Khung trong không gian Hilbert

LỜI CẢM ƠN Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của cô giáo - tiến sĩ Nguyễn Quỳnh Nga. Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng, lòng biết ơn sâu sắc nhất đối với cô. Cô đã dành nhiều thời gian hướng dẫn, chỉ bảo cho tác giả những kiến thức và kinh nghiệm quí báu, luôn động viên để tác giả vươn lên trong học tập và vượt qua những khó khăn trong chuyên môn. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường ĐHSP Hà Nội 2, Phòng Sau đại học, Khoa Toán, Tổ Giải tích, quý thầy cô, đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả kết thúc tốt đẹp chương trình cao học và hoàn thành luận văn tốt nghiệp. Tác giả xin chân thành cảm ơn Trường THPT Yên Lãng và Tổ Toán - Tin đã tạo điều kiện giúp đỡ để tác giả học tập và hoàn thành tốt luận văn. Tác giả xin chân thành cảm ơn sự gúp đỡ động viên của gia đình, bạn bè, các thành viên lớp cao học Toán Giải tích khóa 2010 -2012 để tác giả hoàn thành luận văn. Hà Nội, tháng 12 năm 2012 Tác giả Đỗ Thủy Tiên i LỜI CAM ĐOAN Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Quỳnh Nga. Một số kết quả đã đạt được trong luận văn là mới và chưa từng được công bố trong bất kỳ công trình khoa học nào của ai khác. Hà Nội, tháng 12 năm 2012 Tác giả Đỗ Thủy Tiên ii Mục lục Mở đầu 1 1 MỘT SỐ KẾT QUẢ VÀ KHÁI NIỆM BAN ĐẦU 4 1.1. Toán tử tuyến tính bị chặn trên không gian Hilbert . . . 4 1.2. Phép chiếu trực giao và phần bù trực giao . . . . . . . . 7 1.3. Toán tử đẳng cự bộ phận . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4. Tổng trực tiếp của các không gian Hilbert . . . . . . . . 11 2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT KHUNG 14 2.1. Khung trong không gian hữu hạn chiều . . . . . . . . . . 15 2.2. Khung nhìn từ quan điểm giãn nở . . . . . . . . . . . . . 17 2.3. Khung đối ngẫu luân phiên . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.3.1. Khung đối ngẫu chính tắc . . . . . . . . . . . . . 33 2.3.2. Khung đối ngẫu luân phiên . . . . . . . . . . . . 36 3 KHUNG BÙ VÀ TÍNH RỜI 42 3.1. Tính chất bù nhau và rời nhau của các khung . . . . . . 42 iii 3.2. Các đặc trưng của tính tương đương, tính rời nhau và tính bù nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.3. Một vài kết quả khác về khung đối ngẫu luân phiên . . . 58 Kết luận 72 Tài liệu tham khảo 73 iv MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Khung trong không gian Hilbert được Duffin và Schaeffer [5] đưa ra chính thức vào năm 1952 khi nghiên cứu một số bài toán về chuỗi Fourier không điều hòa. Tuy nhiên, ý tưởng của Duffin và Schaeffer dường như không tạo nên sự quan tâm cho các nhà khoa học ngoài lĩnh vực đó cho đến khi bài báo của Daubechies, Grossmann và Meyer [4] ra đời vào năm 1986. Kể từ đó, lý thuyết khung nhận được sự quan tâm rộng rãi bởi nhiều nhà Toán học, Vật lý học, Sinh vật học, Kỹ sư,. . . . Khung thường được sử dụng trong xử lý tín hiệu, xử lý ảnh, nén