Chuẩn logarit và ứng dụng để nghiên cứu tính ổn định của hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên ito

1 Mục lục Mở đầu .2 Chương Một số kiến thức lý thuyết ổn định hệ phương trình vi phân 1.1 Các khái niệm tính ổn định hệ phương trình vi phân 1.2 Tính ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính 1.3 Tính ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính 1.4 Tính ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính với hệ số số 10 1.5 Tính ổn định theo phương pháp hàm Liapunov 11 1.6 Tính ổn định hệ vi phân ngẫu nhiên 14 Chương Chuẩn logarit ứng dụng để nghiên cứu tính ổn định hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên Ito .16 2.1 Một số khái niệm tính chất 16 2.2 Phương trình vi phân P (t) = EX(t)X(t)T 18 2.3 Điều kiện đủ cho tính ổn định tiệm cận bình phương trung bình hệ phương trình vi phân khơng đưa dạng Cauchy 22 Kết luận .26 Tài liệu tham khảo 27 MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài Lý thuyết ổn định phận quan trọng lý thuyết định tính phương trình vi phân Nó ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực khác khoa học kỹ thuật, kinh tế, sinh học mơi trường Vì lý thuyết phát triển mạnh mẽ theo hai hướng nghiên cứu ứng dụng Để nghiên cứu tính ổn định hệ vi phân ngẫu nhiên, đa số nhà toán học sử dụng phương pháp Liapunov ngẫu nhiên Mục đích luận văn sử dụng khái niệm chuẩn lôgarit để nghiên cứu tính ổn định tiệm cận bình phương trung bình hệ vi phân ngẫu nhiên I tô mà không cần giải cụ thể hệ phương trình II Cấu trúc luận văn Luận văn gồm có hai chương: Chương Trình bày số kiến thức lý thuyết ổn định 1.1 Các khái niệm tính ổn định hệ phương trình vi phân 1.2 Tính ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính 1.3 Tính ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính 1.4 Tính ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính với hệ số số 1.5 Tính ổn định theo phương pháp hàm Liapunov 1.6 Tính ổn định hệ vi phân ngẫu nhiên Chương Trình bày chuẩn lơgarit ứng dụng để nghiên cứu tính ổn định hệ vi phân ngẫu nhiên I tô 2.1 Một số khái niệm tính chất 2.2 Phương trình vi phân P (t) = EX(t)X(t)T 2.3 Điều kiện đủ cho tính ổn định tiệm cận bình phương trung bình hệ phương trình vi phân không đưa dạng Cauchy Luận văn thực trường Đại học Vinh hoàn thành hướng dẫn trực tiếp PGS.TS Phan Đức Thành Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo tận tâm nhiệt tình hướng dẫn dành cho tác giả suốt thời gian học tập nghiên cứu Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn PGS.TS Nguyễn Văn Quảng, PGS.TS Trần Xuân Sinh, TS Nguyễn Trung Hoà thầy, giáo khoa Tốn, khoa sau Đại học bạn lớp Cao học 17 Toán thường xuyên quan tâm tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ tác giả q trình học tập hồn thành luận văn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến bạn bè, người thân động viên, giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho tác giả hồn thành khố học Mặt dù có nhiều cố gắng luận văn không tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Chúng tơi mong nhận ý kiến đóng góp thầy, giáo bạn bè để luận văn hoàn thiện Vinh, tháng 12 năm 2011 Tác giả Nguyễn Thị Lê Na CHƯƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT ỔN ĐỊNH CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Lý thuyết ổn định phận quan trọng lý thuyết định tính phương trình vi phân Nó ứng dụng nhiều lĩnh vực khác kinh tế khoa học kỹ thuật, sinh thái học môi trường Trong chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức lý thuyết ổn định hệ phương trình vi phân 1.1 Các khái niệm tính ổn định hệ phương trình vi phân Xét hệ phương trình vi phân viết dạng ma trận véc tơ sau dX = F (X; t) dt Trong X = (x1 ; x2 ; ; xn )T ( )T F (X; t) = f1 (X, t), f2 (X, t), , fn (X, t) ( )T dX dxn dx1 dx2 = , , , dt dt dt dt t biến độc lập, x1 (t), x2 (t), , xn (t) hàm cần tìm (1.1) Các hàm fj (j = 1, 2, 3, , n) xác định miền T = (a; ∞) × K K tập mở Rn a số −∞, sau này, để tiện cho cách trình bày ta viết ∞ thay cho +∞ (nếu khơng có nhầm lẫn) Ta giả thiết hàm fi (i = 1, 2, , n) xác định miền T, liên tục theo t có đạo hàm riêng cấp theo biến x1 , x2 , , xn liên tục T phép chuyển vị 1.1.1 Định nghĩa Nghiệm X = X(t), (a < t < ∞) hệ phương trình vi phân (1.1) gọi ổn định theo Liapunov t → ∞ (gọi tắt ổn định) với ε > t0 ∈ (a; +∞) tồn δ = δ(ϵ; t0 ) > cho tất nghiệm Y (t) hệ (1.1) thoả mãn điều kiện ||Y (t0 ) − X(t0 )|| < δ (1.2) ||Y (t) − X(t)|| < ε, ∀t t0 (1.3) Nói cách khác nghiệm X(t) ổn định theo Liapunov nghiệm Y (t) gần với thời điểm ban đầu t0 hoàn toàn nằm ống ε nhỏ tuỳ ý dựng quanh nghiệm X(t), với t 1.1.2 Định nghĩa Nghiệm X(t), (a < t < ∞) hệ phương trình vi phân (1.1) gọi ổn định với ε > tồn δ = δ(ε) > cho tất nghiệm Y (t) (1.1) thoả mãn ||X(t0 ) − Y (t0 )|| < δ Kéo theo ||X(t) − Y (t)|| < ε với t0 ∈ (a; ∞) 1.1.3 Định nghĩa Nghiệm X(t), (a < t < ∞) hệ phương trình vi phân (1.1) gọi ổn định tiệm cận t → ∞ i) Nó ổn định theo Liapunov ii) Với to ∈ (a; ∞) tồn △ = △(t0 ) > cho nghiệm Y (t), (t0 t < ∞) thoả mãn điều kiện ||Y (t0 ) − X(t0 )|| < △ có tính chất lim ||Y (t) − X(t)|| = (1.4) t→∞ Như ổn định tiệm cận "ổn định có tải" tức ổn định kèm theo điều kiện Đặc biệt nghiệm tầm thường X(t) ≡ ổn định tiệm cận ổn định lim Y (t) = ||Y (t0 )|| < △ t→∞ 1.1.4 Định nghĩa Giả sử hệ phương trình vi phân (1.1) xác định nửa không gian Ω = {Y : ||Y || < ∞} × (a < t < ∞), nghiệm X(t) (a < t < ∞) ổn định tiệm cận toàn