Các loại Tôpô thường gặp trong không gian các toán tử tuyến tính bị chặn và quan hệ giữa chúng

Khóa luận tốt nghiệp Đỗ Thị Lan – K33C SP Toán MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Giải tích hàm ngành tốn học xây dựng đầu kỉ XX đến xem ngành toán học cổ điển Trong trình phát triển, giải tích hàm tích lũy số nội dung phong phú, kết mẫu mực, tổng quát giải tích hàm xâm nhập vào tất ngành tốn học có liên quan, sử dụng đến cơng cụ giải tích khơng gian vectơ Chính điều mở rộng phạm vi nghiên cứu cho ngành toán học Với mong muốn nghiên cứu, tìm hiểu sâu sắc môn bước đầu tiếp cận với công việc nghiên cứu khoa học với giúp đỡ thầy giáo - Tiến sĩ - Tạ Ngọc Trí, em chọn đề tài: “Các loại tôpô thường gặp khơng gian tốn tử tuyến tính bị chặn quan hệ chúng” Cấu trúc khóa luận Nội dung khóa luận bao gồm ba chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2: Cách xác định tôpô qua nửa chuẩn Chương 3: Các loại tôpô thường gặp khơng gian tốn tử tuyến tính bị chặn quan hệ chúng Mục đích nghiên cứu Bước đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học tìm hiểu sâu tơpơ, nội dung quen thuộc, bao hàm nhiều tính chất đặc trưng tổng quát giải tích hàm Đặc biệt ba loại tôpô thường gặp không gian tốn tử tuyến tính bị chặn Giảng viên hướng dẫn: TS Tạ Ngọc Trí Khóa luận tốt nghiệp Giảng viên hướng dẫn: TS Tạ Ngọc Trí Đỗ Thị Lan – K33C SP Toán Nghiên cứu cách xác định tôpô qua nửa chuẩn, ba loại tôpô thường gặp khơng gian tốn tử tuyến tính bị chặn, quan hệ chúng số định lý liên quan đến chúng Phương pháp nghiên cứu Đọc tài liệu, phân tích, so sánh tổng hợp Trong thời gian học tập, nghiên cứu em nhận quan tâm, giúp đỡ tận tình thầy khoa Tốn, thầy tổ Giải tích đặc biệt TS Tạ Ngọc Trí, người trực tiếp hướng dẫn em, để em hồn thành tốt khóa luận tốt nghiệp đại học Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy khoa Tốn, thầy tổ Giải tích TS Tạ Ngọc Trí Cuối em xin chúc thầy gia đình mạnh khỏe, hạnh phúc thành công sống Hà Nội, tháng năm 2011 Sinh viên Đỗ Thị Lan NỘI DUNG Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trước tìm hiểu loại tôpô thường gặp không gian tốn tử tuyến tính bị chặn, cần nắm số kiến thức Chương nhắc lại số kiến thức Các khái niệm kết trình bày chương tham khảo tài liệu [1], [2], [3],[5] [6] 1.1 Khơng gian tuyến tính Ở mục này, ta nhắc lại số kiến thức khơng gian tuyến tính Những khái niệm kết tham khảo tài liệu [3] Định nghĩa 1.1.1 (Khơng gian tuyến tính) Giả sử F trường số thực ¡ số phức £ Tập X khác rỗng với hai ánh xạ (gọi phép cộng phép nhân với vô hướng ): Phép cộng xác định X X lấy giá trị X: (x,y) x + y ; x, y X Phép nhân vô hướng xác định F´ X lấy giá trị X : ( , x) x; F, x X gọi khơng gian tuyến tính điều kiện sau thỏa mãn : (i) x, y X:x+y=y+x (ii) x, y, z (iii) x X:x+0=x (iv) x X, x (v) x X, , (vi) x, y (vii) x X : x + (y+ z) = (x + y) + z F: ( X, X, X : x + ( x) = x x) = ( x=0 )x F : (x + y) = x + y , F:( + )x= x+ x (viii) x X : 1.x = x Nếu F = ¡ X gọi khơng gian tuyến tính thực Nếu F = £ X gọi khơng gian tuyến tính phức Khơng gian tuyến tính thường gọi khơng gian véctơ phần tử thường gọi véctơ Định nghĩa 1.1.2 ( tập lồi) Cho X khơng gian tuyến tính trường số thực Một tập K X gọi lồi với x, y K ax + (1 a)y K, a 1.2 Không gian metric Trong mục 1.2 ta nhắc lại số kiến thức không gian metric Các khái niệm kết mục tham khảo tài liệu [1] [3] Định nghĩa 1.2.1 (Không gian metric, metric) Ta gọi không gian metric tập hợp X ¹ với ánh xạ d từ tích Descartes X´ X vào tập số thực ¡ thỏa mãn tiên đề sau đây: 1) ( x, y X ) d(x,y) 0, d(x,y) = Û x = y ; ( Tiên đề đồng nhất) ; 2) ( x, y X ) d(x,y) = d(y,x) ; ( Tiên đề đối xứng ) ; 3) ( x, y, z X ) d(x,y) d(x,z) + d(z,y) ; ( Tiên đề tam giác) Ánh xạ d gọi metric X, số d(x,y) gọi khoảng cách hai phần tử x y Các phần tử X gọi điểm ; Các tiên đề 1) , 2), 3) gọi hệ tiên đề metric Khơng gian metric kí hiệu M = (X,d) Ví dụ 1.2.1 Với hai phần tử x, y ¡ ta đặt : d(x,y) = |x y| (1) Hệ thức xác định metric ¡ Khơng gian tương ứng kí hiệu ¡ Ta gọi metric metric tự nhiên Ví dụ 1.2.2 Ta ký hiệu l2 tập tất dãy số thực phức x = (xn ¥ x n hội tụ )n=1 cho chuỗi số dương ån= Với hai dãy số x = (xn)n=1 d(x,y) = ¥ å x n - yn y = (yn )n=1 ta đặt : n= Hệ thức xác định metric l2 Khơng gian metric tương ứng kí hiệu l2 Định nghĩa 1.2.2 Cho không gian metric M = (X,d), dãy điểm (xn) điểm x0 n® X, X Dãy điểm (xn) gọi hội tụ tới điểm x0 không gian M , ( > 0) ( n0 * N)( n lim xn = x0 hay xn® x0 n n0) d(xn,x0) < , ký hiệu : (n® ) Điểm x0 gọi giới hạn dãy (xn) không gian M Định nghĩa 1.2.3 (Hình cầu mở, hình cầu đóng) Cho (X, d) khơng gian metric Ta gọi hình cầu mở tâm a S(a;r) = {x X: d (x,a) < r}; Ta gọi hình cầu đóng tâm a S (a;r) = {x (x,a) X bán kính r > tập hợp X: d X bán kính r > tập hợp r} Định nghĩa 1.2.4 (Lân cận) Cho không gian metric M = (X,d) Ta gọi lân cận điểm x X khơng gian M hình cầu mở tâm x, bán kính r > Định nghĩa 1.2.5 (Tập mở, tập đóng) Cho khơng gian metric M = (X,d) tập A X Tập A gọi tập mở không gian M, điểm x A, tồn lân cận x bao hàm A Tập A gọi tập đóng không gian M, điểm x lân cận x không chứa điểm thuộc tập A A, tồn khoảng cách y thơng thường với khoảng cách x.Vì vậy, khơng gian Hilbert vơ hạn chiều, điều xảy ra.Thực tế, ln giả sử không gian Hilbert vô hạn chiều, khơng tất tơpơ trùng Cho A toán tử thỏa mãn: Axi = yi Ayi = (i =1,…, k) Và Az = , z, xi = z, yi = (i =1,…, k) Rõ ràng A toán tử lũy tinh cấp 2, rõ ràng A xác định sở mạnh Bước 2: Nếu phép nhân liên tục mạnh, trường hợp đặc biệt liên tục mạnh cặp có dạng (A,A) Nhưng liên tục mạnh (A,A) , nghĩa : (An, An) (A,A) A n lưới / chuỗi liên tục (A,A) A Bây ta lấy A B(H) A B(H) ) = cls(N) , tồn lưới Al (Al ,A l ) A, (A,A) ( theo định nghĩa hội tụ tơpơ tích) Nếu phép nhân có lưới liên tục, A l A l2 = Vậy, N cho Al A Nhưng A l N, với l ta có A , từ tính giới hạn mạnh, tồn tại, ta có A = Nhưng A bất