Toán tử tuyến tính không bị chặn trong không gian hilbert

Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp MỞ ĐẦU 1, Lí chọn đề tài Lí thuyết hàm giải tích hàm môn lí thuyết đời phát triển từ năm đầu kỉ XX Nó có tầm quan trọng, có ứng dụng ngành toán học, nói giải tích hàm môn học có tầm quan trọng sinh viên khoa toán Vì việc học nắm vững môn học điều cần thiết sinh viên khoa toán Nội dung giải tích hàm phong phú, đa dạng với mẻ khó môn học làm cho việc tiếp thu kiến thức giải tích hàm trở thành không dễ dàng sinh viên khoa toán Do để nắm vững kiến thức giải tích hàm đồng thời với tâm bước đầu nghiên cứu khoa học, em chọn đề tài “Toán tử tuyến tính không bị chặn không gian Hilbert” để làm khóa luận khóa luận tốt nghiệp 2, Mục đích nghiên cứu Bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học tìm hiểu sâu giải tích hàm đặc biệt lí thuyết toán tử 3, Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu toán tử tuyến tính không bị chặn không gian Hilbert 4, Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu lí luận Phương pháp phân tích, tổng hợp đánh giá Đọc tài liệu tra cứu 5, Cấu trúc khóa luận Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận gồm chương: Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Chương 2: toán tử tuyến tính không bị chặn không gian Hilbert Phạm Thị Thu Hương Lớp K33- CN Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp NỘI DUNG Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian Hilbert 1.1.1 Không gian véctơ Cho X tập tùy ý khác rỗng trường P ( P trường số thực ¡ trường số phức £ ) với hai ánh xạ (gọi phép cộng “+” phép nhân với vô hướng “.” ) Giả sử có hai phép toán X : (i) +: X x, y a x (ii) x, y X, X : P X y X, ,x a X P, x X x Ta gọi X với hai phép toán (i) (ii) không gian véctơ (không gian tuyến tính) trường P tiên đề sau thỏa mãn: T1, x, y T2, x, y, z T3, T4, X :x y y X: x X có y x; z để x y z ; x, x X ; x X , x ' X để thỏa mãn: x x ' P , x, y T5, X ta có: T6, , P, x X ta có: T7, , P, x X ta có: T8, x x y x x ; x y; x x; x; x X :1x x Phạm Thị Thu Hương Lớp K33- CN Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Các phần tử X gọi véctơ, phần tử P gọi vô hướng Không gian véctơ X trường P gọi P _không gian véctơ X Khi P = ¡ X không gian véctơ thực; Khi P = £ X không gian véctơ phức Ví dụ: Không gian ¡ k không gian véctơ thực k chiều, với phần tử kí hiệu là: x = xj n k j ¡ k , n 0,1,2, 1.1.2 Không gian định chuẩn Định nghĩa Ta gọi không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính định chuẩn) ¡ P £ ) với ánh không gian véctơ X trường P ( P xạ từ X vào tập số thực ¡ , kí hiệu đọc chuẩn, thỏa mãn tiên đề sau đây: x T1, X, x 0, x =0 x = ( kí hiệu phần tử không); T2, x X, T3, x , y X , ta có x y Với x P , ta có x x ; x y X , số x gọi chuẩn véctơ x Ta kí hiệu không gian định chuẩn X Các tiên đề T1, T2, T3, gọi hệ tiên đề chuẩn X, không gian định chuẩn thực phức P trường thực phức Phạm Thị Thu Hương Lớp K33- CN Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Ví dụ: Không gian ¡ 3 với chuẩn x xi2 , x x1 , x2 , x3 ¡ không i gian định chuẩn Định nghĩa Không