cục nghiệm X(t) ổn định tiệm cận t → ∞ tất nghiệm Y (t)(t0 t < ∞; t0 > a) có tính chất (1.4), tức △ = ∞ X(t) gọi ổn định tiệm cận toàn cục 1.2 Tính ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính viết dạng ma trận véc tơ sau dX = A(t)X + G(t) dt (1.5) Trong đó, ma trận A(t) hàm véc tơ G(t) liên tục khoảng (a; ∞) Hệ phương trình vi phân tuyến tính tương ứng dX = A(t)X (1.6) dt 1.2.1 Định nghĩa Hệ phương trình vi phân tuyến tính (1.6) gọi ổn định (hoặc không ổn định) theo Liapunov tất nghiệm tương ứng ổn định (hoặc không ổn định) theo Liapunov t → ∞ 1.2.2 Định nghĩa i) Hệ phương trình vi phân tuyến tính (1.6) gọi ổn định tiệm cận nghiệm ổn định tiệm cận t → ∞ ii) Hệ phương trình vi phân tuyến tính (1.5) gọi ổn định nghiệm ổn định t → ∞ 1.2.3 Định lý Hệ phương trình vi phân tuyến tính (1.5) ổn định nghiệm tầm thường hệ phương trình vi phân tuyến tính tương ứng (1.6) ổn định theo Liapunov Chứng minh i) Điều kiện cần: Giả sử Z = Z(t)(t0 < t < ∞) nghiệm ổn định hệ vi phân tuyến tính khơng (1.5) Điều có nghĩa ε > tồn δ > cho với nghiệm X = X(t) (1.5) t0 < t < ∞ Ta có bất đẳng thức: ||X(t) − Z(t)|| < ε (1.7) ||X(t0 ) − Z(to )|| < δ (1.8) Khi Nhưng X1 (t) = X(t) − Z(t) nghiệm hệ vi phân tuyến tính (1.6) Ngược lại, nghiệm X1 (t) biểu diễn dạng X1 (t) = X(t) − Z(t) Như bất đẳng thức (1.7) (1.8) tương đương với bất đẳng thức sau ||X1 (t)|| < ε t0 t < ∞ ||X1 (t)|| < δ Từ suy rằng, nghiệm tầm thường X1 (t) ≡ hệ vi phân tuyến tính tương ứng (1.6) ổn định theo Liapunov t → ∞ ii) Điều kiện đủ: Giả sử nghiệm tầm thường X1 (t) ≡ hệ vi phân tuyến tính tương ứng (1.6) ổn định theo Liapunov t → ∞ Khi đó, X1 = X1 (t), (t0 t < ∞) nghiệm hệ vi phân tuyến tính cho ||X1 (t0 )|| < δ(ε; t0 ) Thì ||X1 (t)|| < ε t0 t < ∞ Như Z(t) nghiệm hệ vi phân tuyến tính khơng (1.5) X(t) nghiệm hệ từ bất đẳng thức: ||X(t0 ) − Z(t0 )|| < δ Suy bất đẳng thức ||X(t) − Z(t)|| < ε t0 t < ∞ Điều có nghĩa nghiệm Z(t) ổn định t → ∞ Định lý chứng minh 1.2.4 Định lý i) Hệ phương trình vi phân tuyến tính (1.5) ổn định tiệm cận nghiệm tầm thường hệ phương trình vi phân tuyến tính tương ứng (1.6) ổn định tiệm cận t → ∞ Định lý chứng minh trực tiếp suy từ khẳng định hiệu hai nghiệm hệ vi phân tuyến tính khơng nghiệm hệ vi phân tuyến tính tương ứng ( đẳng thức (1.9)) ii) Hệ phương trình vi phân tuyến tính (1.6) ổn định nghiệm tầm thường hệ phương trình vi phân tuyến tính tương ứng (1.6) ổn định t → ∞ 1.3 Tính ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính 1.3.1 Tính ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính dX = A(t)X dt (1.10) Trong A(t) liên tục khoảng (a, ∞), X(t) hàm cần tìm Định lý sau cho ta thấy tính ổn định hệ (1.10) tương đương với tính giới nội tất nghiệm 1.3.2 Định