MUC LUC
Muc luc 1
Lời nói đầu 2
1 Tính ổn định của hệ vi phân và sai phân 4
1.1 Các khái niệm cơ bản của lý thuyết ổn định 4
1.2 Tính ổn định của hệ vi phân tuyến tính 6
1.3 Tính ổn định của hệ tuyến tính dừng 6
1.4 Phương pháp hàm LÙyapunov 11
1.5 Tính ổn định của hệ tuyến tính khơng dừng 16
1.6 Tính ổn định của hệ sai phân tất định 22
1.7 Tính ổn định của hệ phương trình sai phân ngẫu nhiên 24
2_ Một số ứng dụng của supermartingale để nghiên cứu tính ổn định của hệ ngẫu nhiên rời rạc hai tham số 27 2.1 Các khái niệm cơbản QC 27 2.2 Một số định lý hội tụ của supermartingale 29
2.3 Tính ổn định và ổn định tiệm cận của nghệm 29
2.4 Một số kiến thức về martingale hai tham số 31
2.5 Tinh ổn định của một lớp hệ sai phân ngẫu nhiên rời rạc hai tham -— L 35
Trang 2Bất kì một hệ thống nào, dù là hệ thống kĩ thuật, hệ sinh thái hay hệ
thống kinh tế - xã hội, bao giờ cũng tồn tại và phát triển ở trạng thái ổn
định Tuy nhiên trong quá trình hoạt động hệ thống đều chịu tác động củạ
những nhiễu khác nhaụ Đó là trạng thái mà khi có nhiễu kéo hệ ra khỏi trạng thái ban đầu thì hệ có xu hướng quay trở lại trạng thái cân bằng vốn
có Do đó mọi hệ thống đều muốn hoạt động ở trang thái ổn định nhất
Tính ổn định bắt đầu được nghiên cứu từ cuối thế kỉ 19 với những công
trình xuất sắc của nhà toán học Ngạ ẠM Lyapunov Cho đến nay tính
ổn định đã được nghiên cứu và phát triển như một lý thuyết toán học độc
lập, có nhiều ứng dụng hữu hiệu trong kinh tế, khoa học, và kĩ thuật Lý
thuyết ổn định là một bộ phận quan trọng của lý thuyết định tính phương trình vi phân
Việc nghiên cứu tính ổn định của các hệ phương trình vi phân bằng phương pháp giải tích đã được Khasminsky, Ghieman và nhiều tác giả quan tâm nghiên cứụ Những năm gần đây hình thành một cách tiếp cận mới để nghiên cứu tính ổn định bằng phương pháp đại số ma trận thông qua các phương trình đại số ma trận Sylvester Bằng hai phương pháp trên
luận văn hệ thống hóa một số kết quả nghiên cứu đã có và tiếp tục nghiên
cứu tính ổn định của hệ phương trình vi phân, sai phân ngẫu nhiên
Luận văn gồm 2 chương:
Chương 1: Tính ổn định của hệ vi phân và sai phân ngẫu nhiên Chương này trình bày các khái niệm và các tính chất cơ bản của lý
thuyết ổn định, xét tính ổn định của hệ phương trình tuyến tính, hệ phi
Trang 3chủ yếu là bất đẳng thức Gronwall và phương pháp Lyapunov Tính ổn
định của hệ sai phân tất định và hệ sai phân ngẫu nhiên
Chương 2: Một số ứng dụng của supermartingale để nghiên cứu tính ổn định của hệ ngẫu nhiên rời rạc hai tham số
Chương này trình bày một số kiến thức martingale hai tham số Dặc biệt chương này đã trình bày được một số điều kiện đủ về tính ổn định của lớp hệ ngẫu nhiên rời rạc hai tham số bằng phương pháp bi-supermatingalẹ
Luận văn được thực hiện tại trường Dại học vinh dưới sự hướng dẫn
trực tiếp của PGS.TS Phan Đức Thành Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn
sâu sắc tới Thầy về sự quan tâm và nhiệt tình hướng dẫn mà thầy đã dành
cho tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu tại trường
Nhân dịp này tác giả xin chân thành cảm ơn PGS.TS Nguyễn Văn
Quảng, PGS.TS Trần Xuân Sinh, TS Nguyễn Trung Hoà, GS.TS Nguyễn Hữu Dư, cùng các thầy cô giáo ở bộ môn Xác suất thống kê và ứng dụng, JKhoa Toán, Khoa sau đại học - Trường Dại học Vĩnh
Tác giả xin chân thành cảm ơn Sở giáo dục và đào tạo tỉnh Nghệ An,
Trường THPT-DTNT Qùy Châu, gia đình và bạn bè đã thường xuyên quan tâm giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứụ
Mặc dù đã rất cố gắng, song luận văn không thể tránh khỏi những thiếu
sót, tác giả mong nhận được đóng góp quý báu từ các thầy cô giáo và các
bạn
Trang 4Tính ổn định là một trong những tính chất cơ bản của lý thuyết định tính của các hệ động lực Bất kì một hệ thống nào (hệ sinh học hay hệ kinh
tế hay hệ kỹ thuật ) bao giờ cũng hoạt động ở trạng thái ổn định nhất Hệ vi phân và sai phân là những phương tiện cơ bản để mô tả hệ thống, do đó mục đích của chương này là nghiên cứu tính ổn định của các hệ trên 1.1 Các khái niệm cơ bản của lý thuyết ổn định
Xét hệ :
ăt) = f(t,x),t >0
(1.1)
x(to) = xo
trong đó x(t) € R” 1a trang thái của hệ, ƒ : R* x R” — IRT là hàm vectơ cho trước, f(t,x) lien tuc theo ý, có đạo hàm riêng cấp 1 theo các biến
1,22, ,„ liên tục
1.1.1 Định nghĩạ Nghiệm x(t) cia hé goi 1a on dinh theo Lyapunov khi t — +00 (goi tat 1A én dinh) néu Ve > 0,t) > 0,56 = d(e, to) sao cho bat ki nghiệm y(t) cia hé thoa man || yo — #o ||< ổ thì sẽ nghiệm đúng bất đẳng thttc || y(t) — x(t) ||< e, Vt > tọ
1.1.2 Dinh nghĩạ Nghiệm ăt) của hệ gọi là không ổn định theo Lụapunou
Trang 51.1.3 Dinh nghĩạ Nghiệm x(t) của hệ gọi là ổn định tiệm cận theo Lya-
punov khi ¢ — +00 (gọi tắt là ổn định tiệm cận) nếu nó ổn định và
45 > 0 sao cho bat ki nghiém y(t) cia hệ thoả mãn || o — #o ||< ổ thì
Jim || y(t) — x(t) = 0
1.1.4 Định nghĩạ Dùng phép bién déi z = x — y ta dua hé (1.1) vé hé mới:
¿ =g(t,z) (1.2)
trong đó g(t, z) = f(t,y+ z) — f(t,y) RO rang g(,0) = 0 và hệ này cho nghiệm tầm thường z = 0 Hệ này được gọi là hệ guy đổị
1.1.5 Định nghĩạ Nghiệm tầm thường (trạng thái cân bằng) z = 0 gọi
là ổn định nêu Vz > 0,fạ > 0, 3ổ = ổ(e,fạ) sao cho bất kì nghiệm y(t) của hệ thoả mãn || y(to) ||< ở thì sẽ nghiệm đúng bất đẳng thức
|| x(t) ||< e, Vt > taọ
1.1.6 Định nghĩạ Nghiệm tầm thường z = 0 của hệ gọi là én định tiệm
cận theo Lyapunov nếu nó ổn định và 3ổ > 0 sao cho bất kì nghiệm y(t)
thỏa mãn || ø(#o) ||< 6 thì jim || y(t) ||=0
