THÔNG TIN TÀI LIỆU
LỜI NÓI ĐẦU Lí chọn đề tài Giải tích ngành toán học xây dựng vào nửa kỷ XX đến xem ngành toán học cổ điển Trong trình phát triển, giải tích tích lũy nội dung phong phú phương pháp kết mẫu mực,tổng quát Giải tích hàm xâm nhập vào tất ngành Toán học có liên quan sử dụng đến công cụ Giải tích không gian véctơ Chính điều mở phạm vi nghiên cứu rộng lớn cho ngành Toán học Với lí định hướng thầy hướng dẫn em chọn đề tài “Toán tử chiếu không gian Hilbert” khóa luận tốt nghiệp Đại học Khóa luận chia làm hai chương: Trong chương đưa kiến thức tập lồi, tập lồi đóng, tập lồi đa diện;không gian định chuẩn; không gian Hilbert; hội tụ yếu dãy không gian Hilbert; toán tử tuyến tính Trong chương 2, phần đầu đưa định lý hình chiếu lên không gian đóng, trình bày nội dung khóa luận, toán tử chiếu không gian Hilbert phép chiếu toán tử tuyến tính lên số tập hợp đặc biệt Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu không gian Hilbert, toán tử chiếu không gian Hilbert Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu toán tử chiếu không gian Hilbert Đối tượng, phạm vi nghiên cứu Giải tích hàm Phương pháp nghiên cứu Phân tích, so sánh, tổng hợp, đánh giá Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Tập lồi, tập lồi đóng, tập lồi đa diện Định nghĩa(tập lồi): Giả sử X không gian tuyến tính, tập số thực.Tập A X gọi lồi, nếu: x1 , x2 A, R : x1 (1 ) x2 A Định nghĩa (tập lồi đóng): Một tập lồi đồng thời tập đóng gọi tập lồi đóng Định nghĩa (hàm lồi): cho E không gian véctơtrên Một hàm : E , gọi hàm lồi tu 1 t v t u 1 t v , u, v E, t 0;1 Định nghĩa (tập lồi đa diện): Tập M k gọi tập lồi đa diện M biểu diễn dạng giao số hữu hạn nửa không gian đóng k Định nghĩa (tập affine) Tập A n gọi tập affine, 1 x y A x, y A, Nhận xét: Nếu A tập affine, với a n , A a x a : x A tập affine 1.2 Không gian định chuẩn Định nghĩa 1.2.1 Cho X không gian véctơ trường K (thực phức) Một hàm thực : X , x x gọi chuẩn X thỏa mãn tiên đề sau: 1) x 0, x X x x (phần tử không); 2) x x , K , x X ; 3) x y x y , x, y X Với x X , số x gọi chuẩn véctơ x Định nghĩa 1.2.2 Giả sử X không gian véctơ trường K , chuẩn X Khi cặp X , gọi không gian định chuẩn X , không gian định chuẩn thực hay phức K trường thực hay phức Ví dụ Không gian x i x với chuẩn: , x x1 , x2 , x3 không gian định chuẩn i 1 Định nghĩa1.2 Dãy điểm xn không gian định chuẩn X hội tụ đến điểm x X lim xn x n Kí hiệu: lim xn x hay xn x n n Dãy xn không gian định chuẩn X , gọi dãy ( hay dãy Cauchy) lim xn xm n , m Không gian định chuẩn X không gian Banach dãy hội tụ Ví dụ Ca ,b tập hàm liên tục a, b Ca ,b không gian Banach với chuẩn: x max x t , x x t Ca ,b t a ,b 1.3 Không gian Hilbert 1.3.1.Định nghĩa tích vô hướng Cho X không gian véctơ trường K (thực phức).