sử dụng các phương pháp lyapunov để nghiên cứu tính ổn định của các phương trình vi phân và một số mô hình ứng dụng

59 695 0
sử dụng các phương pháp lyapunov để nghiên cứu tính ổn định của các phương trình vi phân và một số mô hình ứng dụng

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THỊ MƠ SỬ DỤNG CÁC PHƯƠNG PHÁP LYAPUNOV ĐỂ NGHIÊN CỨU TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ MỘT SỐ MÔ HÌNH ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - Năm 2012 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THỊ MƠ SỬ DỤNG CÁC PHƯƠNG PHÁP LYAPUNOV ĐỂ NGHIÊN CỨU TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ MỘT SỐ MÔ HÌNH ỨNG DỤNG Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. ĐẶNG ĐÌNH C HÂU Hà Nội - Năm 2012 Mục lục Lời nói đầu 3 Lời cảm ơn 4 1 Một số tính chất nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính trong không gian Banach 5 1.1 Một số kiến thức cơ bản về lý thuyết các toán tử giới nội trong không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.1 Những mệnh đề tổng quát về hình học các không gian Banach và ánh xạ tuyến tính của chúng . . . . . . . . . . . 5 1.1.2 Hàm các toán tử tuyến tính giới nội . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.3 Toán tử e-mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.4 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.5 Định lý Lyapunov tổng quát về các toán tử có phổ nằm ở nửa mặt phẳng trái . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2 Phương trình vi phân tuyến tính trong không gian Banach với toán tử hằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.1 Nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất và khô ng thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.2 Dáng điệu nghiệm của phương trình thuần nhất trên khoảng vô hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.3 Tính giới nội của các nghiệm của phương trình thuần nhất 18 1 1.2.4 Điều kiện tồn tại nghiệm giới nội của phương trình không thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2 Về phương pháp Lyapunov đối với các phương trình vi phân và một số ứng dụng 30 2.1 Các khái niệm cơ bản về sự ổn định của nghiệm củ a các phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.2 Sự ổn định củ a hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất với hệ số biến thiên( không ôtônôm) . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2.1 Tính ổ n định của hệ tuyến tính thuần nhất với hệ số biến thiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2.2 Tính ổn định của phương trình vi phân có nhiễu phi tuyến 33 2.3 Các hàm xác định dấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.4 Các định lí cơ bản của Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.5 Một số mô hình ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.5.1 Sự ổn định của quá trình chuyển động quay của một vật thể rắn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.5.2 Sự ổn định của phi cơ đang chuyển động . . . . . . . . . . 46 2.5.3 Mô hình quần thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3 Về cân bằng tiệm cận và tương đương tiệm cận của phương trình vi phân trong không gian Hilbert 49 3.1 Sự cân bằng tiệm cận của p hương trình vi phân tuyến tính trong không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.2 Về sự tương đương tiệm cận của các phương trình vi phâ n trong không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Tài liệu tham khảo 58 2 Lời nói đầu Việc nghiên cứu tính ổn đ ịnh củ a phương trình vi phân (PTVP) có ý nghĩa quan trọng trong lý thuyết định tính các phương trình vi phân, đồng thời có nhiều ứng dụng trong các mô hình thực tế. Vì vậy trong những năm gần đây đã có rất nhiều công trình của các nhà khoa học trong và ngoài nư ớc đi sâu nghiên cứu về lĩnh vực này. Mục