sử dụng phương pháp hàm lyapunov và phương pháp xấp xỉ thứ nhất để nghiên cứu tính ổn định của phương trình vi phân trong không gian hilbert

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊNLÊ THỊ THANH TUYẾT SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM LYAPUNOV VÀ PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ THỨ NHẤT ĐỂ NGHIÊN CỨU TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LÊ THỊ THANH TUYẾT

SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM LYAPUNOV

VÀ PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ THỨ NHẤT ĐỂ NGHIÊN CỨU TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - Năm 2011

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LÊ THỊ THANH TUYẾT

SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM LYAPUNOV

VÀ PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ THỨ NHẤT ĐỂ NGHIÊN CỨU TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

Mã số : 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌCPGS.TS ĐẶNG ĐÌNH CHÂU

Hà Nội - Năm 2011

Mục lục

1.1 Không gian Banach và không gian Hilbert 5

1.1.1 Không gian Banach 5

1.1.2 Không gian Hilbert 6

1.2 Toán tử tuyến tính 6

1.3 Phổ của toán tử tuyến tính 7

1.4 Nửa nhóm liên tục mạnh trong không gian Banach và toán tử sinh 10 1.4.1 Nửa nhóm liên tục mạnh trong không gian Banach 10

1.4.2 Toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh 13

2 Sự ổn định của phương trình vi phân trong không gian Hilbert 15 2.1 Phương trình vi phân trong không gian Hilbert 15

2.2 Sự ổn định theo Lyapunov của phương trình vi phân trong không gian Hilbert 17

2.2.1 Các khái niệm về ổn định 17

2.2.2 Các định lý về ổn định theo Lyapunov 18

2.3 Sự ổn định theo Lyapunov của một số phương trình vi phân có dạng đặc biệt trong không gian Hilbert 22

2.3.1 Các khái niệm về J-ổn định 22

2.3.2 Các định lý về J-ổn định theo Lyapunov 29

2.4 Phương pháp xây dựng hàm Lyapunov 382.5 Toán tử tiến hóa của phương trình vi phân 422.6 Sự ổn định của phương trình vi phân theo phương pháp xấp xỉthứ nhất 45

3.1 Phương trình tiến hoá đặt chỉnh 493.2 Mô hình chung của bài toán dân số 523.3 Mô hình cụ thể 55

Lời nói đầu

Lý thuyết ổn định là một trong những bộ phận quan trọng trong lýthuyết định tính của phương trình vi phân (LTDTCPTVP) Một trong nhữnghướng nghiên cứu quan trọng được nhiều người quan tâm của LTDTCPTVP

là lý thuyết ổn định theo Lyapunov (1857-1918) Dù đã trải qua thời gian dàinhưng lý thuyết ổn định vẫn là một trong những lĩnh vực được nhiều nhà toánhọc quan tâm nghiên cứu và đã thu được nhiều thành tựu quan trọng Đồngthời lý thuyết ổn định cũng được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực: Vật

lý, Khoa học kỹ thuật công nghệ, Sinh thái học,

Để nghiên cứu dáng điệu nghiệm của phương trình vi phân trong không gianHilbert chúng ta có thể sử dụng nhiều phương pháp khác nhau, tuy nhiên trongkhuôn khổ của một luận văn thạc sỹ toán học, trong bản luận văn này chúng tôi

sẽ sử dụng hai phương pháp cơ bản là phương pháp Lyapunov và phương phápnửa nhóm

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được chia thành

ba chương:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị: Trình bày một số kiến thức cơ bản của giảitích hàm và nửa nhóm toán tử tuyến tính trong không gian Banach sẽ sử dụngtrong các chương sau

Chương 2: Trình bày các khái nệm về sự ổn định của phương trình vi phântrong không gian Hilbert theo phương pháp hàm Lyapunov và xấp xỉ thứ nhất.Đồng thời thông qua việc xét lớp các hệ phương trình vi phân có dạng đặc biệt(dạng "tựa tam giác") chúng tôi đưa ra khái niệm ổn định từng phần (J ổn

định) cho hệ vô hạn các phương trình vi phân và xác lập mối quan hệ giữa tính

ổn định theo Lyapunov vàJ-ổn định Ngoài ra, trong chương này chúng tôi cũngtrình bày phương pháp xây dựng hàm Lyapunov cho một số hệ phương trình viphân tuyến tính dạng đơn giản