kỳ, đặc biệt ta lấy A ánh xạ đồng H, mâu thuẫn với ) Gián đoạn phép nhân tơpơ tốn tử yếu: Vì tơpơ mạnh mạnh tơpơ yếu, tập trù mật mạnh định trù mật yếu, tập N tất toán tử lũy tinh cấp trù mật yếu Chứng minh cần thay tất chỗ mạnh yếu ta điều cần chứng minh Định lý 3.2.6 1) Phép nhân phải liên tục mạnh yếu Tức là, cho B cố định, ánh xạ B(H) B(H) định nghĩa A a AB liên tục mạnh yếu 2) Phép nhân trái liên tục mạnh yếu Tức là, cho A cố định, ánh xạ B(H) B(H) định nghĩa B a AB liên tục mạnh yếu Chứng minh Ta sử dụng hội tụ ) Liên tục mạnh: Đối với phép nhân phải: Giả sử Al A mạnh nghĩa Al x Vậy, trường hợp đặc biệt, Al Bx Ax mạnh với x ABx với x H H, điều xác lập tính liên tục mạnh A Đối với phép nhân trái: Giả sử Bl B nghĩa Bl x Bx mạnh với x H Thì, A liên tục nên bị chặn Vậy ta giả sử ABl x ® AB mạnh với x x H, điều xác lập tính liên tục mạnh A ) Liên tục yếu: Đối với phép nhân phải: Nếu Al ® A yếu ,nghĩa Al x ® Ax Al x, y ® Ax, y với x,y yếu với x H, H Thì trường hợp đặc biệt Al Bx, y ® ABx, y với x, y H, liên tục yếu A Đối với phép nhân trái: Nếu Bl ® B yếu Bl x ® Bl x, y ® AB x, y = l yếu B với x, y Bx, y * B x, A y ® l Bx yếu với x H * Bx, A y = H Thì trường hợp đặc biệt, ABx, y với x, y H, liên tục Chú ý 3.2.2 Ta dễ thấy nhận xét tôpô: Nếu hàm từ không gian đến không gian khác liên tục, hàm liên tục tơpơ miền tạo ảnh lớn hàm liên tục tôpô miền ảnh nhỏ Định lý 3.2.7 Chuẩn (tức hàm T ® T ) liên tục tôpô chuẩn gián đoạn tơpơ tốn tử mạnh tơpơ tốn tử yếu Chứng minh *) Đối với tôpô chuẩn: Việc chứng minh tơpơ chuẩn chứng minh bất đẳng thức A - B £ A- B Chứng minh với liên tục A0 B(H) Chúng ta nên chứng minh: Với > 0, tồn số > cho A A0 Cho > ta lấy A A0 < A - A0 < = < A - A0 A - A0 < lưu ý: Các chứng minh với không gian định chuẩn nào, không B(H), bất đẳng thức A - B £ A - B không gian định chuẩn *) Đối với tơpơ tốn tử mạnh tơpơ toán tử yếu: Sử dụng ý 3.2.2 Gián đoạn tơpơ tốn tử mạnh gián đoạn tơpơ tốn tử yếu Vì vậy, ta phải gián đoạn chuẩn tơpơ tốn tử mạnh Chúng ta lấy ví dụ chuẩn không liên tục theo không liên tục Lấy không gian Hibert vô hạn chiều H Xây dựng dãy giảm dần khơng gian khác khơng có dạng x É x1 x É x3 É ( Điều É không gian hữu hạn chiều, xét với không gian vơ hạn chiều), đặt Pn dãy tốn tử chiếu (trực giao) tương ứng Dãy Pn hội tụ mạnh tới Dãy ảnh Pn không hội tụ tới = 0, dãy ảnh Pn khơng đổi 1, với phép chiếu trực giao ta có: dãy P = P2 = PP = P*P = P Þ P = P Þ P = * Định lý 3.2.6 Liên hợp (tức hàm T ® T ) liên tục tôpô chuẩn tơpơ tốn tử yếu gián đoạn tơpơ toán tử mạnh Chứng minh *) Liên tục chuẩn * Ta cần sử dụng đẳng thức A - B* = A B ( lấy = ) *) Liên tục yếu Liên tục yếu suy đồng thức * * A x, y x,(A - * (A B x, y = * * B )x, y = * x,(A - B * )y = B)y = x, Ay - x, By = Ay, x - By, x Mà bất đẳng thức trước sử dụng tính chất |z| = | z | với z £ *) Gián đoạn mạnh: Để chứng minh gián đoạn mạnh liên hợp, ta xét B(Ɩ 2) Lấy U chuyển dịch phía ( chuyển dịch tọa độ bên phải), ta có: U: B(Ɩ 2) B(Ɩ 2) cho U(x0 ,x1 ,x2 , )= (0,x0 ,x1 , ) *k định nghĩa Ak = U , k = 1, 2, 3, Chú ý * U (x0 ,x1 ,x2 , )= (x1 ,x2 ,x3 , ) (Dịch chuyển tọa độ sang trái) * * Ta khẳng định Ak® mạnh, dãy A k không hội tụ mạnh tới = Thật vậy: Ak (x0 ,x1 ,x , ) = (xk ,x k+ ,x k+ , ) = ∑ xn 2 Vì với x ||Akx|| ( x = (x ,x ,x , )) phần dư chuỗi 2 hội tụ, A x ® với x, Ak x ® với x, Ak® k mạnh * khơng hội tụ mạnh tới = 0: Vì khơng, với ¹ x A *k H ta * có A k x ® mạnh, nghĩa A*k x ® Nhưng A*k x ® khơng đúng, khơng dãy Cauchy : * * Am+ n x n m+ n An x = =2 (x m = U (U x x) = U xx = n m = U (U x)- (U x ) m 2 n U (x) m - Re U x, x + x m Re U x, x + 2 x- U x m = x 2- U n x =2 - - Re x, U*m x (x m Re U x, x ) ) Ở ta Am x ® định nghĩa U*m x * : Am+ n x * * An x Vậy Am+ n x - ® x , m, n lớn * An x ® x ¹ ® Nó KẾT LUẬN Trong luận văn em nghiên cứu số vấn đề sau đây: cách xác định tôpô qua nửa chuẩn, ba loại tôpô thường gặp khơng gian tốn tử tuyến tính bị chặn quan hệ chúng Luận văn mang tính tổng quan em chứng minh số định lý bổ đề đưa ví dụ cụ thể làm rõ số tính chất để hiểu rõ vấn đề luận văn đề cập Mong tài liệu bổ ích cho quan tâm đến vấn đề Do thời gian có hạn chưa có kinh nghiệm cơng tác làm nghiên cứu khoa học nên không tránh khỏi thiếu sót Rất mong đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn đọc Trước kết thúc khóa luận em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy cô giáo khoa toán, đặc biệt TS Tạ Ngọc Trí người tận tình bảo giúp đỡ em suốt thời gian qua để em hồn thành khóa luận Hà Nội, tháng năm 2011 Sinh viên Đỗ Thị Lan Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Phụ Hy (2006), Giải tích hàm, NXB Khoa học Kỹ thuật [2] Nguyễn Xuân Liêm (1994), Tôpô đại cương - Độ đo tích phân, NXB Giáo dục [3] Hồng Tụy (2003), Hàm thực giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [4] V.H Moscovich, Norm, strong, and weak operator topologies on B(H) Tìm đọc đường link: http://u.cs.biu.ac.il/~megereli/updated.pdf [5] M.Reed and B Simon (1980), Methods of Modern Mathematical Physics, Vol Functional Analysis, Academic Press, revised and enlarged edition [6] F Wilde, Basic Analysis – Gently Done Topological Vector Spaces, Lecture Notes , Department of Mathematics, King's College, London Tìm đọc đường link: homepage.ntlworld.com/ivan.wilde/notes/fa2/fa2.pdf ... gian tuyến tính thực Nếu F = £ X gọi khơng gian tuyến tính phức Khơng gian tuyến tính thường gọi không gian véctơ phần tử thường gọi véctơ Định nghĩa 1.1.2 ( tập lồi) Cho X không gian tuyến tính. .. Ax Ta thường gọi ánh xạ tuyến tính tốn tử tuyến tính Khi Y = P tốn tử A thường gọi phiếm hàm tuyến tính Định nghĩa 1.3.5 (Tốn tử bị chặn) Cho hai không gian định chuẩn X Y Tốn tử tuyến tính từ... từ khơng gian X vào không gian Y gọi bị chặn, tồn số C > cho: Ax Y £ C x X , x X Định nghĩa 1.3.6 (Chuẩn toán tử) Cho A toán tử tuyến tính bị chặn từ khơng gian định chuẩn X vào không gian định