Khung trong không gian Hilbert

LèI CÁM ƠN Lu¾n văn đưoc hồn thành tai trưòng Đai hoc sư pham Hà N®i dưói sn hưóng dan cna cô giáo - tien sĩ Nguyen Quỳnh Nga Tác giá xin bày tó lòng kính trong, lòng biet ơn sâu sac nhat đoi vói Cơ dành nhieu thòi gian hưóng dan, chí báo cho tác giá nhung kien thỳc v kinh nghiắm quớ bỏu, luụn đng viên đe tác giá vươn lên hoc t¾p vưot qua nhung khó khăn chun mơn Tác giá xin chân thành cám ơn Ban giám hi¾u trưòng ĐHSP Hà N®i 2, Phòng Sau đai hoc, Khoa Tốn, To Giái tích, q thay cơ, tao moi đieu ki¾n thu¾n loi cho tác giá ket thúc tot đep chương trình cao hoc hồn thành lu¾n văn tot nghi¾p Tác giá xin chân thành cám ơn Trưòng THPT Yên Lãng To Tốn - Tin tao đieu ki¾n giúp đõ đe tác giá hoc t¾p hồn thành tot lu¾n văn Tác giá xin chân thành cám ơn sn gúp đõ đ®ng viên cna gia đình, ban bè, thành viên lóp cao hoc Tốn Giái tích khóa 2010 -2012 đe tác giá hồn thành lu¾n văn Hà N®i, tháng 12 năm 2012 Tác giá Đo Thny Tiên i LèI CAM ĐOAN Lu¾n văn đưoc hồn thành tai trưòng Đai hoc sư pham Hà N®i dưói sn hưóng dan cna TS Nguyen Quỳnh Nga M®t so ket q đat đưoc lu¾n văn mói chưa tùng đưoc cơng bo bat kỳ cơng trình khoa hoc cna khác Hà N®i, tháng 12 năm 2012 Tác giá Đo Thny Tiên ii Mnc lnc Má đau 1 M®T SO KET QUÁ VÀ KHÁI NIfiM BAN ĐAU 1.1 Tốn tú tuyen tính b% ch¾n khơng gian Hilbert 1.2 Phép chieu trnc giao phan bù trnc giao 1.3 Toán tỳ ang cn bđ phắn 1.4 Tong trnc tiep cna không gian Hilbert CƠ Sé LÝ THUYET KHUNG 11 14 2.1 Khung không gian huu han chieu .15 2.2 Khung nhìn tù quan điem giãn 17 2.3 Khung đoi ngau luân phiên 33 2.3.1 Khung đoi ngau tac 33 2.3.2 Khung đoi ngau luân phiên 36 KHUNG BÙ VÀ TÍNH RèI 3.1 Tính chat bù ròi cna khung iii 42 42 3.2 Các đ¾c trưng cna tính tương đương, tính ròi tính bù 48 3.3 M®t vài ket khác ve khung đoi ngau luân phiên 58 Ket lu¾n 72 Tài li¾u tham kháo 73 iv Mé ĐAU Lý chon đe tài Khung không gian Hilbert đưoc Duffin Schaeffer [5] đưa thúc vào năm 1952 nghiên cúu m®t so tốn ve chuoi Fourier khơng đieu hòa Tuy nhiên, ý tưóng cna Duffin Schaeffer dưòng khơng tao nên sn quan tâm cho nhà khoa hoc lĩnh vnc cho đen báo cna Daubechies, Grossmann Meyer [4] đòi vào năm 1986 Ke tù đó, lý thuyet khung nh¾n đưoc sn quan tâm rđng rói búi nhieu nh Toỏn hoc, Vắt lý hoc, Sinh v¾t hoc, Ky sư, Khung thưòng đưoc sú dung xú lý tín hi¾u, xú lý ánh, nén du li¾u lý thuyet mau Gan đây, khung đưoc sú dung