—OO
1.1.7 Định nghĩạ Hệ (1.1) được gọi là ổn định mũ néu IM > 0,ð > 0
sao cho mọi nghiệm z(£) của hệ với #(fo) = vp thỏa mãn
x(t) || < Mie) Wt > tọ
Khi đó nghiệm không của hệ không những ổn định tiệm cận mà mọi
nghiệm của nó tiến tới 0 nhanh với tốc độ của hàm số mũ 1.1.8 Định nghĩạ Xét hệ sai phân
#(k + 1) = ƒ(E,z(k)),k € Z* (1.3) trong dé f(.): Zt x X —> X 1a ham cho trước
Hệ sai phân trên được gọi là ổn định nếu Ve > 0, kọ € Z*, 35 = 5 (ko, €)
Trang 61.2 Tính ổn định của hệ vi phân tuyến tính Xét hệ vi phân tuyến tính
ăt) = Ăt)x+ f(t) (1.4)
và hệ vi phân tuyến tính thuần nhất
#(# = Ă)z (1.5)
trong đó ma trận Ă) và vectơ ƒ(#) liên tục trong khoảng (0, )
1.2.1 Định nghĩạ Hệ vi phân tuyến tính (1.4) gọi là ổn định nếu tất cả các nghiệm của nó on định
1.2.2 Nhận xét Các nghiệm của hệ ui phân tuyến tính hoặc đồng thời
cùng ổn định hoặc đồng thời không ổn định
1.2.3 Định nghĩạ Hệ vi phân tuyến tính (1.4) được gọi là ổn định tiệm
cận nếu tất cả các nghiệm của nó ổn định tiệm cận
1.2.4 Định lý Hệ ơi phân tuyến tính (1.4) ổn định uới số hạng tự do bát kỳ ƒ() khi oà chỉ khi nghiệm tầm thường của hệ thuần nhất tương ứng (1.5) ổn định
1.2.5 Định lý Điều kiện cần oà đủ để hệ ti phân tuyến tính (1.4) ổn định
tiệm cận là nghiệm tầm thường của hệ thuần nhất tương ứng (1.5) ổn định
tiệm cận
1.2.6 Hệ quả Hệ vi phân tuyến tính (1.4) vdi s6 hang tu do f(t) bat ky ổn định ( ổn định tiệm cận ) khi 0à chỉ khá hệ ui phân tuyến tính thuần nhất tương ứng ổn định (on định tiêm cận)
1.3 Tính ổn định của hệ tuyến tính dừng
Mục này đưa ra tiêu chuẩn để hệ tuyến tính dừng ổn định nhưng không
Trang 7Xét hệ vi phân tuyến tính thuần nhất:
ăt) = Ax(t),t > 0 (1.6)
trong đó A = [ajz], 1A ma tran hang
1.3.1 Định lý Hệ ơi phân (1.6) ổn dinh khi va chi khi tất các nghiệm đặc trưng À¡ của ma trận A đều có phần thực không dương tà các nghiệm đặc
trưng có phan thực bằng khơng đều có ước cơ bắn đơn Chitng minh Diều kiện đủ: Từ (1.6) ta suy ra Š = Ạ
Lấy tích phân hai về ta được:
In X = At + CC @ + = cC.e*!,
Cc * = 29 Do dé x = e4
Vì z(0) = x nên e f a; là nghiệm của hệ đã chọ Ta cần chứng minh mọi nghiệm của hệ bị chặn
That vay, gia sti Ay, A2, ,Ar, (7 < n) 1a cac gid tri rig phan biệt của ma tran A, trong do Aj = a; + ibj,j = 1,2, ,m,aj A O;A_, = iby, k =
?n + 1, ,T
Khi đó tồn tại ma trận không suy biến 7 sao cho ma trận 7~!AT7 có dang chéo
diag(J(A1),.- J0Ar)) == B
Suy ra ma tran Tẻ'T-! ¢6 dang T.diag(e0™, .,e%On T-1),
Mà z() = e“g = TeP!T~!zạ nên suy ra
z(t) = T.diag(ehÐ0f ehÖn)f TT am,
Vì IeA; < 0,V7 = 1, ,r nên ||z()|| < cọ Do dé moi nghiệm của hệ
(1.6) bị chặn
Điều kiện cần : Giả sử hệ (1.6) ỗn định, ta cần chứng minh
Trang 8& Redj <0,Vj =1ỵ.4r
Bay gid ta con phai chttng minh véi g = 7.by, ay = 0 thi A, ¢6 ude co ban
đơn Gọi Z„(À¿) 14 6 Jordan ctia A, cAp ay, ta có:
® pea) Tot og ee (a,—-1)! 01 ch = et | 0p 0 1 00 0 | taa—1 ‡aã1 (aa—1)! (a —1)!"
Do dé || e%* || 00 (khi t + 00) néu a, > 2
Suy ra || e5 ||>1+£+ + +
Gia stt ag > 2 ta chi ra nghiệm của hệ (1.6) không bị chặn Thật vậy,
xét ma trận:
M(t) = T7!.diag{0, .,0, Jy(Aq)-e7#0*, 0, ., O}.T
= (T 1} diag(Ji(A1), «-, J-(Ar))-T)(T 'diag(0, .,0, Jg(Aq) 720, 0, ., OF.T)
= ẠM(t)
Do d6 M(t) 1A ma tran nghiém ctia (1.6)
Mặt khác ||A/()|| —> œ khi £ — œ nên A⁄() không bị chặn
(Do M(#)|| = TIM) T-I > |T-MỌ-T>] = [Je] + 00)
Do vay a, < 1, hay A, c6 u6ée co ban đơn L]
1.3.2 Dinh lý Hệ ơi phân tuyến tính thuần nhất (1.6) ổn định tiêm cận khú uà chỉ kh tắt cả các nghiệm À;¡ của phương trình đặc trưng của ma trận
A đều có phần thực âm
Chứng mánh Ta có mọi nghiệm z(£) của phương trình (1.6) đều có dạng
Trang 9trong đó 7' là ma trận không suy biến va Re ;aa—1 1 t go {a,-TI 01 ela at = ela, 0 0 1 + 0 00 1
Hệ (1.6) ổn định tiệm cận khi và ch khi jm z()=0ôâ im ||z(#)|| = 0 Diều này tương đương với jim et = 0,VAy € MA) & Redry < 0,WAy €
ĂA) L]
1.3.3 Định lý Hệ (1.6) là ổn định mũ khá uà chỉ khi phần thực của tắt cả
các giá trị riêng của ma trận A là âm
Chúng tình Diều kiện đủ: Ta có mọi nghiệm của hệ (1.6) đều có dạng:
z() = T.diag(eh01t, e ha) TT 29) Hơn nữa Pr ựa =1 ọ Lân sec II 1 c0} — cát, 0 0 1 t 0 0 0 1 nên ta có ca O5 k=1 i=1
Vì ReA¿ < 0 nên ||(#)|| > 0 khi t > 00 va do dé hé (1.6) 6n dinh mị
Diéu kién can: Gia stt hé (1.6) 1A 6n dinh mii, khi dé moi nghiém x(t) của hệ với z(fa) = #o thoả mãn ||+(9)|| < m|lzoll.e °C véi pe > 0,6 > 0 nào đó
Bay giờ ta giả sử 3Ào € ĂA) sao cho #eÀo > 0 Khi đó véctơ riêng zo ứng với Ào này thoả mãn 4z = Ào#o và khi đó nghiệm của hệ với #o(£) = #o
là zo() = œgeˆ°t,
Rerot
Suy ra: ||xo(t)|| = ||xoll-e — oo khi ¢ > oọ Diéu nay mâu thuẫn với
Trang 101.3.4 Chú ý Đối vdi hé vi phân tuyến tính thuần nhất đừng các mệnh đề sau là tương đương:
¡) Hệ ổn định mũ
?) Hệ ổn định tiệm cận
tii) Moi gid tri riêng của ma trận A đều có phần thực âm
1.3.5 Ví dụ Xét tính ổn định của hệ { t= 2
đạ = —21ạ Giảị
Ta thay A= ( D7 )
Các giá trị riêng của ma trận 4 là À(4) = —1,—9 đều có #eÀ(4) < 0 Do đó hệ đã cho ổn định mũ
1.3.6 Định lý Giả sử da thúc đặc trưng mù hệ phương trinh vi phan (1.6)
đã cho là da thúc chuẩn: ƒ(z) = z" + aiz"~! + + aụ Khi đó tiếu tất cả các định thúc chóo chính Dạ, k — 1,2, " của ma trận Hurutliz của nó đều
dương thà phần thực của tất cả các nghiệm của đa thức f (z) là am, túc hệ đã cho ổn định tiệm cận, trong đó
Dị =a), a, a3 Da= (i 2 ay đạ az) a, a3 a5 đ21—1 1 øa ứạ đ2j:—2 Dy= | 9 a ag A2K-3 0 0 0 dự k=2,3, m va a, —= Ú vir >n