đích chính của bản luận văn này là trình bày lại một số kết quả cơ bản của tính chất của nghiệm PTVP tuyến tính trong không gian Banach và một số ứng dụng của phương pháp Lyapunov đối với các mô hình cụ thể trong khoa học kỹ thuật. Bố cục của luận văn này gồm ba chương. Chương 1: Trong chương một chúng tôi trình bày một số tính chất nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính trong không g ian Banach. Chương 2: Trong chương hai chúng tôi trình bày một số kết quả cơ bản của phương pháp Lyapunov trong việc ng hiên cứu tính ổ n định ng hiệm của các phương trình vi phân . Sau đó trình bày một số ví d ụ minh họa trong các mô hình thực tế . Chương 3: Trình bày các kết quả về tính cân bằng tiệm cận và tương đương tiệm cận của phương trình vi phân của các PTVP trong không gian Hilbert. Nội dung của chương này dựa vào các kết quả nghiên cứu củ a : GS. TS Nguyễn Thế Hoàn. 3 Chương 1 Một số tính chất nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính trong không gian Banach Nội dung chính trong chương này bao gồm các kiến thức chuẩn bị về toán tử tuyến tính trong không gian Banach và một số tính chất nghiệm của các phươn g trình vi phân tuyến tính với toán tử hằng. Các kết quả chính của chương này được trích dẫn từ tài liệu [1]. 1.1 Một số kiến thức cơ bản về lý thuyết các toán tử giới nội trong kh ông gian Banach 1.1.1 Những mệnh đề tổng quát về hình học các không gian Banach và ánh xạ tuyến tính của chúng 1. Không gian định chuẩn và không gian Banach Tập hợp L đươc gọi là không gian định chuẩn thực (phức) nếu 1. L là không gian tuyến tính (vector) trên trường số thực (phức). 2. mỗi phần tử (vector) x ∈ L xác định một số k hông âm x - chuẩn của phần tử x- có các tính chất sau: 5 (a) αx = |α| x mọi x ∈ L và với mọi số thực (phức) α. (b) x + y ≤ x + y với mọi x, y ∈ L (bất đẳn g thức tam giác). (c) x = 0 khi và chỉ khi x = 0. Hàm số ρ (x, y) = x − y xác định trong không gian định chuẩn một metric, bở i vậy L là một không gian metric. Dãy {x n } ⊂ L được gọi là dãy cơ sở nếu lim n,m→∞ x n − x m  = 0. Không gian định chuẩn được gọi là không gian Banach nếu trong đó mọi dãy cơ sở đều có giới hạn, đó là phần tử x ∈ L sao cho lim n→∞ x n − x = 0 (nói cách khác không gian Banach L(=B) là không gian đủ trong metric ρ (x, y) = x − y). 2.Toán tử tuyến tính Giả sử B 1 và B 2 là các không gian Banach. Ánh xạ A : B 1 → B 2 được gọi là toán tử tuyến tính nếu: A (αx + βy) = αAx+βAy với mọi số α, β và mọi x, y ∈ B 1 . Toán tử tuyến tính liên tục nếu nó liên tục tại x = 0. Tính liên tục tương đương với tính giới nội của toán tử A, tức là tính hữu hạn của đại lượng A def = sup  Ax 2 x 1 |x ∈ B 1 , x = 0  = sup {Ax 2 |x ∈ B 1 , x 1 = 1} Tập các toán tử tuyến tính giới nội A : B 1 → B 2 kí hiệu là [B 1 ; B 2 ]. Tập này là không gian Ba nach với chuẩn được định nghĩa như trên và với phép cộng và phép nhân toán tử với một số (A + B) x = Ax + Bx; (αA)x = α (Ax) Toán tử B : B 2 → B 1 được gọi là toán tử ngược của toán tử A : B 1 → B 2 và kí hiệu B = A −1 , nếu AB = I 2 ; BA = I 1 , trong đó I k là toán tử đồng nhất trong B k : I k x = x với mọi x ∈ B k (k = 1, 2) . 6 Định lý 1.1.1. Giả sử một toán tử A ∈ [B 1 , B 2 ] là ánh xạ một-một tương ứng từ không gian Banach B 1 tới không gian Banach B 2 . Khi đó toán tử nghịch đảo của nó A −1 là toán tử tuyến tính bị chặn và A −1 ∈ [B 1 , B 2 ]. Tập các toán tử giới nội trong không gian B vào chính nó được kí hiệu ngắn gọn là [B]. 