SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM LYAPUNOV VÀ PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ THỨ NHẤT ĐỂ NGHIÊN CỨU TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

Header Page of 126 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ THỊ THANH TUYẾT SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM LYAPUNOV VÀ PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ THỨ NHẤT ĐỂ NGHIÊN CỨU TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - Năm 2011 Footer Page of 126 Header Page of 126 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ THỊ THANH TUYẾT SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM LYAPUNOV VÀ PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ THỨ NHẤT ĐỂ NGHIÊN CỨU TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS ĐẶNG ĐÌNH CHÂU Hà Nội - Năm 2011 Footer Page of 126 Header Page of 126 Mục lục Lời nói đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Banach không gian Hilbert 1.1.1 Không gian Banach 1.1.2 Không gian Hilbert 1.2 Toán tử tuyến tính 1.3 Phổ toán tử tuyến tính 1.4 Nửa nhóm liên tục mạnh không gian Banach toán tử sinh 10 1.4.1 Nửa nhóm liên tục mạnh không gian Banach 10 1.4.2 Toán tử sinh nửa nhóm liên tục mạnh 13 Sự ổn định phương trình vi phân không gian Hilbert 15 2.1 Phương trình vi phân không gian Hilbert 15 2.2 Sự ổn định theo Lyapunov phương trình vi phân không gian Hilbert 17 2.3 2.2.1 Các khái niệm ổn định 17 2.2.2 Các định lý ổn định theo Lyapunov 18 Sự ổn định theo Lyapunov số phương trình vi phân có dạng đặc biệt không gian Hilbert 22 2.3.1 Các khái niệm J-ổn định 22 2.3.2 Các định lý J-ổn định theo Lyapunov 29 Footer Page of 126 Header Page of 126 2.4 Phương pháp xây dựng hàm Lyapunov 38 2.5 Toán tử tiến hóa phương trình vi phân 42 2.6 Sự ổn định phương trình vi phân theo phương pháp xấp xỉ thứ 45 Phương trình tiến hoá đặt chỉnh toán ứng dụng 49 3.1 Phương trình tiến hoá đặt chỉnh 49 3.2 Mô hình chung toán dân số 52 3.3 Mô hình cụ thể 55 Kết luận 58 Footer Page of 126 Header Page of 126 Lời nói đầu Lý thuyết ổn định phận quan trọng lý thuyết định tính phương trình vi phân (LTDTCPTVP) Một hướng nghiên cứu quan trọng nhiều người quan tâm LTDTCPTVP lý thuyết ổn định theo Lyapunov (1857-1918) Dù trải qua thời gian dài lý thuyết ổn định lĩnh vực nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu thu nhiều thành tựu quan trọng Đồng thời lý thuyết ổn định ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực: Vật lý, Khoa học kỹ thuật công nghệ, Sinh thái học, Để nghiên cứu dáng điệu nghiệm phương trình vi phân không gian Hilbert sử dụng nhiều phương pháp khác nhau, nhiên khuôn khổ luận văn thạc sỹ toán học, luận văn sử dụng hai phương pháp phương pháp Lyapunov phương pháp nửa nhóm Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn chia thành ba chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị: Trình bày số kiến thức giải tích hàm nửa nhóm toán tử tuyến tính không gian Banach sử dụng chương sau Chương 2: Trình bày khái nệm ổn định phương trình vi phân không gian Hilbert theo phương pháp hàm Lyapunov xấp xỉ thứ Đồng thời thông qua việc xét lớp hệ phương trình vi phân có dạng đặc biệt (dạng "tựa tam giác") đưa khái niệm ổn định phần (J ổn Footer Page of 126 Header Page of 126 định) cho hệ vô hạn phương trình vi phân xác lập mối quan hệ tính ổn định theo Lyapunov J -ổn định Ngoài ra, chương trình bày phương pháp xây dựng hàm Lyapunov cho số hệ phương trình vi phân tuyến tính dạng đơn giản Chương 3: Trong chương trình bày số kiến thức phương trình tiến hóa đặt chỉnh sử dụng phương pháp nửa nhóm toán tử tuyến tính liên tục mạnh không gian Banach để nghiên cứu toán ứng dụng mô hình dân số phụ thuộc tuổi Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn tới PGS TS Đặng Đình Châu, người thầy tận tình hướng dẫn tác giả suốt trình hoàn thành luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, Phòng Sau Đại Học, Khoa Toán - Cơ - Tin học trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập trường Luận văn tránh khỏi thiếu sót, hạn chế Tác giả mong nhận góp ý quý bạn đọc Footer Page of 126 Header Page of 126 Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.1.1 Không gian Banach không gian Hilbert Không gian Banach Định nghĩa 1.1.1 X không gian định chuẩn trường K, tức x ∈ X có xác định số không âm ||x||, gọi chuẩn x, thỏa mãn điều kiện sau: • ||x|| ≥ 0, ∀x ∈ X; • ||λx|| = |λ|||x||, ||x|| = ⇔ x = 0; ∀λ ∈ K, x ∈ X; • ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||, ∀x, y ∈ X Định nghĩa 1.1.2 Không gian X gọi đầy đủ dãy Cauchy X dãy hội tụ (tức là, {xn }∞ n=1 dãy Cauchy X tồn x0 ∈ X mà xn → x0 (n → ∞)) Định nghĩa 1.1.3 Nếu không gian tuyến tính định chuẩn (X, ||.||) không gian đầy đủ (X, ||.||) gọi không gian Banach Định lý 1.1.1 (Định lý Banach-Steinhaus) Một họ bị chặn điểm phép toán liên tục tuyến tính từ không gian Banach X vào không gian định chuẩn bị chặn Định lý gọi nguyên lý bị chặn Footer Page of 126 Header Page of 126 1.1.2 Không gian Hilbert Định nghĩa 1.1.4 (Không gian tiền Hilbert) Không gian tuyến tính X xác định trường số thực gọi không gian tiền Hilbert x, y ∈ X, xác định số (x, y) gọi tích vô hướng x y thỏa mãn tiên đề • Xác định dương: (x, x) ≥ với ∀x ∈ X Đẳng thức xảy x = • Đối xứng: (x, y) = (y, x) với ∀x, y ∈ X • Song tuyến tính: (αx + βy, z) = α(x, z) + β(y, z) với ∀α, β ∈ R, ∀x, y, z ∈ X Định nghĩa 1.1.5 (Không gian Hilbert) Không gian Hilbert không gian tiền Hilbert đầy đủ 1.2 Toán tử tuyến tính Định nghĩa 1.2.1 (Toán tử tuyến tính) Giả sử X, Y không gian tuyến tính định chuẩn, toán tử A tác dụng từ không gian X vào không gian Y gọi tuyến tính nếu: ∀x, y ∈ X; ∀α, β ∈ K A(αx + βy) = αAx + βAy (trong K trường số) Một số tính chất toán tử A0 = A(−x) = −Ax A(tx) = tAx ∀t ∈ R Footer Page of 126 Header Page of 126 Định nghĩa 1.2.2 Toán tử tuyến tính A gọi liên tục x0 ∈ X với dãy xn hội tụ đến x0 , ta có Axn → Ax0 (n → ∞) Định lý 1.2.1 Nếu toán tử tuyến tính A liên tục điểm x0 ∈ X A liên tục điểm x ∈ X Như để kiểm tra tính liên tục toán tử tuyến tính A (trong toàn không gian) ta cần kiểm tính liên tục x = Định nghĩa 1.2.3 (Toán tử tuyến tính giới nội) Giả sử X, Y không gian Banach Toán tử A : X → Y gọi toán tử tuyến tính giới nội (bị chặn) A toán tử tuyến tính đưa tập giới nội vào tập giới nội Xuyên suốt khoá luận ta kí hiệu L(X) không gian toán tử tuyến tính giới nội X Định lý 1.2.2 Toán tử tuyến tính A liên tục giới nội Định lý 1.2.3 Giả sử X, Y không gian Banach A : X → Y toán tử tuyến tính Điều kiện cần đủ để toán tử A giới nội tồn số c > cho: Ax c x ∀x ∈ X Định nghĩa 1.2.4 Giả sử X, Y không gian Banach Chuẩn A toán tử tuyến tính liên tục A : X → Y đại lượng: A = sup x 1.3 Ax = sup x=0 Phổ toán tử tuyến tính Giả sử X không gian Banach Footer Page of 126 Ax x Header Page 10 of 126 Định nghĩa 1.3.1 Xét toán tử tuyến tính A : D(A) ⊂ X → X với tập xác định D(A), D(A) không gian vector X - Điểm λ ∈ C gọi giá trị quy A (λI − A) song ánh D(A) X đồng thời (λI − A)−1 ∈ L(X) - Tập giá trị quy, ký hiệu ρ(A) gọi tập giải toán tử A - Tập hợp điểm giá trị quy A gọi phổ toán tử A (kí hiệu σ(A)) Ta có σ(A) = C \ ρ(A) - Toán tử R(λ, A) = (λI − A)−1 gọi toán tử giải giải thức toán tử A Nếu A toán tử đóng (λI − A) toán tử đóng (do λI liên tục) Do (λI − A)−1 tồn toán tử đóng Suy (λI − A) song ánh D(A) X , A toán tử đóng theo định lý đồ thị đóng (λI − A)−1 liên tục Vậy toán tử đóng định nghĩa phổ phát biểu lại là: ρ(A) = λ ∈ C : λI − A song ánh D(A) X σ(A) = C\ρ(A) = {λ ∈ C : (λI − A) : D(A) → X không song ánh} Một số tính chất phổ Định lý 1.3.1 Nếu toán tử A phổ toàn mặt phẳng phức C A toán tử đóng Chứng minh Theo giả thiết, tồn λ ∈ / σ(A) Khi B = (λI − A)−1 ∈ L(X); B : X → D(A) Giả sử {xn }n ⊂ D(A): xn → x, Axn → y Đặt hn = (λI − A)xn Suy lim hn = λx − y n↓∞ Vì B liên tục nên B(λx − y) = lim Bhn = lim xn = x Suy x ∈ D(A) n↓∞ n↓∞ Ta có: (λI − A)x = (λI − A)B(λx − y) = λx − y Suy Ax = y Vậy A toán tử đóng Footer Page 10 of 126 Header Page 47 of 126 Chứng minh Giả sử s = 0, toán tử U2 (t) = U2 (t, 0) nghiệm hệ phương trình:   dU2 − A U dt U2 (0) = (A2 − A1 )U2 , = I Bài toán Cauchy (2.5) có nghiệm là: t U1 (t, τ )[A2 (τ ) − A1 (τ )]U2 (τ )dτ U2 (t) = U1 (t, 0) + (2.53) Đặt φ(t) := ||U2 (t)||, theo bất đẳng thức (2.50) ta có t φ(t) ≤ N e−ν1 t + N e−ν1 (t−τ ) p(τ )φ(τ )dτ, p(t) = ||A2 (t) − A1 (t)|| Từ theo bổ để 2.5.1 suy ||U2 (t)|| ≤ N e−ν1 teN t ||A2 (τ )−A1 (τ )||dτ ta có (2.52) Từ (2.52) (2.53) suy t ||U2 (t) − U1 (t)|| ≤ ||U1 (t, τ )||.||A2 (τ ) − A1 (τ )||.