Chương 3: Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản vềphương trình tiến hóa đặt chỉnh và sử dụng phương pháp nửa nhóm các toán tửtuyến tính liên tục mạnh trong không gian Banach để nghiên cứu bài toán ứngdụng trong mô hình dân số phụ thuộc tuổi

Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn tới PGS TS Đặng Đình Châu, người thầy

đã tận tình hướng dẫn tác giả trong suốt quá trình hoàn thành bản luận vănnày

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, Phòng Sau Đại Học, KhoaToán - Cơ - Tin học trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia

Hà Nội đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập tạitrường

Luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót, hạn chế Tác giả rất mongnhận được sự góp ý của quý bạn đọc

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Định nghĩa 1.1.1 X là không gian định chuẩn trên trường K, tức là đối vớimỗi x ∈ X có xác định một số không âm ||x||, gọi là chuẩn của x, thỏa mãn cácđiều kiện sau:

Định nghĩa 1.1.3 Nếu không gian tuyến tính định chuẩn(X, ||.||) là không gianđầy đủ thì (X, ||.||) được gọi là không gian Banach

Định lý 1.1.1 (Định lý Banach-Steinhaus) Một họ bị chặn từng điểm của cácphép toán liên tục tuyến tính từ không gian Banach X vào không gian định chuẩnthì bị chặn đều

Định lý này còn được gọi là nguyên lý bị chặn đều

1.1.2 Không gian Hilbert

Định nghĩa 1.1.4 (Không gian tiền Hilbert)

Không gian tuyến tính X xác định trên trường số thực được gọi là không giantiền Hilbert nếu mọi x, y ∈ X, xác định một số (x, y) gọi là tích vô hướng của x

(αx + βy, z) = α(x, z) + β(y, z) với ∀α, β ∈R, ∀x, y, z ∈ X.

Định nghĩa 1.1.5 (Không gian Hilbert)

Không gian Hilbert là không gian tiền Hilbert đầy đủ

Định nghĩa 1.2.1 (Toán tử tuyến tính)

Giả sử X, Y là các không gian tuyến tính định chuẩn, toán tử A tác dụng từkhông gian X vào không gian Y là được gọi là tuyến tính nếu:

∀x, y ∈ X; ∀α, β ∈K thì A(αx + βy) = αAx + βAy.

Định nghĩa 1.2.2 Toán tử tuyến tính A được gọi là liên tục tại x 0 ∈ X nếuvới mọi dãy x n hội tụ đến x 0, ta đều có Ax n → Ax 0 (n → ∞).

Định lý 1.2.1 Nếu toán tử tuyến tính A liên tục tại điểm x0 ∈ X thì A liêntục tại mọi điểm x ∈ X

Như vậy để kiểm tra tính liên tục của toán tử tuyến tính A(trong toàn khônggian) ta chỉ cần kiểm ra tính liên tục tại x = 0

Định nghĩa 1.2.3 (Toán tử tuyến tính giới nội)

Giả sử X, Y là các không gian Banach Toán tử A : X → Y được gọi là toán tửtuyến tính giới nội (bị chặn) nếu A là toán tử tuyến tính và đưa mọi tập giớinội vào tập giới nội

Xuyên suốt khoá luận này ta sẽ kí hiệuL(X)là không gian các toán tử tuyếntính giới nội trên X

Định lý 1.2.2 Toán tử tuyến tính A liên tục khi và chỉ khi nó giới nội

Định lý 1.2.3 Giả sử X, Y là các không gian Banach và A : X → Y là toán tửtuyến tính Điều kiện cần và đủ để toán tử A giới nội là tồn tại một số c > 0 saocho:

kAxk6c kxk ∀x ∈ X.

Định nghĩa 1.2.4 Giả sử X, Y là các không gian Banach Chuẩn kAk của toán

tử tuyến tính liên tục A : X → Y là đại lượng:

Giả sử X là không gian Banach

Định nghĩa 1.3.1 Xét toán tử tuyến tính A : D(A) ⊂ X → X với tập xác định

D(A), trong đó D(A) là không gian vector con của X.