1.3.7 Định lý Hệ sai phân (1.3) là ổn định tiệm cận khá ồ chỉ khí một trong hai điều kiện sau thỏa mãn:
Trang 1111
Chúng mính Với z(0) = zạ, nghiệm của (1.3) sẽ cho bởi z(k) = A*zọ
Vậy để x(k) > 0 khi k — oo , theo định nghĩa ổn định tiệm cận, thì hoặc
| All = q < 1, hoac A* — 0 Do đó tất cả các giá trị riêng của ma trận A có
giá trị tuyệt đối nhỏ hơn 1 là được Vậy định lý được chứng minh xong 0
1.3.8 Ví dụ Xét tính ổn định của hệ 1 z¡(È + 1) = 211(È) 1 1 #2(k + 1) = 11) + gt2(k), k cZ! Giảị 3 0 Ta c6 A= € '): 3 và chúng nhỏ hơn 1, do đó
Các giá trị riêng của ma trận 4 là À = 3, z
hệ đã cho là ổn định tiệm cận
1.4 Phương pháp hàm Eyapunov
Đây là phương pháp nhằm giải quyết các bài toán ổn định của các hệ phương trình vi phân, nhất là các hệ phi tuyến mà khơng cần tìm nghiệm riêng hay nghiệm tổng quát của hệ, chỉ cần tìm những hàm đặc biệt của £ va a, goi lA ham Lyapunov Tính ổn định của hệ sẽ được kiểm tra trực tiếp thông qua dấu của đạo hàm toàn phần theo về phải của hệ đã chọ
1.4.1 Định nghĩạ Cho hàm số V = V(,z#) liên tục theo £ và # trong
miền Z = (0,+©) x (||z|| < A)
Ham V(,#) được gọi là hàm sác định dương trong Zạ nêu tồn tại hàm
ằœ() với ||+|| < h sao cho
V(,#) > œ(z) > 0 với ||z|| 4 0 va V(t,0) = w(0) = 0
Ham V(t,x) được gọi là hàm „ác định @m trong Zp néu tồn tại hàm ằœ() với ||z|| < h sao cho
Trang 121.4.2 Định nghĩạ Hàm V(t, x) goi la hàm có giới hựn 0ô cùng bé bậc cao
khi z —› 0 nếu với fạ € (0,+oe),Ve > 0, 3ổ = ð(e) > 0 sao cho khi ||z|| < ơ
thì |V(,+)| < e,Vt > tạ
1.4.3 Chú ý Nếu V() là hàm liên tục, khơng phíụ thuộc ào † nà V(0) = 0 thi V(x) sé có giới hạn 0ô cùng bé bậc cao khi x > 0
1.4.4 Định nghĩạ Cho hệ vi phân quy đổi:
i = g(t,2) (1.7)
trong d6 g(t, x) lién tuc theo ¢ va c6 dao ham riêng theo #1, #ạ, , #„ trong
£ n £ "
miền 72 = (0,+o) x llz||< h Khi đó hàm số #“ = #“ + „ấn để gọi là
jz
dao ham toan phan theo t cha ham V(t, 2)
1.4.5 Dinh lỵ (Lyapunov vé su 6n định) Nếu đối uới hệ quy đổi (1.7) tồn
tại một hàm sác định dương V(t,#) va dao ham cua n6 av doc theo nghiém của hệ có dau khơng dương thà nghiệm tầm thường x = 0(0 < t < 00) ctia
hệ đã cho ổn định theo Liapunov khi t > oọ
Chitng minh Vi V(t, x) la ham xc dinh duong nén tén tai ham w(x) lién tục sao cho V(t,x) > w(x) > 0 với ||z|| 4 0 va V(t,0) = w(0) =0
Với 0 < e < h ta có mặt cầu S = ||z|| = ¢ lA tap compact trong R” Do
dé w(S-) la tap compact trong R Suy ra œ(5:) là tập bị chặn
Do dé dx* € S- sao cho w(a*) = inf w(r)=a> 0
Mat khac V(t, x) lién tuc theo x và V(t, 0) =0 nên với fạ € (0, œ), đồ <
e sao cho 0 < V(o,#(f#o)) < œ khi ||z(fo)|| < Š
Giả sử nghiệm tầm thường z = 0 khơng ổn định Khi đó với nghiệm «(t) bất kỳ mà có ||z(fo)|| < ổ thì tồn tại thời điểm #¡ > f¿ để ||zŒi)|| = ẹ Do
dé: w(ax(t1)) > ạ
Ngoài ra theo giả thiết a <0 do dé ham V(t, x(t)) khong tăng Từ đó
suy ra: a > V (to, 2(to)) > V (ti, (t1)) > w(2(t1)) > a, diéu nay vo lỵ Nhu
Trang 131.4.6 Hé quạ Néu d6i vdi hé vi phan tuyén tinh thuan nhất ae = Ăt)a,
trong dé Ăt), x(t) lién tue trén [0,0co) ma ton tại hàm sác định dương V(t,x) c6 dao ham a <0 thi tắt cả các nghiệm của nó ổn định
1.4.7 Định lý (Lyapunov về sự ổn định tiệm cận) Nếu đối uới hệ quy đổi
(1.7) ton tai mot ham „ác định dương V(t,#) có giới hạn 0ơ cùng bé bậc
cao khi x > 0Ư tà có đạo hàm toàn phan theo t dọc theo nghiệm của hệ sác định âm thà nghiệm tầm thường + = 0 ổn định tiệm cận
Chứng mình Theo định lý 1.4.5, từ giả thiết ta suy ra nghiệm z = 0 của hệ (1.7) ổn định Dé chứng minh nghiệm này ổn định tiệm cận ta chứng
mình với mọi nghiệm z(#) bất kì của hệ thì thỏa mãn im x(t) =0
Dat V(t) = V(t, 2(t)) Vi a < 0 nén suy ra V(t) la ham giam Do dé iim V(t) = inf V(t)=a>0
Ta chứng minh œ = 0 Thật vậy, giả sử œ > 0, khi đó tồn tại đ > 0
sao cho ||z(#)|| > Ø,V£ > tạ nào đó Bởi vì nếu điều này khơng đúng thì d{f,}: —> œ và im x(t,) = 0 Day {t,} nhu trén là tìm được Sở dĩ như vậy vì nếu {f¿} bị chặn trên thì sẽ tồn tại một dãy con hội tụ, ta chọn ngay {£„} là dãy con đó Do tính liên tục của z(£) nên ta có 3 jim x(t,) := z(T)
Suy ra 2(T) = 0 ( do tinh duy nhất nghiệm) trên (0,oo) Điều này mâu thuẫn với z(f) là nghiệm không tầm thường
Do V(f, +) có giới hạn vô cùng bé bậc cao khi z — 0, ttc la V(t, x) > 0 khi z — 0 và im x(t.) = 0 nên suy ra
>%
lim V(t) = lim V(¿,z(#¿)) = 0
tụ —>% tho
Diều này mâu thuẫn với giả thiết œ > 0 Do đó 3 > 0 sao cho ||+(#)|| > Ø,Vf Ð tạ nào đó
Do V(,z) âm nên 3¿¡(z) sao cho
Vứ,z) < —œn(z) < 0 với ||z|| # 0 và V(,0) = œ¡(z) = 0
Trang 14Dat +y := ; inf wile) ton tai vi ham w(x) lién tuc trén tap đóng
8<llzll<h
nên bị chan Suy ra véi t > to thi t V()= V0) + [ V(s.2(s))ds to t < V(to) -— [ees < V() — +.(f— tạ) <0 to
khi ¢ dui Ién
Diéu nay mau thuan véi gia thiét V(¢,x) xdc dinh duong Do vậy điều
giả sử œ > 0 là sai, nên œ = 0 Suy ra jim V(t,x) = 0
Tiếp theo ta chứng minh jim x(t) = 0, tite 1a lay ¢ > 0 tuy ¥ ta can chi ra ||#|| < e,V# > T nào đó Vì V(£,+) xác định dương nên tồn tại hàm œ(z) sao cho V(f,ø) > œ(z) > 0, với ||+z|| # 0
Datl= 3<|zll<h inf w(z2) /
Vi iim V(t,a) = 0 nén ton tai T > ty nao dé sao cho V(t, x(t)) < 1 Mat khac do V(t, x(t)) giam nên V((,z(£)) < l,Vt > T
Ta sẽ chứng minh ||z|| < ¢,Vt > T bang phan chứng Thật vậy, giả
sử đíi € (7, +o©) sao cho ||z(#)|| > £ Khi đó ta có l > V(,z(H)) > ằœ(œ(#i)) Điều này mâu thuẫn với cách dat 1 Do vay jim x(t) = 0 Dinh
lý được chứng minh xong O
1.4.8 Định nghĩạ Ma trận hằng A được gọi là ma tran Hurwitz hay on định nếu phần thực tất cả các giá trị riêng của A đều âm