||U2 (τ )||dτ t e−ν1 (t−τ ) p(τ )N e−ν1 τ eN ≤N τ p(s)ds dτ t = N e−ν1 t N p(τ )eN N = N e−ν1 t (e t p(s)ds τ p(s)ds dτ − 1) Từ suy (2.51) Mệnh đề chứng minh 2.6 Sự ổn định phương trình vi phân theo phương pháp xấp xỉ thứ Xét phương trình dx = A(t)x + R(t, x) dt 45 Footer Page 47 of 126 (2.54) Header Page 48 of 126 A(t) toán tử tuyến tính giới nội, liên tục theo t, hàm R(t, x) thỏa mãn miền G = {x : x ∈ H, ||x|| ≤ h ≤ r < +∞} điều kiện ||R(t, x)|| ≤ L||x|| (2.55) Ký hiệu U (t, τ ) toán tử Cauchy phương trình dx = A(t)x; dt (2.56) ||U (t, t0 )|| ≤ Be−α(t−t0 ) , (2.57) giả sử có bất đẳng thức B, α số dương, không phụ thuộc vào t0 điều kiện để nghiệm tầm thường x ≡ phương trình (2.56) ổn định mũ Định lý 2.6.1 (Về ổn định theo xấp xỉ thứ nhất) Nếu điều kiện (2.55) (2.57) thỏa mãn số α, B, L thỏa mãn bất đẳng thức λ = α − BL > (2.58) nghiệm tầm thường x ≡ phương trình (2.54) ổn định mũ Chứng minh: Thậy vậy, xét phương trình tích phân tương đương với phương trình (2.54) t x(t) = U (t, t0 )x0 + U (t, τ )R(τ, x)dτ (2.59) t0 Từ điều kiện (2.55) (2.57) ta có đánh giá t ||x(t)|| ≤ B.e−α(t−t0 ) ||x0 || + BL.e−α(t−s) ||x(s)||ds t0 Nếu đưa vào ký hiệu ϕ(t) = eαt ||x(t)|| từ (2.60) ta suy t ϕ(t) ≤ Be −αt0 ||x0 || + BL ϕ(s)d(s), t0 46 Footer Page 48 of 126 (2.60) Header Page 49 of 126 từ theo bổ đề Gronwall-Bellman ta nhận ϕ(t) ≤ eBL(t−t0 ) Be−αt0 ||x0 || Vậy ta có: ||x(t)|| ≤ Be(BL−α)(t−t0 ) ||x0 || (2.61) Vì BL − α < nên ta có ổn định mũ cần chứng minh Cùng với toán tử tuyến tính A(t) ta xét toán tử tuyến tính F (t) khác Hệ 2.6.1 Nếu có bất đẳng thức (2.57) thỏa mãn có bất đẳng thức ||F (t)|| ≤ L (0 ≤ t < ∞) Ngoài ra, đại lượng α, B, L thỏa mãn điều kiện (2.58) nghiệm tầm thường x ≡ phương trình dx = (A(t) + F (t))x dt (2.62) ổn định mũ Bây xét ổn định nghiệm tầm thường x ≡ phương trình (2.54) với điều kiện nhiễu loạn tác dụng thường xuyên Cùng với phương trình (2.54) ta xét phương trình dx = A(t)x + R(t, x) + q(t, x) dt (2.63) Trước tiên, giả sử miền G, điều kiện (2.55), (2.57) (2.58) thỏa mãn Ngoài giả sử miền G, hàm q(t, x) thỏa mãn bất đẳng thức ||q(t, x)|| ≤ r(t)||x(t)||, (2.64) r(t) hàm thỏa mãn ∞ ||r(t)|| = γ < +∞, (2.65) R(t, 0) = 0, q(t, 0) = (2.66) Khi ta có định lý sau: 47 Footer Page 49 of 126 Header Page 50 of 126 Định lý 2.6.2 Giả sử điều kiện (2.55), (2.57), (2.64), (2.65), (2.66) thỏa mãn Khi đó, với L đủ nhỏ (cL < α) nghiệm tầm thường phương trình (2.63) ổn định mũ, có đánh giá ||x(t)|| ≤ c.exp{cγ − (α − cL)(t − τ )}||x(τ )|| Chứng minh Giả sử x(t) nghiệm (2.63) t x(t) = U (t, τ )x(τ ) + U (t, s)[R(s, x(s)) + q(s, x(s))]ds, τ t ||x(t)|| ≤ c.e−α(t−τ ) ||x(τ )|| + c.e−α(t−s) (L + r(s))||x(s)||ds, τ suy t α(t−τ ) ||x(t)||e [cL + cr(s)]eα(s−τ ) ||x(t)||ds ≤ c||x(τ )|| + τ Theo bổ đề Gronwall-Bellman ta có ||x(t)||eα(t−τ ) ≤ c||x(τ )||e t [cL+cr(s)]ds τ , suy ||x(t)|| ≤ c||x(τ )||e−α(t−τ ) e t [cL+cr(s)]ds τ ||x(t)|| ≤ c||x(τ )||e[cγ−(α−cL)](t−τ ) Từ ta có điều phải chứng minh 48 Footer Page 50 of 126 Header Page 51 of 126 Chương Phương trình