- Điểm λ ∈ C được gọi là giá trị chính quy của A nếu (λI − A) là song ánh giữa

D(A) và X đồng thời (λI − A)−1∈L(X).

- Tập các giá trị chính quy, ký hiệu ρ(A) được gọi là tập giải của toán tử A

- Tập hợp các điểm không phải là giá trị chính quy của A gọi là phổ của toán tử

A (kí hiệu là σ(A)) Ta có σ(A) =C\ ρ(A).

- Toán tửR(λ, A) = (λI − A)−1được gọi là toán tử giải hoặc giải thức đối với toán

tử A.

Nếu A là toán tử đóng thì (λI − A) cũng là toán tử đóng (do λI liên tục) Do

đó nếu (λI − A)−1 tồn tại thì cũng là toán tử đóng Suy ra nếu (λI − A) là songánh giữa D(A) và X, A là toán tử đóng thì theo định lý đồ thị đóng (λI − A)−1

là liên tục Vậy đối với toán tử đóng định nghĩa phổ có thể phát biểu lại là:

ρ(A) =λ ∈C: λI − A là song ánh giữa D(A) và X .

σ(A) =C\ρ(A) = {λ ∈C: (λI − A) : D(A) → X không là song ánh}.

Mệnh đề 1.3.1 giả sử A : D(A) ⊂ X → X và B : D(B) ⊂ X → X là cáctoán tử tuyến tính sao cho R(λ 0 , A) = R(λ 0 , B) với λ 0 nào đó thuộc C, khi đó

Tiếp theo ta có phương trình giải thức sau

R(λ, A) − R(µ, A) = (µ − λ)R(λ, A)R(µ, A), ∀λ, µ ∈ ρ(A)

D(A) = RangeF (λ 0 ), Ax = λ 0 x − F (λ 0 )−1x, ∀x ∈ D(A).

Với λ ∈ Ω và y ∈ X, phương trình giải thức λx − Ax = y tương đương với

(λ − λ0)x + F (λ0)−1x = y Suy ra (λ − λ0)F (λ)x + F (λ)F (λ0)−1x = F (λ)y Do đó

F (λ)F (λ0)−1 = (λ0− λ)F (λ) + I Suy ra, phương trình giải thức có nghiệm duynhất x = F (λ)y Vậy λ ∈ ρ(A) và R(λ, A) = F (λ)

1.4 Nửa nhóm liên tục mạnh trong không gian

Ba-nach và toán tử sinh

Định nghĩa 1.4.1 Một họ (T (t))t≥0 của toán tử tuyến tính liên tục trên khônggian Banach X được gọi là nửa nhóm liên tục mạnh (hoặc C0− nửa nhóm) nếu

Chú ý i) Nếu (T (t))t∈R ⊂L(X)thỏa mãn các điều kiện trên với mỗi t, s ∈R thì

ta có một nhóm liên tục mạnh các toán tử tuyến tính liên tục

ii) Trong trường hợp nửa nhóm tại t0= 0 ta lấy giới hạn bên phải

Tiếp theo chúng ra sẽ đi tìm các điều kiện tương đương với tính liên tục mạnh.Mệnh đề 1.4.1 (xem [4], tr.38) Cho một nửa nhóm (T (t))t≥0 trên một khônggian Banach X. Khi đó các tính chất sau là tương đương

(i) (T (t))t≥0 là nửa nhóm liên tục mạnh

Mệnh đề 1.4.2 (xem [4], tr.39) Cho một nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0.

Khi đó tồn tại hằng số w ∈R và M ≥ 1 thỏa mãn

||T (t)|| ≤ M ewt, ∀t ≥ 0. (1.1)

P

k=0

|t|k||A||kk! = e

∞

X

k=0

skAkk! =

skAkk! =

∞

X

n=0

(t + s)n.Ann! .

Suy ra (F E)được chứng minh

∞

X

k=1

|h| k ||A||kk! = e

Vậy (T (t)) t≥0 là nửa nhóm liên tục mạnh

Định nghĩa 1.4.2 Cho một nửa nhóm liên tục mạnh T = (T (t))t≥0, chúng tagọi ω0 là cận tăng trưởng nếu

ω0 = ω0(T) = inf{w ∈R: tồn tại Mw ≥ 1 thỏa mãn ||T (t)|| ≤ Mwewt ∀t ≥ 0}.

