Luận văn nghiên cứu tính ổn định của hệ phương trình sai phân bằng phương pháp hàm lyapunov

LỜI CẢM ƠN Luận văn thực hướng dẩn TS Phạm Phu Nhân dịp em xin cảm ơn thầy dành nhiều công sức, thời gian để hướng dẫn, kiểm tra giúp đỡ em việc nắm bắt kiến thức chuyên ngành định hình hoàn thiện luận văn Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến lãnh đạo thầy cô Khoa Toán – Cơ – Tin học, phòng Sau Đại Học trường Đai học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, kiến thức điều tốt đẹp mang lại cho em thời gian học tập trường Em xin cảm ơn thầy cô, bạn Xemina tổ giải tích Đại học Khoa học Tự nhiên Cảm ơn bạn tập thể lớp Cao hoc giải tích 2008 – 2010 lời động viên, cử khích lệ, giúp đỡ nhiệt tình Do thời gian trình độ hạn chế, chắn luận văn tránh khỏi thiếu sót, em mong nhận bảo tận tình thầy cô bạn bè đồng nghiệp, em xin chân thành cảm ơn Học viên Võ Thị Hải Yến Mục lục LỜI NÓI ĐẦU ……………………………………………………………4 Bảng ký hiệu …………………………………………………………… Chương Nghiên cứu tính ổn định hệ phương trình sai phân phương pháp hàm Lyapunov 1.1 Sơ lược phép tính sai phân hữu hạn …………………………………… 1.2 Phương trình sai phân cấp cao 1.3 Công thức nghiệm hệ phương trình sai phân tuyến tính …………… 1.3.1 Hệ phương trình sai phân tuyến tính nhất…………………… 1.3.2 Hệ phương trình sai phân tuyến tính không công thức biến thiên số Lagrăng ……………………………… 11 1.4 Một số ví dụ giải hệ hai phương trình sai phân tuyến tính nhất… 12 1.5 Các khái niệm ổn định phương pháp hàm Lyapunov cho hệ phương trình sai phân autonomous ……………………………… 16 1.5.1 Các khái niệm ổn định ………………………………………… 16 1.5.2 Phương pháp hàm Lyapunov cho hệ phương trình sai phân autonomous …………………………………………… 17 1.6 Phương pháp hàm Lyapunov cho hệ phương trình sai phân không autonomous …………………………………………………… 20 Chương : Hệ phương trình sai phân tuyến tính ứng dụng……… 2.1 Các khái niệm hệ phương trình sai phân tuyến tính …… 24 24 2.1.1 Hệ phương trình sai phân tuyến tính ………………… 24 2.1.2 Hệ phương trình sai phân tuyến tính không ………… 25 2.2 Sự ổn định hệ phương trình sai phân tuyến tính với ma trận hệ số ………………………………………………… 27 2.3 Sự ổn định hệ phương trình sai phân tuyến tính không với ma trận hệ số …………………………………………… 31 2.4 Sự ổn định hệ phương trình sai phân tuyến tính không với ma trận hệ số biến thiên ……………………………………… 38 2.5 Sự tương đương tiệm cận hệ phương trình sai phân …………… 42 2.6 Một số ví dụ ứng dụng hệ phương trình sai phân ……………… 46 2.6.1 Mô hình biến động giá thị trường ……………………………… 46 2.6.2 Hiện tượng “mạng nhện ” kinh