lý thuyet quang hoc nghiên cúu ve không gian Besov, lý thuyet không gian Banach Ngưoc lai, cơng cu manh tù lý thuyet tốn tú lý thuyet không gian Banach lai đưoc sú dung đe nghiên cúu lý thuyet khung [1] Vói mong muon hieu biet sâu sac ve lý thuyet khung không gian Hilbert, đưoc sn đong ý hưóng dan cna giáo - tien sĩ Nguyen Quỳnh Nga, lna chon đe tài nghiên cúu “Khung không gian Hilbert” đe thnc hi¾n lu¾n văn tot nghi¾p 2 Mnc đích nghiên cNu Nghiên cúu tong quan ve só cna lý thuyet khung tính chat bù ròi cna khung khơng gian Hilbert Nhi¾m nghiên cNu Làm rõ lý thuyet bán cho khung; Làm rõ tính bù tính ròi cna khung tính chat có liên quan Đoi tưang pham vi nghiên cNu Đoi tưong nghiên cúu: Khung không gian Hilbert Pham vi nghiên cúu: Các báo, tài li¾u ngồi nưóc liên quan đen khung không gian Hilbert Phương pháp nghiên cNu Sú dung kien thúc phương pháp cna giái tích hàm đe tiep c¾n van đe Thu th¾p nghiên cúu tài li¾u có liên quan, đ¾c bi¾t báo mói ngồi nưóc ve van đe mà lu¾n văn đe c¾p tói úng gúp mỏi Luắn l mđt ti li¾u tong quan ve lý thuyet khung khơng gian Hilbert Chương M®T SO KET QUÁ VÀ KHÁI NIfi BAN ĐAU Trong chương này, se nhac lai m®t vài ket bán se dùng chương sau Các ket đưoc tham kháo tù tài li¾u [6], [8] 1.1 Tốn tN tuyen tính b% ch¾n khơng gian Hilbert Tốn tú tuyen tính T tù không gian Hilbert H vào không gian Hilbert K liên tuc chí b% ch¾n, nghĩa là, ton tai hang so c > cho "T x" ≤ c "x" , vói moi x ∈ H (1.1.1) Ký hi¾u B (H, K) t¾p tat cá tốn tú tuyen tính b% ch¾n tù H vào K Khi H = K B (H, K) đưoc ký hi¾u đơn gián B (H) Chuan cna T ∈ B (H, K) đưoc đ%nh nghĩa hang so c nhó nhat thóa mãn (1.1.1) Nói m®t cách tương đương, "T " = sup {"T x" : x ∈ H, "x" ≤ 1} = sup {"T x" : x ∈ H, "x" = 1} M¾nh đe 1.1.1 Giá sú H, K, L khơng gian Hilbert Neu T ∈ B (H, K) ton tai nhat m®t phan tú T ∗ ∈ B (K, H) cho (T ∗x, y) = (x, T y) , (x ∈ K, y ∈ H) Hơn nua, ∗ i) (aS + bT ) = aS∗ + bT ∗ ∗ ii) (RS) = S∗ R∗ ∗ iii) (T ∗ ) = T iv) I ∗ = I ∗ −1 ∗ v) Neu T ngh%ch T ngh%ch T S, T ∈ B (H, K) , R ∈ B (K, L) a, b ∈ C = (T ∗) −1 , Tốn tú T ∗ ó M¾nh đe 1.1.1 đưoc goi tốn tú liên hop cna tốn tú T M¾nh đe 1.1.2 Giá sú T ∈ B (H, K) S ∈ B (K, L) Khi i) "T x" ≤ "T " "x" , ∀x ∈ H ii) "ST " ≤ "S" "T " iii) "T " = "T ∗ " iv) "T ∗ T " = "T" Khi T ∈ B (H) x, y ∈ H, ta có đong nhat thúc phân cnc sau (T x, y) = {(T (x + y) , x + y) − (T (x − y) , x − y) +i (T (x + iy) , x + iy) − i (T (x − iy) , x − iy)} Cho T ∈ B (H) T đưoc goi toán tú tn liên hop neu T ∗ = T , unita neu T ∗ T = T T ∗ = I T đưoc goi chuan tac neu T ∗ T = T T ∗ T đưoc goi dương (ký hi¾u T ≥ 0) neu (T x, x) ≥ vói moi x ∈ H T, K ∈ B (H) , T ≥ K neu T − K ≥ Chú ý rang vói moi T ∈ B (H) (T ∗ T x, x) = (T x, T x) ≥ vói moi x ∈ H Do T ∗ T dương M¾nh đe 1.1.3 Giá sú T ∈ B (H) Khi i) T tn liên hop neu chs neu (T x, x) thnc vói moi x ∈ H Đ¾c bi¾t, tốn tú dương tn liên hop ii) T unita neu chs neu T ánh xa báo toàn chuan (hay tương đương báo tồn tích vơ hưóng) tù H lên H iii) T chuan tac neu chs neu "T x" = "T ∗ x" vói moi x ∈ H M¾nh đe 1.1.4 Giá sú T ∈ B (H) Khi đieu sau tương đương i) T dương ii) T = S2 S toán tú dương iii) T = V ∗V V ∈ B (H) Tốn tú S ii), nhat đưoc goi b¾c hai cna T , ký hi¾u T Bo đe 1.1.5 Giá sú T ∈ B (H) {ei} {fj} có só trnc chuan cúa H Khi (T ei, ei) = (T fj , fj) i j (T ei, ei) đ®c l¾p vói sn lna chon Tù Bo đe 1.1.5, đai lưong i só trnc chuan cna H Ta goi đai lưong vet cna T ký hi¾u Lay m®t khung {xn} cho H, ta muon tìm mđt khung oi ngau luõn phiờn chắt cho {xn} Trong trưòng hop tong qt có the khơng ton tai Ví du, neu {xn} m®t só Riesz nhng khụng l chắt thỡ nú cú nhat mđt đoi ngau ln phiên khơng ch¾t Như v¾y khơng có khung đoi ngau ln phiên ch¾t trưòng hop Tuy nhiên ket sau chí rang nhieu trưòng hop, khung đoi ngau ln phiên ch¾t ton tai Mắnh e 3.3.9 Cho {xn} l mđt khung cúa không gian Hilbert H lay A ∈ B (H) m®t tốn tú ngh%ch cho An−1x∗ m®t khung Parseval Neu "A" < {xn} có m®t khung đoi ngau ln phiên Parseval chs mien giá tr% cúa toán tú phân tích cúa {xn} có so đoi chieu lón ho¾c bang so chieu cúa H Chúng minh Đ¾t zn = A−1xn ∗ Lay θ1 θ tốn tú phân tích cna {xn} {zn} Khi θ1 (H) = θ (H) {xn} {zn} đong dang Lay P m®t phép chieu tù l2 (J) lên mien giá tr% cna θ lay {en} m®t só trnc giao tiêu chuan cho l2 (J) Tù θ (zn) = P en , ta có zn ⊕ P ⊥ en m®t só trnc chuan cna H ⊕ M , M = P ⊥ l2 (J) ⊥ Trưóc het, giá sú rang dim θ(H) ≥ dim H Chon m®t khơng ⊥ gian đóng N cna θ(H) cho dim N = dim H Giá sú W : N → H m®t unita wn = W Qen , ó Q m®t phép chieu trnc giao tù l2 (J) lên N Khi {wn√ } m®t khung Parseval cna H, ròi manh vói {zn} Lay B = I − AA∗ Khi AA∗ + BB∗ = I Như v¾y, theo M¾nh đe 3.3.7, {Azn + Bwn} m®t khung Parseval cna H Chú ý rang B ngh%ch {Bwn} m®t khung ròi manh vói {zn} Ta có {Bwn} {xn} ròi manh {zn} {xn} đong