Xét trong trường hợp đặc biệt:

- Nếu w = 0, nửa nhóm (T (t)) t≥0 được gọi là nửa nhóm bị chặn

- Nếu w = 0 và M = 1, (T (t))t≥0 được gọi là là nửa nhóm co

- Nếu ||T (t)x|| = ||x|| ∀t ≥ 0 và x ∈ X, nửa nhóm (T (t))t≥0 được gọi là đẳng cự.Định nghĩa 1.4.3 Nửa nhóm điều chỉnh (Rescaled)

∀µ ∈C và α > 0 chúng ta định nghĩa nửa nhóm điều chỉnh (S(t))t≥0 bởi

S(t) = eµtT (αt).

Định nghĩa 1.4.4 Nửa nhóm (T (t))t≥0 được gọi là nửa nhóm ổn định mũ đềunếu tồn tại các hằng số ω > 0, M ≥ 1 sao cho

||T (t)|| ≤ M e−ωt, t ≥ 0

Định nghĩa 1.4.5 Nửa nhóm(T (t)) t≥0 được gọi là nửa nhóm liên tục đều trong

L(X) nếu R+ 3 t 7→ T (t) liên tục đối với Tôpô chuẩn (Tôpô đều) trong L(X),tức là

1.4.2 Toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh

Để xây dựng khái niệm toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh, trước hết

ta chứng minh bổ đề sau

Bổ đề 1.4.1 (xem [4], tr.48) Cho một nửa nhóm (T (t))t≥0 liên tục mạnh vàmột phần tử x ∈ X. Đối với ánh xạ quỹ đạo ξx : t 7→ T (t)x, các tính chất sau làtương đương

(i) ξx(.) là khả vi trên R+.

(ii) ξx(.) khả vi bên phải tại t = 0.

Định nghĩa 1.4.6 Toán tử sinh A : D(A) ⊂ X → X của nửa nhóm liên tụcmạnh (T (t)) t≥0 trên không gian Banach X là toán tử

Theo bổ đề 1.4.1, ta thấy miền xác định D(A)là tập tất cả các phần tửx ∈ X

mà ξx(.) là khả vi bên phải tại t = 0. Do đó

D(A) = {x ∈ X : lim

h↓0

1

h(T (h)x − x) tồn tại}. (1.3)Miền D(A) là một không gian vector, và chúng ta ký hiệu toán tử sinh của nó

là(A, D(A)). Chúng ta thường chỉ viết A, và coi miền xác định của nó là cho bởi(1.3)

Sau đây là một vài tính chất của toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh

Mệnh đề 1.4.4 (xem [4], tr.50) Cho toán tử sinh(A, D(A)) của nửa nhóm liêntục mạnh (T (t)) t≥0 , các tính chất sau là đúng.

(i) A : D(A) ⊂ X → X là toán tử tuyến tính

(ii) Nếu x ∈ D(A) thì T (t)x ∈ D(A) và

d

dtT (t)x = T (t)Ax = AT (t)x ∀t ≥ 0. (1.4)(iii) ∀t ≥ 0 và x ∈ X, ta có

T (s)Axds nếu x ∈ D(A). (1.6)

Định lý 1.4.1 (xem [4], tr.73) Định lý toán tử sinh của nửa nhóm (Hille,Yosida)Cho (A, D(A)) là một toán tử tuyến tính trên một không gian Banach X. Khi đócác tính chất sau là tương đương

(a) (A, D(A)) sinh ra một nửa nhóm co liên tục mạnh

(b) (A, D(A)) đóng, xác định trù mật, với mỗi λ > 0, ta có λ ∈ ρ(A) và

Chương 2

Sự ổn định của phương trình vi

phân trong không gian Hilbert

Cho H là không gian Hilbert Trong H ta xét phương trình vi phân:

dx(t)

dt = f (t, x(t)), (2.1)trong đó

f :R+×H−→H (t ≥ 0; x(.) ∈H)

Bài toán Cauchy Tìm nghiệm x = x(t)của phương trình (2.1) thỏa mãn điềukiện ban đầu x(t0) = x0 với (t0, x0) ∈ I ×H cho trước.

