Toán tử tuyến tính trong không gian hilbert

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Nguyễn Thị Dung TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH TRONG KHÔNG GIAN HILBERT KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Nguyễn Thị Dung TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH TRONG KHÔNG GIAN HILBERT Chuyên ngành: Toán giải tích KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS Hoàng Ngọc Tuấn Hà Nội – Năm 2017 Lời cảm ơn Trước trình bày nội dung khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Hoàng Ngọc Tuấn tận tình hướng dẫn để em hoàn thành đề tài Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể thầy cô giáo khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội dạy bảo em tận tình suốt trình học tập khoa Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè bên em, động viên, giúp đỡ em suốt trình học tập thực đề tài thực tập Hà Nội, ngày 23 tháng 04 năm 2017 Sinh viên Nguyễn Thị Dung i LỜI CAM ĐOAN Khóa luận kết thân em trình học tập nghiên cứu Bên cạnh em quan tâm thầy cô khoa Toán, đặc biệt hướng dẫn tận tình Tiến sĩ Hoàng Ngọc Tuấn Trong nghiên cứu hoàn thành khóa luận em tham khảo số tài liệu ghi phần tài liệu tham khảo Em xin khẳng định kết đề tài Toán tử tuyến tính không gian Hilbert trùng lặp với kết đề tài khác Hà Nội, ngày 23 tháng 04 năm 2017 Sinh viên Nguyễn Thị Dung Mục lục Lời mở đầu 1 Những khái niệm 1.1 Không gian định chuẩn không gian Banach 1.2 Toán tử tuyến tính 1.3 Không gian Hilbert Toán tử tuyến tính không gian Hilbert 2.1 Toán tử liên hợp toán tử tự liên hợp 2.2 Toán tử khả nghịch, toán tử chuẩn tắc, toán tử đẳng cự 6 toán tử Unita 12 2.3 Toán tử dương 18 2.4 Toán tử chiếu 25 2.5 Toán tử compact 32 i Lời mở đầu Lý chọn đề tài Toán học môn khoa học bắt nguồn từ nhu cầu giải toán có nguồn gốc thực tiễn Trong đó, giải tích lĩnh vực đóng vai trò quan trọng có ứng dụng thực tiễn Để nắm vững kiến thức giải tích nói riêng toán học nói chung, em chọn đề tài khóa luận tốt nghiệp: Toán tử tuyến tính không gian Hilbert Mục đích nghiên cứu Bước đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học tìm hiểu giải tích đặc biệt toán tử tuyến tính Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu toán tử tuyến tính Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lí luận, phân tích, tổng hợp đánh giá Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Dung Cấu trúc đề tài Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, khóa luận bao gồm chương: • Chương 1: Những khái niệm • Chương 2: Toán tử tuyến tính không gian Hilbert Tác giả khóa luận chân thành cảm ơn TS Hoàng Ngọc Tuấn tận tình hướng dẫn tác giả đọc tài liệu tập dượt nghiên cứu Tác giả chân thành cảm ơn thầy cô giáo Khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt tổ Giải tích, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trình học Đại học thực khóa luận Hà Nội, ngày 23/04/2017 Tác giả khóa luận Nguyễn Thị Dung Chương Những khái niệm 1.1 Không gian định chuẩn không gian Banach Định nghĩa 1.1 Một hàm x → x từ không gian vectơ E đến K gọi chuẩn thỏa mãn điều kiện sau: 1) x ≥ ∀x ∈ E, x = ⇔ x = 0; 2) λx =| λ | x ∀x ∈ E, λ ∈ K ; 3) x + y ≤ x + y ∀x, y ∈ E Định nghĩa 1.2 Không gian vectơ với chuẩn gọi không gian định chuẩn Định nghĩa 1.3 E không gian định chuẩn Dãy (xn ) phần tử E gọi hội tụ đến phần tử a ∈ E lim xn − a = n→∞ Định nghĩa 1.4 Dãy (xn ) dãy Cauchy không gian định chuẩn lim m,n→∞ xm − xn = Hay tương đương ∀ > 0, ∃n0 , ∀m, n ≥ n0 : xm − xn < Định nghĩa 1.5 Không gian tuyến tính định chuẩn E gọi không Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Dung gian Banach E với metric sinh chuẩn E không gian metric đầy 1.2 Toán tử tuyến tính Định nghĩa 1.6 Cho hai không gian tuyến tính X Y trường K Ánh xạ A từ không gian X vào không gian Y gọi tuyến tính A thỏa mãn điều kiện: 1) ∀x, y ∈ X : A(x + y) = Ax + Ay 2) ∀x ∈ X, ∀α ∈ K A(αx) = αAx Thường gọi ánh xạ tuyến tính toán tử tuyến tính Khi A thỏa mãn điều kiện 1) A gọi ánh xạ cộng tính Khi A thỏa mãn điều kiện 2) A gọi ánh xạ Khi Y = K A gọi phiếm hàm tuyến tính Định nghĩa 1.7 Cho X Y hai không gian định chuẩn Toán tử tuyến tính từ không gian định chuẩn X vào không gian Y gọi bị chặn tồn số c ≥ 0: Ax ≤ c x , ∀x ∈ X (1.1) Định nghĩa 1.8 Cho A toán tử tuyến tính từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y Hằng số c ≥ nhỏ thỏa mãn hệ thức (1.1) gọi chuẩn toán tử A Kí hiệu A Định lý 1.1 (Định lý mệnh đề tương đương) Cho A toán tử tuyến tính từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y Khi Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Dung mệnh đề sau tương đương: 1) A liên tục 2) A liên tục điểm x0 X 3) A bị chặn Định lý 1.2 Cho A toán tử tuyến tính từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y Nếu A bị chặn A = sup Ax x ≤1 1.3 Không gian Hilbert Định nghĩa 1.9 (Tích vô hướng) Giả sử X không gian tuyến tính trường K Tích vô hướng X ánh xạ: f: X ×X →K (x, y) → x, y thỏa mãn tiên đề sau: 1, x, x ≥ 0, ∀x ∈ X x, x = ⇔ x = 2, x, y = y, x , ∀x, y ∈ X 3, x + y, z = x, z + y, z , ∀x, y, z ∈ X Định nghĩa 1.10 Không gian tích vô hướng cặp (X, , ), X không gian tuyến tính Định nghĩa 1.11 Không gian Hilbert không gian tích vô hướng Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Dung PS Từ phân tích x = y + z, phép chiếu tuyến tính Áp dụng công thức Py-ta-go ta có Px = y = x − z ≤ x Do phép chiếu bị chặn P ≤ Toán tử không phép chiếu lên không gian không Nếu PS phép chiếu khác không P = 1, với x ∈ S ta có PS x = x Toán tử đồng I phép chiếu lên không gian H Định nghĩa 2.11 (Toán tử lũy đẳng) Một toán tử T gọi lũy đẳng T = T Mọi phép chiếu toán tử lũy đẳng Thật vậy, P phép chiếu lên không gian S P toán tử S P x ∈ S, với x ∈ H, ta có P x = P (P x) = P x, với x ∈ H Ví dụ 2.11 Xét toán tử T C xác định T (x, y) = (x − y, 0) Rõ ràng T lũy đẳng Mặt khác (T (x, y), (x, y)) − T (x, y) = xy − |y|2 T (x, y), không hẳn trực giao với (x, y) − T (x, y), T không phép chiếu Định lý 2.22 Toán tử bị chặn phép chiếu lũy đẳng tự liên hợp Chứng minh Cho P phép chiếu H, ta có phép chiếu 26 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Dung lũy đẳng Với x, y ∈ H ta có P x, y = P x, P y + P x, y − P y = P x, P y = P x, P y + x − P x, P y = x, P y Do P tự liên hợp Giả sử T toán tử lũy đẳng tự liên