gian định chuẩn X gọi không gian Banach, dãy X hội tụ 1.1.3 Tích vô hướng ¡ P £ ) Cho X không gian véctơ trường P ( P Ánh xạ g:X X P x, y a g x, y Ta kí hiệu: g x, y x, y g x, y x, y Được gọi tích vô hướng X thỏa mãn điều kiện sau: X ta có x, y T1, x, y T2, x, y , z T3, x X ta có x, x T4, x, x = X, , x y, x ; P ta có x y, z x, y y, z ; 0; ( phần tử không) Các phần tử x, y, z ,… gọi nhân tử tích vô hướng, x, y gọi tích vô hướng hai nhân tử x, y Các tiên đề T1, T2, T3, T4, gọi hệ tiên đề tích vô hướng Ví dụ: Cho X ¡ n, x x1 , x2 , , xn , y y1 , y2 , , yn ¡ n n x, y x1 y1 x2 y2 xn yn xi yi i Là tích vô hướng ¡ n Phạm Thị Thu Hương Lớp K33- CN Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp gMột số tính chất 1, x X : ,x 2, x, y 3, x, y, z 0; P : x, y X, X : x, y z x, y ; x, z x, y 1.1.4 Bất đẳng thức Schwarz Giả sử , tích vô hướng X Khi đó: x, y y, y , x, x x, y X Dấu “=” xảy x, y phụ thuộc tuyến tính 1.1.5 Định nghĩa không gian Hilbert Giả sử x x, x , x tích vô hướng , X Khẳng định X xác định chuẩn X gọi cảm sinh tích vô hướng Chứng minh: +Theo tiên đề T4, tích vô hướng x hoàn toàn xác định + x 0, x X x x phần tử không) ,( P, x X , ta có: x + x, y, z x, x x, x x, x x X x y x = x x Phạm Thị Thu Hương y, x 2 y x, y Re x, y y, x y y 2 Lớp K33- CN Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp x x, y x Vậy x y x y 2 y y W Định lí chứng minh Định nghĩa Ta gọi tập H gồm phần tử x, y, z, không gian Hilbert, tập H thỏa mãn điều kiện sau: 1, H không gian véctơ trường P ; 2, H trang bị tích vô hướng 3, , ; H không gian Banach với chuẩn x Nếu P x, x , x H ¡ (hoặc P £ ) không gian Hilbert tương ứng không gian Hilbert thực (hoặc phức ) Ví dụ 1: Cho X n ¡ n với tích vô hướng x, y xi yi , i x x1, x2 , , xn , y Và chuẩn x y1, y2 , , yn n xi2 ¡ ¡ n n với tích vô hướng không gian i Hilbert Ví dụ 2: Tập l2 x xn , xn p, n \ xn n xn yn tích vô hướng l2 x, y n Phạm Thị Thu Hương Lớp K33- CN Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Và cảm sinh tích vô hướng x x chuẩn đầy đủ n Vậy l2 tích vô hướng không gian Hilbert Định nghĩa (không gian không gian Hilbert) Mọi không gian véctơ đóng không gian Hilbert H không gian Hilbert không gian H 1.1.6 Tính trực giao Định nghĩa 1.1.6.1 Cho không gian Hilbert H Hai phần tử x, y kí hiệu x y , x, y H gọi trực giao, Định nghĩa 1.1.6.2 Cho không gian Hilbert H A tập H , A Phần tử x H gọi trực giao với tập A x trực giao với phần tử A Kí hiệu: x Vậy x A A x y, y A g Một số tính chất x, x H , ( phần tử không ) ; 1, 2, x H mà x 3, x x ; Nếu phần tử x, y j H ( j 1,2,3, , n) thỏa mãn điều kiện n x y j ( j 1,2,3, , n) , j P( j 1,2,3, , n) ta có x jyj ; j 4, Cho phần tử x H dãy phần tử y H n Nếu x yn , n ¥ * x yn H hội tụ tới y; 5, Cho A tập trù mật khắp nơi không gian H Khi đó, x H x A x Phạm Thị Thu Hương Lớp K33- CN Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Định lí 1.1.6.3 Định lí Pythagore Nếu x, y H x y x y x 2 y Mở rộng cho n véctơ đôi trực giao: x1 , x2 , , xn n n xi , n ¥ * xi i i gQuy tắc hình bình hành Cho H không gian Hilbert, x y x x, y H ta có: y 2 x y Định lí 1.1.6.4 Cho dãy