Tương ứng với bài toán Cauchy của phương trình (2.1), người ta thường xétphương trình dạng tích phân:

Định lý 2.1.1 (Tính duy nhất nghiệm địa phương)

Giả sử tồn tại lân cận đóng (t 0 , x0) sao cho trong lân cận đó hàm f (t, x) liêntục theo t và thỏa mãn điều kiện Lipschitz

||f (t, x2) − f (t, x1)|| ≤ M ||x2− x1|| (2.3)(M là hằng số dương hữu hạn)

Khi đó tồn tại lân cận của (x0, t 0 ) mà trong lân cận đó (2.1) có duy nhất nghiệm

x = x(t) thỏa mãn điều kiện ban đầu x(t0) = x0.

Chứng minh xem [2]

Chú ý Nghiệm x(t) chỉ tồn tại duy nhất trên ||t − t 0 || ≤ ε , ||x − x0|| ≤ η với

ε, η đủ nhỏ Định lý sau đây chỉ ra sự tồn tại nghiệm trên toàn bộ [a, b]

Định lý 2.1.2 (Tính duy nhất nghiệm toàn cục)

Giả sử tồn tại miền [a, b] ×H mà trên miền đó hàm f(t,x) liên tục theo t vào

thỏa mãn điều kiện Lipschitz (2.3) Khi đó với mọi (t0, x0) ∈ [a, b] ×H, bài toán

Cauchy có nghiệm duy nhất x = x(t) xác định trên [a, b]

Chứng minh xem [2]

Định lý 2.1.3 (Sự kéo dài nghiệm trong không gian Hilbert)

Giả sử ||x|| < ∞, t ≥ t 0, hàm f (t, x) thỏa mãn điều kiện

Khi đó mọi nghiệm của phương trình (2.2) có thể kéo dài trên khoảng thời gian

vô hạn t0 ≤ t < ∞

Chứng minh xem [2]

2.2 Sự ổn định theo Lyapunov của phương trình vi

phân trong không gian Hilbert

Với mọi (t, x1), (t, x2) ∈ D thì ||f (t, x1) − f (t, x2)|| ≤ L||x1− x2||.

Trong phần này chúng tôi sẽ trình bày lại một số định lý cơ bản về tính ổn địnhcủa nghiệm tầm thường của phương trình vi phân trong không gian Hilbert theophương pháp thứ hai Lyapunov Trước hết chúng ta nhắc lại một số định nghĩa

về sự ổn định của nghiệm tầm thường

Định nghĩa 2.2.3 Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của phương trình vi phân (2.4)được gọi là ổn định tiệm cận khi t → ∞ nếu

(i) Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 là ổn định

(ii) Tồn tại 4 = 4(t0) > 0 sao cho với mọi x0 ∈ G và ||x0|| < 4 thì

lim

t→+∞ ||x(t, t0, x0)|| = 0.

Định nghĩa 2.2.4 Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của phương trình vi phân (2.4)được gọi là ổn định tiệm cận đều nếu:

(i) Nghiệm x(t) ≡ 0 là ổn định đều

(ii) Tồn tại 4 > 0 (không phụ thuộc vào t0) sao cho với mọi x0 ∈ G thỏa mãn

||x(t, t 0 , x 0 )|| ≤ B||x 0 ||e−α(t−t0 )

,

trong đó B, α là các hằng số dương nào đó không phụ thuộc vào (t0, x0)

Định nghĩa 2.2.6 (Phiếm hàm Lyapunov) Ta nói phiếm hàm V :R+×H→R

là phiếm hàm Lyapunov nếu nó liên tục và thỏa mãn điều kiện Lipschitz theobiến thứ hai

Đạo hàm phải củaV dọc theo nghiệm của (2.4), kí hiệu làV (t, x). được xác địnhbởi

Định lý 2.2.1 (Định lý ổn định)

Giả sử tồn tại phiếm hàm liên tục Lyapunov V : R+×H → R+ và hàm

ặ) ∈ CIP thỏa mãn điều kiện:

(i) V (t, 0) = 0;

(ii) ă||x||) ≤ V (t, x);

(iii) V (t, x) ≤ 0..

