Về dáng điệu tiệm cận nghiệm của các phương trình vi phân trong không gian hilbert

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - - - - - - - - - o0o - - - - - - - - - ĐỖ THỊ HƯỜNG VỀ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - - - - - - - - - o0o - - - - - - - - - ĐỖ THỊ HƯỜNG VỀ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS ĐẶNG ĐÌNH CHÂU Hà Nội - 2014 Mục lục Dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình vi phân không gian Banach 1.1 Toán tử Volterra ứng dụng cho PTVP tuyến tính không gian Banach 1.1.1 Sự tồn nghiệm PTVP tuyến tính 1.1.2 Sự tồn nghiệm PTVP tuyến tính không 1.2 Phương trình tiến hóa tính chất nghiệm phương trình vi phân tuyến tính có nhiễu 1.2.1 Sự tồn nghiệm phương trình vi phân tuyến tính có nhiễu không gian Banach 1.2.2 Họ toán tử tiến hóa phương trình tiến hóa 1.2.3 Ví dụ 1.2.4 Các phương trình so sánh tích phân Dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình vi phân không gian Hilbert 2.1 Phương trình vi phân không gian Hilbert 2.1.1 Sự tồn nghiệm 2.1.2 Một số khái niệm ổn định nghiệm 2.2 Tính ổn định nghiệm phương trình vi phân với dạng tam giác tôpô yếu 2.2.1 Không gian L(H) khái niệm tôpô yếu, tôpô mạnh tôpô 2.2.2 Khái niệm tính quy 2.2.3 Sự rút gọn phương trình dạng tam giác 2.2.4 Tính ổn định nghiệm phương trình vi phân dạng tam giác không gian Hilbert 2.3 Phương pháp hàm Lyapunov để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình vi phân không gian Hilbert 2.3.1 Khái niệm hàm Lyapunov không gian Hilbert 5 10 11 11 11 15 19 20 23 23 23 25 29 29 30 32 34 37 37 2.3.2 Sử dụng định lí Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định nghiệm lớp PTVP không gian Hilbert 2.4 Một số ví dụ áp dụng Kết luận Tài liệu tham khảo 40 45 54 55 Mở Đầu Việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiêm phương trình vi phân (PTVP) không gian Hilbert có ý nghĩa quan trọng lý thuyết định tính phương trình vi phân toán ứng dụng (xem [3]) Trong thời gian gần đây, lý thuyết PTVP không gian Banach nói chung PTVP không gian Hilbert phát triển mạnh mẽ đáp ứng nhiều đòi hỏi đặt mô hình ứng dụng Đặc biệt toán mô tả toán học tượng chuyển động vật thể, trình sinh trưởng phát triển loài sinh vật (xem[6]) Trong luận văn này, trình bày lại cách hệ thống số kết liên quan tới tồn nghiệm phương trình vi phân tuyến tính có nhiễu tính chất nghiệm chúng Phương pháp nghiên cứu sử dụng tính chất toán tử Volterra kết hợp với việc sử dụng chuẩn Bielecki không gian Hilbert để nghiên cứu tồn tai nghiệm PTVP dạng phương trình toán tử không gian hàm Để nghiên cứu tính chất nghiệm PTVP không gian Hilbert, sử dụng phương pháp xấp xỉ thứ Lyapunov cho PTVP dạng tam giác không gian Hilbert Trong phần cuối luận văn, trình bày lại phương pháp hàm Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định PTVP phi tuyến số ví dụ ứng dụng Nội dung luận văn gồm chương: chương trình bày dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình vi phân không gian Banach, chương hai trình bày dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình vi phân không gian Hilbert số ví dụ áp dụng Bản luận văn thực hướng dẫn PGS TS Đặng Đình Châu Nhân dịp này, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, người dành nhiều công sức thời gian để hướng dẫn, kiểm tra, giúp đỡ việc hoàn thành luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến ban lãnh đạo thầy cô khoa Toán - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên Hà Nội kiến thức điều tốt đẹp mang lại cho thời gian học tập trường Đồng