Ánh xạ g: X X K , ( x, y ) g ( x, y ) gọi tích vô hướng X thỏa mãn tiên đề sau: 1) g ( x, y) g ( x, y), x, y X ; 2) g ( x y, z ) g ( x, z ) g ( y, z ), x, y, z X ; 3) g ( x, y) g ( x, y), x, y X , K ; 4) g ( x, x) 0, x X ; g ( x, x) x Khi phiếm hàmgđược gọi tích vô hướng hai phần tử x, y Kí hiệu: x, y x, y Ví dụ X n , x ( x1 , x2 , , xn ); y ( y1 , y2 , , yn ) n , n x, y x1 y1 x2 y2 xn yn xi yi i 1 Là tích vô hướng n Một số tính chất bản: x X , x , 0; x, y X , K , x, y x, y ; x, y , z X , x, y z x , y x , z 1.3.2.Bất đẳng thức Schwartz Giả sử , tích vô hướng X đó: x, y x, x y , y x, y X Dấu “=” xảy {x,y} phụ thuộc tuyến tính 1.3.3.Định nghĩa không gian Hilbert Giả sử , tích vô hướng X Khi đó: x x, x , x X xác định chuẩn X gọi chuẩn sinh tích vô hướng Định nghĩa (Không gian Hilbert) Ta gọi tập H gồm phần tử x,y,z,… không gian Hilbert, tập H thỏa mãn điều kiện: H không gian tuyến tính trường P ; H trang bị tích vô hướng , ; H không gian Banach với chuẩn x, x , x H x Nếu K (hoặc ) không Hilbert tương ứng không gian thực (hoặc phức) Ví dụ X n với tích vô hướng: n x, y xi yi , x x1 , x2 , , xn , y y1 , y2 , , yn R n i 1 n chuẩn x x i n với tích vô hướng không gian i 1 Hilbert Không gian l2 với tích vô hướng cho x, y xn yn n 1 chuẩn x x n l2 không gian Hilbert n 1 Định nghĩa (Không gian không gian Hilbert) Mọi không gian véctơ đóng không gian Hilbert gọi không gian Hilbert 1.3.4 Tính trực giao 1.3.4.1 Định nghĩa 1.3.4.1 Cho H không gian Hilbert Ta nói hai phần tử x, y H trực giao x, y Kí hiệu: x y Nếu A H , A , x H Ta nói x trực giao với A x trục giao với phần tử A.Kí hiệu: x A Vậy x A x y, y A 1.3.4.2 Tính chất x y, y H X H Nếu x A , A {y1 , y2 , , yn } H x trực giao với tổ hợp tuyến tính phần tử A Kí hiệu: x span ( A) Giả sử x xn , n dãy xn hội tụ đến y n x y A trù mật khắp nơi H , x A x 1.3.4.3 Định lý Pythagore Nếu véctơ x1 , x2 , , xn đôi trực giao n xi i 1 n xi n * i 1 1.3.4.4 Đẳng thức hình bình hành Cho H không gian Hilbert, x, y H ta có 2 x y x y 2 x y 1.3.4.5 Định lý Chuỗi x phần tử đôi trực giao không gian n n 1 Hilbert H hội tụ chuỗi x n hội tụ n1 1.3.4.6 Định nghĩa 1.3.4.2 Cho H không gian Hilbert, E không gian véctơ H tập hợp F H phần tử trực giao với E gọi phần bù trực giao E H Kí hiệu: E Ta chứng minh dược F không gian đóng H H có biểu diễn:Nếu E phần bù trực giao F F phần bù trực giao E ta có tổng trực giao H E F 1.3.5 Các định lý liên quan 1.3.5.1 Bất đẳng thức Bessel Định nghĩa 1.3.5.1.1 Cho không gian Hilbert H Một hệ thống gồm hữu hạn hay đếm phần tử en n 1 H gọi hệ trực chuẩn nếu: 1 ei , e j ij 0 i j i j Định lý (bất đẳng thức Bessel) Nếu en n 1 hệ trực chuẩn không gian Hilbert H x H ta có bất dẳng thức: x, en 2 x (Bất đẳng thức Bessel) n1 Định nghĩa 1.3.5.1.2 Tích vô hướng