Các loại tôpô thường gặp trong không gian các toán tử tuyến tính bị chặn và quan hệ giữa chúng

Khúa lun tt nghip Th Lan K33C SP Toỏn M U Lý chn ti Gii tớch hm l mt ngnh toỏn hc c xõy dng u th k XX v n c xem nh l mt ngnh toỏn hc c in Trong quỏ trỡnh phỏt trin, gii tớch hm ó tớch ly c mt s ni dung ht sc phong phỳ, nhng kt qu mu mc, tng quỏt ca gii tớch hm ó xõm nhp vo tt c cỏc ngnh toỏn hc cú liờn quan, s dng n cụng c gii tớch v khụng gian vect Chớnh iu ú ó m rng phm vi nghiờn cu cho cỏc ngnh toỏn hc Vi mong mun c nghiờn cu, tỡm hiu sõu sc v b mụn ny v bc u tip cn vi cụng vic nghiờn cu khoa hc cựng vi s giỳp ca thy giỏo - Tin s - T Ngc Trớ, em ó chn ti: Cỏc loi tụpụ thng gp khụng gian cỏc toỏn t tuyn tớnh b chn v quan h gia chỳng Cu trỳc ca khúa lun Ni dung ca khúa lun bao gm ba chng: Chng 1: Kin thc chun b Chng 2: Cỏch xỏc nh tụpụ qua na chun Chng 3: Cỏc loi tụpụ thng gp khụng gian cỏc toỏn t tuyn tớnh b chn v quan h gia chỳng Mc ớch nghiờn cu Bc u lm quen vi cụng vic nghiờn cu khoa hc v tỡm hiu sõu hn v tụpụ, mt ni dung khỏ quen thuc, bao hm nhiu tớnh cht c trng v tng quỏt ca gii tớch hm c bit l ba loi tụpụ thng gp khụng gian cỏc toỏn t tuyn tớnh b chn Ging viờn hng dn: TS T Ngc Trớ Khúa lun tt nghip Th Lan K33C SP Toỏn Nghiờn cu v cỏch xỏc nh tụpụ qua na chun, ba loi tụpụ thng gp khụng gian cỏc toỏn t tuyn tớnh b chn, quan h gia chỳng v mt s nh lý liờn quan n chỳng Phng phỏp nghiờn cu c ti liu, phõn tớch, so sỏnh tng hp Trong thi gian hc tp, nghiờn cu em ó nhn c s quan tõm, giỳp tn tỡnh ca cỏc thy cụ khoa Toỏn, cỏc thy cụ t Gii tớch v c bit l TS T Ngc Trớ, ngi ó trc tip hng dn em, em cú th hon thnh tt khúa lun tt nghip i hc ny Em xin by t lũng bit n sõu sc ti cỏc thy cụ khoa Toỏn, cỏc thy cụ t Gii tớch v TS T Ngc Trớ Cui cựng em xin chỳc cỏc thy cụ cựng gia ỡnh mnh khe, hnh phỳc v thnh cụng cuc sng H Ni, thỏng nm 2011 Sinh viờn Th Lan Ging viờn hng dn: TS T Ngc Trớ Khúa lun tt nghip Th Lan K33C SP Toỏn NI DUNG Chng KIN THC CHUN B Trc tỡm hiu v cỏc loi tụpụ thng gp khụng gian cỏc toỏn t tuyn tớnh b chn, chỳng ta cn nm c mt s kin thc c bn Chng ny nhc li mt s kin thc c bn ú Cỏc khỏi nim v kt qu trỡnh by chng ny c tham kho cỏc ti liu [1], [2], [3],[5] v [6] 1.1 Khụng gian tuyn tớnh mc ny, ta i nhc li mt s kin thc v khụng gian tuyn tớnh Nhng khỏi nim v kt qu õy c tham kho ti liu [3] nh ngha 1.1.1 (Khụng gian tuyn tớnh) Gi s F l trng s thc Ă hoc s phc Ê Tp X khỏc rng cựng vi hai ỏnh x (gi l phộp cng v phộp nhõn vi vụ hng ): Phộp cng xỏc nh trờn X (x,y) X v ly giỏ tr X: x + y ; x, y X Phộp nhõn vụ hng xỏc nh trờn F X v ly giỏ tr X : ( , x) x; F, x X gi l mt khụng gian tuyn tớnh nu cỏc iu kin sau tha : (i) x, y X:x+y=y+x (ii) x, y, z (iii) x X:x+0=x (iv) x X, x (v) x X, , (vi) x, y (vii) x X : x + (y+ z) = (x + y) + z X, X, X : x + ( x) = x F: ( x) = ( x=0 )x F : (x + y) = x + y , F:( + )x= x+ x Ging viờn hng dn: TS T Ngc Trớ Khúa lun tt nghip (viii) x Th Lan K33C SP Toỏn X : 1.x = x Nu F = Ă thỡ X c gi l khụng gian tuyn tớnh thc Nu F = Ê thỡ X c gi l khụng gian tuyn tớnh phc Khụng gian tuyn tớnh thng gi l khụng gian vộct v cỏc phn t ca nú thng gi l cỏc vộct nh ngha 1.1.2 ( li) Cho X l mt khụng gian tuyn tớnh trờn trng s thc Mt K ca X c gi l li nu vi mi x, y K thỡ ax + (1 a)y K, a 1.2 Khụng gian metric Trong mc 1.2 ny ta i nhc li mt s kin thc v khụng gian metric Cỏc khỏi nim v kt qu mc ny c tham kho ti liu [1] v [3] nh ngha 1.2.1 (Khụng gian metric, metric) Ta gi l khụng gian metric mt hp X cựng vi mt ỏnh x d t tớch Descartes X X vo s thc Ă tha cỏc tiờn sau õy: 0, d(x,y) = x = y ; ( Tiờn ng nht) ; 1) ( x, y X ) d(x,y) 2) ( x, y X ) d(x,y) = d(y,x) ; ( Tiờn i xng ) ; 3) ( x, y, z X ) d(x,y) d(x,z) + d(z,y) ; ( Tiờn tam giỏc) nh x d gi l metric trờn X, s d(x,y) gi l khong cỏch gia hai phn t x v y Cỏc phn t ca X gi l cỏc im ; Cỏc tiờn 1) , 2), 3) gi l h tiờn metric Khụng gian metric kớ hiu l M = (X,d) Vớ d 1.2.1 Vi hai phn t bt kỡ x, y Ă ta t : d(x,y) = |x y| (1) H thc ny xỏc nh mt metric trờn Ă Khụng gian tng ng c kớ hiu l Ă Ta gi metric ny l metric t nhiờn Vớ d 1.2.2 Ta ký hiu l2 l tt c cỏc dóy s thc hoc phc x = (xn Ơ )n=1 cho chui s dng x n hi t n= Ging viờn hng dn: TS T Ngc Trớ Khúa lun tt nghip Th Lan K33C SP Toỏn Vi hai dóy s bt k x = (xn)n=1 v y = (yn )n=1 ta t : Ơ d(x,y) = x n - yn n= H thc ny xỏc nh mt metric trờn l2 Khụng gian metric tng ng kớ hiu l l2 nh ngha 1.2.2 Cho khụng gian metric M = (X,d), dóy im (xn) im x0 nđ X, X Dóy im (xn) gi l hi t ti im x0 khụng gian M , nu ( > 0) ( n0 N*) ( n lim xn = x0 hay xn đ x0 n n0) d(xn,x0) < , ký hiu : (n đ ) im x0 cũn gi l gii hn ca dóy (xn) khụng gian M nh ngha 1.2.3 (Hỡnh cu m, hỡnh cu úng) Cho (X, d) l khụng gian metric Ta gi l hỡnh cu m tõm a S(a;r) = {x X: d (x,a) < r}; Ta gi l hỡnh cu úng tõm a S (a;r) = {x X bỏn kớnh r > hp X: d (x,a) X bỏn kớnh r > hp r} nh ngha 1.2.4 (Lõn cn) Cho khụng gian metric M = (X,d) Ta gi l lõn cn ca im x X khụng gian M mi hỡnh cu m tõm x, bỏn kớnh r > no y nh ngha 1.2.5 (Tp m, úng) Cho khụng gian metric M = (X,d) v A X Tp A gi l m khụng gian M, nu im x A, thỡ tn ti mt lõn cn ca x bao hm A Tp A c gi l úng khụng gian M, nu im x A, thỡ tn ti mt lõn cn ca x khụng cha im no thuc A Ging viờn hng dn: TS T Ngc Trớ Khúa lun tt nghip Th Lan K33C SP Toỏn nh ngha 1.2.6 Cho khụng gian metric M = (X, d) v hai khỏc rng A, B ca X Tp A gi l trự mt B, nu vi mi phn t x cú ( > 0) ( y B u A) d(y, x) < Khi B = X thỡ A gi l trự mt khp ni khụng gian M (hay X) nh ngha 1.2.7 (khụng gian tỏch c) Khụng gian metric M = (X, d) gi l khụng gian tỏch c, nu X cha m c trự mt khp ni khụng gian M Vớ d 1.2.3 Khụng gian metric Ă l khụng gian tỏch c Vớ d 1.2.4 Khụng gian l2 l khụng gian tỏch c nh ngha 1.2.8 (nh x liờn tc) Cho hai khụng gian metric X v Y (metric trờn X s kớ hiu l X , metric trờn Y s kớ hiu l Y gi l liờn tc ti im x0 Y ) Mt ỏnh x t X vo X nu (" e> 0)($d> 0)(" x ẻ X): r X (x,x )< dị Y (Ư (x), Ư (x )) < Cng nh gii tớch c in, iu ny tng ng vi : (xn) (x0) cho mi dóy xn x0 1.3 Khụng gian nh chun Trong mc 1.3 ny ta i nhc li mt s kin thc m u v khụng gian nh chun, v cỏc kin thc v toỏn t tuyn tớnh b chn Cỏc khỏi nim v kt qu ny c tham kho cỏc ti liu [1] v [5] nh ngha 1.3.1 (Khụng gian nh chun) Ta gi khụng gian nh chun (hay khụng gian tuyn tớnh nh chun) l khụng gian tuyn tớnh X trờn trng P (P = Ă hoc P = Ê ) cựng vi mt ỏnh x t X vo s thc Ă , kớ hiu l ì v c l chun tha cỏc tiờn sau : 1) ( x X) x 2) ( x X) ( 0, x = x = ( Ký hiu phn t khụng l ) ; P) a x = a x ; Ging viờn hng dn: TS T Ngc Trớ Khúa lun tt nghip 3) ( x, y Th Lan K33C SP Toỏn X) x + y Ê x + y S x gi l chun ca vộct x Ta cng kớ kiu khụng gian nh chun l X nh lý 1.3.1 Cho khụng gian nh chun X i vi hai vộct bt k x, y X ta t d(x,y) = x - y Khi ú d l mt metric trờn X nh ngha 1.3.2 (Dóy hi t) Dóy im (xn) ca khụng gian nh chun X gi l hi t ti im x X, nu lim x n - x = n Ký hiu: xn = x hay xn đ x (n đ ) nh ngha 1.3.3 (Dóy c bn) Dóy im (xn) ca khụng gian nh chun X gi l dóy c bn, nu lim x n - x m = m,n nh ngha 1.3.4 (Khụng gian Banach) Khụng gian nh chun X gi l khụng gian Banach, nu mi dóy c bn X u hi t Vớ d 1.3.1 i vi dóy s thc bt k x Ă ta t x = x (1) Cụng thc ny cho mt chun trờn Ă Khụng gian nh chun tng ng ký hiu l Ă Ă l khụng gian Banach Vớ d 1.3.2 Cho khụng gian vộct l2 i vi vộct bt k x = (xn) Ơ x = xn l2 ta t (2) n= Cụng thc ny xỏc nh mt chun trờn l2 Khụng gian nh chun tng ng ký hiu l l2 l2 l khụng gian Banach nh ngha 1.3.4 (Toỏn t tuyn tớnh) Cho hai khụng gian tuyn tớnh X v Y trờn trng P (P l trng s thc Ă hoc trng s phc Ê ) nh x A t khụng gian X vo khụng gian Y gi l tuyn tớnh nu ỏnh x A tha cỏc iu kin: 1) ( x, x X) A(x + x ) = Ax + Ax ; Ging viờn hng dn: TS T Ngc Trớ Khúa lun tt nghip 2) ( x X) ( Th Lan K33C SP Toỏn P) A x = Ax Ta thng gi ỏnh x tuyn tớnh l toỏn t tuyn tớnh Khi Y = P thỡ toỏn t A thng gi l phim hm tuyn tớnh nh ngha 1.3.5 (Toỏn t b chn) Cho hai khụng gian nh chun X v Y Toỏn t tuyn tớnh t khụng gian X vo khụng gian Y gi l b chn, nu tn ti hng s C > cho: Ax Y Ê Cx X , x X nh ngha 1.3.6 (Chun ca toỏn t) Cho A l toỏn t tuyn tớnh b chn t khụng gian nh chun X vo khụng gian nh chun Y Hng s C nht tha h thc Ax Y Ê Cx X , nh x X gi l chun ca toỏn t A v ký hiu l A T nh ngha ta thy chun ca toỏn t cú cỏc tớnh cht : 1) ( x X) Ax Ê A x ; 2) ( 0) ( x X) (A - e) x < Ax e nh lớ 1.3.2 Cho A l toỏn t tuyn tớnh t khụng gian nh chun X vo khụng gian nh chun Y Ba mnh sau tng ng : 1) A liờn tc; 2) A liờn tc ti im x0 no ú thuc X; 3) A b chn nh lý 1.3.3 Cho A l toỏn t tuyn tớnh t khụng gian nh chun X vo khụng gian nh chun Y Nu toỏn t A b chn, thỡ A = sup Ax hay A = sup Ax x Ê1 x =1 nh ngha 1.3.7 (Khụng gian cỏc toỏn t tuyn tớnh b chn) Cho hai khụng gian nh chun X v Y Kớ hiu B(X,Y) l hp tt c cỏc toỏn t tuyn tớnh b chn t khụng gian X vo khụng gian Y Ta a vo B(X,Y) hai phộp toỏn: Ging viờn hng dn: TS T Ngc Trớ Khúa lun tt nghip Th Lan K33C SP Toỏn Tng ca hai toỏn t A, A B(X,Y) l toỏn t, ký hiu A + A , xỏc nh bng h thc: (A + A )(x) = Ax + A x , Tớch ca vụ hng x X P (P = Ă hoc P = Ê ) vi toỏn t A B(X,Y) l toỏn t , ký hiu l A, xỏc nh bng h thc ( A)(x) = (Ax) D dng kim tra A + A B(X,Y), A B(X,Y) v hai phộp toỏn trờn õy tha h tiờn tuyn tớnh; Tp B(X,Y) tr thnh mt khụng gian tuyn tớnh trờn trng P Bõy gi vi toỏn t bt k A B(X,Y) ta t A = sup Ax x =1 D thy cụng thc trờn tha h tiờn chun v khụng gian tuyn tớnh B(X,Y) trờn trng P tr thnh khụng gian nh chun S hi t khụng gian nh chun B(X,Y) gi l s hi t u ca dóy toỏn t b chn Dóy toỏn t (An) toỏn t A B(X,Y) , nu vi mi x B(X,Y) gi l hi t tng im ti X, lim An x - Ax = khụng gian Y n Mt dóy toỏn t (An) B(X,Y) hi t u ti toỏn t A B(X,Y) thỡ dóy (An) hi t tng im ti toỏn t A khụng gian Y nh lý 1.3.4 Nu Y l khụng gian Banach, thỡ B(X,Y) l khụng gian Banach nh ngha 1.3.8 (Khụng gian i ngu) Cho khụng gian nh chun X trờn trng P (P l trng s thc Ă hoc trng s phc Ê ) Ta gi khụng gian B(X,P) cỏc phim hm tuyn tớnh liờn tc trờn khụng gian X l khụng gian liờn hp (hay khụng gian i ngu) ca khụng gian X v ký hiu X* (thay cho ký hiu B(X,P)) Nhn xột 1.3.1 X* = B(X,P) l khụng gian Banach Ging viờn hng dn: TS T Ngc Trớ Khúa lun tt nghip Th Lan K33C SP Toỏn nh ngha 1.3.9.(Khụng gian tỏch c) Khụng gian nh chun X c gi l kh ly (hay tỏch c) nu khụng gian X tn ti mt hp m c trự mt khp ni nh lý 1.3.5.(nh lý b chn u) Cho X l mt khụng gian Banach t F l mt h cỏc phim hm tuyn tớnh b chn t X vo mt khụng gian nh chun Y no ú Gi s vi mi x X { Tx Y T ẻ F} l b chn thỡ { T T ẻ F} b chn 1.4 Khụng gian Hilbert Trong mc 1.4 ny ta i nhc li mt s kin thc m u v khụng gian Hilbert v toỏn t tuyn tớnh b chn khụng gian Hilbert Cỏc khỏi nim v kt qu di õy c tham kho cỏc ti liu [1] v [5] nh ngha 1.4.1 (Tớch vụ hng) Cho khụng gian tuyn tớnh X trờn trng P (P l trng s thc Ă hoc trng s phc Ê ) Ta gi l tớch vụ hng trờn khụng gian X mi ỏnh x t tớch Descartes X X vo trng P, kớ hiu ìì , , tha tiờn : X) y,x = x, y ; 1) ( x, y 2) ( x, y, z 3) ( x, y 4) ( x X) x + y, z = x,z + y,z ; X) ( P) a x, y = X) x,x > 0, nu x x, y ; ( l ký hiu phn t khụng), x, x = nu x= nh lý 1.4.1 i vi mi x Khi ú vi mi x, y X ta t x = x, x (3) X ta cú bt ng thc Schwarz x, y H qu 1.4.1 Cụng thc x = x, x , vi mi x x y X xỏc nh mt chun trờn khụng gian X Ging viờn hng dn: TS T Ngc Trớ 10 Khúa lun tt nghip Th Lan K33C SP Toỏn Chng CC LOI TễPễ THNG GP TRONG KHễNG GIAN CC TON T TUYN TNH B CHN V QUAN H GIA CHNG Chỳng ta va c bit v tụpụ sinh bi h na chun Trong chng ny, chỳng ta s i tỡm hiu ba loi tụpụ sinh bi cỏc h na chun, ú chớnh l ba tụpụ thng gp B(X,Y) - Khụng gian cỏc toỏn t tuyn tớnh b chn t mt khụng gian Banach X n mt khụng gian Banach Y khỏc c bit ta i tỡm hiu v ba loi tụpụ ú trng hp X Y H, vi H l mt khụng gian Hilbert, ng thi xột quan h gia chỳng v mt s tớnh cht ca ba loi tụpụ ú Cỏc khỏi nim v kt qu trỡnh by õy c tham kho cỏc ti liu [4] v [5] 3.1 Cỏc loi tụpụ thng gp khụng gian cỏc toỏn t tuyn tớnh b chn B(X,Y) Ta ký hiu khụng gian cỏc toỏn t tuyn tớnh b chn t khụng gian Banach X n mt khụng gian Banach Y khỏc l B(X,Y) nh lý 1.3.4 cho thy khụng gian B(X,Y) l khụng gian Banach vi chun : T = sup xẻ X,x Tx x Y X Cú ba loi tụpụ thng gp khụng gian cỏc toỏn t b chn B(X,Y) ú l: Tụpụ chun, tụpụ toỏn t mnh v tụ pụ toỏn t yu Bõy gi ta s i nh ngha ba loi tụpụ ú nh ngha 3.1.1 (Tụpụ chun) Tụpụ cm sinh trờn B(X,Y) c gi l tụpụ chun hay tụpụ u hay tụpụ toỏn t u nh ngha 3.1.2 (Tụpụ toỏn t mnh (Strong operator topology)) Ging viờn hng dn: TS T Ngc Trớ 28 Khúa lun tt nghip Th Lan K33C SP Toỏn Tụpụ toỏn t mnh l tụpụ yu nht trờn B(X,Y) cú tớnh cht lm cho tt c cỏc ỏnh x Ex : B(X,Y) đ Y c xỏc nh bi Ex(T) = Tx l liờn tc vi mi x X Mt c s lõn cn ti gc c cho bi cỏc cú dng: {S | S ẻ B(X,Y), Sxi Y < e, i = 1, ,n} n Trong ú {xi }i= l hp hu hn cỏc phn t ca X v e l mt s dng Trong tụpụ ny mt li {T a } cỏc toỏn t hi t n mt toỏn t T ( Ký s hiu l: Ta đ T ) v ch Ta x - Tx đ vi mi x ẻ X nh ngha 3.1.3 (Tụpụ toỏn t yu (weak operator topology)) Tụpụ toỏn t yu trờn B(X,Y) l tụpụ yu nht cú tớnh cht lm cho tt c cỏc ỏnh x E x,l : B(X,Y) đ Ê c xỏc nh bi Ex, (T) = (Tx) liờn tc vi mi x X, Y* Mt c s ti gc c cho bi cỏc cú dng : {S | S ẻ B(X,Y), | i(Sxj) | < e , i = 1,,n ; j = 1,,m} ú {x i }in= v { j }mj= l cỏc h hu hn cỏc phn t ca X v Y* tng ng Mt li cỏc toỏn t {Ta } hi t n mt toỏn t T tụpụ toỏn t w yu (Ký hiu: Ta đ T ) v ch | ( Ta x ) v x ( Tx )| đ vi mi Y* X Chỳ ý 3.1.1 Chỳng ta khụng nờn nhm ln gia tụpụ toỏn t yu trờn B(X,Y) v tụpụ yu (khụng gian Banach) trờn B(X,Y) Tụpụ toỏn t yu l tụpụ yu nht lm cho cỏc phim hm tuyn tớnh b chn cú dng ( x) trờn B(X,Y) l liờn tc vi mi x X v Y* Tụpụ yu (khụng gian Banach) l tụpụ yu nht lm cho tt c cỏc phim hm tuyn tớnh b chn trờn B(X,Y) liờn tc Ging viờn hng dn: TS T Ngc Trớ 29 Khúa lun tt nghip Th Lan K33C SP Toỏn nh lý 3.1.1 Tụpụ toỏn t yu yu hn tụpụ toỏn t mnh, tụpụ toỏn t mnh yu hn tụpụ toỏn t u Chng minh ) Ta chng minh hi t chun kộo theo hi t mnh Gi s tụpụ chun Tn mi x ) T Suy Tn - T đ T ú suy vi s X ta cú Tn x - Tx đ Suy Tn đ T Hi t mnh kộo theo hi t yu s Gi s Tn đ T Suy Tn x - Tx đ Mt khỏc vi mi l |l(Tnx Tx)| Ê l Tn x - Tx vi mi x M Tn x - Tx đ Suy |l(Tnx Li cú |l(Tnx Tx)| = |l(Tnx) l(Tx)| Tx)| Y* ta cú: X 0 vi mi l Y* v x X w Vy Tn đ T T kt qu va chng minh v nh ngha 1.5.1.13 ta suy iu phi chng minh 3.2 Cỏc loi tụpụ thng gp khụng gian cỏc toỏn t tuyn tớnh b chn B(H) trờn mt khụng gian Hilbert trờn chỳng ta va xõy dng khụng gian cỏc toỏn t tuyn tớnh b chn B(X,Y) t khụng gian Banach X n mt khụng gian Banach Y khỏc Trong mc ny ta s xột mt trng hp thng gp ca khụng gian B(X,Y), ú l X Y H ú H l mt khụng gian Hilbert, c trang b mt tớch vụ hng ìì , , thỡ lỳc ny khụng gian B(X,Y) B(H,H) B(H) Cú nhiu tụpụ c nh ngha trờn khụng gian B(H) Cỏc tụpụ ny u l li a phng v c nh ngha bi h cỏc na chun.Cỏc tụpụ thng Ging viờn hng dn: TS T Ngc Trớ 30 Khúa lun tt nghip Th Lan K33C SP Toỏn gp trờn B(H) l tụpụ chun, tụpụ toỏn t yu v tụpụ toỏn t mnh Bõy gi ta i nh ngha ba tụpụ ú nh ngha 3.2.1.(Tụpụ chun hay toỏn t tụpụ u hay tụpụ u) Ta bit B(H) l mt khụng gian nh chun v chun ó cho sinh mt metric, ú B(H) l mt khụng gian metric Vỡ vy tụpụ chun c nh ngha bi tụpụ sinh bi metric Trong tụpụ chun Tn đ T v ch Tn - T đ nh ngha 3.2.2 (Tụpụ toỏn t mnh (Strong operator topology) ) Mt c s i vi tụpụ toỏn t mnh l hp cỏc cú dng O(T0, x, )= T B(H) : (T - T0 )x < Ta bit mt c s l hp tt c cỏc giao hu hn cỏc hp nh vy Vy mt c s l hp tt c cỏc cú dng O(T0, x1, x2, , xk, )= T B(H) : (T - T0 )x i < , i = 1, 2, , k Cỏc khỏi nim hi t tng ng : Tn đ T mnh v ch Tnx đ Tx mnh vi mi x H (tc l Tn x - Tx đ vi mi x ) Tụpụ toỏn t mnh cũn c gi l tụpụ mnh v thng c ký hiu l SOT nh ngha 3.2.3 (Tụpụ toỏn t yu (weak operator topology) ) Mt c s i vi tụpụ toỏn t yu l hp tt c cỏc cú dng O(T0, x, y, )= T B(H): (T - T0 )x, y < Mt c s i vi tụpụ toỏn t yu l hp cỏc giao hu hn cỏc nh vy Ta cú khỏi nim hi t tng ng: Tn đ T yu v ch Tnx đ Tx yu vi mi x thuc H ( Tc l: Tn x, y đ Tx, y vi mi x, y ) Tụpụ toỏn t yu thng c ký hiu l WOT Ging viờn hng dn: TS T Ngc Trớ 31 Khúa lun tt nghip Th Lan K33C SP Toỏn Chỳ ý 3.2.1 Trong khụng gian B(H) thỡ ba loi tụpụ chun, tụpụ toỏn t mnh, tụpụ toỏn t yu u l nhng tụpụ c sinh bi h cỏc na chun C th: Tụpụ chun l tụpụ sinh bi h cỏc na chun T vi T B(H) Tụpụ toỏn t mnh l tụpụ sinh bi h cỏc na chun Tx vi T x B(H), X Tụpụ toỏn t yu l tụpụ sinh bi h cỏc na chun Tx, y vi T x, y B(H), X nh ngha 3.2.4 (i) Tp ca mt khụng gian vộct tụpụ l úng yu nú úng i vi tụpụ toỏn t yu v nú l úng mnh nú l úng i vi tụpụ toỏn t mnh (ii) Mt hm s c gi l liờn tc mnh nu nú liờn tc i vi tụpụ toỏn t mnh, v c gi l liờn l liờn tc yu nu nú liờn tc i vi tụpụ toỏn t yu Vớ d 3.2.1 Xột cỏc toỏn t b chn trờn (i) Cho Tn c nh ngha bi 1 Tn(x1, x2,) = nx1 , n x2 , thỡ Tn đ tụpụ chun (ii) Cho Sn c nh ngha bi Sn(x1, x2, ) = (0, 0, , xn+1, xn+2, ) ú cú n ch s Thỡ Sn đ tụpụ toỏn t mnh nhng khụng hi t theo tụpụ chun (iii) Cho Wn c nh ngha bi Wn(x1, x2, ) = (0, 0, , x1, x2, ) ú cú n ch s 0, Ging viờn hng dn: TS T Ngc Trớ 32 Khúa lun tt nghip Th Lan K33C SP Toỏn thỡ Wn đ tụpụ toỏn t yu nhng khụng hi t theo tụpụ toỏn t mnh v tụpụ chun nh lý 3.2.1 Xột trờn khụng gian B(H) Cho Tn l mt dóy cỏc toỏn t b chn v gi s rng (Tnx,y) hi t n đ vi mi x, y H Thỡ tn ti mt w toỏn t T B(H) tha Tn đ T Chng minh (Xem Methods of Modern Mathematical Physics, Vol.1 Functional Analysis - M Reed and B Simon) nh lý 3.2.2 Hi t chun kộo theo hi t mnh v hi t mnh kộo theo hi t yu Chng minh *) Hi t chun kộo theo hi t mnh Gi s tụpụ chun Tn T Suy Tn - T Suy Tn x - Tx đ vi mi x s H T õy suy Tn đ T s *) Gi s Tn đ T Suy Tn x - Tx đ vi mi x X Ta li cú Tn x, y - Tx, y = Tn x - Tx, y = (Tn - T)x, y vi mi x, y H Mt khỏc theo bt ng thc schwarz: (Tn - T)x, y Ê (Tn - T)x y = Tn x - Tx y Suy vi mi x, y H Tn x, y - Tx, y đ Hay Tn x, y đ Tx, y vi mi x, y w H Vy Tn đ T nh lý 3.2.3.(Quan h gia cỏc loi tụpụ) Tụpụ toỏn t yu yu hn tụpụ toỏn t mnh v tụpụ toỏn t mnh yu hn tụpụ chun Chng minh T nh lý 3.2.2 v nh ngha 1.5.1.13 ta suy iu phi chng minh Ging viờn hng dn: TS T Ngc Trớ 33 Khúa lun tt nghip Th Lan K33C SP Toỏn nh lý 3.2.4 Cỏc mnh sau l ỳng B(H) (i) Nu An x, y đ Ax, y u vi y = 1, thỡ An x - Ax đ (ii) Nu An x - Ax đ u vi x = 1, thỡ An - A đ Chng minh 1) Trng hp A = 0, cỏc mnh l ỳng An x, y đ Ax, y ch y = ị (A n - A + A)x, y đ Ax, y ị (A n - A)x + Ax, y đ Ax, y ị (A n - A)x, y + Ax, y đ Ax, y ị (A n - A)x, y đ Vy t Bn = An A, ta cú Bn x, y đ ch y = Vy t gi thit chỳng ta cú mt khng nh mi (ú l: An x, y đ u vi y = 1, thỡ An x đ 0), ta nhn c Bn x đ thỡ ú : (An - A)x = An x - Ax đ 2) Trng hp A = l ỳng Bõy gi, gi s rng An x đ ch x = 1, cú ngha l vi mi tn ti mt s N cho vi mi n >0 N thỡ An x < ch x = Tớnh u cú ngha l N khụng ph thuc vo x T ú suy vi mi n ( An x Tht vy vi mi n N, x N - - ) x < e ch x A n x < ch x Suy vi mi n N : An x < x Suy vi mi n N : An x < x ch x vi mi x Ging viờn hng dn: TS T Ngc Trớ H 34 Khúa lun tt nghip Th Lan K33C SP Toỏn iu ny suy l vi mi n N, A n , cho thy A n đ nh lý 3.2.5 Phộp nhõn l liờn tc i vi tụpụ chun v giỏn on i vi tụpụ toỏn t mnh v tụpụ toỏn t yu Chng minh ) Tụpụ chun: Phn chng minh cho tụpụ chun c cha bt ng thc: AB - A B0 AB - AB0 + AB0 - A B0 A B - B0 + A - A B0 A - A0 + A0 B - B0 + A - A B0 ) Giỏn on ca phộp nhõn tụpụ toỏn t mnh: Bc 1: Chng minh N tt c cỏc ly tinh cp tc l tt c cỏc toỏn t A tha A2 = A, trự mt mnh chng minh iu ny , ta gi s O = (A0; x1, , xk, ) := {A ẻ B(H): (A - A )x i < e, i = 1, , k} l mt c s bt k ca tụpụ toỏn t mnh Khụng mt tớnh tng quỏt, ta gi s rng x l c lp tuyn tớnh hoc thm l trc giao (nu khụng, thay th chỳng bng mt c lp tuyn tớnh hoc thm l trc giao vi cựng mt khong, ng thi cn lm cho nh hn nhiu ln) Vi mi i (i = 1,,k) tỡm c mt vect yi tha A x i - yi < v khong cỏch ca y thụng thng l vi khong cỏch ca x.Vỡ vy, khụng gian Hilbert di l vụ hn chiu, thỡ iu ny cú th xy ra.Thc t, chỳng ta luụn gi s rng khụng gian Hilbert di l vụ hn chiu, bi vỡ nu khụng tt c cỏc tụpụ l trựng Ging viờn hng dn: TS T Ngc Trớ 35 Khúa lun tt nghip Th Lan K33C SP Toỏn Cho A l mt toỏn t tha món: Axi = yi v Ayi = (i =1,, k) V Az = , z, x i = v z, yi = (i =1,, k) Rừ rng A l mt toỏn t ly tinh cp 2, v rừ rng A xỏc nh mt c s mnh Bc 2: Nu phộp nhõn l liờn tc mnh, thỡ trng hp c bit nú liờn tc mnh cỏc cp cú dng (A,A) Nhng liờn tc mnh (A,A) , ngha l : nu (An, An) (A,A) thỡ An2 Bõy gi ta ly bt kỡ mt A A li / chui liờn tc (A,A) A2 B(H) B(H) ) = cls(N) , vỡ vy tn ti mt li A l N cho A l A, vỡ vy (Al ,A l ) (A,A) ( theo nh ngha hi t tụpụ tớch) Nu phộp nhõn cú li liờn tc, thỡ A 2l A l2 = Vy, A2 Nhng A l N, vỡ vy vi mi l ta cú A2, v t tớnh nht ca gii hn mnh, nu nú tn ti, ta cú A2 = Nhng A l bt k, c bit ta cú th ly A l mt ỏnh x ng nht trờn H, mõu thun vi trờn ) Giỏn on ca phộp nhõn tụpụ toỏn t yu: Vỡ tụpụ mnh mnh hn tụpụ yu, vỡ vy mt trự mt mnh thỡ nht nh l trự mt yu, vy N tt c cỏc toỏn t ly tinh cp l trự mt yu Chng minh nh trờn ú ch cn thay tt c nhng ch mnh l yu ta s c iu cn chng minh nh lý 3.2.6 1) Phộp nhõn phi thỡ liờn tc mnh v yu Tc l, cho B c nh, ỏnh x B(H) B(H) nh ngha bi A a AB liờn tc mnh v yu 2) Phộp nhõn trỏi liờn tc mnh v yu Tc l, cho A c nh, ỏnh x B(H) B(H) c nh ngha bi B a AB liờn tc mnh v yu Ging viờn hng dn: TS T Ngc Trớ 36 Khúa lun tt nghip Th Lan K33C SP Toỏn Chng minh Ta s s dng s hi t ) Liờn tc mnh: i vi phộp nhõn phi: Gi s rng A l A mnh ngha l A l x Vy, trng hp c bit, A l Bx Ax mnh vi mi x ABx vi mi x H H, v iu ny xỏc lp tớnh liờn tc mnh A i vi phộp nhõn trỏi: Gi s rng Bl B ngha l Bl x Bx mnh vi mi x H Thỡ, vỡ A liờn tc nờn b chn Vy nu ta gi s rng ABl x đ ABx mnh vi mi x H, v iu ny xỏc lp tớnh liờn tc mnh A ) Liờn tc yu: i vi phộp nhõn phi: Nu A l đ A yu ,ngha l A l x đ Ax yu vi mi x thỡ Al x, y đ Ax, y vi mi x,y H, H Thỡ trng hp c bit Al Bx, y đ ABx, y vi mi x, y H, v liờn tc yu A i vi phộp nhõn trỏi: Nu Bl đ B yu thỡ Bl x đ Bx yu vi mi x thỡ Bl x, y đ Bx, y vi mi x, y H H Thỡ trng hp c bit, ABl x, y = Bl x,A* y đ Bx,A* y = ABx, y vi mi x, y H, v liờn tc yu B Chỳ ý 3.2.2 Ta d thy mt nhn xột v tụpụ: Nu mt hm t mt khụng gian ny n mt khụng gian khỏc l liờn tc, thỡ hm ú liờn tc nu tụpụ ti to nh l ln hn v hm ú liờn tc nu tụpụ ti nh l nh hn nh lý 3.2.7 Chun (tc hm T đ T ) liờn tc i vi tụpụ chun v giỏn on i vi cỏc tụpụ toỏn t mnh v tụpụ toỏn t yu Ging viờn hng dn: TS T Ngc Trớ 37 Khúa lun tt nghip Th Lan K33C SP Toỏn Chng minh *) i vi tụpụ chun: Vic chng minh i vi tụpụ chun chớnh l i chng minh bt ng thc A - B Ê A- B Chng minh vi liờn tc A0 B(H) Chỳng ta nờn chng minh: Vi mi > 0, tn ti mt s > cho A - A0 < thỡ A - A0 < Cho > v ta ly = thỡ nu A - A0 < thỡ A - A0 A - A0 < lu ý: Cỏc chng minh trờn l ỳng vi bt k mt khụng gian nh chun no, ch khụng ch trờn B(H), bi vỡ bt ng thc A - B Ê A - B ỳng bt k mt khụng gian nh chun no *) i vi tụpụ toỏn t mnh v tụpụ toỏn t yu: S dng chỳ ý 3.2.2 Giỏn on i vi tụpụ toỏn t mnh giỏn on i vi tụpụ toỏn t yu Vỡ vy, ta phi ch giỏn on ca chun i vi tụpụ toỏn t mnh Chỳng ta s ly mt vớ d ú chun khụng liờn tc theo khụng liờn tc Ly mt khụng gian Hibert vụ hn chiu H Xõy dng mt dóy gim dn ca khụng gian khỏc khụng cú dng x ẫ x1 ẫ x ẫ x ẫ ( iu ny l khụng th i vi khụng gian hu hn chiu, nhng chỳng ta ang xột vi khụng gian vụ hn chiu), v t Pn l dóy toỏn t chiu (trc giao) tng ng Dóy Pn hi t mnh ti Dóy cỏc nh Pn khụng hi t ti = 0, bi vỡ dóy cỏc nh Pn l dóy khụng i nú bng 1, vỡ vi bt kỡ phộp chiu trc giao no ta u cú: Ging viờn hng dn: TS T Ngc Trớ 38 Khúa lun tt nghip Th Lan K33C SP Toỏn 2 P = P = PP = P* P = P ị P = P ị P = nh lý 3.2.6 Liờn hp (tc l hm T đ T* ) l liờn tc i vi tụpụ chun v tụpụ toỏn t yu nhng giỏn on i vi tụpụ toỏn t mnh Chng minh *) Liờn tc chun Ta ch cn s dng ng thc A* - B* = A - B ( v ly = ) *) Liờn tc yu Liờn tc yu c suy bi ng nht thc (A* - A* x, y - B* x, y = B* )x, y = * x, (A * - B* ) y = x,(A - B)y = x,Ay - x,By = Ay, x - By, x M bt ng thc trc chỳng ta ó s dng tớnh cht |z| = | z | vi mi z Ê *) Giỏn on mnh: chng minh giỏn on mnh ca liờn hp, ta xột B( 2) Ly U l s chuyn dch mt phớa ( mt s chuyn dch ta bờn phi), B( 2) cho U(x0 , x1 , x2 , )= (0, x0 , x1 , ) ta cú: U: B( 2) v nh ngha Ak = U*k , k = 1, 2, 3, Chỳ ý rng U* (x0 , x1 , x2 , ) = (x1 , x2 , x3 , ) (Dch chuyn ta sang trỏi) Ta khng nh Ak đ mnh, nhng dóy Ak* khụng hi t mnh ti 0* = 2 Tht vy: A k (x0 , x1 , x2 , ) = (xk , xk+ , xk+ , ) = xn Vỡ vy vi mi x thỡ ||Akx||2 ( ú x = (x0 , x1 , x2 , )) l phn d ca chui hi t, vy A k x đ vi mi x, thỡ Ak x đ vi mi x, ú Ak đ mnh Ging viờn hng dn: TS T Ngc Trớ 39 Khúa lun tt nghip Th Lan K33C SP Toỏn A*k khụng hi t mnh ti 0* = 0: Vỡ nu khụng, vi bt kỡ x H ta cú A*k x đ mnh, ngha l A*k x đ Nhng A*k x đ l khụng ỳng, vỡ nú khụng l dóy Cauchy : 2 A*m+ n x - A*n x = U m+ n x - U n x = U n (U m x )- U n (x ) 2 = U n (U m x - x ) = U m x - x = ( (U m x ) - 2Re U m x, x + x = x - 2Re U m x, x + x = x - Re U m x, x ( = x - Re x, U* m x 2 ) ) trờn ta ó ch Am x đ bng nh ngha U*m x đ Nú ch 2 rng : A*m+ n x - A*n x đ x , m, n rt ln Vy A*m+ n x - A*n x đ x Ging viờn hng dn: TS T Ngc Trớ 40 Khúa lun tt nghip Th Lan K33C SP Toỏn KT LUN Trong lun ny em ó nghiờn cu mt s c bn sau õy: cỏch xỏc nh tụpụ qua na chun, ba loi tụpụ thng gp trờn khụng gian cỏc toỏn t tuyn tớnh b chn v quan h gia chỳng Lun mang tớnh tng quan nhng em ó chng minh mt s nh lý b v a cỏc vớ d c th lm rừ hn mt s tớnh cht hiu rừ v cỏc lun ó cp Mong rng nú l mt ti liu b ớch cho nhng quan tõm n ny Do thi gian cú hn v cha cú kinh nghim cụng tỏc lm nghiờn cu khoa hc nờn khụng trỏnh nhng thiu sút Rt mong c s úng gúp ý kin ca cỏc thy cụ giỏo v cỏc bn c Trc kt thỳc khúa lun em xin c gi li cm n chõn thnh nht ti cỏc thy cụ giỏo khoa toỏn, c bit l TS T Ngc Trớ ngi ó tn tỡnh ch bo v giỳp em sut thi gian qua em cú th hon thnh khúa lun ny H Ni, thỏng nm 2011 Sinh viờn Th Lan Ging viờn hng dn: TS T Ngc Trớ 41 Khúa lun tt nghip Th Lan K33C SP Toỏn Ti liu tham kho [1] Nguyn Ph Hy (2006), Gii tớch hm, NXB Khoa hc v K thut [2] Nguyn Xuõn Liờm (1994), Tụpụ i cng - o v tớch phõn, NXB Giỏo dc [3] Hong Ty (2003), Hm thc v gii tớch hm, NXB i hc Quc gia H Ni [4] V.H Moscovich, Norm, strong, and weak operator topologies on B(H) Tỡm c ti ng link: http://u.cs.biu.ac.il/~megereli/updated.pdf [5] M.Reed and B Simon (1980), Methods of Modern Mathematical Physics, Vol Functional Analysis, Academic Press, revised and enlarged edition [6] F Wilde, Basic Analysis Gently Done Topological Vector Spaces, Lecture Notes , Department of Mathematics, King's College, London Tỡm c ti ng link: homepage.ntlworld.com/ivan.wilde/notes/fa2/fa2.pdf Ging viờn hng dn: TS T Ngc Trớ 42 [...]... trc chun (en)n 1 trong khụng gian Hilbert H gi l c s trc chun ca khụng gian H, nu trong khụng gian H khụng tn ti vộct khỏc khụng no trc giao vi h ú Ging viờn hng dn: TS T Ngc Trớ 12 Khúa lun tt nghip Th Lan K33C SP Toỏn nh lý 1.4.3 Khụng gian Hilbert cú c s trc chun khi v ch khi khụng gian ú l khụng gian tỏch c nh ngha 1.4.7 Khụng gian B(H, Ê ) c gi l khụng gian i ngu ca ca khụng gian Hilbert H v... Cỏc loi tụpụ thng gp trong khụng gian cỏc toỏn t tuyn tớnh b chn B(H) trờn mt khụng gian Hilbert trờn chỳng ta va xõy dng khụng gian cỏc toỏn t tuyn tớnh b chn B(X,Y) t khụng gian Banach X n mt khụng gian Banach Y khỏc Trong mc ny ta s xột mt trng hp thng gp ca khụng gian B(X,Y), ú l khi X Y H trong ú H l mt khụng gian Hilbert, c trang b mt tớch vụ hng ìì , , thỡ lỳc ny khụng gian B(X,Y) B(H,H) B(H)... TễPễ THNG GP TRONG KHễNG GIAN CC TON T TUYN TNH B CHN V QUAN H GIA CHNG Chỳng ta va c bit v tụpụ sinh bi h na chun Trong chng ny, chỳng ta s i tỡm hiu ba loi tụpụ sinh bi cỏc h na chun, ú chớnh l ba tụpụ thng gp trong B(X,Y) - Khụng gian cỏc toỏn t tuyn tớnh b chn t mt khụng gian Banach X n mt khụng gian Banach Y khỏc c bit ta i tỡm hiu v ba loi tụpụ ú trong trng hp X Y H, vi H l mt khụng gian Hilbert,... chun (2) ó bit trờn khụng gian l2 Nờn khụng gian vộct l2 cựng vi tớch vụ hng ny l mt khụng gian Hilbert nh lý 1.4.2 (nh lý v hỡnh chiu lờn khụng gian con) Cho khụng gian Hilbert H v H0 l khụng gian con ca H Khi ú phn t bt k x din mt cỏch duy nht di dng x = y + z , y H0 , z H0 H biu (4) Phn t y trong biu din (3) gi l hỡnh chiu ca phn t x lờn khụng gian con H0 Chỳ ý 1.4.1 Phn t y trong biu din (4) cũn c... gian Hilbert, ng thi xột quan h gia chỳng v mt s tớnh cht ca ba loi tụpụ ú Cỏc khỏi nim v kt qu trỡnh by õy c tham kho trong cỏc ti liu [4] v [5] 3.1 Cỏc loi tụpụ thng gp trong khụng gian cỏc toỏn t tuyn tớnh b chn B(X,Y) Ta ký hiu khụng gian cỏc toỏn t tuyn tớnh b chn t khụng gian Banach X n mt khụng gian Banach Y khỏc l B(X,Y) nh lý 1.3.4 cho thy khụng gian B(X,Y) l khụng gian Banach vi chun : T... (Phn trong) Cho khụng gian tụpụ (X, t ), A X Ta gi phn trong ca tp A l hp ca tt c cỏc tp m cha trong A nh ngha 1.5.1.8 (Bao úng) Cho (X, t ) l khụng gian tụpụ, A X Ta gi bao úng ca tp A l giao ca tt c cỏc tp úng cha A nh ngha 1.5.1.9.( Tp trự mt) Cho khụng gian tụpụ (X, t ), A, B núi tp hp A trự mt trong tp hp B nu B X Ta clA Nu clA = X thỡ ta núi A l trự mt (khp ni) trong X nh ngha 1.5.1.10.(Khụng gian. .. Mt li trong khụng gian tụpụ (X, t ) l mt ỏnh x t tp c nh hng I vo X Ký hiu l: (x ) Ging viờn hng dn: TS T Ngc Trớ I 18 Khúa lun tt nghip Th Lan K33C SP Toỏn Nu I l Ơ vi quan h th t thụng thng, thỡ chỳng ta nhn c khỏi nim mt dóy Núi cỏch khỏc, mt dóy l mt trng hp c bit ca mt li 1.5.2 Khụng gian vộct tụpụ nh ngha 1.5.2.1 (Khụng gian vộct tụpụ) Mt khụng gian vộct tụpụ trờn trng K l mt khụng gian vộct... mt khụng gian nh chun thc hoc phc no u l khụng gian vộct tụpụ khi c trang b tụpụ cm sinh bi chun Vớ d 1.5.2.2 Bt k mt khụng gian vộct u l khụng gian vộct tụpụ vi tụpụ ri rc nh lý 1.5.2.1 Cho X l mt khụng gian vộct tụpụ Vi a X cho trc v s K, vi s ạ 0, ỏnh x tnh tin Ta: x a x + a v ỏnh x nhõn Ms : x x X, l mt phộp ng phụi t X lờn chớnh nú a sx, nh lý 1.5.2.3 Cho B l mt c s lõn cn trong khụng gian tuyn... X Khụng gian X l khụng gian Hausdorff khi v ch khi vi mi x ạ 0 u cú mt V B khụng cha x tc l : Ging viờn hng dn: TS T Ngc Trớ 19 Khúa lun tt nghip Th Lan K33C SP Toỏn ầ V = {0} Vẻ B nh ngha 1.5.2.3 Mt khụng gian tuyn tớnh tụpụ X gi l khụng gian li a phng (v tụpụ ca nú l tụpụ li a phng) nu trong X cú mt c s lõn cn (ca gc) gm ton tp li Vỡ khi tnh tin mt tp li ta li c mt tp li nờn trong khụng gian li... trờn X nh ngha 2.2.1.(Tụpụ sinh bi h na chun) Tụpụ t trong mt khụng gian vộct X trờn trng K c xõy dng nh trờn c gi l (khụng gian) tụpụ sinh bi h na chun p cho trc nh lý 2.2.2 Cho t l mt khụng gian vộct tụpụ trờn mt khụng gian vộct X xỏc nh bi h na chun p Mt li (xv) hi t ti 0 trong (X, t ) khi v ch khi p(xv) đ 0 vi mi p p Chng minh Gi s rng xv đ 0 trong (X, t ) Thỡ p(xv) đ p(0) = 0 vi mi p p , vỡ mi ... khụng gian M (hay X) nh ngha 1.2.7 (khụng gian tỏch c) Khụng gian metric M = (X, d) gi l khụng gian tỏch c, nu X cha m c trự mt khp ni khụng gian M Vớ d 1.2.3 Khụng gian metric Ă l khụng gian. .. khụng gian cỏc toỏn t tuyn tớnh b chn, quan h gia chỳng v mt s nh lý liờn quan n chỳng Phng phỏp nghiờn cu c ti liu, phõn tớch, so sỏnh tng hp Trong thi gian hc tp, nghiờn cu em ó nhn c s quan. .. bit trờn khụng gian l2 Nờn khụng gian vộct l2 cựng vi tớch vụ hng ny l mt khụng gian Hilbert nh lý 1.4.2 (nh lý v hỡnh chiu lờn khụng gian con) Cho khụng gian Hilbert H v H0 l khụng gian ca H Khi