thời, xin cảm ơn tới phòng Sau Đại học tạo điều kiện thuận lợi việc hoàn thành thủ tục học tập bảo vệ luận văn Tôi muốn gửi lời cám ơn tới thầy bạn seminar Phương trình vi phân động viên ý kiến trao đổi quí báu thân thời gian qua Cuối cùng, muốn tỏ lòng biết ơn gia đình, người thân chỗ dựa vững tinh thần vật chất cho sống học tập để hoàn thành xong luận văn Mặc dù, có nhiều cố gắng luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, mong nhận góp ý quý thầy, cô bạn Hà Nội, tháng 11 năm 2014 Đỗ Thị Hường Chương Dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình vi phân không gian Banach 1.1 Toán tử Volterra ứng dụng cho PTVP tuyến tính không gian Banach Giả sử (X, ||.||) không gian Banach Xét PTVP không gian Banach   dx = f (t, x) dt (1.1)  x(t ) = x 0 t ∈ [a; b], x : [a, b] → X hàm (trừu tượng) phải tìm, hàm f : [a, b] × X → X liên tục thỏa mãn điều kiện Lipchitz tức tồn L : [a, b] → R+ khả tích địa phương cho với x, y ∈ X ta có ||f (t, x) − f (t, y)|| ≤ L(t)||x − y|| (1.2) Để chứng minh định lí tồn nghiệm (1.1) sau trình bày khái niệm toán tử Volterra chuẩn Bielecki Định nghĩa 1.1 Toán tử Volterra Toán tử tích phân Volterra toán tử V : C([a, b], X) → C([a, b], X) xác định t V (x)(t) = f (t, s, x(s))ds a Trong x ∈ C([a, b], X) hàm trừu tượng cần tìm, V(x) toán tử tích phân Volterra Kí hiệu C([a, b], X) tập hợp tất hàm liên tục từ [a; b] vào X Kí hiệu chuẩn Bielecki t a ||x(t)||B,p = sup e−p L(s)ds ||x(t)||, p > a≤t≤b Ta dễ dàng thấy x = x(t), t ∈ [a; b] nghiệm (1.1) t (1.3) f (τ, x(τ ))dτ x(t) = x0 + t0 t Kí hiệu V [x(t)] = x0 + f (τ, x(τ ))dτ t0 Khi , ta có toán tử Volterra V : C([a, b], X) → C([a, b], X) Bổ đề 1.1 Trong không gian C([a, b], X) toán tử Volterra V : C([a, b], X) → C([a, b], X) thỏa mãn điều kiện sau ||V [x(t)] − V [y(t)]|| ≤ ||x(t) − y(t)|| p t ∈ [a; b], p > Chứng minh Ta có t t f (τ, y(τ ))dτ )|| f (τ, x(τ ))dτ − (x0 + ||V [x(t)] − V [y(t)]|| = ||x0 + t0 t0 t = || [f (τ, x(τ )) − f (τ, y(τ ))]dτ || t0 Sử dụng điều kiện Lipchitz (1.2) ta có t L(τ )||x(τ ) − y(τ )||dτ ||V [x(t)] − V [y(t)]|| ≤ t0 Do ||V (x) − V (y)||B,p = sup e−p t a L(s)ds ||V (x)(t) − V (y)(t)|| a≤t≤b t = sup e−p t a L(s)ds || [f (t, s, x(s)) − f (t, s, y(s))]ds|| a≤t≤b a t ≤ sup e−p t a L(s)ds ||f (t, s, x(s)) − f (t, s, y(s)||ds a≤t≤b a t −p ≤ sup e t a L(s)ds L(s)||x(s) − y(s)||ds a≤t≤b a t −p = sup e t a s p L(s)ds L(s)e s L(u)du a −p [e L(u)du a ||x(s) − y(s)||]ds a≤t≤b a t −p ≤ ||x − y||B,p sup e t a s p L(s)ds L(s)e L(u)du a ds a≤t≤b a ≤ ||x − y||B,p p Giả sử G miền mở X f : [a, b] × G → X, (t0 , x0 ) ∈ G0 hàm liên tục thỏa mãn điều kiện Lipchitz (1.2) Xét hình hộp Q = {(t, x)/t0 − α ≤ t ≤ t0 + α, ||x − x0 || ≤ β}, α, β đủ nhỏ để [t0 − α; t0 + α] ⊂ [a; b], G0 ⊂ G Xét tương ứng V : C([t0 − α; t0 + α], G0 ) → C([t0 − α; t0 + α], G0 ) Đặt V [x(t)] = t f (τ, x(τ ))dτ t0 Bổ đề 1.2 a) Tương ứng V ánh xạ từ ([t0 − α; t0 + α], G0) vào ([t0 − α; t0 + α], G0 ) p b) ||V [x(t)] − V [y(t)]|| ≤ ||x(t) − y(t)|| Chứng minh t f (τ, x(τ ))dτ − x0 || ||V [x(t)] − V [x0 ]|| = ||x0 + t0 t = || f (τ, x(τ ))dτ || t0 Sử dụng điều kiện Lipchitz (1.2) ta có t L(τ )||x(τ )||dτ ||V [x(t)] − V [x0 ]|| ≤ t0 Chọn α = với sup |L(t)| ≤ L0 < +∞ L0 a≤t≤b Do ||V (x) − V (y)||B,p = sup e−p t a L(s)ds ||V (x)(t) − V (y)(t)|| a≤t≤b t = sup e−p t a L(s)ds || [f (t, s, x(s)) − f (t, s, y(s))]ds|| a≤t≤b a t ≤ sup e−p t a L(s)ds ||f (t, s, x(s)) − f (t, s, y(s)||ds a≤t≤b a t ≤ sup e−p t a L(s)ds L(s)||x(s) − y(s)||ds a≤t≤b a t −p = sup e t a s p L(s)ds L(s)e s L(u)du a −p [e L(u)du a ||x(s) − y(s)||]ds a≤t≤b a t −p ≤ ||x − y||B,p sup e t a s p L(s)ds L(s)e L(u)du a ds a≤t≤b a ≤ ||x − y||B,p p Nguyên lí ánh xạ co: Giả sử A : X → X A : S → S S = {x/||x − x0 || ≤ β} thỏa mãn ||Ax − Ay|| ≤ L||x − y|| Hàm V = V (t, x) gọi có đạo hàm dọc theo nghiệm của PTVP dx = f (t, x) thỏa mãn f (t, 0) = f (t, Pm x) = Pm f (t, Pm x), ∀m ∈ J dt tồn giới hạn V˙ (t, x) = lim {V [t + h, x + hf (t, Pm (x))] − V (t, x)} h→0+ h (1,1) Ta kí hiệu V (t, x) ∈ C(t,x) (1,1) xác Định lý 2.9 Nếu m ∈ J , tồn hàm Lyapunov V (t, x) ∈ C(t,x) định dương có đạo hàm V˙ (t, x) có dấu không đổi âm, nghiệm tầm thường x ≡ PTVP J- ổn định dx = f (t, x) thỏa mãn f (t, 0) = f (t, Pm x) = Pm f (t, Pm x) dt Chứng minh Ta cần chứng minh , m ∈ J bất kì, ∀ε > 0, ∃δ(ε, m) > cho ∀ξ ∈ H0 , ||Pmξ|| < δ ||x(t, t0 , Pm ξ)|| < ε, ∀t > t0 Theo giả thiết, tồn W(x) liên tục xác định dương cho V (t, x) ≥ W (x) > 0, ||x|| = 0, V (t, 0) = W (0) = Trong H0 , xét mặt cầu Sε = {x ∈ H0 , ||Pm x|| = ε} Vì Pm H0 ∩Sε tập compact, theo định lí Weierstrass, tồn x∗ ∈ Pm H0 ∩Sε mà cận W (x) đạt x∗ tức inf lim x∈Pm H0 ∩Sε W (x) = W (x∗ ) = α > Giả sử tồn t0 ∈ (a, ∞) tùy ý Hàm V (t0 , x) liên tục theo x V (t0 , 0) = nên tồn lân cận ||x|| < δ < ǫ cho ≤ V (t0 , x) < α với ||x|| < δ Xét nghiệm khác không tùy ý x = x(t) với điều kiện ban đầu x(t0 ) = Pm x0 thỏa mãn ||Pm x0 || < δ Do x(t, t0 , Pm x0 ) = Pm x(t, t0 , Pm x0 ), ta cần chứng minh ||Pm x(t, t0 , Pm x0 )|| < ε, ∀t > t0 (∗) Rõ ràng, t = t0 ||Pm x(t0 )|| < δ < ε Giả sử, (*) không thỏa mãn với t ∈ [t0,+∞ ) giả thiết t1 giá trị nhỏ cho ||Pm x(t1 , t0 , Pm x0 )|| = ε tức ||Pm x(t1 , t0 , Pm x0 )|| < ε với t0 ≥ t < t1 ||Pm x(t1 )|| = ε Kí hiệu v(t) = V (t, x(t)) Theo giả thiết định lí, ta có v(t) ˙ = V˙ (t, x(t)) ≤ nên hàm v(t) không tăng dọc theo nghiệm x(t) Do đó, ta có α > V (t0 , x(t0 )) ≥ V (t1 , x(t1 )) ≥ W (x(t1 ))α Điều vô lí, nghiệm tầm thường J - ổn định 42 (1,1) có giới Định lý 2.10 Giả sử m ∈ J , tồn hàm Lyapunov V (t, x) ∈ C(t,x) hạn vô bé x → có đạo hàm V˙ (t, x) hàm xác định âm, nghiệm tầm thường x = PTVP dx = f (t, x) thỏa mãn f (t, 0) = dt f (t, Pm x) = Pm f (t, Pm x) J- ổn định tiệm cận Chứng minh Vì V˙ (t, x) hàm xác định âm nên có dấu không đổi âm, theo định lí nghiệm tầm thường J - ổn định ta phải chứng minh với m ∈ J, ∃∆ > cho ξ ∈ H mà ||Pm ξ|| < ∆ lim ||x(t, t0 , Pm ξ)|| = t→∞ Xét x(t) = x(t, t0 , Pm ξ), ta có: x(t, t0 , Pm ξ) = Pm x(t, t0 , Pm ξ) Xét hàm số v(t) = V (t, Pm x(t)) = V (t, x(t)) dV Vì theo giả thiết v(t) ˙ = < nên v(t) hàm đơn điệu giảm bị chặn dưới, dt nên có giới hạn hữu hạn lim v(t) = inf v(t) = α ≥ t→∞ t Ta chứng minh α = Thật vậy: Giả sử α > 0, tồn β > cho ||x(t, t0 , Pm ξ)|| ≥ β t0 ≤ t < ∞ Vì không xảy , tức tìm dãy t1 , t2 , , tk , → +∞ cho lim x(tk ) = k→+∞ Do đó, tồn giới hạn vô bé bậc cao V(t, x) x → ta có lim v(tk ) = lim V (tk , Pm x(tk )) = k→+∞ k→+∞ Điều mâu thuẫn với α > Như vậy, với α > tính J - ổn định nghiệm tầm thường ta giả thiết ||x(t, t0 , Pm ξ)|| ≤ h < H Theo giả thiết , tồn W(x) liên tục , xác định dương thỏa mãn V˙ (t, x) ≤ −W (x) Đặt γ = inf W (x) > Khi đó, ta có: β≤||x||≤h t t V˙ (τ, x(τ, Pm ξ))dτ ≤ v(t0 ) − v(t) = v(t0 ) + W (x(τ, Pm ξ))dτ t0 t0 t Do đó, v(t) ≤ v(t0 )− γdτ = v(t0 )−γ(t−t0 ) Khi t đủ lớn v(t) = V (t, Pm x(t)) < t0 0, trái với tính xác định dương V(t, x) Vậy α = lim V (t, Pm x(t)) = t→+∞ 43 Ta tiếp tục chứng minh lim ||Pm x(t)|| = Thật vậy: t→+∞ Giả sử ε > bé tùy ý l = inf ε≤||Pm x||≤h W (x) > Vì lim V (t, Pm x(t)) = nên tồn T > t0 cho V (T, Pm x(T )) < l Vì t→+∞ V (t, Pm x(t)) hàm