1.4.9 Dinh lỵ Ma tran A là ổn định khả va chi khi bat ki ma tran G đối
sứng, ác định đương nào thà phương trình ATH + HA = -G (LE) có
nghiệm là ma trận đối xứng, ác định dương H
Chứng mình Điều kiện đủ: Giả sử phương trình (LE) có nghiệm là ma
Trang 15là một nghiệm bất kì của hệ #(#) = 4Az(),£ > 0 với điều kiện ban đầu
x(to) = 1%
Xét hàm Lyapunov: V(ăt)) = 27 (t)Hx(t) Lay dao ham:
dV dả pdt
=a! ATHx +a HAr =#T(ATH + HA)+ = —-+zTG+ < 0
Vì H xác định dương nên V(zŒ)) là hàm xác định dương, ngoài ra wv < 0 nên theo định lý Lyapunov thì hệ trên ổn định tiệm cận Suy ra phần thực của các nghiệm đặc trưng của ma trận 4 đều âm hay ma trận A là ổn định
Diều kiện cần: Giả sử ma tran A 1A 6n định, tức là các giá trị riêng củạ A đều có phần thực âm
Với bất kì ma trận Œ đối xứng, xác định dương, ta xét phương trình mạ
trận sau: -
1 = ATZ(t) + Z(t)A,t > to
Z(to) =G
Nhan thay hé c6 mot nghiem rieng lA Z(t) = e4"*Ge**
Dat X(t) = I Z(s)ds to Vi ma trận 4A là ổn định nên t t H= [4006 = Tưng <œ i 0 to
là xác định và do G 1A déi xttng nén H cing déi xting Mat khac, lAy tich
Trang 16Cho t = oo, khi đó Z(#) — 0 Hơn nữa A ổn định nên ta có
-G = ATH+ HẠ
Như vậy các ma trận đối xứng H,G thỏa mãn phương trinh (LE) Ta chi cần chỉ ra #7 xác định dương Thật vậy, ta có:
t
(Hx, x) = Jteettsetsiạ to
Do G > 0 và é khong suy bién nén (Ha, x) > 0 véi moi « 4 0 Do dé
H xác định dương Định lý được chứng mình xong L]
1.5 Tính ổn định của hệ tuyến tính không dừng
Xét hệ vi phân tuyến tính:
i(t) = Ăt)2(t),t > 0 (1.8)
Dối với hệ tuyến tính khơng dừng trên thì việc nghiên cứu tính ổn định gặp khó khăn hơn, vì nghiệm của bài tốn Cauchy lúc đó khơng tìm được qua ma trận Ăt) mà phải qua nghiệm cơ bản ®(¿, s) của hệ Do đó mục này sẽ đưa ra một số tiêu chuẩn ổn định cho hệ trên dựa vào ma trận Ăt)
trong trường hợp ma trận Ăt) tua như là hằng số
1.5.1 Định lý Xét hệ (1.8), frong đó Ă) = A+ŒC( Giả sử A là mã tran hing on dinh, C(t) la kha tich trén Rt va ||C(t)|| < a,a > 0 Khi đó hệ ổn định mũ véia>0 di nhé
Chứng mình Với Ăt) = A + C(f) hệ phương trình (1.8) có đạng: ăt) = Ax(t)+ C(t)x(t),t > 0
Trang 1717 f Ads t f —Aat u(t) = eo ty + f C(s)ăs)eo ds to t = eAlito) (» +f C6) a4.) to t
= aỵe4o) + f C(s)x(s).e4— Ids,
to
Vi ma tran A 6n dinh nén hé #(t) = Az(),£ > 0 là ổn định mũ, do đó theo định nghĩa 3/ > 0, ổ > 0 sao cho ||e“|| < pe, Vt > 0
Ta có
IIz()|I < |lzellle““!I+ / IIeˆ“®IIC(s)|IlLz(s)llds
t < |fro||uen 8) + / uẽ5~®4|Jz(s) |ds to t = c=®llz()|I< nllzol| + "` to Áp dụng bất đẳng thức Gronwall dạng tích phân : t t Z J ăs)ds
Nêu u(t) <C + [ ăs)u(syas thi u(t) < Cee
to
với
u(8) = eÈ0=!0)l#00Ï, Ø = tl|xo||,ăs) = pạ
Ta được
- f wads
XM ix(t)|| < pljaoll-ee ,VE> to hay
MEO ler(t)|| < pallol|-e— Vt > tọ
Do đó
Trang 18Chon a < khi đó hệ ổn định mũ L]
1.5.2 Ví dụ Xét fính ốn định mũ của hệ phương trình ui phân:
1 1 = —3Z1 + { cỏ ạ —= ÿđ1 — 572 + { sin? É Giảị Ta, có ‡ 0 1 cos? t a= (T3) ecn= (Tế)
Ma tran A én dinh vi ĂA) = 35, #< < 0 Con ham C(t) khả tích trên
Rt va ||C(O)|| < +=
Chon pp = 1,6 = ộ khi đó ; =a< “ Do đó hệ ổn định mũ
1.5.3 Định lý Xét hệ (1.8), trong đó Ăt) là ma trận liên tục theo t Giả
sử tồn tại các số M > 0,ð >0, >0 sao cho
?)||c4!I|< Kẽ*,Vi,s > 0;
ii) sup || Ă) |< M teRt l
Khi đó hệ ổn định mũ nếu M < x
Chứng mình Ta viết lại hệ dưới dạng tương đương:
= Ăto)x(t) + (Ăt) — Ăto)) ăt), t > tọ
Nghiệm z() với x(to) = #o cho bởi t
ăt) = ape) ttt) | (Ăs) — Ăto)) (sje) dg,
to Ta có t llr)l|< Ke |xrol| + / 2M K ||xr(s) jen) ds to Suy ra t
cứ=®)lIz(0)||< Kllzol| + / 2K MeP=®)||z(s) |Jds
Trang 1919
Ap dụng bất đẳng thức Gronwall với
u(t) = eÈ,=®)||z(£)||,Œ = K||zol|,ăs) =2KM
ta được t su [ 2N Kds c=9)lIz(0)||< Kllzo||.e° el!) |lr(t)| < K |\xo|le2* =lz0)||< Klzo||c#51- 6-5) W > tụ,
Néu chon M < 5% thi ta có
lo(t)|| < Kjole, Wt > to
trong d6 6=6-2KM >0
Do đó hệ ổn định mũ L]
Nhu vậy đối với hệ tuyến tính khơng dừng ngay cả khi ma trận Ă) ổn
định đối với mỗi ¿ cố định cũng không đảm bảo tính ổn định của hệ mà đòi hỏi mạnh hơn về tính giới nội đều của Ăt)
1.5.4 Định lý Giá sử tôn tại giới hạn jim Ăt) = Ax va Ax là ma tran
on định, khi đó hệ:
ăt) = (Ax + B(t))ăt) (1.9)
là ổn định tiệm cận nếu jim || B(t)|| = 0 00
Chứng minh Nghiệm của hệ (1.9) véi x(to) = xo là:
t
+() = xge3~ữ~®) + | B(S)s(s)e2xt" 9
to
Trang 20Ta có đánh giá:
t
lIx(t) || < pe |x| + [ wle(syB ees to
t
= MM ăC)] < llell + f ul, BU}le"™ hn(o) ds:
to Áp dụng bất đẳng thức Gronwall với u() = £~®)||z()||,Ø = ðllzollăs) = "|| B(5)| ta được Jwl|B(s)|lds c6 8)||z()|| < nllzolle° Do đó “ict ƒ wlIB(s)d| 0 < |z@)||< e ul|zollee suy ra SulBOol- Š)ds 0 < Jz@)|| < øllzolle° -
Vi lim || B(t)|| = 0 nén voice = 547, 4T > 0sao cho ||B(s)|| < gây, s > 7
too
Do đó jul] B(s)|| — 6 < -$,Vs > T
Do đó theo nguyên lý kẹp thì jim \|x(#)|| = 0
00
Mat khác hệ #(#) = A+xz(£) ổn định nên hệ đã cho ổn định tiệm cận LÏ Đối với hệ rời rạc không dừng ta cũng có các tiêu chuẩn về tính ổn định tương tự, song chứng minh dựa trên bất đăng thức Gronwall cho hệ rời rạc 1.5.5 Định lý Xét hệ sai phan:
ăk +1) = Ăk).ăk),k € Z*
Trang 21Chitng minh i) Hé sai phan x(k + 1) = Ăk)ăk),k € Zt có nghiệm với (0) = zo là z(&) = Ăk — 1).Ăk — 2)Ă0).zo,k € Z7
Tà có đánh giá:
0 < JIz)|| < |4 = 1)|-J.4(E = 2)|| L4(0)||-llzoll < 2 llzell
Vì ạ€ (0,1) nên với ở mà ||zo|| < ð thì ta có "mm x(k) =0 /ây hệ đã cho là ổn định tiệm cận
ii) V6i Ăk) = A+ C(#) ta có hệ z(k + 1) = Az(#) + C(k)z(#)
Ta có
x(k) = Ax(k — 1) + C(k — 1)z(k — 1)
