Luận án tiến sĩ một số tính chất của nghiệm phương trình vi phân trong không gian banach (TT)

MỞ ĐẦU Tổng quan hướng nghiên cứu Xét phương trình trung tính ôtônôm   ∂ F ut = BF ut + Φut với t ≥ 0, ∂t u (t) = ϕ(t) với t ∈ [−r, 0], (0.1) dạng nửa tuyến tính ∂ F ut = B(t)F ut + Φ(t, ut ), ∂t t ∈ I (0.2) I = R+ I = R, B(t) toán tử tuyến tính (có thể không bị chặn) không gian Banach X với t ≥ cố định Với C := C([−r, 0], X); toán tử tuyến tính bị chặn F : C → X gọi toán tử sai phân, Φ : C → X toán tử tuyến tính (hoặc Φ : R+ × C → X phi tuyến liên tục) gọi toán tử trễ, ut hàm lịch sử xác định ut (θ) := u(t + θ) với θ ∈ [−r, 0] Các phương trình vi phân trung tính nẩy sinh từ hệ thống tự nhiên, kỹ thuật đa dạng, hệ khuyếch tán, hệ xử lý tín hiệu, hệ sinh thái quần thể, Bằng cách chọn không gian toán tử thích hợp phương trình viết dạng phương trình vi phân trừu tượng không gian Banach thường gọi phương trình tiến hóa Việc xét phương trình dạng trừu tượng không gian hàm tổng quát cho phép sử dụng phương pháp dựa phát triển gần toán học để tìm hiểu vấn đề mang tính chất nghiệm phương trình Một hướng nghiên cứu quan trọng liên quan đến dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình nghiên cứu đánh giá tính chất định tính (ổn định, không ổn định, nhị phân, ) nghiệm phương trình đạo hàm riêng mô tả hệ thống kể thời gian đủ lớn thông qua phương pháp toán học đại ưa chuộng giới lý thuyết phổ toán tử đạo hàm riêng, lý thuyết nửa nhóm liên tục mạnh, lý thuyết không gian hàm chấp nhận được, lý thuyết đa tạp bất biến, Đối với phương trình trung tính tuyến tính (0.1) số kết móng ban đầu tồn tại, ổn định mũ nghiệm, đạt N.T Huy năm 2003 số tác giả khác Chúng phát triển hoàn thiện kết tính nhị phân, không ổn định, ổn định tuyến tính hóa phương trình để nhận kết tổng quát Đối với phương trình trung tính nửa tuyến tính (0.2) nghiên cứu tồn đa tạp tích phân cho nghiệm phương trình Đặc biệt trường hợp nhiễu Φ(t, φ) phụ thuộc thời gian t nên ta hi vọng tính liên tục Φ, phương pháp trước không giải Gần đây, phương trình vi phân có trễ (tức là, F ut = u(t)) N.T Huy T.V Dược kết tồn đa tạp nghiệm phương trình xét Các tác giả sử dụng phương pháp Lyapunov-Perron đặc trưng nhị phân mũ phương trình tiến hóa không gian chấp nhận để xây dựng cấu trúc nghiệm theo nghĩa đủ tốt, thuộc lớp biết không gian chấp nhận cho phép áp dụng số nguyên lí giải tích toán học nguyên lí ánh xạ co, định lý hàm ẩn, Mục đích, đối tượng phạm vi nghiên cứu • Mục đích nghiên cứu Luận án: Nghiên cứu tính nhị phân mũ nửa nhóm nghiệm phương trình trung tính không gian Banach, tính ổn định phương trình trung tính tuyến tính phương trình trung tính với khứ không ôtônôm, tính dương nửa nhóm nghiệm Xây dựng đa tạp bất biến ổn định, đa tạp tâm, đa tạp không ổn định nghiệm phương trình trung tính nửa tuyến tính • Đối tượng phạm vi nghiên cứu Luận án: Các phương trình vi phân đạo hàm riêng trung tính Tính chất nghiệm phương trình nói thời gian đủ lớn Phương pháp nghiên cứu Trong luận án, sử dụng phương pháp lý thuyết nửa nhóm để xây dựng toán tử sinh giải thức chúng, biểu diễn nghiệm phương trình vi phân thông qua nửa nhóm liên tục mạnh sinh toán tử Dùng Định lý Ánh Xạ Phổ tính chất phổ để nghiên cứu tính ổn định, Định lý Cesaro để đặc trưng cho tính nhị phân mũ nửa nhóm nghiệm phương trình trung tính tuyến tính Sử dụng lý thuyết không gian hàm chấp nhận để xây dựng đa tạp bất biến ổn định, đa tạp tâm, đa tạp không ổn định cho phương trình trung tính nửa tuyến tính Ý nghĩa kết luận án Đề tài nhằm phát triển lý thuyết ổn định, nhị phân mũ số tính chất định tính nghiệm phương trình trung tính không gian Banach vốn mô hình trình tiến hóa kỹ thuật công nghệ Việc nghiên cứu tồn đa tạp tích phân mang lại tranh hình học dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình vi phân với nhiễu phi tuyến xung quanh điểm cân hay xung quanh quỹ đạo xác định, mặt khác cho phép thu gọn việc nghiên cứu tính chất nghiệm phương trình đạo hàm riêng phức tạp phương trình đơn giản đa tạp tính hút đa tạp nghiệm phương trình xét Việc xét tính chất nghiệm phương trình trung tính mang đến hiểu biết sâu sắc chất trình biến đổi vật chất có trễ theo thời gian xảy thực tế vấn đề kỹ thuật công nghệ Từ đưa nhận định ước lượng quy mô tính chất tương lai trình thông qua liệu ban đầu phổ hệ thống vốn tính khứ Cấu trúc kết luận án Ngoài phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, luận án chia làm bốn chương: Chương 1: Trình bày kiến thức chuẩn bị nửa nhóm, số khái niệm ổn định mũ, nhị phân mũ nửa nhóm Nhắc lại không gian hàm chấp nhận đa tạp ổn định nghiệm phương trình vi phân nửa tuyến tính Chương 2: Nghiên cứu tính nhị phân mũ nửa nhóm nghiệm phương trình trung tính tuyến tính Chương 3: Nghiên cứu tính nhị phân mũ, tính dương nửa nhóm nghiệm phương trình trung tính với khứ không ôtônôm Chương 4: Nghiên cứu tồn đa tạp ổn định bất biến, đa tạp tâm, đa tạp không ổn định tính hút đa tạp không ổn định phương trình trung tính nửa tuyến tính Nội dung luận án dựa vào bốn công trình công bố, liệt kê "Danh mục công trình công bố luận án", gồm bốn báo (trong [1],[2],[3] thuộc tạp chí Quốc tế danh mục ISI) công trình [4] nhận đăng Acta Mathematica Vietnamica (Online First) Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Nửa nhóm liên tục mạnh Định nghĩa 1.1.1 Cho không gian Banach X, họ (T (t))t≥0 ⊂ L(X) gọi nửa nhóm liên tục mạnh nếu: (i) T (t + s) = T (t).T (s), ∀t, s ≥ (ii) T (0) = I toán tử đồng (iii) lim+ T (t)x = T (0)x, ∀x ∈ X t→0 Định nghĩa 1.1.2 Toán tử A : D(A) ⊆ X → X xác định Ax := lim+ (T (h)x − x) h→0 h miền xác định D(A) = {x ∈ X : lim+ h1 (T (h)x − x) tồn tại} gọi toán h→0 tử sinh nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 không gian Banach X Định nghĩa 1.1.3 Cho (A, D(A)) toán tử đóng không gian Banach X Tập giá trị quy A: ρ(A) = {λ ∈ C : (λI − A) song ánh} Khi R(λ, A) := (λI − A)−1 , λ ∈ ρ(A) giải thức A σ(A) := C \ ρ(A) gọi phổ A Định lý 1.1.4 Cho (T (t))t≥0 nửa nhóm liên tục mạnh không gian Banach X, lấy số ω ∈ R, M ≥ cho T (t) ≤ M eωt , ∀t ≥ Khi với toán tử sinh (A, D(A)) nửa nhóm (T (t))t≥0 ta có tính chất sau: (i) Nếu λ ∈ C cho R(λ)x := ∞ −λs T (t)xds e λ ∈ ρ(A) R(λ, A) = R(λ) tồn tại, ∀x ∈ X (ii) Nếu Reλ > ω λ ∈ ρ(A) R(λ, A) = R(λ) (iii) ||R(λ, A)|| ≤ M Reλ−ω , ∀Reλ Lưu ý: Công thức R(λ, A)x = > ω +∞ −λs e T (s)xds gọi biểu diễn tích giải thức Tích phân tích phân Riemann suy rộng +∞ t −λs e t→+∞ 1.1.1 e−λs T (s)xds T (s)xds = lim Ổn định mũ nhị phân mũ nửa nhóm Định nghĩa 1.1.5 Nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 với toán tử sinh (A, D(A)) gọi ổn định mũ tồn > cho lim e t T (t) = t→∞ Định nghĩa 1.1.6 Nửa nhóm (T (t))t≥0 không gian Banach X gọi có nhị phân mũ (hoặc hyperbolic) X viết thành tổng trực tiếp X = Xs ⊕ Xu , không gian đóng Xs , Xu bất biến (Ts (t))t≥0 cho hạn chế (T (t))t≥0 Xs , (Tu (t))t≥0 Xu thỏa mãn điều kiện: (i) Nửa nhóm (Ts (t))t≥0 ổn định mũ Xs (ii) Nửa nhóm (Tu (t))t≥0 có nghịch đảo (Tu (−t))t≥0 ổn định mũ Xu Định lý 1.1.7 Cho (T (t))t≥0 nửa nhóm liên tục mạnh không gian Banach X với toán tử sinh A Khi khẳng định sau tương đương (i) (T (t))t≥0 có nhị phân mũ (ii) iR ⊂ ρ(A) (C, 1) N −1 n R(iω N →∞ N n=0 k=−n R(iω + ik, A)x := lim k∈Z với ω ∈ R x ∈ X + ik, A)x hội tụ 1.2 Không gian hàm Banach chấp nhận nửa đường thẳng Định nghĩa 1.2.1 Không gian hàm Banach E gọi chấp nhận thoả mãn (i) Tồn số M ≥ cho [a, b] ∈ R+ ϕ ∈ E ta có b |ϕ(t)|dt ≤ a M (b − a) ϕ χ[a,b] E E (ii) E bất biến với toán tử Λ1 , Λ1 ϕ(t) = t+1 ϕ(τ )dτ , t (iii) E