CHẶN VÀ QUAN HỆ GIỮA CHÚNG
3.2.Các loại tôpô thường gặp trong không gian các toán tử tuyến tính bị chặn B(H) trên một không gian Hilbert.
tuyến tính bị chặn B(H) trên một không gian Hilbert.
Ở trên chúng ta vừa xây dựng không gian các toán tử tuyến tính bị chặn B(X,Y) từ không gian Banach X đến một không gian Banach Y khác. Trong mục này ta sẽ xét một trường hợp thường gặp của không gian B(X,Y), đó là khi X Y H trong đó H là một không gian Hilbert, được trang bị một tích vô hướng ,×× , thì lúc này không gian B(X,Y) B(H,H) B(H) .
Có nhiều tôpô được định nghĩa trên không gian B(H). Các tôpô này đều là lồi địa phương và được định nghĩa bởi họ các nửa chuẩn.Các tôpô thường
Khóa luận tốt nghiệp Đỗ Thị Lan – K33C SP Toán
Giảng viên hướng dẫn: TS. Tạ Ngọc Trí 31
gặp trên B(H) là tôpô chuẩn, tôpô toán tử yếu và tôpô toán tử mạnh. Bây giờ ta đi định nghĩa ba tôpô đó.
Định nghĩa 3.2.1.(Tôpô chuẩn hay toán tử tôpô đều hay tôpô đều)
Ta biết B(H) là một không gian định chuẩn và chuẩn đã cho sinh ra một metric, do đó B(H) là một không gian metric. Vì vậy tôpô chuẩn được định nghĩa bởi tôpô sinh bởi metric.
Trong tôpô chuẩn Tn® T khi và chỉ khi Tn - T ® 0.
Định nghĩa 3.2.2. (Tôpô toán tử mạnh (Strong operator topology) ) Một cơ sở con đối với tôpô toán tử mạnh là tập hợp các tập có dạng
O(T0, x, = T B(H) : ) (T- T x0) <
Ta biết một cơ sở là tập hợp tất cả các giao hữu hạn các tập hợp như vậy. Vậy một cơ sở là tập hợp tất cả các tập có dạng
O(T0, x1, x2, … , xk, = T B(H) : ) (T- T x0) i < , i = 1, 2, … , k
Các khái niệm hội tụ tương ứng : Tn® T mạnh khi và chỉ khi Tnx® Tx mạnh với mọi x H (tức là T xn - Tx ® 0 với mỗi x ) .
Tôpô toán tử mạnh còn được gọi là tôpô mạnh và thường được ký hiệu là SOT.
Định nghĩa 3.2.3. (Tôpô toán tử yếu (weak operator topology) )
Một cơ sở con đối với tôpô toán tử yếu là tập hợp tất cả các tập có dạng O(T0, x, y, = T B(H): ) (T- T x , y0) <
Một cơ sở đối với tôpô toán tử yếu là tập hợp các giao hữu hạn các tập như vậy.
Ta có khái niệm hội tụ tương ứng: Tn ® T yếu khi và chỉ khi Tnx® Tx yếu với mỗi x thuộc H ( Tức là: T x, yn ® Tx, y với mỗi x, y ).
Khóa luận tốt nghiệp Đỗ Thị Lan – K33C SP Toán
Giảng viên hướng dẫn: TS. Tạ Ngọc Trí 32
Chú ý 3.2.1. Trong không gian B(H) thì ba loại tôpô chuẩn, tôpô toán tử mạnh, tôpô toán tử yếu đều là những tôpô được sinh bởi họ các nửa chuẩn. Cụ thể:
Tôpô chuẩn là tôpô sinh bởi họ các nửa chuẩn T với T B(H).
Tôpô toán tử mạnh là tôpô sinh bởi họ các nửa chuẩn Tx với T B(H), x X.
Tôpô toán tử yếu là tôpô sinh bởi họ các nửa chuẩn Tx, y với T B(H), x, y X.
Định nghĩa 3.2.4.
(i) Tập con của một không gian véctơ tôpô là đóng yếu khi nó đóng đối với tôpô toán tử yếu và nó là đóng mạnh khi nó là đóng đối với tôpô toán tử mạnh.
(ii) Một hàm số được gọi là liên tục mạnh nếu nó liên tục đối với tôpô toán tử mạnh, và được gọi là liên là liên tục yếu nếu nó liên tục đối với tôpô toán tử yếu.