xn H cho xn , xm , n m Khi chuỗi xn n hội tụ không gian H chi chuỗi xn hội tụ n Chứng minh: k Đặt sk p ¥ * ta có xn ,(k 1,2, ) , n sk p sk 2 p xk j Nếu chuỗi p xk j j (*) j xn hội tụ dãy tổng riêng sk chuỗi dãy n Do nhờ hệ thức (*) và tiêu chuẩn Cauchy hội tụ chuỗi số, chuỗi xn hội tụ n Phạm Thị Thu Hương Lớp K33- CN Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Ngược lại, chuỗi xn hội tụ, từ hệ thức (*) suy dãy tổng n riêng sk chuỗi xn dãy Từ từ tính đầy của n không gian H suy chuỗi xn hội tụ không gian H n W Định lí chứng minh Định nghĩa 1.1.6.5 Cho hai không gian Hilbert H không gian E F H Tập H gồm phần tử không gian H trực giao với tập E gọi phần bù trực giao tập E không gian H kí hiệu: F H E 1.1.7 Đinh lí hình chiếu lên không gian Cho không gian Hilbert H H không gian H Khi phần tử x H biểu diễn cách dạng: x y z, y H , z H0 (*) Phần tử y biểu diễn gọi hình chiếu phần tử x lên không gian H Phạm Thị Thu Hương Lớp K33- CN Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp 1.1.8 Hệ trực chuẩn – Quá trình trực giao hóa Hilbert–Schmidt Định nghĩa: Cho không gian Hilbert H Một tập hữu hạn hay đếm phần tử en H gọi hệ trực chuẩn, nếu: n 1 ,i j ei , e j ij , ij (i, j 1, 2,3, ) ,i j kí hiệu Kroneckes Nhận xét: - Mọi hệ trực chuẩn độc lập tuyến tính - Ngược lại giả sử xn H hệ độc lập tuyến tính, ta n xây dựng hệ trực chuẩn từ hệ xn n trình trực giao hóa Hilbert-Schmidt e1 x1 x1 e1 ; n yn xn xn , ei ei , n i yn yn en Ta hệ en n en 1, n hệ trực chuẩn Định lí (Bất đẳng thức Bessel) Nếu en n hệ trực chuẩn không gian Hilbert H , x H ta có bất đẳng thức: x, en 2 x (*) n Bất đẳng thức (*) gọi bất đẳng thức Bessel Phạm Thị Thu Hương 10 Lớp K33- CN Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Nó không gian trù mật L2 ¡ Xét toán tử vi phân định nghĩa C01 ¡ Từ d x t dt Dx, y y t dt Dx, y hàm liên tục C01 ¡ Với d y t dt x t y L2 ¡ dt , cho y ' L2 ¡ ta có: Dx, y d y t dt x t x t d y t dt dt D không Vậy miền D* không C01 ¡ Với D* Định lí 2.2.3.2 Cho A B toán tử xác định miền trù mật không gian Hilbert H (a) Nếu A B , B* A* (b) Nếu D B* trù mật H , B B** Chứng minh: (a) Xét y D B* (1) Thì Bx, y hàm x hàm liên tục D B Ta có D A D B (vì A Lại có Bx Ax (vì A B ) nên Bx, y hàm liên tục D A B ) cho x D A Ax, y hàm liên tục D A Chứng tỏ y D A* Từ (1) (2) ta có D B* Phạm Thị Thu Hương (2) D A* 30 (*) Lớp K33- CN Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Mặt khác theo tính toán tử liên hợp A* x y D B* B* y với (**) Từ (*) (**) suy B* A* (Theo định nghĩa mở rộng toán tử) (b) Thấy điều kiện Bx, y x, B* y , x D B , y D B* ; y, Bx , y D B* , x D B Có thể viết lại sau B* y, x Từ điều kiện D B* trù mật H nên B** ta có B** y, x y, B** x , y D B* , x D B** Bằng lập luận giống phần (a) ta chứng tỏ D B B x B** x , x D B nên B D B** , B** W Định lí chứng minh Định lí 2.2.3.3 Nếu A toán tử một-đối-một không gian Hilbert, toán tử A toán tử ngược A toán tử xác định miền trù mật, A* toán tử một-đối-một A* A * Chứng minh: Cho y D A* Thì với x D A A 1x, A* y Phạm Thị Thu Hương * A* y , có A x D A AA 1x, y Điều chứng tỏ A* y D A A 1 * AA 31 x, y * y y (1) Lớp K33- CN Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Sau đó, lấy tùy ý y D A Ax D A 1 * Thì với x D A , có Do đó: Ax, A Điều cho thấy A * * A Ax, y y x, y y D A* * A* A * A 1A y y y (2) Từ (1) (2) ta có: A * A* y A* A * y y W Định lí chứng minh Định lí 2.2.3.4 Nếu A, B AB toán tử xác định miền trù mật H , B* A* * AB Chứng minh: Giả sử x D AB y D B* A* Vì x D B A* y D B* nên Bx, A* y x, B* A* y Mặt khác, Bx D A y D A* , có: ABx, y Bx, A* y ABx, y x, B* A* y , Do Chúng ta có y D AB Từ B* A* * B* A* y * AB y * AB W Định lí chứng minh Phạm Thị Thu Hương x D AB 32 Lớp K33- CN Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp 2.2.4 Toán tử tự liên hợp Cho A toán tử xác định miền trù mật không gian Hilbert H Toán tử A gọi tự liên hợp A A* 2.2.5 Toán tử đối xứng Định nghĩa 2.2.5.1 Toán tử xác định miền trù mật A không gian Hilbert H gọi đối xứng Ax, y x, Ay , x, y D A Ví dụ: Xét toán tử bị chặn H l định nghĩa xn n A xn Lưu ý A toán tử tự liên hợp một-đối-một Không gian A D A gồm toàn dãy yn n2 yn l cho: n Và trù mật H Toán tử ngược A xác định A yn nyn Rõ ràng, A toán tử không bị chặn Theo định lí 2.2.3.3 A* A * A Do A toán tử tự liên hợp Định lí 2.2.5.2 Toán tử xác định miền trù mật A không gian Hilbert H đối xứng A A* Chứng minh: : Giả sử A Phạm Thị Thu Hương A* 33 Lớp K33- CN Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp x, A* y , Vì Ax, y Theo giả thiết A x D A , y D A* A* nên Ax (1) A* x Vậy Ax, y x, Ay , x, y D A (2) Do A toán tử đối xứng : Nếu A toán tử đối xứng, từ (1) (2) ta có A A* W Định lí chứng minh 2.2.6 Toán tử đóng Định nghĩa 2.2.6.1 Toán tử A từ không gian định chuẩn X1 vào không gian định chuẩn X gọi đóng đồ thị G A không gian đóng X1 X , xn D A , xn Với D A x , Axn y nghĩa x D A Ax y E1 Định lí 2.2.6.2 Nếu toán tử A đóng khả nghịch, A đóng Định lí 2.2.6.3 Nếu A toán tử xác định miền trù mật, A* đóng Định lí 2.2.6.4 Cho A toán tử không gian Hilbert H Tồn toán tử B cho G B clG A điều kiện sau thỏa mãn: xn D A , xn 0, Axn y nghĩa y (* ) Chứng minh: Giả sử G B Phạm Thị Thu Hương clG A với vài toán tử B 34 Lớp K33- CN Toán Trường ĐHSP Hà Nội Nếu xn Khóa luận tốt nghiệp , Axn D A , xn đóng Từ 0,0 y 0, y G B G B tập G B ta có y Giả sử có (*) ta phải chứng minh G B clG A Thật vậy: clG A tồn xn , Axn , zn , Axn Cho x, y1 , x, y2 cho xn Từ xn y1 y2 x, zn y1 , Azn x, Axn zn G A , xn zn G A y2 , A xn zn y1 y2 theo (*) Từ ta định nghĩa B y x, y B x Từ suy G B clG A clG A W Định lí chứng minh 2.3 Một số ví dụ minh họa Bài 1: Trên không gian hàm xác định bị chặn đoạn 0,1 không gian Hilbert L2 0;1 cho phiếm hàm: f x x Thì f phiếm hàm tuyến tính không bị chặn Thật vậy: + Dễ thấy f xác định L2 0;1 + f tuyến tính gTính cộng tính x, y L2 0;1 , ta có: f x Phạm Thị Thu Hương y x y 35 Lớp K33- CN Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp x y f y f x Suy f x y f x f y gTính P , ta có: x L2 0;1 , f x x x f x Suy f f x x Vậy f phiếm hàm tuyến tính + Tính không bị chặn Xét dãy xn L2 0;1 xác định sau: n, t 1, t xn t Với n 1,2,3, Ta có: f xn xn n x 1, n 1,2,3, Vậy f phiếm hàm tuyến tính không bị chặn