TÍNH ổn ĐỊNH của hệ PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG học NGẪU NHIÊN TRÊN THANG THỜI GIAN TT

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ ANH TUẤN TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG HỌC NGẪU NHIÊN TRÊN THANG THỜI GIAN Chuyên ngành : Lý thuyết Xác suất Thống kê Tốn học Mã số: 62.46.01.06 DỰ THẢO TĨM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI – 2017 Cơng trình hồn thành tại: Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội Người hướng dẫn khoa học: GS.TS NGUYỄN HỮU DƯ Phản biện 1: Phản biện 2: Phản biện 3: Luận án bảo vệ trước Hội đồng cấp Đại học Quốc gia chấm luận án tiến sĩ họp : vào hồi ngày tháng năm 20 Có thể tìm hiểu luận án tại: - Thư viện Quốc gia Việt Nam - Trung tâm Thông tin - Thư viện, Đại học Quốc gia Hà Nội Tóm tắt Lý thuyết giải tích thang thời gian đưa lần năm 1988 S Hilger (xem [29]) nhằm thống kết cho giải tích thời gian liên tục thời gian rời rạc, đồng thời xây dựng mơ hình tốn học cho hệ thống tiến triển không theo thời gian, phản ánh mơ hình thực tế Từ đời, lý thuyết nhận ý nhiều nhóm nghiên cứu có hàng ngàn cơng trình nghiên cứu liên quan đến giải tích thang thời gian Một toán quan trọng giải tích thang thời gian nghiên cứu tính chất định tính định lượng phương trình động lực toán tồn nghiệm, phương pháp giải số nghiệm toán ổn định Tuy nhiên, nay, kết nghiên cứu giải tích thang thời gian tập trung chủ yếu giải tích tất định, tức phương trình động lực khơng có tham gia yếu tố ngẫu nhiên Vì kết mô tả mơ hình phát triển điều kiện mơi trường khơng bị nhiễu nhiễu Hiển nhiên, mơ khơng thực tế ta phải tính đến yếu tố ngẫu nhiên tác động vào môi trường Do đó, việc chuyển kết giải tích mơ hình tất định thang thời gian sang mơ hình ngẫu nhiên thang thời gian nhu cầu cấp thiết Theo biết, gần chưa có kết đáng kể nghiên cứu giải tích ngẫu nhiên thang thời gian, đặc biệt kết liên quan đến lý thuyết ổn định phương trình động lực phương trình động lực có trễ Các kết ban đầu thang thời gian giải tích ngẫu nhiên thang thời gian đề cập [15, 16, 46, 47, 49, 68, ] Với lý nên trên, chọn đề tài nghiên cứu cho luận án “Tính ổn định hệ phương trình động học ngẫu nhiên thang thời gian” Trong luận án chúng tơi đề cập đến vấn đề sau: • Nghiên cứu tính tồn nghiệm phương trình động lực có trễ thang thời gian theo đạo hàm ∇: đưa khái niệm phương trình ∇-động lực ngẫu nhiên có trễ, nghiệm phương trình, phát biểu chứng minh định lý tồn nghiệm phương trình động lực ngẫu nhiên có trễ thang thời gian Chúng tơi đưa ước lượng moment ước lượng nghiệm phương trình động lực ngẫu nhiên phương trình động lực ngẫu nhiên có trễ thang thời gian • Nghiên cứu tính ổn định nghiệm phương trình động lực ngẫu nhiên phương trình động lực ngẫu nhiên có trễ thang thời gian phương pháp hàm Lyapunov Nếu giải tích ngẫu nhiên với thời gian liên tục chủ đề khó địi hỏi nhiều kiến thức sở liên quan đến lý thuyết trình Markov, lý thuyết martingle nghiên cứu hệ động lực ngẫu nhiên thang thời gian khó nhiều cấu trúc mơt thang thời gian đa dạng Điều khiến cho tính tốn phức tạp chúng cần số cải tiến Bên cạnh đó, số ước lượng tính tốn ngẫu nhiên cho thời gian liên tục khơng tự động thang thời gian tùy ý đòi hỏi phải có kỹ thuật phù hợp để nhận kết tương tự Chương Kiến thức chuẩn bị Ở phần đầu chương này, giới thiệu khái niệm lý thuyết thang thời gian Định nghĩa ∇−đạo hàm ∇−tích phân hàm xác định thang thời gian Những kết cho ∆-đạo hàm ∆-tích phân không giới thiệu luận án này, ta tìm thấy nhiều sách, ví dụ [6, ] Ở phần cuối chương này, chúng tơi giới thiệu lý thuyết giải tích ngẫu nhiên thang thời gian, khái niệm dựa khái niệm giải tích ngẫu nhiên thông thường mà ta biết Cụ thể chúng tơi giới thiệu khái niệm q trình ngẫu nhiên thang thời gian: q trình khả đốn, martingale, semimartingale, thời điểm dừng, khai triển Doob-Meyer; ∇−tích phân ngẫu nhiên thang thời gian; công thức Itô ứng dụng công thức Itô để phát biểu tốn martingale; đặc biệt đưa cơng