Toán tử dương trong không gian hilbert

Khoá luận tốt nghiệp Ngô Thị Lý- K32C- Toán trờng đại học s phạm hà nội khoa toán ******** ngô thị lý toán tử dương không gian hilbert khoá luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành: Giải tích Người hướng dẫn khoa học ts nguyễn văn hùng hà nội - 2010 Khoá luận tốt nghiệp Ngô Thị Lý- K32C- Toán Mục lục Lời cảm ơn Lời cam đoan Mở đầu Nội dung Chương 1: Không gian Hilbert 1.1 Không gian Vectơ 1.2 Không gian Định Chuẩn 1.3 Tích vô hướng 1.4 Phần bù trực giao 1.5 Không gian Hilbert 1.5.1 Định nghĩa 1.5.2 Ví dụ 6 9 12 12 12 12 Chương 2: Toán tử tuyến tính liên tục 2.1 Toán tử tuyến tính 2.2.1 Định nghĩa 2.1.2 Ví dụ 2.2 Toán tử liên tục 2.2.1 Toán tử bị chặn 2.2.2 Toán tử liên hợp 2.2.3 Toán tử tự liên hợp 2.2.4 Ví dụ 14 14 15 15 16 16 16 16 17 21 21 21 24 37 40 41 Chương 3: Toán tử xác định dương 3.1 Định nghĩa 3.2 Ví dụ 3.3 Tính chất 3.4 Một số toán Kết luận Tài liệu tham khảo Khoá luận tốt nghiệp Ngô Thị Lý- K32C- Toán LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành khóa luận này, trước hết em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy, cô tổ giải tích, khoa toán trường Đại học sư phạm Hà Nội giúp đỡ em suốt trình làm khóa luận Đặc biệt em xin chân thành cảm ơn thầy giáo hướng dẫn Tiến sĩ Nguyễn Văn Hùng tạo điều kiện tốt bảo tận tình cho em để em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp Do thời gian kiến thức có hạn nên vấn đề trình bày khóa luận tốt nghiệp không tránh khỏi thiếu sót Vì em mong nhận ý kiến đóng góp thầy, cô giáo bạn sinh viên Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội tháng năm 2010 Sinh viên Ngô Thị Lý Khoá luận tốt nghiệp Ngô Thị Lý- K32C- Toán Lời cam đoan Khóa luận kết thân em trình học tập nghiên cứu bậc đại học Bên cạnh đó, em nhận quan tâm, tạo điều kiện thầy cô giáo khoa toán đặc biệt hướng dẫn tận tình thầy Nguyễn Văn Hùng Vì em xin khẳng định kết đề tài “Toán tử dương không gian Hilbert’’ trùng lặp với kết đề tài khác Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội tháng năm 2010 Sinh viên Ngô Thị Lý Khoá luận tốt nghiệp Ngô Thị Lý- K32C- Toán Mở đầu Lí chọn đề tài Lí thuyết hàm giải tích hàm môn lý thuyết đời phát triển từ năm đầu kỉ 20 Nó có tầm quan trọng, có ứng dụng ngành toán học Có thể nói giải tích hàm môn học có tầm quan trọng sinh viên khoa toán Vì việc học nắm vững môn học điều cần thiết sinh viên khoa toán Nội dung giải tích hàm phong phú, đa dạng với mẻ khó môn học làm cho việc tiếp thu kiến thức giải tích hàm trở thành không dễ dàng sinh viên khoa toán Do để nắm vững kiến thức giải tích hàm đồng thời với tâm bước đầu nghiên cứu khoa học, em chọn đề tài “ Toán tử dương không gian Hilbert” để làm khóa luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học tìm hiểu sâu giải tích hàm đặc biệt lý thuyết toán tử Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu toán tử dương không gian Hilbert Phương pháp nghiên cứu Cơ sở lí luận, phân