Ví dụ 3.2.1. Xét các toán tử bị chặn trên Ɩ 2 (i) Cho Tn được định nghĩa bởi
Tn(x1, x2,… = ) 1nx1 , 1
n x2 ,… thì Tn® 0 trong tôpô chuẩn. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
(ii) Cho Sn được định nghĩa bởi
Sn(x1, x2, … = ) (0, 0, …, xn+1, xn+2, … trong đó có n chữ số 0 )
Thì Sn® 0 trong tôpô toán tử mạnh nhưng không hội tụ theo tôpô chuẩn. (iii) Cho Wn được định nghĩa bởi
Khóa luận tốt nghiệp Đỗ Thị Lan – K33C SP Toán
Giảng viên hướng dẫn: TS. Tạ Ngọc Trí 33
thì Wn® 0 trong tôpô toán tử yếu nhưng không hội tụ theo tôpô toán tử mạnh và tôpô chuẩn.
Định lý 3.2.1. Xét trên không gian B(H). Cho Tn là một dãy các toán tử bị chặn và giả sử rằng (Tnx,y) hội tụ khi n® với mỗi x, y H. Thì tồn tại một toán tử T B(H) thỏa mãn Tn
w ® T.
Chứng minh. (Xem trong Methods of Modern Mathematical Physics, Vol.1 Functional Analysis - M. Reed and B. Simon).
Định lý 3.2.2. Hội tụ chuẩn kéo theo hội tụ mạnh và hội tụ mạnh kéo theo hội
tụ yếu.
Chứng minh.
*) Hội tụ chuẩn kéo theo hội tụ mạnh.
Giả sử trong tôpô chuẩn Tn T. Suy ra Tn - T 0. Suy ra T xn - Tx ® với mỗi x H . Từ đây suy ra 0 Tn®s T. *) Giả sử
s n
T ® T. Suy ra T xn - Tx ® với mỗi x X. Ta lại có 0
( ) n n n T x, y - Tx, y = T x- Tx, y = T - T x, y với mỗi x, y H. Mặt khác theo bất đẳng thức schwarz: (Tn - T x, y) £ (Tn - T x y) = T xn - Tx y 0 với mỗi x, y H. Suy ra T x, yn - Tx, y ® 0
Hay T x, yn ® Tx, y với mỗi x, y H. Vậy
w n
T ® T.
Định lý 3.2.3.(Quan hệ giữa các loại tôpô)
Tôpô toán tử yếu yếu hơn tôpô toán tử mạnh và tôpô toán tử mạnh yếu hơn tôpô chuẩn.
Chứng minh.
Khóa luận tốt nghiệp Đỗ Thị Lan – K33C SP Toán
Giảng viên hướng dẫn: TS. Tạ Ngọc Trí 34
Định lý 3.2.4. Các mệnh đề sau là đúng trong B(H)
(i) Nếu A x, yn ® Ax, y đều với y = 1, thì A xn - Ax ® 0 (ii)Nếu A xn - Ax ® 0 đều với x = 1, thì An - A ® 0
Chứng minh. 1) Trường hợp A = 0, các mệnh đề là đúng. A x, yn ® Ax, y chỉ khi y = 1 ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n A A A x, y Ax, y A A x Ax, y Ax, y A A x, y Ax, y Ax, y A A x, y 0 Þ - + ® Þ - + ® Þ - + ® Þ - ® Vậy đặt Bn = An A, ta có B x, yn ® 0 chỉ khi y = 1 Vậy từ giả thiết chúng ta có một khẳng định mới
(Đó là: A x, yn ® 0 đều với y = 1, thì A xn ® 0), ta nhận được B xn ® 0 thì khi đó : (An - A)x = A xn - Ax ® 0.
2) Trường hợp A = 0 là đúng. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Bây giờ, giả sử rằng A xn ® 0 chỉ khi x = 1, có nghĩa là với mỗi >0 tồn tại một số N sao cho với mọi n N thì A x < chỉ khi x = 1. n
Tính đều có nghĩa là N không phụ thuộc vào x. Từ đó suy ra với mọi n N
( 1 )
n
A x - x < e chỉ khi x¹ 0. Thật vậy với mọi n N, x - 1 A xn < chỉ khi x¹ 0 . Suy ra với mọi n N : A x < x chỉ khi xn ¹ 0. Suy ra với mọi n N : A x < xn với mọi x H.
Khóa luận tốt nghiệp Đỗ Thị Lan – K33C SP Toán
Giảng viên hướng dẫn: TS. Tạ Ngọc Trí 35
Điều này suy ra là với mọi n N, A , cho thấy n An ® 0.
Định lý 3.2.5. Phép nhân là liên tục đối với tôpô chuẩn và gián đoạn đối với
tôpô toán tử mạnh và tôpô toán tử yếu.
Chứng minh.
) Tôpô chuẩn:
Phần chứng minh cho tôpô chuẩn được chứa trong bất đẳng thức:
0 0
AB- A B AB- AB0 + AB0 - A B0 0A B- B0 + A- A0 B0