thức hàm Lyapunov: LV (t, x) = V ∇t (t, x) + AV (t, x) d =V ∇t (t, x) + i=1 + i,j ∂V (t, x) (1 − 1I (t))fi (t) + V (t, x + f (t)ν(t)) − V (t, x) Φ(t) ∂xi ∂ V (t, x) gi (t)gj (t)Ktc − ∂xi xj d i=1 ∂V (t, x) gi (t) ∂xi uΥ(t, du) R (V t, x + f (t)ν(t) + g(t)u − V (t, x + f (t)ν(t)))Υ(t, du), , + R  0 với f = (f1 , f2 , · · · , fd ); g = (g1 , g2 , · · · , gd ) Φ(t) =  ν(t) t trù mật trái t rời rạc trái Các kiến thức dùng để làm sở cho chương sau (1.1) Chương ∇-Phương trình động lực ngẫu nhiên Gần đây, công thức để thống phương trình chuyển động trường hợp liên tục rời rạc thang thời gian nhận nhiều quan tâm Đó phương trình động lực thang thời gian Đối với trường hợp tất định, [12], tác giả sử dụng hàm Lyapunov dạng bậc hai để nghiên cứu ổn định phương trình động lực tuyến tính; J Hoffacker C.C Tisdell kiểm tra tính ổn định tính khơng ổn định điểm cân phương trình động lực phi tuyến tính [30] Trong ổn định phương trình tất định thang thời gian nghiên cứu từ lâu, theo chúng tơi biết, khơng có nhiều giảng cho trường hợp ngẫu nhiên chưa có cơng trình giải vấn đề ổn định phương trình động lực ngẫu nhiên thang thời gian Mục đích chương chúng tơi dùng hàm Lyapunov để xét tồn nghiệm; tính hữu hạn ước lượng moment ước lượng nghiệm dùng hàm Lyapunonv để xét điều kiện cần đủ cho tính p-ổn định mũ phương trình ∇-động lực ngẫu nhiên thang thời gian T  d∇ X(t) = f (t, X(t ))d∇ t + g(t, X(t ))d∇ M (t) − − X(a) = xa ∈ Rd , t ∈ Ta , (2.1) với M ∈ M2 xa biến ngẫu nhiên nhận giá trị Rd , Fa − phù hợp, E xa < ∞ Trong f : Ta × Rd → Rd g : Ta × Rd → Rd hai hàm Borel Và t M t Kτ ∇τ, = (2.2) a Kt q trình bị chặn Ft − phù hợp, tức tồn số N cho P{ sup |Kt | a t T N } = (2.3) Sau đó, chúng tơi xét ổn định ngẫu nhiên ổn định mũ hầu chắn ∇phương trình động lực ngẫu nhiên (2.1) Cơng việc xem thống khái qt hố cơng việc liên quan đến phương trình sai phân phương trình vi phân 2.1 Sự tồn nghiệm tính hữu hạn moment phương trình động lực ngẫu nhiên 2.1.1 Nghiệm phương trình động lực ngẫu nhiên Định nghĩa 2.1.1 ([16]) Một trình ngẫu nhiên {X(t)}t∈[a,T ] nhận giá trị Rd − gọi nghiệm phương trình (2.1) (i) {X(t)} trình Ft − phù hợp; (ii) f (·, X(·− )) ∈ L1 ((a, T ]; Rd ) g(·, X(·− )) ∈ L2 ((a, T ]; M ); (ii) Phương trình t X(t) = xa + t g(τ, X(τ− ))∇Mτ , ∀ t ∈ [a, T ], f (τ, X(τ− ))∇τ + a (2.4) a thỏa mãn với xác suất Phương trình (2.1) gọi có nghiệm [a, T ] X(t) X(t) hai trình thỏa mãn (2.4) P {X(t) = X(t) ∀ t ∈ [a, T ]} = Ta có t a g(τ, X(τ− ))∇Mτ Ft −martingale nên có cadlag Vì vậy, X(t) thỏa mãn (2.4) X(t) cadlag Hơn nữa, Mt rd− liên tục, X(t) rd− liên tục 2.1.2 Sự tồn nghiệm Định lý 2.1.2 ([16]) Giả sử tồn hai số dương K G cho (i) (Điều kiện Lipschitz) với x, y ∈ Rd t ∈ [a, T ] f (t, x) − f (t, y) ∨ g(t, x) − g(t, y) K x − y 2; (2.5) (ii) (Điều kiện tăng tuyến tính) với (t, x) ∈ [a, T ] × Rd f (t, x) ∨ g(t, x) G(1 + x ) (2.6) Khi đó, phương trình (2.1)có nghiệm X(t) nghiệm semimartingale bình phương khả tích 2.2 Tính Markov nghiệm Giả sử martingale Mt trình Markov, nhận giá trị R, với hàm xác suất chuyển P (s, x, t, A) Với tất giả thiết mục 2.1 giữ nguyên Bổ đề 2.2.1 ([16]) Giả sử Mt trình Ft −Markov, V (x, ω) hàm vô hướng x, bị chặn, đo được, độc lập có điều kiện với Fs Ms biết Với ζ biến ngẫu nhiên Fs -đo Khi E(V (ζ, ω)|Fs ) = V (ζ), (2.7) V (x) = E(V (x, ω)|Ms ) Định lý 2.2.2 ([16]) Giả sử X(t) = X(t, a, xa ) nghiệm phương trình động lực ngẫu nhiên (2.1) với điều kiện ban đầu X(a) = xa Khi đó, (X(t), Mt ) trình Ft −Markov 2.3 Điều kiện Lipschitz địa phương tồn nghiệm phương trình động lực ngẫu nhiên Định lý 2.3.1 ([17]) Giả sử với k > T > a, có số LT,k > cho f (t, x) − f (t, y) ∨ g(t, x) − g(t, y) với ∀ x, y ∈ Rd thỏa mãn x ∨ y LT,k x − y , (2.8) k t ∈ [a, T ] Hơn nữa, tồn số dương c = c(T ); b = b(T ) hàm không âm V ∈ C 1,2 ([a, T ] × Rd ; R+ ) thỏa mãn V ∇t (t, x) + AV (t, x) lim cV (t− , x) + b, ∀ (t, x) ∈ [a, T ] × Rd , (2.9) inf V (t, x) = ∞ Khi đó, phương trình (2.1) có nghiệm Xa,xa (t) x →∞ t∈[a,T ] xác định Ta Đặc biệt, tồn số dương c1 = c1 (T ) cho c1 x p E Xa,xa (t) p V (t, x), (t, x) ∈ [a, T ] × Rd , b (V (a, xa ) + )ec (t, a), c1 c t ∈ [a, T ] (2.10) Hệ 2.3.2 Giả sử điều kiện (2.2); (2.3) (2.8) xảy điều kiện tăng tuyến tính f (t, x) ∨ g(t, x) G(1 + x ) ∀ (t, x) ∈ [a, T ] × Rd , R |u|Υ(t, du) thỏa mãn Hơn nữa, ta giả sử (2.11) m1 h.c.c., với m1 số Thì, phương trình (2.1) có nghiệm Xa,xa (t) xác định Ta thỏa mãn E Xa,xa (t) (1 + xa )ec (t, a), c số 2.4 Tính hữu hạn moment Định lý 2.4.1 Giả sử điều kiện tăng tuyến tính (2.11) điều kiện (2.2), (2.3) thỏa mãn Hơn nữa, có hai số m1 , mp cho |u|Υ(t, du) |u|p Υ(t, du) m1 , R mp , ∀ t ∈ [a, T ] (2.12) R h.c.c Khi đó, nghiệm Xa,xa (t) phương trình (2.1) xuất phát từ xa thỏa mãn ước lượng E Xa,xa (t) p ( xa p + 1)eH (t, a), a t T (2.13) với H số 2.5 p - ổn định mũ phương trình động lực ngẫu nhiên Xuyên suốt chương giả sử phương trình (2.1) có nghiệm xác định Ta Cho trình Kt bị chặn Ta , tức là, có số N thỏa a; xs ∈ Rd , nghiệm mãn (2.3) không phụ thuộc vào T > a Giả sử với s Xs,xs (t) phương trình (2.1) với điều kiện ban đầu Xs,xs , (s) = xs xác định Ts tồn Hơn nữa, f (t, 0) ≡ 0; g(t, 0) ≡ (2.14) Khi phương trình (2.1) có nghiệm ban đầu Xs,0 (t) ≡ Định nghĩa 2.5.1 Nghiệm ban đầu phương trình (2.1) gọi p-ổn định mũ có số dương α cho với s > a, ∃ Γ = Γ(s) > 1, đẳng thức E Xs,xs (t) p Γ xs p e với xs ∈ Rd α (t, s) t s, (2.15) Nếu lựa chọn Γ khơng phụ thuộc vào s, nghiệm ban đầu phương trình (2.1) gọi p-ổn định mũ 2.5.1 Điều kiện đủ Định lý 2.5.2 Giả sử tồn hàm V (t, x) ∈ C 1,2 (Ta × Rd ; R+ ), số dương α1 , α2 , α3 cho α1 x p V (t, x) α2 x p , (2.16) V ∇t (t, x) + AV (t, x) ∀ (t, x) ∈ Ta × Rd , −α3 V (t− , x), (2.17) tốn tử vi phân A định nghĩa (1.1) Khi đó, nghiệm ban đầu x ≡ phương trình (2.1) p-ổn định mũ 2.5.2 Điều kiện cần Bây chúng tơi xét tốn ngược cách nghiệm ban đầu phương trình (2.1) p-ổn định mũ tồn hàm Lyapunov thỏa mãn (2.17) Đầu tiên, nghiên cứu tính khả vi nghiệm ứng với điều kiện ban đầu tính liên tục hệ số Bổ đề 2.5.3 (Bất đẳng thức Burkholder thang thời gian) Nếu {Mt }t∈Ta Ft martingale với E|Mt |p < ∞ ∀ p Ma = tồn số dương Bp cho E sup |Ms |p Bp E M a s t p t |∇∗ Ms |p , +E a s t ∇∗ Ms = Ms − Ms− Định lý 2.5.4 Cho p 2, M ∈ M2 cho điều kiện (2.2), (2.3) (2.12) thỏa mãn cho g ∈ L2 ((a, T ]; M ) với t E|g(τ )|p ∇τ < ∞ ∀ t ∈ Ta a Thì, t E sup a t T Cp = Bp {(T − a) p −1 T p g(τ )∇Mτ E|g(τ )|p ∇τ, Cp a a p N + mp } thỏa mãn điều kiện thông thường (tức là, {Ft }t∈Tt0 tăng liên tục phải với Ft0 chứa tất tập có xác suất 0) Kí hiệu M2 tập tất martingale bình phương khả tích xác định (Ω, F, {Ft }t∈Tt0 , P) Mr2 không gian không gian M2 bao gồm tất martingale với đặc trưng liên tục Xuyên suốt luận văn này, Chúng ta đặt M = {Mt }t M t t0 ∈ M2 với đặc trưng M t (xem [15]) Giả sử tuyệt đối liên tục ứng với độ đo Lebesgue µ∇ , tức là, tồn trình đo lũy tiến Ft -phù hợp Kt cho t M Kτ ∇τ = t (3.1) t0 Hơn nữa, với T ∈ Tt0 , có số N (có thể phụ thuộc vào T ) cho P{ sup |Kt | N } = (3.2) t0 t T d loc d Kí hiệu Lloc (Tt0 ; R ) (tương ứng, L2 (Tt0 ; R , M )) tập tất hàm nhận giá T t0 trị Rd , Ft -phù hợp cho f (t)∇t < ∞, (tương ứng, E T t0 h2 (t)∇ M t < ∞) d ∀ T ∈ Tt0 với Lloc (Tt0 ; R , M ) ta định nghĩa tích phân ngẫu nhiên t f (s)∇Ms t0 (xem chi tiết [15]) Ta xét ∇-phương trình động lực ngẫu nhiên có trễ thang thời gian  d∇ X(t) = f (t, X(t ), X(r(t)))d∇ t + g(t, X(t ), X(r(t)))d∇ M − − t X(s) = ξ(s) ∀ s ∈ Γt , t ∈ Tt , (3.3) f : T × Rd × Rd → Rd ; g : T × Rd × Rd → Rd hai hàm Borel biến ngẫu nhiên Ft0 -phù hợp ξ = {ξ(s) : s ∈ Γt0 } thuộc C(Γt0 ; Rd ), với E ξ t0 < +∞ Ta kí hiệu Ts tập Γs ∪ Ts với s ∈ T 3.1.2 Nghiệm phương trình động lực ngẫu nhiên có trễ Định nghĩa 3.1.1 Quá trình ngẫu nhiên (X(t))t∈Tt , nhận giá trị Rd , gọi nghiệm phương trình (3.3) (i) {X(t)} Ft -phù hợp; d (ii) f (·, X(·− ), X(r(·))) ∈ Lloc (Tt0 ; R ); d (iii) g(·, X(·− ), X(r(·))) ∈ Lloc (Tt0 ; R , M ); 17 (iv) X(t) = ξ(t) ∀ t ∈ Γt0 với t ∈ Tt0 phương trình t f (s, X(s− ), X(r(s)))∇s X(t) = ξ(t0 ) + t0 t g(s, X(s− ), X(r(s)))∇Ms , ∀ t ∈ Tt0 (3.4) + t0 thỏa mãn với xác suất Phương trình (3.3) có nghiệm X(t) X(t) cho X(t) = X(t) với t ∈ Γt0 hai trình thỏa mãn (3.4) P {X(t) = X(t) ∀ t ∈ Tt0 } = Ta thấy t t0 g(s, X(s− ), X(r(s)))∇Ms Ft -martingale có cadlag Hơn nữa, X(t) thỏa mãn (3.4) X(t) cadlag Trong trường hợp riêng, Mt rd-liên tục, X(t) rd-liên tục Bây ta đưa điều kiện đảm bảo cho tồn tính nghiệm phương trình (3.3) Đầu tiên, Ta xét trường hợp hệ số phương trình thỏa mãn điều kiện Lipschitz điều kiện tăng tuyến tính 3.1.3 Sự tồn tính nghiệm Định lý 3.1.2 Giả sử T ∈ Tt0 , tồn hai số dương κ = κ(T ) and κ = κ(T ) cho (i) (điều kiện Lipschitz) với xi , yi ∈ Rd , i = 1, 2, t ∈ [t0 , T ] f (t, x1 , y1 ) − f (t, x2 , y2 ) ∨ g(t, x1 , y1 ) − g(t, x2 , y2 ) κ( x2 − x1 + y2 − y1 ) (3.5) (ii) (điều kiện tăng tuyến tính) với (t, x, y) ∈ [t0 , T ] × Rd × Rd f (t, x, y) ∨ g(t, x, y) κ(1 + x + y ) (3.6) Khi đó, tồn nghiệm X(t) phương trình (3.3) nghiệm semimartingale bình phương khả tích 3.1.4 Tốc độ hội tụ Định lý 3.1.3 Giả sử định lý 3.1.2 thỏa mãn Cho X(t) nghiệm phương trình (3.3) Xn (t) dãy xấp xỉ Picard định nghĩa bởi: 18 Xn (t) = ξ(t) ∀ t ∈ Γt0 ; t f s, Xn−1 (s− ), Xn−1 (r(s)) ∇s Xn (t) = ξ(t0 ) + t0 t g s, Xn−1 (s− ), Xn−1 (r(s)) ∇Ms , t + t0 (3.7) t0 với n = 1, 2, Khi đó, E sup Xn (t) − X(t) n 2Ce2P (T, t0 )P hn (T, t0 ), t0 t T 1, C = 2κ (T − t0 )2 + 4N (T − t0 ) (1 + 2E ξ với n t0 ); P (3.8) = 4κ(T − t0 + 4N ) 3.1.5 Điều kiện Lipschitz địa phương cho tồn nghiệm phương trình động lực ngẫu nhiên có trễ a Hàm Lyapunov Cho C 1,2 ([a, b] × Rd ; R) tập tất hàm V (t, x) xác định [a, b] × Rd , khả vi liên tục lần theo t hai lần theo x Với V ∈ C 1,2 (Tt0 × Rd ; R), định nghĩa LV (t, x, y) = V ∇t (t, x) d + i=1 + ∂V (t, x) (1 − 1I (t))fi (t, x, y) + V (t, x + f (t, x, y)ν(t)) − V (t, x) Φ(t) ∂xi i,j ∂ V (t, x) gi (t, x, y)gj (t, x, y)Ktc − ∂xi xj d i=1 ∂V (t, x) gi (t, x, y) ∂xi uΥ(t, du) R (V t, x + f (t, x, y)ν(t) + g(t, x, y)u − V (t, x + f (t, x, y)ν(t)))Υ(t, du), (3.9) + R V ∇t ∇-đạo hàm riêng theo t V (t, x)  0 if t left-dense Φ(t) =  if t left-scattered ν(t) Xét t Ht = V (t, X(t)) − V (t0 , X(t0 )) − LV (s, X(s− ), X(r(s)))∇s (3.10) t0 Dùng công thức Itô ([16, Định lý 1, trang 322]) ta có (Ht , Ft )t∈Tt0 martingale địa phương khả tích 19 b Điều kiện Lipschitz địa phương Định lý 3.1.4 Giả sử với k > T ∈ Tt0 tồn số LT,k > cho f (t, x1 , y1 ) − f (t, x2 , y2 ) ∨ g(t, x1 , y1 ) − g(t, x2 , y2 ) LT,k ( x2 − x1 ∀ xi , yi ∈ Rd , i = 1, 2, với xi ∨ yi + y2 − y1 ), (3.11) k t ∈ Tt0 Giả sử nữa, có hai số dương λ1 , λ2 hàm V ∈ C 1,2 ([bt0 , T ] × Rd ; R+ ) thỏa mãn LV (t, x, y) lim λ1 V (t− , x) + λ2 V (r(t), y), (3.12) inf V (t, x) = ∞ Khi đó, phương trình (3.3) có nghiệm X(t) xác x →∞ t∈[t0 ,T ] định Tt0 p-ổn định mũ phương trình động lực ngẫu nhiên có trễ 3.2 3.2.1 Định nghĩa Giả sử với s > t0 ξ ∈ C(Γs ; Rd ), tồn nghiệm X(t, s, ξ), t ∈ Ts phương trình (3.3) thỏa mãn X(t, s, ξ) = ξ(t) với t ∈ Γs Hơn nữa, f (t, 0, 0) ≡ 0; g(t, 0, 0) ≡ 0, ∀ t ∈ Tt0 (3.13) Từ điều kiện (3.13), phương trình (3.3) có nghiệm ban đầu X(t, s, 0) ≡ Định nghĩa 3.2.1 Nghiệm ban đầu X(t, s, 0) ≡ phương trình (3.3) nói p-ổn định mũ có số dương α cho với s > t0 , tồn βs > đẳng thức E X(t, s, ξ) p βs e α (t, s) on t s, (3.14) thỏa mãn với ξ ∈ C(Γs ; Rd ) Nếu lựa chọn βs độc lập với s, nghiệm ban đầu phương trình (3.3) nói p-ổn định mũ Khi p = 2, nói ổn định mũ bình phương trung bình 20 3.2.2 Điều kiện đủ cho p-ổn định mũ Định lý 3.2.2 Cho α1 , α2 , p, c1 , c2 số dương với α1 > α2 Giả sử tồn hàm xác định dương V ∈ C 1,2 (T × Rd ; R+ ) cho c1 x p V (t, x) c2 x p ∀(t, x) ∈ T × Rd , (3.15) với (t, x, y) ∈ Tt0 × Rd × Rd LV (t, x, y) − α1 α2 e α1 (t− , r(t)) V (t− , x) + V (r(t), y) + α1 ν(t) + α2 ν(t) (3.16) Thì, phương trình (3.3) p-ổn định mũ 3.2.3 Ví dụ Bây xét trường hợp đặc biệt Cho P ma trận xác định dương V (t, x) = x P x, x véc tơ chuyển vị véc