Tτ+ Tτ− bất biến với τ ∈ R+ , với Tτ+ ϕ(t) = ϕ(t − τ ) t ≥ τ ≥ ≤ t < τ Tτ− ϕ(t) = ϕ(t + τ ) với t ≥ Hơn ∃N1 , N2 > cho Tτ+ ≤ N1 , Tτ− ≤ N2 , ∀τ ∈ R+ Mệnh đề 1.2.2 Cho E không gian hàm Banach chấp nhận Ta có khẳng định sau (a) Cho ϕ ∈ L1, loc (R+ ) cho ϕ ≥ Λ1 ϕ ∈ E Với σ > ta xác định Λσ ϕ Λσ ϕ sau t −σ(t−s) ϕ(s)ds, e Λσ ϕ(t) = Λσ ϕ(t) = ∞ −σ(s−t) ϕ(s)ds t e Khi đó, Λσ ϕ Λσ ϕ ∈ E Hơn nữa, ϕ ∈ M(R+ ) (điều thoả mãn ϕ ∈ E Λσ ϕ Λσ ϕ bị chặn ta có đánh giá Λσ ϕ ∞ ≤ N1 Λ1 T1+ ϕ −σ 1−e ∞ Λσ ϕ ∞ ≤ N2 Λ1 ϕ − e−σ ∞ Λ1 , T1+ N1 , N2 xác định định nghĩa 1.2.1 (b) Với α > 0, e−αt ∈ E (c) Với b > 0, ebt ∈ / E (1.1) 1.3 Nhị phân mũ họ tiến hóa Định nghĩa 1.3.1 Một họ toán tử tuyến tính, bị chặn (U (t, s))t≥s≥0 không gian Banach X gọi họ tiến hoá (liên tục mạnh, bị chặn mũ) (i) U (t, t) = Id U (t, r)U (r, s) = U (t, s) với t ≥ r ≥ s, (ii) ánh xạ (t, s) → U (t, s)x liên tục với x ∈ X, (iii) tồn số K, c ≥ cho U (t, s)x ≤ Kec(t−s) x với t ≥ s x ∈ X Định nghĩa 1.3.2 Một họ tiến hoá (U (t, s))t≥s≥0 không gian Banach X gọi nhị phân mũ [0, ∞) tồn toán tử chiếu tuyến tính bị chặn P (t), t ≥ 0, X số N, ν > cho (a) U (t, s)P (s) = P (t)U (t, s), t ≥ s ≥ 0, (b) ánh xạ hạn chế U (t, s)| : KerP (s) → KerP (t), t ≥ s ≥ 0, đẳng cấu, biểu diễn ánh xạ ngược U (s, t)| := (U (t, s)| )−1 , ≤ s ≤ t, (c) U (t, s)x ≤ N e−ν(t−s) x với x ∈ P (s)X, t ≥ s ≥ 0, (d) U (s, t)| x ≤ N e−ν(t−s) x với x ∈ KerP (t), t ≥ s ≥ Các toán tử chiếu P (t), t ≥ 0, gọi toán tử chiếu nhị phân, số N, ν gọi số nhị phân Chương NHỊ PHÂN MŨ CỦA NỬA NHÓM NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH TRUNG TÍNH Trong chương này, trình bày kết tính nhị phân mũ nửa nhóm nghiệm phương trình trung tính 2.1 Phương trình trung tính tuyến tính Trong chương ta nghiên cứu tính nhị phân mũ nghiệm phương trình trung tính có dạng   ∂ F ut ∂t u (t) = BF ut + Φut với t ≥ 0, (2.1) = ϕ(t) với t ∈ [−r, 0] Giả thiết 2.1.1 Trên không gian Banach X C := C([−r, 0], X) ta xét (i) (B, D(B)) toán tử sinh nửa nhóm liên lục mạnh (etB )t≥0 X thỏa mãn etB ≤ M eω1 t với số M ≥ ω1 ∈ R (ii) Toán tử sai phân F : C → X toán tử trễ Φ : C → X tuyến tính bị chặn Định lý 2.1.2 Giả sử toán tử sai phân F có dạng F f := f (0) − Ψf, f ∈ C cao cho Ψ thỏa mãn điều kiện Ψ < Ta có (i) λ ∈ ρ(GB,F,Φ ) với λ > ω1 + M Φ 1− Ψ Ta có R(λ, GB,F,Φ )f = eλ [ΨR(λ, GB,F,Φ ) + R(λ, B)(ΦR(λ, GB,F,Φ ) − Ψ)]f +R(λ, GB,0 )f với f ∈ C (2.2) (ii) Toán tử GB,F,Φ sinh nửa nhóm liên tục mạnh (TB,F,Φ (t))t≥0 C (iii) Phương trình (2.1) đặt chỉnh Chính xác hơn, với ϕ ∈ D(GB,F,Φ ) tồn nghiệm cổ điển ut (·, ϕ) (2.1) cho ut (·, ϕ) = TB,F,Φ (t)ϕ, với dãy (ϕn )n∈N ⊂ D(GB,F,Φ ) thỏa mãn limn→∞ ϕn = 0, ta có limn→∞ ut (·, ϕn ) = đoạn compact Định lý 2.1.3 Cho nửa nhóm (TB,0 (t))t≥0 C với toán tử sinh GB,0 Kí hiệu (T0 (t))t≥0 hạn chế (TB,0 (t))t≥0 lên không gian C0 G0 toán tử sinh Khi đó, khẳng định sau thỏa mãn σ(TB,0 (t)) ⊆ σ(T0 (t)) ∪ σ(etB ), với t ≥ (2.3) Hệ 2.1.4 Nếu (B, D(B)) sinh nửa nhóm có nhị phân mũ (etB )t≥0 nửa nhóm (TB,0 (t))t≥0 có nhị phân mũ Bổ đề 2.1.5 Cho toán tử (B, D(B)) toán tử sinh nửa nhóm có nhị phân mũ (etB )t≥0 Khi đó, Ψ < 1, ||Φ|| đủ nhỏ, tồn dải mở Σ chứa trục ảo hàm Hλ giải tích bị chặn Σ cho R(λ, GB,F,Φ ) = Hλ [R(λ, GB,0 ) − eλ R(λ, B)Ψ] với λ ∈ Σ (2.4) Định lý 2.1.6 Giả sử giả thiết định lý 3.1.2 thỏa mãn, cho toán tử (B, D(B)) toán tử sinh nửa nhóm có nhị phân mũ (etB )t≥0 Khi đó, chuẩn toán tử trễ Φ đủ nhỏ, nửa nhóm nghiệm (TB,F,Φ (t))t≥0 có nhị phân mũ Kết luận Chương Trong chương này, chứng minh nửa nhóm nghiệm (TB,F,Φ (t))t≥0 phương trình trung tính có nhị phân mũ với điều kiện toán tử (B, D(B)) toán tử sinh nửa nhóm có nhị phân mũ (etB )t≥0 chuẩn toán tử trễ Φ đủ nhỏ Nội dung chương dựa vào báo [1] Danh mục công trình công bố luận án 10 Chương NHỊ PHÂN