tế nông nghiệp …………… 48 2.6.3 Mô hình ngoại thương đa quốc gia ……………………………… 53 Kết luận ……………………………………………………………………… 57 Tài liệu tham khảo ………………………………………………………… 58 LỜI NÓI ĐẦU Lý thuyết định tính hệ động lực rời rạc nghiên cứu từ năm đầu kỷ XVIII, song ngày đông đảo nhà khoa học quan tâm nghiên cứu Những kết ứng dụng rộng rãi nhiều mô hình ứng dụng Đặc biệt thời gian gần nhờ có phát triển công nghệ tin học, lý thuyết hệ động lực rời rạc nói chung lý thuyết định tính hệ phương trình sai phân nói riêng có phát triển vượt bậc đặc biệt khả ứng dụng thực tiễn Về tổng thể hầu hết phương pháp thông dụng sử dụng lý thuyết phương trình vi phân xây dựng lại cho việc nghiên cứu tính chất nghiệm hệ phương trình sai phân Tuy nhiên lý thuyết tính toán biểu thức toán học số công thức lại phức tạp Mục tiêu luận văn trình bày lại cách hệ thống phương pháp hàm Lyapunov sử dụng việc nghiên cứu tính ổn định hệ phương trình sai phân Sau trình bày ví dụ minh hoạ để khả ứng dụng lý thuyết phương trình sai phân mô hình ứng dụng Trong chương sau trình bày khái niệm phép tính sai phân hữu hạn, trình bày cách vắn tắt lý thuyết phương trình sai phân cấp cao hệ phương trình sai phân Phần chương định lý Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định nghiệm hệ phương trình sai phân Trong chương trình bày định lý tính ổn định hệ phương trình sai phân Sau số điều kiện đủ tính ổn định hệ phương trình sai phân tuyến tính có nhiễu Phần cuối luận văn số mô hình kinh tế mô hình biến động giá thị trường, tượng “mạng nhện” kinh tế nông nghiệp mô hình ngoại thương đa quốc gia Nhờ có kết nhận viêc nghiên cứu lý thuyết định tính phương trình sai phân đến kết luận hữu ích việc nghiên cứu mô hình Bảng ký hiệu Tập hợp số nguyên không ¥ âm ∈ (a) a (a ) Tập hợp số nguyên lớn ¥¥ Tập hợp số nguyên mở rộng ¢ Tập hợp số thực ¡ Tập hợp số thực dương ¡ + Không gian m chiều ¡ m Tập hợp ma trận vuông cấp n M n¡(¡ ) Tổ hợp chập i k Sai phân u(n) ( ) Hàm biến số nguyên Cki ∆uun n un CHƯƠNG NGHIÊN CỨU TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM LYAPUNOV 1.1 Sơ lược phép tính sai phân hữu hạn Định nghĩa 1.1 Ta gọi sai phân hữu n ∈ ¢ hạn cấp hàm số u(n) = un với hiệu ∆un = un+1 − un Định nghĩa 1.2 Ta gọi sai phân hữu hạn cấp hàm u(n) = un sai phân sai phân cấp un , nói chung sai phân cấp k hàm u n sai phân sai phân cấp k – hàm số Sai phân cấp hàm un ∆ 2un = ∆ (∆un ) = ∆un+1 − ∆un = un + − un+1 − (un+1 − un ) = un + − 2un+1 + un ; Sai phân cấp hàm un … ∆ 3un = ∆ (∆ 2un ) = ∆ 2un +1 − ∆ 2un = un +3 − 3un + + 3un +1 − un Sai phân cấp k hàm un k ∆ k un = ∆(∆ k −1un ) = ∆ k −1un+1 − ∆ k −1un = ∑ (−1)i Cki un + k −i , Các tính chất sai phân: k! C = i !