x, en , n ta gọi hệ số Fourier phần tử x hệ trực chuẩn en n1 Nhận xét: Từ bất đẳng thức Bessel ta suy chuỗi x, en hội tụ Do n 1 chuỗi x, en en hội tụ không gian Hilbert H (vì chuỗi gồm n 1 phần tử đôi trực giao hội tụ tuyệt đối hội tụ) Chuỗi gọi khai triển Fourier phần tử x H theo hệ trực chuẩn en n1 1.3.5.2: Đẳng thức Parseval Định nghĩa Hệ trực chuẩn en n 1 không gian Hilbert gọi sở trực chuẩn H không tồn véctơ khác không trực giao với hệ Định lý Cho en n1 hệ trực chuẩn không gian Hilbert H Khi mệnh đề sau tương đương: a) Hệ e n n 1 sở trực chuẩn H b) Mọi x H có biểu diễn x x, en en ; n 1 c) x, y H , x, y x, en en , y x, en y, en ; n 1 n1 (đẳng thức Parseval) d) x H , x x, en - phương trình đóng n1 e) Bao tuyến tính hệ en n1 trù mật khắp nơi H (nghĩa tập tất tổ hợp tuyến tính số hữu hạn phần tử thuộc hệ en n1 trù mật khắp nơi không gian H ) 10 Định lý Riesz áp dụng định lý hình chiếu lên không gian đóng không gian Hilbert 1.3.5.3 Định lý F.Riesz (dạng tổng quát phiếm hàm tuyến tính liên tục) Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục không gian hilbert H biểu diễn dạng: f ( x ) x , a , x H Với a phần tử thuộc H xác định theo f f a Chú ý: Nhờ định lý ta đồng H * với H hay không gian Hilbert không gian tự liên hợp Vậy không gian Hilbet không gian phản xạ H H * H ** 1.4 Sự hội tụ yếu dãy không gian Hilbert 1.4.1 Định nghĩa Cho không gian Hilbert H Dãy điểm xn H gọi hội tụ yếu y tới điểm x H , kí hiệu xn x , với y H ta có: lim xn , y x, y n Ta có nhận xét, dãy điểm xn H hội tụ tới điểm x H theo chuẩn H (còn gọi hội tụ mạnh), nghĩa lim xn x , dãy n điểm xn hội tụ yếu tới điểm x H Điều suy từ hệ thức: xn , y x, y xn x, y xn x y , y H Tuy nhiên điều ngược lại nói chung không Chẳng hạn, không gian Hilbert H có hệ trực chuẩn vô hạn en , theo bất đẳng thức Bessel, với phần tử y H ta có: y, en n 1 11 n y , nên lim en , y 0, y H n Do dãy en hội tụ yếu tới phần tử Nhưng hiển nhiên dãy e không hội tụ mạnh tới phần tử , n en em (n m) 1.4.2 Định lý 1.4.2 Cho không gian Hilbert H , dãy điểm xn H hội tụ yếu tới điểm x H lim xn x lim xn x n n Chứng minh 2 xn x xn x, xn x xn xn , x x, xn x Từ từ giả thuyết suy lim xn xn , x x, xn x n x 2 x, x x, x x Vì lim xn x n Định lý chứng minh 1.4.3 Định lý 1.4.3 Cho không gian Hilbert H Dãy điểm xn H hội tụ yếu dãy thỏa mãn điều kiện: 1) Dãy điểm xn bị chặn theo chuẩn không gian H ; 2) Dãy số xn , y , n 1, 2, hội tụ với y thuộc tập trù mật khắp nơi không gian H 12 P1 P2 ( P1 P2 )* P2* P1* Vậy P1 P2 giao hoán với Ngược lại, P1 P2 giao hoán với nhau, PP tự liên hợp, PP 2 PP PP PPP 1 P2 PP Do đó, PP toán tử chiếu (định lý 2.4.1) b) a) Nếu P1 P2 giao hoán với nhau, đẳng thức (2.2) chứng tỏ P1' P2' giao hoán với Lấy x H tuỳ ý, y P1' P2 ' x P1' ( P2 ' x ) N1 , y P2 ' P1' x P2 ' ( P1' x ) N Vậy y N1 N 0 Do P1' P2 ' theo định lý 2.3.2 N1 N Cuối cùng, để ý c) đúng, tức P1P2 P P1 P2 P1 P2 P1 P2 P P1' P2 ' P P1 P2 ' P1' P2 Vì ta có ii) Ví dụ Giả sử H không gian Hilbert khả ly vô hạn chiều en ; n 1, sở trực chuẩn đếm H Với n 1,2 toán tử Pn H , xác định công thức: n Pn x x, ei ei i 1 Rõ ràng toán tử chiếu H lên không gian n-chiều H gây nên véctơ e1 , e2 , , en Do P1 P2 Pn I Và dãy toán tử chiếu Pn ; n 1, 2, hội tụ đơn giản đến I lim Pn x x, ei ei ( x X ) n i 1 29 Tuy nhiên với m, n, m n chẳng hạn n m p ( p nguyên dương), ta có Pn em 1 Pm em 1 Pn em 1 em 1 Do Pn Pm với n m nên dãy toán tử ( Pn ) không hội tụ theo chuẩn Ta gọi prox f : H H toán tử lân cận toán tử ánh xạ f , ta có mệnh đề sau 2.4.5 Mệnh đề 2.4.5 Giả sử u véctơ khác véctơ không H ,lấy T0 , đặt g , u x H ta có Pr oxg x x Pr ox u x, u x, u u u Chú ý: Hàm C X hàm neá u x C neá u x C 0 C : X , : x 2.5 Phép chiếu lên không gian đặc biệt không gian Hilbert 2.5.1 Phép chiếu lên tập lồi đóng Bổ đề 2.5.1 Lấy E không gian Banach phản xạ A E tập lồi đóng Nếu hàm : A ; lồi, liên tục cho ( x) lim x (không có giả thiết A bị chặn đạt x A , x A Định lý (hình chiếu lên tập lồi đóng) Cho K H tập lồi đóng, khác rỗng Khi với f H tồn phần tử u K cho 30 f u f v =dist f , K (2.1) vK Với dist f , K khoảng cách từ f xuống K u đặc trưng tính chất: f u , v u 0, v K (2.2) uK Nhận xét: Phần tử u gọi hình chiếu f lên K kí hiệu u PK f Chứng minh a) Sự tồn Hàm v f v lồi, liên tục lim v Theo bổ đề v đạt giá trị nhỏ K H không gian phản xạ b) Chứng minh (2.1) tương đương (2.2) Giả sử u K thỏa mãn (2.1) w K Ta có v 1 t u tw, t 0;1 f u f 1 t u tw f u t w u Nên 2 f u f u 2t f u, w u t w u Từ suy f u,w u t w u , t 0,1 Cho t ta thu (2.2) Giả sử có phần tử u thỏa mãn (2.2) ta có 2 u f v f f u, v u u v 0, v K kéo theo (2.1) c) Sự Giả sử có u1 , u thỏa mãn (2.2) Ta có: 31 f u1 , v u1 0, v K , (2.3) f u , v u 0, v K , (2.4) Trong (2.3) ta chọn v u2 (2.4) ta chọn v u1 cộng bất đẳng thức tương ứng ta u1 u2 Chứng tỏ u1 u Mệnh đề 2.5.1 Giả sử K H tập lồi đóng khác rỗng, PK không tăng khoảng cách nghĩa là: PK f1 PK f f1 f , f1 , f H Chứng minh Đặt u1 PK f1 Ta có f u1 , v u1 0, v K , (2.5) f u , v u 0, v K , (2.6) Trong (2.3) ta chọn v u2 (2.4) ta chọn v u1 cộng bất đẳng thức tương ứng ta u1 u2 f1 f , u1 u2 Từ suy u1 u f1 f Vậy PK f1 PK f f1 f , f1 , f H Hệ 2.5.1 Giả sử M H không gian tuyến tính đóng, f H u PM f đặc trưng u M f u , v 0, v M Hơn PM toán tử tuyến tính gọi phép chiếu trực giao Định lý (định lý biểu diễn Riesz-Fréchet) Với H * tồn f H cho 32 , u f , u , u H f H* Chứng minh Xét ánh xạ T : H H * Xác định sau: với f thuộc H , ánh xạ u f , u phiếm hàm tuyến tính liên tục H Nó phần tử H * ,ta kí hiệu phần tử Tf Tf , u f , u , Rõ ràng Tf