk ) ≤ 0}, Qk := ∩i∈I Ck,i ,        Wk := {x ∈ H : x0 − xk , x − xk ≤ 0},       xk+1 := P rQk ∩Wk (x0 ), k := k + Bổ đề 3.3 Cho x, y ∈ H λ ∈ [0, 1] Xây dựng nửa không gian H(x, y) xác định H(x, y) := {z ∈ H : x − y, z − y ≤ 0} (3.6) Khi đó, H(x, y) ⊆ H(x, λx + (1 − λ)y) Bổ đề 3.4 Giả sử giả thiết 3.1 thỏa mãn (không cần thiết đơn điệu) dãy lặp {xk }, {yik }, {zik } xác định Thuật tốn 3.2 Khi đó, với x∗ ∈ Sol(V I) ∩ Sol(F ix) k ∈ N , ta có tki −x∗ ≤ xk −x∗ −(1−αk,i )(1−λk,i Li ) xk −yik −(1−αk,i )(1−λk,i Li ) yik −zik Bổ đề 3.5 Giả sử giả thiết 3.1 thỏa mãn, tập Qk Wk xác định Thuật toán 3.2 Khi đó, ta có Ω := Sol(V I) ∩ Sol(F ix) ⊆ Qk ∩ Wk ∀k ∈ N 15 Bổ đề 3.6 Giả sử giả thiết 3.1 thỏa mãn, dãy {xk }, {yik } {tki } xác định Thuật toán 3.2 Khi đó, tồn giới hạn c := lim xk − x0 < +∞ k→∞ lim xk+1 −xk = lim zik −xk = lim yik −xk = lim tki −xk = ∀i ∈ I k→∞ k→∞ k→∞ k→∞ Định lý 3.2 Giả sử ánh xạ Fi Si , với i ∈ I, thỏa mãn điều kiện sau: (a) Các giả thiết 3.1(ii)-3.1(iv) Fi đơn điệu H; (b) Giả thiết 3.1 Fi (x), y − x liên tục yếu theo biên x với y ∈ C Khi đó, với i ∈ I, dãy {xk }, {yik } {zik } xác định Thuật toán 3.2 hội tụ mạnh tới điểm x∗ ∈ Ω, Ω := Sol(V I) ∩ Sol(F ix) x∗ = P rΩ (x0 ) Ví dụ 3.1 Xét tốn (3.4) với n = 2, H = R Bài toán (3.2) cho C1 := [−1, 1], C2 := −1, , F1 (x) := x2 , F2 (x) := 2x2 + 3, ánh xạ Si (i ∈ I := {1, 2}) toán (3.3) xác định S1 (x) := x, S2 (x) := x − 3 16 Bảng 3.1: Thuật toán 3.2 với điểm xuất phát x0 = sai số = 10−3 Iter k y1k y2k z1k z2k tk1 tk2 xk+1 k=1 0.7500 -0.2500 0.8594 -1.0000 0.8594 -0.6667 0.4444 k=2 0.3951 -0.4043 0.4054 -1.0000 0.4054 -0.7593 0.0432 k=3 0.0427 -0.7077 0.0428 -1.0000 0.0428 -0.8261 -0.2466 k=4 -0.2618 -1.0000 -0.2637 -1.0000 -0.2637 -0.8744 -0.4559 k=5 -0.5078 -1.0000 -0.5203 -1.0000 -0.5203 -0.9093 -0.6070 k=6 -0.6991 -1.0000 -0.7292 -1.0000 -0.7292 -0.9345 -0.7162 k=7 -0.8444 -1.0000 -0.8944 -1.0000 -0.8944 -0.9527 -0.7950 k=8 -0.9530 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -0.9658 -0.8633 k=9 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -0.9772 -0.9089 k = 10 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -0.9848 -0.9393 k = 11 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -0.9899 -0.9595 k = 12 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -0.9933 -0.9730 k = 13 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -0.9955 -0.9820 k = 14 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -0.9970 -0.9880 k = 15 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -0.9980 -0.9920 k = 16 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -0.9987 -0.9947 17 Bảng 3.2: Thuật toán 3.2 với tham số khác chọn dựa điều kiện: a = 13 , c = 16 , < αk,i ≤ < λk,i < 13 , < lim inf γk,i ≤ γk,i ≤ 12 , sai số = 10−3 , x0 = Case λk,i αk,i γk,i Iter No CPU time (s) 0.2500 0.1667 0.3333 16 3.6250 0.2500 0.1429 0.3333 19 8.5313 0.3000 