tích, tổng hợp đánh giá Cấu trúc khóa luận Khoá luận tốt nghiệp Ngô Thị Lý- K32C- Toán Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận gồm chương: Chương 1: Không gian Hilbert Chương 2: Toán tử tuyến tính liên tục Chương 3: Toán tử xác định dương Khoá luận tốt nghiệp Ngô Thị Lý- K32C- Toán Nội dung Chương Không gian Hilbert 1.1 Không gian Vectơ Cho X tập tùy ý khác rỗng trường P với phép toán “+” “.” Giả sử có phép toán X: (i) (ii) +:  : XX  X x, y   x y , x, y  X ,   P, x  X P X  X  , x  x Ta gọi X với phép toán (i) (ii) không gian Vectơ trường P tiên đề sau thỏa mãn: T1, x, y  X : x  y  y  x T2, x, y, z  X :x  y   z  x   y  z  T3, Trong X có  để x    x x  X T4, x  X , x '  X để thỏa mãn: x  x '   T5,   P; x, y  X ta có:  x  y   x  y T6,  ,   P; x  X ta có:    x  x  x T7,  ,   P; x  X ta có:  x    x T8, x  X : 1x  x Các phần tử X gọi Vectơ, phần tử P gọi tích vô hướng Không gian Vectơ X trường P gọi P- không gian Vectơ X Khoá luận tốt nghiệp Ngô Thị Lý- K32C- Toán Khi P   ta gọi không gian Vectơ X không gian Vectơ thực Khi P   ta gọi không gian Vectơ X không gian Vectơ phức Ví dụ Không gian  k không gian vectơ thực K chiều với phần tử kí hiệu là: x (n ) =( x (n ) ) kj 1  k , n  0,1,2 Thật    Đặt  k  x  x j  k n j 1   (1) x  xj n k j 1  , xj 1   , k   n     k , x'  xj n k j 1   k ta có: x jn   x 'jn   x 'jn   x jn  j  1, k Suy ra: x  x '  x '  x Tiên đề thỏa mãn   (2) x  xj n k j 1     k , x'  x j ' n     k , x"  x j " n x    x     x    x    x    x    n j ' n j " n j n j ' n j " n j k j 1   k ta có: j  1, k Suy ra: x  x '   x "  x  x' x "  Tiên đề thỏa mãn   (3) x  xj n k j 1   k , xét phần tử    0,0, ,0    k , ta có:  x jn   x jn  , j  1, k Suy ra:  x  x x  k Khoá luận tốt nghiệp Ngô Thị Lý- K32C- Toán Tiên đề thỏa mãn   (4) x  xj n k j 1  ta có:   x jn    x jn   , j  1, k Suy ra: x    x   0, x   k Tiên đề thỏa mãn   (5) x  xj n k j 1   k ;  ,    ta có:  x jn      x jn  , j  1, k Suy ra:    x      x , x   k Tiên đề thỏa mãn   (6) x  xj n k j 1   k ;  ,    ta có:    x jn   x jn   x jn  , j  1, k Suy ra:    x  x  x Tiên đề thỏa mãn   (7) x  xj n k j 1  n n n   k , tồn phần tử  x   x1  ,  x2  , ,  xk    k     k , x'  xj n k  x jn   x 'j n    x jn   x 'j n  Suy ra:  x  x '   x  x ' Tiên đề thỏa mãn j 1   k , j  1, k Khoá luận tốt nghiệp   (8) x  xj n k j 1 Ngô Thị Lý- K32C- Toán   k ta có: x jn   x jn  ( phần tử đơn vị  ) j  1, k Suy ra: 1.x  x, x  k Tiên đề thỏa mãn Vậy  k không gian tuyến tính thực với phép toán “+” “.” xác định 1.2 Không gian định chuẩn Ta gọi không gian định chuẩn X không gian tuyến tính trường P (P trường số thực phức) với ánh xạ từ X vào tập số thực  Kí hiệu  đọc “chuẩn” thỏa mãn tiên đề sau: 1, x  X , x  0, x   x  2, x  X ,   P, ta có: x   x 3, x, y  X ta có: x  y  x  y Số x gọi chuẩn vectơ x Ta kí hiệu không gian định chuẩn X Các tiên đề 1;2;3 gọi hệ tiên đề chuẩn Ví dụ: không gian  k không gian định chuẩn 1.3 Tích vô hướng Cho không gian tuyến tính X