lý Hệ phương trình vi phân tuyến tính (1.10) ổn định theo Liapunov nghiệm X(t)(t0 hệ bị chặn nửa trục t0 t < ∞) t < ∞ Chứng minh i) Điều kiện đủ: Giả sử nghiệm (1.10) giới nội [t0 , ∞) ⊂ (a, ∞) Xét ma trận nghiệm chuẩn hố [ ] Y (t) = yjk (t) Trong Y (t0 ) = E Vì ma trận Y (t) bao gồm hàm giới nội yjk (t) nên giới nội Tức ||Y (t)|| M với t0 t < ∞ Với M số dương, nói chung khơng phụ thuộc vào t0 Vì nghiệm X = X(t) hệ (1.10) biểu diễn dạng: X(t) = Y (t).X(t0 ) Từ ta có ||X(t)|| Khi ||X(t0 )|| ε M ||Y (t)||.||X(t0 )|| M.||X(t0 )|| < ε = δ Như nghiệm tầm thường X0 ≡ theo định lý 1.2.3 nghiệm 10 hệ (1.10) ổn định theo Liapunov t → +∞ Như vậy, hệ (1.10) ổn định ii) Điều kiện cần: Giả sử hệ (1.10) có nghiệm khơng giới nội [t0 , ∞) Z(t), Z(t0 ) ̸= 0, cố định hai số dương ε > δ > Xét nghiệm X(t) = Rõ ràng ||X(t0 )|| = Z(t) ||Z(t0 )|| δ < δ · 2δ Và tính khơng giới nội Z(t) thời điểm t1 > t0 ta có ||X(t1 )|| = ||Z(t1 )|| δ · > ε ||Z(t0 )|| Như vậy, nghiệm tầm thường X ≡ hệ (1.10) không ổn định theo Liapunov t → +∞ Do đó, theo định lý (1.2.1) hệ (1.10) không ổn định Hệ quả: Nếu hệ vi phân tuyến tính khơng ổn định tất nghiệm giới nội khơng giới nội t → +∞ 1.3.3 Định lý Hệ phương trình vi phân tuyến tính ổn định tiệm cận tất nghiệm dần tới t → ∞ 1.4 Tính ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính với hệ số số Xét hệ vi phân tuyến tính nhất: dX = AX dt (1.11) Trong ma trận hệ số A = [aij ] ma trận vuông cấp n Với phần tử aij số 1.4.1 Định nghĩa Ma trận vuông A gọi ma trận ổn định (hay ma trận Hurwitz) tất giá trị riêng có phần thực âm 13 Theo cơng thức vi phân I tơ ta có ( ) dV = d xT Hx = dxT Hx + xT Hdx + (Bx)T HBxdt ( ) = xT AT dt + xT B T dw(t) Hx + xT (HAxdt + HBxdw(t)) + xT B T HBxdt ( ) ( ) = xT AT H + HA + B T HB xdt + xT B T H + HB xdw(t) Do W (t) trình Wierer nên Edw(t) = ( ) Ta suy E(dv) = xT AT H + HA + B T HB xdt 1.5.7 Phương pháp hàm Liapunov Xét hệ phương trình: dX = F (t; X) dt (1.12) Giả sử F (t; X) thoả mãn điều kiện Lipschitz x miền: Ω(h; t) = {||X|| h} × {t t0 } Và F (t; 0) = với t Rõ ràng hệ có nghiệm X ≡ 1.5.8 Định nghĩa Giả sử hàm V = V (t; X) khả vi, liên tục theo biến t, x1 , x2 , , xn miền Ω Khi hàm ∑ ∂V V (t; X) ∂V = + fj (t; X) dt ∂t ∂t n j=1 Được gọi đạo hàm theo t hàm V (t; X) nghĩa hệ dX dt = F (t; X) 1.5.9 Định lý i) (Định lý thứ Liapunov) Nếu hệ quy đổi (1.16) tồn hàm xác định dương (1,1) V (t; X) ∈ CtX (T0 ) (T0 ⊂ T ) 14 có đạo hàm dấu dương V (t; X) theo t nghĩa hệ nghiệm tầm thường X ≡ 0, (a < t < ∞) hệ cho ổn định theo Liapunov t → +∞ ii) (Định lý thứ hai Liapunov) Giả sử hệ quy đổi (1.16) tồn (1,1) hàm xác định dương v(t; X) ∈ CtX (T0 ) có giới hạn vô bé bậc cao X → có đạo hàm theo t xác định âm v(t; X) nghĩa hệ Khi