H* u H f Do T tuyến tính đẳng cự từ H lên T H -một không gian đóng H * Để kết thúc chứng minh ta cần chứng minh T H trù mật H * Giả sử h hàm tuyến tính H * triệt tiêu T H Khi H phản xạ nên h H thỏa mãn Tf , h 0, f H nên chứng tỏ f , h 0, f H , suy h 2.5.2 Phép chiếu lên không gian Affine Bổ đề 2.5.2.1 Cho e i iI hệ trực chuẩn hữu hạn H , lấy V span ei iI x H Khi PV x x, ei ei iI Bổ đề 2.5.2.2 Cho Cn n …của H cho n Cn Cn 1 , đặt C n Cn lấy x H Khi PC x PC x n Định lý 2.5.2.1 Cho C không gian Affine đóng H Khi ta có: i) x H y C x PC x, y z ii) x H y C x PC x x y, x PC x 33 Chứng minh i) Lấy y, z C ta có PC x y PC x )(1 2) y C y PC x, x PC x y PC x, x PC x 2PC x y PC x, x PC x suy y PC x, x PC x Vậy y z , x PC x ii) x H y C Từ i) ta x PC x x PC x, x y y PC x x PC x, x y Định lý 2.5.2.2 Cho ei iI hệ trực chuẩn đếm không gian H tập C span ei iI Khi x H PC x x, ei ei iI Chứng minh Nếu I hữu hạn,từ C span ei iI theo bổ đề 2.5.2.1 ta kết cần chứng minh Nếu I không hữu hạn ta lấy hữu hạn ,cùng bổ đề 2.5.2.2 ta có điều phải chứng minh Định lý 2.5.2.3 Cho I tập hữu hạn thứ tự toàn phần, lấy i iI tập số thực (0,1] cho i 1, cho H không gian iI Hilbert thực thu cách lấy tích Đềcác iI H với cấu trúc không gian véctơ thông thường tích vô hướng x, y iI 34 i xi , yi , x xi iI , y yi iI H Đặt D xi iI | x H , lấy x H p i xi Khi PD x p iI iI Chứng minh Đặt p p iI , lấy y H đặt y yi iI Rõ ràng p D y H D không gian tuyến tính đóng H Hơn x p, y i xi p, y i xi p, y iI iI Do p PD x Ví dụ Giả sử u véctơ khác véctơ không H , lấy tập C x H | x, u x H PC x x x, u u u Chứng minh Đặt mệnh đề (2.4.5) ta điều cần chứng minh 2.5.3 Phép chiếu tập lồi đa diện đặc biệt Trong hai ví dụ sau đưa biểu diễn phép chiếu lên nửa không gian siêu phẳng tương ứng Ví dụ Cho u H , đặt C x H | x, u Khi ta có mệnh đề sau: i) u , trường hợp C H , PC Id ii) u trường hợp C iii) u trường hợp C 35 x neá u x H PC x x x, u u neáu u x, u x,u Chứng minh i) ii) hiển nhiên iii): Đặt ; mệnh đề (2.4.5) ta điều cần chứng minh Ví dụ2 Cho u H , 1 , tập C x H | 1 x, u 2 Khi ta có mệnh đề sau: i) u 0, 1 trường hợp C H , PC Id ii) u 1 trường hợp C iii) u 1 2 trường hợp C iv) u trường hợp C nêu 1 x, u ; x x, u x H PC x x u nêu x, u 1; u x, u x u nêu x, u 2 u Chứng minh i),ii),iii) hiển nhiên iv) Đặt , ta điều cần chứng minh 36 Tiếp theo thường chiếu lên tương ứng hai nửa không gian giới hạn đường biên Định lý Cho u1 , u H ; 1 , u1 Giả sử u u1 , u 2 ; u , u phụ thuộc tuyến tính đặt C x H | x, u1 1 x H | x, u2 2 Ta có trường hợp sau: i) u1 u 1 , Khi C H , PC Id ii) u1 u 1 , Khi C iii) u1 0, u2 Khi C x H | x, u1 1 x x H PC x 1 x, u1 u x u nÕu x, u1 ; nÕu x, u1 1 iv) u1 0, u2 2 Khi C v) u 0, u1 1 Khi C x H | x, u2 2 nÕu x x H PC x 2 x, u2 u nÕu x u x, u ; x, u vi) u2 