trường P ( P trường số thực  hay phức  ) Ta gọi tích vô hướng không gian X ánh xạ từ tích Descarts vào P Kí hiệu ( , ) thỏa mãn tiên đề: T1, x, y  X : x, y   y, x 10 Khoá luận tốt nghiệp Ngô Thị Lý- K32C- Toán Ta xét toán tử A không gian Hilbert H   với: Ax  2x1  3x2 , x1  x2  Ta chứng minh A toán tử xác định dương Đặt Bx  x1  3x2 , x1  x2  với x  x1 , x2   H Ta có: ABx  2Bx 1  3Bx 2 ,  Bx 1  Bx 2  2x1  3x2   3x1  x2 ,  x1  3x2   x1  x2   x1 , x   x BAx   Ax 1  3 Ax 2 ,  Ax 1  2 Ax 2  2 x1  3x2  3 x1  x2 , x1  3x2  2 x1  x2   x1 , x   x Vậy B=A-1 Ta có: A 1 x, x   x1  3x2 x1  x1  x2 x2   3 x1  x1 x  x 22  x , x  H 10   Như A-1 toán tử xác định dương Định lí 3: Nếu A toán tử dương không gian Hilbert, với x,y  X:  Ax, y    Ax, x  Ay, y  3.1 Chứng minh: 29 Khoá luận tốt nghiệp Ngô Thị Lý- K32C- Toán Rõ ràng x, y   Ax, y  dạng song tuyến tính đối xứng dương xác định không gian X áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Svacso vào dạng x, y  được: x, y   x, x y, y  bất đẳng thức (3.1) Hệ 1: Nếu A toán tử dương thì: Ax  A  Ax, x  với x  X (3.2) Quả bất đẳng thức (3.1) lấy y=Ax Ax   Ax, x . A Ax , Ax    Ax, x  A Ax Bất đẳng thức tương đương với (3.2) Hệ 2: Nếu A toán tử dương (x n)n dãy phần tử X cho (Axn,xn)  Axn  Suy từ hệ Một trường hợp đặc biệt hệ hệ : (Ax,x)=0 Ax=0 Định lý 4: Giả sử A toán tử dương không gian Hilbert X Đặt: m  inf  Ax, x  xX , x 1 M  sup Ax, x  xX , x 1 Thế thì: a, A  M 30 Khoá luận tốt nghiệp Ngô Thị Lý- K32C- Toán b, m    A, M    A   A  m, M  Chứng minh: Từ định nghĩa số m M ta có: mx   Ax, x   M x với x  X a) Giả sử x  Khi đó:  Ax, x   Ax x  A x  A Vì M  sup Ax, x   A xX , x 1 Mặt khác, theo (3.2) ta có: Ax  A  Ax, x   A M x Do đó: A  sup Ax 2  A M xX , x 1 Thành thử A  M A  M b) Đặt Am  A  m.I , thì:  Am x, x    Ax  m.x, x    Ax, x   m x  Với x  X, Am toán tử dương, nữa: inf  Am x, x   inf  Ax, x   m  x X , x 1 x X , x 1 Vì tồn dãy x n   X với xn  cho: lim  Am xn , xn   n  31 Khoá luận tốt nghiệp Ngô Thị Lý- K32C- Toán Theo hệ định lí ta có Am x n  Thành thử ta tìm dãy x n   X với xn  cho Am x n  x   : điều chứng tỏ toán tử Am  A  m.I toán tử ngược liên tục, tồn toán tử ngược liên tục 1 A m ta phải có Am x n  C x n  C với n, với C số dương Tóm lại, ta chứng minh rằng: m    A Với số  0 , ta xem toán tử Am  A  m   .I   A  mI    I  Am   I Rõ ràng Am  I toán tử dương, dó tự liên hợp, với x  X ta có: Am x   Am x  x, Am x  x   Am x  2  Am x, x    x 2   x Bất đẳng thức mặt chứng tỏ  Am   0 , mặt khác  Am   tập hợp đóng Vì: X   Am   A m    Am    Am  Nên ta thấy Am  ánh xạ không gian X lên không gian X, ta suy tồn toán tử ngược liên tục Am1  A  m   I 1 , m      A với   Bây ta xem toán tử B  MI  A Thế thì: Bx, x   Mx  Ax, x   M x   Ax, x   Với x  X, B toán tử dương, nữa: 32 Khoá luận tốt nghiệp Ngô Thị Lý- K32C- Toán inf Bx, x   inf M   Ax, x   M  sup Ax, x   xX , x 1 xX , x 1 xX , x 1 Vì vậy, theo kết vừa chứng minh , ta suy rằng: i, Toán tử B toán tử ngược liên