MŨ CỦA NỬA NHÓM NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH TRUNG TÍNH VỚI QÚA KHỨ KHÔNG ÔTÔNÔM Xét hệ phương trình trung tính tuyến tính với khứ không ôtônôm ∂ F (u(t, ·)) = BF u(t, ·) + Φu(t, ·), t ≥ 0, ∂t ∂ ∂ (u(t, s)) = (u(t, s)) + A(s)u(t, s), t ≥ ≥ s ∂t ∂s (3.1) (3.2) Ở đây, hàm u(·, ·) lấy giá trị không gian Banach X B toán tử đạo hàm riêng tuyến tính, toán tử sai phân F toán tử trễ Φ toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian C0 (R− , X) vào X, A(s) toán tử (không bị chặn ) X toán Cauchy lùi không ôtônôm   dx(t) = −A(t)x(t), t ≤ s ≤ 0, dt (3.3) x(s) = x ∈ X, s đặt chỉnh với cận mũ Trong trường hợp đặc biệt, tồn họ tiến hóa lùi bị chặn mũ U = (U (t, s))t≤s≤0 giải (3.3), tức là, nghiệm (3.3) cho x(t) = U (t, s)x(s) với t ≤ s ≤ 3.1 Các nửa nhóm tiến hóa với toán tử sai phân toán tử trễ Giả thiết 3.1.1 Trên không gian Banach X C0 := C0 (R− , X) ta xét (i) (B, D(B)) toán tử sinh nửa nhóm liên tục mạnh (etB )t≥0 X thỏa mãn etB ≤ M eω2 t với số M ≥ ω2 ∈ R (ii) Toán tử sai phân F : E → X toán tử trễ Φ : E → X tuyến tính bị chặn 11 Định lý 3.1.2 Cho toán tử Ψ thỏa mãn Ψ < H, xác định toán tử eλ : X → E [eλ x](t) := eλt U (t, 0)x với t ≤ 0, x ∈ X Reλ > ω(U) Khi đó, ta có khẳng định sau K Φ (i) λ ∈ ρ(GB,F,Φ ) với λ > ω1 + 1−H Ψ Với λ giải thức GB,F,Φ thỏa mãn R(λ, GB,F,Φ )f = eλ [ΨR(λ, GB,F,Φ ) + R(λ, B)(ΦR(λ, GB,F,Φ ) − Ψ)]f +R(λ, GB,0 )f với f ∈ E (3.4) (ii) Toán tử GB,F,Φ sinh nửa nhóm liên tục mạnh (TB,F,Φ (t))t≥0 on E (iii) Hệ phương trình (3.1) (3.2) đặt chỉnh Precisely, với ϕ ∈ D(GB,F,Φ ) tồn nghiệm cổ điển u(t, ·, ϕ) (3.1) cho u(t, ·, ϕ) = TB,F,Φ (t)ϕ thỏa mãn phương trình (3.2) theo nghĩa đủ tốt, tức là, thỏa mãn τ u(t, s, ϕ) = U (s, τ )u(t, τ, ϕ) + U (s, ξ) s ∂ u(t, ξ, ϕ)dξ ∂t với t ≥ ≥ τ ≥ s biết công thức biến thiên số phương trình (3.2) Hơn nữa, với dãy (ϕn )n∈N ⊂ D(GB,F,Φ ) thỏa mãn limn→∞ ϕn = 0, có lim u(t, ·, ϕn ) = n→∞ đoạn compact Bổ đề 3.1.3 Cho họ tiến hóa lùi U ổn định mũ toán tử (B, D(B)) sinh nửa nhóm có nhị phân mũ (etB )t≥0 Khi đó, Ψ < 1/K1 ||Φ|| 12 đủ nhỏ, tồn giải mở Σ chứa trục ảo hàm Hλ giải tích bị chặn Σ cho R(λ, GB,F,Φ ) = Hλ [R(λ, GB,0 ) − eλ R(λ, B)Ψ] với λ ∈ Σ (3.5) Định lý 3.1.4 Giả sử giả thiết Định lý 3.1.2 thỏa mãn Họ tiến hóa lùi U ổn định mũ (B, D(B)) toán tử sinh C0 - nửa nhóm có nhị phân mũ (etB )t≥0 , chuẩn toán tử Ψ thỏa mãn Ψ < K1 Khi đó, chuẩn toán tử trễ Φ đủ nhỏ nửa nhóm nghiệm (TB,F,Φ (t))t≥0 có nhị phân mũ 3.2 Tính dương nửa nhóm nghiệm Trong phần này, ta giả sử X dàn Banach Khi C0 trở thành dàn Banach Hơn nữa, ta giả sử nửa nhóm (etB )t≥0 sinh B, toán tử trễ Φ toán tử sai phân F dương Cuối cùng, ta giả sử họ tiến hóa lùi(U (t, s))t≤s≤0 gồm toán tử dương Khi ta có kết qủa tính dương nửa nhóm nghiệm (TB,F,Φ (t))t≥0 Định lý 3.2.1 Cho B sinh nửa nhóm dương (etB )t≥0 X Giả sử toán tử Φ, Ψ, F , U (t, s), t ≤ s ≤ 0,đều dương với chuẩn Ψ < 1/H Khi đó, nửa nhóm (TB,F,Φ (t))t≥0 sinh GB,F,Φ dương Mệnh đề 3.2.2 Cho Ψ lấy giá trị D(B) Khi đó, với số phức λ ta có λ ∈ σ(GB,F,Φ ) λ ∈ σ(BF eλ + λΨeλ + Φeλ ) Định lý 3.2.3 Cho (T (t))t≥0 nửa nhóm liên tục mạnh dương với toán tử sinh (A, D(A)) dàn Banach X Khi cận phổ s(A) thoả mãn s(A) < (T (t))t≥0 ổn định mũ Mệnh đề 3.2.4 Theo giả thiết định lý 3.2.1 Mệnh đề 3.2.2, hàm giá trị toán tử S(λ) = λΨeλ với λ ∈ R giảm, hàm cận phổ s(·) giảm liên tục trái R 13 Định lý 3.2.5 Với giả thiết Mệnh đề 3.2.4 ta có, s(BF eλ +λΨeλ + Φeλ ) < λ, s(GB,F,Φ ) < λ Hệ 3.2.6 Giả sử giả thiết Mệnh đề 3.2.4 thỏa mãn Khi nửa nhóm (TB,F,Φ (t))t≥0 ổn định mũ nếu cận phổ s(BF e0 + Φe0 ) nhỏ Kết luận Chương Trong chương này, phương trình trung tính với khứ không ôtônôm chứng minh • Nửa nhóm nghiệm (TB,F,Φ (t))t≥0 có nhị phân mũ với điều kiện họ tiến hóa lùi U ổn định mũ đều, (B, D(B)) toán tử sinh C0 - nửa nhóm có nhị phân mũ (etB )t≥0 chuẩn toán tử Ψ Φ đủ nhỏ • Kết qủa tính dương nửa nhóm nghiệm (TB,F,Φ (t))t≥0 Nội dung chương dựa vào báo [2] Danh mục công trình công bố luận án 14 Chương ĐA TẠP TÍCH PHÂN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRUNG TÍNH Trong chương nghiên cứu tồn đa tạp ổn định bất biến, đa tạp không ổn định, đa tạp tâm mô tả định tính dáng điệu phương trình gần quỹ đạo định 4.1 Đa tạp ổn định bất biến phương trình vi phân trung tính không gian chấp nhận nửa đường thẳng Giả sử họ toán tử tuyến tính (B(t))t≥0 sinh họ tiến hoá (U (t, s))t≥s≥0 Để chứng minh tồn đa tạp ổn định, thay cho (1.1) xét phương trình tích phân  F u(t) = U (t, s)F φ + u = φ ∈ C s t s U (t, ξ)f (ξ, uξ )dξ với t ≥ s ≥ 0, (4.1) Chú ý rằng, họ tiến hóa (U (t, s))t≥s≥0 nảy sinh từ toán Cauchy đặt chỉnh du dt = B(t)u(t), t ≥ s ≥ 0, u(s) = xs ∈ X hàm u : [s − r, ∞) → X, thỏa mãn (4.1) gọi nghiệm đủ tốt phương trình (1.1) Giả sử họ tiến hoá (U (t, s))t≥s≥0 có nhị phân mũ với họ toán tử chiếu nhị phân P (t), t ≥ 0, số nhị phân N, ν > Chúng ta xác định họ toán tử (P (t))t≥0 C sau P (t) : C → C 15 (P (t)φ)(θ) = U (t − θ, t)P (t)φ(0) với θ ∈ [−r, 0] (4.2) Khi đó, có (P (t))2 = P (t), toán tử P (t), t ≥ 0, toán tử chiếu C Hơn nữa, ta có ImP (t) = {φ ∈ C : φ(θ) = U (t − θ, t)ν0 , ∀ θ ∈ [−r, 0], với ν0 ∈ ImP (t)} (4.3) Bổ đề 4.1.1 Cho họ tiến hoá (U (t, s))t≥s≥0 có nhị phân mũ với họ toán tử chiếu nhị phân P (t), t ≥ 0, số nhị phân N, ν > Giả sử ϕ hàm không âm, thuộc không gian hàm Banach chấp nhận E Cho F : C → X Φ : R+ × C → X theo thứ tự toán tử sai phân toán tử trễ Giả sử F toán tử tuyến tính bị chặn, Φ ϕ-Lipschitz, u(t) nghiệm phương trình (4.1) cho supt≥s ut < ∞ với s ≥ cố định Khi đó, với t ≥ s, u(t) thỏa mãn  F ut = U (t, s)ν0 + ∞ G(t, τ )Φ(τ, uτ )dτ, s  u =φ∈C (4.4) s ν0 ∈ X0 (s) = P (s)X, G(t, τ ) hàm Green G(t, τ ) = P (t)U (t, τ ) t > τ ≥ 0, −U (t, τ )| (I − P (τ )) ≤ t < τ Khi đó, có đánh giá G(t, τ ) ≤ N (1 + H)e−ν|t−τ | (4.5) với t = τ , H = supt≥0 P (t) Định lý 4.1.2 Giả sử họ tiến hoá (U (t, s))t≥s≥0 có nhị phân mũ với họ toán tử chiếu nhị phân P (t), t ≥ 0, số nhị phân N, ν > Xét toán tử chiếu P (t) xác định (4.2) Cho toán tử sai phân F : C → X có dạng F = δ0 − Ψ với Ψ ∈ L(C, X), Ψ < 1, and δ0 hàm Dirac tập trung Giả sử ϕ hàm không âm, thuộc không gian hàm Banach chấp nhận E Cho toán tử trễ Φ : R+ × C → X ϕ-Lipschitz, đặt eνr (1 + H)N (N1 Λ1 T1+ ϕ k := − e−ν 16 ∞ + N2 Λ ϕ ∞) (4.6) Khi đó, k 1− Ψ < 1, với hàm φ ∈ ImP (s) có nghiệm u(t) phương trình (4.1) [s − r, ∞) thoả mãn P (s)us = φ supt≥s ut C < ∞ hàm u˜s xác định u˜s (θ) = F us−θ với −r ≤ θ ≤ Hơn nữa, với hai nghiệm u(t), v(t) ứng với hai hàm ban đầu φ1 , φ2 ∈ ImP (s) ta có ước lượng sau: ut − vt C ≤ Cµ e−µ(t−s) φ1 (0) − φ2 (0) với t ≥ s ≥ µ Cµ số dương phụ thuộc vào u, v, φ1 φ2 Sau đây, đưa định nghĩa đa tạp ổn định bất biến cho nghiệm phương trình (4.1) Định nghĩa 4.1.3 Tập S ⊂ R+ × C gọi đa tạp ổn định bất biến nghiệm phương trình (4.1) với t ∈ R+ không gian pha C phân tích thành tổng trực tiếp C = X0 (t) ⊕ X1 (t) với toán tử chiếu P (t) (tức là, X0 (t) = ImP (t) X1 (t) = KerP (t)) cho sup P (t) < ∞, t≥0 tồn họ ánh xạ liên tục Lipschitz gt : X0 (t) → X1 (t), t ∈ R+ với số Lipschitz đọc lập với t cho (i) S = {(t, ψ + gt (ψ)) ∈ R+ × (X0 (t) ⊕ X1 (t)) | t ∈ R+ , ψ ∈ X0 (t)}, ta ký hiệu St := {ψ + gt (ψ) : (t, ψ + gt (ψ)) ∈ S}, (ii) St đồng phôi X0 (t) với t ≥ 0, (iii) φ ∈ Ss có tương ứng nghiệm u(t) phương trình (4.1) [s − r, ∞) thỏa mãn điều kiện u˜s = φ supt≥s ut C < ∞, hàm u˜s xác định định lý 4.1.2 Hơn nữa, hai nghiệm u(t) v(t) phương trình (4.1) tương ứng với 17 φ1 , φ2 ∈ Ss hút cấp mũ, tức tồn số dương µ Cµ độc lập với s ≥ cho ut − vt C ≤ Cµ e−µ(t−s) P (s)φ1 − P (s)φ2 