tiến hoá đặt chỉnh toán ứng dụng 3.1 Phương trình tiến hoá đặt chỉnh Trong phần giới thiệu lại cách tóm tắt kết phương trình tiến hóa đặt chỉnh đặt chỉnh không gian Banach, với mục đích để tiện lợi phần mô hình ứng dụng cho toán dân số phụ thuộc tuổi Các nội dung phần trích dẫn [4] [6] Xét toán Cauchy trừu tượng (ACP ) u(t) = Au(t) ∀t ≥ 0, u(0) = x, t biến độc lập, biểu diễn cho thời gian, u(.) hàm nhận giá trị không gian Banach X , A : D(A) ⊂ X → X toán tử tuyến tính, x ∈ X giá trị ban đầu Định nghĩa 3.1.1 Hàm u : R+ → X gọi nghiệm (cổ điển) toán (ACP ) u khả vi liên tục, u(t) ∈ D(A) với t ≥ thỏa mãn (ACP ) Mệnh đề 3.1.1 (xem [4], tr.145) Cho (A, D(A)) toán tử sinh nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 Khi với x ∈ D(A), hàm u : t → T (t)x nghiệm (cổ điển) toán (ACP ) 49 Footer Page 51 of 126 Header Page 52 of 126 Chứng minh Dễ dàng suy từ mệnh đề 1.4.4, ii Định nghĩa 3.1.2 Hàm u : R+ → X gọi nghiệm yếu (mild solution) t u(s)ds ∈ D(A) với t ≥ toán (ACP ) t u(s)ds + x u(t) = A Định lý 3.1.1 (xem [4], tr.146) Cho (A, D(A)) toán tử sinh nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 Khi với x ∈ X , hàm u : t → T (t)x nghiệm yếu toán (ACP ) Định lý 3.1.2 (xem [5], tr.112) Cho A : D(A) ⊂ X → X toán tử đóng Xét toán Cauchy trừu tượng (ACP ) u(t) = Au(t) ∀t ≥ 0, u(0) = x Khi tính chất sau tương đương (i) A toán tử sinh nửa nhóm liên tục mạnh (ii) Với x ∈ D(A), tồn nghiệm u(., x) toán (ACP ) ρ(A) = ∅ (iii) Với x ∈ D(A), tồn nghiệm u(., x) toán (ACP ), A có miền xác định trù mật với dãy { xn } +∞ n=1 ⊂ D(A) : lim xn = tồn n↓+∞ nghiệm u(t, xn ) cho: lim u(t, xn ) = [0, t0 ] n↓+∞ Định nghĩa 3.1.3 (Bài toán Cauchy đặt chỉnh) Bài toán Cauchy trừu tượng (ACP ) u(t) = Au(t) ∀t ≥ 0, u(0) = x, với toán tử đóng A : D(A) ⊂ X → X gọi đặt chỉnh với x ∈ D(A), tồn nghiệm u(t, x) (ACP ), A có miền xác định trù mật, đồng 50 Footer Page 52 of 126 Header Page 53 of 126 thời với dãy {xn }∞ n=0 ⊂ D(A) : lim xn = 0, ta có lim u(t, xn ) = n→∞ n→∞ khoảng compact [0, t0 ] Mệnh đề 3.1.2 (xem [4]) Cho toán tử đóng A : D(A) ⊂ X → X , toán (ACP ) đặt chỉnh A toán tử sinh nửa nhóm liên tục mạnh X Trong trường hợp nghiệm toán (ACP ) cho u(t) = T (t)x, t ≥ Tương tự, sau xét toán đặt chỉnh cho phương trình vi phân tuyến tính không autonom x(t) = A(t)x ≤ t ≤ T, (3.1) A(t) toán tử tuyến tính không giới nội Giả sử với t ∈ [0, T ] toán tử A(t) có miền xác định D(A(t)) = D(A) miền đóng trù mật X Với t0 ∈ [0, T ] xét toán Cauchy tìm nghiệm x = x(t) (3.1) [t0 , T ] thỏa mãn điều kiện ban đầu x(t0 ) = x0 ∈ D(A) (3.2) Chúng ta có khái niệm toán Cauchy đặt chỉnh sau: Định nghĩa 3.1.4 Bài toán Cauchy (3.1)-(3.2) gọi đặt chỉnh 1) Với t0 ∈ [0, T ] x0 ∈ D(A) tồn nghiệm x(t) (3.1) [t0 , T ] thỏa mãn phương trình (3.2) 2) Nghiệm x(t) đạo hàm x(t) ˙ hàm liên tục theo t t0 , ≤ t0 ≤ t ≤ T 3) Nghiệm phụ thuộc liên tục điều kiện ban đầu theo nghĩa