Toán tử khuyếch tán và ứng dụng để nghiên cứu tính ổn định của phương trình vi phân ngẫu nhiên

35 502 0
Toán tử khuyếch tán và ứng dụng để nghiên cứu tính ổn định của phương trình vi phân ngẫu nhiên

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

LỜI MỞ ĐẦU Trong năm gần tính ổn định hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên nhiều nhà tốn học ngồi nước quan tâm nghiên cưú Đáng ý cơng trình nghiên cứu Xuerong Mao cộng ơng tính ổn định mũ bình phương trung bình hay ổn định mũ hầu chắc Đối với trạng thái cân hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên có chuyển đổi Máccốp hay khơng có chuyển đổi Điều bắt nguồn từ tầm quan trọng tính ổn định hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên, phương trình vi phân ngẫu nhiên mơ hình tốn học phản ánh hoạt động hệ thống Luận văn đề cập đến việc trình bày khái niệm tốn tử khuyếch tán vai trị tốn tử việc nghiên cứu tính ổn định hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên Trong luận văn phương trình vi phân ngẫu nhiên có trễ với chuyển đổi Markov có dạng: dx(t) = f(x(t), x(t-  ), t, r(t))dt + g(x(t), x(t-  ), t, r(t))dwt) (1.1) r(t) Xích Markov lấy giá trị tập S = {1,2,…,N} Phương trình coi kết N phương trình sau: dx(t) = f(x(t), x(t-  ), t, i )dt + g(x(t), x(t-  ), t, i )dω(t),  i  N (1.2) Trong trình thực luận văn, tác giả nhận giúp đỡ nhiệt tình thầy giáo, giáo, đồng nghiệp, bạn bè, người thân Với tình cảm chân thành trân trọng nhất, tác giả xin trân trọng cảm ơn PGS.TS Phan Đức Thành, người trực tiếp hướng dẫn tác giả thực hiên luận văn Nhân dịp tác giả xin chân thành cảm ơn PGS.TS Nguyễn Văn Quảng, PGS.TS Trần Xuân Sinh, TS Nguyễn Trung Hòa, thầy cô giáo môn Xác suất thống kê ứng dụng, Khoa Toán, Khoa sau đại học – Trường Đại Học Vinh Cuối tác giả xin chân thành cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp tận tình giúp đỡ, động viên để tác giả hoàn thành luận văn Vinh, ngày tháng 01 năm 2011 Tác giả Nguyễn Thị Duyên MỤC LỤC Trang LỜI MỞ ĐẦU CHƯƠNG 1: TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ VI PHÂN 1.1 Các khái niệm lý thuyết ổn định 1.2 Tính ổn định hệ vi phân tuyến tính .4 1.3 Tính ổn định hệ vi phân tuyến tính 1.4 Ổn định hệ tuyến tính dừng 1.5 Ổn định hệ tuyến tính khơng dừng 1.6 Ổn định hệ phi tuyến .12 1.7 Tính ổn định với xác suất hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên 14 CHƯƠNG 2: TOÁN TỬ KHUYẾCH TÁN VÀ ỨNG DỤNG ĐỂ NGHIÊN CỨU TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN .21 2.1 Toán tử khuyếch tán 21 2.2.Ứng dụng toán tử khuyếch tán để nghiên cứu tính ổn định phương trình vi phân ngẫu nhiên có trễ với chuyển đổi Markov .25 KẾT LUẬN 33 TÀI LIỆU THAM KHẢO 34 CHƯƠNG TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ VI PHÂN Chương trình bày số kiến thức lý thuyết ổn định Liapunov hệ phương trình vi phân Nội dung chương trình bày theo chuyên khảo Nguyễn Thế Hoàn, Phạm Phu Vũ Ngọc Phát Xem [1] [2] 1.1 Các khái niệm lý thuyết ổn định Xét hệ phương trình vi phân:  x (t ) = f(t,x), t 0 x(t ) = x x(t) Rn (1.1) trạng thái hệ, f: R  R n  R  hàm véc tơ cho trước f(t,x) liên tục theo t, có đạo hàm riêng cấp theo biến x1,…,xn liên tục 1.1.1 Định nghĩa Nghiệm x(t) hệ gọi ổn định theo Lyapunov   0, t0 0,   ( , t0 ) y0  x0   cho nghiệm y(t) hệ thỏa mãn nghiệm bất đẳng thức y (t )  x (t )  , t t 1.1.2 Định nghĩa Nghiệm x(t) hệ gọi không ổn định theo Lyapunov   t0 0,   ( , t0 ) cho   0, tồn nghiệm y(t) hệ thời điểm t1  t0 thỏa mãn y0  x0   y (t1 )  x (t1 )  1.1.3 Định nghĩa Nghiệm x(t) hệ gọi ổn định tiệm cận theo Lyapunov ổn định   cho với y0  x0   y (t )  x (t ) =0 lim t  1.1.4 Định nghĩa Dùng phép biến đổi z = x - y ta đưa hệ (1.1) hệ  z  g (t , x ) (1.2) g(t,x) = f( t, y + z) – f( t, y) Rõ ràng g(t,0) = hệ cho hệ tầm thường z 0 Hệ gọi hệ quy đổi 1.1.5 Định nghĩa Nghiệm tầm thường( trạng thái cân bằng) x 0 gọi ổn định   0, t0 0,   ( , t0 ) cho nghiệm y(t) hệ thỏa mãn y (t )   nghiệm bất đẳng thức x (t )   , t t0 1.1.6 Định nghĩa Nghiệm tầm thường x 0 hệ gọi tiệm cận theo Lyapunov ổn định   cho nghiệm y(t) thỏa mãn y (t0 )   y (t ) 0 lim t  1.1.7 Định nghĩa Hệ (1.1) gọi ổn định mũ M  0,   cho   (t  t ) , t t0 nghiệm x(t) hệ với x(t0 )  x0 thỏa mãn x(t ) M e Khi nghiệm khơng hệ ổn định tiệm cận mà nghiệm tiến tới nhanh với tốc độ hàm số mũ 1.2 Tính ổn định hệ vi phân tuyến tính Xét hệ vi phân tuyến tính  x (t )  A(t ) x  f (t ) (1.3) hệ vi phân tuyến tính  (1.4) x(t )  A(t ) x ma trận A(t) véc tơ f(t) liên tục khoảng (0,  ) 1.2.1 Định nghĩa Hệ vi phân tuyến tính (1.3) gọi ổn định tất nghiệm ổn định 1.2.2 Nhận xét Các nghiệm hệ vi phân tuyến tính đồng thời ổn định đồng thời không ổn định 1.2.3 Định nghĩa Hệ vi phân tuyến tính (1.3) gọi ổn định tiệm cận tất nghiệm ổn định tiệm cận 1.2.4 Định lý Hệ vi phân tuyến tính (1.3) ổn định với số hạng tự f(t) nghiệm tầm thường hệ tương ứng (1.4) ổn định 1.2.5 Định lý Điều kiện cần đủ để hệ vi phân tuyến tính (1.3) ổn định tiệm cận nghiệm tầm thường hệ tương ứng (1.4) ổn định tiệm cận 1.2.6 Hệ Hệ vi phân tuyến tính (1.3) với số hạng tự f(t) ổn định (ổn định tiệm cận) hệ vi phân tuyến tính tương ứng ổn định (ổn định tiệm cận) 1.3 Tính ổn định hệ vi phân tuyến tính 1.3.1 Định lý Điều kiện cần đủ để hệ vi phân tuyến tính (1.4) ổn định theo Lyapunov nghiệm x(t) hệ bị chặn  t0 ,  Chứng minh Điều kiện cần : Giả sử hệ (5) ổn định có nghiệm z(t) không bi chặn  t0 , , z (t0 ) 0 Ta nghiệm tầm thường hệ không ổn z (t )  định Thật lấy   xét nghiệm y(t) = z (t ) Rõ ràng y (t0 ) 2  z(t) không bị chặn nên y(t) không bi chặn t ,  Do với  cố định, t1  t0 cho y (t1 )   Từ suy nghiệm tầm thường y 0 không ổn định Điều mâu thuẫn với giả thuyết hệ ổn định Như nghiệm y = y(t) hệ bị chặn  t ,  Điều kiện đủ: Giả sử nghiệm hệ bị chặn  t0 ,  Khi ma trận chuẩn hóa  (t )  xik (t ) bao gồm hàm giới nội nên giới nội Do tồn M > để  (t ) M ,  t0 ,  Mặt khác với nghiệm x(t) hệ ta có y (t )  (t ) y (t0 ) Suy ra: y (t )   (t ) y (t0 )   (t ) y (t0 ) M y (t0 )   Khi y (t )    =  , chọn  = M M Như nghiệm tầm thường y 0 ổn định Do hệ (1.4) ổn định 1.3.2 Hệ Nếu hệ vi phân tuyến tính khơng ổn định nghiệm đồng thời giới nội đồng