dang Tù ý sau H¾ 3.2.5, ta có (x, Bwn ) xn = n vói moi x ∈ H Chú ý rang Azn = xn∗ Khi ta có x= ∗ (x, n x ) xn = n (x, Azn + Bwn ) xn n vói moi x ∈ H V¾y {Azn + Bwn} m®t đoi ngau luân phiên Parseval cna {xn} Ngưoc lai, giá thiet rang {xn} có m®t đoi ngau luân phiên Parseval {yn} Đ%nh nghĩa T : H → H ⊕ M bói Tx = (x, yn) zn ⊕ P ⊥ en , x ∈ H n Khi T m®t cn zn ⊕ P ⊥ en m®t só trnc chuan  C  vói C ∈ B (H) D ∈ B (M, N T ∗ zn ⊕ P ⊥ en = yn Đ¾t T =  D ) Khi C ∗ C + D∗D = I yn = C∗zn + D∗ P ⊥ en Ta chúng minh rang C ∗ = A Lay n = Sxn, S ∈ B (H) m®t tốn tú khung cho {xn} x∗ Tù {xn} P ⊥ en ròi manh, ta có ∗ ⊥ x, D P en xn = n Dx, P ⊥ en xn = n vói moi x ∈ H Vì v¾y vói moi x ∈ H, ta có x = = n n = (x, yn) xn ∗ ∗ ⊥ x, C z n + D P en xn ∗ x, C A −1 Sxn xn n Theo M¾nh đe 2.3.1 ta có C∗A−1S = S, suy C ∗ = A Như v¾y D∗D = I − AA∗ ngh%ch Do dim M ≥ dim H M¾nh đe đưoc chúng minh Q Giá sú {xn} m®t khung cna không gian Hilbert H A ∈ B (H) m®t tốn tú ngh%ch cho A−1xn m®t khung Parseval Giá sú rang mien giá tr% cna toán tú phân tích cna {xn} có so đoi chieu ≥ dim H Tù chúng minh cna M¾nh đe 3.3.9, neu ta lay B = −2 I − "A" AA∗ có m®t khung Parseval {wn} cho ròi manh vói A−1x Theo M¾nh đe 3.3.7 , A A−1x + Bw , n "A" n n khung Parseval Tù {xn + "A" Bwn} l mđt khung chắt vúi cắn khung "A Mắc dự {Bwn} khụng nhat thiet l mđt khung cna H, m®t " dãy ròi manh vói {xn} theo nghĩa (x, xn) (x, Bwn ) xn = n Bwn = n vói moi x ∈ H Neu ta yêu cau {Byn} m®t khung cna H, ta có H¾ q 3.3.10 Cho {xn} m®t khung cúa khơng gian Hilbert H Giá sú rang mien giá tr% cúa tốn tú phân tích cúa có so đoi chieu ≥ dim H Khi có m®t khung {yn} cúa H ròi manh vói {xn} cho {xn + yn} l mđt khung chắt cúa H vói c¾n khung gan tùy ý vói c¾n khung cúa {xn} Hơn nua {xn} có m®t đoi ngau ln phiên ch¾t vói c¾n khung bang c¾n cúa {x∗ } n Chúng minh Phan thú hai đưoc suy tù l¾p lu¾n trưóc bang cách thay the {xn} ∗ ∗ bói theo M¾nh đe "A" {x } vói ý c¾n cna {x } bang n n 2.2.5 Đe chúng minh phan thú nhat, lay A ∈ B (H) cho A−1xn m®t khung Parseval Nhân {xn} vói c > cho c "A" < Khi đó, theo phan chúng minh trưóc có m®t khung {un} cna H ròi manh vói {xn} cho {cxn + un} m®t khung Parseval cna H Như cắn vắy xn + c1un l mđt khung chắt cna H Chú ý rang "A" khung cna {xn} v¾y xn + c un có c¾n khung c−2 có the chon gan tùy ý vói "A " H¾ q đưoc chúng minh Q Ket sau đưoc suy trnc tiep tù M¾nh đe 3.3.5 H¾ 3.2.5 H¾ 