Toán tử tuyến tính trong không gian Hilbert

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Lời cảm ơn! Em xin chân thành cảm ơn thầy giáo khoa tốn giúp đỡ em suốt bốn năm học tập nghiên cứu mái trường Đại học Sư phạm Hà Nội Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến thầy giáo, tiến sĩ Bùi Kiên Cường tận tình hướng dẫn, bảo để em hồn thành khố luận Cuối em xin cảm ơn thầy tổ giải tích bạn bè tạo điều kiện, đóng góp ý kiến hữu ích để em hồn thành tốt luận văn Hà nội, năm 2010 Tác giả Lê Thị An Lê Thị An K32G - Toán Lời cam đoan Luận văn kết em trình học tập nghiên cứu vừa qua, hướng dẫn thầy giáo, tiến sĩ Bùi Kiên Cường Em xin cam đoan luận văn đề tài „„Toán tử tuyến tính khơng gian Hilbert ‟‟ khơng trùng với luận văn khác Người thực Mục lục Mở đầu Chương 1: Những khái niệm kết mở đầu 1.1 Không gian định chuẩn không gian Banach 1.2 Toán tử tuyến tính .6 1.3 Không gian Hilbert Chương 2: Toán tử tuyến tính khơng gian Hilbert 10 2.1 Một số ví dụ tốn tử 10 2.2 Hàm song tuyến tính dạng tồn phương .16 2.3 Toán tử liên hợp tự liên hợp 24 2.4 Toán tử khả nghịch, toán tử trực giao, toán tử đẳng cự toán tử Unita 30 2.5 Toán tử dương 36 2.6 Phép chiếu 44 2.7 Toán tử compact 50 2.8 Giá trị riêng vectơ riêng 58 2.9 Sự phân tích phổ…………………………… 69 Chương 3: Toán tử không bị chặn 73 Kết luận…………………………………………………………… 85 Tài liệu tham khảo…………………………………………… 86 Mở đầu Lý chọn đề tài Giải tích hàm mơn học lý thú tốn học, có nhiều ứng dụng vật lý, chuyên ngành khác toán học,… Do thời gian học ngắn nên chưa đủ để sinh viên nghiên cứu sâu vấn đề giải tích hàm Chương “Không gian Hilbert” nội dung gần cuối chương trình học, chứa nhiều nội dung tương đối khó Để tìm hiểu, nghiên cứu sâu vấn đề em chọn đề tài: “Toán tử tuyến tính khơng gian Hilbert” Mục đích nghiên cứu Bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học, từ hình thành tư logic đặc thù mơn Khắc sâu kiến thức tốn tử tuyến tính khơng gian Hilbert Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu tốn tử tuyến tính khơng gian Hilbert : tốn tử đồng nhất, tốn tử khơng, tốn tử liên hợp, tốn tử tự liên hợp, toán tử đơn vị, toán tử compact, toán tử không bị chặn Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu lý thuyết Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kí hiệu, kết luận danh mục tài liệu, luận văn gồm chương: Chương 1: Những khái niệm kết mở đầu Chương 2: Toán tử tuyến tính khơng gian Hilbert Chương 3: Tốn tử không bị chặn Chương 1: Những khái niệm kết mở đầu 1.1 Không gian định chuẩn không gian Banach Định nghĩa 1.1.1: Giả sử X không gian vectơ trường ( ) Ta gọi chuẩn X ánh xạ X K xa x Thỏa mãn tiên đề: 1) x 0, x x X x 2) x x, 3) xy x , x y ,x, y X X Định nghĩa 1.1.2: Không gian định chuẩn cặp X, Trong X khơng gian tuyến tính, chuẩn X Ví dụ 1.1.3: Cho X tập hợp dãy: Xx ( n ), p £ (¡ ), n n n Với x ( n ) Đặt