đơn điệu giảm nên ta có V (t, Pm x(t)) < l với t ≥ T Do đó, với t > T ||Pm x(t)|| < ε Thật vậy: Giả sử tồn t1 > T mà Pm x(t1 ) ≥ ε ta có l > V (t1 , Pm x(t1 )) ≤ W (Pm x(t1 )) ≥ l Điều nầy vô lí Vậy lim ||Pm x(t)|| = t→+∞ (1,1) có giới Định lý 2.11 Giả sử m ∈ J , tồn hàm Lyapunov V (t, x) ∈ C(t,x) hạn vô bé x → có đạo hàm V˙ (t, x) hàm có dấu xác định Khi , số t0 > lân cận S0 ⊂ Pm0 H0 điểm tìm điểm (x0 , t0 ) cho V (t0 , x0 ).V˙ (t0 , x0 ) > nghiệm tầm thường x = PTVP dx = f (t, x) dt thỏa mãn f (t, 0) = f (t, Pm x) = Pm f (t, Pm x) J- không ổn định Chứng minh Giả sử V˙ (t, x) ≥ W (x) > với (t, x) ∈ Z0 , W(x) hàm liên tục mang dấu dương Theo giat thiết V (t, x) có giới hạn vô bé x → nên V (t, x) bị chặn hình trụ hẹp tức |V (t, x)| < M, t0 < t < ∞, ||x|| < ∆ x nằm lân cận S0 ⊂ Pm0 H0 điểm Giả sử δ > nhỏ tùy ý Nhờ giả thiết định lí, tồn (x0 , t0 ) với x0 ∈ S0 cho V (x0 , t0 ) = α > Đặt x(t) = x(t, t0 , x0 ) Do x0 ∈ Pm0 x0 nên ta có Pm0 x(t) = x(t) Xét V (t, x(t)) ≥ V (t0 , x0 ) = α > Từ đó, suy tồn t1 > t0 cho ||x(t1 )|| > ∆ Thật vậy: Giả sử ||x|| ≤ ∆ với t ≥ t0 Khi đó, nghiệm x(t) thác triển vô hạn bên phải 44 Vì hàm V(t, x) có giới hạn vô bé bậc cao x → nên tồn β > cho < β ≤ ||x(t)|| ≤ ∆, t0 ≤ t < ∞ Đặt γ = inf β≤||x||≤∆ W (x) > Do, ||x(t)|| nên ta có V˙ (t, x(t)) ≥ γ, t0 ≤ t < ∞ Khi t V˙ (τ, x(τ ))dτ ≥ V (t0 , x(t0 )) + γ(t − t0 ) V (t, x(t)) = V (t0 , x(t0 )) + t0 Điều trái với tính bị chặn V(t, x) miền t0 ≤ t < ∞, ||x(t)|| < ∆ Vì vậy, điều giả sử sai nghĩa nghiệm tầm thường J - không ổn định Nhận xét: nghiệm tầm thường J- không ổn định không ổn định theo Lyapunov 2.4 Một số ví dụ áp dụng Ví dụ 2.2 Xét H = l2 hệ                            phương trình dx1 = −x1 + x2 dt dx2 = −x1 − x2 dt dx2n−1 x2n = −x2n−1 + dt n dx2n x2n x2n =− − dt n n Tương ứng với H2n = P2n X , ta lấy V2n = V (t, x) = x2k Khi đó, x = hệ k−1 k=1 2n J - ổn định tiệm cận Thật vậy: Ta thấy V(t, x) đạt giới hạn vô bé x → 45 d dt 2n k=1 x2k = 2k−1 n x2k−1 x˙ 2k−1 22k−1 k=1 n =− k=1 n =− k=1 + x2k x˙ 2k 22k x2k x22k x22k [2x − 2x + + ] 2k−1 k k k 2k 2k−1 x22k x2k 2 + (x − ) ] [x + 2k−1 k k 2k 2k−1 Rõ ràng V˙ (t, x) hàm xác định âm Vậy nghiệm tầm thường x ≡ hệ J - ổn định tiệm cận Ví dụ 2.3 Xét H = l2 hệ               Xét hàm V (t, x) = n ( k=1              dx1 = −x1 + x2 dt dx2 = −x1 − x2 dt x2n−1 dx2n−1 =− + x2n dt n x2n−1 x2n dx2n =− − dt n n x22k−1 + x22k ) Tương tự ví dụ ta thấy, nghiệm tầm k2 thường J - ổn định tiệm cận không ổn định theo Lyapunov Thật vậy: π Với ε = e , chọn dãy δn = , n ∈ N Khi đó, với (0, , 0, 0, ) ||x0n || ≤ δn n n 2ns nπ t t t Mặt khác, x(t, 0, x0n ) = (0, 0, , e sin , e n cos , 0, ) nên với tn = n n n −π nπ ||x( , 0, x0n )|| = e > ε0 t n Như vậy, nghiệm tầm thường không ổn định theo Lyapunov Ví dụ 2.4 Mô hình Lotka-Volterra có chậm Mô hình cạnh tranh Lotka - Volterra Dạng khái quát mô hình thú - mồi thường mô tả hệ phương trình sau x˙t = f (xt ) − l(xt , yt ), y˙t = g(yt ) + el(xt , yt ) 46 (2.36) với t ≥ 0, với điều kiện ban đầu x(t) = ϕ1 (t) y(t) = ϕ2 (t) với t ∈ [−h, 0] đây, dấu (+) (−) trước hàm l(x, y) biểu thị kết tương tác hai loài thú mồi (đối với loài thú ta lấy dấu (+) loài xy mồi ta lấy dấu (−)), ta thường chọn l(x, y) = α K • Với h > 0, ta ký hiệu C = C([−h, 0], R2 ) không gian Banach hàm liên tục [−h, 0] nhận giá trị R2 Với ϕ ∈ C chuẩn ϕ định nghĩa là: ||ϕ|| = sup |ϕ(θ)| −h≤θ≤0 • Giả sử t0 ∈ R, A > u ∈ C ([t0 − h, t0 + A] , Rn ) ta xác định hàm: ut ∈ C, ut (θ) = u(t + θ), −h ≤ θ ≤ Trong u =< x, y > Giả sử f, g : R → R liên tục thỏa mãn