Toán tử tuyến tính không bị chặn

TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I KHOA TỐN MAI TH± HÃO TỐN TU TUYEN TÍNH KHƠNG B± CH¾N KHĨA LU¾N T6T NGHIfiP ĐAI H6C Chun ngành: Tốn Giái tích Ngưèi hưéng dan khoa hoc TS TRAN VĂN BANG Hà N®i - 2012 LèI CÃM ƠN Em xin bày tó lòng biet ơn sâu sac tói thay Tran Văn Bang - Ngưòi thay trnc tiep t¾n tình hưóng dan giúp đõ em hồn thành khố lu¾n cúa Đong thòi em xin chân thành cám ơn thay to Giái tích thay khoa Tốn - Trưòng Đai hoc Sư pham H Nđi 2, Ban chỳ nhiắm khoa Toỏn ó tao đieu ki¾n cho em hồn thành tot khố lu¾n Trong khn kho có han cúa m®t khố luắn, ieu kiắn thũi gian, trỡnh đ cú han lan đau tiên nghiên cúu khoa hoc khơng tránh khói nhung han che, thieu sót nhat đ%nh Vì v¾y, em kính mong nh¾n đưoc nhung góp ý cúa thay ban Em xin chân thành cám ơn ! Hà N®i, tháng 05 năm 2012 Sinh viên Mai Th% Háo LèI CAM ĐOAN Khố lu¾n ket q cúa bán thân em q trình hoc t¾p nghiên cúu Bên canh em đưoc sn quan tâm cúa thay giáo khoa Tốn, đ¾c bi¾t sn hưóng dan t¾n tình cúa TS Tran Văn Bang Trong nghiên cúu hồn thành bán khố lu¾n em tham khỏo mđt so ti liắu ó ghi phan tài li¾u tham kháo Em xin khang đ%nh ket cúa đe tài “Tốn tÝ tuyen tính khơng b% ch¾n” khơng có sn trùng l¾p vói ket q cúa đe tài khác Hà N®i, tháng 05 năm 2012 Sinh viên Mai Th% Háo Mnc lnc Mé đau Chương Kien thNc chuan b% 1.1 Không gian Banach 1.2 Tốn tú tuyen tính b% ch¾n 1.3 Nguyên lý thác trien Hahn - Banach 1.4 Nguyên lý b% ch¾n đeu 1.5 Nguyên lý ánh xa mó đ%nh lý đo th% đóng 11 1.6 Khơng gian bù Tốn tú ngh%ch đáo m®t phía 14 1.7 Tính trnc giao .18 Chương Tốn tN tuyen tính khơng b% ch¾n 21 2.1 Tốn tú khơng b% ch¾n .21 2.2 Toán tú vói mien giá tr% đóng tốn tú tồn ánh 28 Ket lu¾n 33 Tài li¾u tham kháo 34 Me ĐAU Lý chon đe tài Giái tích m®t chun ngành giu vai trò quan trong Tốn hoc Lý thuyet giái tích hàm đep đe chìa khóa đe hieu đưoc mơn hoc khác ve giái tích tốn hoc Đoi tưong cúa giái tích hàm khơng gian tốn tú tuyen tính liên tnc hay goi tốn tú tuyen tính b% ch¾n Trong chương trình cúa mơn giái tích hàm, ta đưoc biet đen m®t so khái ni¾m ket q ve tốn tú tuyen tính b% ch¾n khơng gian Banach đ%nh lí Hahn - Banach, nguyên lý b% ch¾n đeu