C với t ≥ s, (4.7) (iv) S F -bất biến phương trình (4.1) tức u(t), t ≥ s − r, nghiệm phương trình (4.1) thỏa mãn điều kiện u˜s ∈ Ss supt≥s ut C < ∞, ta có u˜t ∈ St với t ≥ s, hàm u˜t xác định u˜t (θ) = F ut−θ với − r ≤ θ ≤ t ≥ (4.8) Chú ý: Nếu đồng X0 (t) ⊕ X1 (t) với X0 (t) × X1 (t), có St = graph(gt ) Bây giờ, chứng minh tồn đa tạp ổn định phương trình (4.1) Định lý 4.1.4 Cho họ tiến hoá {U (t, s)}t≥s≥0 có nhị phân mũ với họ toán tử chiếu nhị phân P (t), t ≥ 0, số nhị phân N, ν > Cho toán tử sai phân F : C → X có dạng F = δ0 − Ψ với Ψ ∈ L(C, X), Ψ < 1, δ0 hàm Dirac tập trung Giả sử ϕ hàm không âm, thuộc không gian hàm Banach chấp nhận E Toán tử trễ Φ : R+ × C → X ϕ-Lipschitz thỏa mãn k < 1− Ψ 1+N eνr (1+ Ψ ) k xác định (4.6) Khi đó, tồn đa tạp ổn định bất biến S nghiệm phương trình (4.1) 4.2 Tam phân mũ đa tạp tâm ổn định phương trình trung tính Trong phần này, tổng quát Định lý 4.1.4 cho trường hợp họ tiến hoá {U (t, s)}t≥s≥0 có tam phân mũ R+ hàm phi tuyến Φ 18 ϕ-Lipschitz Trong trường hợp này, với điều kiện chứng minh tồn đa tạp tâm ổn định cho nghiệm phương trình (4.1) Định lý 4.2.1 Xét họ tiến hoá (U (t, s))t≥s≥0 có tam phân mũ với họ toán tử chiếu tam phân (Pj (t))t≥0 , j = 1, 2, 3, số tam phân N, α, β > Giả sử f : R+ × C → X ϕ-Lipschitz, ϕ hàm không âm thuộc không gian hàm Banach chấp nhận E Đặt q := sup{ Pj (t) : t ≥ 0, j = 1, 3}, N0 := max{N, 2N q}, ν := k := (1 + H)eνr N0 (N1 Λ1 T1+ ϕ −ν 1−e 1− Ψ 1+N0 eνr (1+ Ψ ) , Khi đó, k < ∞ + N2 Λ ϕ δ−α ∞ ) (4.9) với δ > α tồn đa tạp tâm ổn định S = {(t, St )}t≥0 ⊂ R+ × C nghiệm phương trình (4.1), biểu diễn họ ánh xạ liên tục Lipschitz Φt : Im(P1 (t) + P3 (t)) → ImP2 (t) với số Lipschitz độc lập t, St = graph(Φt ) có tính chất sau: (i) St đồng phôi với Im(P1 (t) + P3 (t)) với t ≥ (ii) Mỗi φ ∈ Ss có nghiệm u(t) phương trình (4.1) xác định [s − r, ∞), thoả mãn điều kiện sau: e−γ(s+θ) F us−θ = φ(θ) với θ ∈ [−r, 0] supt≥s e−γ(t+·) ut (·) C < ∞, γ = δ+α Hơn nữa, giả sử u(t), v(t) hai nghiệm phương trình (4.1) tương ứng với hai hàm ban đầu φ1 , φ2 ∈ Ss có ước lượng ut − vt C ≤ Cµ e(γ−µ)(t−s) (P (s)φ1 )(0) − (P (s)φ2 )(0) với t ≥ s (4.10) µ Cµ số dương độc lập với s, u(·), v(·) (iii) S F - bất biến phương trình (4.1), tức là, u(t), t ≥ s − r, nghiệm phương trình (4.1) thoả mãn điều kiện sau: hàm e−γ(s+·) u˜s (·) ∈ Ss supt≥s e−γ(t+·) ut (·) 19 C < ∞, hàm e−γ(t+·) u˜t (·) ∈ St với t ≥ s, u˜t xác định (4.8) 4.3 Đa tạp không ổn định phương trình trung tính Trong phần này, xét phương trình (4.1) toàn đường thẳng, giả sử toán tử B(t), t ∈ R, sinh họ tiến hoá (U (t, s))t≥s có nhị phân mũ R Khi đó, tồn đa tạp không ổn định tính hút đa tạp quỹ đạo nghiệm phương trình  F ut u s = U (t, s)F φ + t s U (t, ξ)Φ(ξ, uξ )dξ for t ≥ s, (4.11) = φ ∈ C Nghiệm phương trình (4.11) gọi nghiệm đủ tốt phương trình (4.1) R Bổ đề 4.3.1 Cho họ tiến hoá {U (t, s)}t≥s có nhị phân mũ với toán tử chiếu nhị phân P (t), t ∈ R, số nhị phân N, ν > Giả sử ϕ hàm không âm, thuộc không gian hàm Banach chấp nhận E Cho F : C → X Φ : R+ × C → X toán tử sai phân trễ Giả sử Φ ϕ-Lipschitz u(t) nghiệm phương trình (4.11) cho supt≤t0 ut C < ∞ với t0 cố định Khi đó, với t ≤ t0 hàm u(t) thỏa mãn t0 G(t, τ )Φ(τ, uτ )dτ F ut = U (t, t0 )| ν1 + (4.12) −∞ ν1 ∈ X1 (t0 ) = (I − P (t0 ))X G(t, τ ) hàm Green Định lý sau đây, cho kết tồn nghiệm tính ổn định mũ nghiệm phương trình (4.12) ứng với hàm ban đầu thuộc ImP (t) 20 Định lý 4.3.2 Cho họ tiến hoá {U (t, s)}t≥s có nhị phân mũ với toán tử chiếu nhị phân P (t), t ∈ R, số nhị nhân N, ν > Xét toán tử chiếu P (t) xác định (??) Cho toán tử sai phân F : C → X có dạng F = δ0 − Ψ Ψ ∈ L(C, X) với Ψ < 1, δ0 hàm phân phối Dirac tập trung Giả sử ϕ hàm không âm, thuộc không gian hàm Banach chấp nhận E Cho Φ : R × C → X ϕ-Lipschitz, đặt