= A[Ar(k — 2) + C(k — 2)ăk — 2)] + C(k — 1)ăk — 1)
= A’ăk — 2) + ÁC(k — 2)ăk — 2) + A°C(k — 1)ăk — 1)
k-1
= Afrơ ` A*”1Œ()z0)
¡=0
là nghiệm của hệ
Vì ma trận 4 ổn định nên phần thực tất cả các giá trị riêng của nó đều am, do đó suy ra 3„ € (0,1) sao cho ||A|| < 4
Từ đó ta có đánh giá
k-1
Je(k) || < All aol + SWAIN @Il a)
i=0
k-1
< #lzoll + 3 } á~”*allz()|| ¡=0
Do vậy
q *|\2(&)\| < llzol| + si ¿+ e0) Áp dụng bất đẳng thức Gronwall đạng rời rạc:
k-1 k—
Néu u(k) <C+ So alk u(t), Vk € Z* thi ta c6 u(k oT 1+ă ¡=0
Trang 22V6i u(k) = q'|\x(k) ||, C = |\z0l], ăk) = ƒ ta được
kl
l a
ø *lJz@)|| < lzol.][ + we eZ" i=0
Vay |le(k)|| < ||zo|l-(4 + 4)"
Vi q € (0,1) nén sé chon dude sé a > 0 di nhé dé 0 < q+a<1vado
dé ||x(k)|| + 0 khi k — 00 Do do hé 1a 6n dinh tiém cận L]
1.6 Tính ổn định của hệ sai phân tất định Xét hệ phương trình sai phân sau:
ø(k + 1) = Az(k),k = 1,2 (1.10) trong đó A € R"X",z„ € R",z(0) = zọ
1.6.1 Định nghĩạ Nghiệm không của hệ phương trình (1.10) gọi là ổn định Liapunov néu Ve > 0 => 3d = d(e) > 0 sao cho moi nghiệm z„ của
phương trình thỏa man || zo ||< 6 thi || xz ||< e,k > 0
1.6.2 Định nghĩạ Nghiệm khơng của hệ phương trình (1.10) gọi là ổn định tiệm cận Liapunou nếu:
1) Nó ổn định Liapunoy;
ii) Tồn tại ð sao cho mọi nghiệm z+„ của phương trình thỏa mãn || # ||< 6 thì lim || zz ||E 0 ;—>%
1.6.3 Định lỵ Néu ton tai ham Liapunov V(x(k)) > 0 sao cho AV(zx(k)) = V(ăk+1)) —V(x(k)) < 0 thi nghiem x, = 0 của hệ (1.10) ổn định tiem
cận
Trang 231.6.4 Dinh lỵ (Diéu kién phd) Diéu kien di: dé nghiém x = 0 ctia hé sai
phân (1.10) ốn định tiêm cận (tức la x(k) > 0 khi k — 00) là |A;(A)| < 1,
uới À¡ là các giá trị riêng cua Ạ
Khi đó ta gọi A hội tụ hay ổn định Shurẹ
Mệnh đề đảo của định lí này cũng đúng
1.6.5 Định lý (Diều kiện đại số ma trận) Điều kiện đủ để nghiệm + = 0 của hệ sai phân (1.10) ổn định tiệm cận là tồn tại ma trận H > 0 sao cho
ATHA- H=-GŒ, trong đó GŒ là ma trận đối zứng tác định đương tùy Ú
có cỡ thích hợp va AT là ma trận chuyển vt cua ma tran Ạ
1.6.6 Ví dụ Xét điều kiện ổn định tiệm cận của hệ phương trành sai phân Sau: Try = Ar, trong dé A € R"™", a, € R” va x(0) = 2 Gidị Ta xét V(x.) = 27 Ha, voi H = HT > 0 Suy ra AV (ax) = V (p41) — V (az)
= Tey Hep — + Hay
= a1 ATHA+y — +1 Hay =ăATHA- H)zỵ
Dat ATHA—H =-G <0
Khi đó để hệ ổn định tiệm cận thì —G < 0 G >0
Trang 24Xét hệ phương trình sai phân ngẫu nhiên
ø(k + 1) = Az(k) + B&@.x(E) (1.11)
trong đó z(k) € IR";£„ = W(k + 1) — W(k): ồn trắng: 4, Ö là các ma trận hang thudc R”; W(t) 1a qua trinh Wiener
1.7.1 Định nghĩạ Nghiệm khơng của hệ phương trình (1.11) gọi là ổn định Liapunoo với xác suất một nếu Ve,z > 0 = 3 > 0 sao cho mọi
nghiệm z của phương trình thì P {|| z; ||> e, || #o lÌ< ä} < e;¡k > 0
1.7.2 Định nghĩạ Nghiệm không của hệ phương trình (1.11) gọi là ổn định tiệm cận Liapunoo với xác suất một nếu:
1) Nó ổn định Liapunov với xác suất một;
ii) Tồn tại š sao cho mọi nghiệm z;¿ của phương trình thì
lim P{||zz |Í> £, || xo |< 6} =0
k—œ
1.7.3 Định nghĩạ Nghiệm không của hệ phương trình (1.11) gọi là ổn định Liapunoo trưng bình bậc p nếu Ve > 0 => 3ồ > 0 sao cho mọi nghiệm
a, cua phương trình thì E {|| z; |ÍP, |Í zo ||< š} < e;¡ > 0
1.7.4 Định nghĩạ Nghiệm không của hệ phương trình (1.11) gọi là ổn
định tiệm cận Liapunoo trung bình bậc p nếu:
ii) Nó ổn định Liapunov trung bình bậc ?;
iv) Tén tai 5’ > 0 sao cho mọi nghiệm z„ của phương trình thì
lim E{|z |, | ze lÍ< ð } =0 k—00
1.7.5 Cha ỵ Khi p = 2 on dinh trung bình bậc hai còn được gọi là ổn định
Trang 251.7.6 Dinh lỵ (R.S.Bucy) Néu ton tai mot ham Liapunov V(ăk)) > 0 sao cho EAV (ăk)) <0 trong nghia ctia hé (1.11) thi nghiém « = 0 ctia hé on dinh tiệm cận theo Liapunoo tới sác suất 1 (trong đó AV lay doc theo
nghiệm của hệ)
Định lí về điều kiện đủ để nghiệm z = 0 của hệ sai phân ngẫu nhiên ổn định tiệm cận
1.7.7 Dinh lý (Diều kiện đại số ma trận) Điều kiện đủ để nghiệm x = 0
của hệ sai phân ngẫu nhiên (1.11) ổn định tiệm cận tới sác suất một là tồn tại ma trận H > 0 sao cho ATHAT— H + BỶHB = -G; trong đó GŒ là ma trận đối xứng xác định dương tàu ú oà AT, BT là các ma trận chuyển tị tương úng của ma trận A, B Chứng mình Chọn ham V(ø+(k)) = zT(k)H+z(k) > 0, do H Tà mà trận xác định dương ]<hi đó ta có AV =V(ăk +1)) — V(2(k)) = #T(k+1)Hz(k + 1) — +z*(k) Hz(k)
= 2" (k)(AT + B'&,)H(A + B&,)z() — 2" (k)Hăk)
=a" (k)(AHA — H + BT HBE&2)ăk) +2" (k)(ATHB + BT HA)E, x(k)
Vì €& =W(k+1) —- W(k), voi W(t) là quá trình Wiener nên Eé, = 0, Eg? = 1 Do do
EAV (ăk)) = 27(k)(A7HA — H + BTHB)z(k)
Đặt (ATHA- H+ BTHB) = ~GŒ Tương tự như đối với hệ vi phân ngẫu
nhiên ở đây ta có thể chọn được ma trận H đối xứng xác định dương để G
cũng là ma trận đối xứng xác định dương Khi đó EAV (2(k)) = -zT(k)Gz(k) < 0
Từ đó theo định lí R.S.Bucy ta suy ra nghiệm của hệ sai phân ngẫu
Trang 261.7.8 Vi dụ Tim diéu kién on định của hệ sai phân ngẫu nhiên sau:
Upp = ary + €0g—t -Ƒ (bay + day—L)Š
trong dé a,b,c,d € R,€ là "ồn trắng"
Š — (#g.1 (0ø €6e\n_(bd
Bà ss(0)/1x(18).0- (19)
Khi đó ta có Yer = Ayr + Byker
Diều kiện đại số ma tran để hệ ổn định với với xác suất một là tồn tại ma trận j = H” >0 sao cho A“HA— H + BTHB = -G
Giả sử
_ (hà hi )
a= ( hig ho }`
Giai phuong trinh
ATHÃH+BTHB=~(4 1)
ta sẽ tìm được ma trận H thong qua a,b,c,d Kết hợp với điều kiện H xác
Trang 27Ne “sr
CHUONG 2
MOT SO UNG DUNG CUA SUPERMARTINGALE DE
NGHIEN CUU TINH ON DINH CUA HE NGAU NHIEN ROI
RAC HAI THAM SO