tục B   A  MI  nên ta suy kết quả: M    A ii, Với số   , toán tử B  I có toán tử ngược liên tục B  I 1  M   I  A  1   A  M   I  1 Vì vậy: M      A với   Vì phổ   A tập trung đường thẳng thực ,và m      A, M      A với   Nên ta được:   A  m, M  Các tính chất nêu, gợi ý toán tử liên hợp có số tính chất giống với số thực, toán tử dương có số tính chất giống với số thực dương Sự tương tự làm bật kết đây: Định lí 5: Nếu A,B toán tử dương giao hoán với A B toán tử dương Chứng minh: Trước hết ta để ý đến điều nhận xét sau đây: 10, Vì AB=BA nên phép quy nạp theo k chứng tỏ AkB=BAk (k nguyên dương), từ suy B giao hoán với đa thức A, tức với toán tử có dạng: 33 Khoá luận tốt nghiệp Ngô Thị Lý- K32C- Toán a0 I  a1 A  a2 A2   am Am (a1,a2,…,am hệ số số) 20, Nếu C toán tử dương, có chuẩn C  C  C toán tử dương, có chuẩn C  C  Quả vậy, C  nên theo bất đẳng thức (3.2) ta có với x  X C  x, x  Cx, Cx   Cx  C Cx, x   Cx, x  Do C  C x, x   với x  X Hơn nữa, ta có: C  C  supC  C x, x  supCx, x   C  xX , x 1 xX , x 1 Để chứng minh định lí, ta giả thiết A  (vì không xét ) Đặt Ao=A A A1  A0  A02 A2  A1  A12 (5.1) An 1  An  A n Thì rõ ràng có An(n=0,1…) đa thức An=A Do An giao hoán với B Sử dụng điều nhận xét 20, quy nạp theo n, ta suy An toán tử dương, có chuẩn An  Cộng n+1 đẳng thức (5.1) ta được: n A   Ak2  An 1 5.2 k 0 34 Khoá luận tốt nghiệp Ngô Thị Lý- K32C- Toán Do ta có với x  X:  Ax, x     Ak2 x, x    An1x, x     Ak2 x, x    n n k 0 k 0 n k 0 Ak x (Vì An+1  0) Bất đẳng thức cho n,  chuỗi:  Ak x hội tụ với x  X k 0 Ttừ suy lim Ak x , tức là: k  lim Ak x  với x  X k  Kết hợp kết với đẳng thức (5.2) ta được: n Ax  lim  Ak2 x với x  X n  k 0 Do đó:  ABx, x   lim   A Bx, x   lim   BAk x, Ak x   n n n k 0 n k k 0 Định lí 6: Giả thử A toán tử dương không gian Hilbert X Khi tồn toán tử dương B cho B2=A Hơn nữa, T toán tử tuyến tính liên tục tùy ý giao hoán với A, T giao hoán với B Chú ý: Toán tử B thường gọi (dương) bậc hai toán tử dương A thường kí hiệu A1/2, Chứng minh: Cũng phép chứng minh định lí 5, ta giả thiết A  Do đó: 35 Khoá luận tốt nghiệp  Ax, x   Ax x  A x Ngô Thị Lý- K32C- Toán  x   x, x  Vậy  A  I C=I-A toán tử dương Để thấy chất qua trình tìm toán tử B=A1/2, ta tạm giả thiết B tồn Đặt S=I-B, B=I-S, đó: A=B2=(I-S)2=I-2S+S2 Vậy toán tử S nghiệm phương trình toán tử: S I  A  S  C  S 2 2 6.1 Đặc biệt phương trình (6.1) gợi ý cho giả phương trình phương pháp lặp Như vậy, ta đặt: S0  I 1 C  S 02 2 1 S  C  S12 2 1 S n 1  C  S n2 2 S1  Vì C  nêu rõ ràng toán tử Sn (n=1,2,…) dương Phép quy nạp theo n chứng tỏ Sn đa thức C=I-A, Sn đa thức A Đặc biệt từ suy S n giao hoán với Ta chứng tỏ rằng: I  S  S1  S   S n   6.2 36 Khoá luận tốt nghiệp Ngô Thị Lý- K32C- Toán Tức chứng tỏ S n  S n1 n  0,1,2  toán tử dương Quả vậy, n=0 ta có:  1 A 1 S  S1  I   C  I   I   I  A    2 2 Giả thiết ta chứng minh Sn-1-Sn  Khi đó:  1  1  1 S n  S n 1   C  S n21    C  S n2   S n21  S n2 2  2  2  S n 1  S n S n 1  S n   (Vì Sn giao hoán với nên ta có đẳng thức cuối cùng) Nhưng Sn-1-Sn  , Sn-1+Sn  toán tử giao hoán với nhau, theo định lí : S n  S n1  Từ dãy bất đẳng thức (6.2), suy dãy (Sn) hội tụ đơn giản đến toán tử dương S 2 Lấy x  X tùy ý Trong đẳng thức: S n1 x  Cx  S n2 x Cho n   được: Sx  1 Cx  S x ( x  X tùy ý) 2 Vậy S nghiệm phương trình (6.1) B=I-S toán tử phải tìm Ta kiểm nghiệm toán tử B thỏa mãn tất điều kiện lại định lí Giả thử T toán tử tuyến tính liên tục, giao hoán với A Vì Sn đa thức A, T giao hoán với tất Sn 37 Khoá luận tốt nghiệp Ngô Thị Lý- K32C- Toán Tức TS n x  S  T x với x  X cho n   TSx=STx với x  X Vậy T giao hoán với S, giao hoán với B=I-S Bây ta giả sử B1 toán tử dương thỏa mãn điều kiện B12=A Thế B1A=B1.B12=A.B1 Vậy B1 giao hoán với A Do giao hoán với toán tử B tìm Với x  X , ta có:     A  Ax  B  B12 x  B  B1 B  B1 x  B  B1  y Trong y  Bx  B1 x Vì :  B  B1 y, y   By, y   B1 y, y  Vì B B1 toán tử dương nên ta suy rằng: By, y   B1 y, y   Do theo hệ định lý 3: By  B1 y  Thành thử với x  X , ta có: BB  B1 x  B1 B  B1 x  Do đó: B  B1 x  B  B1 B  B1 x, x   Tức là: Bx  B1 x với x  X Vậy B1=B 3.4 Một số toán Bài 1: 38 Khoá luận tốt nghiệp Ngô Thị Lý- K32C- Toán Giả sử H không gian Hilbert, A L(H) toán tử tự liên hợp Ta gọi A toán tử dương  Ax, x  với x X Chứng minh phép chiếu trực giao lên không gian tuyến tính đóng không gian Hilbert toán tử dương Bài làm: Gọi L không gian tuyến tính đóng không gian Hilbert H P phép chiếu trực giao không gian H lên không gian L Trước hết ta chứng minh P toán tử tự liên hợp Ta biết với x  H , x  Px  x  Px Trong Px  L x  Px  L Với x, y  H , ta có: Px, x   Px, Py   y  Py   Px, Py   Px, y  Py   Px, Py  Tương tự, ta có: x, Py  Px, Py Do Px, y   x, Py  Vì Px=x, với x  L nên ta có P2=P Do Px, x   P x, x   Px, Px   , với x  H Vậy P toán tử dương Bài 2: 39 Khoá luận tốt nghiệp Ngô Thị Lý- K32C- Toán Giả sử H không gian Hilbert, A L(H) toán tử tự liên hợp compac khác không Chứng minh A toán tử dương giá trị riêng khác không A số dương Bài làm: Gọi en  hệ thống trực chuẩn đầy đủ phần tử riêng toán tử A,  n  dãy giá trị riêng tương ứng.Khi đó, với   n 1 n 1 x  H , ta có x  x0    x, en  en , Ax0  Ax   n  x, en  en Đặt  y    x, en  en , ta x  x0  y n 1  Ax, x    Ax, x0  y    Ax, x0    Ax, y    Ax, y  Vì  Ax, x0   x, Ax0   Do     Ax , x   x , e e ,     n  n  n   x, ek  ek  k 1  n1     n  x, en  n 1 Nếu n  với n  Ax, x  , với x  H Do A toán tử dương Đảo lại, A toán tử dương với n, ta có   Aen , en   n en , en   n Vì  n  với n nên n  với n Bài 3: 40 Khoá luận tốt nghiệp Ngô Thị Lý- K32C- Toán Giả sử H không gian Hilbert A l(H) toán tử tự liên hợp Chứng minh  Ax, x  với x  H  Ax, x  với x  H A toán tử dương Bài làm: Vì A toán tử tự liên hợp nên  Ax, x  số thực với xH Dễ chứng minh H \ 0 tâp liên thông H Vì hàm số thực x   Ax, x liên tục tập liên thông H \ 0  Ax0 , x0   nên  Ax1 , x1   với phần tử x  H theo định lý Bolzano-Cauchy tồn phần tử y  H \ 0 cho  Ay, y   Điều mâu thuẫn với giả thiết Vậy  Ax, x  với x  41 Khoá luận tốt nghiệp Ngô Thị Lý- K32C- Toán Kết luận Qua trình tìm hiểu, nghiên cứu khóa luận, bước đầu làm quen với cách thức làm việc khoa học, hiệu Qua củng cố thêm kiến thức giải tích hàm, đồng thời thấy phong phú, lí thú toán học Đặc biệt khóa luận nghiên cứu cách khái quát số vấn đề lí thuyết toán tử không gian Hilbert Hi vọng tài liệu góp chút cho bạn sinh viên quan tâm đến giải tích hàm nói riêng toán học nói chung Mặc dù có nhiều cố gắng, song nhiều hạn chế thời gian kiến thức nên khóa luận không tránh khỏi thiếu sót Em mong đóng góp thầy, cô giáo bạn đọc Hà Nội, tháng năm 2010 Sinh viên Ngô Thị Lý 42 Khoá luận tốt nghiệp Ngô Thị Lý- K32C- Toán Tài liệu tham khảo Phan Đức Chính (1978), Giải tích hàm (tâp 1), NXB ĐH THCN Nguyễn Minh Chương (chủ biên), Nguyễn Văn Khải, Khuất Văn Ninh, Nguyễn Văn Tuấn, Nguyễn Tường (2001), Giải tích số, NXBGD Nguyễn Phụ Hy (2006), Giải tích hàm, NXB khoa học kĩ thuật Nguyễn Phụ Hy, Hoàng Ngọc Tuấn, Nguyễn Văn Tuyên, (2007), Bài tập giải tích hàm, NXB khoa học kĩ thuật Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải, Cơ sở lí thuyết hàm giải tích hàm, NXBGD Nguyễn Xuân Liêm (1997), Giải tích hàm, NXBGD Nguyễn Xuân Liêm (1997), Bài tâp giải tích hàm, NXBGD Phan Hồng Trường (2001), Đại số tuyến tính, ĐHSPHN2 Hoàng Tụy, (2003), Hàm thực giải tích hàm, NXBĐHQGHN 43 [...]... tính bị chặn A ánh xạ không gian Hilbert X vào không gian Hilbert Y Toán tử B ánh xạ không gian Hilbert Y vào không gian Hilbert X gọi là toán tử liên hợp với toán tử A nếu:  Ax, y   x, By , x  X , y  Y 17 Khoá luận tốt nghiệp Ngô Thị Lý- K32C- Toán Toán tử liên hợp B thường được kí hiệu là A* 2.2.3 Toán tử tự liên hợp Toán tử tuyến tính bị chặn A ánh xạ không gian Hilbert H vào chính nó... Vậy A là toán tử tuyến tính 2.2 Toán tử tuyến tính liên tục 2.2.1 Toán tử tuyến tính bị chặn Cho không gian Hilbert X và Y Toán tử tuyến tính bị chặn A từ không gian X vào không gian Y gọi là bị chặn nếu tồn tại hằng số C  0 sao cho: Ax  C x , x  X Nhờ định lý 3 mệnh đề tương đương về toán tử liên tục ta suy ra A là toán tử bị chặn thì A là toán tử liên tục 2.2.2 Toán tử liên hợp Cho toán tử tuyến... k k 0 Định lí 6: Giả thử A là một toán tử dương trong không gian Hilbert X Khi đó tồn tại một toán tử dương duy nhất B sao cho B2=A Hơn nữa, nếu T là một toán tử tuyến tính liên tục thì tùy ý giao hoán với A, thì T cũng giao hoán với B Chú ý: Toán tử B thường được gọi là căn (dương) bậc hai của toán tử dương A và thường được kí hiệu là A1/2, Chứng minh: Cũng như trong phép chứng minh định lí 5, ở... Khoá luận tốt nghiệp Ngô Thị Lý- K32C- Toán Suy ra: A y  a1 y3 , a2 y 4 , ,an y n 2 ,  Chương 3 toán tử xác định dương 3.1 Định nghĩa Cho A là toán tử tuyến tính liên tục ánh xạ không gian Hilbert thực H vào chính nó Toán tử A gọi là xác định dương nếu với mọi x  H đều có  Ax, x   m x 2 , trong đó m là số dương cố định nào đó Nhận xét: toán tử A là toán tử tự liên hợp vì:  Ax, x   y, x... m y 2 Vì A là toán tử bị chặn nên Ay  A y Do đó y  2 Ay A 2 2 ( A  0 vì A là toán tử xác định dương) Từ đó suy ra: A 1 x, x    y, Ay   m y  2 Nên A-1 là toán tử xác định dương Ví dụ 28 m A x , x  H 2 2 Khoá luận tốt nghiệp Ngô Thị Lý- K32C- Toán Ta xét toán tử A trong không gian Hilbert H   2 với: Ax  2x1  3x2 , x1  x2  Ta chứng minh A là toán tử xác định dương Đặt Bx  x1... là không gian đầy hay không gian Banach Vậy không gian vectơ thực  k cùng với tích vô hướng (1.3) là không gian Hilbert Chương 2 Toán tử tuyến tính liên tục 2.1 Toán tử tuyến tính 2.1.2 Định nghĩa Cho 2 không gian tuyến tính X, Y trên cùng trường P ( P là trường số thực R hay phức C) ánh xạ A từ không gian tuyến tính X vào không gian tuyến tính Y ánh xạ A gọi là toán tử tuyến tính nếu: 15 Khoá luận...  x 22  x , x  H 5 10   Như vậy A-1 cũng là toán tử xác định dương Định lí 3: Nếu A là toán tử dương trong không gian Hilbert, thì với mọi x,y  X:  Ax, y  2   Ax, x  Ay, y  3.1 Chứng minh: 29 Khoá luận tốt nghiệp Ngô Thị Lý- K32C- Toán Rõ ràng x, y   Ax, y  là một dạng song tuyến tính đối xứng dương trong xác định trong không gian X áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Svacso vào dạng...  y, x  x, y   x, Ax 3.2 Ví dụ Ví dụ 1 Toán tử đơn vị I là toán tử xác định dương vì: Ix, x   x, x   x 2 mx 2 Khi đó ta chọn số m=1 là số dương thỏa mãn định nghĩa Ví dụ 2 Giả sử không gian Hilbert H   2 với x=(x1,x2)   2 Ax  2x1  3x2 , x1  x2  Chứng minh A là toán tử dương và tìm A 22 Khoá luận tốt nghiệp Ngô Thị Lý- K32C- Toán Ta có :  Ax, x  x1 2x1  3x2   x2 ... luận tốt nghiệp Ngô Thị Lý- K32C- Toán 1, x, x '  X  : Ax  x '   Ax  Ax ' 2, x  X   P: A.x  .Ax Khi toán tử A chỉ thỏa mãn điều kiện (1) thì A gọi là toán tử cộng tính Khi toán tử A chỉ thỏa mãn điều kiện (2) thì A gọi là toán tử thuần nhất Khi Y   thì toán tử tuyến tính A thường được gọi là phiếm hàm tuyến tính 2.1.2 Hạt nhân  Y là toán tử tuyến tính Cho A: X  Ta gọi tập... K32C- Toán  Tính tuyến tính x   x1 , x2 , , xk    k ,    Ta có: Ax  x1 , x2 ,0, ,0   x1 , x2 ,0, ,0 Suy ra: Ax  Ax + A liên tục Từ Ax  x suy ra A bị chặn.Suy ra A liên tục Ví dụ 2 Cho toán tử Ax  0, x1 ,0, x2 , , x  xn   l 2 Tìm toán tử liên hợp của A Ta có A là toán tử tuyến tính liên tục nên tồn tại toán tử liên hợp A* Giả sử A* là là toán tử liên hợp của toán tử ... đương toán tử liên tục ta suy A toán tử bị chặn A toán tử liên tục 2.2.2 Toán tử liên hợp Cho toán tử tuyến tính bị chặn A ánh xạ không gian Hilbert X vào không gian Hilbert Y Toán tử B ánh xạ không. .. trực giao lên không gian tuyến tính đóng không gian Hilbert toán tử dương Bài làm: Gọi L không gian tuyến tính đóng không gian Hilbert H P phép chiếu trực giao không gian H lên không gian L Trước... .Ax Vậy A toán tử tuyến tính 2.2 Toán tử tuyến tính liên tục 2.2.1 Toán tử tuyến tính bị chặn Cho không gian Hilbert X Y Toán tử tuyến tính bị chặn A từ không gian X vào không gian Y gọi bị