(k − i )! i =0 i k Tính chất 1: Sai phân cấp biểu diễn qua giá trị hàm số k ∆ k un = ∑ (−1)i Cki un + k −i , i =0 C = i k k! i !(k − i )! Tính chất 2: Sai phân cấp toán tử tuyến tính ∆ k (α un + β ) = α∆ k un + β ∆ k , với α , β số thực tuỳ ý Tính chất 3: Sai phân cấp k đa thức bậc m bằng: * Hằng số, k = m, * 0, k > m, * Đa thức bậc (m – k), k < m Tính chất 4: ∆un = un ∆vn + ∆un , N ∑∆ u k n=a đặc biệt k = 1, ta có n = ∆ k −1u N +1 − ∆ k −1ua , N ∑ ∆u 1.2 Phương trình sai phân cấp cao n= a n = u N +1 − ua Định nghĩa 1.3 Phương trình sai phân cấp k hệ thức sai phân cấp , F (un , ∆un , , ∆ k un ) = un coi sai phân cấp hàm u n, cấp phương trình sai phân cấp lớn sai phân (ở k) Định nghĩa 1.4 Phương trình sai phân tuyến tính cấp k hàm un biểu thức tuyến tính giá trị hàm un điểm khác a0un + k + a1un + k −1 + + ak un = f n , a0a≠0 , 0a1,, , ak a≠k với số hàm số n, gọi hệ số phương trình sai phân; f n hàm số n, gọi vế phải; un giá trị cần tìm gọi ẩn * Nghiệm phương trình sai phân tuyến tính: Xét phương trình sai phân tuyến tính cấp k a0un+ k + a1un + k −1 + + ak un = f n (1.1) Phương trình sai phân tương ứng (1.2) a0un + k + a1un + k −1 + + ak un = Phương trình đặc trưng (1.3) a0λ k + a1λ k −1 + + ak = Nghiệm tổng quát phương un = uuu*n* + u , trình sai phân tuyến tính (1.1) với nghiệm riêng phương trình (1.1) nghiệm tổng quát phương trình tương ứng (1.2) Nghiệm tổng quát (1.2) có dạng , u = c1un1 + c2un2 + + ck unk , ,cuknk k nghiệm độc lập tuyến ucn11,,ucn22, , tính (1.2) số tuỳ ý Nếu (1.3) có k nghiệm phân biệt {λλ1n1, λ22n, , λkkn } hệ hệ k nghiệm độc lập tuyến tính (1.2) nghiệm tổng quát (1.2) u = c1λ1n + c2λ2n + + ck λkn n Nếu (1.3) có nghiệm thực bội s nλ jn , n λλjn , , n s −1λ jn jj nghiệm ta bổ xung thêm vectơ nghiệm độc lập tuyến tính (1.2) nghiệm tổng quát (1.2) u= k s −1 i ≠ j =1 i =0 ∑ ci λin + ∑ cij ni λ jn ϕ n+ϕi sin ϕ )0, , s − Nếu (1.3) có nghiệm r n ni cos nλϕj =, r n(cos ni sin ,i= phức bội s ta lấy thêm nghiệm nghiệm tổng quát (1.2) u= số tuỳ ý k s −1 i ≠ j =1 i =0 ∑ ci λin + ∑ r n (ai ni cos nϕ + bi ni sin nϕ ), , bi 1.3 Công thức nghiệm hệ phương trình sai phân tuyến tính 1.3.1 Hệ phương trình sai phân tuyến tính Xét hệ phương trình sai phân (xem [11]) u1 (n + 1) = a11 (n)u1 (n) + a12 (n)u2 (n) + + a1m (n)um (n),  Đặt u2 (n + 1) = a21 (n)u1 (n) + a22 (n)u2 (n) + + a2 m (n)u m (n),    a11 (n) a12 ( n) K a1m (n)   u1 (n)   u ( n + 1) = a ( n ) u ( n ) +  ÷ am (n)u2 (n) + + amm (n)um (n÷) Khi hệ  m u2 (n)m1÷ a (n) a22 (n) K a2 m (n) ÷  ; A(n) =  21 viết u (n) =   K ÷ M ÷ K K K dạng:  ÷  ÷ ÷ a ( n ) a ( n ) K a ( n )  um ( n)  m m mm   u (n + 1) = A(n).u (n) , n ≥ n0 , (1.4) , ma trận u (n) = (u1A(n(n),)u=2 ((na), , umm×(mn))T ∈ ¡ ij ( n )) không suy biến m Bài toán Cauchy: u (n + 1) = A(n).u (n) , n ≥ n0 ,  u (n0 ) = u0 Bằng phương pháp truy hồi ta thấy toán Cauchy có nghiệm nghiệm toán Cauchy cho n0 A(n0 + 1) A(n0 ).u0 với u (n) = A(n − 1) A(nn−>2) * Họ toán tử tiến hoá sinh ma trận không suy biến Định nghĩa 1.5 Với ký hiệu s ≥ n0 U (n, s ) = A(n − 1) A(n − 2) A( s + 1) A( s ) , n ≥ s ≥ n0 nn)0n≥)s≥ n0 Khi gọi họ ma trận {UU(n(A,ns(,)} tiến hoá sinh ma trận hàm không suy biến , gọi ma trận nghiệm chuẩn tắc ( ma trận Cauchy ) gọi hàm Green Nhận xét: Từ định nghĩa ma trận s ≥ n0 Cauchy họ toán tử tiến hoá ta thấy với : U (n0 , n0 ) = I * U (n, s ) =n U ≥ (kn≥, ks).U (k , s ) * với * với U (n, s ) = U n(n≥, ns0.).U −1 ( s, n0 ) Nghiệm toán Cauchy có u (n) := u (n, n0 , u0 ) thể viết dạng: u (n) = U (n, n0 ).u0 , n ≥ n0 , u (n) = U (n, s ).u ( s ) , n ≥ s ≥ n n0 An − n0 Khi ma trận ta  U (nA, n(n0≥) = thấy với 1.3.2 Hệ phương trình sai phân tuyến tính không Xét hệ phương trình sai phân: (xem [11]) m (n¡) + b( n) u (nn+≥1)n=0 ,Ab(n(n).)u∈  u (n0 ) = u0 (1.5) Định lý 1.1 Nghiệm hệ (1.5) xác định công thức (1.6) u (n) := u (n, n0 , u0 ) u (n) = U (n, n0 ).u0 + n ∑ U (n, k ).b(k − 1) k = n0 +1 Chứng minh Ta tìm nghiệm u (n) = Uu((nn,)n0 ).C (n) (1.5) dạng (1.7) cho phương pháp biến u (n0 ) = u0 thiên số Lagrăng 10 x(n0 ) = y (n0 ) + ∞ ∑ V (n s = n0 +1 − s) B( s) y (s) Mặt khác nghiệm phương trình (2.27) (2.28) viết dạng x(n) = T (n − n0 ) x(n0 ) ∞ = T (n − n0 ) y (n0 ) + T (n − n∞0 ) ∑ V (n0 − s ) B ( s ) y ( s ) = T (n − n0 ) y (n0 ) + n∑ sV=n(0 +n1 − s ) B ( s ) y ( s ) s = n0 +1 y (n) = T (n − n0 ) y (n0 ) + ∑ T (n − s ) B (s ) y (s ) , n ≥ n0 y ( n) − x ( n) = − =− =− s = n0 +1 n ∞ n s = n0 +1 s = n0 +1 ∞ B( sT ) y((ns )−−s )∑ B ( sU ) y((ns )−+s )∑ B (Vs )(yn(−s )s ) B ( s ) y ( s ) ∑ V (n −=s)∑ s = n0 +1 n ∞ n s = n0 +1 s = n0 +1 ∞ n n s = n0 +1 s = n0 +1 s = n0 +1 ∑ V (n − s) B(s) y(s) + ∑ [U (n − s) + V (n − s)]B(s) y(s) ∑ V (n − s ) B ( s ) y ( s ) + ∑ V (n − s ) B ( s ) y ( s ) + ∑ U ( n − s ) B ( s ) y ( s ) Nên Suy n ∑ || y (n) − x(n) || = ≤ ∞ U (n − s ) B ( s ) y ( s ) − ∑V ( n − s ) B ( s ) y ( s ) s = n0 +1 n n ∞ ∑ || U (n − s) || || B( s) || || y( s) || +∑|| V (n − s) || || B( s) || || y( s) || s = n0 +1 n Giả sử tồn K cho , không || y (n) ||≤ K , ∀ n ≥ tổng quát giả sử n số chẵn, ta có || y (n) − x( x ) || ≤ aK n +1 ≤ aK ∑ s = n0 +1 ∞ e −ω ( n − s ) || B( s ) || + cK ∑ || B( s ) || n ∞ ) || || B∑ ( s||) ||B+( saK ∑ e + cK ∑ || B(s) || s = n0 +1 Trong trường hợp n số lẻ ta chọn số chia tổng n −ω n2 n n−1 n +1 ε >0 Vì , cho bé tuỳ ý, với đủ lớn ta ∞ T || B( s ) || < +∞ ∑ có 40 s = n2 +1 với e − ω n2 < ∀ n > Tε n +1 3∀ aKn > ∑T || Bε(s) || ∑ || B(s) || < 3aK với n s = n0 +1 s = n2 +1 ∞ với ∀ n >T ε ∑ || B(s) || < 3cK n Vậy với ta có : ∀ n >T ε ε ε + + =ε 3 lim || y (n) − x(n) ||= y ( n) − x ( n) ≤ Từ suy Định lý chứng minh n →+∞ Hê quả: Nếu tất giá tri riêng ma trân A nằm hình tròn đơn vi , đồng thời giá trị riêng nằm đường tròn đơn vị đơn, tất nghiệm hệ (2.9 ) giới nội hệ (2.27) (2.28 ) tương đương tiệm cận 2.6 Một số ví dụ ứng dụng phương trình sai phân 2.6.1 Mô hình biến động giá thị trường a Mô hình tổng quát Khi phân tích biến động thị trường hàng hoá người ta thường quan tâm đến yếu tố sau: lượng hàm cung, lượng hàm cầu thay đổi giá hàng hoá Để thấy rõ mối quan hệ yếu tố biến động chúng, xây dựng mô hình sau isi m Ký hiệu: , lượng hàng cung i = 1,Q2, , loại hàng hóa thứ , m , lượng hàng cầu i = 1,Q2, , di loại hàng hóa thứ i, tip¢i (t m t=∈ 2, , pi 1, ) , , giá hàng i = hóa thứ thời điểm quan sát (giả thiết t biến thời gian rời rạc ) Giả sử: Qsi = g i (t , p1, p2 , , pm ) , , Qdi = if i =(t1, ,t p∈ p2 , , 2, , m pm ) , 1,¢ Sử dụng phương pháp biểu diễn ma trận ta viết lại biểu thức dạng: Qs = g (t , p ), Qd = f (t , p ), 41 ( ) , f = ( f , f , , f ) , Q =(Q , Q , , Q ) , đó: Qs = Qs1 , Qs2 , , Qsm T d d1 d2 m T T dm Chú ý biến động g = ( g , g , , g ) T m thị trường có xu hướng cân cung cầu, tức là: hay , Qs = Qd , Qs − Qd = Tuy nhiên thực tế giá hàm cầu thường ấn định theo mức giá hàm cung thời điểm trước đó, nên từ phương trình ta có mô hình biến động thị trường sau: g ( t , p (t + 1) ) − f ( t , p (t ) ) = Hoặc ta có hệ phương trình sai phân dạng , g ( n , p ( n + 1) ) − f ( n , p (n) ) = 0, n ∈ ¢ hàm số g , f : ¢ × ¡ m → ¡ m nhà kinh tế xây dựng tùy theo loại hàng hóa thị trường mà quan sát b Mô hình thị trường loại hàng hóa Khi phân tích hoạt động thị trường hàng hoá, nhà kinh tế học sử dụng hàm cung hàm cầu để biểu đạt phụ thuộc lượng cung lượng cầu vào giá hàng hoá ( với giả thiết yếu tố khác không thay đổi ) Dạng tuyến tính hàm cung hàm cầu sau: Hàm cung: Qs = −a0 + a1 p , Hàm cầu: Qd = b0 − b1 p , lượng