Chương này thiết lập một số điều kiện đủ cho tính ổn định của một
lớp hệ phương trình ngẫu nhiên rời rạc hai tham số bằng phương pháp
bi-supermartingale Nhưng trước hết chúng tơi trình bày tính ổn định của
hệ ngẫu nhiên rời rạc một tham số
2.1 Các khái niệm cơ bản Xét hệ ngẫu nhiên rời rạc:
ăt +1) = ƒ(t,z).nf)): zo) = z(6) (2.1) trong d6 ¢ € N*; f : R" — R” la ham Borel; R” - không gian Ởclit với
chuẩn || ||; ?(/) - là đại lượng ngẫu nhiên
2.1.1 Định nghĩạ Hệ (2.1) là hoàn toàn giải được nếu với mọi điều kiện ban đầu z(œ) tồn tại hàm X (f,fo,#(œ)) là nghiệm của hệ (2.1) với £ > fọ và thỏa mãn X(o, fo, #(œ)) = #(œ)
Kí hiệu X(,z(0)) = X(,to, z(0)) Giả sử ƒ(,0,7()) =0,Ví €NĐT
Khi đó z(£) = 0 là một nghiệm của (2.1) và được gọi là nghiệm tầm
thường (hay trạng thái cân bằng) của hệ
Trang 28Cho không gian xác suất (Q,Z,P) với họ không giảm các ø - đại số (Fi,t > 0)
Sau đây là các định nghĩa về tính ổn định
2.1.2 Định nghĩạ Nghiệm không của hệ phương trình (2.1) gọi là ổn định
Liapunov với xác suất một nếu Ve,zˆ > 0 > 36 > 0 sao cho moi nghiệm z„
của phương trình thì P {|| z; ||> || #o |< 6} < e:k >0
2.1.3 Định nghĩạ Nghiệm không của hệ phương trình (2.1) gọi là ổn định
tiệm cận Liapunoo với xác suất một nếu:
i) N6 ổn định Liapunov với xác suất một;
ii) Tồn tại š sao cho mọi nghiệm z;¿ của phương trình thì
lim P| az ||> €, || vo |< 6} =0 k—>o%
2.1.4 Định nghĩạ Nghiệm khơng của hệ phương trình (2.1) gọi là ổn định Liapunoo trưng bình bậc p néu Ve > 0 > 3d > 0 sao cho mọi nghiệm zy
của phương trình thì E {|| z¿ |Ì?, || zo |< 6} <e;k 3 0
2.1.5 Định nghĩạ Nghiệm không của hệ phương trình (2.1) gọi là ổn định tiệm cận Liapuno0 trưng bình bậc p nếu:
ii) Nó ổn định Tiapunov trung bình bậc p;
iv) Tồn tại 5’ > 0 sao cho mọi nghiệm z„ của phương trình thì
lim E{|z |, || zo |Í< ð } =0 k—s
2.1.6 Chú ý Khi p = 2 ổn định trưng bình bậc hai còn được gọi là ổn định
Trang 292.2 Một số định lý hội tụ của supermartingale
Phần này nêu ra hai định lí Doob về tính hội tụ của supermartingale
mà không đi sâu vào chứng minh Chỉ tiết phần này có thể xem thêm tài
liệu [6]
Gọi X(/) là nghiệm của hệ dX(£) = Ăf,z)dt + BŒ,z)dW (0)
Giả sử hàm Liapunov V(,#) khả vi liên tục hai lần theo x va mot lần theo £ trong J x U, trong đó ï = {fạ < £ < +oo}, U € E— tập đóng bị chặn, E là không gian các trạng thái X(/) và giả sử trong miền đó
2
a + Ăt, ne + sP°( “Se <0
Nếu điều kiện LV < 0 thỏa mãn véi moi « € E va ton tai EV(t, X(t))
LV(t,z) =
thì quá trinh V(t, X(¢)) 1 supermartingalẹ
2.2.1 Định lý (Doob 1) Néu (Y(t,w), F;:,t > 0) la supermartingale duong
thi vdi vde sudt mot ton tai gidi han hitu han Y, = jim Y(t,w) Khi dé
EY, = lim EY(t,w)
too
2.2.2 Định lý (Doob 2) Nếu (Y(t,0),Z¡,t > 0) la supermartingale thi
uới mọi e > 0, ta có bất đẳng thúc
E\Y(T P sup |Y(t,w)| > :| < Ey (Pw)
toSt<T £
2.3 Tính ổn định và ồn định tiệm cận của nghiệm Kí hiệu Œ(M,0) là lớp tất cả các đại lượng ngẫu nhiên ban dau x(w)
sao cho || « ||.= esssup || z ||= inf {0 < e< +œ;P(|| z ||> e) = 0}
Gọi UX = L*(0,Z,P) - không gian các đại lượng ngẫu nhiên với || x ||o< œ, trong đó || ||„ là chuẩn, với chuẩn đó * là không gian đủ
Giả sử hệ (2.1) hoàn toàn giải được
Quy ước: X(t,z()) = X(t,fo,+()),£ € Ñ là nghiệm của hệ phương
Trang 30Ø(|z|l), ới mợi z € R”` va moi x(w) € C(M,0) va V(X(t,#())) là su- permartingalẹ Khi đó nghiệm tầm thường + = 0 của hệ (2.1) ổn định
Chứng minh xem tài liệu [4]
2.3.2 Định lý Giả sử các giả thiết trong định lí trên được thỏa mãn Hơn nita giả sử V(X (t,#(œ)) là supermartingale tà tồn tại một hàm liên tục ^(.) uới +(0) = 0, y(x) = 0 khi va chi khi x = 0 va thỏa mãn E(AV (t,x) |F;,) = E[V(X(t + 1), 2(w) |Fi)] — V(X (8), e(w)) < -¥(||X (t, 2(w)) ||) < 0 uới mới x(w) € C(M,0) Khi đó nghiệm tầm thường z = 0 của hệ (2.1) ổn định
tiệm cận Chứng minh Nhờ định lí 2.3.1 ta chỉ cịn phải chứng mình lim X(,#(œ)) =0 h.c.c t-00 Ki hieu N(t) = ||X(t,2(w))||: V(t) = V(X(8), 2) Ta có
EV(+ 1) - EV(0) = Yee V(]
- SˆEElv( (¡+1)— V()|#]<- STEW i=0 i=0 Suy ra t EV(t+1) -S°E i=0 Vi vay t
—EV(t + 1) + EV(0) Ey(N(2)) i=0
Trang 3131
Do + >0, với z # 0 ta suy ra số hạng tong quat ctia chudi Ey(N(t)) > 0(# — o) Từ đó tồn tại đãy con #„„ — 00, (k — 00) sao cho ¥(tn,) > 0 (h.c.c) Vi V(t) la supermartingale nén theo Dinh li Doob ta cố jim V(t)= V Sử dụng bất đẳng thức ăN(t)) < V(t) < B(N(t)) Lay gidi han hai vé dọc theo dãy con (f„„) ta có 0 < V < Ø(0) =0 Từ đó V = 0 (h.c.c) Via là hàm không giảm, nên ta có lim () = 0 L]
too
2.4 Một số kiến thức về martingale hai tham số Trong phần này trình bày một số kiến thức cơ bản về martingale hai tham số
Kí hiệu RỆ = {z = (z,):z >0, > 0}
Ta định nghĩa quan hệ thứ tự trong R2 như sau: với z = (#,), z=(z,);z,z € IRˆ ta có z< z khi và chỉ khiz < #, < ÿ
Nếu AC R2 thì z < 4 có nghĩa là z< z với mọi z € A4
Tương tự cho các quan hệ z < 4,A <z,A< B v.v
Nếu z < z ta kí hiệu hình chữ nhật là
,
[z,2]={(s,t)ia<s<ay<t<y}
Kí hiệu Z2 (Z2) là tập hợp gồm các cặp số nguyên không âm (tương ứng gồm tất cả các cặp số nguyên)
Cho không gian xác suất (©,.4, P)
Tất cả các biến ngẫu nhiên về sau này đều cho trên không gian xác suất đó
Họ các ø - đại số (Z:,z € Œ) (C là tập con nào đó của IR}) được gọi là một luồng nếu Z; C 4 và từ z< z = Z; C Z„
2.4.1 Định nghĩạ Hàm ngẫu nhiên € = €(z) = €(z,œ),(z € Œ,w„ € 9)
được gọi là phù hợp (hay thích nghỉ) với luồng (Z7,) nêu đại lượng ngẫu
Trang 32Đối với luồng cho trước (Z;, z € R2) ta đưa vào họ các ø -đại số sau đây: Fi): Fila Mo Fixy) 1a o— đại số nhỏ nhất chứa các tập của #(„„)(w >