gTa tổng quát toán với khoảng a; b tùy ý sau: Phạm Thị Thu Hương 36 Lớp K33- CN Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Bài toán: Trên không gian hàm xác định bị chặn đoạn a; b không gian Hilbert L2 a; b , t0 điểm cố định thuộc a; b , f hàm H định nghĩa f x x t0 , f hàm tuyến tính không bị chặn Bài 2: Cho toán tử vi phân không gian L2 E f L2 ; : f ' L2 , ; : Khi toán tử vi phân nói không bị chặn Thật vậy: Xét f n x sin nx, n 1,2,3, Ta có: fn sin nx dx sin nxdx x| cos2nx dx sin 2nx | 4n = Và Df n Phạm Thị Thu Hương n cos nx dx n cos 2nxdx n 37 Lớp K33- CN Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Vậy toán tử vi phân không bị chặn Ta tổng quát toán với khoảng a, b tùy ý Phạm Thị Thu Hương 38 Lớp K33- CN Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp KẾT LUẬN Qua trình tìm hiểu, nghiên cứu khóa luận, bước đầu làm quen với cách làm việc khoa học, hiệu Qua củng cố thêm kiến thức giải tích hàm, đồng thời thấy phong phú, lí thú toán học Đặc biệt khóa luận nghiên cứu cách khái quát số vấn đề lí thuyết toán tử tuyến tính không bị chặn không gian Hilbert Mặc dù có nhiều cố gắng, song nhiều hạn chế thời gian kiến thức nên khóa luận không tránh khỏi thiếu sót Em mong đóng góp thầy, cô bạn Hà Nội, tháng năm 2011 Sinh viên Phạm Thị Thu Hương Phạm Thị Thu Hương 39 Lớp K33- CN Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp TÀI LIỆU THAM KHẢO 1, Phan Đức Chính (1978), Giải tích hàm (tập 1), Nxb Đại học Trung học chuyên nghiệp 2, Nguyễn Phụ Hy (2006), Giải tích hàm, Nxb Khoa học Kĩ thuật Hà Nội 3, Nguyễn Phụ Hy (2007), Bài tập giải tích hàm, Nxb Khoa học Kĩ thuật Hà Nội 4, Nguyễn Xuân Liêm (1997), Giải tích hàm, Nxb Giáo dục 5, Nguyễn Xuân Liêm (1997), Bài tập giải tích hàm, Nxb Giáo dục 6, Lokenath Debnath and Piotr Mikisi’nski (2005), Hilbert spaces with applications Phạm Thị Thu Hương 40 Lớp K33- CN Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành khóa luận này, trước hết em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy, cô tổ giải tích, khoa toán trường Đại học sư phạm Hà Nội giúp đỡ em suốt trình làm khóa luận Đặc biệt em xin chân thành cảm ơn thầy giáo hướng dẫn Tiến sĩ Bùi Kiên Cường tao điều kiện tốt bảo tận tình cho em để em hoàn thành khóa luận Do thời gian kiến thức có hạn nên vấn đề trình bày khóa luận tốt nghiệp không tránh khỏi thiếu sót Vì em mong nhận ý kiến đóng góp thầy, cô giáo bạn sinh viên Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2011 Sinh viên Phạm Thị Thu Hương Phạm Thị Thu Hương 41 Lớp K33- CN Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp LỜI CAM ĐOAN Khóa luận kết thân em trình học tập nghiên cứu bậc đại học Bên cạnh đó, em nhận quan tâm, tạo điều kiện thầy cô giáo khoa toán đặc biệt hướng dẫn tận tình thầy Bùi Kiên Cường Vì em xin khẳng định kết đề tài „„Toán tử tuyến tính không bị chặn không gian Hilbert‟‟ sụ trùng lặp với kết đề tài khác Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, tháng năm 2011 Sinh viên Phạm Thị Thu Hương Phạm Thị Thu Hương 42 Lớp K33- CN Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp MỤC LỤC MỞ ĐẦU NỘI