cung, tức lượng Qs hàng hoá mà người bán lòng bán; lượng cầu, tức lượng hàng Qd hoá mà người mua lòng mua; p giá hàng hoá; , , , ab10 số dương Mô hình cân thị trường có dạng: a0 + a1 p ,  Qs = −⇔   Giải phương trình ta tìm   Qd = b0 − b1 p , −a + Q   a1sp==Qbd0 − b1 p Giá cân bằng: p= a0 + b0 ; a1 + b1 42 ab −a b Qs = Qd = 0 p = p (at1)+ b1 Chú ý giá hàng hoá đại lượng phụ thuộc vào thời gian t, , Lượng cân bằng: Tuy nhiên thực tế giá hàm cầu thường ấn định theo mức giá hàm cung thời điểm trước đó, nên từ phương trình ta có mô hình biến động thị trường sau: , t = ,1,2… − a0 + a1 p (t + 1) = b0 − b1 p (t ) (2.31) Hay ta có hệ phương trình sai phân: , , p (t + 1)t=∈α¥p (t ) + β (2.32) : b +ba βα== 0− aa11 Sử dụng ký hiệu thông dụng ta viết phương trình sai phân nhận dạng , p (n + 1) = α p (n) + β , n ∈ ¥ (2.33) Giả sử giá thời điểm ban đầu t = xác định p0, ta có: p(1) = αp + β Vì Nên Nhận xét: p(2) = α p + β(1 + α)1 − α n α ≠ 1,  n −1 n+ α +p(3) α +=αα2 3+p + α = + β (1 + α ) − α  1− α p(n) = α n p + β khi α ≠ , n = 0,1, 2, K K K K K K1 −KαK K KnK K α = p(n) = α n p +−β1(1 0, bs > 0) Trong – md độ dốc đường cong biểu thị thay đổi lượng hàng hoá cầu, ms độ dốc đường cong biểu thị thay đổi lượng hàng hoá cung Độ dốc đường cong cầu âm độ dốc đường cong cung dương, tất đại lượng md, bd, ms, bs số dương 45 Để tiếp tục nghiên cứu quy luật dao động giá thị trường đưa hệ phương trình sai phân cấp phương trình sai phân cấp Thay (2.34) (2.35) vào (2.36) ta có: msp(t)+ bs = – mdp(t+1) + bd , p(t+1) = Ap(t) + B, A=− ms b − bd ,B= s md md Sử dụng ký hiệu thông dụng ta viết phương trình sai phân nhận dạng p(n+1) = Ap(n) +B, n = 0, 1, 2, … (2.37) Dễ dàng thấy nghiệm phương trình có dạng: − An p(n) = A p + B A ≠ 1, n = 0,1, 2, 1− A Ký hiệu ta B p* = * thầy p(n)= p nghiệm riêng 1− A phương trình (2.37) Nghiệm p(n) (2.37) thoả mãn điều kiện ban đầu p0 viết dạng n Nhận xét: p (n) = An ( p0 − p∗ ) + p ∗ A ≠ 1, n = 0,1, Theo giả thiết A < nên dao động dãy {p(n)} phân chia theo trường hợp sau: * Nếu –1 < A < giá p(n) B thay đổi theo xu hướng dao 1− A động, giảm dần hội tụ đến giá trị cân ; p* = * Nếu A = –1 giá dao động hữu hạn; * Nếu A < –1 dao động vô hạn Vì A tỷ số độ dốc đường cong cung đường cong cầu nên tỷ số định dáng điệu đường cong biểu thị biến động giá thị trường Trong hình vẽ sau quan sát ví dụ minh hoạ trường hợp tương ứng –1 < A < (hình a), A = –1 (hình b), A < –1 (hình c) Dt St+1 46 pt p1 p3 p*p4p2 p0 (a) St+1 Dt p1 p* pt p0 (b) St+1 Dt p3 p1 p* p0 p2 p4 pt (c) Để xây dựng đường