dữ liệu và trong lý thuyết mẫu. Gần đây, khung còn được sử dụng trong các lý thuyết quang học cũng như các nghiên cứu về các không gian Besov, lý thuyết không gian Banach. Ngược lại, các công cụ mạnh từ lý thuyết toán tử và lý thuyết không gian Banach lại được sử dụng để nghiên cứu trong lý thuyết khung [1]. Với mong muốn hiểu biết sâu sắc hơn về lý thuyết khung trong không gian Hilbert, được sự đồng ý hướng dẫn của cô giáo - tiến sĩ Nguyễn Quỳnh Nga, tôi lựa chọn đề tài nghiên cứu “Khung trong không gian Hilbert” để thực hiện luận văn tốt nghiệp. 2 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu tổng quan về cơ sở của lý thuyết khung và các tính chất bù nhau và rời nhau của các khung trong không gian Hilbert. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Làm rõ lý thuyết cơ bản cho khung; Làm rõ tính bù và tính rời của khung và các tính chất có liên quan. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Khung trong không gian Hilbert. Phạm vi nghiên cứu: Các bài báo, tài liệu trong và ngoài nước liên quan đến khung trong không gian Hilbert. 5. Phương pháp nghiên cứu Sử dụng các kiến thức và phương pháp của giải tích hàm để tiếp cận vấn đề. Thu thập và nghiên cứu các tài liệu có liên quan, đặc biệt là các bài báo mới trong và ngoài nước về vấn đề mà luận văn đề cập tới. 3 6. Đóng góp mới Luận văn là một tài liệu tổng quan về lý thuyết khung trong không gian Hilbert. Chương 1 MỘT SỐ KẾT QUẢ VÀ KHÁI NIỆM BAN ĐẦU Trong chương này, chúng tôi sẽ nhắc lại một vài kết quả cơ bản sẽ dùng trong chương sau. Các kết quả này được tham khảo từ tài liệu [6], [8]. 1.1. Toán tử tuyến tính bị chặn trên không gian Hilbert Toán tử tuyến tính T từ không gian Hilbert H vào không gian Hilbert K là liên tục khi và chỉ khi nó bị chặn, nghĩa là, tồn tại hằng số c > 0 sao cho T x ≤ c x, với mọi x ∈ H. (1.1.1) Ký hiệu B (H, K) là tập tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn từ H vào K. Khi H = K thì B (H, K) được ký hiệu đơn giản là B (H). Chuẩn của T ∈ B (H, K) được định nghĩa là hằng số c nhỏ nhất 4 5 thỏa mãn (1.1.1). Nói một cách tương đương, T  = sup {T x : x ∈ H, x ≤ 1} = sup {T x : x ∈ H, x = 1}. Mệnh đề 1.1.1. Giả sử H, K, L là các không gian Hilbert. Nếu T ∈ B (H, K) thì tồn tại duy nhất một phần tử T ∗ ∈ B (K, H) sao cho T ∗ x, y = x, T y, (x ∈ K, y ∈ H) . Hơn nữa, i) (aS + bT ) ∗ = aS ∗ + bT ∗ . ii) (RS) ∗ = S ∗ R ∗ . iii) (T ∗ ) ∗ = T . iv) I ∗ = I. v) Nếu T khả nghịch thì T ∗ cũng khả nghịch và  T −1  ∗ = (T ∗ ) −1 , trong đó S, T ∈ B (H, K) , R ∈ B (K, L) và a, b ∈ C. Toán tử T ∗ ở Mệnh đề 1.1.1 được gọi là toán tử liên hợp của toán tử T. Mệnh đề 1.1.2. Giả sử T ∈ B (H, K) và S ∈ B (K, L). Khi đó i) T x ≤ T x, ∀x ∈ H. ii) ST  ≤ ST . iii) T  = T ∗ . iv) T ∗ T  = T  2 . Khi T ∈ B (H) và x, y ∈ H, ta có đồng nhất thức phân cực sau T x, y = 1 4 {T (x + y) , x + y −T (x −y) , x −y +i T (x + iy) , x + iy −i T (x −iy) , x −iy}. 