0, u1 1 Khi C vii) u 0, u1 u1 , u2 Khi u u2 u1 =min 1 u2 ,2 u1 37 C x H | x, u x x H PC x x, u u x u nÕu x, u nÕu x, u viii) u2 0, u1 u1 , u2 1 u2 2 u1 Khi C ix) u 0, u1 u1 , u 1 u u1 Khi C x H | x, u u u u1 , u1 1 u nÕu x, u x x, u x H PC x x u nÕu x, u u x, u x u nÕu x, u 2 u Chứng minh i), ii), iv), vi): hiển nhiên iii) v) theo ví dụ iii) vii) Từ u1 u2 phụ thuộc tuyến tính u1 , u ta có u u1 u1 u Đặt u u u1 ta có x , u1 1 u x , u1 1 u x, u 1 u Tương tự x, u x, u u1 , suy x C x, u công thức PC theo ví dụ viii) ix): Đặt u u u1 u1 u , u1 , 1 u Khi x, u1 1 u x , u1 1 u x , u x, u2 2 u1 x, u2 2 u1 2 u1 x, u1 u2 x, u Từ x C , x, u kết ví dụ iii) iv) 38 KẾT LUẬN Chính lẽ việc nghiên cứu, sâu tìm hiểu vấn đề toán học, ứng dụng chúng vào ngành khoa học khác thực tiễn việc làm thiết thực cần thiết Khoá luận phần khái quát kiến thức toán tử chiếu Đồng thời sâu tìm hiểu toán tử chiếu số tập hợp đặc biệt không gian Hilbert Vấn đề nhiều điều bổ ích lí thú kinh nghiệm thân thời gian nghiên cứu hạn chế nên khoá luận nhiều thiếu sót cần bổ sung góp ý Em mong nhận bảo tận tình đóng góp ý kiến thầy cô bạn Bước đầu nghiên cứu khoa học, thời gian nghiên cứu hạn chế em khó tránh khỏi thiếu sót định Em mong nhận đóng góp, bảo thầy cô giáo, bạn để khoá luận hoàn thiện Một lần em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy cô khoa Toán, thầy cô tổ Giải tích tạo điều kiện để em thực khoá luận Đặc biệt em xin chân thành cảm ơn Thày Phùng Đức Thắng tận tình giúp đỡ em hoàn thành khoá luận 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO PGS TS Nguyễn Phụ Huy; Giải tích hàm, NXB khoa Học Kĩ Thuật PGS TS Đỗ Đăng Lưu, Phan Huy Khải; Giải tích lồi, NXB Khoa Học Kỹ Thuật GS Hoàng Tụy; Hàm thực giải tích hàm, NXB đại học Quốc Gia Hà Nội Heinz H.Bauschke, Patrick L.Combettes; Convex Analysis and Monotone Operator Theory in Hilbert Spaces, 2010 Lokenath Debnath – Piotr Mikusinski, Introduction to Hilbert spaces with Applications – Academic Press, 2005 40 LỜI CẢM ƠN Khoá luận em hoàn thành giúp đỡ thầy cô tổ Giải tích - khoa Toán trường đại học sư phạm Hà Nội Cho phép em bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy cô tổ giải tích, đặc biệt Th.s Phùng Đức Thắng, người trực tiếp hướng dẫn em trình thu thập tài liệu, nghiên cứu để em hoàn thành khoá luận Bước đầu nghiên cứu khoa học, thời gian nghiên cứu hạn chế em khó tránh khỏi thiếu sót định Em mong nhận đóng góp, bảo thầy cô giáo, bạn để khoá luận hoàn thiện Hà Nội, tháng năm 2013 Tác giả Nguyễn Thị Thủy LỜI CAM ĐOAN Khoá luận “Toán tử chiếu không gian Hilbert” hoàn thành giúp đỡ, hướng dẫn Th.s Phùng Đức Thắng cố gắng nghiên cứu, tìm tòi, học tập thân Trong trình nghiên cứu thực khoá luận em có kế thừa kết kết tác giả với lòng biết ơn trân trọng