điều kiện Lipchitz, l : R2 → R2 liên tục thỏa mãn điều kiện Lipchitz Định nghĩa 2.12 Hàm ut gọi nghiệm phương trình vi phân (2.36) [t0 − h, t0 + A] xt ∈ C([−h, A], Rn ), (t, x(t)) ∈ Ω ut thỏa mãn phương trình (2.36) với t ∈ [t0 , t0 + A] Định nghĩa 2.13 Cho t0 ∈ R, ϕ ∈ C , hàm u(t0 , ϕ) gọi nghiệm phương trình vi phân (2.36) với giá trị ban đầu ϕ t = t0 , tồn số A > cho u(t0 , ϕ) nghiệm (2.36) [t0 − h, t0 + A] ut0 (t0 , ϕ) = ϕ Bổ đề 2.9 Giả sử f hàm liên tục nghiệm x(t) phương trình (2.36) qua (t0 , ϕ), ϕ ∈ C tương đương với phương trình tích phân  t   x(t) = [f (xs ) − h(xs , ys )]ds,  (2.37) t    y(t) = [g(ys ) + eh(xs , ys )]ds với t ≥ 0, với điều kiện ban đầu x(t) = ϕ1 (t) y(t) = ϕ2 (t) với t ∈ [−h, 0] 47 Bằng phương pháp tương tự phần 1.1.2 , chứng minh hệ phương trình vi phân hàm có nghiệm nhờ nguyên lí điểm bất động với chuẩn Bielecki Trong phần tiếp theo, nghiên cứu tính ổn định tiệm cận phương trình dạng Lotka-Volterra có chậm Xét mô hình cạnh tranh Lotka-Volterra có chậm cho hệ sau: x(t) ˙ = x(t) [b1 − a11 x(t − τ11 ) − a12 y(t − τ12 )] y(t) ˙ = y(t) [b2 − a21 x(t − τ21 ) − a22 y(t − τ22 )] với điều kiện ban đầu     x(t) = Φ1 (0) + Φ1 (t) ≥ (2.38) t ∈ [τ, 0], Φ1 (0) > 0, y(t) = Φ (0) + Φ2 (t) ≥ t ∈ [τ, 0], Φ2 (0) > 0,    τ = max {τ } ij (2.39) x(t), y(t) mật độ hai loài thời điểm t, bi aij số dương, τij không âm Nếu tất thời gian chậm τij không hệ (2.38) trở trường hợp đơn giản x(t) ˙ = x(t) [b1 − a11 x(t) − a12 y(t)] y(t) ˙ = y(t) [b2 − a21 x(t) − a22 y(t)] Nếu b1 a12 a11 > > , a21 b2 a22 (2.40) (2.41) tất nghiệm Z(t) = (x(t), y(t)) (2.40) có điểm cân Z ∗ = (x∗ , y ∗) t → +∞, x∗ = b1 a22 − b2 a12 , a11 a22 − a21 a12 y∗ = b2 a11 − b1 a21 a11 a22 − a21 a12 (2.42) Tính ổn định tiệm cận địa phương Ta thấy từ điều kiện (2.41), hệ (2.38) có điểm cân Z ∗ = (x∗ , y ∗), với x∗ , y ∗ xác định (2.42) Đặt u(t) = x(t) − x∗ , v(t) = y(t) − y ∗ Khi (u(t), v(t)) thỏa mãn hệ phương trình u(t) ˙ = (u(t) + x∗ ) [−a11 u(t − τ11 ) − a12 v(t − τ12 )] v(t) ˙ = (v(t) + y ∗ ) [−a21 u(t − τ21 ) − a22 v(t − τ22 )] 48 (2.43) Ta thấy (2.43) biến thiên (2.38) với điểm cân Z ∗ = (x∗ , y ∗ ) hệ phương trình tuyến tính u(t) ˙ = −a11 x∗ u(t − τ11 ) − a12 x∗ v(t − τ12 ) v(t) ˙ = −a21 y ∗u(t − τ21 ) − a22 y ∗v(t − τ22 ) (2.44) Đặt p11 = a11 (2a11 τ11 + a12 τ12 + a12 τ11 ), p12 = a12 (2a12 τ12 + a11 τ11 + a11 τ12 ) p21 = a21 (2a21 τ21 + a22 τ22 + a22 τ21 ), p22 = a22 (2a22 τ22 + a21 τ21 + a21 τ22 ) 1 q1 = a11 a21 (τ11 + τ21 ) + a11 a22 (τ11 + τ22 ) + a12 a21 (τ12 + τ21 ) 2 1 q2 = a12 a22 (τ12 + τ22 ) + a11 a22 (τ11 + τ22 ) + a12 a21 (τ12 + τ21 ) 2 2 2 a22 + a21 a11 + a12 2(a12 y ∗ α + a21 x∗ β) α= , β= , γ= , a11 a22 + a12 a21 a11 a22 + a12 a21 a11 x∗ + a22 y ∗ 2(y ∗ + x∗ β)∆ 2(x∗ + y ∗ α)∆ , r = ∆ = a11 a22 − a21 a12 , r1 = ∗ x (a11 x∗ + a22 y ∗ ) y ∗ (a11 x∗ + a22 y ∗ ) Định lý 2.12 Với giả thiết (2.41) Nếu biến chậm τij thỏa mãn αp11 + βp21 + γq1 < r1 (2.45) αp12 + βp22 + γq2 < r2 điểm cân Z ∗ = (x∗ , y ∗) hệ (2.43) ổn định tiệm cận địa phương Chứng minh Hệ phương trình (2.44) viết dạng sau  ′ t t  u(t)  = −a11 u(t) − a12 v(t) x∗ − a11 t−τ11 u(s)ds − a12 t−τ12 v(s)ds   v(t) y∗ t − a21 t−τ21 u(s)ds − t a22 t−τ22 Đặt A(t) = B(t) = u(t) − a11 x∗ v(t) − a21 y∗ ′ v(s)ds (2.46) = −a21 u(t) − a22 v(t) t t u(s)ds − a12 t−τ11 t v(s)ds t−τ12 t u(s)ds − a22 t−τ21 v(s)ds t−τ22 Chúng ta chứng minh định lý việc sử dụng phiếm hàm Lyapunov: W (t) = αW1 (Z)(t) + βW2 (Z)(t) + γW3 (Z)(t) W1 (t) = W11 (Z)(t) + W12 (Z)(t) W2 (t) = W21 (Z)(t) + W22 (Z)(t) W3 (t) = W31 (Z)(t) + W32 (Z)(t) 49 (2.47) với Wij (Z)(t) xác định phần đây: Đầu tiên ta xét hàm vô hướng W11 (Z)(t), Z(t) = (u(t), v(t)) (2.48) W11 (Z)(t) = A2 (t) Đạo hàm dọc theo nghiệm (2.46): dW11 (Z)(t)/dt cho dW11 (Z)(t) 2a11 2a12 = −2(a11 u + a12 v)A(t) = − ∗ u2 − ∗ uv + 2(a11 u + a12 v) dt x x t × t a11 u(s)ds + a12 t−τ11 v(s)ds t−τ12 Sử dụng bất đẳng thức ab ≤ 21 (a2 + b2 ), ta có t 2a211 u(t) t u(s)ds = t 2a211 t−τ11 u(t)u(s)ds ≤ a211 u2 (t)ds u (t)τ11 + t−τ11 t−τ11 Làm tương tự vậy, ta thu 2a11 2a12 dW11 (Z)(t) ≤ − ∗ u2 − ∗ uv + a11 τ11 (a11 u2 + a12 v ) + a12 τ12 (a11 u2 + a12 v ) dt x x t t v (s)ds u2 (s)ds + a12 (a11 + a12 ) +a11 (a11 + a12 ) (2.49) t−τ12 t−τ11 Tiếp theo ta đặt t t t t v (l)dlds u2 (l)dlds + a12 W12 (Z)(t) = (a11 + a12 ) a11 t−τ11 t−τ12 s dW12 (Z)(t) = a11 (a11 + a22 ) τ11 u2 (t) − dt t u2 (s)ds t−τ11 t v (s)ds +a12 (a11 + a22 ) τ12 v (t) − s (2.50) t−τ12 Như định nghĩa W1 (t) = W11 (Z)(t) + W12 (Z)(t) Do đó, từ (2.48) (2.53) ta có 2a11 2a12 dW1 (t) ≤− − p u − uv + p12 v 11 dt x∗ x∗ (2.51) W21 (Z)(t) = B (t), (2.52) Tiếp theo, đặt Làm tương tự ta có: 2a22 2a21 dW21 (Z)(t) ≤ − ∗ v − ∗ uv + a21 τ21 (a21 u2 + a22 v ) + a22 τ22 (a21 u2 + a22 v ) dt y y 50 t t u (s)ds + a22 (a21 + a22 ) +a21 (a21 + a22 ) t−τ22 t−τ21 t t t u2 (l)dlds v (l)dlds + a21 t−τ22 dW2 (t) ≤− dt t W22 (Z)(t) = (a22 + a21 ) a22 Và (2.53) v (s)ds s t−τ21 2a22 − p22 y∗ v2 − (2.54) s 2a21 uv + p21 u2 y∗ (2.55) Và cuối ta lấy (2.56) W31 (Z)(t) = −A(t)B(t), Khi a21 a12 dW31 (Z)(t) = ∗ u2 + ∗ v + dt x y a22 a11 + ∗ x∗ y uv t t v(s)ds u(s)ds + a22 − (a11 u + a12 v) a21 t−τ22 t t−τ21 t − (a21 u + a22 v) a11 u(s)ds + a12 t−τ11 v(s)ds t−τ12 a21 a12 a22 a11 u + ∗v + + ∗ uv ∗ x y x∗ y (a11 u2 + a12 v )(a21 τ21 + a22 τ22 ) + ≤ t u2 (s)ds + a22 (a11 + a12 ) a21 t−τ21 + (a21 u2 + a22 v )(a11 τ11 + a12 τ12 ) t + (a21 + a22 ) a11 u2 (s)ds + a12 t−τ11 t v (s)ds + t−τ22 t v (s)ds t−τ12 với W32 (Z)(t) = (a11 + a12 ) a21 + (a21 + a22 ) a11 t t t t v (l)dlds u (l)dlds + a22 t−τ21 t s t−τ22 t t s t u2 (l)dlds + a12 t−τ11 s v (l)dlds t−τ12 s Từ W3 (t) = W31 (Z)(t) + W32 (Z)(t), tương tự phần trước ta suy dW3 (t) ≤ dt a21 + q1 u2 + x∗ a12 + q2 y∗ 51 v2 + a22 a11 + ∗ x∗ y uv (2.57) Từ biểu thức W1 (t), W2 (t), W3 (t) W (t), ta có: W (t) = αA2 (t)+βB (t)−γA(t)B(t)+αW12 (Z)(t)+βW22 (Z)(t)+γW32 (Z)(t) (2.58) Dễ thấy γ − 4αβ = − 4∆ (a12 a21 + a11 a22 )[(a222 + a221 )y ∗ + (a211 + a212 )x∗ ] + 2(a222 + a221 )(a211 + a212 )x∗ y ∗ (a11 x∗ + a22 y ∗)2 (a11 a22 + a12 a21 )2 Khi đó, ta có W (t) > Từ (2.51), kết hợp với (2.53), (2.57) (2.58) ta có: dW (t) ≤ −η1 u2 − η2 v , dt (2.59) η1 = r1 − αp11 − βp21 − γq1 η2 = r2 − αp12 − βp22 − γq2 Từ bất đẳng thức (2.44) ta thấy η1 > 0, η2 > Đặt η = {η1 , η2 }, từ (2.44) ta suy t W (t) + η [u2 (s) + v (s)]ds ≤ W (T ) với t ≥ T (2.60) T u2 (t) + v (t) ∈ L1 [T, ∞) Dễ thấy từ (2.43) tính bị chặn Z(t), ta suy lim u2 (t) + v (t) = t→∞ nghiệm tầm thường hệ (2.43) ổn định tiệm cận địa phương Ví dụ 2.5 Xét phương trình   dx = A(t)x + f (t, x ), t ≥ t dt  x(t) = ϕ(t), −h ≤ t ≤ (2.61) A(t) ∈ L(H) thỏa mãn điều kiện A(t) = −A∗ (t), ∀t ∈ R+ f : R+ ×H → H liên tục mạnh thỏa mãn điều kiện Lipchitz ||f (t, x) − f (t, y)|| ≤ α(t)||x − y|| 52 Mệnh đề 2.2 Nghiệm tầm thường x(t) ≡ phương trình (2.61) ổn định Chứng minh Kí hiệu (U(t, s))t≥s họ toán tử tiến hóa sinh A(t) xác định t U(t, s)x = x + A(τ )U(τ, s)xdτ s Khi đó, áp dụng bổ đề Gronwall - Belman ta có (2.62) sup ||U(t, s)|| ≤ M t≥s≥0 Mặt khác, nghiệm phương trình (2.61) xác định  t   x(t) = U(t, 0)ϕ(0) + U(t, τ )f (t, xτ )dτ, t ≥ 0   x(t) = ϕ(t), (2.63) −h ≤ t ≤ Chú ý rằng, kí hiệu C = C(R+ , H) x(t) ∈ C , áp dụng nguyên lí ánh xạ co với chuẩn Bielecki không gian B = C([0, T ], C) tồn nghiệm phương trình vi phân có chậm (2.61) Bây giờ, ta nghiệm tầm thường x(t) ≡ phương trình (2.61) ổn định Thật vậy: Ta có t ||x(t)||C ≤ ||U(t, 0)||.