Toán tử tuyến tính trong không gian Hilbert

Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu về các toán tử tuyến tính trong không gian Hilbert : toán tửđồng nhất, toán tử không, toán tử liên hợp, toán tử tự liên hợp, toán tử đơn vị,toán tử compact

Lời cảm ơn!

Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa toán đã giúp đỡ

em trong suốt bốn năm học tập và nghiên cứu dưới mái trường Đại học Sưphạm Hà Nội 2

Đặc biệt em xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đếnthầy giáo, tiến sĩ Bùi Kiên Cường đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo để em hoànthành khoá luận của mình

Cuối cùng em xin cảm ơn các thầy cô trong tổ giải tích và bạn bè đã tạođiều kiện, đóng góp ý kiến hữu ích để em hoàn thành tốt luận văn này

Lời cam đoan

Luận văn này là kết quả của em trong quá trình học tập và nghiên cứuvừa qua, dưới sự hướng dẫn của thầy giáo, tiến sĩ Bùi Kiên Cường

Em xin cam đoan luận văn về đề tài „„Toán tử tuyến tính trong không gian Hilbert ‟‟ không trùng với bất kỳ luận văn nào khác.

Người thực hiện

Mục lục

Mở đầu 4

Chương 1: Nhữ ng khái ni ệ m và k ế t qu ả m ở đầ u 5

1.1 Không gian đị nh chu ẩ n và không gian Banach 5

1.2 Toán t ử tuy ế n tính 6

1.3 Không gian Hilbert 7

Chương 2: Toán tử tuy ế n tính trong không gian Hilbert 10

2.1 Một số ví dụ về toán tử 10

2.2 Hàm song tuyến tính và dạng toàn phương 16

2.3 Toán t ử liên h ợ p và t ự liên h ợ p 24

2.4 Toán tử khả nghịch, toán tử trực giao, toán tử đẳng cự và toán tử Unita 30

2.5 Toán t ử dương 36

2.6 Phép chi ế u 44

2.7 Toán t ử compact 50

2.8 trGiá ị riêng và vectơ riêng 58

2.9 S ự phân tích ph ổ……… 69

Chương 3: Toán tử không b ị ch ặ n 73

K ế t lu ậ n ……… 85

Tài li ệ u tham kh ả o ……… 86

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Giải tích hàm là một bộ môn học rất lý thú của toán học, có nhiều ứngdụng trong vật lý, các chuyên ngành khác của toán học,… Do thời gian họcngắn nên chưa đủ để sinh viên nghiên cứu sâu từng vấn đề của giải tích hàm

Chương “Không gian Hilbert” là nội dung gần cuối trong chương trìnhhọc, chứa nhiều nội dung mới và tương đối khó

Để tìm hiểu, nghiên cứu sâu hơn về vấn đề này em đã chọn đề tài:

“Toán tử tuyến tính trong không gian Hilbert”.

2 Mục đích nghiên cứu

Bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học, từ đó hình thành tưduy logic đặc thù của bộ môn

Khắc sâu các kiến thức về toán tử tuyến tính trong không gian Hilbert

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu về các toán tử tuyến tính trong không gian Hilbert : toán tửđồng nhất, toán tử không, toán tử liên hợp, toán tử tự liên hợp, toán tử đơn vị,toán tử compact, toán tử không bị chặn

4 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu lý thuyết

5 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kí hiệu, kết luận và danh mục tài liệu, luận văngồm 3 chương:

Chương 1: Những khái niệm và kết quả mở đầu

Chương 2: Toán tử tuyến tính trong không gian Hilbert

Chương 3: Toán tử không bị chặn

n

n 1

Chương 1: Những khái niệm và kết quả mở đầu

Định nghĩa 1.1.1: Giả sử X là không gian vectơ trên trường ( hoặc

Ta gọi chuẩn trong X là một ánh xạ

Định nghĩa 1.1.5 (Sự hội tụ trong không gian định chuẩn) :

X là không gian định chuẩn Dãy (x n ) các phần tử của X được gọi là hội tụ đến phần tử a X nếu lim x n a 0

n

Định nghĩa 1.1.6 (Dãy Cauchy trong không gian định chuẩn):

Dãy (x n

) là dãy Cauchy trong không gian định chuẩn X nếu

Hay tương đương

Tương đương

1.2 Toán tử tuyến tính

lim x m x n 0

m,n

Định nghĩa 1.2.1: Cho hai không gian tuyến tính X và Y trên trường Ánh

xạ A từ không gian X vào không gian Y gọi là tuyến tính nếu A thỏa mãn

các điều kiện:

1)

2) x X

Thường gọi ánh xạ tuyến tính là toán tử tuyến tính.