Tôi xin cam đoan kết khoá luận tốt nghiệp kết nghiên cứu thân không trùng với kết tác giả khác Hà Nội, tháng năm 2013 Tác giả Nguyễn Thị Thủy MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Tập lồi, tập lồi đóng, tập lồi đa diện 1.2 Không gian định chuẩn 1.3 Không gian Hilbert 1.4 Sự hội tụ yếu dãy không gian Hilbert 11 1.5 Toán tử tuyến tính 13 1.5.1 Định nghĩa 13 1.5.2 Ví dụ 13 1.5.3 Phiếm hàm song tuyến tính 14 1.5.4 Một số toán tử tuyến tính không gian Hilbert 14 CHƯƠNG TOÁN TỬ CHIẾU TRONG KHÔNG GIAN HILBERT.20 2.1 Định lý hình chiếu lên không gian đóng không gian Hilbert 20 2.2 Toán tử chiếu 21 2.3 Ví dụ 22 2.4 Tính chất phép toán toán tử chiếu 24 2.5 Phép chiếu lên tập hợp đặc biệt không gian Hilbert 30 2.5.1 Phép chiếu lên tập lồi đóng 30 2.5.2 Phép chiếu lên không gian Affine 33 2.5.3 Phép chiếu lên khối đa diện đặc biệt 35 KẾT LUẬN 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO 40 [...]... thỏa mãn gọi là chuẩn của toán tử A.Kí hiệu: A Để ngắn gọn ta gọi toán tử tuyến tính là toán tử 1.5.2 Ví dụ Toán tử đồng nhất và toán tử không là các toán tử tuyến tính Toán tử đồng nhất I biến mọi phần tử thành chính nó, tức là Ix x với mọi x E Toán tử không biến mọi phần tử của E thành véctơ không Toán tử không được kí hiệu là 0 Dễ thấy toán tử đồng nhất và toán tử không là bị chặn và ta có... An B BAn , n Nếu B là toán tử tự liên hợp trong H sao cho Khi đó tồn tại một toán tử tự liên hợp A : lim An x Ax, x H n Và An A B, n 1.5.4.6 Toán tử compact Toán tử c là một lớp toán tử quan trong trong số các toán tử bị chặn 18 Định nghĩa (Toán tử compact) Một toán tử A trong không gian Hilbert H gọi là toán tử compact nếu với mỗi dãy bị chặn xn trong H , dãy Axn có một... Mọi toán tử trong không gian có số chiều vô hạn là toán tử compact Thật vậy: Nếu A là một toán tử trong N thì nó la bịchặn Do đó xn là dãy bị chặn thì Axn là dãy bị chặn trong Theo định lý Bolzano-Weierstrass, Axn có một dãy con hội tụ 19 N Chương 2 TOÁN TỬ CHIẾU TRÊN KHÔNG GIAN HILBERT 2.1 Định lý (về hình chiếu lên không gian con đóng trong không gian Hilbert) Giả sử H 0 là không gian. .. m Suy ra Pn không hội tụ theo chuẩn 2.4 Tính chất và phép toán của toán tử chiếu 2.4.1 Định lý 2.4.1 Để toán tử tuyến tính liên tục P trong không gian Hilbert H là một toán tử chiếu, điều kiện cần và đủ là: 1) P tự liên hợp,tức là P* P 2) P 2 P Khi đó P là toán tử chiếu lên không gian con đóng H 0 ( P ) 24 Chứng minh Điều kiện cần: Giả sử P là toán tử chiếu lên không gian con đóng H 0... có những toán tử trực giao mà không tự liên hợp Tính chất 1) Một toán tử bị chặn T là trực giao khi và chỉ khi Tx T * x , x H 2) Cho T là toán tử bị chặn trong không gian Hilbert, A, B là các toán tử tự liên hợp trong H sao cho T A iB Khi đó T là trực