Một vài cơ sở và khung trong không gian hilbert

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– VÕ THỊ NGA MỘT VÀI CƠ SỞ VÀ KHUNG TRONG KHƠNG GIAN HILBERT Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 8.46.01.02 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng - Năm 2018 Cơng trình hồn thành Trường Đại học Sư phạm - ĐHĐN Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS NGUYỄN NHỤY Phản biện 1: Phản biện 2: Luận văn bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Khoa học họp Trường Đại học Sư phạm - ĐHĐN vào ngày 17 tháng 06 năm 2018 Có thể tìm hiểu luận văn - Trung tâm Thơng tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong năm gần Lý thuyết sóng nhỏ (Theory of Wavelets) phát triển mạnh mẽ, trở thành tảng cho việc xây dựng Lý thuyết truyền tin lí thuyết ứng dụng khác Không gian sở mà Lý thuyết xây dựng L2 (R), khơng gian hàm bình phương khả tích R Do phần tử thuộc L2 (R), biểu diễn qua sở nên người ta phải quan tâm đến sở không gian Trong số sở L2 (R) có loại sở đặc biệt sở wavelets trực chuẩn Luận văn giới thiệu loại sở wavelets trực chuẩn thường dùng đến sở Gabor sở Haar, hai sở cho nhiều ứng dụng Tuy nhiên phát triển lí thuyết đòi hỏi thực tiễn áp dụng người ta dần thấy đòi hỏi khái niệm sở trực chuẩn L2(R) chặt chẽ nên tìm cách mở rộng thành khái niệm Khung (Frame) cho không gian Hilbert tổng quát Bởi lý với định hướng thầy giáo PGS.TS Nguyễn Nhụy, định chọn đề tài: "MỘT VÀI CƠ SỞ VÀ KHUNG TRONG KHÔNG GIAN HILBERT" làm đề tài luận văn thạc sĩ cho Mục đích nghiên cứu Do khơng gian hàm bình phương khả tích L2 (R) tảng để xây dựng sở wavelets Haar sở truyền tin Gabor, nên L2 (R) cần nghiên cứu cách chi tiết với tư cách không gian Hilbert Mặt khác để ứng dụng có hiệu khơng gian L2 (R) việc thực phép toán, ta cần xấp xỉ L2 (R) khơng gian khác có nhiều tính "tốt" hơn, liên tục, có giá compact, đạo hàm, Ta cần xấp xỉ không gian không gian hàm liên tục có giá compact, đa thức Từ hàm L2 (R) có đạo hàm cấp theo nghĩa suy rộng, nhờ ta lấy đạo hàm chúng (theo nghĩa suy rộng) thực phép tính đạo hàm Từ ta xây dựng hàm sinh sở trực chuẩn Gabor Haar Hai sở đóng vai trò quan trọng Lí thuyết sóng nhỏ đặc biệt Lí thuyết truyền tin Khi có sở ta tổng quát hóa lên xây dựng khái niệm Khung tính chất Khung không gian Hilbert hữu hạn chiều không gian Hilbert tổng quát Đối tượng nghiên cứu Các hàm thực liên tục, tập hàm thực liên tục, dãy hàm số thực, đa thức thực, đa thức hệ số phức, hàm phức, phép toán tập hàm phức liên tục Dàn hàm thực liên tục, vectơ mối liên hệ vectơ, phép tốn khơng gian Hilbert Phạm vi nghiên cứu Dàn hàm thực không gian compact, không gian Metric compact, phép toán mối tương quan phần tử không gian Hilbert hữu hạn chiều Họ hàm từ không gian Metric compact vào khơng gian hàm phức bình phương khả tích R Không gian hàm phức p tuyệt đối khả tích Phương pháp nghiên cứu Thu thập tài liệu sưu tầm được, báo cáo khoa học, sách có liên quan đến đề tài làm luận văn, tìm hiểu chúng tóm tắt kết thu theo hiểu biết cách ngắn gọn, hệ thống khoa học chứng minh chi tiết đưa kết phù hợp nhất, đắn cho luận văn Thường xuyên trao đổi thảo luận với người hướng dẫn làm Ý nghĩa khoa học thực tiễn Đề tài có giá trị mặt lí thuyết dùng tham khảo cho sinh viên học viên khoa Tốn q trình nghiên cứu học tập Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo luận văn chia làm chương Chương vài kiến thức chuẩn bị với mục đích tạo liệu cần thiết cho chương sau đặc biệt chương Kết mong muốn thu chương hàm bình phương khả tích R xấp xỉ hàm liên tục có giá compact Chương giới thiệu sở trực chuẩn wavelets L2 (R) Đó sở Haar sở Gabor Chương dành cho việc xây dựng Khung tính chất Khung khơng gian Hilbert hữu hạn chiều Bên cạnh có số ví dụ minh họa thêm cho kết nêu CHƯƠNG MỘT VÀI KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Mục đích chương tạo liệu cần thiết cho chương sau đặc biệt cho chương Kết ta mong muốn thu trước hết chương hàm bình phương khả tích R xấp xỉ hàm liên tục có giá compact (Định lý 1.6.1) Hơn nữa, Định lý Stone-Weierstrass phức (1.4.1) cho ta khả xây dựng sở Gabor cho L2 (R) 1.1 XẤP XỈ CÁC HÀM THỰC TRÊN MỘT ĐOẠN BỞI ĐA THỨC Bổ đề 1.1.1 Với số nguyên dương n số thực x n k=0 n k n−k (nx − k) x (1 − x) = nx(1 − x) k n k = n! k!