Banach - Steinhaus, nguyên lý ánh xa mó đ%nh lý đo th% đóng M®t tốn tú tuyen tính xác đ%nh trờn ton bđ khụng gian v thúa ieu kiắn b% ch¾n tốn tú tuyen tính b% chắn nhiờn neu ta cho phộp %nh ngha mđt ánh xa tuyen tính m®t khơng gian thnc sn nhó khơng gian xét có the có nhung tốn tú tuyen tính khơng b % chắn õy l mđt khỏi niắm múi m vúi long thòi gian eo hep lóp sinh viên khó có the vào nghiên cúu Dưói góc đ® m®t sinh viên sư pham chun ngành Tốn khn kho cúa khố lu¾n tot nghi¾p, đong thòi đưoc sn hưóng dan nhi¾t tình cúa thay Tran Văn Bang tơi chon đe tài “Tốn tÝ tuyen tính khơng b% ch¾n”.Tơi hi vong đe tài có ích cho vi¾c nghiên cúu van đe cúa giái tích hàm ngành khác cúa toán hoc lý thuyet úng dnng Mnc đích nhi¾m nghiên cNu Tìm hieu ve tốn tú tuyen tính khơng b% ch¾n Đoi tưeng pham vi nghiên cNu Nghiên cúu ve tốn tú tuyen tính khơng b% ch¾n bao gom khái ni¾m đ¾c trưng cúa Phương pháp nghiên cNu Nghiên cúu tài li¾u tham kháo Tong hop, phân tích, h¾ thong lai khái ni¾m, tính chat Cau trúc khóa lu¾n Ngồi mnc lnc, phan mó đau, ket lu¾n tài li¾u tham kháo, khố lu¾n gom chương: Chương Kien thúc chuan b% Chương Tốn tú tuyen tính khơng b% ch¾n Chương Kien thNc chuan b% 1.1 Không gian Banach Đ%nh nghĩa 1.1 Chuan không gian đ%nh chuan Ta goi không gian đ%nh chuan (hay không gian tuyen tính đ%nh chuan) khơng gian tuyen tính X trưòng P (P = R ho¾c P = C) vúi mđt ỏnh xa tự X vo so thnc R, kí hi¾u ||.|| đoc chuan, thóa mãn tiên đe sau đây: 1) (∀x ∈ X ), ||x|| ≥ 0, ||x|| = ⇔ x = θ (kí hi¾u phan tú khơng θ ); 2) (∀x ∈ X ), (∀α ∈ P)||αx|| = |α|||x||; 3) (∀x, y ∈ X )||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| So ||x|| goi chuan cúa vector x Ta kí hi¾u khơng gian đ%nh chuan X Các tiên đe 1),2),3) goi h¾ tiên đe chuan Đ%nh lý 1.1.1 Cho không gian đ%nh chuan X Đoi vói hai vector bat kì x, y ∈ X ta đ¾t d(x, y) = ||x − y|| Khi d m®t metric X Đ%nh nghĩa 1.2 Dãy điem (xn) cúa không gian đ%nh chuan X goi h®i tn tói điem x ∈ X , neu → lim ||xn − x|| = Kí hi¾u: lim xn =n x∞hay xn → x(n → ∞) n→∞ Đ%nh nghĩa 1.3 Dãy điem (xn) không gian đ%nh chuan X goi dãy bán, neu lim n,m→∞ "xn − xm " = Đ%nh nghĩa 1.4 Không gian đ%nh chuan X goi không gian Banach, neu