0:

Khi A thỏa mãn điều kiện 1) thì A gọi là ánh xạ cộng tính

Khi A thỏa mãn điều kiện 2) thì A gọi là ánh xạ thuần nhất.

Khi Y thì A gọi là phiếm hàm tuyến tính.

Định nghĩa 1.2.2: Cho X và Y là hai không gian định chuẩn Toán tử tuyến

tính từ không X vào không gian Y gọi là bị chặn nếu tồn tại hằng số c

Ax c x , x X

(1.1)

Định nghĩa 1.2.3: Cho A là toán tử tuyến tính từ không gian định chuẩn X

vào không gian định chuẩn Y Hằng số c

gọi là chuẩn của toán tử A

Định lý 1.2.5: Cho toán tử toán tính A từ không gian định chuẩn X vào

không gian định chuẩn Y Nếu A bị chặn thì

A sup Ax

x 1

1.3 Không gian Hilbert

Định nghĩa 1.3.1: (Tích vô hướng) Giả sử X là không gian tuyến tính trên

trường Tích vô hướng trong X là ánh xạ

f : X (x, y) a

f (x, y)

Thường kí hiệu f (x,

y)

x, y Thỏa mãn các tiên đề:

x X i) x, y ≥ 0,

Từ định nghĩa suy ra:

+ Nếu x=0 hoặc y=0 thì x, y

Định nghĩa1.3.3: Không gian Hilbert là không gian tích vô hướng và là

không gian đinh chuẩn với chuẩn x

Ta gọi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert H là không gian Hilbert con của không gian Hilbert H.

x,a , x H.

Định lý 1.3.5 (Định lý Riezs): Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục trong không

gian Hilbert H đều có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng:

f ( x )

Định nghĩa 1.3.7 (Sự hội tụ mạnh): Một dãy (x n ) các vectơ trong một không

gian tích vô hướng E được gọi là hội tụ mạnh tới một vectơ x E nếu

x n

x

0 khi n

Định nghĩa 1.3.8 (Sự hội tụ yếu) : Một dãy (x n ) các vectơ trong một không

gian tích vô hướng E được gọi là hội tụ yếu tới một vectơ x E nếu

0

, tức là, I x x

Ae j ,ei ij

Trong phần này chúng ta chỉ quan tâm đến những toán tử bị chặn

Để ngắn gọn, ta chỉ viết toán tử thay cho toán tử tuyến tính

Ví dụ 2.1.1: (Toán tử đồng nhất và toán tử không)

Ví dụ đơn giản nhất về toán tử là toán tử đồng nhất I và toán tử không Toán tử đồng nhất biến mọi phần tử thành chính nó,tức là, Ix=x với

mọ

Toán tử không biến mọi phần tử của E thành vectơ 0.

Toán tử không được kí hiệu là 0

Dễ thấy toán tử đồng nhất và toán tử không là bị chặn và ta có I

0

Phép nhân vô hướng I của toán tử đồng nhất là một toán tử, toán tử

này nhân mọi phần tử với vô hướng

Ví dụ 2.1.2 Cho A là một toán tử trong £ N

và { e1, e2,…, eN} là cơ sở trựcchuẩn chính tắc trên £ N , tức là,

, thìij

df

dx f (x)

2sin nx dx

Do đó, với mỗi toán tử trong không gian £ N

Điều này đúng với mọi toán tử trong

£ N , và do đó mọi toán tử trongkhông gian Hilbert có số chiều hữu hạn đều bị chặn

Toán tử trong ví dụ sau được xác định trong một không gian con riêng của một không gian Hilbert

Ví dụ 2.1.3 (Toán tử vi phân) Một trong số những toán tử có vai trò quan

trọng trong toán học ứng dụng là toán tử vi phân

Df (x)

