Luận văn sư phạm Một số Tôpô thường gặp trong không gian các toán tử tuyến tính bị chặn của một không gian Hilbert

LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn TS Tạ Ngọc Trí Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành, sâu sắc tới TS Tạ Ngọc Trí Người ln quan tâm, động viên tận tình hướng dẫn em trình thực luận văn Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, thầy cô giáo nhà trường thầy giáo tổ Giải tích, tạo điều kiện thuận lợi suốt trình em học tập nghiên cứu Do thời gian kiến thức có hạn nên vấn đề trình bày khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô bạn sinh viên để khóa luận hồn thiện Em xin chân thành cám ơn! Hà Nội, tháng năm 2013 Sinh viên Nguyễn Thị Thảo LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan khóa luận cơng trình nghiên cứu riêng em hướng dẫn TS Tạ Ngọc Trí Trong nghiên cứu khóa luận, em kế thừa thành khoa học nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng năm 2013 Sinh viên Nguyễn Thị Thảo Mục lục Mở đầu Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 Không gian Hilbert 1.1.1 Tích vơ hướng 1.1.2 Không gian Hilbert 1.1.3 Khái niệm trực giao, hệ trực giao 1.1.4 Cơ sở trực chuẩn 10 1.1.5 Không gian đối ngẫu 10 1.1.6 Sự hội tụ không gian Hilbert 10 1.1.7 Toán tử liên hợp 12 Không gian tôpô 13 1.2.1 Cơ sở tiền sở 14 1.2.2 Lân cận sở lân cận 15 1.2.3 Phần trong, bao đóng 16 1.2.4 Ánh xạ liên tục 16 1.2.5 Lưới 17 1.3 Không gian véctơ tôpô 17 1.4 Không gian lồi địa phương 18 Một số tơpơ thường gặp khơng gian tốn tử tuyến tính bị chặn khơng gian Hilbert 20 2.1 2.2 Tôpô sinh họ nửa chuẩn 20 2.1.1 Nửa chuẩn 20 2.1.2 Tôpô sinh họ nửa chuẩn 21 Một số tơpơ thường gặp khơng gian tốn tử tuyến tính bị chặn khơng gian Hilbert 2.3 26 Một số định lí liên quan đến ba loại tôpô B(H) 28 Kết luận 36 Tài liệu tham khảo 37 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Giải tích hàm ngành Giải tích tốn học nghiên cứu tập hợp trang bị thêm tơpơ thích hợp Trong đó, khơng gian Hilbert lớp quan trọng Khơng gian Hilbert tổng qt hóa khái niệm, tính chất khơng gian Euclid xác định tích vơ hướng xây dựng khái niệm có liên quan Ta nhận thấy khơng gian Hilbert √ không gian Banach với chuẩn x = < x, x >, x ∈ H Theo định lí F.Rize ta đồng khơng gian Hilbert khơng gian liên hợp Trên đó, người ta xây dựng tôpô khác tôpô mạnh, tôpô yếu, tôpô yếu ∗ , từ xây dựng khái niệm hội tụ: hội tụ mạnh, hội tụ yếu, khái niệm liên tục mạnh, liên tục yếu Để tìm hiểu vấn đề em lựa chọn đề tài: " Một số tơpơ thường gặp khơng gian tốn tử tuyến tính bị chặn khơng gian Hilbert” Nội dung khóa luận Nội dung khóa luận bao gồm hai chương: Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Chương 2: Một số tôpô thường gặp không gian tốn tử tuyến tính bị chặn khơng gian Hilbert Mục đích nghiên cứu Bước đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học tìm hiểu sâu tơpơ, bao hàm nhiều tính chất đặc trưng tổng quát giải tích hàm Đặc biệt ba loại tôpô thường gặp không gian tốn tử tuyến tính bị chặn không gian Hilbert Phương pháp nghiên cứu So sánh tổng hợp, phân tích đọc tài liệu Hà Nội, tháng năm 2013 Sinh viên Nguyễn Thị Thảo Chương Một số kiến thức chuẩn bị Nội dung chương kiến thức Ở đây, định lí, hệ quả, bổ đề kết phát biểu không chứng minh Các khái niệm kết trình bày chương trích dẫn từ tài liệu [1], [2], [3], [4], [6] 1.1 Không gian Hilbert Ở mục ta nhắc lại số kiến thức mở đầu không gian Hilbert tốn tử tuyến tính bị chặn không gian Hilbert Các khái niệm kết tham khảo tài liệu [2], [6] 1.1.1 Tích vơ hướng Định nghĩa 1.1.1 Cho H không gian véctơ trường K (với K R C ) Tích vơ hướng xác định H ánh xạ: < , > : H×H→K (x, y) → x, y thỏa mãn điều kiện sau đây: (1) < x, y > = < y, x > , ∀x, y ∈ H ; (2) < x + y, z > = < x, z > + < y, z >, ∀x, y, z ∈ H ; (3) < λx, y > = λ < x, y > , ∀x, y ∈ H λ ∈ K ; (4) < x, x > ≥ , ∀x ∈ H < x, x > = ⇔ x = ; Số < x, y > gọi tích vơ hướng hai véctơ x y Cặp (H, < x, y >) gọi không gian tiền Hilbert (hay không gian Untia) Định lý 1.1.1 Nếu H không gian tiền Hilbert cơng thức: x = √ < x, x >, x∈H (1) xác định chuẩn X Với kí hiệu bất đẳng thức Schwarz viết là: | < x, y > | ≤ x y Nhận xét: Do định lí 1.1.2 ta thấy khơng gian tiền Hilbert H khơng gian định chuẩn với chuẩn cảm sinh từ tích vơ hướng cơng thức (1) Như khái niệm, kết thiết lập cho khơng gian định chuẩn áp dụng cho không gian tiền Hilbert 1.1.2 Không gian Hilbert Một không gian tiền Hilbert, xem khơng gian định chuẩn đầy khơng đầy Nếu H không gian tiền Hilbert đầy đủ với chuẩn cảm sinh từ tích vơ hướng gọi khơng gian Hilbert Ví dụ 1.1.1 (1) Kí hiệu Rk khơng gian véctơ thực k chiều Với x = (xn ) ∈ Rk ta đặt: k < x, y > = xn yn n=1 Cơng thức xác định tích vơ hướng, chuẩn sinh tích vơ hướng x = √ k x = (xn ) ∈ Rk xn , < x, x > = n=1 Chuẩn trùng với chuẩn mà ta biết không gian Rk Nên không gian véctơ thực Rk với tích vơ hướng khơng gian Hilbert (2) Xét không gian l2 = x = (xn )n ⊂ K Với l2 không gian Banach với chuẩn x = ∞ n=1 |xn |2 ∞ n=1 |xn |2 < +∞ (2) Với x = (xn )n∈N , y = (yn )n∈N ∈ l2 , ta đặt < x, y > = ∞ xn y n n=1 Xác định tích vơ hướng l2 cảm sinh chuẩn (2) Vậy l2 không gian Hilbert 1.1.3 Khái niệm trực giao, hệ trực giao Cho H không gian tiền Hilbert, x, y hai véctơ thuộc H S, M N tập H Ta có định nghĩa sau: a) Hai phần tử x, y thuộc H gọi trực giao với nhau, kí hiệu x ⊥ y < x, y > = b) Một hệ S ⊂ H gọi hệ trực giao phần tử khác S trực giao với đôi một, tức x, y ∈ H x = y ta có x ⊥ y c) Cho S hệ trực giao Nếu phần tử S có chuẩn S gọi hệ trực chuẩn d) Ta nói véctơ x trực giao với tập M , kí hiệu x ⊥ M x trực giao với phần tử thuộc M 1.1.4 Cơ sở trực chuẩn Định nghĩa 1.1.2 Cho E = {e1 , e2 , } hệ trực chuẩn hữu hạn hay đếm không gian Hilbert H Ta gọi hệ sở trực chuẩn hay hệ trực chuẩn đầy đủ H không gian M sinh hệ E trù mật H, nghĩa H = {e1 , e2 , } Ta gọi sở trực chuẩn không gian Hilbert H sở Hilbert H Định lý 1.1.2 Khơng gian Hilbert H có sở trực chuẩn hữu hạn hay đếm khơng gian khơng gian tách 1.1.5 Không gian đối ngẫu Định nghĩa 1.1.3 Không gian B (H, C) gọi không gian đối ngẫu khơng gian Hilbert H kí hiệu H ∗ Mỗi phần tử H ∗ gọi phiếm hàm tuyến tính liên tục Định lý 1.1.3 (F.Riesz) Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục khơng gian Hilbert H biểu diễn dạng f (a) = < x, a >, x ∈ H phần tử a ∈ H xác định phiếm hàm f 1.1.6 f = a Sự hội tụ không gian Hilbert Cho H không gian Hilbert B (H) khơng gian tốn tử tuyến tính bị chặn từ H vào H với chuẩn A = sup x ≤1 10 Ax = A∗ < εpi (x) + (|t| + ε) s < r Lấy ε > : εpi (x) < 2r , ≤ i ≤ k, s > thỏa mãn (|t| + ε) s < 2r Vì tv xv ∈ V (tx, p1 , p2 , , pk ; r) v ≥ vo Ta kết luận rằng: (t, x) → tx liên tục τ khơng gian véctơ tơpơ X Để chứng tỏ p ∈ P liên tục, ta cho ε > giả sử xv → x (X, τ ) tồn vo thỏa mãn xv ∈ V (x, p; ε) v ≥ vo Do |p(x) − p(xv )| ≤ p (x − xv ) < ε v ≥ vo điều chứng tỏ p : X → R liên tục Bây ta chứng minh (X, τ ) Hausdorff P họ tách Giả sử P tách cho x, y ∈ X với x = y Thì tồn nửa chuẩn p ∈ P thỏa mãn δ = p (x − y) > Khi tập V x, p; 2δ V y, p; 2δ lân cận tương ứng x y giao hai lân cận tập φ Vì (X, τ ) Hausdorff Ngược lại, giả sử (X, τ ) Hausdorff Đối với x ∈ X với x = 0, tồn lân cận không chứa x Đặc biệt, tồn p1 , p2 , , pn ∈ P r > cho x ∈ / V (0, p1 , p2 , , pm ; r) Điều cho thấy pi (x − 0) = pi (x) ≥ r, với ≤ i ≤ m hiển nhiên pi (x) > ta thấy P họ tách nửa chuẩn X Định nghĩa 2.1.1 Tôpô τ không gian véctơ X trường K xây dựng gọi (không gian) tôpô sinh họ nửa chuẩn P cho trước Định lý 2.1.3 Cho τ không gian véctơ không gian véctơ X xác định họ nửa chuẩn P Một lưới (xv ) hội tụ tới (X, τ ) p(xv ) → với p ∈ P 23 Chứng minh Giả sử xv → (X, τ ) Thì p(xv ) → p(0) = với p ∈ P, p liên tục Ngược lại, giả sử p(xv ) → với p ∈ P Cho p1 , p2 , , pm ∈ P r > Thì tồn vo cho pi (xv ) < r v ≥ vo , ≤ i ≤ m Do đó, xv ∈ V (0, p1 , p2 , , pm ; r) v ≥ vo Suy xv → Chú ý 2.1.1 Sự hội tụ lưới (xv ) đến x chưa suy từ hội tụ p(xv ) → p(x) R với p ∈ P Thật vậy, với x = p ∈ P bất kì, p ((−1)n x) → p(x), n → ∞, (−1)n x → x không (X, τ ) tách Định lý 2.1.4 Tôpô không gian véctơ X trường K xác định họ nửa chuẩn P tôpô tương hợp yếu X làm cho phần tử P liên tục Chứng minh Đặt τ ′ không gian véctơ tơpơ yếu X có tính chất làm cho phần tử P liên tục Hiển nhiên τ ′ ⊆ τ Cho p1 , p2 , , pn ∈ P n V (0, p1 , p2 , , pn ; r) = i=1 {x ∈ X : pi (x) < r} ∈ τ ′ ′ tập {x ∈ X : pi (x) < r} = p−1 i ((−∞, r)) thuộc τ , ≤ i ≤ n Ta biết, phép tịnh tiến phép đồng phơi τ ′ chứa tất tập có dạng V (x, p1 , p2 , , pn ; r) với x ∈ X Suy τ ⊆ τ ′ Do ta có τ = τ ′ Hệ 2.1.1 Tôpô τ xác định họ nửa chuẩn cho trước không gian véctơ X tôpô yếu làm cho phần tử P liên tục với xo ∈ X cố định, phép tịnh tiến x → x+xo liên tục 24 Chứng minh Thật vậy, với ánh xạ tịnh tiến Txo , xo ∈ X phép đồng phơi (giống phần chứng minh định lí trên) Từ đó, suy liên tục ánh xạ x → x + xo , x ∈ X Định lý 2.1.5 Giả sử ρ nửa chuẩn không gian véctơ (X, τ ) Các mệnh đề sau tương đương: (i) ρ liên tục ; (ii) ρ liên tục ; (iii) ρ bị chặn số lân cận ; Nếu tôpô τ không gian véctơ tôpô định nghĩa họ nửa chuẩn P (i), (ii), (iii) tương đương với mệnh đề sau: (iv) Tồn tập hữu hạn nửa chuẩn p1 , p2 , , pm P số C > thỏa mãn ρ(x) ≤ C (p1 (x) + + pm (x)), với x ∈ X Chứng minh Từ bất đẳng thức |ρ(x) − ρ(y)| ≤ ρ(x − y) hàm ý (ii) suy từ (i) Nếu xv → x thuộc X, xv − x → Vì |ρ(xv ) − ρ(x)| ≤ ρ(xv − x) → 0, nghĩa ρ liên tục x Rõ ràng, (ii) kéo theo (i) (iv) kéo theo (i) xv lưới hội tụ tới 0, ρ(xv ) → với p ∈ P, ρ(xv ) → = ρ(0) (iv) Tiếp theo, ta thấy (i) suy tồn số lân cận U thỏa mãn ρ(U ) ⊆ {t ∈ K : |t| < ε} tức |ρ(x)| < x ∈ U (iii) Ngược lại, có (iii) tồn số lân cận V số C > thỏa mãn |ρ(x)| < C với x thuộc X Suy với ε > bất kì, |ρ(x)| < ε x ∈ C ε V ρ liên tục Đây (i) 25 Cuối ta chứng minh (i) kéo theo (iv) Giả sử ρ liên tục 0, tồn lân cận U thỏa mãn ρ(U ) ⊆ {t ∈ R : |t| < 1}, có nghĩa ρ(x) < với x ∈ U Nhưng tồn p1 , p2 , , pm P r > thỏa mãn V (0, p1 , p2 , , pm ; r) ⊆ U , ρ(x) < với tất x ∈ V (0, p1 , p2 , , pm ; r) Đặt s(x) = p1 (x) + + pm (x) giả sử x thỏa mãn s(x) = Thì rx s(x) ∈ V (0, p1 , p2 , , pm ; r) ρ (rx s(x)) ∈ V (0, p1 , p2 , , pm ; r) Do ρ (rx s(x)) < 1, nghĩa , ρ(x) < (p1 (x) + · · · + pm (x)) r Mặt khác, s(x) = 0, s(nx) = với n ∈ N Do đó: x ∈ V (0, p1 , p2 , · · · , pm ; r) Suy ρ(nx) = nρ(x) < với n ∈ N Suy ρ(x) = Vậy ta kết luận ρ(x) < (p1 (x) + + pm (x)) r với x ∈ X 2.2 Một số tơpơ thường gặp khơng gian tốn tử tuyến tính bị chặn khơng gian Hilbert B(H) khơng gian tốn tử tuyến tính bị chặn từ H vào H, H khơng gian