cong tương ứng tiến hành sau: Bắt đầu từ giá trị p0 ta tìm S1 cách di chuyển chiều thẳng đứng tới đường cung (St+1), sau di chuyển theo chiều ngang (do D = S1) để tìm giá trị D1 điểm 47 giúp ta xác định p1 trục giá pt Khi p1 ta lại xác đinh S2 sau D2 tìm p2… Giao điểm đường cung St+1 đường cầu Dt cho ta giá trị p* mức giá cân 2.6.3 Mô hình ngoại thương đa quốc gia (xem [2]) Trong phần trình bày ứng dụng nhỏ lý thuyết định tính hệ phương trình sai phân Qua ví dụ thấy lý thuyết định tính phương trình sai phân có vai trò quan trọng mặt lý thuyết ứng dụng đời sống hàng ngày a Mô hình tổng quát: Tổng thu nhập cộng đồng bao gồm: Tổng tiêu dùng (C) + Tổng chi phí đầu tư (I) + Tổng giá trị xuất (X) - Tổng chi phí nhập (N) Ký hiệu: Y = Tổng thu nhập quốc dân; X = Tổng giá trị xuất khẩu; C = Tổng tiêu dùng; I = Tổng chi phí đầu tư; N = Tổng chi phí nhập Ta có: Y = C + I + X – N (a) Để thiết lập mô hình kinh tế tương ứng ta bổ sung thêm số giả thiết: (a) Thời điểm quan sát: Thời gian thời điểm quan sát rời rạc: n = 0, 1, 2,… số i ứng với nước thứ i (b) Nhu cầu tiêu dùng (C) tỉ lệ thuận với thu nhập thời kỳ trước theo quy luật: C (n + 1) = α Y (n) + C ∗ , C* = tổng giá trị hàng hoá α ≥ dịch vụ cần dùng tối thiểu cho sống; gọi hệ số tiêu dùng (c) Tổng đầu tư (I) tỷ lệ thuận với thu nhập thời kỳ trước theo quy luật: I (n + 1) = β Y (n) + I ∗ , I* = kinh phí tối thiểu phải đầu tư β ≥ để tiếp tục trì hoạt động sản xuất kinh doanh; gọi hệ số đầu tư (d) Tổng chi phí cho nhập tỷ lệ thuận với tổng thu nhập thời kỳ trước 48 theo quy luật: N (n + 1) = γ Y (n) + N ∗ , 0β N* = chi phí tối thiểu cho nhập γ [...]... Điều này dẫn tới , n →∞ mâu thuẫn với Vậy nghiệm tầm thường của hệ (1.18) là không ổn định CHƯƠNG 2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH VÀ ỨNG DỤNG 2.1 Các khái niệm cơ bản của hệ phương trình sai phân tuyến tính 2.1.1 Hệ phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất Xét hệ phương trình sai phân: (xem [11]) 22 u1 (n + 1) = a11 (n)u1 (n) + a12 (n)u2 (n) + + a1m (n)um (n), u (n + 1) = a (n)u (n) + a... 0 Định nghĩa 1.7 Nghiệm tầm lim||u∃||u(nuh0 )(||>n< n →∞ 15 thường của hệ (1.12) được gọi là ổn định tiệm cận theo Lyapunov, nếu nó ổn định theo Lyapunov và sao cho mọi nghiệm u(n) của hệ thoả mãn điều kiện thì Định nghĩa 1.8 Nghiệm tầm thường u (nδ) = 0 của hệ (1.12) được gọi là ổn định đều (ổn định tiệm cận đều) theo Lyapunov nếu trong định nghĩa tương ứng, số được chọn không phụ thuộc vào a Định. .. (2.1) 0)εδ0 ∈ (0,1) Chứng minh: Từ giả thiết ổn