hợp H Đặt S = x ∈ H : T x = x Do T toán tử bị chặn, S không gian đóng Chứng minh T phép chiếu H, ta cần T x ∈ S x − T x ∈ S ⊥ , với x ∈ H Các tính chất sau suy trực tiếp từ T lũy đẳng với x ∈ H z ∈ S ta có x − T x, z = x, z − T x, z = x, z − x, T z = x, z − x, z = Hệ 2.5 Nếu P phép chiếu H (P x, x) = P x x ∈ H Chứng minh Ta có (P x, x) = (P P x, x) = P x, P ∗ x = P x, P x = P x 27 với Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Dung Định nghĩa 2.12 (Phép chiếu trực giao) Hai phép chiếu P Q gọi trực giao P Q = Chú ý hai phép chiếu P Q ta có P Q = P ∗ Q∗ = (QP )∗ Do P Q = ⇔ QP = Định lý 2.23 Hai phép chiếu PR PS trực giao R⊥S Chứng minh Giả sử PR PS = Nếu x ∈ R y ∈ S x, y = PR x, PS y = x, PR PS y = Do R⊥S Bây ta giả sử R⊥S.Nếu x ∈ H, PS x ∈ S, PS x⊥R Do PR (PS x) = với x ∈ H Chứng tỏ PR PS trực giao Định lý 2.24 Tổng hai phép chiếu PR PS phép chiếu PR PS = 0, trường hợp này, PR + PS = PR⊕S Chứng minh Nếu P = PR + PS phép chiếu (PR + PS )2 = PR + PS , hay PR PS + PS PR = Nhân hai vế đẳng thức với PR ta PR PS + PR PS PR = 28 (2.9) Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Dung Nhân đẳng thức sau với PR ta 2PR PS PR = thay vào (2.9) ta PR PS = Giả sử PR PS = ta có PS PR = (PR + PS )2 = PR + PS P lũy đẳng Vì P tự liên hợp, tổng hai toán tử tự liên hợp phép chiếu Đặt P = PR + PS , với x ∈ H ta có P x = PR x + PS x ∈ R ⊕ S, Hơn x = x1 + x2 với x1 ∈ R, x2 ∈ S P x = PR x + PS x = x1 + x2 = x Vậy P đồng P = PR + PS Định lý 2.25 Tích hai phép chiếu PR PS phép chiếu PR PS giao hoán Trong trường hợp này, PR PS = PR∩S Chứng minh Giả sử P = PR PS phép chiếu, P ∗ = P PR PS = (PR PS )∗ = (PS )∗ (PR )∗ = PS PR 29 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Dung Nếu PR PS = PR PS (PR PS )∗ = (PS )∗ (PR )∗ = PS PR = PR PS Vì P = PR PS tự liên hợp, P = PR PS PR PS = (PR )2 (PS )2 = PR PS = P Vì P lũy đẳng, P phép chiếu Với x ∈ H, ta có P x = PR (PS x) = PS (PR x) P x ∈ R ∩ S Hơn với x ∈ R ∩ S, ta có P x = PR (PS x) = PR x = x Do P = PR∩S Ví dụ 2.12 Toán tử xác định ma trận    1  ; B = 2 A= 0  2 phép chiếu C Dễ dàng kiểm tra AB không phép chiếu Định lý 2.26 Cho R S hai không gian đóng không gian Hilbert H, PR PS phép chiếu tương ứng Các điều kiện sau 30 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Dung tương đương 1) R ⊂ S; 2) PS PR = PR ; 3) PR PS = PR ; 4) PR x ≤ PS x với x ∈ H Chứng minh Giả sử R ⊂ S Thì PR x ∈ S, với x ∈ H Do PS PR x = PR x (1) ⇒ (2) Nếu PS PR = PR PR x = PR PS x ≤ P R PS x ≤ P S x với x ∈ H Do (3) ⇒ (4) Cuối giả sử (4) (1) không đúng, tồn x ∈ R cho x∈ / S Cho x = y + z với y ∈ S z ∈ S ⊥ Vì x ∈ / S ta có z = PR x = y + z mâu thuẫn với (4) Do R ⊂ S 31 > y = PS x Khóa luận tốt nghiệp Đại học 2.5 Nguyễn Thị Dung Toán tử compact Toán tử compact lớp toán tử quan trọng số toán tử bị chặn Định nghĩa 2.13 (Toán tử compact) Toán tử A không gian Hilbert H gọi toán tử compact với dãy bị chặn (xn ) H, dãy (Axn ) có dãy hội tụ Ví dụ 2.13 Mọi toán tử không gian có số chiều hữu hạn toán tử compact Thật vậy, A toán tử C N bị chặn Do đó, (xn ) dãy bị chặn (Axn ) dãy bị chặn C N Theo định lý Bolzalo-Weierstrass, (Axn ) có dãy hội tụ Ví dụ 2.14 Một ví dụ quan trọng toán tử compact toán tử tích phân L2 [a, b] xác định b (T x)(s) = K(s, t)x(t)dt a a, b hữu hạn K liên tục Lấy (xn ) ∈ L2 [a, b] x ≤ M với n = 1, 2, số M > Áp dụng BĐT Schwarz b (T xn )(s) ≤ √ |K(s, t)xn (t)|dt ≤ M max |K(s, t)| b − a a Do dãy hàm (T xn ) bị chặn Hơn nữa, ∀s1 , s2 ∈ [a, b] ta có 32 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Dung b |(T xn )(s1 ) − (T xn )(s2 )| ≤ |K(s1 , t) − K(s2 , t)|.