Xác định trong không gian các hàm khả vi Ví dụ như, toán tử vi phân

trong một không gian con của L2 , được định nghĩa bởi

(D)= f

Nếu L2 , được trang bị chuẩn chính tắc f f (x) dx , khi

đó toán tử vi phân là không bị chặn

Thật vậy, cho f n (x)=sin nx, n=1, 2, 3,…, ta có

f n

Và

2

Ví dụ này có thể tổng quát trên một đoạn [a, b] bất kỳ hay khoảng

Ví dụ 2.1.4 (Toán tử tích phân) Một lớp toán tử quan trọng khác là toán tử

tích phân Toán tử tích phân được xác định bởi

Cho z ∈ ∁([a, b]) Một toán tử trong L2([a, b]) được xác định bởi

Ax (t) rõ ràng là tuyến tính Hàm z được gọi là hàm nhân Vì

Tích của A và B còn gọi là sự hợp thành của A và B Trong một số

trường hợp từ “tích” được thay cho “sự hợp thành”

2

Vì IA = 1A, toán tử đồng nhất thường được kí hiệu 1.

Những toán tử đã được định nghĩa ở trên có những tính chất hiển nhiênsau:

A + B = A + B, (A + B)+C=A + (B + C), A + 0 = A,

A(BC) = (AB)C, (A + B)C= AC + BC, AI=IA,

Trong trường hợp tổng quát không khẳng định được rằng:

A(B + C)=AB +AC.

Tích các toán tử là không giao hoán, tức là AB chưa chắc bằng BA Toán tử A và B mà AB = BA được gọi là toán tử giao hoán.

Ví dụ 2.1.6 (Toán tử không giao hoán) Cho A và B là các toán tử trong £ 2

được xác định bởi các ma trận

A

(Xem ví dụ 2.1.2) Khi đó AB BA.

Ví dụ 2.1.7 (toán tử không giao hoán) Xét các toán tử

Af(x) = xf(x) và D= d

dx

Dễ dàng kiểm tra được AD DA.

Bình phương của một toán tử A được định nghĩa bằng A2

Nếu A và B là những toán tử bị chặn, thì hiển nhiên A + B và

chặn (với vô hướng bất kỳ) và ta có

Định lý 2.1.9 Một toán tử bị chặn trong một không gian có số chiều vô hạn

có thể biểu diễn bởi một ma trận vô hạn

Chứng minh:

Giả sử A là một toán tử bị chặn trong không gian Hilbert H và (en),

n=1, 2, 3, …là một dãy trực giao đầy đủ trên H Với i, j ¥ , đặt:

x,ej Aej.

j 1

x,ej Aej ,ei Aej ,ei x,ej ij x,ej .

Do đó, A biểu diễn được bởi ma trận ( ij )

2.2 Phiếm hàm song tuyến tính và dạng toàn phương

Khái niệm về hàm song tuyến tính và dạng toàn phương không đòi hỏicấu trúc của một không gian tích vô hướng Chúng có thể được định nghĩatrong một không gian vectơ bất kỳ Trong phần này chúng ta sẽ đề cập đếnvấn đề đó

Định nghĩa 2.2.1 (Hàm song tuyến tính) Một hàm song tuyến tính

một không gian vecto phức là một ánh xạ : E E a £ thỏa mãn 2 điều kiệnsau:

(a)

(b)

Với , là các vô hướng bất kỳ và bất kỳ x, x1, y, y1, y2

vectơ

Dễ thấy tất cả các hàm song tuyến tính trên E lập thành một không gian

Ví dụ 2.2.2 Tích vô hướng là một hàm song tuyến tính.

Ví dụ 2.2.3 Cho A, B là các toán tử trong một không gian tích vô hướng trong

E Khi đó 1 (x,

y) Ax, y, 2 y) (x, x, By, 3 y) (x, Ax, By là các hàm song tuyến tính trên E.

Ví dụ 2.2.4 Cho f, g là các hàm tuyến tính trên không gian vectơ E Khi đó

(x,

y) f (x).g( y) là hàm song tuyên tính trên E.

Định nghĩa 2.2.5 (Hàm đối xứng, hàm dương, hàm dương hoàn toàn, hàm

song tuyến tính bị chặn) Cho là một hàm song tuyến tính trên E.