||ϕ(0)|| + ||U(t, τ )||.||f (τ, xτ )||dτ t ≤ M.||ϕ(0)|| + M α(t)||xτ ||dτ t ≤ M.||ϕ(0)|| + M α(t)||xτ ||C dτ Áp dụng bổ đề Gronwall - Belman, ta có ||x(t)||C ≤ M||ϕ(0)||.eM t α(τ )dτ Như vậy: ||x(t)|| ≤ M||ϕ(0)||.eM 53 t α(τ )dτ ≤ M ∗ ||ϕ(0)|| KẾT LUẬN Luận văn trình bày cách chi tiết dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình vi phân không gian Hilbert Nội dung luận văn bao gồm: Trình bày dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình vi phân không gian Banach Trình bày dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình vi phân không gian Hilbert Đóng góp luận văn nghiên cứu tính ổn định nghiệm phương trình vi phân không gian vô hạn chiều thông qua việc nghiên cứu tính ổn định nghiệm phương trình vi phân không gian hữu hạn chiều phương pháp rút gọn hệ phương trình dạng tam giác Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Thế Hoàn - Phạm Phu, Cơ sở phương trình vi phân lý thuyết ổn định, NXB Giáo dục (2000) [2] G Belickii , Equivalence and normal forms of smooth mappings, Russian Math Surveys 33 (1978), 107 - 177 [3] C Chicone and Yu Latushkin , Evolution Semigroups in Dynamics Systems and Differential Equations, Mathematical Surveys and Monographs 70 Surveys, Amer Math Soc., 1999 [4] E.Coddington and N Levinson, Theory of Ordinary Differential Equations, McGraw - Hill, 1955 [5] Ju Dalecki and M Krein , Stability of Solutions of Differential Equation on Banach Space, Translation of Mathematical Monographs 43, Amer Math Soc., 1974 [6] Luis Barreira - Claudia Valls , Stability of Nonautonomous differential Equation , Springer - Verlag Berlin Heidelgerg 2008 [7] A Lyapunov, The General Problem of the Stability of Motion , Taylor and Francis, 1922 [8] J Massera and J.Schaffer, Linear Differential Equations and Function Spaces , Pure and Applied Mathematics 21, Academic Press, 1966 Tài liệu tham khảo [9] 56 G Sell and Y You, Dynamics of Evolutionary Equations , Applied Mathematical Sciences 143, Springer, 2002 [...]... thì nghiệm x(t) ≡ 0 là song ổn định 2.2 Tính ổn định nghiệm của các phương trình vi phân với dạng tam giác trên trong tôpô yếu 2.2.1 Không gian L(H) và các khái niệm tôpô yếu, tôpô mạnh và tôpô đều Cho H là không gian Hilbert thực tách được (ta cũng coi H là không gian Hilbert phức tương ứng) Kí hiệu L(H) là không gian của các toán tử tuyến tính giới nội trên H Giả sử B(t) ∈ L(H) Khi đó, ta có các. .. là duy nhất và là nghiệm toàn cục Như vậy, từ bài toán (2.12) trong không gian vô hạn chiều, ta có thể đưa về bài toán trong không gian hữu hạn chiều 2.2.4 Tính ổn định nghiệm của phương trình vi phân dạng tam giác trên trong không gian Hilbert Xét phương trình x˙ = A(t)x (2.30) trong đó x ∈ H; t ≥ t0 ; A ∈ C(R+ , L(H)) Giả sử J = {nm : nm ∈ N, m = (1, 2, )} là dãy con đơn điệu tăng của N Kí hiệu Hm... tính chất nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính có nhiễu 1.2.1 Sự tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính có nhiễu trong không gian Banach Xét phương trình x(t) ˙ = A(t)x + f (t, x) (1.9) với A(t) là toán tử tuyến tính liên tục và liên tục theo t và f (t, x) : [a, b] × X → X là hàm thỏa mãn điều kiện Lipchitz (1.2) 11 Hệ quả 1.3 Phương trình vi phân (1.9) luôn có nghiệm duy... Bổ đề 1.5 Phương trình t W (t, t0 )y0 = U(t, t0 )y0 + U(t, τ )B(τ )W (τ, t0 )y0 dτ t0 có nghiệm duy nhất là y(t) = W (t, t0 )y0 Chứng minh: Tính duy nhất nghiệm được suy ra trực tiếp từ bổ đề 1.1 và 1.3 Nhận xét 1.1 W (t; s) : X → X với (t; s) ∈ ∆τ0 là họ các toán tử bị chặn mũ thỏa mãn các điều kiện của định lí 1.3 22 Chương 2 Dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình vi phân trong không gian Hilbert 2.1... 