p x n 1/ p n Khi X , không gian định chuẩn , p Kí hiệu l X, p b Ví dụ 1.1.4: Cho X x p x(t) : (L)x(t) dt ,p a Với x x(t)X , đặt x 1/ p b p x(t)dt p a Thì p chuẩn X Không gian X , kí hiệu p L p [a,b] Định nghĩa 1.1.5 (Sự hội tụ không gian định chuẩn) : X không gian định chuẩn Dãy (xn ) hội tụ đến phần tử a X lim xn n phần tử X gọi a Định nghĩa 1.1.6 (Dãy Cauchy không gian định chuẩn): Dãy (xn dãy Cauchy không gian định chuẩn X ) lim xm m,n Hay tương đương 0, n0 ,m,n Tương đương 0, n0 : n n0 ,p xn n0 : xm 1, 2, xn xn p xn 1.2 Tốn tử tuyến tính Định nghĩa 1.2.1: Cho hai khơng gian tuyến tính X Y trường Ánh xạ A từ không gian X vào khơng gian Y gọi tuyến tính A thỏa mãn điều kiện: 1) x, y 2) x , X : A(x X y) Ax A( x) Ay Ax Thường gọi ánh xạ tuyến tính tốn tử tuyến tính Khi A thỏa mãn điều kiện 1) A gọi ánh xạ cộng tính Khi A thỏa mãn điều kiện 2) A gọi ánh xạ Khi Y A gọi phiếm hàm tuyến tính Định nghĩa 1.2.2: Cho X Y hai khơng gian định chuẩn Tốn tử tuyến tính từ khơng X vào khơng gian Y gọi bị chặn tồn số c 0: Ax c x, x X (1.1) Định nghĩa 1.2.3: Cho A tốn tử tuyến tính từ khơng gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y Hằng số c nhỏ thỏa mãn hệ thức (1.1) gọi chuẩn toán tử A Kí hiệu A Định lý 1.2.4: Định lý mệnh đề tương đương Cho A toán tử tuyến tính từ khơng gian định chuẩn X vào khơng gian định chuẩn Y Khi mệnh đề sau tương đương: 1) A liên tục 2) A liên tục điểm x0 X 3) A bị chặn Định lý 1.2.5: Cho tốn tử tốn tính A từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y Nếu A bị chặn A sup Ax x 1.3 Không gian Hilbert Định nghĩa 1.3.1: (Tích vơ hướng) Giả sử X khơng gian tuyến tính trường Tích vơ hướng X ánh xạ f: X X fK(x, y) (x, y) a Thường kí hiệu f (x, y) x, y Thỏa mãn tiên đề: i) x, y ≥ 0, x X x =0 x, y =0 ii) y, x , x, y = x y, zx, z x, y, z iii) x, y x, y X y, z X x, y ,x, y X, Từ định nghĩa suy ra: x, y + Nếu x=0 y=0 + x, y z x, y + x, y , x, y K x, z ,x, y, z X K; x, y X Định nghĩa 1.3.2: Khơng gian tích vô hướng cặp X , , , X khơng gian tuyến tính Định nghĩa1.3.3: Khơng gian Hilbert khơng gian tích vơ hướng khơng gian đinh chuẩn với chuẩn x x, x , x X Ta gọi khơng gian tuyến tính đóng không gian Hilbert H không gian Hilbert khơng gian Hilbert H Ví dụ 1.3.4: Khơng gian £ với tích vơ hướng xác định bởi: k k x, y j j x j , ,, yk , , £k k không gian Hilbert với x x, x k j j 1/ Bx, A* y B* A* y x, Mặt khác, Bx (A) y * (A ), ta có: ABx, y Bx, A* y ABx, y x, B* A* y Do đó: Vì điều ta (AB), x ( AB)* có y * * (B A ) y ( AB)* y Định lý 3.3.9 (Toán tử tự liên hợp): Cho A tốn tử xác định trù mật A* khơng gian Hilbert H A gọi tự liên hợp A * nghĩa (A ) = (A) A(x) A*(x),x(A) Lưu ý rằng: A A * Nếu A bị chặn, xác định trù mật H A có mở rộng đến tốn tử bị chặn H Do miền xác định miền xác định tốn tử liên hợp với nó, H Trong trường hợp tốn tử khơng bị chặn, dương mà tốn * tử