6 Cho T ∈ B (H). T được gọi là toán tử tự liên hợp nếu T ∗ = T , là unita nếu T ∗ T = T T ∗ = I. T được gọi là chuẩn tắc nếu T ∗ T = T T ∗ . T được gọi là dương (ký hiệu T ≥ 0) nếu T x, x ≥ 0 với mọi x ∈ H. T, K ∈ B (H) , T ≥ K nếu T − K ≥ 0. Chú ý rằng với mỗi T ∈ B (H) thì T ∗ T x, x = T x, T x ≥ 0 với mọi x ∈ H. Do đó T ∗ T là dương. Mệnh đề 1.1.3. Giả sử T ∈ B (H). Khi đó i) T là tự liên hợp nếu và chỉ nếu T x, x là thực với mọi x ∈ H. Đặc biệt, toán tử dương là tự liên hợp. ii) T là unita nếu và chỉ nếu T là ánh xạ bảo toàn chuẩn (hay tương đương là bảo toàn tích vô hướng) từ H lên H. iii) T là chuẩn tắc nếu và chỉ nếu T x = T ∗ x với mọi x ∈ H. Mệnh đề 1.1.4. Giả sử T ∈ B (H). Khi đó các điều sau đây là tương đương i) T là dương. ii) T = S 2 trong đó S là toán tử dương. iii) T = V ∗ V trong đó V ∈ B (H). Toán tử S trong ii), là duy nhất và được gọi là căn bậc hai của T , ký hiệu là T 1 2 . Bổ đề 1.1.5. Giả sử T ∈ B (H) và {e i } và {f j } là cở sở trực chuẩn của H. Khi đó  i T e i , e i  =  j T f j , f j . Từ Bổ đề 1.1.5, đại lượng  i T e i , e i  độc lập với sự lựa chọn cơ sở trực chuẩn của H. Ta gọi đại lượng này là vết của T và ký hiệu là [...]... các vectơ xj khác ở trong khung Vì vậy một khung Parseval của các vectơ đơn vị là một cơ sở trực chuẩn Mặt khác, một số các vectơ trong một khung chặt có thể là vectơ - không Nếu H là không gian Hilbert không, thì một tập chỉ số đếm được bất kỳ của các vectơ không đáp ứng định nghĩa của một khung Parseval (miễn là ta quy ước A = B = 1 trong trường hợp này) Giả sử {xj : j ∈ J} là một khung Parseval cho... hoặc thậm chí không thể tìm thấy cơ sở đáp ứng điều kiện bổ sung và đây là lí do mà người ta mong muốn tìm một công cụ linh hoạt hơn Khung là công cụ như vậy Một khung cho một không gian vectơ được trang bị một tích trong cũng cho phép mỗi phần tử trong không gian được viết như là một tổ hợp tuyến tính của các phần tử trong khung, nhưng tính độc lập tuyến tính giữa các phần tử khung là không cần thiết... là một khung Parseval cho H, Λ ⊂ J Nếu j ∈ Λ thì / xj 2 2 | xj , xk |2 = = k∈J | xj , xi | i∈Λ | xj , xk |2 = 0 Vì thế xj , xj = 0, suy ra xj = 0 Vì vậy cách Do đó k ∈Λ / duy nhất để mở rộng một khung để được một khung Parseval là thêm các vectơ không Nếu {xn } là một khung mà không là cơ sở Riesz và không phải là một dãy các vectơ không trên không gian Hilbert không thì ta gọi {xn } là một khung thực... các không gian Hilbert Khi H1 , , Hk là các không gian Hilbert và K là tập của tất cả các bộ k {x1 , , xk } với xj ∈ Hj (j = 1, , k), ta có một cấu trúc không gian Hilbert trên K, trong đó các toán tử đại số, tích trong và chuẩn được định nghĩa bởi a {x1 , , xk } + b {y1 , , yk } = {ax1 + by1 , , axk + byk } , {x1 , , xk } , {y1 , , yk } = x1 , y1 + + xk , yk , {x1 , , xk } = x1 2 + + xk 2 1 2 Không. .. Đặc biệt hai khung là đồng dạng khi và chỉ khi toán tử giải tích của chúng có cùng miền giá trị Do đó, có một tương ứng 1-1 giữa