moi dãy bán X đeu h®i tn 1.2 Tốn tN tuyen tính b% ch¾n Đ%nh nghĩa 1.1 Cho X Y hai khơng gian tuyen tính trưòng P (P = R ho¾c P = C) Ánh xa A tù không gian X vào không gian Y goi ánh xa tuyen tính ho¾c tốn tú tuyen tính neu A thóa mãn: A(αx + β y) = αAx + β Ay, ∀x ∈ X, ∀y ∈ Y, ∀α, β ∈ P Khi Y = P tốn tú tuyen tính A đưoc goi phiem hàm tuyen tính Đ%nh nghĩa 1.2 Tốn tú tuyen tính A tù không gian X vào không gian Y đưoc goi b% chắn neu ton tai mđt hang so c > cho: "Ax" ≤ c"x", ∀x ∈ X Nh¾n xét 1.2.1 : a) Đoi vói tốn tú tuyen tính, khái ni¾m liên tnc b% ch¾n tương đương b) Tù công thúc suy ra: sup xƒ=0 "Ax" < +∞ "x" Đ%nh nghĩa 1.3 Chuan cúa tốn tú tuyen tính A đưoc đ%nh nghĩa sau: "Ax" "A" = sup xƒ=0 "x" Đ%nh nghĩa 1.4 Kí hi¾u: Cho X Y hai khơng gian đ%nh chuan Ta goi £(X,Y ) không gian tốn tú tuyen tính liên tnc (b% ch¾n) tù X vào Y đưoc trang b% vói chuan "T "£(X,Y ) = sup ||T x|| x∈X ||x||≤1 Thơng thưòng, ta viet £(X ) thay cho £(X, X ) 1.3 Nguyên lý thác trien Hahn - Banach M®t hàm thnc ϕ(x) m®t khơng gian vector X đưoc goi dưói tuyen tính, neu 1) ϕ(x1 + x2) ≤ ϕ(x1) + ϕ(x2) vói moi x1, x2 ∈ X ; 2) ϕ(αx) = αϕ(x) vói moi x ∈ X moi so α ≥ Đ%nh lý 1.3.1 Đ%nh lý Hahn - Banach Cho m®t phiem hàm tuyen tính f xác đ%nh m®t khơng gian M cúa m®t khơng gian vector thnc X Neu có m®t hàm dưói tuyen tính ϕ xác đ %nh X , cho ∀x ∈ M f (x) ≤ ϕ(x) phái có m®t phiem hàm tuyen tính F(x) xác đ%nh tồn the X , cho: 1) F khuech cúa f , nghĩa ∀x ∈ M F(x) = f (x) 2) ∀x ∈ X F(x) ≤ ϕ(x) Đ%nh nghĩa 1.1 Ta kí hi¾u X ∗ khơng gian đoi ngau cúa X nghĩa không gian tat cá phiem hàm tuyen tính liên tnc X Chuan đoi ngau X ∗ đưoc đ%nh nghĩa bói: || f || X∗ = sup| f (x)| = sup f (x) x∈X ||x||≤1 x∈X ||x||≤1 Đ%nh nghĩa 1.2 Neu M ∈ E l mđt khụng gian tuyen tớnh thỡ M ⊥ = { f ∈ X ∗ : ( f , x) = 0, ∀x ∈ M} Ta goi M⊥ khơng gian trnc giao vói M H¾ q 1.3.1 Vói moi phan tú xo ƒ= cúa m®t khơng gian đ%nh chuan X đeu có m®t phiem hàm tuyen tính liên tnc f X cho f (x) = ||xo|| || f || = Chúng minh Đ¾t Xo = {txo : t ∈ P} ta đưoc Xo khơng gian tuyen tính cúa khơng gian X Vói moi x ∈ Xo x = tx o ,t ∈ P, ta đ¾t fo(x) = t||xo|| Hien nhiên, fo phiem hàm tuyen tính