xác định trù mật A có liên hợp A : A(x) A*(x) với x (A) * * (A ) Nhưng (A ) (A) Và A khơng tự liên hợp Định nghĩa 3.3.10 ( Tốn tử đối xứng) Một toán tử xác định trù mật A không gian Hilbert H gọi đối xứng nếu: Ax, y x, Ay , x, y (A) Rõ ràng, tốn tử tự liên hợp đối xứng Ví dụ 3.3.11: Xét toán tử bị chặn H A( xn ) l xác định bởi: xn n -1 Chú ý A tự liên hợp 1-1 Không gian (A) = (A ) gồm dãy ( yn ) l2 : n2 y n n -1 Trù mật H Nghịch đảo A xác định bởi: A ( y ) (ny ) n n -1 Dễ thấy, A tốn tử khơng bị chặn Theo định lý 3.2.7: (A-1 )* (A* ) A Do A tự liên hợp id Ví dụ 3.3.12: Xét tốn tử A (A) { f dt với miền xác định : L [a,b] : f liên tục f (a) f (b) 0} Ta có: b Af , g b if (t)g(t)dt a f (t)ig (t)dt (A) f , Ag ,f , g a Vậy A đối xứng, nữa, Af , g hàm liên tục (A) với hàm g khả vi liên tục [a, b], không cần thỏa mãn g(a) = g(b) * Do đó, (A) khác (A ) A khơng tự liên hợp Định lý 3.3.13: Một toán tử xác định trù mật A không gian Hilbert H đối xứng A A* Chứng minh: Giả sử A A* x, A* y ,x Vì (A), Ax, y Ta có Ax, y (3.6) y(A*) (3.7) x, Ay ,x, y (A) Do A đối xứng Giả sử A đối xứng, (3.6) (3.7) đúng, dẫn đến A A* * Hệ 3.3.14: Nếu A đối xứng A mở rộng đối xứng cực đại A Chứng minh: Cho B toán tử đối xứng cho A A* Do đó, A lý 4.11.9, B* B B* B Thì, theo định A* Hệ 3.3.15: Nếu A đối xứng (A)= H A tự liên hợp * A A A* A Chứng minh: (A)= H Nhắc lại: đồ thị toán tử A, xác định E1 tập giá trị (A) (A) E2 , đặt (A)={(x, Ax) : x (A)} đồ thị A, không gian E1 E2 (A) không gian vecto Nếu A B (A) (B) Định nghĩa 3.3.16 (Tốn tử đóng): Một tốn tử A từ khơng gian định chuẩn X1 vào không gian định chuẩn X2 gọi đóng đồ thị (A) khơng gian đóng E1×E2 xn xn (A), x Ax y dẫn đến x (A) Ax y n Miền xác định (A) tốn tử đóng A chưa đóng Có thể chứng minh tốn tử đóng từ không gian Banach vào không gian Banach bị chặn (Đây xem định lý đồ thị đóng) Do đó, miền xác định tốn tử khơng bị chặn đóng khơng gian Hilbert H khơng thể đóng, khơng khơng gian cảm sinh H -1 Định lý 3.3.17: Nếu A đóng khả nghịch A đóng Chứng minh: Nếu (A) {(x, Ax) : x -1 (A)} đóng, : (A) {( Ax, x) : x đóng Định lý 3.3.18: Nếu A xác định trù mật (A)} * A đóng Chứng minh: Nếu yn x * y A* y (A ), y n z , với n (A) ta có: Ax, y * Do y (A ) lim Ax, y n n A* y lim x, A* y n n x, z z Định lý 3.3.19: Cho A tốn tử khơng gian Hilbert H Khi tồn toán tử B: (B)= cl (A) điều kiện sau thỏa mãn : xn Chứng minh: (A), xn y dẫn đến y 0, Axn (3.8) Giả sử (B) = cl (A), với B tốn tử Lấy xn (A), xn 0, Axn Do (B) tập đóng, (0,0) y (0, y) (B) (B), ta phải có y Giả sử điều kiện (3.8) thỏa mãn, (x, y1),(x, y2 cl (A) ) Khi (A): xn (xn , Axn ),(zn , Azn ) x, zn x, Axn Az y1 y n Do xn đến (A), xn A(x n zn y1 y2 zn zn ) y1 y2 (3.8) dẫn , Chứng tỏ B xác định bởi: B(x) y (x, y) cl (A) Dễ nhận thấy A tuyến tính Định lý 3.3.20: Mọi tốn tử xác định trù mật, đối xứng có mở rộng đối xứng đóng Chứng