k := Khi đó, k < 1− Ψ eνr (1 + H)N (N1 + N2 ) Λ1 ϕ − e−ν ∞ (4.13) , với φ ∈ ImP (t0 ) có nghiệm u(·) phương trình (4.12) (−∞, t0 ] thoả mãn P (t0 )ut0 = φ supt≤t0 ut C < ∞ hàm u˜t0 xác định u˜t0 (θ) = F ut0 +θ với −r ≤ θ ≤ Hơn nữa, gọi u(·), v(·) hai nghiệm phương trình (4.12) ứng với hai hàm ban đầu φ1 , φ2 ∈ ImP (t0 ) có ước lượng sau: ut − vt C ≤ Cµ e−µ(t0 −t) φ1 (0) − φ2 (0) với t ≤ t0 µ số dương thoả mãn N (1 + H)eνr (N1 + N2 ) Λ1 ϕ < µ < ν + ln − 1− Ψ νr Ne Cµ := νr +N2 ) Λ1 ϕ ∞ − Ψ − N (1+H)e1−e(N−(ν−µ) ∞ , Định nghĩa 4.3.3 Tập U ⊂ R × C gọi đa tạp không ổn định nghiệm phương trình (4.11) t ∈ R không gian pha C phân tích thành tổng trực tiếp, C = X0 (t) ⊕ X1 (t) tương ứng với toán tử chiếu P (t), t ∈ R, (tức là, X0 (t) = ImP (t) X1 (t) = KerP (t)) cho supt∈R P (t) < ∞, tồn họ ánh xạ liên tục Lipschitz gt : X0 (t) → X1 (t), t∈R với số Lipschitz độc lập với t cho (i) U = {(t, ψ + gt (ψ)) ∈ R × (X0 (t) ⊕ X1 (t)) | t ∈ R, ψ ∈ X0 (t)}, chúng 21 ta ký hiệu Ut := {ψ + gt (ψ) : (t, ψ + gt (ψ)) ∈ U}, (ii) Ut đồng phôi với X0 (t) với t ∈ R, (iii) t0 ∈ R φ ∈ Ut0 có nghiệm u(·) phương trình (4.11) (−∞, t0 ] thoả mãn ut0 = φ supt≤t0 ut C < ∞, hàm u˜t0 xác định định lý 4.3.2 Hơn nữa, gọi u(·), v(·) hai nghiệm phương trình (4.11) tương ứng với hàm ban đầu φ1 , φ2 ∈ Ut0 nghiệm hút cấp mũ, tức tồn số µ Cµ độc lập với t0 cho ut − vt C ≤ Cµ e−µ(t0 −t) (P (t0 )φ1 )(0) − (P (t0 )φ2 )(0) với t ≤ t0 , (4.14) (iv) U F -bất biến với phương trình (4.11), tức là, u(t), t ∈ R, nghiệm phương trình (4.11) thoả mãn ut0 ∈ Ut0 supt≤t0 ut C < ∞ với t0 ∈ R, ut ∈ Ut với t ∈ R, hàm u˜t xác định Định lý 4.3.2 với t0 thay t, tức là, u˜t (θ) = F ut+θ với − r ≤ θ ≤ t ∈ R (4.15) Chú ý, đồng X0 (t) ⊕ X1 (t) với X0 (t) × X1 (t), Ut = graph(gt ) với t ∈ R Sau đây, tồn đa tạp không ổn định cho nghiệm phương trình (4.11) Định lý 4.3.4 Cho họ tiến hoá {U (t, s)}t≥s có nhị phân mũ với toán tử chiếu nhị phân P (t), t ∈ R,, số nhị nhân N, ν > Toán tử sai phân F : C → X có dạng F = δ0 − Ψ với Ψ ∈ L(C, X) Ψ < 1, δ0 hàm phân phối Dirac tập trung Giả sử ϕ hàm không âm, thuộc không gian hàm Banach chấp nhận E Cho Φ : R × C → X ϕ-Lipschitz thỏa mãn k < 1− Ψ 1+N eνr đó, k xác định (4.13) Khi 22 đó, tồn đa tạp không ổn định bất biến U cho nghiệm phương trình (4.11) Cuối cùng, chứng minh đa tạp không ổn định U = {(t, Ut )}t∈R F -hút cấp mũ tất nghiệm phương trình (4.11) theo nghĩa, gọi u(·) nghiệm phương trình (4.11) , u(·) bị hút cấp mũ tới quỹ đạo nghiệm F cảm sinh u∗ (·) (tức u∗t ∈ Ut với t ∈ R) Cụ thể, chứng minh định lý sau Định lý 4.3.5 Giả sử điều kiện Định lý 4.1.4 thoả mãn l := k eνr 1− Ψ N eνr (1 + H) +1 1− Ψ −k cho ut − u∗t C ≤ Ce−α(t−ξ) uξ − u∗ξ C , với t ≥ ξ u∗t xác định (4.15) Kết luận Chương Trong chương thiết lập điều kiện đủ cho tồn đa tạp ổn định bất biến, đa tạp tâm, đa tạp không ổn định tính hút đa tạp không ổn định Nội dung chương dựa vào báo [3] [4] Danh mục công trình công bố luận án 23 KẾT LUẬN Các kết luận án là: • Thiết lập điều kiện đủ để nửa nhóm nghiệm phương trình trung tính tuyến tính ôtônôm phương trình trung tính với khứ không ôtônôm có nhị phân mũ, chứng minh tính dương nửa nhóm nghiệm • Thiết lập điều kiện đủ cho tồn đa tạp ổn định, đa tạp tâm, đa tạp không ổn định phương trình trung tính Chứng minh tính hút đa tạp không ổn định quỹ đạo nghiệm phương trình trung tính 24 [...]