Xo, fo(xo) = ||xo||, | fo(x)| = |t||| xo|| = ||x||, || fo|| = Theo đ%nh lý Hahn - Banach, ta có the thác trien phiem hàm fo thành phiem hàm f tù Xo lên toàn X thóa mãn: f (xo) = || xo||, || f || = || fo|| = H¾ 1.3.2 Cho M khơng gian tuyen tính cúa khơng gian đ%nh chuan X xo ∈ X m®t phan tú thóa mãn đieu ki¾n: dist(xo, M) = in f ||xo − y|| = d > y∈M Khi ton tai phiem hàm tuyen tính liên tnc f xác đ%nh tồn khơng gian X cho: 1) f (y) = 0, ∀y ∈ M ; 2) || f || =d1 ; 3) f (xo) = 1.4 Nguyên lý b% ch¾n đeu Đ%nh lý 1.4.1 Đ%nh lý pham trù Baire Cho X m®t khơng gian metric đay cho (Xn)n1 l mđt dóy cỏc úng X Giá sú rang: IntXn = 0/ Khi Int( [∞ ∀n ≥ Xn ) = 0/ n=1 Nh¾n xét 1.4.1 Đ%nh lý pham trù Baire thưòng đưoc sú dnng dưói nhung dang sau Cho X không gian metric đay không (Xn)n≥1 mđt dóy cỏc úng X thúa món: ∞ [ Xn = X n=1 Khi ton tai so no cho IntXno ƒ= 0/ Chương Tốn tN tuyen tính khơng b% ch¾n 2.1 Tốn tN khơng b% ch¾n Đ%nh nghĩa 2.1 Cho X Y hai khơng gian Banach M®t tốn tú tuyen tính khơng b% ch¾n tù X vào Y m®t ánh xa tuyen tính A : D(A) ⊂ X → Y xác đ%nh m®t khơng gian tuyen tính D(A) ⊂ X vói giá tr% Y T¾p D(A) đưoc goi mien xác đ%nh cúa A Ta nói A b% ch¾n (ho¾c liên tnc) neu D(A) = X neu ton tai hang so c ≥ cho: "Ax" ≤ c"x", ∀x ∈ X Nh¾n xét 2.1.1 Tat nhiên có the xáy rang mđt toỏn tỳ tuyen tớnh khụng b % chắn b% ch¾n Thu¾t ngu khơng th¾t thích hop nói chung van đưoc sú dnng khơng dan tói bat kì sn nham lan M®t so ví dn ve tốn tú tuyen tính khơng b% ch¾n 29 Ví dn 2.1 Tốn tú khơng : X1 ⊂ X → Y xác đ%nh bói x ›→ Ví dn 2.2 Tốn tú đong nhat Id : X1 ⊂ X → X xác đ%nh bói x ›→ x Ví dn 2.3 Tốn tú A : C1[a, b] ⊂ C[a, b] → C[a, b] xác đ%nh bói x ›→ Ax(t) = xr(t) Sau m®t vài đ%nh nghĩa quan kí hi¾u khác: Đo th% cúa A = G(A) = {[u, Au]; u ∈ D(A)} ⊂ X × Y , T¾p giá tr% (Ãnh) cúa A = R(A) = {Au; u ∈ D(A)} ⊂ Y , Hach (Nhân) cúa A = N(A) = {u ∈ D(A) : Au = 0} ⊂ X M®t ánh xa A đưoc goi đóng neu G(A) đóng X × Y Ví dn 2.4 Cho tốn tú A : C[0, 1] → C[0, 1] xác đ%nh bói ¸ t x ›→ (Ax)(t) = Khi đó: x(s)ds Nhân cúa A N(A) = {0} Ãnh cúa A t¾p hàm so y có đao hàm liên tnc đoan [0, 1] y(0) = Nh¾n xét 2.1.2 Đe chúng minh A tốn tú đóng, ta thưòng làm sau: Lay m®t dãy (un) ⊂ D(A) cho un → u X Aun → f