DUNG Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian Hilbert 1.1.1 Không gian véctơ 1.1.2 Không gian định chuẩn 1.1.3 Tích vô hướng 1.1.4 Bất đẳng thức Schwarz 1.1.5 Định nghĩa không gian Hilbert 1.1.6 Tính trực giao 1.1.7 Đinh lí hình chiếu lên không gian 1.1.8 Hệ trực chuẩn – Qúa trình trực giao hóa Hilbert–Schmidt 10 1.2 Toán tử tuyến tính liên tục không gian Hilbert 11 1.2.1 Toán tử tuyến tính 11 1.2.2 Toán tử tuyến tính bị chặn không gian Hilbert 13 1.2.3 Dạng tổng quát phiếm hàm tuyến tính liên tục 14 1.2.4 Toán tử liên hợp 17 1.2.5 Toán tử tự liên hợp 20 1.2.6 Sự hội tụ yếu 23 1.2.7 Sự hội tụ mạnh 23 1.2.8 Toán tử Compact 24 Chương TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH KHÔNG BỊ CHẶN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT 27 2.1 Định nghĩa ví dụ 27 2.2 Toán tử tuyến tính không bị chặn 27 Phạm Thị Thu Hương 43 Lớp K33- CN Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp 2.2.1 Mở rộng toán tử 27 2.2.2 Toán tử xác định miền trù mật………………………………….28 2.2.3 Liên hợp toán tử xác định trù mật……………………………….29 2.2.4 Toán tử tự liên hợp 32 2.2.5 Toán tử đối xứng 32 2.2.6 Toán tử đóng 34 2.3 Một số ví dụ minh họa 35 KẾT LUẬN 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO 40 Phạm Thị Thu Hương 44 Lớp K33- CN Toán [...]... 1.2.9.3 Cho A là toán tử tuyến tính bị chặn ánh xạ không gian không gian Hilbert X vào không gian không gian Hilbert Y A là toán tử Compact khi và chỉ khi toán tử A biến mọi dãy hội tụ yếu trong không gian X thành dãy hội tụ mạnh trong không gian Y Phạm Thị Thu Hương 26 Lớp K33- CN Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp Chương 2 TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH KHÔNG BỊ CHẶN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT 2.1 Định... Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp 1.2.4 Toán tử liên hợp Định nghĩa Cho toán tử tuyến tính bị chặn A ánh xạ không gian Hilbert X vào không gian Hilbert Y Toán tử B ánh xạ không gian Hilbert Y vào không gian Hilbert X gọi là toán tử liên hợp với toán tử A nếu: x, By , x X , y Y ; Ax, y Toán tử liên hợp B thường được kí hiệu là A* Định lí Cho toán tử tuyến tính bị chặn A ánh xạ không gian. .. Cho A là toán tử tuyến tính trong không gian Hilbert H , toán tử tuyến tính A gọi là không bị chặn nếu tồn tại hằng số M 0 và dãy xn H sao cho: xn M và Axn , n ¥ Từ đó suy ra toán tử tuyến tính không bị chặn tương đương với toán tử tuyến tính không liên tục Vì vậy chúng ta có thể tìm toán tử tuyến tính không bị chặn A bằng cách tìm dãy xn hội tụ đến không sao cho dãy Axn không hội tụ đến không Ví dụ:... y1,0, y2 , Lớp K33- CN Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2 Suy ra A x Khóa luận tốt nghiệp y Ay Ax gTính thuần nhất x xn A Suy ra A x Suy ra A x x P ta có: l2 , 0, x1,0, x2 , 0, x1,0, x2 , Ax Vậy A là toán tử tuyến tính 1.2.2 Toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian Hilbert Cho không gian Hilbert X và Y , toán tử tuyến tính bị chặn A từ không gian X vào không gian Y gọi là bị chặn nếu tồn tại hằng số... toán tử compact trên không gian Hilbert H , n chiều