tơ x Bởi (3.9) tính tốn ta có LV (t, x, y) = x P f (t, x, y) + f (t, x, y) P x + f (t, x, y) P f (t, x, y)ν(t) + g(t, x, y) P g(t, x, y)Kt (3.17) Ví dụ 3.2.3 Cho T thang thời gian chứa r(t) hàm trễ Xét phương trình động lực ngẫu nhiên có trễ thang thời gian T  d∇ X(t) = AX(t )d∇ t + BX(r(t))d∇ W (t) − X(s) = ξ(s) ∀ s ∈ Γ0 , t ∈ T0 , (3.18) A B ma trận cấp d × d W (t) chuyển động Brownian chiều xác định [26] Ta có từ [27, Định lý 2.1, trang 1678] Kt = Xét V (t, x) = x , (3.17) ta có LV (t, x, y) = x (A + A + A Aν(t))x + y B BKt y (3.19) Giả sử hoành phổ ma trận A + A + A Aν(t) bị chặn số âm −α1 Từ phương trình (3.19) ta có LV (t, x, y) −α1 x + B y Dễ thấy e−α1 (t−s) e α1 (t, s) 21 ∀ t ∈ Ts , (3.20) (xem chi tiết [47]) Giả sử tồn số dương α2 cho α2 < α1 B eτ∗ α1 α2 1+ν ∗ α2 Với giả sử (3.20) ta có LV (t, x, y) − α1 x + α1 ν(t) + α2 e α1 (t− , r(t)) y + α2 ν(t) Vì vậy, giả sử định lý 3.3.2 thỏa mãn với p = 2, tức nghiệm ban đầu phương trình (3.18) ổn định mũ bình phương trung bình Ví dụ 3.2.4 Cho T thang thời gian xác định ∞ T = P ,1 = k=1 5k 5k + , 4 Giả sử r(t) hàm trễ thỏa mãn τ∗ = supt∈T (t − r(t)) = 14 Xét phương trình động lực ngẫu nhiên có trễ thang thời gian T  d∇ X(t) = AX(t ) + X(r(t)) d∇ t + BX(t )d∇ W (t), t − − X(s) = ξ(s) ∀ s ∈ Γt , t0 (3.21) W (t) chuyển động Brownian Ví dụ 3.2.3 A, B ma trận cấp × xác định     11 − 53 23 − 18     18         2 1 − A= ; B = −2 − −   3 18          25 −3 −3 18 − 18 36 Với hàm Lyapunov V (t, x) = x , (3.17) ta có LV (t, x, y) = x 2A + A Aν(t) + B BKt x + x (I + A ν(t))y + y y Trong trường hợp Kt = Vì vậy,     H := 2A + A Aν∗ + B BKt =     Hơn nữa, I + Aν∗ = LV (t, x, y) 17 36 − 73 36 17 36 − 91 36 19 72 − 53 72 19 72      − 53 72    379 − 144 hoành phổ ma trận H η(H) = − 27 16 Vì vậy, x Hx + I + A ν∗ − 27 x 16 y + + y x y + 22 y − 143 x 144 + y (3.22) Đặt α1 := 143 144 , α2 := α1 , α2 thỏa mãn 21 eα1 τ∗ < α2 1+ν∗ α2 Từ ước lượng từ (3.22), ta có α2 e−α1 τ∗ y + ν∗ α α1 α2 e α1 (t− , r(t)) − x 2+ y + α1 ν(t) + α2 ν(t) LV (t, x, y) −α1 x + Theo định lý 3.3.2 nghiệm ban đầu phương trình (3.21) ổn định mũ bình phương trung bình 3.3 Ổn định mũ hầu chắn phương trình động lực có trễ Định nghĩa 3.3.1 Nghiệm ban đầu X(t) ≡ phương trình (3.3) nói ổn định mũ hầu chắn với s ∈ Tt0 đẳng thức lim sup t→∞ log X(t, s, ξ) < h.c.c t (3.23) với ξ ∈ C(Γs ; Rd ) Định lý 3.3.2 Cho α1 , α2 , p, c1 số dương với α1 > α2 Giả sử α số dương thỏa mãn α 1+αν(t) < α1 cho η hàm ld-liên tục không âm xác định Tt0 cho ∞ eα (τ− , t0 )ηt ∇t < ∞ h.c.c t0 Giả sử tồn hàm xác định dương V ∈ C 1,2 (Tt0 × Rd ; R+ ) thỏa mãn c1 x với t p V (t, x) ∀(t, x) ∈ Tt0 × Rd , (3.24) t0 , x ∈ Rd V ∇t (t, x) + AV (t, x, y) −α1 V (t− , x) + ηt h.c.c Thì, nghiệm ban đầu phương trình (3.3) ổn định mũ hầu chắn 23 (3.25) KẾT LUẬN Trong luận án, thu kết sau đây: • Đưa định lý điều kiện Lipschitz địa phương cho tồn tính nghiệm phương trình động lực ngẫu nhiên thang thời gian • Xây dựng hàm Lyapunov dùng để xét tính ổn định mũ moment cấp p, ổn định ngẫu nhiên ổn định mũ hầu chắn phương trình động lực ngẫu nhiên thang thời gian • Đưa khái niệm định lý, ví dụ ổn định mũ moment cấp p, ổn định ngẫu nhiên ổn định mũ hầu chắn phương trình động lực ngẫu nhiên thang thời gian • Xây dựng định nghĩa hàm trễ phương trình động lực ngẫu nhiên có trễ thang thời gian • Đưa định lý tồn nghiệm phương trình động lực ngẫu nhiên có trễ thang thời gian • Đưa khái niệm định lý, ví dụ ổn định mũ moment cấp p, ổn định mũ hầu chắn phương trình động lực ngẫu nhiên có trễ thang thời gian Bên cạnh đó, số vấn đề liên quan đến nội dung luận án cần tiếp tục nghiên cứu Chẳng hạn định lý đảo định lý phát biểu chương 3; nghiên cứu bán kính ổn định thang thời gian Sau số hướng nghiên cứu chúng tơi thời gian tới: • Đưa điều kiện cần cho ổn định mũ moment cấp p; ổn định ngẫu nhiên ổn định mũ hầu chắn phương trình động lực ngẫu nhiên phương trình động lực ngẫu nhiên có trễ thang thời gian • Đưa cơng thức tính bán kính ổn định cho