3.3.11 Giá sú rang {x1n}n∈J, , {xkn}n∈J m®t b® k ròi manh cúa khung khơng gian Hilbert H Khi k khung có m®t đoi ngau luân phiên chung Chúng minh Do tính đong dang, ta có {x∗1 }n∈J , , {x∗ k n }n∈J m®t b® n k ròi manh Theo Mắnh e 3.3.5, k x l mđt khung cna n∈J i=1 ∗ in H Chú ý rang, theo phan ý trưóc H¾ q 3.2.5, =0 i ƒ= l Như v¾y k x∗ tat cá {xin} (i = 1, , k) (x,l x∗ ) xin n n m®t đoi ngau luân phiên chung cho in i=1 n∈J H¾ đưoc chúng minh Q Ta ý rang, neu {xn} m®t khung cna H P m®t phép chieu trnc giao tù H lên khơng gian M , {P xn } P ⊥ xn ròi Đe chí đieu đó, lay U : H → M ⊕ M ⊥ toán tú unita đ%nh nghĩa bói Ux = Px ⊕ P ⊥ x ⊥ ⊥ Khi Ux n = P xn ⊕ P xn Như v¾y P xn ⊕ P xn m®t khung cna M ⊕ M ⊥ , kéo theo {P xn } P ⊥ xn ròi Tuy nhiên chúng khơng phái lúc ròi manh Tù M¾nh đe 2.3.6 M¾nh đe 3.3.2 ta có đ¾c trưng sau Hắ quỏ 3.3.12 Cho {xn} l mđt khung cỳa H giá sú rang P m®t phép chieu trnc giao B (H) Lay S ∈ B (H) m®t tốn tú ∗ ⊥ cho Sx = x Khi {P x } P x n n ròi manh n n chs PS = SP ∗ Chúng minh Theo M¾nh đe 2.3.6, PS = SP ⇔ P x∗ = (P xn ) , ∀n Theo phân n tích ó Ux n = P x.n ⊕ P ⊥ xn Do U unita nên theo H¾ 2.3.2, ∗ ∗ (U xn ) = Ux∗ Do P xn ⊕ P ⊥ xn = P (x∗ ) ⊕ P ⊥ (x∗ ) n n n ⊥ Giá sú {P x n } P xn ròi manh Theo M¾nh đe 3.3.2 ∗ ∗ ∗ P xn ⊕ P ⊥ xn = (P xn ) ⊕ P ⊥ xn , ∀n Do P (x∗ ) ⊕ P ⊥ (x∗ ) = ∗ n ∗ (P xn ) ⊕ P ⊥ xn , ∀n Vì v¾y, n n ∗ = (P xn ) , ∀n Tù PS = SP P x∗ Bây giò giá sú PS = SP Ta có (I − P ) S = S − PS = S − SP = S (I − P ) Do P ⊥ S = SP ⊥ Theo M¾nh đe 2.3.6, ⊥ ∗ n ∗ = P ⊥ xn Vì v¾y, P x ∗ ∗ P (x∗ ) ⊕ P ⊥ (x∗ ) = (P xn ) ⊕ P ⊥ xn , ∀n Tù n n P xn ⊕ P ⊥ xn ∗ ∗ ∗ = P (x∗ ) ⊕ P ⊥ (x∗ ) = (P xn ) ⊕ P ⊥ xn , ∀n n n ∗ Theo M¾nh đe 3.3.2, P xn ⊕ P ⊥ xn m®t khung P xn ⊕ P ⊥ xn = .∗ ∗ (P xn ) ⊕ P ⊥ xn , ∀n nên {P xn } P ⊥ xn ròi manh H¾ đưoc chúng minh Q H¾ 3.3.13 Giá sú rang {xj} m®t khung khơng gian Hilbert H Khi {xj} có nhat m®t đoi ngau ln phiên chs m®t só Riesz Chúng minh Ta chí can chúng minh đieu kiắn can Trúc het giỏ sỳ rang {xj} l mđt khung Parseval khơng m®t só trnc chuan Theo Mắnh e 2.2.1, cú mđt khung Parseval {yj} cna m®t khơng gian Hilbert M cho {xj ⊕ yj} m®t só trnc chuan cho H ⊕ M Chon yk ƒ= lay P m®t phép chieu tù M lên không gian đưoc tao bói yk Như v¾y {xj} {P yj } ròi manh tù {xj ⊕ P yj } = {(I ⊕ P ) (xj ⊕ yj )} m®t khung Parseval cna H ⊕ PM Nhúng M H bói phép cn U Khi {xj} {U P yj } ròi manh Như v¾y, theo H¾ 