nghiệm tầm thường X ≡ hệ ổ định tiệm cận t → +∞ 1.6 Tính ổn định hệ vi phân ngẫu nhiên dx(t) = A(x)(t)dt + Bx(t)dW (t) A, B ∈ Rn×n , x(t) ∈ Rn (1.13) W (t): Quá trình Wiener Nhận xét x(t) ≡ nghiệm (1.13) 1.6.1 Định nghĩa Nghiệm x ≡ nghiệm (1.13) ổn định với xác { suất nếu: } sup ||x(t)|| lim P T →∞ ε =0 T +t0 cho AT H +HA+B T HB = −G (G = GT > tuỳ ý) nghiệm x ≡ ổn định tiệm cận với xác suất 1.6.5 Định lý Giả sử A ma trận Hurwitz ( ) B ma trận không suy biến B T B > 0, det B ̸= H − E ma trận xác định âm Nếu tồn H = H T > cho AT H +HA = −B T B nghiệm x ≡ ổn định tiệm cận với xác suất 1.6.6 Bổ đề Ma trận H − E xác định âm ⇔ λj (H) < 0, ∀j 16 CHƯƠNG CHUẨN LOGARIT VÀ ỨNG DỤNG ĐỂ NGHIÊN CỨU TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN I TƠ Trong chương này, chúng tơi trình bày các tính chất chuẩn logarit điều kiện đủ cho tính ổn định tiệm cận bình phương trung bình hệ phương trình vi phân khơng đưa dạng Cauchy 2.1 Một số khái niệm tính chất Xét hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên I tơ tuyến tính đưa dạng Cauchy { (I) dX = AXdt + BXdW (t) X(0) = X0 với A, B ∈ Rn×n , x ∈ Rn , t ∈ [0; +∞) 2.1.1 Định nghĩa Nghiệm X(t)≡0 hệ phương trình (I) gọi ổn định tiệm cận bình phương trung bình thoả mãn hai điều kiện sau i) ∀ε > 0, ∃δ > : E||X(t)||2 < ε với t ||X0 ||2 < δ ii) ∃δ0 > : lim E||X(t)||2 = 0; ||X0 ||2 < δ0 Với ||x|| chuẩn ơclit véc tơ x ∈ Rn 2.1.2 Định nghĩa Tương ứng với chuẩn véc tơ l1 ; l2 ; l∞ Rn ta định nghĩa chuẩn ma trận vng A = (aij )n×n cơng thức sau { i) ||A||1 = max j n ∑ i=1 } |aij | (2.1) 17 { ii) ||A||∞ = max i n ∑ } |aij | (2.2) j=1 { } T iii) ||A||2 = max λj (A A) j 2.1.3 Định nghĩa Chuẩn logarit ma trận A = (aij )n×n xác định cơng thức ||I + hA||l − h h→0 µl [A] = lim ( (l = 1; 2; ∞) (2.3) Khái niệm chuẩn logarit ma trận A nhà toán học Nga S.M Lozinski đưa µp [A] có tính chất sau: −µ[−A] ln||eA || ) µ[A] 2.1.4 Mệnh đề Chuẩn logarit ma trận xác định công thức (2.3) có tính chất sau: i) µl [cA] = cµl [A]∀c ii) µl [A + B] = µl [A] + µl [B] iii) µl [A + cI] = µl [A] + c iv) −||A||l −µl [−A] Reλ[A] µl [A] ||A|| 2.1.5 Mệnh đề Chuẩn logarit ma trận A = (aij )n×n tương ứng với chuẩn ma trận xác định cơng thức sau { } n ∑ |aij | a) µ1 [A] = max ajj + j i=1,i̸=j { } n ∑ |aij | (2.4) b) µ∞ [A] = max aii + i j=1,j̸=i } { A+AT c) µ2 [A] = max λj ( ) Chú ý µp [A] khơng phải chuẩn j lấy giá trị âm Tuy nhiên ta có µp [A] + µp [−A] 0; µp [0] = 18 2.2 Phương trình vi phân P (t) = EX(t)X(t)T Xét hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên I Tơ hai chiều { dX(t) = AX(t)dt + BX(t)dW (t) X(0) = Trong [ A= [ B= λ1 0 λ2 α1 β1 β2 α2 ] ] Đặt P (t) = EX(t)X(t)T 2.2.1 Mệnh đề Phương trình vi phân P (t) thoả mãn phương trình ma