Khi đó, nghiệm tầm thường x ≡ 0 của (2.4) là ổn định

Chứng minh Giả sử có hàm V (t, x) thỏa mãn các điều kiện (i), (ii), (iii), ta sẽchứng minh nghiệm tầm thường x ≡ 0 của (2.4) là ổn định

Cho ε > 0 đủ bé, ta xác định mặt cầu

Sε = {x : x ∈H, ||x|| = ε}.

Từ (ii) ta suy ra

0 < ăε) ≤ V (t, x), t ∈R+, x ∈ Sε.

Vì V (t, 0) = 0, V (t, x) là hàm liên tục nên với t0 cố định và ăε) > 0 tồn tại số

δ(t0, ε) > 0 sao cho nếu ||x|| < δ(t0, ε) thì V (t0, x) < ăε).

Lấy x(t, t0, x0) là nghiệm của (2.4) sao cho ||x0|| < δ, ta sẽ chứng minh

Mâu thuẫn trên chứng tỏ điều giả sử là sai Như vậy nếu ||x 0 || < δ thì

Định lý 2.2.3 (Định lý ổn định tiệm cận đều)

Giả sử tồn tại phiếm hàm liên tục Lyapunov V : R+×H→R+ và các hàm

ặ), b(.), c(.) ∈ CIP thỏa mãn điều kiện:

(i) ă||x||) ≤ V (t, x) ≤ b(||x||).

(ii) V (t, x) ≤ −c(||x||)..

Khi đó nghiệm tầm thường x ≡ 0 của (2.4) ổn định tiệm cận đềụ

Chứng minh Tương tự như trong (2.2.2), ta có nghiệm x ≡ 0 là ổn định đềụ

Ta sẽ chứng minh nghiệm tầm thường ổn định tiệm cận đềụ

Do nghiệm x ≡ 0 ổn định đều nên tồn tại δ0> 0 sao cho với mọi t0 ∈R+ ,

mâu thuẫn với giả thiết (i)

Mâu thuẫn này chứng tỏ giả thiết phản chứng là saị

Do đó lim

t→+∞ ||x(t, t 0 , x 0 )|| = 0.

Như vậy nghiệm tầm thường x ≡ 0 của (2.4) ổn định tiệm cận đều

Nhận xét Trong định lý (2.2.3), thay cho điều kiện c(.) ∈ CIP, ta có thể lấy

c(.) là hàm liên tục, xác định dương

trình vi phân có dạng đặc biệt trong không gian Hilbert

2.3.1 Các khái niệm về J-ổn định

Trong không gian Hilbert tách được H ta xét cơ sở trực chuẩn đếm được

{e i }∞1 Khi đó với mọi x ∈H đều viết được dưới dạng x = (x 1 , x 2 , , x n , ) với

nhất nghiệm của bài toán Cauchy và kéo dài trên toàn bộ R+ (đã xét trong 2.1),

f (t, 0) = 0 và thỏa mãn điều kiện

f (t, Pmx) = Pmf (t, Pmx); ∀x ∈H, m ∈ J. (2.6)Tiếp theo để minh họa cho giả thiết (2.6) chúng ta có thể xét phương trình viphân trong l2 viết dưới dạng của một hệ đếm được các phương trình vi phânnhư sau:

nhất nghiệm cho phương trình vi phân (2.5), ta có:

Bổ đề 2.3.1 Giả sử điều kiện (2.6) được thỏa mãn Khi đó nghiệm x(t) = x(t, t0, x∗0) của (2.5) thỏa mãn điều kiện

Với ξ0 ∈ PmH, nghiệm u(t) = u(t, t0, ξ0) của phương trình vi phân trên cũng

là nghiệm của phương trình tích phân

u(t) = ξ0+

Z t

t 0

f (τ, Pmu(τ ))dτ. (2.7)

Nhận xét Từ bổ đề trên, ta suy ra nếu ξ ∈ PmH thì nghiệm x(t) = x(t, ξ)

của phương trình vi phân (2.5) - (2.6) chỉ có m thành phần đầu, còn tất cả cácthành phần còn lại đều đồng nhất bằng không Ký hiệu Hm (t) là tập hợp tất cảcác nghiệm của phương trình (2.5) - (2.6) thỏa mãn điều kiện ban đầu x(t0) = ξ,