(x, y) ( y, x), x, y E (a) gọi là đối xứng nếu

(x, x) 0,x E

(x, x) 0,x 0 (x, x) K xy , K 0,x, y E

(b) gọi là dương nếu

(c) gọi là dương ngặt nếu nó dương và

(d) Nếu E là một không gian định chuẩn, gọi là bị chặn nếu

Chuẩn của một hàm song tuyến tính bị chặn được xác định bằng:

Trong ví dụ 2.2.4 nếu f=g thì là đối xứng và dương Tích vô hướng

là dương ngặt

Trong ví dụ 2.2.3 nếu A và B là bị chặn thì 1, 2 , 3 là bị chặn Tương

tự, nếu f và g trong ví dụ 2.2.4 bị chặn thì hàm song tuyến tính được định

nghĩa cũng bị chặn

Một hàm song tuyến tính bị chặn trên E ta có:

Định nghĩa 2.2.6 (Dạng toàn phương) Cho

trong không gian vectơ E.

Dạng toàn phương Ф trong một không gian định chuẩn E gọi là bị chặn

Chuẩn của một dạng toàn phương bị chặn được định nghĩa bởi:

Ф sup Ф(x)

x 1

Chú ý rằng, một dạng toàn phương bị chặn Ф trong một không gian định chuẩn ta có Ф(x) Ф(x) x .2

1 (x, x) 2 (x, x),x E thì 1 2 .

1 (x, y) 2 (x, y),x, y E

Một hàm song tuyến tính và dạng toàn phương liên hợp với nó có tính

chất tương tự tích vô hướng x, y và bình phương của chuẩn được định nghĩa bởi tích vô hướng x

Định lý 2.2.7 (Đồng nhất thức phân cực) Cho là một hàm song tuyến tính

trong E, và cho Ф là dạng toàn phương liên hợp với

4 (x, y)

Ф(x y) Ф(x y) iФ(x iy) iФ(x iy)

1, 2 là các hàm song tuyến tính trong E.

x E thì

dạng toàn

phương Ф 1 và

Ф 2 liên hợpvới 1,

2 là bằng nhau Do đó theo (2.2) các hàm 1, 2 là bằng nhau

(x, y) ( y, x),x, y E thì

2 (x, y) Bx, y trong E

(x, x) (x, x) Ф(x), x E

(x, y)( y, x)

ta có:

(x) (x, x) Ф(x) Ф(x) (x, y) ( y, x),x, y E

(x, y)1 Ф(x

14

Ax, y và

là đối xứng khi và chỉ khi dạng

Ф(x)

Do đó Ф là số thực.

Bây giờ nếu Ф(x) Ф(x) với mọi x E Xây dựng một hàm song

tuyến tính trong E xác định bởi:

Thì dạng toàn phương liên hợp với

Theo hệ quả 2.2.8,

Vậy hàm là hàm đối xứng trong E.

Định lý 2.2.10: Một hàm song tuyến tính trong không gian định chuẩn E là

bị chặn khi và chỉ khi dạng toàn phương Ф là bị chặn, hơn nữa, ta có

2 2

là một

y1

12

Định lý 2.2.11: Cho hàm song tuyến tính trong không gian định

chuẩn E và cho Ф là dạng toàn phương liên hợp của nó Nếu đối xứng và

Định lý 2.2.12: Cho A là một toán tử bị chặn trong không gian Hilbert H Khi

đó hàm song tuyến tính xác định bởi (x, y) Ax, y là bị chặn và A

H , (x, y) là

! Ay H :(x, y) x, Ay ,x H

Định lý 2.2.13 Cho là một hàm song tuyến tính bị chặn trong không gian

tuyến tính Hilbert H Khi đó ! toán tử bị chặn A trong H sao cho

Chứng minh:

Với y cố định hàm tuyến tính bị chặn trong H.

Áp dụng định lý biểu diễn Riesz,

Ta phải chứng minh ánh xạ y Ay là toán tử bị chặn trong E.

y1 y2 Ay1 Ay2 .