3. Tổng trực tiếp các không gian con và các phép chiếu Một tập con tuyến tính đóng của không gian Banach B đượ c gọi là khôn g gian con của nó. Ta nói rằng không gian Ba nach B được phân rã thành tổng trực tiếp các không gian con B 1 và B 2 : B = B 1 · + B 2 (1.1) nếu mỗi phần tử x ∈ B được biểu diễn duy nhất dưới dạng x = x 1 + x 2 , (1.2) trong đó x 1 ∈ B 1 , x 2 ∈ B 2 . Mỗi không gian con B 1 và B 2 là phần bù trực tiếp của không gian con kia. Phép khai triển (1.2) sinh ra hai toán tử P k : B → B k (k = 1, 2) được xác định bởi các đẳng thức P k x = x k (k = 1, 2); trong đó x 1 và x 2 là các thành phần của x trong khai triển (1.1). Các toán tử P 1 và P 2 có tính chất P 2 k = P k ; P 1 + P 2 = I; P 1 P 2 = P 2 P 1 = 0. (1.3) Toán tử P ∈ [B] được gọi là phép chiếu nếu P 2 = P. 1.1.2 Hàm các toán tử tuyến tính giới nội 1. Phổ và giải thức Giả sử B là một không gian Banach phức. Điểm λ của mặt phẳng phức được gọi là điểm chính qui của toán tử A ∈ B nếu trong [B] tồn tại một toán tử (giải thức của toán tử A), R λ = (A − λI) −1 . 7 Tập hợp ρ (A) tất cả các điểm chính qui của toán tử A là mở. P hần bù σ (A) của nó được gọi là phổ của toán tử . Phổ σ (A) luôn khác rỗng, đóng và nằm trong hình tròn |λ| ≤ A. Chính xác hơn, phổ σ (A) nằm trong hình tròn có bán kính r A bằng r A = lim n→∞ n  A n  (Sự tồn tại giới hạn dễ dàng suy ra từ hệ thức   A m+n   ≤ A m  . A n ) Thật vậy, với mọi λ với |λ| > r A chuỗi ∞  k=0 λ −(k+1) A k hội tụ tuyệt đối trong metric [B] , vì chuỗi tươ ng ứng từ các chuẩn được làm trội bởi cấp số nhân với công b ộ i r A +ε |λ| với mọi ε > 0, bắt đầu từ chỗ nào đó. Khi nhân chuỗi đó với λI − A ta có I. Vậy, khi |λ| > r A luôn tồn tại giải thức, và hơn thế nữa R λ = − ∞  k=0 λ −(k+1) A k . (1.4) Có thể chỉ ra rằng trên đường tròn |λ| = r A luôn có một điểm của phổ σ (A). Vì vậy giới hạn lim n→∞ n  A n  được gọi là bán kính phổ của toán tử A. 1.1.3 Toán tử e-mũ 1. Định nghĩa e-mũ toán tử Trong lý thuyết phương trình vi phân toán tử hàm e At đóng vai trò đặc biệt quan trọng, nó có thể được đưa ra nhờ bất kì một trong hai hệ thức. Đầu tiên ma trận e A xác định bởi e A = lim n→∞  I + A 1! + A 2 2! + + A n n!  = ∞  n=0 A n n! , e At = − 1 2πi  Γ A e λt (A − λI) −1 dλ, (1.5) e At = ∞  k=0 A k t k k! . (1.6) 8 Lấy vi phân hệ thức (1.5) theo t dưới dấu tích phân ta được công thức de At dt = Ae At . (1.7) Thật vậy, de At dt = − 1 2πi  Γ A λe λt (A − λI) −1 dλ =  − 1 2πi  Γ A λ(A − λI) −1 dλ  ×  − 1 2πi  Γ A e λt (A − λI) −1 dλ  = Ae At ]. 1.1.4 Ví dụ Ví dụ 1.1.1. Tìm e tA , biết: (a)A =  0 1 −1 0  ; (b)B =  1 1 −1 −1  . Lời giải: a,Ta tính đư ợc A =  0 1 −1 0  , A 2 =  −1 0 0 −1  , A 3 =  0 −1 1 0  , A 4 =  1 0 0 1  = I Tương tự A 5 = A, A 6 = A 2 , Từ đó ta được: e tA =  1 0 0 1  +t  0 1 −1 0  + t 2 2!  −1 0 0 −1  + t 3 3!  0 −1 1 0  + t 4 4!  1 0 0 1  + =     ∞  n=0 (−1) n t 2n (2n)! ∞  n=0 (−1) n t 2n+1 (2n+1)! − ∞  n=0 (−1) n t 2n+1 (2n+1)! ∞  n=0 (−1) n t 2n (2n)!     =  cos t sin t − sin t cos t  Ở đây ta đã sử dụng công thức khai triển Taylor cos t = ∞  n=0 (−1) n t 2n (2n)! và sin t = ∞  n=0 (−1) n t 2n+1 (2n+1)! . b, A =  1 1 −1 −1  , A 2 =  0 0 0 0  , A 3 =  0 0 0 0  , 9 [...]... 2.2.1 1 Nếu phương trình (2.2) ổn định đều (ổn định tiệm cận) và nếu (2.4)-(2.5) đúng thì nghiệm x(t) ≡ 0 của (2.3) là ổn định đều (ổn định tiệm cận) 2 Nếu phương trình (2.2) ổn định đều (ổn định tiệm cận), B(t) là liên tục với t ≥ t0 và ∞ B (t) dt < +∞, thì phương trình tuyến tính x = [A (t) + µB (t)] x t1 cũng là ổn định đều (và ổn định tiệm cận) 34 2.3 Các hàm xác định dấu Xét hàm số V = V (t,... vi phân và một số ứng dụng Trong chương này tôi trình bày một số kết quả cơ bản về tính ổn định nghiệm của các phương trình vi phân theo Lyapunov trong không gian Rn và một số ví dụ minh họa Các khái niệm và định lý trong phần này được trích dẫn từ tài liệu [7], [9] Chúng tôi xin lưu ý rằng các kết quả này hoàn toàn có thể mở rộng trong không gian Banach tổng quát B (xem tài liệu [1]) 2.1 Các khái... là các hằng số dương không phụ thuộc vào cách chọn x0 Định nghĩa 2.1.6 Nghiệm x(t) ≡ 0 gọi là không ổn định nếu ∃ε0 > 0 nào đó và mọi δ > 0 tồn tại nghiệm x(t) và vào thời điểm t∗ > t0 