các không gian con tuyến tính đóng của l2 (J) và các lớp đồng dạng của các khung có tập chỉ số J Hệ quả 2.2.3 Cho J là một tập đếm được Một tập {xn : n ∈ J} là một khung Parseval của không gian Hilbert H khi và chỉ khi tồn tại một không gian Hilbert M và một khung Parseval... minh Ta mong muốn rằng khung bù {yj } với khung {xj } trong Mệnh đề 2.2.6 luôn có thể chọn trong H, nghĩa là M có thể chọn như một không gian con của H Tổng quát thì điều đó không đúng Ví dụ lấy H = C và lấy {xj } = 1 1 1 √ ;√ ;√ 3 3 3 Khi đó {xj } là một khung Parseval cho H Giả sử rằng {yj } là một khung của H sao cho {xj ⊕ yj } là một cơ sở Riesz cho H ⊕ M , trong đó M là không gian con của H được... một khung {wj } bất kỳ sao cho {yj ⊕ wj } là một cơ sở Riesz cho không gian tổng trực tiếp là một khung bù (phần bù) với {xj } Mọi khung đều có một khung Parseval là phần bù (xem Mệnh đề 2.2.6), nhưng không duy nhất như trường hợp khung bù mạnh (xem Ví dụ 2.2.5) Điều này và các kết quả liên quan được trình bày trong Chương 3 Ta xét kỹ thuật trong phần chứng minh của Mệnh đề 2.2.1 cho trường hợp một khung. .. toán tử khả nghịch bị chặn Một khung một cách chính xác là ảnh của một khung Parseval dưới một toán tử khả nghịch bị chặn Nếu ký hiệu toán tử bị chặn khả nghịch là T thì cận trên và cận dưới của khung tương ứng là T 2 và T −1 −2 Mệnh đề 2.2.6 Cho J là tập chỉ số đếm được Nếu {xj : j ∈ J} là một khung của không gian Hilbert H, thì tồn tại một không gian Hilbert M và một khung Parseval {yj : j ∈ J} cho... THUYẾT KHUNG Trong nghiên cứu không gian vectơ một trong những khái niệm quan trọng nhất là cơ sở, cho phép mỗi phần tử ở trong không gian được viết như là một tổ hợp tuyến tính của các thành phần trong cơ sở Tuy nhiên, điều kiện là cơ sở rất hạn chế - không có sự phụ thuộc tuyến tính giữa các thành phần là có thể và đôi khi chúng ta thậm chí muốn các thành phần trực giao tương ứng với một tích trong. .. phần tử {fj }k trong V là một khung j=1 của V khi và chỉ khi span {fj }k = V j=1 Hệ quả 2.1.3 chỉ ra một khung có thể có số phần tử nhiều hơn số phần tử cần thiết để làm cơ sở Đặc biệt, nếu {fj }k là một khung của j=1 V và {gj }m là một tập hữu hạn tùy ý các vectơ trong V thì {fj }k ∪ j=1 j=1 {gj }m cũng là một khung của V j=1 2.2 Khung nhìn từ quan điểm giãn nở Cho H là không gian Hilbert phức khả . nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Khung trong không gian Hilbert. Phạm vi nghiên cứu: Các bài báo, tài liệu trong và ngoài nước liên quan đến khung trong không gian Hilbert. 5. Phương pháp nghiên. sắc hơn về lý thuyết khung trong không gian Hilbert, được sự đồng ý hướng dẫn của cô giáo - tiến sĩ Nguyễn Quỳnh Nga, tôi lựa chọn đề tài nghiên cứu Khung trong không gian Hilbert để thực hiện. các không gian Hilbert Khi H 1 , , H k là các không gian Hilbert và K là tập của tất cả các bộ k {x 1 , , x k } với x j ∈ H j (j = 1, , k), ta có một cấu trúc không gian Hilbert trên K, trong