(n−k)! hệ số nhị thức Định lí 1.1.2 Giả sử f hàm thực liên tục [0, 1] ε > số cho trước Khi có đa thức thực p cho sup |f (x) − p(x)| < ε 0≤x≤1 Định lí 1.1.3 (Định lý Weierstrass) Nếu f hàm thực liên tục đoạn [a,b] ε > số cho trước tồn đa thức thực p cho sup |f (x) − p(x)| < ε a≤x≤b 1.2 DÀN CÁC HÀM LIÊN TỤC TRÊN MỘT KHÔNG GIAN COMPACT Định nghĩa 1.2.1 Giả sử f g hàm thực tập X , tức f, g : X → R (nói rõ f , g ánh xạ từ tập X vào tập số thực mở rộng R = R ∪ {−∞} ∪ {+∞}) Ta định nghĩa f ∨ g f ∧ g (theo thứ tự đọc f hợp g f giao g ) hàm cho (f ∨g)(x) = max {f (x), g(x)} , (f ∧g)(x) = {f (x), g(x)} Một họ L hàm thực tập X gọi dàn đóng phép tốn hợp (∨) (∧) hai hàm thuộc nó, điều có nghĩa là, f, g ∈ L f ∨ g ∈ L f ∧ g ∈ L Chẳng hạn, X không gian metric compact tập CR (X) hàm thực liên tục X dàn Ta dễ dàng nhận điều f, g hàm thực tập xác định f ∨ g = 21 (f + g + |f − g|) f ∧ g = 12 (f + g − |f − g|) Ta biết CR (X) không gian Banach với chuẩn f = sup |f (x)| x∈X ∞ Định nghĩa 1.2.2 Một dãy hàm số thực {gn }n=1 tập hợp X gọi hội tụ đến hàm f X hàm f gọi giới hạn dãy hàm {gn } sup |f (x) − gn(x)| → n → ∞ x∈X Định lí 1.2.3 (Định lý Stone) Giả sử X không gian metric compact L tập CR (X) thỏa mãn điều kiện sau: (a) L dàn (b) Giả sử a, b ∈ R x, y hai điểm phân biệt X , tồn hàm f ∈ L cho f (x) = a, f (y) = b Khi L trù mật CR (X), nghĩa là, g ∈ CR (X) ε > số cho trước, tồn hàm h ∈ L cho g − h = sup |g(x) − h(x)| < ε x∈X Nói khác đi, hàm số thực liên tục g X giới hạn dãy hàm {hn } ⊂ L Hệ 1.2.4 Mọi hàm thực liên tục f liên tục tập compact X ⊂ R xấp xỉ đa thức thực X có hệ số hữu tỉ Hệ 1.2.5 Tập CR (X) hàm thực liên tục tập compact X ⊂ R không gian Banach khả li 1.3 ĐẠI SỐ CÁC HÀM LIÊN TỤC Định nghĩa 1.3.1 Ta nói họ hàm A = {f : X → C} từ tập X vào tập số phức C, gọi tắt hàm phức tập X , đại số thực (phức) X với f, g ∈ A số thực (phức) α ta ln có hàm f + g, αf f g thuộc A, phép toán hai hàm phép nhân với vô hướng định nghĩa: với x ∈ X (f + g)(x) = f (x) + g(x), (αf )(x) = αf (x), (f g)(x) = f (x)g(x) Mệnh đề 1.3.2 Cho X không gian metric compact, A đại số CR (X) giả sử A trù mật CR (X) Khi đó: (a) A phân biệt điểm X , nghĩa điểm x1 , x2 ∈ X, x1 = x2, tồn hàm f ∈ A cho f (x1) = f (x2) (b) Không tồn điểm X mà hàm thuộc A triệt tiêu Định lí 1.3.3 (Định lý Stone-Weierstrass thực) Cho X không gian metric compact A đại số CR (X) với tính chất sau (a) A phân biệt điểm X (b) Khơng có điểm X mà hàm A triệt tiêu Khi A trù mật CR (X) 1.4 ĐỊNH LÝ STONE-WEIERSTRASS PHỨC Định lí 1.4.1 (Định lý Stone-Weiertrass phức) Cho X không gian metric compact A đại số C(X) với tính chất sau (a) A phân biệt điểm X (b) Khơng có điểm X mà hàm A triệt tiêu (c) Đại số A tự liên hợp, nghĩa là, f ∈ A f ∈ A Khi đó, A trù mật C(X) 1.5 XẤP XỈ TRONG KHÔNG GIAN LP[a, b](−∞ < a < b < +∞) Ta gọi LP [a, b](−∞ < a < b < ∞) tập tất hàm f : [a, b] → C tuyệt đối khả tích Riemann cấp p đoạn hữu hạn [a, b], tức b p |f | < ∞ a Kí hiệu b f p 1/p p |f | = a Mục đích đoạn không gian C[a, b] hàm phức liên tục [a, b] trù mật Lp [a, b] Trước hết cần có vài khái niệm Giả sử A tập đường thẳng thực R Gọi χA hàm đặc trưng tập A, tức hàm cho x ∈ A x ∈ / A Giả sử R cho trước δ−đại số Borel B A đo χA(x) = δ−đại số Thật vậy, với α ∈ R  ∅ {x ∈ R : χA(x) > a} = R  nếu A Cho nên với A đo χA đo Ngược a≥1 a