0.1555 0.4556 19 6.0625 0.3000 0.1666 0.5000 18 5.0067 0.3023 0.1666 0.5000 17 5.2308 0.3000 0.0234 0.5000 − 13 3.8906 0.3000 0.0234 0.5000 − 14 3.7188 0.3000 − 0.1555 0.4556 13 3.2188 0.3000 0.4556 13 3.2344 10 0.3000 − 14 3.4688 3k+4 0.1555 − 3k+4 0.1555 − 3k+9 3k+9 0.5000 − (k−1)2 +7 (k−1)2 +3 (k−1)2 +3 18 3.3 Kết luận Chương Một toán xét chương tốn tìm điểm chung tập nghiệm họ hữu hạn toán bất đẳng thức biến phân tập điểm bất đông họ ánh xạ không giãn với miền ràng buộc khác Bằng cách kết hợp kỹ thuật lặp điểm bất động Mann phương pháp đạo hàm tăng cường, chúng tơi đề xuất thuật tốn lặp để giải toán Đầu tiên, ta sử dụng phương pháp đạo hàm tằng cường cho họ hữu hạn toán bất đẳng thức biến phân kỹ thuật lặp Mann áp dụng cho họ hữu hạn ánh xạ không giãn Tiếp theo, điểm lặp khơng điểm chung cần tìm, ta xây dựng nửa khơng gian thích hợp tách điểm lặp khỏi tập nghiệm chung Khi đó, điểm lặp xây dựng hình chiếu điểm lặp ban đầu lên giao nửa không gian chứa tập nghiệm Bằng cách xây dựng này, dãy lặp khơng dừng bước lặp, dãy lặp hội tới nghiệm chung Hơn nữa, điểm lặp chung hình chiếu điểm xuất phát tới tập nghiệm chung Bằng cách chọn tham số phù hợp, hội tụ thuật toán đề xuất đòi hỏi giả thiết giả đơn điệu liên tục Lipschitz ánh xạ giá tính khơng giãn ánh xạ điểm bất động Chương THUẬT TOÁN MỘT PHÉP CHIẾU Cho C tập lồi đóng khác rỗng khơng gian Hilbert thực H, ánh xạ F : C → H họ hữu hạn ánh xạ không giãn Si : C → C(i ∈ I := {1, 2, , n}) Trong mục này, ta xét tốn tìm nghiệm chung tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân V IP (C, F ) tập điểm bất động họ hữu hạn ánh xạ khơng giãn Si (i ∈ I) Cụ thể, Tìm x∗ ∈ F ix(Si ) ∩ Sol(C, F ) (4.1) i∈I 4.1 Thuật toán phép chiếu hội tụ Để giải Bài toán (4.1), ta giả thiết ánh xạ giá F , ánh xạ Si (i ∈ I), dãy tham số {λk }, {δk } {βk,i } thỏa mãn hạn chế sau: (C1 ) Ánh xạ F (x), y − x nửa liên tục yếu theo biến x với y ∈ C; F liên tục, giả đơn điệu C ứng với nghiệm Bài toán (4.1) thỏa mãn tính chất tiền đơn điệu chặt, hay {x ∈ Sol(C, F ), y ∈ C, F (y), x − y = 0} ⇒ y ∈ Sol(C, F ); (C2 ) Các ánh xạ Si không giãn C với i ∈ I; (C3 ) Cho L > λ > < a < b < Các dãy tham số {δk } ⊂ (0, 1), {βk,j } {λk } thỏa mãn ∞ ∞ δk2 < +∞, a < βk,j < b ∀j ∈ I, {λk } ⊂ (λ, L); δk = +∞, k=0 k=0 20 F ix(C, Si ) ∩ Sol(C, F ) = ∅ (C4 ) Tập nghiệm toán 4.1: Ω := i∈I Thuật toán phép chiếu viết chi tiết dạng sau Thuật toán 4.1 (Thuật toán phép chiếu) Bước khởi tạo: Chọn điểm xuất phát x0 ∈ C, dãy tham số {λk } {δk } thỏa mãn điều kiện (C3 ) − (C4 ) Bước lặp k ≥ 1,    Lấy γk = max{λk , F (xk ) }, αk = γδkk       Tính tốn y k = P rC (xk − αk F (xk ))   Với j ∈ I, tính tốn ukj = (1 − βk,j )xk + βk,j Sj y k       Đặt xk+1 = uk , j0 := argmax{ uk − y k : j ∈ I} j0 j Bổ đề 4.1 (Opial) Cho {xk } dãy H cho xk x¯ Khi đó, với y = x¯, bất đẳng thức sau đúng: lim inf xk − x¯ < lim inf xk − y k→∞ k→∞ Bổ đề 4.2 