Y Sau kiem tra hai đieu: (a) (b) u ∈ D(A), f = Au Chú ý rang neu chí xét dãy (un) mà un → X Aun → f Y chúng minh f = chưa đú Nh¾n xét 2.1.3 Neu A đóng N(A) đóng, nhiên R(A) khơng nhat thiet đóng Chúng minh Trưóc het ta chúng minh neu A đóng N(A) đóng Th¾t v¾y vói moi dãy xn ∈ N(A), giá sú xn → x Do xn ∈ N(A) nên Axn = Mà A đóng nên cho qua giói han (n → ∞) Ax = hay x ∈ N(A) Neu A đóng R(A) khơng nhat thiet đóng chang1 han: Cho ánh xa A : A2 → A2 vói moi x ∈ A mà x = Khi R(A) khơng ta đ¾t Ax = ( x ) (xn)n ≥ n đóng n n≥1 Ví dn 2.5 Chúng minh rang toán tú sau nhung toán tú b% ch¾n tìm chuan cúa chúng a ) A : C1[0, 1] → C[0, 1] xác đ%nh bói (Ax)(t) = x(t) b) A : C1[a, b] → C[a, b] xác đ%nh bói (Ax)(t) = xr(t) Giái a) Vói moi x ∈ C1[0, 1], ta có ||x||C1 [0,1] = |x(0)| + sup |xr(t)|, t∈[0,1] Theo công thúc so gia huu han, ta có x(t) = x(0) + txr(c), c ∈ (0, 1), t ∈ [0, 1] Do |x(t)| ≤ |x(0)| + sup |xr(t)| = ||x||C1 [0,1], ∀t ∈ [0, 1] t∈[0,1] Tù suy ||Ax||C[0,1] = ||x||C[0,1] ≤ ||x||C1 [0,1] V¾y A b% ch¾n ||A|| ≤ M¾t khác, lay xo(t) = 1,t ∈ [0, 1], ta đưoc xo ∈ C1[0, 1], ||xo||C[0,1] = ||xo||C1 [0,1] = Tù suy ||A|| ≥ V¾y ||A|| = b) Ta thay A toán tú tuyen tính.Th¾t v¾y ∀x, y ∈ C1[a, b], ∀α, β ∈ P ta có (A(αx+β y))(t) = (αx+β y)r (t) = (αx)r (t)+(β y)r (t) = αxr (t)+β yr (t) = α(Ax)(t) +β (Ay)(t) Do αx + βy ∈1C1[a, b] Vói moi x ∈ C [a, b], ta có ||Ax||C[a,b] = sup |xr(t)| ≤ |x(a)| + sup |xr(t)| = ||x||C1 [a,b] t∈[a,b] t∈[a,b] Do A b% ch¾n ||A|| ≤ M¾t khác, lay xo(t) = t − a, a ≤ t ≤ b, ta đưoc xo ∈ C1[a, b] ||Axo||C[a,b] = Tù suy ||A|| ≥ V¾y ||A|| = 31 Đ%nh nghĩa 2.2 Toán tN liên hep A∗ Cho A : D(A) ⊂ X →∗Y tốn tú khơng b% ch¾n, xác đ%nh trù m¾t Tốn tú khơng b% ch¾n A : D(A∗) ⊂ Y ∗ → X ∗ xác đ%nh sau: Đau tiên ta đ%nh nghĩa mien xác đ%nh cúa nó: D(A∗) = {v ∈ Y ∗ ; ∃c ≥ : |(v, Au)| ≤ c||u||, ∀u ∈ D(A)} Khi D(A∗) m®t khơng gian tuyen tính cúa Y ∗ Th¾t v¾y: ∀x, y ∈ D(A∗), ∀α, β ∈ P ta có |(αx + β y, Au)| = ≤ |(αx, Au) + (β y, Au)| |α(x, Au)| + |β (y, Au)| ≤ |α||(x, Au)| + |β ||(y, Au)| Do theo đ%nh nghĩa cúa D(A∗) ton tai c1 c2 cho |(x, Au)| ≤ c1||u||và|(x, Au)| ≤ c2||u|| ∀u ∈ D(A) ∗ Suy αx + βy ∈ D(A∗) hay D(A ) m®t khơng gian tuyen tính cúa ∗ ∗ Y Tiep theo ta đ%nh nghĩa A v: vói v ∈ D(A∗), xét ánh xa g : D(A) → R xác đ%nh bói: g(u) = (v, Au), ∀u ∈ D(A) Ta có |g(u)| ≤ c"u", ∀u ∈ D(A) Theo đ%nh lý Hahn - Banach, ton tai m®t ánh xa tuyen tính f : X → R thác trien mó r®ng cúa g thóa mãn: | f (u)| ≤ c"u", ∀u ∈ X Khi f ∈ X ∗ Chú ý rang thác trien nhat, bói D(A) trù m¾t X Ta thiet l¾p m®t ánh xa A∗ : D(A∗) ⊂ Y ∗ → X ∗ xác đ%nh bói cơng thúc A∗v = f , ∀v ∈ Y ∗ túc (A∗v, u) = (v, Au)∀u ∈ D(A) Khi A∗ tốn tú tuyen tính Th¾t v¾y ∀x, y ∈ Y ∗ , ∀α, β ∈ P ta có (A∗(αx + β y), = (αx + β y, Au) u) = α(x, Au) + β (y, Au) = α(A∗x, u) + β (A∗ y, u) = (αA∗x, u) + (β A∗y, u (αA∗x + β A∗y), u), ∀u ∈ D(A) Suy A∗(αx + β y) = αA ∗ x + β A∗y Do A∗ tốn tú tuyen tính = Toán tú A∗ đưoc goi toán tú liên hop cúa tốn tú A Tù đ%nh nghĩa ta có moi liên h¾ bán giua A A∗ sau ∈ D(A∗) (v, Au)Y ∗ ,Y = (A∗v, u)X∗,X ∀u ∈ D(A), ∀v Ví dn 2.6 Tìm tốn tú liên hop vói tốn tú cho dưói a) Ax = (0, x1, x2, , xn, ), vói x = (xn) ∈ A2 ¸ t b) (Ax)(t) = x(s)ds, vói ≤ t ≤ 1, x ∈ L2[0, 1] Giái a) Vói x = (xn) ∈ A2 A tốn tú tuyen tính b% ch¾n nên ton tai toán tú liên hop A∗ ∀x = (x1, x2, ), y = (y1, y2, ) ta có: (Ax, y) = 0y1 + x1y2 + + xnyn+1 + = x1y2 + + xnyn+1 + (x, A∗y) = V¾y A∗y = (y2, y3, ) b) Trưóc het ta thay A tốn tú tuyen tính L2[0, 1] Th¾t v¾y ∀x, y ∈ L2[0, 1], ∀α, β ∈ P ta có ¸t (A(αx + β y))(t)= (αx + β y)(s)ds ¸t ((αx(s)) + (β y(s)))ds = =¸ t ¸t α x(s)ds +β y(s)ds = α(Ax)(t) + β (Ay)(t), ∀t ∈ [0, 1] V ói 2¸ m oi t ∈ [ , ] t hì ¸ t | x) x≤ (≤ (s ) 0| d |s t |x(s)| ds = ||x|| Suy ¸1 ¸t | x(s)ds|2dt ≤ ||x||2 hay ||Ax||2 ≤ ||x||2 nên ||Ax|| ≤ ||x|| V¾y A tốn tú tuyen tính b% ch¾n ton tai tốn tú liên hop A∗ ∀x, y ∈ L2[0, 1] ta có (Ax, y) = (x, A∗y) Khi (Ax, y) = = = ¸1 (Ax)(t)y(t)dt ¸ 1¸ ¸ x(s)y(t)dsdt ¸1 x(s)( s y(t)dt)ds ¸1 ∗ = ¸1 ¸1 ( x(s)ds)y(t)dt Do (x, A∗y) =0 x(s)(A y)(s)ds (Ay)(s) Vắy y(t)dt, s [0, 1] = s Chú ý 2.1.1 Ta có the khơng can sú dnng tói đ%nh lý Hahn - Banach đe thác trien g mà chí can sú dnng thác trien co đien bói tính liên tnc D(A) trù m¾t, g liên tnc đeu D(A) R không đay Nh¾n xét 2.1.4 (Có the xáy D(A∗)) khơng trù m¾t Y ∗ (ke cá neu A đóng ) m®t trưòng hop trnc giao khác Vì neu A đóng D(A∗) trù