Nếu A có nghịch đảo, thì A 1 không bị chặn Thật vậy: Cho vn H là một dãy trực chuẩn và giả sử zn Avn Thì zn 0 nhưng A 1 zn không tiến tới 0 2.2 Toán tử tuyến tính không bị chặn Sau đây là một vài vấn đề cơ bản, những khái niệm, và những phương pháp trong toán tử tuyến tính không bị chặn 2.2.1 Mở rộng của toán tử Định nghĩa Cho A và B là toán tử trong. .. đó, T là toán tử compact Định lí 1.2.9.2 Toán tử Compact là bị chặn Chứng minh: Nếu toán tử A không bị chặn, thì ở đó tồn tại dãy xn sao cho xn với mọi n ¥ , và Axn Thì Axn 1, không chứa dãy con hội tụ, có nghĩa là A không là toán tử Compact W Định lí được chứng minh Định lí 1.2.9.3 Cho A là toán tử Compact trên không gian Hilbert H , và B là toán tử bị chặn trên H Thì AB và BA là toán tử Compact... 1.2 Toán tử tuyến tính liên tục trong không gian Hilbert 1.2.1 Toán tử tuyến tính Cho hai không gian véctơ X và Y trên trường P ( P ¡ hoặc P £ ) Phạm Thị Thu Hương 11 Lớp K33- CN Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2 Ánh xạ A : X Khóa luận tốt nghiệp Y gọi là ánh xạ tuyến tính hay toán tử tuyến tính nếu thỏa mãn: 1, x, x ' X : A x x ' 2, x X , Ax P: A Ax '; x Ax Khi toán tử A chỉ thỏa mãn điều kiện 1, thì toán tử. .. là toán tử cộng tính Khi toán tử A chỉ thỏa mãn điều kiện 2, thì toán tử A gọi là toán tử thuần nhất Khi Y P thì toán tử A thường đươc gọi là phiếm hàm tuyến tính Ví dụ: Cho toán tử Ax 0, x1,0, x2 , , x xn l2 Toán tử A là toán tử tuyến tính Thật vậy: + Chứng minh A tồn tại x xn l2, x 2 xn 2 n 1 Suy ra: Ax 2 Ax 2 n 1 Suy ra tồn tại A : l2 2 xn n x 2 n 1 l2 + Chứng minh A tuyến tính gTính cộng tính. .. tốt nghiệp 2.2.4 Toán tử tự liên hợp Cho A là toán tử xác định trên miền trù mật trong không gian Hilbert H Toán tử A được gọi là tự liên hợp nếu A A* 2.2.5 Toán tử đối xứng Định nghĩa 2.2.5.1 Toán tử xác định trên miền trù mật A trong không gian Hilbert H được gọi là đối xứng nếu Ax, y x, Ay , x, y D A Ví dụ: Xét toán tử bị chặn trên H l 2 định nghĩa bởi xn n A xn Lưu ý A là toán tử tự liên hợp... chứng minh 1.2.8 Toán tử Compact Định nghĩa 1.2.9.1 Phạm Thị Thu Hương 24 Lớp K33- CN Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp Toán tử A trong không gian Hilbert H được gọi là toán tử Compact (hoặc toán tử hoàn toàn liên tục) nếu cho mỗi dãy bị chặn xn trong H , thì dãy Axn chứa một dãy con hội tụ Ví dụ: Trong không gian Hilbert H cho hai phần tử y và z x, y z Tx Cho xn là dãy bị chặn, nghĩa là ... nghiệp Chương TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH KHÔNG BỊ CHẶN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT 2.1 Định nghĩa ví dụ Định nghĩa Cho A toán tử tuyến tính không gian Hilbert H , toán tử tuyến tính A gọi không bị chặn tồn số... 1.2.4 Toán tử liên hợp Định nghĩa Cho toán tử tuyến tính bị chặn A ánh xạ không gian Hilbert X vào không gian Hilbert Y Toán tử B ánh xạ không gian Hilbert Y vào không gian Hilbert X gọi toán tử. .. suy toán tử tuyến tính không bị chặn tương đương với toán tử tuyến tính không liên tục Vì tìm toán tử tuyến tính không bị chặn A cách tìm dãy xn hội tụ đến không cho dãy Axn không hội tụ đến không