9 z>0
( 0
(Z?):7Z?= V 7(„) làø— đại số nhỏ nhất chứa các tập của Z#(„„( > 0
(4;): 4A; = Z}V F; la ø—đại số nhỏ nhất chứa các tập của ?{„„)( >
,
Giả sử # /Œ ) là một hàm nào đó, với z,z € Rƒ., z = (z,),z =(,w)
Khi đó [/(2) = flz,z] = sles!) — Flésa) — fava!) + Flea) got a
sỐ gia của hình chữ nhật của hàm f
2.4.2 Định nghĩạ Hàm ngẫu nhiên €(z) = €(z,),z€(Œ _ được gọi là martingale hai tham số nếu:
i) €() phù hợp với (F.);
ñ) E|£(z)| < œ với moi z € C; iii) néu z < 2’ thi E[€(z’) |F.] = €(2)
2.4.3 Định nghĩạ Hàm ngẫu nhiên €(z) = €(z,y),z € C duge gọi là
supermartingale hai tham số, nêu các điều kiện ï), ii) được thực hiện và
7) nêu z < z thì E£(z)|Z:] < £(2z)
2.4.4 Định nghĩạ Hàm ngẫu nhiên €(z) = £(z,),z € D (trong đó D =
R2 hoặc N2) duge goi la martingale hai tham s6 - mạnh nếu:
i) €(z) pht hop véi (F.);
ii) E|€(z)| < co với mọi z € C;
iii) E[D€(z) |Ạ] = 0;Vz < 2’, 2’ € D;
iv) Các họ (€(z,0), #7); (€(0,), #7) là martingalẹ
Ta kí hiệu:
€„ (0) = {£(,) z > 0 cố định };
€„(z) = {£(,) > 0 cố định }
Trang 332.4.5 Dịnh nghĩạ Hàm ngẫu nhiên (£(z), z € JR‡) phù hợp với luồng
(Z:;) sao cho E |£€(z)| < œ được gọi là:
a) một (hoặc hai)- — nếu quá trình (€z(z),Z‡, z > 0) (tương ứng (€„(),ZZ > 0 )) là supermartingale đối với mọi y (tương
ứng với mọi #)
b) bi-supermartingale néu nó đồng thời là một và hai-supermartingalẹ
Điều kiện sau đây được gọi là điều kiện giao hoán Với mọi đại lượng ngẫu nhiên khả tích + ta có
Ely |F; |Fy| = E[y |Z? 7;]:
Dựa vào điều kiện giao hoán trên ta có định lí saụ
2.4.6 Định lý Nếu các ø- đại số Z, thỏa mãn điều kiện giao hoán thì các
khái miệm tmartingale hai tham số tà bi-martingale trùng nhaụ
2.4.7 Mệnh đề Giá sử €(z) là martingale hai tham số - mạnh Khi đó
€(z) là martingale hai tham số
Chứng mánh Do £(2) là martingale hai tham số mạnh nên các điều kiện
() và (ñ) trong định nghĩa 2.4.2 được thỏa mãn Ta cần chứng minh €(z) thỏa mãn (ii) trong 2.4.2
Thật vậy, với z < z ta có: È(z) =€(z,) = |€(,w) — €(z,) — (0, y/) + €(0,y)] +Í€(,w)T— €(œ,w) —€ ) (, (z,0) + €(z, 0)] t(ø,) — €(,w) — €(œ,) + &(œ,)]
") — €(0,y)] + [E(2’, 0) — E(2, 0) + €9)
€Í(0.),(z,)] + €[ứ, 0), (z, vl
#,)] + [&(0,ý) — €(0, y)] + [E(#, 0) — &(x, 0) 7 dứa y) + OE (0,y) + OE (x, 0) — OE (x, 9)
+ (60,4) — €0,y)] + [E(@, 0) — (a, 0)]
Trang 34Ichi do:
Elk(z)
=E[LK((, 1)|Z:] + E[e(0, y) a £(0, 1)|Z:]
#:] = €(z) + E[Lé(0,)|Z:| + E|Ll (z, 0)|Z:]
Vì £(z) là martingale hai tham số - mạnh nên ta có:
E[DE(0, y)|Ạ] = 0
Do đó:
E[DE (0, )|Z] = E[E(LI(0, 9), |Ạ)|F:] =0
Tương tự ta có:
EILl(z,0)|Z:] = 0; E|L(z, y), |F.] = 0
Mặt khác, vì £(0, ø); €(, 0) là martingale nên ta có:
E(E(0,y) — €(0.)|Z:] = E[E(e(0.y) - £(0.)|#?|Z2)|Z:] = 0
Tương tự ta có:
Eé(2’,0) — £(z,0)|Z;] = 0
Thay các kết quả trên vào (2.2) ta được:
Ele(z)|#:] = (2);Vz < z
Vậy £(z) là martingale hai tham số Oo
2.4.8 Dinh nghiạ Qué trinh ngau nhién W(z) = W(2,y), 2 = (x,y) € R?
được gọi là Wiener hai tham số nếu:
a) W(ø,0) = W(0,y) = 0:
b)Với mọi Ö < z¡ < za< < z„, các đại lượng W[zi, za], W{z2, za], ,Wf[za—: zaÌ độc lập với nhau;
Trang 35ww or
Như vậy ta thấy quá trình Wiener hai tham số là một ví dụ đơn giản
của martingal đối số liên tục
2.4.9 Định lý Quá trình Wienecr hai chiều có bẩn sao liên tục
2.4.10 Định lý (Bất đẳng thức đối với bi-martingale) Đối vdi moi p> 1
ton tai hing s6 C, khong phu thudc vao cdc bi- martingale (&1) va ào (Vị) sao cho
E{sup |i") < Cp sup kl kl E |u|”
n—1,n—1] `
trong đó 6 = YS VịiLltjy uới (Vịy) là các phần tử 7lị— do duoc sao kJ=0
cho sup |V| <1, (k,D c€N
Tương tự như định lí Doob đối với martingale dưới một tham số, ta có định lí
2.4.11 Dinh lỵ (Dinh lí hội tụ đối với bi-supermartingale) Giá sử (tụ, (k,l) € N2) la bi-supermartingale va sup EG, < cọ Khi d6 h.c.c ton tại
các giới hạn
jim Ek = fools lim Ent = Ekoo, V(K, 1) > 0 Và đối uới mọi dãy không giảm (ky,l,) ton tai lim &,1, = €
noo
Nếu họ các đại lượng ngẫu nhiên (é¿;) khả tích đều thì các giới hạn trên
ton tai trong Lt, và các dãy (&, Z}, k = 0,1,2, ) (€s¡, #Z, | = 0,1, 2 )
là supermartingalẹ
2.5 Tính ổn định của một lớp hệ sai phân ngẫu nhiên rời rạc hai tham số
Trong phần này sẽ trình bày tính ổn định của một lớp hệ ngẫu nhiên rời rạc hai tham số bằng phương pháp bi-supermartingalẹ Các khái niệm
cơ bắn và nội dung của phần này có thể xem thêm trong các tài liệu [4], [5]
Trang 36u(ty,t2 +1) = fo((t, te), x(t, te), (tr, te)
trong d6 t = (ty, t2) € N?,N = (0,1,2, ) va fi(t,.,.) RR" x R" = Ri = 1,2) là các hàm Borel; R”(R™) 1a không gian Ởclit thực n(m) chiéu véi
(2.3)
chuẩn |].|| ; {m(t)}, {72(t)} là các đại lượng ngẫu nhiên; ÑÏ được trang bi
một quan hệ thứ tự thông thường
2.5.1 Định nghĩạ Hệ (2.3) hoàn toờn giải được nếu với mọi điều kiện ban
dau x(w) ton tai ham X(t, to, z(w)) la nghiém ctia hé (2.3) vdi t > to; ¢ € N? và X (to, to, u(w)) = r(w)
Kí hiệu X(t, «(w)) = X(t, to, x(w))
Gia str f;(t, 0, n;(t)) = 0, Vt € N?,i = 1,2 Khi do z(#) = 0 là một nghiệm của (2.3) và được gọi là nghiệm tầm thường của hệ
Tương tự như trong trường hợp một tham số ta có các định nghĩa sau: 2.5.2 Định nghĩạ Gọi C(M,0) là lớp tắt cả các đại lượng ngẫu nhiên ban
da@u x(w) sao cho esssupz(œ) < M, M là một số dương
2.5.3 Định nghĩạ Nghiệm tầm thường của hệ (2.3) là ổn định đối uới C(M,0) nếu với mọi e > 0, tồn tại ở > 0 sao cho với mọi z(œ) € Œ(M,0) thoa man P{||x(w)|| > 6} < 6 thi P{||x(¢,x(w))|| > e} < © véi moi t = (t1,t2) € N?,t > to, to € N?