Cho F : C → H giả đơn điệu điều kiện (C2 ) − (C4 ) thỏa mãn Khi đó, (i) Dãy {xk } Thuật toán 4.1 hội tụ tựa Fejér tới tập nghiệm chung Ω Hơn nữa, xk+1 − x∗ ≤ xk − x∗ + 2βk,j0 δk2 ∀x∗ ∈ Ω (ii) Với x∗ ∈ Ω, lim sup F (xk ), x∗ − xk = k→∞ Định lý 4.1 Cho C tập lồi đóng khác rỗng H Giả sử điều kiện (C1 ) − (C4 ) thỏa mãn Khi đó, dãy lặp {xk } {y k } Thuật toán 4.1 hội tụ yếu tới điểm chung x∗ ∈ Ω 21 4.2 Ví dụ minh họa tính tốn Ví dụ 4.1 Xét H := R2 , F (x) = M x + q với ma trận M xác định bởi: M = AAT + B + D, A ma trận cấp × 2, B ma trận phản đối xứng cấp × 2, D ma trận đường chéo cấp × q véc tơ R2 Tập chấp nhận C ánh xạ không giãn Si (i ∈ I = {1, 2}) xác định C = {x ∈ R2 : −1 ≤ x1 ≤ 1, −1 ≤ x2 ≤ 2, x1 + 2x2 ≤ 2}, S1 x = x1 − , x2 , S2 x = (x1 , − cos(x2 + 1)) 3 Bảng 4.1: Kết Thuật toán 4.1 với sai số điểm khởi tạo khác = 10−3 , x0 = (0, 0) = 10−2 , x0 = (0.5, −0.5) Bài toán Bước lặp (k) CPU times/s Bài toán Bước lặp (k) CPU times/s 1a 99 7.1406 1b 13 1.2969 2a 83 5.4531 2b 15 0.9219 3a 217 15.5938 3b 12 0.7813 4a 261 18.1875 4b 11 0.7344 5a 95 6.3906 5b 0.8438 6a 162 11.2031 6b 12 0.7500 7a 128 8.6875 7b 14 0.9219 8a 126 8.3125 8b 12 0.7813 Từ kết qủa tính tốn trên, ta có nhận xét sau: (a) Như phương pháp khác để giải toán bất đẳng thức biến phân phương pháp điểm gần kề, phương pháp đạo hàm tăng cường, 22 Bảng 4.2: Thuật toán 4.1 với tham số khác nhau, x0 = (0, −0.5) sai số = 10−3 Bài toán λk δk βk,j 2k+1 123 − 2k+5 21 + 2k+5 150 + 2k+1 150 + 2k+1 250 + 2k+1 250 + k21+1 300 + k21+1 350 + k21+1 k+1 3k+1 3k+1 5k+3 k+3 k+3 k+3 k+1 4k+1 0.9 − 123 + 0.7 − 0.7 − 0.8 − 0.8 − 0.8 − 0.8 − 0.8 − 0.9 − 2(k+1) 2k+3 2k+3 2k+7 k+7 k+7 k +7 k +2 5k+6 Số bước lặp CPU-Times/sec 170 14.4531 32 2.3281 286 22.2500 27 2.3281 36 2.5469 22 1.4375 20 1.2656 29 1.9063 16 2.0313 phương pháp hàm khoảng cách, tốc độ tính tốn thuật tốn 4.1 phụ thuộc nhiều vào điểm khởi tạo x0 ; (b) Sự hội tụ thuật toán nhạy với tham số δk , βk,j λk 4.3 Kết luận Chương Trong chương này, xét toán tìm điểm chung tập nghiệm tốn bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động họ hữu hạn ánh xạ không giãn không gian Hilbert thực H, đề xuất thuật toán (được gọi thuật toán phép chiếu) Ý tưởng thuật toán viết dựa phương pháp chiếu kỹ thuật tính toán song song Thuật toán chiếu đơn giản, bước lặp k, thuật tốn đòi hỏi tính tốn phép chiếu hội tụ dãy lặp đòi hỏi giả thiết giả đơn điệu không cần liên tục Lipschitz ánh xạ giá Cuối chương trình bày kết tính tốn minh họa hội thuật toán phép chiếu KẾT LUẬN Luận án đạt kết sau: Ánh xạ giả co chặt dạng ánh xạ khơng giãn mở rộng Chúng tơi xét tốn tìm điểm chung tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân V I(C, F ) họ hữu hạn ánh xạ giả co chặt không gian Rn Điểm thuật toán giải tốn tìm điểm chung là, cách chọn tham số qui phù hợp, hội tụ dãy lặp thuật toán đề xuất chứng minh giả thiết giả đơn điệu ánh xạ F Khi đó, điểm tụ dãy lặp giới hạn hình chiếu điểm lặp dãy lên tập nghiệm nghiệm chung Nghiên cứu mở rộng thuật toán đạo hàm tăng cường áp dụng cho tốn bất đẳng thức biến phân, chúng tơi đề xuất hai thuật toán cho toán bất đẳng thức toán điểm bất động khơng gian Hilbert thực H Thuật tốn thứ xây dựng dựa phương pháp đạo hàm tăng cường kết hợp với kỹ thuật tính tốn song song để giải tốn tìm điểm chung tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động ánh xạ tựa không giãn, gọi thuật toán đạo hàm tăng cường song song Thuật toán thứ hai, áp dụng giải tốn tìm điểm chung tập nghiệm hệ hữu hạn toán toán bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung hệ hữu hạn ánh xạ không giãn với miền ràng buộc khác nhau, gọi thuật toán đạo hàm tăng cường xấp xỉ Mann Bằng cách chọn tham số qui phù hợp, tính chất hội tụ mạnh dãy lặp đề xuất tới nghiệm chung phân tích chứng minh khơng gian Hilbert thực H Nghiên cứu đề xuất thuật tốn phép chiếu để giải tốn tìm điểm chung tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân 24 V I(C, F ) tập điểm bất động họ hữu hạn ánh xạ không giãn Si (i ∈ I) không gian Hilbert thực H Chúng đề xuất thuật toán lặp Tại bước lặp k, thuật toán đòi hỏi tính tốn phép chiếu điểm lên tập chấp nhận Vì vậy, so sánh với thuật toán nay, thuật toán phép chiếu đơn giản hữu hiệu thực tính tốn máy tính với miền chấp nhận C có cấu trúc quen thuộc hình cầu, hình hộp, chí đa diện với phân mềm Matlab Hơn nữa, điều kiện tham số, hội tụ yếu dãy lặp đòi hỏi giả thiết giả đơn điệu không cần liên tục Lipschitz ánh xạ giá Cuối chương trình bày kết tính tốn minh họa hội thuật tốn phép chiếu Xây dựng số phần mềm mô thuật tốn với ví dụ cụ thể để minh họa kết luận án Hướng nghiên cứu tiếp theo: a Mở rộng thuật toán luận án để nghiên cứu giải toán tìm điểm bất động chung tập nghiệm toán cân tập điểm bất động ánh xạ không giãn b Nghiên cứu sai số đánh giá tốc độ hội thuật toán luận án cần thiết đề xuất c Các thuật toán đạo hàm tăng cường mở rộng cần hai phép chiếu chứng minh hội tụ yếu dãy lặp giả thiết đơn điệu liên tục Lipschitz ánh xạ giá Vẫn giả thiết này, với phép chiếu để giải tốn tìm nghiệm chung bất đẳng thức biến toán điểm bất động nghiên cứu mở rộng ... Chương BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VÀ ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN Một số kiến thức toán bất đẳng thức biến phân, tốn điểm bất động ánh xạ khơng giãn ánh xạ giả co chặt, số phương pháp tìm điểm chung tập nghiệm. .. 0, ánh xạ S gọi ánh xạ tựa không giãn C Như vậy, ánh xạ giả co chặt ánh xạ tựa không giãn C dạng mở rộng ánh xạ không giãn 1.4 Một số phương pháp lặp cho toán bất đẳng thức biến phân ánh xạ không. .. giải tốn tìm điểm chung tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động ánh xạ không giãn nói riêng ánh xạ nói chung không gian Hilbert H, xấp xỉ qua phương pháp giải không giãn hữu