trận dP = AP + P AT + BP B T dt P (0) = EX0 X0T (2.5) Chứng minh Ta viết lại phương trình (2.5) dạng dX = (Adt + BdW )X Từ dX T = X T (AT dt + B T dW ) Ta có dXX T = XdX T + dXX T + (BX)(BX)T dt = XX T (AT dt + B T dW ) + (Adt + BdW )XX T + BXX T B T dt ⇒ dEXX T = (EXX T AT + AEXX T + BEXX T B T )dt Từ suy điều phải chứng minh 2.2.2 Định nghĩa Nghiệm X(t) ≡ hệ phương trình (2.5) gọi ổn định tiệm cận bình phương trung bình thoả mãn điều kiện 19 a) ∀ε > 0, ∃δ > cho ||X0 || < δ ta có E(||X(t)||2 ) < ε với ∀t b) ∃δ0 cho ||X0 || < δ0 ta có lim E(||X(t)||2 ) = t→∞ Trong đó: ||x|| chuẩn Euclid véc tơ x ∈ R2 Bây ta thiết lập phương trình P (t) = EX(t)X(t)T dạng gọn để vận dụng chuẩn loga µp vào việc nghiên cứu tính ổn định tiệm cận phương trình vi phân ngẫu nhiên cho (2.5) dạng gọn mà ta cần phương trình tuyến tính 2.2.3 Mệnh đề Phương trình ma trận (2.6) viết dạng dY = MY dt Trong ( ) Y (t) = Y (t), Y (t), Y (t) ( )2 Y (t) = E X (t) = p11 ( )2 Y (t) = E X (t) = p22 Y (t) = EX (t)X (t) = p12 Từ tính chất chuẩn logarit ta có: 2.2.4 Mệnh đề Hệ vi phân tuyến tính (2.5) với điều kiện ban đầu đơn vị ổn định tiệm cận liên quan đến chuẩn loga µp µp (M ) < Để nghiên cứu tính ổn định tiệm cận hệ vi phân tuyến tính (2.5) liên quan đến chuẩn loga µ∞ ta cần tìm ma trận M [ Gọi P = p11 p12 p21 p22 ] 20 Do tính đối xứng ma trận P nên phương trình ma trận (2.6) có dạng [ · ] · p11 p12 dP = · · dt p12 p22 [ ][ ] [ ][ ] λ1 p11 p12 p11 p12 λ1 = λ p12 p22 + p12 p22 λ2 + [ ][ ][ ] α1 β p11 p12 α1 β2 + β α p12 p22 β1 α2 2 [ ] 2λ1 p11 (λ1 + λ2 )p12 = (λ + λ )p + 2λ2 p22 12 [ α (α p + β p ) + β (α p + β p ) β (α p + β p + α (α p + β p ) + α1 (β 1p 11 + α1 p12 ) + β1 (β 1p 12 + α1 p22 ) β 2(β 1p 11+ α 1p 12) + α2 (β1 p12 + α1 p22 ) 11 12 12 22 2 11 12 2 12 22 [ ] (2λ1 + α12 )p11 β12 p22 2α1 β1 p12 2 = β2 p11 (2λ2 + α2 )p22 2α2 β2 p12 α1 β2 p11 α2 β1 p22 (λ1 + λ2 + α1 α2 + β1 β2 )p12 Từ ta thấy ma trận liên quan đến chuẩn loga µ∞ có dạng: [ ] 2λ1 + α12 β12 2α1 β1 = β22 2λ2 + α22 2α2 β2 α1 β2 α2 β1 λ1 + λ2 + α1 α2 + β1 β2 2.2.5 Định lý Hệ vi phân (2.5) ổn định liên quan đến chuẩn loga µ∞ { } max 2λ1 + (|α1 | + |β1 |)2 ; 2λ2 + (|α2 | + |β2 |)2 < Chứng minh Suy từ nhận xét sau đây: Tổng số hạng hàng cuối ma trận M λ1 + λ2 + α1 α2 + β1 β2 + |α1 β2 | + |α2 β1 | λ1 + λ2 + |α1 α2 | + |β1 β2 | + |α1 β2 | + |α2 β1 | λ1 + λ2 + (|α1 | + |β1 |)(|α2 | + |β2 |) 2λ1 + (|α1 | + |β1 |)2 2λ2 + (|α2 | + |β2 |)2 + 2 Vậy nên { } max 2λ1 + (|α1 | + |β1 |)2 ; 2λ2 + (|α2 | + |β2 |)2 < 21 Ta suy { max |2λ1 + α12 | + β12 + 2α1 β1 ; β22 + |2λ2 + α22 | + 2α2 β2 ; α1 β2 + α2 β1 + |λ1 + λ2 + α1 α2 + β1 β2 | < Do µ∞ (M ) < Theo mệnh đề (2.2.4) hệ (2.5) ổn định tiệm cận Định lý chứng minh 2.2.6 Hệ Trong trường hợp B= [ β β ]   2λ1 β  M =  β 2λ2 0 λ1 + λ2 + β hệ (2.4) ổn định bình phương trung bình theo chuẩn loga µ∞ { } max 2λ1 + β , 2λ2 + β < 2.2.7 Hệ Trong trường hợp: [ ] α β B= β α  2λ1 + α2 β2 2αβ  M = β2 2λ2 + α2 2αβ αβ αβ λ1 + λ2 + α2 + β  Khi hệ (2.4) ổn định bình phương trung bình theo chuẩn loga µ∞ { } max 2λ1 + (|α| + |β|)2 ; 2λ2 + (|α| + |β|)2 < 22 2.3 Điều kiện đủ cho tính ổn định tiệm cận bình phương trung bình hệ phương trình vi phân khơng đưa dạng Cauchy Xét hệ phương trình vi phân khơng đưa dạng Cauchy có dạng { sau (II) DdX = AXdt + BXdW (t) X(0) = X0 Với A, B, D ∈ Rn×n , x ∈ Rn , t Đặt P (t) = EX(t)X T (t) ma trận moment bậc hai nghiệm X(t) X(t) nghiệm hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên I Tơ tuyến tính (II) Khi ta có kết 2.3.1 Định lý Các moment bậc hai nghiệm X(t) hệ phương trình (II) thoả mãn phương trình ma trận sau { D P DT = DP AT + AP DT + BP B T P (0) = EX0 X0T (2.6) Chứng minh Từ (II) suy dX = D−1 (Adt + BdW (t))X ⇒ dX T = X T (AT dt + B T dW (t))(D−1 )T Mặt khác, theo công thức vi phân I Tơ ta có dXX T = (dX)X T + XdX T + (D−1 BX)(D−1 BX)T dt ( ) ( ) = D−1 Adt + BdW (t) XX T + XX T AT dt + B T dW (t) (D−1 )T + D−1 BXX T B T (D−1 )T dt ⇒ dEXX T = [D−1 AEXX T + EXX T AT (D−1 )T + D−1 BEXX T B T (D−1 )−1 ]dt ( )T ⇒ dP = [D−1 AP + P AT D−1 + D−1 BP B T (D−1 )−1 ]dt ⇒ D P DT = AP DT + DP AT + BP B T 23 Vậy định lý hoàn toàn chứng minh Bây ta xét hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên I Tơ tuyến tính hai chiều không đưa dạng Cauchy { DdX = AXdt + BXdW (t) (III) X(0) = X0 Với ma trận hệ số [ A= [ B= [ D= λ1 0 λ2 α1 β1 β2 α2 v1 0 v2 ] ] ] >0 Bằng cách thay trực tiếp vào hệ phương trình (2.7) ta có phương trình moment nghiệm hệ phương trình (III) D Y = MY Trong [ D= [ M= v12 0 v v2 0 v22 (2.7) ] α12 + 2λ1 v1 2α1 β1 β12 α1 β2 α1 α2 + β1 β2 + λ1 v2 + λ2 v1 α2 β1 2 2α2 β2 α2 + 2λ2 v2 β2 ] [ p11 Y = p12 p22 ] Từ mệnh đề (2.4) ta có bổ đề sau 2.3.2 Bổ đề Hệ phương trình (2.8) ổn định tiệm cận theo chuẩn loga µl , l = 1; 2; ∞ µl (D −1 M ) < 24 2.3.3 Định lý Hệ phương trình (III) ổn định bình phương trung bình theo chuẩn loga µ∞ điều kiện sau thoả mãn: { } max (|β1 | + |α1 |)2 + 2λ1 v1 ; (|β2 | + |α2 |)2 + 2λ2 v2 < Chứng minh Từ (2.8) ta có  D −1  M =  α1 +2λ1 v1 v12 α1 β2 v1 v2 β22 v22 2α1 β1 v12 α1 α2 +β1 β2 +λ1 v2 +λ2 v1 v1 v2 2α2 β2 v22 β12 v12 α2 β1 v1 v2 α22 +2λ2 v2 v22     Ta có |α1 β2 | + α1 α2 + β1 β2 + λ1 v2 + λ2 v1 + |α2 β1 | v1 v2) ( )( |β1 | + |α1 | |β2 | + |α2 | + λ1 v1 + λ2 v2 v1 v2 } { (|β1 | + |α1 |)2 + 2λ1 v1 (|β2 | + |α2 |)2 + 2λ2 v2 + v12 v22 Do từ điều kiện } { max (|β1 | + |α1 |)2 + 2λ1 v1 ; (|β2 | + |α2 |)2 + 2λ2 v2 < Ta suy max { (|β1 | + |α1 |)2 + 2λ1 v1 (|β2 | + |α2 |)2 + 2λ2 v2 ; v12 v22 }