ξ ∈ PmH thì Hm(t) có thể xem như tập nghiệm của hệ phương trình vi phântrong không gian hữu hạn chiều

Tương tự đối với các định nghĩa về tính ổn định nghiệm của Lyapunov, chúng

ta có các định nghĩa sau:

Định nghĩa 2.3.1 Nghiệm tầm thường x ≡ 0 của phương trình vi phân (2.5) (2.6) được gọi là ổn định từng phần theo tập J (gọi tắt là J-ổn định) nếu bất kỳ

-m ∈ J, ε > 0 ta tìm được δ(ε, m) > 0 sao cho với mọi x0 ∈H , ||Pmx0|| < δ thì

||x(t, Pmx0)|| < ε, ∀t > t0.

Định nghĩa 2.3.2 Nghiệm tầm thường x ≡ 0 của phương trình vi phân (2.6) được gọi là ổn định đều theo m ∈ J nếu với bất kỳ số δ(ε) > 0 không phụthuộc vào m sao cho với mọi x0 ∈H , ||Pmx0|| < δ thì

(2.5)-và x1 ∈H sao cho ||x1|| < δ và ||x(t1, x1)|| ≥ ε0.

Định lý 2.3.1 Điều kiện cần và đủ để nghiệm tầm thường x ≡ 0 của phươngtrình vi phân (2.5)-(2.6) ổn định theo Lyapunov là nó J-ổn định đều theo m ∈ J

Chứng minh Điều kiện cần là hiển nhiên vì bản thân x(t, t 0 , P m x 0 ) cũng lànghiệm của phương trình vi phân (2.5)-(2.6) và x 0 ∈ H thì P m x 0 ∈ H (Theo

bổ đề 2.3.1)

Ta chứng minh điều kiện đủ

Giả sử ngược lại, nghiệm tầm thường là J-ổn định đều theo m ∈ J nhưngkhông ổn định theo Lyapunov

Khi đó tồn tại ε0 > 0, t0 ≥ 0 sao cho với bất kỳ δk = 1

k(k ∈N

∗ ) ta có thể tìmđược x0k và tk sao cho ||x0k|| < δk nhưng

k 0

< δ0

2 Khi đó, do (2.8) ta có

||x(tk0, t0, x0k0)|| ≥ ε0, ∀k ≥ k0. (2.10)Mặt khác, do {Hn } là dãy trù mật trong H nên

lim

m→∞ ||Pmx0k0 − x0k0|| = 0.

Do tính liên tục theo điều kiện ban đầu của nghiệm, với ε0

4, ta có thể chọnđược M đủ lớn sao cho với mọi m > M thì từ ||Pmx0k0 − x0k0|| < δ1, ta có

Điều này mâu thuẫn với (2.10) Do đó bổ đề được chứng minh

Ví dụ 1 Từ tính ổn định theo Lyapunov của nghệm tầm thường thì suy ratính J-ổn định của nó, song thí dụ sau sẽ suy ra điều ngược lại không đúng.Xét hệ H= l2 và hệ:

Lấy m ∈ J bất kỳ với J = {2, 4, 6, , 2n, }

Nghiệm x(t) = x(t, t0, Pmx0) có thể xem như là nghiệm của hệ phương trình viphân tuyến tính trong không gian hữu hạn chiều Hm mà số mũ đặc trưng lớnnhất của nó là λ ≤ −1

m.Suy ra nghiệm tầm thường của hệ là J-ổn định

Tuy nhiên nghiệm tầm thường của hệ không ổn định theo Lyapunov

Rõ ràng nghiệm tầm thường không ổn định theo Lyapunov

Bổ đề 2.3.2 (Bổ đề Gronwall-Bellman) Giả sử u(t) ≥ 0, f (t) ≥ 0 và u(t), f (t)

từ đó suy ra điều phải chứng minh.

Định lý 2.3.2 Giả sử tồn tại dãy con J = n1, n2, , nj, của dãy số tự nhiên

N sao cho:

||f (t, x) − P m f (t, P m y)|| ≤ φ(t)||x − P m y||, (2.12)với φ(t) là một hàm liên tục dương, thì nghiệm tầm thường của (2.5) là ổn địnhtheo Lyapunov khi và chỉ khi nó là J-ổn định đều theo m ∈ J