phương trình động lực ngẫu nhiên thang thời gian • Xét định lý hội tụ thang thời gian khác Chúng hy vọng vấn đề nêu sớm giải 24 Danh mục cơng trình khoa học tác giả liên quan đến luận án [1] N H Du, N T Dieu and L A Tuan (2015), Exponential p-stability of stochastic ∇-dynamic equations on disconnected sets, Electron J Diff Equ., 285, 1-23 [2] L A Tuan, N H Du and N T Dieu (2017), On the stability of stochastic dynamic equations on time scales, in print in Acta Mathematica Vietnamica [3] N H Du., L A Tuan and N T Dieu (2017), Stability of stochastic dynamic equations with time-varying delay on time scales, it has been accepted to AsianEuropean Journal of Mathematics 25 Tài liệu tham khảo [1] K B Athreya and S N Lahiri (2006), Measure Theory and Probability Theory, Springer Science Business Media, LLC [2] Arnold, L., Stochastic Difference Equations: Theory and Applications, John Wiley and Sons 1974 [3] E Akin-Bohner and Y N Raffoul (2006), "Boundedness in Functional Dynamic Systems on Time scales", Advances in Difference Equations, 2006, pp 1-18 [4] V B Baji´c, D LJ Debeljkovi´c, B B Bogi´cevic and M B Jovanovic (1998), "Non-Lyapunov stability robustness consideration for discrete linear descriptor systems", IMA Journal of Mathematical Control & Information, 15, pp 105-115 [5] V B Baji´c (1981), "Note on Stability of Trivial Solution in The Sense of Lyapunov", Univ Beograd Publ Elektrotehn Fak Ser Math Fiz., 716-734, pp 87-90 [6] M Bohner, A Peterson, Dynamic equations on time scales, Birkhăauser Boston, Massachusetts, 2001 [7] M Bohner, O M Stanzhytskyi and A O Bratochkina, Stochastic dynamic equations on general time scales, Electronic Journal of Differential Equations, 2013(57)(2013) 1-15 [8] M Bohner and A Peterson, Advances in Dynamic Equations on Time scales Birkhăauser Boston, Basel, Berlin, (2003) [9] L Bachelier (1900), Theorie de la Speculation, Annales Scientifiques de l’d cole Normale Superieure 17, 21 - 86 [10] Bhamidi, S., Evans, S N., Peled R., and Ralph P 2008 Brownian motion on disconnected sets, basic hypergeometric functions, and some continued fractions of Ramanujan, IMS Collections in Probability and Statistics: Essays in Honor of David A Freedman 42-75 26 [11] A Cabada and D R Vivero, Expression of the Lebesgue ∆-integral on time scales as a usual Lebesgue integral: Application to the calculus of ∆-antiderivatives Mathematical and Computer Modeling, 43(2006), 194 - 207 [12] J J Dacunha, Stability for time varying linear dynamic systems on time scales, J of Computational and Applied Mathematics, 176(2005) 381 - 410 [13] J M Davis, I A Gravagne, R J Marks II, A A Ramos (2010), "Algebraic and Dynamic Lyapunov Equations on Time Scales", 42nd South Eastern Symposium on System Theory University of Texas at Tyler, TX, USA, March 7-9 ¨ Ufuktepe, Lebesgue - Stieltjes measure on time scales, Turk J [14] A Denizand, U Math, 33(2009) 27 - 40 [15] N H Du and N T Dieu The first attempt on the stochastic calculus on time scale Stochastic Analysis and Applications, 29(2011) 1057 - 1080 [16] N.H Du and N.T Dieu, Stochastic dynamic equations on time scales, Acta Mathematica Vietnamica, vol.38, n0 2, DOI: 10.1007/s40306-013-0022-3 2013 [17] Du, N H , Dieu, N T and Tuan, L A , Exponential P-stability of stochastic ∇-dynamic equations on disconnected sets, Electron J Diff Equ., 285 2015, pp 1-23 [18] N H Du and L H Tien (2007), On the exponential stability of dynamic equations on time scales, J Math Anal Appl 331, 1159 - 1174 [19] S Foss, T Konstantopoulos, An overview of some stochastic stability methods, J of the Operations Research, 47(2004) 275 - 303 [20] Q Feng; B Zheng, Generalized Gronwall-Bellman-type delay dynamic inequalities on time scales and their applications, Appl Math Comput., 218 (2012), no 15, 7880-7892 [21] I I Gihman and A V Skorokhod, The theory of stochastic processes III Springer - Verlag New York Inc, (1979) [22] I I Gihman and A V Skorokhod (1972), Stochastic differential equations, Springer - Verlag, Berlin [23] V M Gundlach and O Steinkamp (2000), Product of random rectangular matrices, Math Nachr 212, 54 - 76 27 [24] T E Govindan, Existence and stability of solutions of stochastic semilinear functional differential equations, Stochastic Analysis and Applications, 20(6)(2012) 1257 - 1280 [25] I.A Gravagne and R.J Robert, Bilateral Laplace transforms on time scales: convergence, convolution, and the characterization of stationary stochastic time series, Circuits Systems Signal Process 29(2010), no 6, 1141 - 1165 [26] D Grow and S Sanyal Brownian motion indexed by a time scale Stochastic Analysis and Applications, 29(2011) 457 - 472 [27] D Grow; S Sanyal, The quadratic variation of Brownian motion on a time scale, Statist Probab Lett 82 (2012), no 9, 1677-1680 [28] R Z Has’minskii, Stochastic stability of differential equation, Sijthoff & Noordhoff 1980 [29] S Hilger, Ein Maòkettenkalkăaul mit Anwendung auf Zentrumsmannigfaltigkeiten Ph.D thesis, Universităaat Wăaurzburg, (1988) [30] J Hoffacker, C.C Tisdell, Stability and instability for dynamic equations on time scales, J Computers and Mathematics with Applications, 49(2005) 1327 - 1334 [31] K Itô (1944), Stochastic Integral, Proc Imp Acad Tokyo 20, 519 - 524 [32] K Itô (1951), On a formula concerning stochastic differentials, Nagoya Math J 3, 55 - 65 [33] K Itô (1951), On stochastic differential equations, Mem Amer Math Soc 4, - 51 [34] B Jacob (1998), "A formula for the stability radius of time-varying systems", J Differential Equations, 142, pp 167-187 [35] Khas’minskii, R Z., Stochastic Stability of Difference Equations, Alphen: Sijtjoff and Noordhoff (translation of the Russian edition, Nauka, Moscow), 1986 [36] D Kannan and B Zhan, A discrete - time Itô’s formula Stochastic Analysis and Applications, 20(2002), 1133 - 1140 [37] Kallenberg, L 2001.Foundations of modern probability, Springer Verlag, New York Berlin Heidelberg [38] L Kallenberg (2001), Foundations of modern probability, Springer Verlag, New York Berlin Heidelberg 28 [39] D Kannan B Zhan (2002), A discrete - time Ito formula, Stochastic Analysis and Applications 20, 1133 - 1140 [40] N Kazamaki (1972), On the existence of the solutions of martingale integral equations, Tohoku Math Journ 24, 463 - 468 [41] Kolmanovskii,V B and Nosov,V R.,Stability of Functional Differential equations, Academic Press 1986 [42] H Kunita and S Wantanabe, On square integrable martingales Nagoya Math J., 30(1967), 209 - 245 [43] H J Kushner, Stochastic Stability and Control Academic Press, (1967) [44] V Lakshmikantham, S Sivasundaram and B Kaymakcalan (1996), Dynamic systems on measure chains, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, The Netherlands [45] Lipster, R, Sh., Shiryayev, A N., Theory of Martingales, Kluwer Academic Publishers (translation of the Russian edition, Nauka, Moscow), 1986 [46] X L Liu; W X Wang and J Wu, Delay dynamic equations on time scales, Appl Anal., 89 (2010), no 8, 1241-1249 [47] A L Liu, Boundedness and exponential stability of solutions to dynamic equations on time scales, Electron J Diff Equ., 2007, no 12, 1-14 [48] C Lungan and V Lupulescu, Random dynamical systems on time scales, Electronic Journal of Differential Equations, vol 2012, No 86(2012), pp - 14 [49] Y Ma; J Sun J, Stability criteria of delay impulsive systems on time scales, Nonlinear Anal., 67 (2007) no 4, 1181-1189 [50] X Mao, Exponential stability for stochastic differential equations with respect to semimartingale, Stochastic Processes and their Applications, 35(1990) 267 - 277 [51] X Mao, Lyapunov functions and almost sure exponential stability of stochastic differential equations based on semimartingale with spatial parameters, SIAM Journal on Control and Optimization, no 6, 28(1989), 343-355 [52] X Mao, Stochastic differential equations and their applications, Horwood publishing chichester 1997 [53] Martynyuk, A A , Stability theory of solutions of dynamic equations on time scales Phoepix Publishers, Kiev 2012 29 [54] X Mao, Almost sure exponential stability of delay equations with damped stochastic perturbation, Stochastic Analysis and Application 19 (2.1) (2001), 67-84 [55] X Mao (1991), Stability of Stochastic Differential Equations with Respect to Semimartingales, Longman Scientific and Technical, Essex, England [56] X Mao (2003), Asymptotic Stability and Boundedness of stochastic differential equations with respect to semimartingales, Stochastic Analysis and Applications 21, 737 - 751 [57] X Mao, D J Higham, and A M Stuart (2002), Strong convergence of Eulertype methods for nonlinear stochastic differential equations, SIAM Journal on Numerical Analysis 40, 1041 - 1063 [58] H P McKean Jr (1969), Stochastic Integrals, Academic Press, New York [59] P A Meyer (1967), Intdgrales stochastiques I, II, Lecture notes in mathematics, Springer - Verleg, Berlin 39, 72 - 117 [60] P A Meyer (1962), A decomposition theorem for supermartingales, Ill J Math 6, 193 - 205 [61] P A Meyer and C Dolans-Dade (1970), Intgrales stochastiques par rapport aux martingales locales, Seminaire de Probabilities IV, Lecture Notes in Mathematics 124, 77 - 107 [62] E Messina; A Vecchio, Stability analysis of linear Volterra equations on time scales under bounded perturbations, Appl Math Lett., 59 (2016), 6-11 [63] P Medvegyev, Stochastic integration theory Oxford University Press Inc, New York, (2007) [64] M M Mili´c and V B Baji´c (1987), "Quanlitative Analysis of Motion Properties of Semistate Models of Large-Scale Systems", Circuits Systems Signal Process, 6(3), pp 315-334 [65] A C Peterson and C C Tisdell (2004), "Boundedness and uniqueness of solutions to dynamic equations on time scales", J Difference Equ Appl., 10(13-15), pp 1295-1306 [66] P E Protter (1977), On the existence, uniqueness, convergence and explosions of system of stochastic integral equations, The Annals of Probability 5, 243 - 261 [67] Protter, P E 2004 Stochastic integration and differential equations, SpringerVerlag Berlin Heidelberg 30 [68] S Sanyal Stochastic dynamic equations Ph.D Dissertation, Applied Mathematics, Missouri University of Science and Technology (2008) [69] L Socha, Exponential stability of singularly perturbed stochastic systems, IEEE Transactions on Automatic Control, 45(3)(2000) 576 - 580 [70] B L Shaikhet, Stability in probability of nonlinear stochastic difference equations, Stab Control Theory Appl 2(1-2)(1999) 25 - 39 [71] B L Shaikhet, About stability of nonlinear stochastic difference equations, Appl Math Lett 13(5)(2000) 27 - 32 [72] Suman, S 2008 Stochastic dynamic equations, Ph.D Dissertation, Applied Mathematics, Missouri University of Science and Technology [73] A Tartakovsky (1998), Asymptotically optimal sequential tests for nonhomogeneous processes, [74] T N Thiele (1880), Surla compensation de quelques erreurs quasi-systematiques par la methode des moindres carres, Reitzel, Copenhagen [75] W Vervaat (1979), On the stochastic difference equation and a representation on nonnegative infinitely random variables, Adv Appl Probab 11, 750 - 783 [76] Z Yang and D Xu (2007), Mean square exponential stability of impulsive stochastic difference equations, Applied Mathematics Letters 20, 938 - 945 31 ... niệm định lý, ví dụ ổn định mũ moment cấp p, ổn định ngẫu nhiên ổn định mũ hầu chắn phương trình động lực ngẫu nhiên thang thời gian • Xây dựng định nghĩa hàm trễ phương trình động lực ngẫu nhiên. .. động lực ngẫu nhiên thang thời gian • Xây dựng hàm Lyapunov dùng để xét tính ổn định mũ moment cấp p, ổn định ngẫu nhiên ổn định mũ hầu chắn phương trình động lực ngẫu nhiên thang thời gian • Đưa... tích ngẫu nhiên thang thời gian, đặc biệt kết liên quan đến lý thuyết ổn định phương trình động lực phương trình động lực có trễ Các kết ban đầu thang thời gian giải tích ngẫu nhiên thang thời gian