minh: Cho A toán tử đối xứng, xác định trù mật không gian Hilbert H Đầu tiên ta điều kiện (3.8) thỏa mãn Lấy xn (A), xn Với z Ax y Vì A đối xứng nên ta có: n y, z lim Axn , z n lim xn , Az n (A) Điều dẫn đến y Vì (A) trù mật H, áp dụng định lý 3.2.19, B : (B)= cl (A) Và A Nếu x, y B., B đối xứng (A): (B), xn , yn x x , Axn Bx , n y , Ayn By , y n Do A đối xứng, ta có: Axn , yn Cho n xn , Ayn , ta được: Bx, y x, By Do B đối xứng Định lý 3.3.21: Cho A tốn tử đóng xác định trù mật không gian Hilbert H (a) Với u,v H, * !x (A) y (A ): Ax (b) Với v H , !x y u xA* y v * (A A) : A* Ax x v Chứng minh: (a) Xét khơng gian Hilbert H1 H H Vì A đóng, (A) khơng gian đóng H1 Do đó, H1 Với (A) (B)= {0} (A) Bây giờ, (z, y) (A) tương đương: x, z y Ax, x, Ax , 0, x z, y 0, x (A) hay (A) Do đó: z, y (A) Ax, y (A) x, z ,x Cách khác, z, y * (A) y Do đó, (u,v) (v,u) (x, Ax) (A ) z H H !x A* y (A) y * (A ) cho: ( A* y, y) (a) chứng minh (b) Nếu u (a) !x (A) y * (A ) : Ax y 0, x A* y v Do x Ax) v A*( Ax) A*( x v Nhận xét: Cho A tốn tử đóng khơng gian Hilbert H Ta biết A khơng bị chặn Mặt khác, ln định nghĩa tích vơ hướng (A) cách xem (A) khơng gian Hilbert A tốn tử bị chặn (A) Do đó, x, y (A), đặt x, y x, y Ax, Ay , Trong đó, , kí hiệu tích vơ hướng H Chứng minh tính đầy đủ (A) chuẩn x x Ax Dễ thấy A bị chặn không gian Hilbert Kết luận Trên tồn nội dung đề tài “ Tốn tử tuyến tính khơng gian Hilbert” Khóa luận sử dụng tài liệu tham khảo cho bạn sinh viên khoa toán quan tâm đến phần kiến thức Khóa luận đạt mục đích nhiệm vụ nghiên cứu đề bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học, hình thành tư logic đặc thù mơn, nghiên cứu tốn tử tuyến tính khơng gian Hilbert Tuy nhiên với thời gian chuẩn bị chưa nhiều cộng với vốn kiến thức thân hạn chế nên khơng tránh khỏi nhiều thiếu xót Rất mong nhận ý kiến đóng góp thầy giáo bạn sinh viên để đề tài hoàn thiện Hà Nội, năm 2010 Người thực Lê Thị An Tài liệu tham khảo Phan Đức Chính (1976), Giải tích hàm, NXB Giáo dục chuyên nghiệp Nguyễn Phụ Hy (2006), Giải tích hàm, NXB Khoa học kỹ thuật Nguyễn Xuân Liêm (2006), Giải tích hàm, NXB Giáo dục Hồng Tụy (2005), Hàm thực giải tích hàm, NXB ĐHQG Hà Nội Lokenath Debnath, Piotr Mikusinski (2005), Introduction to Hilbert spaces with Applications, Elsevier Academic press ... Tốn tử tuyến tính khơng gian Hilbert 2.1.Một số ví dụ tốn tử tuyến tính Trong phần quan tâm đến toán tử bị chặn Để ngắn gọn, ta viết toán tử thay cho tốn tử tuyến tính Ví dụ 2.1.1: (Tốn tử đồng... nghiên cứu Nghiên cứu tốn tử tuyến tính khơng gian Hilbert : tốn tử đồng nhất, tốn tử khơng, tốn tử liên hợp, toán tử tự liên hợp, toán tử đơn vị, toán tử compact, tốn tử khơng bị chặn Phương pháp... 1.2 Tốn tử tuyến tính .6 1.3 Không gian Hilbert Chương 2: Tốn tử tuyến tính khơng gian Hilbert 10 2.1 Một số ví dụ toán tử 10 2.2 Hàm song tuyến tính dạng tồn