m¾t Y ∗ đoi vói topo yeu δ (Y ∗ ,Y ) Đ¾c bi¾t, neu Y phán xa D(A∗) trù m¾t Y ∗ theo topo úng vói chuan thơng thưòng Nh¾n xét 2.1.5 Neu A l mđt toỏn tỳ b% chắn thỡ A cng l mđt toỏn tỳ b % chắn (tự Y vào X ∗ ) nua "A∗"£(Y∗,X∗ ) = "A"£(X,Y ) Ta thay: D(A∗) = Y ∗ Th¾t v¾y: Rõ ràng D(A∗) ⊂ Y ∗ M¾t khác, vói moi z ∈ Y ∗ ta có |(z, Au)| ≤ ||z||||Au|| Mà A b% ch¾n z ∈ Y ∗ nên ton tai c1 c2 cho ||Au|| ≤ c1||u|| ||z|| ≤ c2 Suy |(z, Au)| ≤ (c1.c2)||u|| hay z ∈ D(A∗) túc Y ∗ ⊂ D(A∗) Tù đ%nh nghĩa ta có |(A∗v, u)| ≤ "A""u" "v" , ∀u ∈ X, Chúng tó, "A∗v" ≤ "A" "v" "A∗" ≤ "A" Ta có ∀v ∈ Y ∗ |(v, Au)| ≤ "A∗ ""u" "v" , ∀u ∈ X, ∀v ∈ Y ∗ Tù suy "Au" ≤ "A∗ ""u" "A" ≤ "A∗" M¾nh đe 1.1 Cho A : D(A) ⊂ X → Y tốn tú khơng b% ch¾n, xác đ%nh trù m¾t Khi A∗ đóng túc G(A∗) đóng Y ∗ × X ∗ Chúng minh Giá sú ∈ D(A∗) thóa mãn: → v Y ∗ A∗vn → f X ∗ Ta can chúng minh (a) v ∈ D(A∗) (b) A∗v = f Ta có: (vn, Au) = (A∗vn, u), ∀u ∈ D(A) Qua giói han ta thu đưoc (v, Au) = ( f , u), ∀u ∈ D(A) Do v ∈ D(A∗) (vì|(v, Au)| ≤ " f ""u", ∀u ∈ D(A)) A∗v = f Đo th% cúa A v A oc liờn hắ búi mđt hắ thỳc trnc giao rat đơn gián Xét cau I : Y ∗ × X ∗ → X ∗ × Y ∗ xác đ%nh bói I([v, f ]) = [− f , v] Cho A : D(A) ⊂ X → Y tốn tú khơng b% ch¾n, xác đ%nh trù m¾t Khi đó: I[G(A∗)] = G(A)⊥ Th¾t v¾y giá sú [v, f ] ∈ Y ∗ × X ∗ , [v, f ] ∈ G(A∗) ⇔ ( f , u) = (v, Au), ∀u ∈ D(A), ⇔ −( f , u) + (v, Au) = 0, ∀u ∈ D(A), ⇔ [− f , v] ∈ G(A)⊥ Sau mđt so hắ thỳc trnc giao quan giua mien giá tr% nhân H¾ 2.1 Neu Cho A : D(A) ⊂ X → Y tốn tú khơng b% ch¾n, xác đ %nh trù m¾t đóng Khi (i) N(A) = R(A∗)⊥, (ii) N(A∗) = R(A)⊥, (iii) N(A)⊥ ⊃ R(A∗), (iv) N(A∗)⊥ = R(A) Chúng minh Chú ý rang (iii) (ii) có the suy m®t cách trnc tiep tù (i) (ii) ket hop vúi Mắnh e 1.1 Cú mđt cỏch chỳng minh n gián trnc tiep cúa (i) (ii) sau: (i) ∀x ∈ N(A) ⇒ Ax = ⇔ (Ax, y∗) = ⇔ (x, A∗y∗) = ⇔ x ∈ R(A∗)⊥ (ii) ∀y∗ ∈ N(A∗) ⇒ A∗y∗ = ⇔ (x, A∗y∗) = ⇔ (Ax, y∗) = ⇔ y∗ ∈ R(A)⊥ Tuy nhiên, ta có the gan van ∗ đe vói M¾nh đe 1.1 theo cách sau: Xét khơng gian E = X × Y , E = X ∗ × Y ∗ không gian cúa E G = G(A) L = X ì {0} Thắt de kiem tra rang : (26) N(A) × {0} = G∩L, (27) X × R(A) = G + L, (28) {0} × N(A∗) = G⊥ ∩ L⊥ , (29) R(A∗) × Y ∗ = G⊥ + L⊥ Chúng minh (i): Theo (29) ta có R(A∗)⊥ × {0} = (G⊥ + L⊥)⊥ = ∩ L × {0} = GN(A) (do(16)) (do(26)) Chúng minh (ii): Tù (27) ta có : {0} × R(A)⊥ = (G + = L)⊥ = {0} × N(A∗) G⊥ ∩ L⊥ (do(17)) (do(28)) Nh¾n xét 2.1.6 Có the xáy (th¾m chí cá A tốn tú tuyen tính b% ch¾n), N(A)⊥ ƒ= R(A∗) ∗Tuy nhiên, ta ln có N(A)⊥ bao đóng ∗ cúa R(A ) đoi vói topo yeu δ (X , X ) Đ¾c bi¾t neu X phán xa N(A)⊥ = R(A∗) 2.2 Tốn tN véi mien giá tr% đóng tốn tN tồn ánh Ket q liên quan tói tốn tú vói mien giá tr% đóng sau : Đ%nh lý 2.2.1 Cho A : D(A) ⊂ X → Y tốn tú khơng b% ch¾n, xác đ%nh trù m¾t đóng Khi tính chat sau tương đương: (i) R(A) đóng, (ii) R(A∗) đóng, (iii) R(A) = N(A∗)⊥, (iv) R(A∗) = N(A)⊥ Chúng minh Vói kí hi¾u giong chúng minh cúa H¾ 2.1 ta có: (i)⇔ G + L đóng E (xem (27)) (ii)⇔ G⊥ + L⊥ đóng E ∗ (xem (29)) ⊥ ⊥ ⊥ (iii)⇔ G + L = (G ∩ L ) (xem (27) (28)) (iv)⇔ (G ∩ L)⊥ = G⊥ + L⊥ (xem (26) (29)) Do theo Đ%nh lý 1.7.1 ta có đieu phái chúng minh H¾ q 2.2.1 Cho A : D(A) ⊂ X → Y tốn tú khơng b% ch¾n, đóng Khi R(A) đóng ⇔ ton tai m®t hang so c cho dist(u, N(A)) ≤ c "Au" , ∀u ∈ D(A) Ket tiep theo cung cap mđt ắc trng quan cỳa cỏc toỏn tú toàn ánh Đ%nh lý 2.2.2 Cho A : D(A) ⊂ X → Y tốn tú khơng b% ch¾n, xác đ%nh trù m¾t đóng Các tính chat sau tương đương: (a) A toàn ánh, túc R(A) = Y , (b) Ton tai m®t hang so c thóa mãn: "v" ≤ c"A ∗ v", ∀v ∈ D(A∗) (c) N(A∗) = {0} R(A∗) đóng Nh¾n xét 2.2.1 Phép suy (b) ⇒ (a) huu dnng chúng minh m®t tốn tú A tồn ánh Khi ta làm sau: Giá sú v thóa mãn A∗v = f , ta chúng minh rang ||v|| c|| f || (vúi c đc lắp vúi f ) Đieu đưoc goi phương pháp đánh giá tiên nghi¾m Ngưòi ta thưòng khơng quan tâm tói phương trình A∗v = f có nghi¾m hay khơng mà ta cỳ giỏ sỳ rang v l mđt nghiắm (neu cú) ta đánh giá chuan cúa Chúng minh (a) ⇒ (b) Đ¾t B∗ = {v ∈ D(A∗) : "A∗v" ≤ 1} Theo tính thuan nhat, ta chí can chúng minh rang B∗ b% ch¾n Vói mnc đích - theo h¾ (Nguyên lý b% ch¾n đeu ) - ta chí can chúng minh rang vói moi fo ∈ Y , t¾p (B∗, fo) b% ch¾n (trong R) Do A toàn ánh nên ton tai uo ∈ D(A) thóa mãn Auo = fo Vói moi v ∈ B∗ ta có: (v, fo) = (v, Auo) = (A∗v, uo) |(v, fo)| ≤ "uo" (b) ⇒ (c) Giá sú fn = A∗vn fn → f Do fn → f nên ∀ε > 0, ∃no > : ∀n, m ≥ no ta có || fn − fm||