2.1.1 Phương trình vi phân trong không gian Hilbert Sự tồn tại duy nhất nghiệm Cho H là không gian Hilbert tách được với cơ sở trực chuẩn là {en }∞ 1 Khi đó, với mỗi x ∈ H , ta có ∞ ej xj = (x1 ; x2 ; .; xn ; ) x= j=0 Trong H ta xét PTVP dx = f (t, x) dt (2.1) Trong đó, f : [a; b] × H → H với t ∈ [a; b], x ∈ H Như vậy, trong cơ sở trực chuẩn này thì PTVP (2.1) có thể vi t được dưới dạng hệ vô hạn các. .. được mạnh và khả tích địa phương, L(t) là hàm khả tích địa phương nên theo định lí tồn tại duy nhất nghiệm thì phương trình (1.9) có nghiệm duy nhất Sau đây, chúng ta sẽ chỉ rõ công thức nghiệm và một vài đánh giá nghiệm trên khoảng vô hạn của phương trình vi phân sau trong không gian Banach X : dx = A(t)x + f (t), t ∈ R+ dt (1.10) Giả sử hàm x(t), A(t) ∈ L(X) nhận giá trị trong X với X là đo được mạnh... lí ánh xạ co thì phương trình vi phân (1.1) có nghiệm duy nhất Xét phương trình vi phân x(t) ˙ = f (t, x) (1.4) x(t0 ) = x0 Định lý 1.2 Xét f : [a, b] × G → X liên tục thỏa mãn điều kiện Lipchitz (1.2) ||f (t, x) − f (t, y)|| ≤ L(t)||x − y|| trong đó L(t) : [a, b] → R+ khả tích địa phương mà sup |L(t)| ≤ L0 < +∞, G là a≤t≤b một miền mở trong X Khi đó , phương trình vi phân (1.4) có nghiệm duy nhất 9... của R+ Nghiệm của phương trình tích phân t x(t) = x0 + t A(τ )x(τ )dτ + t0 f (τ )dτ (1.11) t0 với x0 = x(t0 ) là nghiệm của (1.10) Nếu f (t) liên tục và A(t) là liên tục mạnh thì nghiệm của (1.11) là khả vi liên tục tại mọi t ∈ I và thỏa mãn (1.10) với mọi t ∈ I Xét phương trình vi phân tổng quát t A(τ )x(τ )dτ x(t) = g(t) + (1.12) t0 với g(t) = x0 + t f (τ )dτ , ta sẽ chỉ ra rằng (1.12) có một nghiệm. .. trái, tính ổn định về bên phải và tính song ổn định nghiệm tầm thường của phương 26 trình vi phân: Xét phương trình dx = A(t)x dt với A(t) đo được mạnh và khả tích Bochner t ≥ 0 (2.7) Phương trình (2.7) được gọi là ổn định (nói riêng là ổn định bên phải) nếu mọi nghiệm của nó bị chặn trên nửa khoảng [0; ∞) Bổ đề 2.1 Điều kiện cần và đủ để phương trình (2.7) ổn định là toán tử Cauchy của nó bị chặn đều... dàng chỉ ra (2.12) có nghiệm duy nhất x(t) và nghiệm này là nghiệm toàn cục theo thời gian dương Số mũ Lyapunov λ : H → R ∪ {+∞} của phương trình (2.12) được xác định bởi: 1 log||v(t)|| t→+∞ t λ(v0 ) = lim sup (2.13) với quy ước log0 = −∞ Ta cố định một dãy tăng các không gian con H1 ⊂ H2 ⊂ ., dimHn = n với mỗi n ∈ N bao đóng hợp các không gian con đó chính là H Do Hn là không gian vector hữu hạn chiều ... chương: chương trình bày dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình vi phân không gian Banach, chương hai trình bày dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình vi phân không gian Hilbert số ví dụ áp dụng... định lí 1.3 22 Chương Dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình vi phân không gian Hilbert 2.1 2.1.1 Phương trình vi phân không gian Hilbert Sự tồn nghiệm Cho H không gian Hilbert tách với sở trực... phương trình so sánh tích phân Dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình vi phân không gian Hilbert 2.1 Phương trình vi phân không gian Hilbert 2.1.1 Sự tồn nghiệm