A

Ay, Ay ( Ay, y) k Ay y

x, By ,x, y H

2(x, x) K x,x E

Định nghĩa 2.2.14 (Phiếm hàm thỏa mãn điều kiện bức ): Một hàm song

tuyến tính trong không gian định chuẩn E đươc gọi là phiếm hàm thỏa mãn điều kiện bức nếu tồn tại một số dương K sao cho:

Ví dụ 2.2.15: Nếu z là hàm nhận các giá trị thực liên tục trên [0, 1] thỏa mãn

min 0,1 z(t) 0 , khi đó hàm song tuyến

tính

L2 ([0,1])

H :(x, xf ),x H

(x, y) x, Ay , x, y H

(x, x) x, Ax Ax x

1K

x2 A(x1 x )2 0

x2

y 0 , y H thì

Ax 0 , do A

Định lý 2.2.16 (Định lý Lax-Milgram) Cho là một hàm song tuyến tính bị

chặn, thỏa mãn điều kiện bức trong không gian Hilbert H Khi đó với mọi phiếm hàm tuyến tính bị chặn f trong H, tồn tại duy nhất x f

f (x)

Chứng minh:

Theo định lý 2.2.13, tồn tại một toán tử bị chặn A sao cho:

Do f thỏa mãn điều kiện bức, nên ta có:

Kí hiệu tập giá trị của A là ( A ).

Lấy ( x n ) là một dãy các phần tử của H

Điều này mâu thuẫn với giả thiết x

Nếu f là hàm tuyến tính bị chặn trong H, thì

Định nghĩa 2.3.1 (Toán tử liên hợp) Cho A là một toán tử bị chặn trong

không gian Hilbert H Toán tử A*: H H được xác định bởi

Ax, y Gọi là toán tử liên hợp của A.

Nhận xét : Do A là liên tục nên (x, y) Ax, y là phiếm hàm song tuyến tính Theo định lý 2.2.13, tồn tại duy nhất toán tử liên tục A*

, để

Ax, y x, A* y Do đó, toán tử liên hợp của toán tử tuyến tính liên tục A

luôn tồn tại và cũng là toán tử tuyến tính liên tục

Các tính chất sau được suy ra từ định nghĩa 2.3.1:

tùy ý.

Với A, B là các toán tử bất kỳ và vô hướng

và { e1, e2,…,eN} là cơ sở trực chuẩn chính tắc

A là một toán tử biểu diễn bằng ma trận (aij) Trong đó aij=

Một ma trận thỏa mãn điều kiện này thường được gọi là Hermitian.

Ví dụ 2.3.5: Cho H là không gian có số chiều vô hạn tách được và

{e1, e2, e3,…} là dãy trực giao đầy đủ trong H A là một toán tử bị chặn trong

H biểu diễn bởi ma trận vô hạn ( ij ) ( Xem định lý 2.1.9 )

Đối với trường hợp hữu hạn chiều, toán tử liên hợp A* biểu diễn đượcbởi một ma trận hữu hạn

A là tự liên hợp khi và chỉ khi

Ví dụ 2.3.6: Cho T là một toán tử Fredholm trong L

a

K (s,t) y(s) dsdt.

2

T * x (s)

Ví dụ 2.3.8: Xét toán tử A được xác định trong

y, Ax Ax, y ( Nếu là đối xứng)

(x, y) x, Ay Ax, y y,

Ax

( y, x)

Chứng minh: x, y H , ta có:

( A iB)x, y Ax, y i Bx, y

x, Ay i x, Byx,( A iB) yAiB

Và

T2 x, y

T1x, y

Định lý 2.3.11: Tích của hai toán tử tự lien hợp là một toán tử tự liên hợp khi

và chỉ khi hai toán tử đó là giao hoán

Chứng minh: Giả sử A, B là các toán tử tự liên hợp Khi đó:

ABx, y

Do đó nếu AB = BA thì AB là tự liên hợp Nếu AB là tự liên hợp thì từ trên, suy ra AB

Hệ quả 2.3.12: Nếu A là tự liên hợp thì đa thức bất kỳ nào của A với các hệ số

Định lý 2.3.13: Mọi toán tử bị chặn T trong không gian Hilbert H đều tồn tại

duy nhất các toán tử tự liên hợp A và B sao cho: T

Chứng minh: Giả sử T là một toán tử bị chặn trong H Đặt

CiD &T * C iD Khi

Trong thực hành, nếu T là tự liên hợp, thì A = T và B = 0 Những toán

tử tự liên hợp giống những số thực trong £

Định lý 2.3.14: T là một toán tử tự liên hợp trong không gian Hilbert H Thì