giao khi và chỉ khi A và B giao hoán n 3) Nếu f là toán tử trực giao thì T n T , n 4) Một toán tử bị chặn T trong không gian Hilbert. .. tất cả các hàm song tuyến tính trên E lập thành một không gian véctơ Ví dụ Tích vô hướng là một hàm song tuyến tính 1.5.4 Một số toán tử trong không gian Hilbert 1.5.4.1 Toán tử liên hợp Định nghĩa (toán tử liên hợp) Cho A là một toán tử bị chặn trong không gian Hilbert H Toán tử A* : H H được xác định bởi Ax, y x, A* y , x, y H Gọi là toán tử liên hợp của A Nhận xét: Do A là liên tục nên ... trong không gian hilbert H Toán tử T1 A* A và T2 A A* là tự liên hợp 3) Tích của hai toán tử tự liên hợp là một toán tử tự liên hợp khi và chỉ khi hai toán tử đó là giao hoán 4) Mọi toán tử bị chặn T trong không gian hilbert H đều tồn tại duy nhất các toán tử tự liên hợp A và B sao cho: T A iB và T * A iB 5) Nếu T là toán tử tự liên hợp trong không gian Hilbert H thì T sup Tx, x x... Toán tử tự liên hợp Định nghĩa (toán tử tự liên hợp) Nếu A A* thì A gọi là toán tử tự liên hợp Nói cách khác nếu A là toán tử tự liên hợp thì Ax , y x , Ay , x , y H Tính chất 1) Cho là một hàm song tuyến tính bị chặn trong H A là toán tử trong H : x, y x, Ay , x, y H khi đó A là tự liên hợp khi và chỉ khi là đối xứng 2) Cho A là toán tử bị chặn trong không gian hilbert H Toán. .. hợp tất cả các không gian con đóng của H và tập hợp tất cả các toán tử chiếu trong H , có một song ánh.Vì thế, có thể đoán nhận rằng mối liên hệ hình học giữa hai không gian con đóng của H phải được phản ánh bởi mối liên hệ đại số giữa hai toán tử chiếu lên các không gian con ấy Đó là nội dung của các định lý sau đây 2.4.2 Định lý 2.4.2 Giả sử P1 và P2 là hai toán tử chiếu của không gian Hilbert H lần... 5) A là một toán tử bị chặn trong không gian Hilbert H sao cho A H Nếu A có nghịch đảo bị chặn thì liên hợp A* là khả 1 * nghịch Và A* A1 16 1.5.4.4 Toán tử trực giao Định nghĩa (toán tử trực giao) Một toán tử bị chặn T gọi là toán tử trực giao nếu nó giao hoán với toán tử liên hợp của nó, tức là TT * T *T Chú ý: T trực giao khi và chỉ khi T * trực giao Mọi toán tử tựliên hợp ... Một số toán tử tuyến tính không gian Hilbert 14 CHƯƠNG TOÁN TỬ CHIẾU TRONG KHÔNG GIAN HILBERT. 20 2.1 Định lý hình chiếu lên không gian đóng không gian Hilbert 20 2.2 Toán tử chiếu. .. đồng toán tử không toán tử tuyến tính Toán tử đồng I biến phần tử thành nó, tức Ix x với x E Toán tử không biến phần tử E thành véctơ không Toán tử không kí hiệu Dễ thấy toán tử đồng toán tử. .. A B, n 1.5.4.6 Toán tử compact Toán tử c lớp toán tử quan trong số toán tử bị chặn 18 Định nghĩa (Toán tử compact) Một toán tử A không gian Hilbert H gọi toán tử compact với dãy bị chặn
Ngày đăng: 31/10/2015, 08:26
Xem thêm: Toán tử chiếu trong không gian hilbert