sao cho x (t0 ) < δ nhưng x (t∗ ) ≥ ε0 2.2 Sự ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất với hệ số biến thiên( không ôtônôm) 2.2.1 Tính ổn định của hệ tuyến tính thuần nhất với hệ số biến thiên Xét phương. .. sao cho N (t, s) ≤ K, t ≥ s ≥ t0 3 Hệ phương trình (2.2) là ổn định tiệm cận nếu và chỉ nếu X (t) → 0 khi t → +∞ 4 Hệ phương trình (2.2) là ổn định tiệm cận đều nếu và chỉ nếu tồn tại các hẳng số dương K, 2.2.2 α sao cho N (t, s) ≤ Ke−α(t−s) , t ≥ s ≥ t0 Tính ổn định của phương trình vi phân có nhiễu phi tuyến Chúng ta xét sự ổn định với phương trình tuyến tính có nhiễu phi tuyến dạng: dx = A (t)... mọi nghiệm x(t) của phương trình (1.10) Nếu điểm x0 nằm trên hyperboloid trừ thì vi c giảm tiếp của (W x, x) khi t tăng có nghĩa là quỹ đạo của x(t) cắt các hyperboloid với các giá trị âm có giá trị tuyệt đối càng lớn và do đó quỹ đạo chạy ra vô cùng 1.2.3 Tính giới nội của các nghiệm của phương trình thuần nhất 1 Phương trình vi phân cấp 1 Ta hãy xác định điều kiện để nghiệm của phương trình thuần nhất... vậy tính bị chặn của mỗi nghiệm của phương trình vi phân cấp 2 (1.20) trên trục thực tương đương với tính bị chặn của hàm toán tử T −1/2 cosT 1/2 t Đồng thời ta chứng minh được khẳng định sau: Để mọi nghiệm của phương trình (1.20) là bị chặn thì điều kiện cần và đủ là nghiệm thỏa mãn điều kiện y(0) = 0 là bị chặn 3 Phương trình vi phân cấp 2 trong không gian Hilbert Định lý 1.2.3 Để mỗi nghiệm của phương. .. ) < ε, ∀t ≥ t0 Định nghĩa 2.1.2 Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của phương trình vi phân (2.1) gọi là ổn định đều nếu số δ trong định nghĩa (2.1) không phụ thuộc vào t0 Định nghĩa 2.1.3 Nghiệm x(t) ≡ 0 của phương trình vi phân (2.1) gọi là ổn định tiệm cận khi t → +∞ nếu: a Nghiệm tầm thường x(t) = 0 là ổn định b ∃∆ = ∆ (t0 ) > 0 : ∀x0 ∈ G và x0 < ∆ ⇒ lim t→+∞ 31 x (t, t0 , x0 ) = 0 Định nghĩa 2.1.4... về sự ổn định của nghiệm của các phương trình vi phân Giả sử B = Rn là không gian Euclid n chiều, xét phương trình vi phân( PTVP) dx = f (t, x) dt (2.1) trong đó: t ∈ + , x ∈ Rn , f : R+ × G → Rn , f (t, 0) = 0, G là một miền mở chứa gốc tọa độ G = {x ∈ Rn : x < R, R > 0} hoặc có thể xem G là toàn bộ không gian Rn Giả sử f thỏa mãn mọi điều kiện để nghiệm của bài toán Cauchy của phương trình vi phân. .. với mọi H ≫ 0 tồn tại toán tử W ≫ 0 sao cho Re(W A) = −H 11 1.2 Phương trình vi phân tuyến tính trong không gian Banach với toán tử hằng 1.2.1 Nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất và không thuần nhất 1 Phương trình vi phân dạng vector Giả sử B là không gian Banach, trong chương này chúng ta sẽ xét các phương trình vi phân (PTVP) trong không gian Banach B dạng đơn giản nhất dx = Ax... 2.1.4 Nghiệm x(t) ≡ 0 của phương trình vi phân (2.1) gọi là ổn định tiệm cận đều nếu: a Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 là ổn định đều b ∃∆ > 0 (∆ không phục thuộc vào t0 ) sao cho: ∀x0 ∈ G, x0 < ∆ ⇒ lim t→+∞ x (t, t0 , x0 ) = 0 Định nghĩa 2.1.5 Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của phương trình vi phân (2.1) gọi là ổn định mũ khi t → +∞ nếu: Mọi nghiệm x(t) = x (t, t0 , x0 ) của phương trình (2.1) luôn thỏa mãn . TỰ NHIÊN NGUYỄN THỊ MƠ SỬ DỤNG CÁC PHƯƠNG PHÁP LYAPUNOV ĐỂ NGHIÊN CỨU TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ MỘT SỐ MÔ HÌNH ỨNG DỤNG Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN. ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THỊ MƠ SỬ DỤNG CÁC PHƯƠNG PHÁP LYAPUNOV ĐỂ NGHIÊN CỨU TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ MỘT SỐ MÔ HÌNH ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội -. . . . . . . 24 2 Về phương pháp Lyapunov đối với các phương trình vi phân và một số ứng dụng 30 2.1 Các khái niệm cơ bản về sự ổn định của nghiệm củ a các phương trình vi phân . . . . . . . .

Ngày đăng: 07/01/2015, 17:12

Từ khóa liên quan

Mục lục

  • Mục lục

  • Lời nói đầu

  • Chương 1 Một số tính chất nghiệm củaphương trình vi phân tuyến tínhtrong không gian Banach

  • 1.1 Một số kiến thức cơ bản về lý thuyết các toántử giới nội trong không gian Banach

  • 1.1.1 Những mệnh đề tổng quát về hình học các không gianBanach và ánh xạ tuyến tính của chúng

  • 1.1.2 Hàm các toán tử tuyến tính giới nội

  • 1.1.3 Toán tử e-mũ

  • 1.1.4 Ví dụ

  • 1.1.5 Định lý Lyapunov tổng quát về các toán tử có phổ nằmở nửa mặt phẳng trái

  • 1.2 Phương trình vi phân tuyến tính trong khônggian Banach với toán tử hằng

  • 1.2.1 Nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính thuần nhấtvà không thuần nhất

  • 1.2.2 Dáng điệu nghiệm của phương trình thuần nhất trênkhoảng vô hạn

  • 1.2.3 Tính giới nội của các nghiệm của phương trình thuầnnhất

  • 1.2.4 Điều kiện tồn tại nghiệm giới nội của phương trìnhkhông thuần nhất

  • Chương 2 Về phương pháp Lyapunov đối vớicác phương trình vi phân và một sốứng dụng

  • 2.1 Các khái niệm cơ bản về sự ổn định của nghiệmcủa các phương trình vi phân

  • 2.2 Sự ổn định của hệ phương trình vi phân tuyếntính thuần nhất với hệ số biến thiên( khôngôtônôm)

  • 2.2.1 Tính ổn định của hệ tuyến tính thuần nhất với hệ sốbiến thiên

  • 2.2.2 Tính ổn định của phương trình vi phân có nhiễu phituyến

  • 2.3 Các hàm xác định dấu

  • 2.4 Các định lí cơ bản của Lyapunov

  • 2.5 Một số mô hình ứng dụng

  • 2.5.1 Sự ổn định của quá trình chuyển động quay của một vậtthể rắn

  • 2.5.2 Sự ổn định của phi cơ đang chuyển động

  • 2.5.3 Mô hình quần thể

  • Chương 3 Về cân bằng tiệm cận và tươngđương tiệm cận của phương trình viphân trong không gian Hilbert

  • 3.1 Sự cân bằng tiệm cận của phương trình vi phântuyến tính trong không gian Hilbert

  • 3.2 Về sự tương đương tiệm cận của các phươngtrình vi phân trong không gian Hilbert

  • KÊT LUẬN

  • Tài liệu tham khảo

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan