CHẶN VÀ QUAN HỆ GIỮA CHÚNG
3.1.Các loại tôpô thường gặp trong không gian các toán tử tuyến tính bị chặn B(X,Y).
tuyến tính bị chặn B(X,Y).
Ta ký hiệu không gian các toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian Banach X đến một không gian Banach Y khác là B(X,Y). Định lý 1.3.4 cho thấy không gian B(X,Y) là không gian Banach với chuẩn :
T =x X,x 0 x X,x 0 sup Î ¹ Y X Tx x
Có ba loại tôpô thường gặp trong không gian các toán tử bị chặn B(X,Y). Đó là: Tôpô chuẩn, tôpô toán tử mạnh và tô pô toán tử yếu. Bây giờ ta sẽ đi định nghĩa ba loại tôpô đó.
Định nghĩa 3.1.1. (Tôpô chuẩn) Tôpô cảm sinh trên B(X,Y) được gọi là tôpô chuẩn hay tôpô đều hay tôpô toán tử đều.
Khóa luận tốt nghiệp Đỗ Thị Lan – K33C SP Toán
Giảng viên hướng dẫn: TS. Tạ Ngọc Trí 29
Tôpô toán tử mạnh là tôpô yếu nhất trên B(X,Y) có tính chất làm cho tất cả các ánh xạ Ex : B(X,Y)® Y được xác định bởi Ex(T) = Tx là liên tục với mọi x X.
Một cơ sở lân cận tại gốc được cho bởi các tập có dạng:
{S | S Î B(X,Y), Sxi Y < e =, i 1,..., n}
Trong đó { }
1
n i i
x = là tập hợp hữu hạn các phần tử của X và e là một số dương. Trong tôpô này một lưới {Ta } các toán tử hội tụ đến một toán tử T ( Ký hiệu là:Ta ®s T) khi và chỉ khi T x Txa - ® với mọi x Î X. 0
Định nghĩa 3.1.3. (Tôpô toán tử yếu (weak operator topology))
Tôpô toán tử yếu trên B(X,Y) là tôpô yếu nhất có tính chất làm cho tất cả các ánh xạ Ex,l: B(X,Y)® £ được xác định bởi Ex,Ɩ (T) = Ɩ (Tx) liên tục với mọi x X, Ɩ Y*.
Một cơ sở tại gốc được cho bởi các tập có dạng :
{S | S Î B(X,Y), |Ɩ i(Sxj) | < e , i = 1,…,n ; j = 1,…,m} trong đó {x }i i 1n= và {Ɩ j m
j 1
}= là các họ hữu hạn các phần tử của X và Y* tương ứng.
Một lưới các toán tử {T }a hội tụ đến một toán tử T trong tôpô toán tử yếu (Ký hiệu: Ta ®w T) khi và chỉ khi |Ɩ (T xa ) Ɩ (Tx)|® 0 với mọi Ɩ Y* và x X.
Chú ý 3.1.1. Chúng ta không nên nhầm lẫn giữa tôpô toán tử yếu trên B(X,Y)
và tôpô yếu (không gian Banach) trên B(X,Y). Tôpô toán tử yếu là tôpô yếu nhất làm cho các phiếm hàm tuyến tính bị chặn có dạng Ɩ ( x) trên B(X,Y) là liên tục với mọi x X và Ɩ Y*. Tôpô yếu (không gian Banach) là tôpô yếu nhất làm cho tất cả các phiếm hàm tuyến tính bị chặn trên B(X,Y) liên tục.
Khóa luận tốt nghiệp Đỗ Thị Lan – K33C SP Toán
Giảng viên hướng dẫn: TS. Tạ Ngọc Trí 30
Định lý 3.1.1. Tôpô toán tử yếu yếu hơn tôpô toán tử mạnh, tôpô toán tử
mạnh yếu hơn tôpô toán tử đều. Chứng minh.
) Ta chứng minh hội tụ chuẩn kéo theo hội tụ mạnh.
Giả sử trong tôpô chuẩn Tn T. Suy ra Tn - T ® .Từ đó suy ra với 0 mọi x X ta có T xn - Tx ® . Suy ra 0 Tn®s T.
) Hội tụ mạnh kéo theo hội tụ yếu.
Giả sử Tn®s T. Suy ra T xn - Tx ® . Mặt khác với mỗi 0 l Y* ta có: |l(Tnx Tx)| £ l T xn - Tx với mọi x X. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Mà T xn - Tx ® . Suy ra |0 l(Tnx Tx)| 0.
Lại có |l(Tnx Tx)| = |l(Tnx) l(Tx)| 0. với mọi l Y* và x X. Vậy
w n
T ® T.
Từ kết quả vừa chứng minh và định nghĩa 1.5.1.13. ta suy ra điều phải chứng
minh.