định qM tiệm cận của nghiệm tầm thường của hệ (2.2), theo định lý 2.3 ta suy ra tồn tại và , 33 sao cho:... (nn) ≥≤n1Mq n với Định lý được chứng minh 2.3 Sự ổn định của hệ phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất với ma trận hệ số hằng Xét hệ phương trình sai phân: (2.14) u (n + 1) = Au (n) + f (n, u (n)), n ≥ n0 , trong đó T u (nA)∈=M (um1 ((n¡),mu),2 (nf), , : ¥ u×m¡(nm))→ ∈¡ ¡m m , f (n,0) = 0 , n ∈ ¥ thỏa mãn điều kiện Bằng phương pháp biến thiên hằng số Lagrăng ta thấy nghiệm của bài toán Cauchy... được (2.3) Hệ quả 2.1 Nếu là ma trận hằng ta A(n) = A được với mọi (2.7) u ( n) = A n − n0 n > n0n n −i u0 + ∑ A b(i − 1) i = n0 +1 2.2 Sự ổn định của hệ phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất với ma trận hệ số hằng Xét hệ phương trình sai phân: , u (n +n1)≥=n0Au ( n) (2.8) Xét bài toán Cauchy: u (n + 1) = Au (n), n ≥ n0 ,  u (n0 ) = u0 (2.9) Bằng phương pháp truy hồi ta thấy nghiệm của bài... giả thiết của định lý ta suy ra u (n) q − n ≤ Mq − n0 −1 + u0 M 3 = Mq −1 u0 u (n) ≤ M 3q n− n0 Ký hiệu: Ta có : Nếu chọn và thực hiện quá trình lập n0 = 0 luận tương tự ta có : , nu (=n0,1, ) ≤2,3, M 3q n 34 Từ đó các điều kiện của định nghĩa về sự ổn định của nghiệm tầm thường được thỏa mãn và định lý được chứng minh 2.4 Sự ổn định của hệ phương trình sai phân tuyến tính với ma trận hệ số biến... 0 = (1 + B)2 ⇒ B = −1 0 1 ⇒ z ( n) = 2 n + n 2 n ⇒ x ( n) = Vậy x ( n) = 1− n 1+ n y ( n) 1 − n = z ( n) 1 + n 1.5 Các khái niệm về ổn định và phương pháp hàm Lyapunov cho hệ phương trình sai phân autonomous 1.5.1 Các khái niệm về ổn định Xét hệ phương trình sai phân phi tuyến (xem [11]) u1 (n + 1) = f1 (n, u1 (n), u2 (n), , u m (n)), u (n + 1) = f (n, u (n), u (n), , u ( n)),  2 2 1 2 m Đặt... trong đó c là hằng số, ∆V (u1 (n),Vu(2u(1n,Ω )) u2 =)==cRu(1u1+(un2) + u2 ( n)) chọn hàm xác định dương trên Khi đó 18 =u02 (n)) = 0 Do đó nếu thì nên nghiệm tầm ∆V (u1 (nc),≠ thường của hệ (1.17) là ổn định Tuy nhiên nếu thì nghiệm tầm thường của hệ (1.17) là không ổn định 1.6 Phương pháp hàm Lyapunov cho hệ sai phân không autonomous Xét bài toán Cauchy: (xem [11]) (1.18) u (n + 1) = f (n, u (n));... các kết quả trong trường hợp autonomous, hai định lý sau xét tính ổn định và ổn định tiệm cận của nghiệm tầm thường của hệ (1.18) ),(∈ anu,0) ),C (a||n[+< ,,uN = aρ,(0)) ua )≤)×0 Định lý 1.5 Giả sử tồn tại ∆VVu((nun||,(),uunS= ρ , R ]0 0 hàm vô hướng xác định dương sao cho với nghiệm bất kỳ của (1.18) thoả mãn Khi đó nghiệm tầm thường của hệ (1.18) là ổn định 19