... để nửa nhóm nghiệm phương trình trung tính tuyến tính ôtônôm và phương trình trung tính với quá khứ không ôtônôm có nhị phân mũ, chứng minh tính dương của nửa nhóm nghiệm • Thiết lập điều kiện đủ cho sự tồn tại của đa tạp ổn định, đa tạp tâm, đa tạp không ổn định của phương trình trung tính Chứng minh được tính hút của đa tạp không ổn định đối với mọi quỹ đạo nghiệm của phương trình trung tính 24 ... phân mũ với điều kiện họ tiến hóa lùi U ổn định mũ đều, (B, D(B)) là toán tử sinh của C0 - nửa nhóm có nhị phân mũ (etB )t≥0 và chuẩn của các toán tử Ψ và Φ đủ nhỏ • Kết qủa về tính dương của nửa nhóm nghiệm (TB,F,Φ (t))t≥0 Nội dung của chương này dựa vào bài báo [2] trong Danh mục công trình đã công bố của luận án 14 Chương 4 ĐA TẠP TÍCH PHÂN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRUNG TÍNH Trong chương này chúng... biến, đa tạp không ổn định, đa tạp tâm mô tả định tính dáng điệu của phương trình gần quỹ đạo nhất định 4.1 Đa tạp ổn định bất biến của phương trình vi phân trung tính trong không gian chấp nhận được trên nửa đường thẳng Giả sử họ toán tử tuyến tính (B(t))t≥0 sinh ra họ tiến hoá (U (t, s))t≥s≥0 Để chứng minh sự tồn tại của đa tạp ổn định, thay cho (1.1) chúng ta xét phương trình tích phân  F u(t)... t ≥ s, trong đó u˜t được xác định như trong (4.8) 4.3 Đa tạp không ổn định của phương trình trung tính Trong phần này, chúng ta xét phương trình (4.1) trên toàn đường thẳng, giả sử các toán tử B(t), t ∈ R, sinh ra họ tiến hoá (U (t, s))t≥s có nhị phân mũ trên R Khi đó, chúng ta chỉ ra sự tồn tại của đa tạp không ổn định và tính hút của đa tạp này đối với các quỹ đạo nghiệm bất kỳ của phương trình ... Nghiệm của phương trình (4.11) được gọi là nghiệm đủ tốt của phương trình (4.1) trên R Bổ đề 4.3.1 Cho họ tiến hoá {U (t, s)}t≥s có nhị phân mũ với các toán tử chiếu nhị phân P (t), t ∈ R, và các hằng số nhị phân N, ν > 0 Giả sử ϕ là hàm không âm, thuộc không gian hàm Banach chấp nhận được E Cho F : C → X và Φ : R+ × C → X lần lượt là các toán tử sai phân và trễ Giả sử Φ là ϕ-Lipschitz và u(t) là nghiệm. ..Chương 3 NHỊ PHÂN MŨ CỦA NỬA NHÓM NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH TRUNG TÍNH VỚI QÚA KHỨ KHÔNG ÔTÔNÔM Xét hệ phương trình trung tính tuyến tính với quá khứ không ôtônôm ∂ F (u(t, ·)) = BF u(t, ·) + Φu(t, ·), t ≥ 0, ∂t ∂ ∂ (u(t, s)) = (u(t, s)) + A(s)u(t, s), t ≥ 0 ≥ s ∂t ∂s (3.1) (3.2) Ở đây, hàm u(·, ·) lấy giá trị trong không gian Banach X và B là toán tử đạo hàm riêng tuyến tính, toán tử sai phân F và toán tử trễ... C , với mọi t ≥ ξ trong đó u∗t được xác định trong (4.15) Kết luận Chương 4 Trong chương này chúng tôi đã thiết lập điều kiện đủ cho sự tồn tại của đa tạp ổn định bất biến, đa tạp tâm, đa tạp không ổn định và tính hút của đa tạp không ổn định Nội dung của chương này dựa vào bài báo [3] và [4] trong Danh mục công trình đã công bố của luận án 23 KẾT LUẬN Các kết quả chính của luận án là: • Thiết lập... ta chỉ ra sự tồn tại của đa tạp không ổn định cho các nghiệm của phương trình (4.11) Định lý 4.3.4 Cho họ tiến hoá {U (t, s)}t≥s có nhị phân mũ với các toán tử chiếu nhị phân P (t), t ∈ R,, và các hằng số nhị nhân N, ν > 0 Toán tử sai phân F : C → X có dạng F = δ0 − Ψ với Ψ ∈ L(C, X) và Ψ < 1, δ0 là hàm phân phối Dirac tập trung tại 0 Giả sử ϕ là hàm không âm, thuộc không gian hàm Banach chấp nhận được... các giả thiết của Định lý 3.1.2 được thỏa mãn Họ tiến hóa lùi U ổn định mũ đều và (B, D(B)) là toán tử sinh của C0 - nửa nhóm có nhị phân mũ (etB )t≥0 , và chuẩn của toán tử Ψ thỏa mãn Ψ < 1 K1 Khi đó, nếu chuẩn của toán tử trễ Φ là đủ nhỏ thì nửa nhóm nghiệm (TB,F,Φ (t))t≥0 có nhị phân mũ 3.2 Tính dương của nửa nhóm nghiệm Trong phần này, ta giả sử X là dàn Banach Khi đó C0 trở thành dàn Banach Hơn... mãn k < 1− Ψ 1+N eνr trong đó, k được xác định bởi (4.13) Khi 22 đó, tồn tại đa tạp không ổn định bất biến U cho các nghiệm của phương trình (4.11) Cuối cùng, chúng ta chứng minh đa tạp không ổn định U = {(t, Ut )}t∈R F -hút cấp mũ tất cả các nghiệm của phương trình (4.11) theo nghĩa, gọi u(·) là nghiệm bất kỳ của phương trình (4.11) , khi đó u(·) bị hút cấp mũ tới một quỹ đạo nghiệm F cảm sinh u∗