thời khơng giới nội 1.3.3 Chú ý Đối với hệ vi phân phi tuyến, từ tính giới nội nghiệm nói chung khơng suy tính ổn định 1.3.4 Định lý Điều kiện cần đủ để hệ vi phân tuyến tính (1.4) ổn x(t ) 0 định tiệm cận tất nghiệm thỏa mãn lim t  Chứng minh Điều kiện cần: Giả sử hệ (1.4) ổn định tiệm cận Khi nghiệm tầm thường z0 0 ổn định tiệm cận Từ suy nghiệm z(t) mà có z (t0 )   z (t ) 0 Giả sử y(t) nghiệm hệ với điều kiện lim t  ban đầu y (t0 ) = y , y (t0 ) 0 y(t)  Đặt z (t )  y(t ) nghiệm z(t) z (t ) lim z (t ) 0 Do lim t  t  nghiệm hệ thỏa mãn lim t  y (t0 ) z (t )  =0 y (t ) 0 Suy với Điều kiện đủ: Giả sử nghiệm y(t) hệ thỏa mãn lim t  T đủ lớn (T> t ) nghiệm y(t) bị chặn (T,  ) Mặt khác hàm véc tơ y(t) liên tục  t , T  nên bị chặn đoạn Như nghiệm y(t) bị chặn t ,  Do hệ ổn định Suy nghiệm tầm thường z 0 ổn định y (t ) 0 ta suy nghiệm tầm thường z 0 ổn Kết hợp với giả thiết lim t  định tiệm cận Do hệ cho ổn định tiệm cận 1.3.5 Chú ý Đối với hệ vi phân phi tuyến điều kiện tất nghiệm dần tới không t   nói chung khơng phải điều kiện đủ để nghiệm ổn định tiệm cận 1.4 Ổn định hệ tuyến tính dừng Xét hệ vi phân tuyến tính nhất:  x (t )  A(t ) x , t 0 (1.5) A  a jk  n ma trận 1.4.1 Định lý Hệ vi phân (1.5) ổn định tất nghiệm đặc trưng j ma trận A có phần thực khơng dương nghiệm đặc trưng có phần thực khơng có ước đơn 1.4.2 Định lý Hệ vi phân tuyến tính (1.5) ổn định tiệm cận tất nghiệm  phương trình đặc trưng ma trận A có j phần thực âm 1.4.3 Định lý Hệ (1.5) ổn định mũ phần thực tất giá trị riêng ma trận A âm 1.4.4 Chú ý Đối với hệ vi phân tuyến tính dừng mệnh đề sau tương đương: i) Hệ ổn định mũ, ii) Hệ ổn định tiệm cận, iii) Mọi giá trị riêng ma trận A có phần thực âm 1.4.5 Ví dụ Xét tính ổn định hệ  x   x1    x   x2 Ta thấy  A  0     2  Các giá trị riêng ma trận A  ( A) = -1,-2 có Re  ( A) n 1.5 Ổn định hệ tuyến tính khơng dừng Xét hệ vi phân tuyến tính  x (t )  A(t ) x(t ) , t 0 (1.6) 1.5.1 Định lý Xét hệ (1.6), A(t) = A + C(t) Giả sử A ma trận ổn định, C(t) khả tích R  Khi hệ ổn định mũ với C (t ) a, a  a>0 đủ nhỏ Chứng minh Với A(t) = A + C(t) hệ phương trình (1.6) có dạng  x (t )  Ax (t )  C (t ) x (t ), t 0 Do nghiệm hệ với x(t0 ) = x0 cho bởi: t x(t ) e t Ads t0 t ( x0  C ( s ) x( s )e -Adt t0 t0 x0 e A ( t  t0 ) t t ds ) e A ( t  t ) ( x0  C ( s ) x( s )e t0 t  C ( s ) x( s )e A ( t  s ) ds t0 10 -A(s-t ) t0 ds)         ... VÀ ỨNG DỤNG ĐỂ NGHIÊN CỨU TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN .21 2.1 Toán tử khuyếch tán 21 2.2 .Ứng dụng toán tử khuyếch tán để nghiên cứu tính ổn định phương. .. 1: TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ VI PHÂN 1.1 Các khái niệm lý thuyết ổn định 1.2 Tính ổn định hệ vi phân tuyến tính .4 1.3 Tính ổn định hệ vi phân tuyến tính 1.4 Ổn định hệ tuyến tính. .. định tiệm cận) hệ vi phân tuyến tính tương ứng ổn định (ổn định tiệm cận) 1.3 Tính ổn định hệ vi phân tuyến tính 1.3.1 Định lý Điều kiện cần đủ để hệ vi phân tuyến tính (1.4) ổn định theo Lyapunov

Ngày đăng: 22/12/2013, 13:08

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan