Toán tử chiếu trong không gian hilbert

Trong quá trình phát triển, giải tích đã tích lũy được một nội dung hết sức phong phú những phương pháp và kết quả mẫu mực,tổng quát của Giải tích hàm đã xâm nhập vào tất cả các ngành To

LỜI NÓI ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Giải tích là một ngành toán học được xây dựng vào nửa thế kỷ XX

và đến nay vẫn được xem như một ngành toán học cổ điển Trong quá trình phát triển, giải tích đã tích lũy được một nội dung hết sức phong phú những phương pháp và kết quả mẫu mực,tổng quát của Giải tích hàm đã xâm nhập vào tất cả các ngành Toán học có liên quan và sử dụng đến công cụ Giải tích và không gian véctơ Chính vì điều đó đã mở ra phạm vi nghiên cứu rộng lớn cho các ngành Toán học

Với những lí do đó và được sự định hướng của thầy hướng dẫn em

đã chọn đề tài “Toán tử chiếu trong không gian Hilbert” là khóa luận

tốt nghiệp Đại học của mình

Khóa luận được chia làm hai chương:

Trong chương 1 chúng tôi đưa ra những kiến thức về tập lồi, tập lồi đóng, tập lồi đa diện;không gian định chuẩn; không gian Hilbert; sự hội tụ yếu của dãy trong không gian Hilbert; toán tử tuyến tính

Trong chương 2, phần đầu chúng tôi đưa ra định lý hình chiếu lên không gian con đóng, tiếp theo chúng tôi trình bày nội dung chính của khóa luận, đó là toán tử chiếu trong không gian Hilbert và phép chiếu của toán tử tuyến tính lên một số tập hợp đặc biệt

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu về không gian Hilbert, toán tử chiếu trong không gian Hilbert

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu về toán tử chiếu trong không gian Hilbert

4 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

Giải tích hàm

5 Phương pháp nghiên cứu

Phân tích, so sánh, tổng hợp, đánh giá

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Tập lồi, tập lồi đóng, tập lồi đa diện

Định nghĩa(tập lồi): Giả sử X là không gian tuyến tính, là tập số thực.Tập A Xđược gọi là lồi, nếu:

Định nghĩa (tập lồi đa diện): Tập k

M  được gọi là tập lồi đa diện nếu M được biểu diễn dưới dạng giao của một số hữu hạn các nửa

không gian đóng của k

Cho X là không gian véctơ trên trường K (thực hoặc phức) Một

hàm thực :X  , x x được gọi là chuẩn trên X nếu thỏa mãn các

tiên đề sau:

Giả sử X là không gian véctơ trên trường K , là một chuẩn trên

X Khi đó cặp X, được gọi là không gian định chuẩn

X, là không gian định chuẩn thực hay phức nếu K là trường

i i

1.3 Không gian Hilbert

1.3.1.Định nghĩa tích vô hướng

Cho X là không gian véctơ trên trường K (thực hoặc phức).Ánh

xạ g: X X  K, ( , )x y  g x y( , )được gọi là một tích vô hướng trên

X nếu thỏa mãn các tiên đề sau:

1.3.3.Định nghĩa không gian Hilbert

Giả sử .,. là một tích vô hướng trên X Khi đó:

1 H là không gian tuyến tính trên trường P ;

2 H được trang bị một tích vô hướng , ;

3 H là không gian Banach với chuẩn

x  x x  x H Nếu K  (hoặc ) thì không Hilbert tương ứng là không gian thực (hoặc phức)

X  với tích vô hướng:

1,

n

i i i

Định nghĩa (Không gian con của không gian Hilbert)

Mọi không gian véctơ con đóng của không gian Hilbert gọi là không gian Hilbert con

1.3.4 Tính trực giao

1.3.4.1 Định nghĩa 1.3.4.1

Cho H là không gian Hilbert Ta nói hai phần tử ,  x y H là trực

giao nhau nếu x y , 0.Kí hiệu:x y

Nếu AH A,  ,xH Ta nói x trực giao với A nếu x trục giao với mọi phần tử trong A.Kí hiệu:x A

1.3.4.5 Định lý

Chuỗi

1

n n

x





 các phần tử đôi một trực giao trong không gian

Hilbert H hội tụ khi và chỉ khi chuỗi 2

1

n n

Cho H là không gian Hilbert, E là không gian véctơ con của H

tập hợp F  H các phần tử trực giao với E được gọi là phần bù trực

giao của E trong H Kí hiệu: E

Ta chứng minh dược F là không gian con đóng của H và H có

biểu diễn:Nếu E là phần bù trực giao của F và F là phần bù trực giao

của E thì ta có tổng trực giao

H E  F

 1.3.5 Các định lý liên quan

1.3.5.1 Bất đẳng thức Bessel

Định nghĩa 1.3.5.1.1

Cho không gian Hilbert H Một hệ thống gồm hữu hạn hay đếm

được các phần tử  e n n1H gọi là một hệ trực chuẩn nếu:

1 0

Định nghĩa 1.3.5.1.2

Tích vô hướng x e, n , n 1 ta gọi là hệ số Fourier của phần tử x

đối với hệ trực chuẩn  e n n1

 cũng hội tụ trong không gian Hilbert H (vì chuỗi gồm

các phần tử đôi một trực giao nhau hội tụ tuyệt đối thì hội tụ) Chuỗi này gọi là khai triển Fourier của phần tử x  Htheo hệ trực chuẩn e n n1

1.3.5.2: Đẳng thức Parseval

Định nghĩa

Hệ trực chuẩn e n n1 trong không gian Hilbert được gọi là một cơ

sở trực chuẩn nếu trong H không tồn tại véctơ khác không nào trực giao

với hệ đó

Định lý

Cho e n n1 là một hệ trực chuẩn trong không gian Hilbert H Khi

đó 5 mệnh đề sau là tương đương:

a) Hệ  e n n1 là cơ sở trực chuẩn của H

b) Mọi xH đều có biểu diễn

e) Bao tuyến tính của hệ  e n n1 trù mật khắp nơi trong H (nghĩa

là tập tất cả các tổ hợp tuyến tính của một số hữu hạn bất kì các phần tử thuộc hệ e n n1 trù mật khắp nơi trong không gian H )

Định lý Riesz dưới đây áp dụng định lý về hình chiếu lên không gian con đóng trong không gian Hilbert

1.3.5.3 Định lý F.Riesz (dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục) Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục trong không gian hilbert H đều có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng:

f x  x a  x H Với a là một phần tử nào đó thuộc H xác định duy nhất theo f và

f  a

Chú ý: Nhờ định lý trên ta có thể đồng nhất *

H với H hay không gian Hilbert là không gian tự liên hợp Vậy không gian Hilbet là không gian phản xạ vì * **

H H H 1.4 Sự hội tụ yếu của dãy trong không gian Hilbert

x y  x y  x x y  x x y  y H Tuy nhiên điều ngược lại nói chung không đúng Chẳng hạn, đối với không gian Hilbert H có hệ trực chuẩn vô hạn e n , theo bất đẳng thức Bessel, với phần tử bất kì yH ta có:

2 1

nên lim n, 0,

Do đó dãy  e n hội tụ yếu tới phần tử Nhưng hiển nhiên dãy

 e n không hội tụ mạnh tới phần tử, vì

2

2 ( )

n m

e e  nm 1.4.2 Định lý 1.4.2

Cho không gian Hilbert H , nếu dãy điểm  x n H hội tụ yếu tới điểm xH và lim n

1) Dãy điểm  x n bị chặn theo chuẩn trong không gian H ;

2) Dãy số x y n, , n 1, 2,  hội tụ với mỗi y thuộc tập trù mật khắp nơi trong không gian H

1.5 Toán tử tuyến tính

1.5.1 Định nghĩa

Cho X Y, là các không gian định chuẩn trên trường K , ánh

xạ:A X: Y là toán tử tuyến tính nếu:

i) A x  yAx Ay, x y, X;

ii) A xAx,  x X,  K

Nếu Y K thì A là phiếm hàm tuyến tính

Ađược gọi là toán tử tuyến tính bị chặn nếu  c 0 sao cho:

clà một cận trên của toán tử A

Số c0 nhỏ nhất thỏa mãn gọi là chuẩn của toán tử A.Kí hiệu: A

Để ngắn gọn ta gọi toán tử tuyến tính là toán tử

1.5.2 Ví dụ

Toán tử đồng nhất và toán tử không là các toán tử tuyến tính

Toán tử đồng nhất I biến mọi phần tử thành chính nó, tức là

Ix x với mọi x E

Toán tử không biến mọi phần tử của E thành véctơ không

Toán tử không được kí hiệu là 0

Dễ thấy toán tử đồng nhất và toán tử không là bị chặn và ta có

Phép nhân vô hướng I là một toán tử, toán tử này nhân mọi phần tử với vô hướng ,tức là I x x

1.5.3 Phiếm hàm song tuyến tính

Định nghĩa (hàm song tuyến tính)

Một hàm song tuyến tính  trên một không gian véctơ phức là một : E E  thỏa mãn 2 điều kiện sau:

1)  x1 x y2, x y1, x y2, 

2)x,y1y2x y, 1x y, 2

với ,  là các vô hướng bất kì và x x x y y y, 1, 2, , ,1 2E

Dễ thấy tất cả các hàm song tuyến tính trên E lập thành một

không gian véctơ

Ví dụ Tích vô hướng là một hàm song tuyến tính

1.5.4 Một số toán tử trong không gian Hilbert

1.5.4.1 Toán tử liên hợp

Định nghĩa (toán tử liên hợp)

Cho A là một toán tử bị chặn trong không gian Hilbert H Toán

Nhận xét: Do A là liên tục nên x y,  Ax y, là phiếm hàm song tuyến tính Theo định lý 1.6.3.1, tồn tại duy nhất toán tử *

A để

Ax y  x Ay Do đó, toán tử liên hợp của toán tử tuyến tính liên tục

A luôn tồn tại và cũng là toán tử tuyến tính liên tục

Các tính chất sau được suy ra từ định nghĩa trên:

AA thì A gọi là toán tử tự liên hợp

Nói cách khác nếu A là toán tử tự liên hợp thì

Ax y  x Ay x yH Tính chất

1) Cho  là một hàm song tuyến tính bị chặn trong H A là toán

tử trong H :x y,  x Ay, ,x y, H

khi đó A là tự liên hợp khi và chỉ khi  là đối xứng

2) Cho A là toán tử bị chặn trong không gian hilbert H Toán tử

3) Tích của hai toán tử tự liên hợp là một toán tử tự liên hợp khi

và chỉ khi hai toán tử đó là giao hoán

4) Mọi toán tử bị chặn T trong không gian hilbert H đều tồn tại

duy nhất các toán tử tự liên hợp A v B sao cho: à

1.5.4.3 Toán tử khả nghịch

Định nghĩa (toán tử nghịch đảo)

A là một toán tử xác định trong không gian véctơ con của E Một toán tử B xác định trên  A gọi là nghịch đảo của A nếu

 ,

BAx x  x D A và ABx x,  x  A Một toán tử mà có toán tử nghịch đảo thì được gọi là khả nghịch

Nghịch đảo của A kí hiệu là 1

A

Nếu một toán tử có nghịch đảo thì nghịch đảo đó là duy nhất Thật vậy: Giả sử B B là các nghịch đảo của A ,ta có: 1, 2

B B I B AB IB B

Tính chất

1) Nghịch đảo của một toán tử tuyến tính là một toán tử tuyến tính

2) Một toán tử A là khả nghịch khi và chỉ khi Ax 0 dẫn đến 0

5) A là một toán tử bị chặn trong không gian Hilbert H sao

cho A H Nếu A có nghịch đảo bị chặn thì liên hợp *

1.5.4.4 Toán tử trực giao

Định nghĩa (toán tử trực giao)

Một toán tử bị chặn T gọi là toán tử trực giao nếu nó giao hoán

với toán tử liên hợp của nó, tức là

* *

TT T T Chú ý: T trực giao khi và chỉ khi *

T trực giao

Mọi toán tử tựliên hợp là trực giao

Các định lý sau giúp ta thấy rằng có những toán tử trực giao mà không tự liên hợp

khi và chỉ khi A và B giao hoán

3) Nếu f là toán tử trực giao thì n n,

T  T  n

4) Một toán tử bị chặn T trong không gian Hilbert H là đẳng cự

khi và chỉ khiT T*  trong H I

1.5.4.5 Toán tử dương

Định nghĩa (toán tử dương)

Một toán tử A gọi là dương nếu nó tự liên hợp và Ax x, 0, x H

Ví dụ Cho K là hàm dương liên tục xác định trên a b,   a b,  Toán tử tích phân 2   

là dương

3) Tích của hai toán tử dương giao hoán là một toán tử dương

4) Cho A là một toán tử dương trong H mà

Định nghĩa (Toán tử compact)

Một toán tử A trong không gian Hilbert H gọi là toán tử compact

nếu với mỗi dãy bị chặn  x n trong H , dãy Ax ncó một dãy con hội tụ

Ví dụ Mọi toán tử trong không gian có số chiều vô hạn là toán tử

Chương 2 TOÁN TỬ CHIẾU TRÊN KHÔNG GIAN HILBERT

2.1 Định lý (về hình chiếu lên không gian con đóng trong không gian Hilbert)

Giả sử H0 là không gian con đóng của không gian Hilbert H Khi

đó với mỗi phần tử x của H đều biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng:

Giả sử  v H0 sao cho z v, c0  v0  v v, 0 Đặt

0

.,

2

2

2 2

v v c

Ta thấy điều mâu thuẫn, chứng tỏ tồn tại v thuộc H sao 0

cho z v , 0 suy ra zH0.Vậy  x Hluôn có biểu diễn

Giả sử H0 là không gian Hilbert đóng của không gian H Khi đó,

mọi véctơxH đều có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng

Bằng cách ứng với véctơxH với hình chiếu ucủa nó lên H0, ta được một ánh xạ

đó Pu  u suy ra P 1

2.3 Ví dụ

Ví dụ 1

2

là không gian Hilbert.H là không gian con một chiều sinh bởi 0

véctơ  e 1 1,0   x 2thìy  x e, 1 ,e1 là hình chiếu của x lên không gian con H 0

Thật vậy, từ giả thiết ta có

Vậy y là hình chiếu của x lên H 0.

Cho tương ứng véctơ 2

x  với hình chiếu y của nó lên H ta lập 0

Cho dãy  e là một hệ trực chuẩn trong không gian Hilbert vô hạn n

chiềuH,H là không gian con sinh bởi các véctơ n e e1, , , ,2 e n n 1, 2,  Khi đó

là dãy toán tử chiếu của xH lên không gian con đóng H và n  P n hội

tụ điểm đến toán tử đồng nhất I trên H nhưng không hội tụ theo chuẩn

Vậy y là hình chiếu của n xlên H n

Do đó,với mỗi n 1,2, , toán tử

là toán tử chiếu x lên không gian H , hay n  P n là dãy toán tử chiếu x

lên không gian con đóng H n

+) Dãy toán tử chiếu  P n hội tụ đến toán tử đồng nhất I vì:

Suy ra  P n không hội tụ theo chuẩn

2.4 Tính chất và phép toán của toán tử chiếu

P P

Khi đó P là toán tử chiếu lên không gian con đóng H0  ( )P

Chứng minh

Điều kiện cần: Giả sử P là toán tử chiếu lên không gian con

đóngH Lấy 0 x y, H tùy ý, giả sử

P P

Điều kiện đủ: Giả sử các điều kiện 1) và 2) được thỏa mãn Trước

hết, ta hãy chứng minh rằng không gian véctơ conH0  ( )P của H là

đóng Thật vậy, giả sử uH0 và  u n H0 là một dãy hội tụ đến u Vì

VậyH0 N Hơn nữa, với mọi xH x, PxI P x  PxQx

Với Px H Qx 0, N đẳng thức chứng tỏ rằngHH0N và P là

toán tử chiếu lên H0, Q là toán tử chiếu lên N H0

 Như vậy, giữa tập hợp tất cả các không gian con đóng của H và

tập hợp tất cả các toán tử chiếu trongH , có một song ánh.Vì thế, có thể

đoán nhận rằng mối liên hệ hình học giữa hai không gian con đóng của

H phải được phản ánh bởi mối liên hệ đại số giữa hai toán tử chiếu lên

các không gian con ấy Đó là nội dung của các định lý sau đây

2.4.2 Định lý 2.4.2

Giả sử P và 1 P là hai toán tử chiếu của không gian Hilbert H lần 2lượt trên hai không gian con đóng H và 1 H Các mệnh đề sau đây là 2tương đương:

a b Lấy xH.Vì P x1 H1và H1H2, nên Px có hình chiếu 1

bằng 0lên H tức là 2 P P x  Vậy 2 1 0 P P  Khi đó ta cũng có: 2 1 0

Vậy theo định lí 2.4.1 P1P2 là một toán tử chiếu, thì theo (2.1)

ta thấy rằng P P1 2P P2 1 0

Nhân P về bên trái với cả hai vế thì được 1

P P P P P  Lại nhân P về bên trái với cả hai vế, rồi chia cho 2 thì được 1

Giả sử P và 1 P là hai toán tử chiếu lần lượt lên hai không gian 2con đóng H và 1 H Các mệnh đề sau đây là tương đương: 2

a) H1 H2;

b) P P1 2P1 hoặc P P2 1P1

c b Nếu P P là một toán tử chiếu, thì nó phải là tự liên hợp, 1 2

tức là

1 2 ( 1 2) 2 1

P P  P P P P

Vậy P và 1 P giao hoán với nhau Ngược lại, nếu2 P và 1 P giao 2

hoán với nhau, thì P P là tự liên hợp, hơn nữa 1 2

P  P P P P  P P P  P P P P  P P

Vì vậy ta có ii)

Ví dụ Giả sử H là một không gian Hilbert khả ly vô hạn chiều và

e n  n; 1, 2 là một cơ sở trực chuẩn đếm được của H Với mỗi

Rõ ràng là toán tử chiếu H lên không gian con n-chiều của H gây

nên bởi các véctơ e e1, , , 2 e n

Tuy nhiên với m n m, , n chẳng hạn nm  p ( p nguyên

Định lý (hình chiếu lên tập lồi đóng)

Cho K H là tập lồi đóng, khác rỗng Khi đó với mọi f H đều tồn tại duy nhất phần tử uK sao cho

Nhận xét: Phần tử u như trên được gọi là hình chiếu của f lên K

và được kí hiệu bởi

b) Chứng minh (2.1) tương đương (2.2)

Giả sử có phần tử u thỏa mãn (2.2) khi đó ta có

 f u v1, u10,  v K, (2.3)

 f u v2, u20,  v K, (2.4) Trong (2.3) ta chọn vu2 và trong (2.4) ta chọn vu1 và cộng các bất đẳng thức tương ứng ta đượcu1u2 20 Chứng tỏ u1u2 Mệnh đề 2.5.1

Giả sử K H là một tập lồi đóng khác rỗng, khi đó P không K tăng khoảng cách nghĩa là:

Hệ quả 2.5.1

Giả sử M H là một không gian con tuyến tính đóng, f H khi

đó uP f M được đặc trưng bởi