3.2.5, (x, U P yj ) xj = j ⊥ vói moi x ∈ UM Neu x ∈ (UM ) , ta có (x, Uy j) = Như v¾y (x, U P yj ) xj = j vói moi x ∈ H Nó kéo theo x= (x, xj) xj = j (x, xj + U P yj ) xj, x ∈ H j Theo M¾nh đe 3.3.5, {xj + U P xj } m®t khung cna H Nó m®t đoi ngau ln phiên cna {xj}, khác vói đoi ngau tac xk ƒ= xk + U P yk Bây giò lay {xj} m®t khung bat kỳ khơng só Riesz Theo Mắnh e 2.3.1, cú mđt toỏn tỳ khỏ ngh%ch A ∈ B (H) cho {Axj} m®t khung Parseval cna H x= (x, Sx j) xj j vói moi x ∈ H, vói S = A∗A {Sxj} khung đoi ngau tac cna {xj} Chú ý rang {Axj} khơng m®t só trnc chuan Nh vắy, tự ieu vựa chỳng minh cú mđt đoi ngau luân phiên {yj} cna {Axj} khác {Axj} Lay zj = A∗yj {zj} m®t khung khác vói khung đoi ngau tac {A∗Axj} x=A −1 −1 Ax = A (Ax, yj) Axj = j (x, Ayj) xj j Nh vắy {Ayj} l mđt đoi ngau luân phiên cna {xj} Do {xj} có khung đoi ngau khác {Sxj} {A∗yj} H¾ đưoc chúng minh Q Trong trưòng hop {xn} m®t khung Parsval, ta có the chí rang có nhat m®t khung đoi ngau luân phiên Parseval {xn} Tuy nhiên, neu {xn} thóa mãn thêm đieu ki¾n đoi chieu H¾ q 3.3.10 ngồi khung đoi ngau tac {xn}, có m®t khung đoi ngau ln ch¾t khác có dang {xn + yn}, ú {yn} l mđt khung chắt cna H rũi manh vói {xn} Chú ý 3.3.14 Ta đưa m®t so úng dung tiem cna b® k ròi manh Đe đơn gián ta chí xem xét khung Parseval Tuy nhiên, tat cá ket sau đeu neu thay the khung tat cá tích vơ hưóng thích hop bói khung đoi ngau tac cna chúng Giá sú rang {xn : n ∈ N} {yn : n ∈ N} khung Parseval ròi manh cna khơng gian Hilbert H v K Khi ú, lay mđt cắp vect bat kỳ x ∈ H, y ∈ K, ta có x= (x, xn) xn;y = n∈N (y, yn) yn n∈N Neu ta lay an = (x, xn) bn = (y, yn) cn = an + bn, ta có anyn = 0; n∈N bnxn = 0, n∈N tù phép ròi manh ta có x= cnxn, y = n∈N c nyn n∈N Đieu rang, bang cỏch sỳ dung mđt hop du li¾u {cn}, ta có the phuc hoi lai hai vectơ x y (chúng có the nam không gian Hilbert khác nhau) bang cách áp dung bien đoi ngưoc tương úng vói hai khung {xn} {yn} Lắp luắn trờn rừ rng cú the mú rđng cho trưòng hop b® k: Neu {fin : n ∈ J} , i = 1, , k m®t b® k ròi manh cna khung Parseval cna khơng gian Hilbert H1, H2, , Hk neu b® (x1, , xk) m®t b® k tùy ý cna vectơ xi ∈ Hi, ≤ i ≤ k, ta có xi = (xi, fin) fin n∈J vói ≤ i ≤ k Vì the neu ta đ%nh nghĩa m®t dãy so phúc {cn : n ∈ J} bói k cn = i=1 (xi, fin), tính ròi manh kéo theo rang vói moi i riêng lé ta có xi = cnfin n∈J Quan sát đơn gián có the có ích úng dung nén du