Sử dụng phương pháp Lyapunov để nghiên cứu tính chất nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính bị nhiễu

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - - - - - - - - - o0o - - - - - - - - - HÀ THỊ LY SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP LYAPUNOV ĐỂ NGHIÊN CỨU TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH BỊ NHIỄU LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - - - - - - - - - o0o - - - - - - - - - HÀ THỊ LY SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP LYAPUNOV ĐỂ NGHIÊN CỨU TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH BỊ NHIỄU Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS ĐẶNG ĐÌNH CHÂU Hà Nội - 2015 Mục lục Mở đầu Sử dụng phương pháp Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định nghiệm hệ phương trình vi phân 1.1 Khái niệm tính ổn định nghiệm hệ phương trình vi phân 1.1.1 Sự tồn nghiệm phương trình vi phân tuyến tính 1.1.2 Hệ rút gọn 1.1.3 Các khái niệm ổn định 1.2 Định nghĩa tính chất số mũ đặc trưng Lyapunov 1.3 Số mũ đặc trưng hàm ma trận 1.4 Phổ Lyapunov phép biến đổi Lyapunov hệ phương trình vi phân tuyến tính 1.4.1 Phổ hệ tuyến tính 1.4.2 Bất đẳng thức Lyapunov 1.4.3 Phép biến đổi Lyapunov 1.4.4 Một số ví dụ phương pháp số mũ 1.5 Phương pháp hàm Lyapunov Rn 1.5.1 Các hàm xác định dấu 1.5.2 Định lý thứ Lyapunov ổn định 1.5.3 Định lý thứ hai Lyapunov ổn định tiệm cận 1.5.4 Định lý thứ ba Lyapunov không ổn định 1.6 Các ví dụ phương pháp hàm Lyapunov Sử dụng phương pháp số đặc trưng Lyapunov-Bagdanov để nghiên cứu tính ổn định hệ động lực 2.1 Định nghĩa hệ động lực thang thời gian vài khái niệm mở đầu 2.1.1 Định nghĩa hệ động lực thang thời gian 2.1.2 Định nghĩa tập bất biến 2.1.3 Tập ω - giới hạn hệ động lực 2.1.4 Chuyển động ổn định theo Lagrange 2.1.5 Điểm đứng yên 6 10 11 16 18 18 21 22 23 25 25 26 28 30 32 34 35 35 35 36 38 38 2.2 Khái niệm số đặc trưng tổng quát Lyapunov - Bagdanov 2.2.1 Một số khái niệm 2.2.2 Tính ổn định tập V hệ động lực f (p, t) 2.2.3 Các ví dụ minh họa Kết luận 39 39 42 49 52 Mở đầu Trong mô hình ứng dụng lý thuyết phương trình vi phân, thường gặp toán liên quan đến hệ phương trình vi phân phi tuyến tập nghiệm phương trình vi phân Trong trường hợp sử dụng phương pháp thông thường để nghiên cứu hệ động lực tuyến tính hệ phương trình vi phân tuyến tính gặp nhiều khó khăn, phức tạp Từ lâu, người ta xây dựng nhiều phương pháp khác để vượt qua khó khăn (xem [4], [8], [1]) Mục đích luận văn trình bày lại số kết liên quan tới việc phát triển cải tiến phương pháp quen thuộc biết lý thuyết định tính phương trình vi phân (chẳng hạn phương pháp số mũ Lyapunov hay phương pháp tập bất biến hệ động lực) sử dụng chúng cho việc nghiên cứu tính ổn định chuyển động theo Lyapunov theo Lagrange Nội dung luận văn chia làm hai phần - Phần thứ trình bày lại kết phương pháp số mũ Lyapunov phương pháp hàm Lyapunov - Phần thứ hai luận văn dành cho việc trình bày lý thuyết số mũ đặc trưng tổng quát Lyapunov - Bagdanov tính ổn định hệ động lực tổng quát không gian mêtric Bố cục luận văn gồm hai chương: Chương 1: Sử dụng phương pháp Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định nghiệm hệ phương trình vi phân Chương 2: Sử dụng phương pháp số đặc trưng Lyapunov - Bagdanov để nghiên cứu tính ổn định hệ động lực Bản luận văn thực hướng dẫn tận tình PGS TS Đặng Đình Châu Nhân dịp xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy người dành nhiều thời gian công sức để hướng dẫn, kiểm tra, giúp đỡ việc hoàn thành luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn đến thầy cô giáo Khoa Toán - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - ĐHQG Hà Nội kiến thức điều tốt đẹp mang lại cho thời gian học tập trường Tôi xin cảm ơn phòng Sau đại học điều kiện thuận lợi việc hoàn thành thủ tục học tập bảo vệ luận văn Cuối muốn bày tỏ lòng biết ơn gia đình, người thân chỗ dựa vững cho sống học tập Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Tôi mong nhận góp ý quý thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện Hà Nội, tháng 10 năm 2015 Hà Thị Ly Chương Sử dụng phương pháp Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định nghiệm hệ phương trình vi phân Bài toán nghiên cứu tính ổn định hệ phương trình vi phân toán lý thuyết định tính phương trình vi phân Để xác lập điều kiện đủ cho tính ổn định nghiệm tập nghiệm hệ phương trình vi phân ta sử dụng phương pháp nhà toán học Nga A.M Lyapunov Phương pháp Lyapunov xây dựng từ năm 1918 (xem [2]) ngày phát triển thành lý thuyết hoàn thiện có khả áp dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực khác khoa học tự nhiên Trong chương luận văn này, dành cho việc trình bày lại số kết phương pháp nghiên cứu tính ổn định chuyển động Lyapunov Đó phương pháp số mũ Lyapunov (xem [4]) phương pháp hàm Lyapunov (xem [4], [8]) Dựa vào phương pháp người ta mở rộng phát triển thành phương pháp để áp dụng cho số dạng hệ động lực quen thuộc (xem [10]) Một mở rộng thú vị phương pháp Lyapunov mà đề cập tới luận văn phương pháp số đặc trưng tổng quát Lyapunov - Bagdanov (xem [6], [11]) Phương pháp giới thiệu chương Một vấn đề thường thảo luận sâu sắc công trình nghiên cứu gần "bình luận" tính ưu việt hạn chế để lại phương pháp nghiên cứu tính ổn định Trong khuôn khổ luận văn thạc sĩ xin phép không trình bày cách chi tiết vấn đề Chúng dành quan tâm nhiều cho việc xây dựng ví dụ với mục tiêu ứng dụng phương pháp trình bày chương cho toán nhiễu Trước vào phương pháp, xin đưa số khái niệm tính ổn định nghiệm hệ phương trình vi phân 1.1 Khái niệm tính ổn định nghiệm hệ phương trình vi phân 1.1.1 Sự tồn nghiệm phương trình vi phân tuyến tính Giả sử B không gian Banach Trong không gian B ta xét phương trình vi phân dx(t) = f (t, x(t)), (1.1) dt t ∈ R+ , x(.) ∈ B hàm f : R+ × D → B với D miền đơn liên không gian Banach B Từ sau không nói thêm ta hiểu nghiệm (1.1) nghiệm theo nghĩa cổ điển sau: Định nghĩa 1.1 Hàm x = x(t), (x : I → B; I ⊂ R+ xác định I , khả vi liên tục theo t ∈ I ) gọi nghiệm (1.1) thay vào (1.1) ta thu đồng thức I Tức dx(t) = f (t, x(t)), ∀t ∈ I dt Bài toán Cauchy: Tìm nghiệm x = x(t) phương trình (1.1) thỏa mãn điều kiện ban đầu x(t0 ) = x0 với (t0 , x0 ) ∈ I × B cho trước Tương ứng với phương trình (1.1) ta thường xét phương trình tích phân sau: t x(t) = x0 + f (τ, x(τ ))dτ (1.2) t0 Nhận xét: Nếu hàm f liên tục theo chuẩn B ta nghiệm (1.2) nghiệm toán Cauchy ngược lại.Sau ta ký hiệu: S(ε,η) = (t, x) ∈ R+ × B : |t − t0 | ≤ ε, ||x − x0 || ≤ η , với ε > 0, η > lân cận đóng điểm (t0 , x0 ) Khi ta có định lý tồn nghiệm toán Cauchy sau: Định lý 1.1 (Tính nghiệm địa phương) Giả sử tồn lân cận đóng (t0 , x0 ) cho lân cận hàm f (t, x) liên tục theo t, ||f (t, x0 )|| ≤ M0 < +∞ thỏa mãn điều kiện Lipschitz: ||f (t, x2 ) − f (t, x1 )|| ≤ M ||x2 − x1 ||, (1.3) M số hữu hạn Khi tồn lân cận điểm x0 mà lân cận (1.1) có nghiệm x = x(t) thỏa mãn điều kiện ban đầu x(t0 ) = x0 Chứng minh Từ giả thiết ta suy tồn ε > 0, η > cho miền |t − t0 | ≤ ε, ||x − x0 || ≤ η , ta có: ||f (t, x)|| ≤ ||f (t, x0 )|| + ||f (t, x) − f (t, x0 )|| ≤ ||f (t, x0 )|| + M η ≤ M1 < +∞ Lấy δ = ε, Mη1 ký hiệu Cδ (B) không gian Banach hàm liên tục x(t) xác định |t − t0 | ≤ δ với chuẩn |||x||| = sup ||x(t)|| |t−t0 |≤δ Gọi Bη (x0 ) = {x ∈ Cδ (B) : |||x − x0 ||| ≤ η} Xét toán tử: t (Sx)(t) = x0 + f (τ, x(τ ))dτ t0 Ta có: t f (τ, x(τ ))dτ || ≤ ||t − t0 || sup ||f (τ, x(τ ))|| ||(Sx)(t) − x0 || = || τ ∈[t0 ,t] t0 ≤ δM1 ≤ η Suy toán tử S ánh xạ từ Bη vào Bη Hơn nữa, với x1 , x2 ∈ Bη , từ điều kiện Lipschitz ta có đánh giá: t ||f (τ, x2 (τ )) − f (τ, x1 (τ ))||dτ ||(Sx2 )(t) − (Sx1 )(t)|| ≤ t0 t ||x2 (τ ) − x1 (τ )||dτ ≤ M (t − t0 )|||x2 − x1 ||| ≤M t0 Mặt khác ta lại có: t || S x2 (t) − S x1 (t) || ≤ M || (Sx2 ) (τ ) − (Sx1 ) (τ ) ||dτ t0 t ≤ M |||x2 − x1 ||| (τ − t0 ) dτ t0 = [M (t − t0 )] |||x2 − x1 ||| 2! Sử dụng phép đánh giá liên tiếp ta được: [M (t − t0 )]n |||x2 − x1 ||| n! [δM ]n n n ||S x2 − S x1 || ≤ |||x2 − x1 ||| n! || (S n x2 ) (t) − (S n x1 ) (t) || ≤ n ] n Do [δM n! → n → +∞ nên với n đủ lớn S toán tử co Bη Do đó, sử dụng định lý ánh xạ co ta suy phương trình tích phân t f (τ, x(τ ))dτ x(t) = x0 + t0 Nên x(t) = (Sx)t có nghiệm Do tồn nghiệm x(t) ∈ Bη (x0 ) Định lý 1.2 (Sự kéo dài nghiệm toán Cauchy) Giả sử ||x|| < ∞, t ≥ t0 , hàm f (t, x) thỏa mãn điều kiện ||f (t, x(t))|| ≤ L(||x||), L(r) hàm liên tục có tính chất r dr → ∞, r → ∞, L (r) r0 nghiệm phương trình (1.2) kéo dài khoảng thời gian vô hạn t0 ≤ t < ∞ Chứng minh Vì || x(t2 ) − x(t1 ) ||x(t2 )|| − ||x(t1 )|| || ≥ t2 − t1 t2 − t1 ⇒ || dx d||x|| || ≥ dt dt Mặt khác ta có d (x) = f (t, x (t)) , dt f (t, x) ≤ L ( x ) , nên ta suy L( x ) ≥ d x dt Lấy tích phân dọc theo đường cong x = x(t) từ điểm x0 = x (t0 ) đến điểm x theo chiều tăng t ta được: t t d x · dr dt L( x ) dr ≥ t0 t0 x dr L( x ) ⇒ t − t0 ≥ x0 Kết luận Bản luận văn trình bày lại cách hệ thống nội dung sau : Phương pháp số mũ Lyapunov phương pháp hàm Lyapunov Sau trình bày cách phát triển phương pháp thành phương pháp số đặc trưng tổng quát Lyapunov - Bagdanov để nghiên cứu tính ổn định tập bất biến cho hệ động lực tổng quát Đóng góp nhỏ luận văn xây dựng ví dụ minh họa cho khả ứng dụng phương pháp cho hệ động lực tổng quát 52 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Thế Hoàn - Phạm Phu, Cơ sở phương trình vi phân lý thuyết ổn định, NXB Đại học Quốc gia Hà nội, (2000) [2] A.M Lyapunov, Bài toán tổng quát ổn định chuyển động Tuyển tập công trình V.6.T.2, (1956) (Bằng tiếng Nga) [3] A Pazy, Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Diffirential Equations, Springer - Verlag, Beclin - NewYork (1983) [4] B.P.Demidovic, Lectures on the mathematical theory of stability, "Nauka" Moscow (Russian) (1967) [5] C.Chicone - Y.Latushkin, Evolution Semigroup in dynamical systems differential equations, Amer Math.Soc (1999) [6] L.A Chelusheva, Về lý thuyết số đặc trưng tổng quát phương trình vi phân T.4 N9 trang 1610 - 1627 (Bằng tiếng Nga) [7] J.D.Murray, Mathematical Biology Spatial Modeds and Biomedical Applications, Third Edition, Springer (2001) [8] Ju L.Daleckii and M.G.Krein, Stability of Solutions of Differential Equations in Banach Space, American Mathematical Society Providence, Rhode Island, (1974) [9] Klaus-Jochen Engel Rainer Nagel, One-Parameter Semigroups for linear evolution Equations, Springer Verlog NewYork (2000) Tài liệu tham khảo 54 [10] N.Rush.P.Abets - M.Lalya, Phương pháp trực tiếp Lyapunov lý thuyết ổn định, Mosscow (1988) (Bằng tiếng Nga) [11] U.X Bagdanov, Phương pháp định tính lý thuyết dao động Tuyển tập công trình Kiev, (1970) (Bằng tiếng Nga) [12] U.X Bagdanov, Về dấu hiệu biểu thị tính ổn định tiệm cận nhờ số vd− bé, Tạp chí phương trình vi phân (Differential Equations), 1966, TII, N3 (Bằng tiếng Nga)