|xn (t)|dt a b b |K(s1 , t) − K(s2 , t)|2 dt ≤ a |xn (t)|2 dt a ≤ M max t∈(a,b) √ b − a|K(s1 , t) − K(s2 , t)| Do K liên tục nên dẫn đến (T xn ) liên tục đồng bậc Theo định lý Arzela, (T xn ) có dãy hội tụ Vì hội tụ [a, b] dẫn đến hội tụ L2 [a, b], nên T compact Định lý 2.27 Mọi toán tử compact bị chặn Chứng minh Giả sử A toán tử compact A không bị chặn Khi tồn dãy (xn ) cho xn = với n ∈ N (Axn ) → ∞ Khi (Axn ) không chứa dãy hội tụ Nghĩa A không compact Ví dụ 2.15 Toán tử đồng I không gian Hilbert có số chiều vô hạn H không compact, bị chặn Thật vậy, xét dãy (en ) dãy trực giao H dãy Ien = en không chứa dãy hội tụ Định lý 2.28 Tập hợp tất toán tử tuyến tính không gian Hilbert H lập thành không gian vector Định lý 2.29 Cho A toán tử compact không gian Hilbert H B toán tử bị chặn H Khi AB BA compact 33 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Dung Chứng minh Với (xn ) dãy bị chặn H Vì B bị chặn nên dãy (Bxn ) bị chặn Vì A compact nên dãy (ABxn ) chứa dãy hội tụ Do AB compact Tương tự A compact, dãy (Axn ) chứa dãy hội tụ (Axnp ) Bây B bị chặn (và liên tục), dãy (Bxnp ) hội tụ Do toán tử BA compact Định nghĩa 2.14 (Toán tử hữu hạn chiều) Toán tử gọi hữu hạn chiều tập giá trị hữu hạn chiều Định lý 2.30 Toán tử hữu hạn chiều bị chặn compact Chứng minh Cho A toán tử hữu hạn chiều bị chặn, cho z1 , z2 , , zk sở trực giao tập giá trị A Đặt T xn = (Ax, zn )zn , với n = 1, 2, , k Vì T xn = (Ax, zn )zn = (x, A∗ zn )zn toán tử Tn compact Do k A= Tn n=1 Nên A compact Định lý 2.31 Giới hạn dãy toán tử compact hội tụ compact Hay T1 , T2 , toán tử không gian Hilbert H Tn − T → 34 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Dung n → ∞, T compact Hệ 2.6 Giới hạn dãy toán tử hữu hạn chiều hội tụ toán tử compact Định lý 2.32 Liên hợp toán tử compact compact Chứng minh Cho T toán tử compact không gian Hilbert Hvà cho (xn ) dãy bị chặn H, nghĩa xn ≤ M với số M , với n ∈ N Đặt yn = T ∗ xn n = 1, 2, Do T ∗ bị chặn, dãy (yn ) bị chặn, chứa dãy (ykn ) mà dãy (T ykn ) hội tụ H Bây với m, n ta có (ykm ) − (ykn ) = (T ∗ xkm ) − (T ∗ xkn ) = (T ∗ ((xkm ) − (xkn ), T ∗ ((xkm ) − (xkn ))) = (T T ∗ ((xkm ) − (xkn )), ((xkm ) − (xkn ))) T T ∗ ((xkm ) − (xkn )) (xkm ) − (xkn ) ≤ 2M (T ykm ) − (T ykn ) → 0, m, n → ∞ Do (yk n ) dãy Cauchy H, dẫn đến (ykn ) hội tụ Do T ∗ compact 35 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Dung Trong định lý tiếp theo, ta mô tả tính compact toán tử dãy số hạng hội tụ yếu Định lý 2.33 Một toán tử T không gian Hilbert H compact biến dãy hội tụ yếu thành dãy hội tụ mạnh w Chính xác hơn, T compact xn − → x dẫn đến T xn → T x, với xn , x ∈ H w Chứng minh Cho T toán tử compact Giả sử xn − → x T xn T x Khi tồn > dãy (xpn ) (xn ) cho T xpn − T x > (2.10) với n ∈ N Do dãy (xpn ) hội tụ yếu, bị chặn Do tính compact T suy dãy (T xpn ) có dãy hội tụ mạnh (T xqn ) Mặt khác với y ∈ H ta có T xn , y = xn , T ∗ y → x, T ∗ y = T x, y Do T xn → T x, (T xqn ) → T x Ta dãy (T xqn ) hội tụ mạnh, dẫn đến (T xqn ) → T x, mâu thuẫn với (2.10) w Giả sử T toán tử mà T xn → T x xn − → x Lấy (zn ) dãy bị chặn tùy ý H M số cho zn ≤ M với n ∈ N Vì |(zn , e1 )| ≤ M với n ∈ N , dãy (zn ) có dãy (z1 , n) cho dãy (z1,n , e1 ) hội tụ 36 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Dung Tương |(z1,n , e2 )| ≤ M với n ∈ N , dãy (z1 , n) có dãy (z2 , n) cho dãy (z2,n , e2 ) hội tụ Tiếp tục trình ta dãy (zm,n ), m = 1, 2, 3, cho dãy (zm+1,n ) dãy (zm,n ) với m ∈ N giới hạn lim (zm,n , em ) tồn với m ∈ N n→∞ Bây ta đặt xn = zn,n , n = 1, 2, Rõ ràng (xn ) dãy (zn ) giới hạn lim (xn , em ) tồn n→∞ với m ∈ N Ta dãy (xn ) hội tụ yếu Đặt αk = lim (xn , ek ), k = 1, 2, n→∞ Với l, n ∈ N ta có ∞ l |(xn , ek )|2 = xn |(xn , ek )| ≤ k=1 k=1 Đầu tiên cho n → ∞, ta l αk ≤ M αk ≤ M k=1 Tiếp theo cho l → ∞, ∞ k=1 Đặt z = ∞ k=1 αk ek 37 ≤ M Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Dung Suy ra, với m ∈ N ∞ (xn , em ) − (z, em ) = (xn , em ) − ( αk ek , em ) k=1 = (xn , em ) − (αm em , em ) = (xn , em ) − αm → n → ∞ Do (xn , em ) → (z, em ) n → ∞, với m ∈ N Do e1 , e2 , trù w mật H nên xn − → z Do T xn → T z Hệ 2.7 Toán tử compact biến dãy trực chuẩn thành dãy hội tụ mạnh Chứng minh Dãy trực giao hội tụ yếu Ta biết, nghịch đảo toán tử compact không gian Hilbert vô hạn chiều tồn bị chặn Tính compact toán tử mạnh tính bị chặn Tính bị chặn toán tử tương đương với tính liên tục: Toán tử bị chặn biến dãy hội tụ mạnh thành dãy hội tụ mạnh 38 Kết luận chung Trong khóa luận em nghiên cứu số vấn đề sau đây: Toán tử đồng nhất, toán tử liên hợp, toán tử tự liên hợp, hàm song tuyến tính dạng toàn phương, toán tử khả nghịch, toán tử chuẩn tăc, toán tử đẳng cự, toán tử Unita, toán tử dương, toán tử chiếu toán tử Compact Do thời gian có hạn, lần đầu nghiên cứu khoa học, khả vốn kiến thức thân hạn chế nên luận văn em tránh khỏi thiết sót Em hi vọng nhận đóng góp ý kiến thầy cô bạn Hà Nội, ngày 23 tháng 04 năm 2017 Sinh viên Nguyễn Thị Dung 39 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Phụ Hy, Giáo trình giải tích hàm, Nhà xuất khoa học kỹ thuật Hà Nội, Hà Nội, 2005 [2] Hoàng Tụy, Hàm thực giải tích hàm, Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội, Hà Nội, 2005 [3] Lokenath Debnath and Piotr Mikusinski, Hilbert Spaces with Applications, Elsevier Academic Press, 2005 40 ... 1.2 Toán tử tuyến tính 1.3 Không gian Hilbert Toán tử tuyến tính không gian Hilbert 2.1 Toán tử liên hợp toán tử tự liên hợp 2.2 Toán tử khả... ∞, ∀y ∈ E Chương Toán tử tuyến tính không gian Hilbert 2.1 Toán tử liên hợp toán tử tự liên hợp Định nghĩa 2.1 (Toán tử liên hợp) Cho A toán tử bị chặn không gian Hilbert H Toán tử A∗ : H → H xác... Dung gian Banach E với metric sinh chuẩn E không gian metric đầy 1.2 Toán tử tuyến tính Định nghĩa 1.6 Cho hai không gian tuyến tính X Y trường K Ánh xạ A từ không gian X vào không gian Y gọi tuyến