Hilbert, trang bị tích vơ hướng Có nhiều tơpơ xác định không gian B(H) Các tôpô lồi địa phương định nghĩa họ nửa chuẩn Các tôpô 26 thường gặp B(H) tơpơ chuẩn, tơpơ tốn tử yếu tơpơ tốn tử mạnh Bây ta định nghĩa ba tôpô Định nghĩa 2.2.1 (1)Tơpơ chuẩn hay tơpơ tốn tử hay tôpô Từ B(H) không gian định chuẩn chuẩn sinh mêtric, B(H) khơng gian mêtric Do tôpô chuẩn định nghĩa tôpô sinh mêtric Trong tôpô chuẩn Tn → T Tn − T → (2) Tơpơ tốn tử mạnh (hay tôpô mạnh viết tắt SOT) Tôpô tốn tử mạnh B(H) tơpơ xác định lân cận có dạng: V (To , x1 , x2 , , xk ; ε) = {T ∈ B(H) : (T − To )xi < ε, i = 1, 2, , n} x1 , x2 , , xk thuộc H, To ∈ B(H) ε dương Dãy {Ti } hội tụ toán tử mạnh đến To với x thuộc H (Ti −To )x →0 (3) Tơpơ tốn tử yếu (được viết tắt WOT) Tơpơ tốn tử yếu B(H) tơpơ yếu B(H) sinh họ J phiếm hàm tuyến tính wx.y (T ) = < T x, y >, x, y ∈ H, T ∈ B(H) Theo định lí 2.1.1, tơpơ tốn tử yếu B(H) tơpơ lồi địa phương sinh nửa chuẩn |wx.y (T )| Ta xét họ tập: V To : wx1 y1 , , wxm ym ,ε = {T ∈ B(H) : ||(T − To )xi yi || < ε, i = 1, , m} x1 , x2 , , xm , y1 , y2 , , ym thuộc H ε dương Họ lân cận lồi (mở) T tơpơ tốn tử yếu Chú ý 2.2.1 Trong khơng gian B(H) ba loại tơpơ chuẩn, tơpơ tốn tử yếu tơpơ tốn tử mạnh tơpơ sinh họ 27 nửa chuẩn Cụ thể: Tôpô chuẩn tôpô sinh họ nửa chuẩn T với T ∈ B(H) Tơpơ tốn tử mạnh tơpơ sinh họ nửa chuẩn Tx với T ∈ B(H), x ∈ X Tơpơ tốn tử yếu tơpơ sinh họ nửa chuẩn | T x, y | với T ∈ B(H), x, y ∈ X Định nghĩa 2.2.2 (i) Tập không gian véctơ tôpô đóng yếu đóng với tơpơ tốn tử yếu đóng mạnh đóng với tơpơ toán tử mạnh (ii) Một hàm số gọi liên tục mạnh liên tục tơpơ tốn tử mạnh gọi liên tục yếu liên tục tơpơ tốn tử yếu 2.3 Một số định lí liên quan đến ba loại tôpô B(H) Định lý 2.3.1 Hội tụ chuẩn kéo theo hội tụ mạnh hội tụ mạnh kéo theo hội tụ yếu Chứng minh ∗) Hội tụ chuẩn kéo theo hội tụ mạnh Giả sử tôpô chuẩn Tn → T Suy Suy Tn x − T x s Tn − T →0 s → với x ∈ X Từ suy Tn → T ∗) Giả sử Tn → T Suy Tn x − T x → với x ∈ X Ta lại có | Tn x, y − T x, y | = | Tn x − T x, y | = | (Tn − T )x, y | với x, y ∈ H 28 Mặt khác theo bất đẳng thức Schwarz: | (Tn − T )x, y | ≤ (Tn − T )x x, y ∈ H y = Tn x − T x Suy | Tn x, y − T x, y | → Hay Tn x, y y → với w → T x, y với x, y ∈ H Vậy Tn → T Định lý 2.3.2 Các mệnh đề sau B(H): (i) Nếu An x, y → Ax, y với An x − Ax → (ii) Nếu An x − Ax → với = 1, y = 1, x An − A → Chứng minh 1) Trường hợp A = , mệnh đề Với A = 0, ta có: An x, y → Ax, y ⇒ (An − A + A)x, y ⇒ (An − A)x, y + < Ax, y ⇒ (An − A)x + Ax, y ⇒ (An − A)x, y y =1 → Ax, y → Ax, y → → Ax, y Vậy đặt Bn = An − A, ta có Bn x, y → y =1 Vậy từ giả thiết có khẳng định ( Đó : An x, y → với Bn x → : 2) Trường hợp A = y = 1, (An − A)x = An x → ), ta nhận An x − Ax → ) Với A = 0: Bây giờ, giả sử An x → x = 1, có nghĩa với ε > tồn số N cho với n ≥ N x = Tính có nghĩa N khơng phụ thuộc vào x 29 An x < ε Từ suy với n ≥ N An ( x −1 x) Thật với n ≥ N : Suy với n ≥ N : Suy với n ≥ N : < ε x = x −1 < ε x = An x An x < x ε x = An x < x ε với x ∈ H Điều suy với n ≥ N, An < ε, cho thấy An → Định lý 2.3.3 Phép nhân toán tử B(H) liên tục tôpô chuẩn gián đoạn tơpơ tốn tử mạnh, tơpơ tốn tử yếu Chứng minh ∗) Tôpô chuẩn : AB − Ao Bo ≤ ≤ AB − ABo A + B − Bo ≤ ( A−Ao + + ABo − Ao Bo Ao ) A − Ao B−Bo Bo + A−Ao Bo Từ bất đẳng thức, ta suy phép nhân toán tử B(H) liên tục ∗) Gián đoạn phép nhân tơpơ tốn tử mạnh Bước 1: Chứng minh tập N tất lũy tính cấp tức tập tất tốn tử A thỏa mãn A2 = A, trù mật mạnh Để chứng minh điều này, ta giả sử V = (Ao ; x1 , , xk , ε) := {A ∈ B(H) : (A − Ao )xi < ε, i = 1, , k} sở tơpơ tốn tử mạnh Khơng tính tổng qt, ta giả sử x độc lập tuyến tính chí trực giao (nếu không, thay chúng tập độc lập tuyến tính chí trực giao với khoảng, đồng thời cần làm cho ε nhỏ nhiều lần) 30 Với i (i = 1, , k) tìm véctơ yi thỏa mãn Ao xi − yi < ε khoảng cách y thông thường với khoảng cách x Vì vậy, khơng gian Hilbert vơ hạn chiều, điều xảy Thực tế, giả sử không gian Hilbert vô hạn chiều, khơng tất tơpơ trùng Cho A toán tử thỏa mãn : Axi = yi Ayi = (i = 1, , k), Az = 0, < z, xi > = < z, yi > = (i = 1, , k) Rõ ràng A tốn tử lũy tính cấp rõ ràng A xác định sở mạnh Bước 2: Nếu phép nhân liên tục mạnh trường hợp đặc biệt liên tục mạnh cặp có dạng (A, A) Nhưng liên tục mạnh (A, A) −→ lưới chuỗi liên tục (A, A), nghĩa là: Nếu (An , An ) → (A, A) A2n → A2 Bây ta lấy A ∈ B(H) A ∈ B(H) = cls (N ), tồn lưới Aλ ⊆ N cho Aλ → A, (Aλ , Aλ ) → (A, A) (theo định nghĩa tơpơ tích ) Nếu phép nhân có lưới liên tục A2λ → A2 Nhưng Aλ ⊆ N , với λ ta có A2λ = Vậy ta có → A2 từ tính giới hạn mạnh, tồn tại, ta có A2 = Nhưng A bất kì, đặc biệt ta lấy A ánh xạ đồng H, mâu thuẫn với ∗) Gián đoạn phép nhân tơpơ tốn tử yếu: Vì tơpơ mạnh mạnh tơpơ yếu, tập trù mật mạnh định trù mật yếu, tập N tất toán tử lũy tính cấp trù mật yếu Chứng minh trên, cần thay tất chỗ mạnh yếu ta điều cần chứng minh 31 Định lý 2.3.4 1) Phép nhân phải liên tục mạnh yếu Tức là, cho B cố định, ánh xạ B(H) → B(H) định nghĩa A → AB liên tục mạnh yếu 2) Phép nhân trái liên tục mạnh yếu Tức là, cho A cố định, ánh xạ B(H) → B(H) định nghĩa B → AB liên tục mạnh yếu Chứng minh Ta sử dụng hội tụ: ∗) Liên tục mạnh : Đối với phép nhân phải: Giả sử Aλ → A mạnh nghĩa Aλ x → Ax mạnh với x ∈ H Vậy, trường hợp đặc biệt, Aλ Bx → ABx với x ∈ H điều xác lập tính liên tục mạnh A Đối với phép nhân trái: Giả sử Bλ → B nghĩa Bλ x → Bx mạnh với x ∈ H Thì, A liên tục nên bị chặn Vậy giả sử ABλ x → ABx mạnh với x ∈ H điều xác lập tính liên tục mạnh A ∗) Liên tục yếu : Đối với phép nhân phải: Nếu Aλ → A yếu, nghĩa Aλ x → Ax yếu với x ∈ H Aλ x, y → Ax, y với x, y ∈ H Thì trường hợp đặc biệt Aλ Bx, y H liên tục yếu A → ABx, y với x, y ∈ Đối với phép nhân trái: Nếu Bλ → B yếu Bλ x → Bx yếu với x ∈ H Bλ x, y → Bx, y với x, y ∈ H Thì trường hợp đặc biệt, Aλ Bx, y = Bλ x, A∗ y → Bx, A∗ y = ABx, y với x, y ∈ H liên tục yếu B Chú ý 2.3.1 Ta dễ thấy nhận xét tôpô : Nếu hàm từ 32 không gian đến không gian khác liên tục, hàm liên tục tơpơ miền tạo ảnh lớn hàm liên tục tôpô miền ảnh nhỏ Định lý 2.3.5 Chuẩn (tức T → T ) liên tục tôpô chuẩn gián đoạn tơpơ tốn tử mạnh tơpơ tốn tử yếu Chứng minh ∗) Đối với tôpô chuẩn : Việc chứng minh tơpơ chuẩn chứng minh bất đẳng thức: | A − B |≤ A−B Chứng minh với liên tục Ao ∈ B(H) Chúng ta nên chứng minh: Với ε > 0, tồn số δ > cho | A − Ao | ta lấy δ = ε A − Ao < ε | A − Ao |⊆ A − Ao < ε Lưu ý : Các chứng minh với không gian định chuẩn không B(H), đẳng thức | |≤ A−B A − B khơng gian định chuẩn ∗) Đối với tơpơ tốn tử mạnh tơpơ tốn tử yếu : Sử dụng ý 2.3.1 Gián đoạn tơpơ tốn tử mạnh −→ gián đoạn tơpơ tốn tử yếu Vì vậy, ta phải gián đoạn chuẩn tơpơ tốn tử mạnh Chúng ta lấy ví dụ chuẩn không liên tục theo −→ không liên tục Lấy không gian Hilbert vô hạn chiều H Xây dựng dãy giảm dần không gian khác dạng x ⊃ x1 ⊃ x2 ⊃ x3 ⊃ Điều không gian hữu hạn chiều chúng 33 ta xét với không gian vô hạn chiều đặt Pn dãy toán tử chiếu (trực giao) tương ứng Dãy Pn hội tụ mạnh tới Dãy ảnh Pn Pn khơng hội tụ tới = 0, dãy ảnh dãy khơng đổi 1, với phép chiếu trực giao ta có : P = P = P P = P ∗P = P ⇒ P = P ⇒ P = Định lý 2.3.6 Phép liên hợp(tức hàm T → T ∗ ) liên tục tơpơ chuẩn tơpơ tốn tử yếu gián đoạn tơpơ tốn tử mạnh Chứng minh ∗) Liên tục chuẩn: Ta cần sử dụng đẳng thức ∗) Liên tục yếu: A∗ − B ∗ = A−B (và lấy δ = ε) Liên tục yếu suy đồng thức : | A∗ x, y − B ∗ x, y | = | (A∗ − B ∗ )x, y | = | x, (A∗ − B ∗ )∗ y | = | x, (A − B)y | = | x, Ay − x, By | = | Ay, x − By, x | Mà bất đẳng thức trước ta sử dụng tính chất |z| = |z| với z ∈ C ∗) Gián đoạn mạnh : Để chứng minh gián đoạn mạnh liên hợp, ta xét B(l2 ) Lấy U chuyển dịch phía (một chuyển dịch tọa độ bên phải) ta có U : B(l2 ) −→ B(l2 ) cho U (ξo , ξ1 , ξ2 , ) = (0, ξo , ξ1 , ) định nghĩa Ak = U ∗k , k = 1, 2, 34 Chú ý U ∗ (ξo , ξ1 , ξ2 , ) = (ξ1 , ξ2 , ξ3 , ) (dịch chuyển tọa độ sang trái) Ta khẳng định Ak → mạnh, dãy A∗k không hội tụ mạnh tới 0∗ = Thật vậy: Ak (ξo , ξ1 , ξ2 , ) Vì với x Ak x chuỗi hội tụ, Ak x = (ξk , ξk+1 , ξk+2 , ) |ξn |2 = (trong x = (ξo , ξ1 , ξ2 , )) phần dư → với x x, Ak → mạnh → với Ak x A∗k không hội tụ mạnh tới 0∗ = Vì khơng, với = x ∈ H ta có A∗k → mạnh, nghĩa → Nhưng A∗k x A∗k x khơng đúng, khơng dãy Cauchy: → A∗k không hội tụ mạnh tới 0∗ = Vì khơng, với = x ∈ H ta có A∗k → mạnh, nghĩa → Nhưng A∗k x A∗k x khơng đúng, khơng dãy Cauchy: A∗m+n − A∗n x = U n (U m x−x) = x = 2( x 2 = = U m x−x −2Re U m x, x + x −Re x, U ∗m x ) Ở ta ra : Vậy U m+n x − U n x Am x A∗m+n − A∗n x A∗m+n x − A∗n x → √ 2 = = (U m x) = 2( x U n (U m x) − U n (x) −2Re U m x, x + x x 35 U ∗m x m, n lớn = x −Re U m x, x ) → định nghĩa →2 → → Nó KẾT LUẬN Khóa luận hồn thành số vấn đề sau đây: Cách xác định tôpô qua nửa chuẩn Ba loại tơpơ thường gặp khơng gian tốn tử tuyến tính bị chặn khơng gian Hilbert Do thời gian có hạn lần làm quen với cơng tác nghiên cứu khoa học nên khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, em mong nhận đóng góp ý kiến thầy giáo bạn Trước kết thúc khóa luận em xin gửi lời cám ơn chân thành sâu sắc tới thầy cô giáo khoa Tốn, đặc biệt TS Tạ Ngọc Trí người dẫn tận tình bảo giúp đỡ em suốt thời gian qua đề em hồn thành khóa luận Tài liệu tham khảo [1] TS Nông Quốc Chinh , Tôpô đại cương , NXB Đại học sư phạm [2] Nguyễn Phụ Hy(2006) ,Giải tích hàm , NXB Khoa học Kĩ thuật [3] Nguyễn Xuân Liêm (1994) , Tôpô đại cương – Độ đo tích phân, NXB Giáo dục [4] Hồng Tụy (2003), Hàm thực giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [5] V.H Moscovich, Norm, Strong, and weak operator topologies on B(H) Tìm đọc đường link://u.cs.biu.ac.il/ megereli/updated.pdf [6] M.Reed and B.Simon (1980), Methods of Modern Mathematical Physics, Vol Functional Analysis Academic Press, revised edition [7] F Wilde, Basic Analysis – Gently Done Topological Vector Spaces, Lecture Notes, Department of Mathematics, King’s College, London Tìm đọc đường link: homepage.ntlword.com/ivan.wilde/notes/fa2/fa2.pdf 37 ... " Một số tôpô thường gặp khơng gian tốn tử tuyến tính bị chặn không gian Hilbert? ?? Nội dung khóa luận Nội dung khóa luận bao gồm hai chương: Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Chương 2: Một số. .. = Vậy ta kết luận ρ(x) < (p1 (x) + + pm (x)) r với x ∈ X 2.2 Một số tôpô thường gặp không gian tốn tử tuyến tính bị chặn khơng gian Hilbert B(H) khơng gian tốn tử tuyến tính bị chặn từ H vào... gian Hilbert Y Khi tồn toán tử A∗ liên hợp với toán tử A ánh xạ không gian Y vào không gian X Định lý 1.1.6 Cho A toán tử bị chặn ánh xạ không gian Hilbert X vào không gian Hilbert Y Khi tốn tử