sau: x0,n ∈ D(A) hội tụ nghiệm xn (t) tương ứng hội tụ theo t, t0 ∈ [0, T ] Cùng với phương trình (3.1) xét phương trình vi phân có nhiễu dạng x(t) = A(t)x + B(t)x, 51 Footer Page 53 of 126 (3.3) Header Page 54 of 126 B(t) A(t)B(t)A−1 (t) giới nội liên tục mạnh với t ∈ [0, T ] Trong ([6]) chứng minh định lý sau: Định lý 3.1.3 (xem [6], tr.198) Giả sử toán Cauchy phương trình (3.1) đặt chỉnh điều kiện sau thỏa mãn: 1) ||A(0)A−1 (s)|| ≤ M 0≤s≤t 2) B(t) A(t)B(t)A−1 (t) giới nội liên tục mạnh với t ∈ [0, T ] Khi toán Cauchy phương trình (3.3) đặt chỉnh 3.2 Mô hình chung toán dân số Trong nhiều năm gần lý thuyết nửa nhóm có nhiều ứng dụng lý thuyết định tính phương trình vi phân mô hình ứng dụng (xem [5, 7]) Để khả ứng dụng phương pháp xét mô hình dân số phụ thuộc vào tuổi sau đây: Ký hiệu L1 := L1 ([0, ∞); Rn ) không gian Banach hàm khả tích Lebesgue hầu khắp nơi từ [0, ∞) vào Rn , với chuẩn ∞ ||φ||L1 = |φ(a)|da, φ ∈ L1 Giả sử T > LT := C([0, T ]; L1 ) không gian Banach hàm liên tục từ [0, T ] vào L1 với chuẩn: ||l||LT = sup ||l(t)||L1 , l ∈ LT 0≤t≤T Giả sử ≤ t ≤ T , a > 0, với l ∈ LT ký hiệu l = l(a, t) số lượng cá thể có tuổi a thời điểm t Chú ý ([7]) phần tử LT đồng với phần tử L1 ((0, ∞) × [0, T ]; Rn ) Ký hiệu P (t) tổng số cá thể quần thể thời điểm t Ta có ∞ P (t) = l(a, t)da 52 Footer Page 54 of 126 Header Page 55 of 126 Xét thay đổi dân số khoảng thời gian [t, t + h] ta có ∞ P (t + h) − P (t) = h h ∞ l(a, t + h)da − h = h h = h l(a, t)da ∞ l(a, t + h)da + h h l(a, t + h)da − h ∞ l(a, t)da ∞ l(a, t + h)da + h l(a + h, t + h) − l(a, t)da Cho h → 0+ , đặt F (l(a, t)) = G(l(a, t)) = h h l(a, t + h)da, (l(a + h, t + h) − l(a, t)) h Ta có d P (t) = F (l(a, t)) + dt ∞ (3.4) G(l(a, t))da, Ở hàm F tốc độ sinh trưởng (birth function) hàm G hàm lão hóa (aging function) Theo luật cân dân số ta lại có ∞ |h−1 [l(a + h, t + h) − l(a, t)] − G(l(a, t))|da = 0, lim h→0+ 0≤t≤T (3.5) theo luật sinh trưởng (birth law) ta có h −1 |l(a, t + h) − F (l(a, t))|da = 0, lim h h→0+ 0≤t≤T (3.6) phân bố tuổi mô hình cho l(., 0) = φ Khi đó, ta có định nghĩa nghiệm toán dân số (ADP) sau: Định nghĩa 3.2.1 Giả sử T > l ∈ LT , gọi l nghiệm toán (ADP) [0, T ] l thỏa mãn (3.4), (3.5), (3.6) Giả sử toán tử vi phân D xác định Dl(a, t) = lim h−1 [l(a + h, t + h) − l(a, t)] h→0+ 53 Footer Page 55 of 126 Header Page 56 of 126 Chú ý giả thiết l = l(a, t) khả vi liên tục ta có Dl(a, t) = ∂l ∂l (a, t) + (a, t) ∂t ∂a Từ lý luận ta thấy nghiệm l = l(a, t) toán dân số xác định Dl(a, t) = G(l(a, t)), t ∈ [0, T ], l(0, t) = F (l(a, t)), a≥0 t ∈ [0, T ] (3.7) (3.8) Trong ([7]) G.F.Webb sử dụng phương pháp nửa nhóm phi tuyến để nghiên cứu toán dân số Sau trình bày tóm tắt kết phương pháp sau: Giả sử hàm sinh F hàm lão hóa G hàm liên tục tập bị chặn không gian L1 thỏa mãn điều kiện Lipshitz, tức là: i) F : L1 → Rn thỏa mãn điều kiện: |F (φ1 ) − F (φ2 )| ≤ c1 (r)||φ1 − φ2 ||L1 , với φ1 , φ2 ∈ L1 , c1 : [0, ∞) → [0, ∞) hàm liên tục không tăng ii) G : L1 → L1 thỏa mãn điều kiện: ||G(φ1 ) − G(φ2 )|| ≤ c2 (r)||φ1 − φ2 ||L1 , với φ1 , φ2 ∈ L1 , c2 : [0, ∞) → [0, ∞) hàm liên tục không tăng Để tồn nghiệm hệ (ADP) cần sử dụng mệnh đề sau: Mệnh đề 3.2.1 Giả sử hàm F G thỏa mãn điều kiện i), ii) Với T > φ ∈ L1 Khi l ∈ L1 nghiệm (3.7)-(3.7) [0, T ] l nghiệm toán ADP [0, T ] Chứng minh xem trang 29 tài liệu ([7]) 54 Footer Page 56 of 126 Header Page 57 of 126 Mệnh đề 3.2.2 Giả sử hàm F G thỏa mãn điều kiện i), ii) trên, r > Khi tồn T > cho φ ∈ L1 ||φ||L1 ≤ r tồn hàm l ∈ LT cho l nghiệm (3.7)-(3.8) [0, T ] Chứng minh Xem trang 31 tài liệu ([7]) Từ mệnh đề ta chứng minh định lý tồn nghiệm toán ADP sau Định lý 3.2.1 Giả sử hàm F G thỏa mãn điều kiện i), ii) trên, φ ∈ L1 Khi tồn T > l ∈ LT cho l nghiệm ADP [0, T ] Chứng minh Xem trang 39 tài liệu ([7]) 3.3 Mô hình cụ thể Trong phần xét ứng dụng phương pháp nửa nhóm toán tử tuyến tính không gia Banach để nghiên cứu mô hình dân số phụ thuộc vào tuổi dạng đơn giản (xem [5], tr.216) sau:  ∂l ∂l    (a, t) + (a, t) + µ(a)l(a, t) = với a, t ≥ 0, (AP E) ∂t l(0, t) = ∂a ∞ β(a)l(a, t)da   với t ≥ 0, với a ≥ l(a, 0) = l0 (a) t a biến thực không âm, l(., t) mô tả cấu trúc tuổi tập hợp cá thể thời điểm t, l0 cấu trúc tuổi ban đầu thời điểm t = 0, µ, β hàm dương, giới nội, biểu thị tỉ lệ tử tỉ lệ sinh tương ứng Trong ([5]) người ta không gian L1 (R+ ) xét không gian X := W 1,1 (R+ ) (xem [5]), đồng thời X ta xét toán tử tuyến tính A đóng, xác định trù mật sau: Al = −l − µl, l ∈ D(A) := l ∈ W 1,1 (R+ ) : l(0) = 55 Footer Page 57 of 126 ∞ β(a)l(a)da Header Page 58 of 126 toán dân số (APE) tương đương với toán Cauchy trừu tượng sau: (ACP ) x(t) ˙ = Ax(t) với t ≥ 0, x(0) = l0 , với x(t) := l(., t) Theo ([5]) (A, D(A)) toán tử sinh nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 (ACP) toán Cauchy đặt chỉnh Trong trường hợp nghiệm toán (APE) l(a, t) = (T (t)l0 )(a) Chú ý mô hình dân số (APE) xét trường hợp đơn giản mà hàm G(l(a, t)) biểu thức (3.7) lấy G(l(a, t)) = −µ(a)l(a, t) Bây xét mô hình phức tạp G(l(a, t)) = −µ(a)l(a, t) + α(t)l(a, t) Khi tương ứng với toàn (APE) ta có toán Cauchy có nhiễu tương ứng sau: (ACP (b)) u(t) ˙ = Au(t) + α(t)u(t) với t ≥ 0, u(0) = l0 u ∈ X , α(t) ∈ C (R+ ) thỏa mãn điều kiện sau đây: ∞ |α(t)|dt < +∞ Theo ([6]) (ACP(b)) toán Cauchy đặt chỉnh Tương ứng với toán ta xác định họ toán tử tiến hóa (U (t, s))t≥s≥0 thỏa mãn phương trình: t U (t, s) = T (t − s) + T (t − τ )α(τ )U (t, τ )dτ, t ≥ s ≥ s Sử dụng bổ để Gronwall-Bellman phương pháp chứng minh tương tự định lý 2.6.2 ta nhận kết sau: Định lý 3.3.1 Giả sử (T (t))t≥0 (U (t, s))t≥s≥0 C0 -nửa nhóm họ toán tử tiến hóa tương ứng với toán (ACP ) (ACP (b)) Khi ta có mệnh đề sau: 56 Footer Page 58 of 126 Header Page 59 of 126 a) Nếu (T (t))t≥0 C0 -nửa nhóm ổn định mũ (U (t, s))t≥s≥0 ổn định mũ, nghĩa tồn số dương C, λ cho ||U (t, s)|| ≤ Cexp{−λ(t − s)} với t ≥ s ≥ b) Nếu (T (t))t≥0 C0 -nửa nhóm giới nội (U (t, s))t≥s≥0 giới nội đều, tức ||U (t, s)|| ≤ M với t ≥ s ≥ Nhận xét a) Định lý tranh dáng điệu tiệm cận toán dân số phụ thuộc tuổi Cụ thể có tác động nhiễu không lớn cấu trúc dân số phân bố theo tuổi thay đổi đáng kể b) Bằng cách sử dụng phương pháp nửa nhóm xét thêm số toán dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình tiến hóa, chẳng hạn tương đương tiệm cận, cân tiệm cận toán phương trình vi phân tuyến tính có nhiễu dạng phức tạp 57 Footer Page 59 of 126 Header Page 60 of 126 Kết luận Trong luận văn trình bày nội dung sau: Phương trình vi phân không gian Hilbert phương pháp nghiên cứu tính ổn định theo Lyapunov: phương pháp hàm Lyapunov, phương pháp xấp xỉ thứ phương pháp xây dựng hàm Lyapunov cho số hệ phương trình vi phân dạng đơn giản Phương trình tiến hóa đặt chỉnh sử dụng phương pháp nửa nhóm để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận mô hình dân số phụ thuộc tuổi 58 Footer Page 60 of 126 Header Page 61 of 126 Tài liệu tham khảo [1] Phạm Kỳ Anh - Trần Đức Long, Giáo trình hàm thực giải tích hàm , NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội (2001) [2] E.A.Barbasin, Mở đầu lý thuyết ổn định (dịch từ nguyên tiếng Nga), NXB khoa học kỹ thuật (1967) [3] Ju.L,Daleckii and M.G.Krein, Stability of solutions of differential Equations in Banach Space,American Mathematical Society Providence, Rhode Island (1974) [4] K.J Engel-R.Nagel, One-Parameter Semigroups for linear evolution Equations, Springer verlog NewYork(2000) [5] K.-J Engel and R Nagel (2005), A short course on operator Semigroups, Springer-Verlag New York Berlin London Paris Tokyo Hong kong Barcelona Heidelberg Milan Singapore [6] S G Krein (1971), Linear differential equations in Banach space, American Mathematical society, Providence, Rhode Island 02904 [7] G.F.Webb, Theory of nonlinear age-dependent population dynamics, Pure and applied mathematics, a program of monographs, text books, and Lecture Notes (1982) [8] T.Yosizawa, Stability theory by Lyapunov’s second method, Copyright by mathematical Sociery of japan (1966) 59 Footer Page 61 of 126 ... HỌC TỰ NHIÊN LÊ THỊ THANH TUYẾT SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM LYAPUNOV VÀ PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ THỨ NHẤT ĐỂ NGHIÊN CỨU TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT Chuyên ngành: TOÁN GIẢI... 13 Sự ổn định phương trình vi phân không gian Hilbert 15 2.1 Phương trình vi phân không gian Hilbert 15 2.2 Sự ổn định theo Lyapunov phương trình vi phân không gian Hilbert ... Page 17 of 126 Chương Sự ổn định phương trình vi phân không gian Hilbert 2.1 Phương trình vi phân không gian Hilbert Cho H không gian Hilbert Trong H ta xét phương trình vi phân: dx(t) = f (t, x(t)),