2.5.4 Định nghĩạ Nghiệm tầm thường của hệ (2.3) là ổn định tiệm cận
đối uới Œ(M,0) nếu nó là on định đối với C(M,0) va lim ||x(t, x(w)|| = 0
hầu khắp nơi khi |¿| = t; + tz > +00
2.5.5 Định nghĩạ Nghiệm tầm thường của hệ (2.3) là p - ổn định đối
Trang 3737
2.5.6 Dinh nghĩạ Nghiệm tầm thường của hệ (2.3) là p - ổn định tiêm cân đối uới C(M, 0) nêu nó là p- ốn định đối với Œ(M, 0) và lim FE ||z(#, #(œ) ||” =
0 khi ?¡ + fa — +œ
2.5.7 Định nghĩạ Nghiệm tầm thường xủa hệ (2.3) là p - mũ ổn định nếu tồn tại > 0 va p € [0,1) sao cho với mọi z(œ) € Œ(M,0)., với
E||x(w)||? < œ ta có E ||z(£,#(6))||f < ppE |lal|? , t © N°, t = (t1, te), |e] = t, + te,t > tọ
Trong phần này, các khái niệm supermartingale va bi - supermartingale
của họ {X(đi,f¿),Z(H,f2),(H,fạ) € Đ?} được hiểu theo các định nghĩa trong phần trước với F(t, tz) 1A mot ho tăng các ø- đại số đầy đủ
Sau này khi nói X(í¡,fs) là một supermartingale hay bi - supermartin- gale ta coi nhu ho F(t), t2) di dugc cho và đặt Z2 = My (a u),
Fe= M7 ty)
e Các điều kiện đủ cho tính ơn định của hệ
Khẳng định 1 Hệ (2.3) hoàn toàn giải được khi và chỉ khi với mọi
t=(i,fa) €Ñ?, Wn(£),V+ € "ta có :
FilA; t, fit, &), 150), mi(A; t)) = Fi(Ait, Œ,2).1),11/(A¡ ))
hầu khap noi, trong d6 A, t = (ty; + 1, t2), Ao t = (t1,t2 + 1), i,j = 1,2
Chitng minh tuong ty dinh li 1 trong [7]
Các khẳng định 2 và khẳng định 3 được xem như là các định lí saụ
2.5.8 Định lý Giá sử tồn tại các hàm thực dương, không giảm, liên tục
ặ),G(.), G(0) = 0 va V(.) la ham liên tục sao che ă||a||) < V(x) < Ø(|#|l), uới mợi z € R” tà uới mỗi z(ð) € Ơ(M,0) , V(X(t,z(6))) là
supcrmartingale (hoặc bì - supermartingale) thà nghiệm tầm thường « = 0 của hé (2.3) ổn định đối uới C(M, 0)
Trang 38^(.) uới y(0) = 0, +(+) = 0 suy ra z = 0 va
E [V(X (ti + 1,t2), 2) F/)] -V(X(t, t2), 2(w)) Š —3(|XŒ,#(2))||) < 0 E[V(X(ti,t2 + 1),2(w) F?)] -V(X(tr, te), e(w)) < —9(||X(t,2))||) < 0
tới mọi x(w) € C(M,0) thi nghiém tam thudng « = 0 ctia hé (2.3) on định tiệm cận đối uới C(M,0)
Chitng minh Tit Dinh Ii 2.5.8 va cdc giả thiết của định lí, ta chỉ còn phải
chứng minh: lim X(f,z(œ)) =0 hầu khắp nơi(h.k.n) (véi |t| = t, + te)
£| >%
Kí hiệu V(,f¿) = ||X((H.£2), #(@))||:
V(-,t2) = V(X(ịf2),+()), với mọi f,t› c Ñ Khi cố định to, ta cé
EV (t, + 1, te) — EV( 0, to) = rem (i +1 la) — V(,1%2)]
= 57 EE [Vi + 1,t2) — V(i, te) #7]
Suy ra
ty
EV(t, + 1,t2) — EV(0, tg) < — ` E+(N, 12)
¡=0
Hay là
—EV(t, + 1,t2) + EV(0, ty) > Sev (i, t))
Do đó
Trang 39Từ (2.4), do y > 0 với « £0 ta suy ra s6 hang tong quát của chuỗi
Thay đổi vai trò £¡ và £¿ cho nhau ta có
Từ (2.5), (2.6) sẽ tồn tại dãy (#7,fZ) khi ø — œ và Iz(#,f) — 0 Suy ra ton tai day con (t*, tf) — 00 khi (k — œ) sao cho +(f},#Š) — 0 hầu khắp
nơị Từ giả thiết của + suy ra V(ƒ tŸ) — 0 hầu khắp nơị Do V{(H,tfạ) là
bi-supermartingale va E|V (ty, t2)|? < 8?(M) với p > 1 Theo định lí 5 trong [5] suy ra
lim V(i,f¿) = V(h.k.n) (2.7)
(t1,t2)—00
Sử dụng bất đẳng thức
ăN(ti, t2)) < V(t, tạ) < B(N(ti, to)) (2.8)
Lấy giới hạn hai về (2.8) doc theo day con (th, th) tacé 0 < V < 6(0) =0
hau khắp nơị Do đó
V =0(h.k.n) (2.9)
Từ (2.8), (2.9) và œ là hàm liên tục không giảm, nên ta có
lim W(đi,f¿) = 0(h.k.n) (2.10)
(t1,t2) 00
Tuong tu chttng minh Dinh li 2.3.2 ta c6
lim N(t,t2) = 0(h.k.n) (¢ = 1, 2) (2.11)
(tiJo0
Từ (2.10) và (2.11) ta có lim XŒ,#(œ)) = 0 hầu khdp noi (véi |t| =
|| >
ty + tạ) L]
Trang 40và với mọi z(ø) € Œ(M,0),V(z(,#(œ))) là supermartingale (hoặc bi -
supermartingale) Khi đó nghiệm tầm thường của hệ (2.3) là p - ổn định đối với Œ(M, 0)
Khang định sau là hệ quả của Dịnh lí 2.5.9
Khang định 5 Giả sử các điều kiện của Dịnh lí 2.5.9 được thỏa mãn Hơn nữa giả sử ă|| x ||) =ạ || x ||? với p,œ là các số đương Khi đó nghiệm tầm thường của hệ (2.3) là p - ổn định tiệm cận đối với Œ(M, 0)
Chú ý: Nghiệm tầm thường của (2.3) là p - ổn định tiệm cận đối tới C(M,0) thi nó cũng là p- ổn định đối uới C(M,0) vdi p € [0,pÌ
Khẳng định 6 Nếu các giả thiết của Dịnh lí 2.5.9 đúng với các hàm
ă[ z |) = ạ || z |” z ÙD = đ Ia If.x([z ID =3: Ie IP Ca, 6,7 là
các số dương) thì nghiệm tầm thường của (2.3) là p - mũ ổn định với các điều kiện đầu z(œ) có E || z(œ) ||P< oọ
2.5.10 Ví dụ Xét tính on định của hệ
{vr +1,f2) = Ai(w) X(t, te) (2.12)
X(t, ta + 1) = Ao(w)X (tr, ty)
trong d6 (t,,t2) € N?, (0,0) = x(w) la bién ngdu nhién, Ay, Ag la cée ma
trận ngẫu nhiên thỏa mãn AiAa = AaAị
Giảị
Dặt Z7(0,0) là ø - đại số sinh bởi z(œ), 4i, 4a và các tập số xác suất khong, F(ti, te) = o{ău, v), (u,v) < (ti, t2)} V F(0, 0)
Giả sử tồn tại ma trận Ö xác định dương sao cho tại hầu khắp nơi ATBA,—B<0
AD BA,—B <0
Khi d6, lay V(x) = 27 Bx thi nghiém tầm thường của (2.12) thỏa mãn