li¾u M¾nh đe 3.3.15 Cho {fin : n ∈ J} , i = 1, , k m®t b® k ròi manh cúa khung Parseval cúa không gian Hilbert H1, H2, , Hk Lay θi : Hi → l2 (J) toán tú phân tích tương úng vói moi i lay Γi = θ∗ i : l2 (J) → Hi Khi Γiθj = neu i ƒ= j Γiθi =i IH , i, j = 1, , k Chúng minh Khang đ%nh Γiθj = neu i ƒ= j tương đương vói fin = (x, fjn) n neu i ƒ= j mà đieu suy tù ý sau H¾ Khang đ%nh Γiθi = IHi tương đương vói 3.2.5 (x, fin) fin = x mà đieu n suy tù {fin}n khung Parseval M¾nh đe đưoc chúng minh Q KET LU¾N Luắn ó trỡnh by lai mđt cỏch hắ thong bo sung m®t so chúng minh chi tiet m®t so ket cna lý thuyet khung không gian Hilbert theo quan điem giãn Cu the lu¾n văn nghiên cúu ve khung không gian Hilbert huu han chieu, khung đoi ngau luân phiên, tính chat bù ròi cna khung, đ¾c trưng cna tính tương đương, tính ròi tính bù Tài li¾u tham kháo [1] P Casazza (2001), “The art of frame theory”, Taiwanese J of Math Vol 4, No 2, 129 - 201 [2] O Christensen (2003), An introduction to frames and Riesz bases, Birkhaăuser, Boston [3] I Daubechies (1992), Ten lectures on Wavelets, CBS – NSF Regional Conferences Series in Applied Mathematics, 61, SIAM, Philadelphia [4] I Daubechies, A Grossmann and Y Meyer (1986), “Painless nonorthogonal expansions”, J Math Phys., Vol 27, 1271 - 1283 [5] R J Duffin and A C Schaeffer (1952), “A class of nonharmonic Fourier Series”, Trans Amer Math Soc , Vol 72, 341 - 366 [6] D Han, K Kornelson, D Larson and E Weber (2007), Frames for Undergraduates, Student Mathematical Library, Vol 40, American Mathematical Society [7] D Han and D Larson (2000), “Frames, Bases and Group Representations”, Mem Amer Math Soc , Vol 147, No 697, - 94 [8] R Kadison and J Ringrose (1983), Fundamentals of the theory of operator algebras, Vol 1, Academic Press, New York 73 ... hieu biet sâu sac ve lý thuyet khung không gian Hilbert, đưoc sn đong ý hưóng dan cna giáo - tien sĩ Nguyen Quỳnh Nga, lna chon đe tài nghiên cúu Khung không gian Hilbert đe thnc hi¾n lu¾n văn... tưang pham vi nghiên cNu Đoi tưong nghiên cúu: Khung không gian Hilbert Pham vi nghiên cúu: Các báo, tài li¾u ngồi nưóc liên quan đen khung không gian Hilbert Phương pháp nghiên cNu Sú dung kien... 1.4 Tong trNc tiep cúa không gian Hilbert Khi H1, , Hk không gian Hilbert v K l cna tat cỏ cỏc bđ k {x1, , xk} vói xj ∈ Hj (j = 1, , k), ta có m®t cau trúc khơng gian Hilbert K, tốn tú đai so,