Toán tử dương trong không gian hilbert

trờng đại học s phạm hà nội 2 khoa toán ******** ngô thị lý toán tử dương trong không gian hilbert khoá luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành: Giải tích Người hướng dẫn khoa học

trờng đại học s phạm hà nội 2

khoa toán

********

ngô thị lý

toán tử dương trong không gian hilbert

khoá luận tốt nghiệp đại học

Chuyên ngành: Giải tích

Người hướng dẫn khoa học

ts nguyễn văn hùng

hà nội - 2010

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành khóa luận này, trước hết em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các thầy, cô trong tổ giải tích, khoa toán trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ em trong suốt quá trình làm khóa luận

Đặc biệt em xin chân thành cảm ơn thầy giáo hướng dẫn Tiến sĩ Nguyễn Văn Hùng đã tạo điều kiện tốt nhất và chỉ bảo tận tình cho em để em

có thể hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này

Do thời gian và kiến thức có hạn nên những vấn đề trình bày trong khóa luận tốt nghiệp không tránh khỏi thiếu sót Vì vậy em rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của thầy, cô giáo và các bạn sinh viên

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội tháng 5 năm 2010

Sinh viên

Ngô Thị Lý

Lời cam đoan

Khóa luận này là kết quả của bản thân em trong quá trình học tập nghiên cứu ở bậc đại học Bên cạnh đó, em cũng nhận được sự quan tâm, tạo điều kiện của các thầy cô giáo trong khoa toán đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình của thầy Nguyễn Văn Hùng

Vì vậy em xin khẳng định kết quả của đề tài “Toán tử dương trong

không gian Hilbert’’ không có sự trùng lặp với kết quả của các đề tài khác

Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Hà Nội tháng 5 năm 2010

Sinh viên

Ngô Thị Lý

Mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

Lí thuyết hàm và giải tích hàm là bộ môn lý thuyết được ra đời và phát triển từ những năm đầu của thế kỉ 20 Nó có tầm quan trọng, có những ứng dụng trong các ngành toán học Có thể nói giải tích hàm là một môn học có tầm quan trọng đối với sinh viên khoa toán Vì vậy việc học và nắm vững môn học này là điều rất cần thiết đối với sinh viên khoa toán

Nội dung của giải tích hàm rất phong phú, đa dạng cùng với sự mới mẻ

và cái khó của môn học này đã làm cho việc tiếp thu những kiến thức của giải tích hàm trở thành không dễ dàng đối với sinh viên khoa toán Do đó để nắm vững các kiến thức cơ bản của giải tích hàm đồng thời với quyết tâm bước

đầu nghiên cứu khoa học, em đã chọn đề tài “ Toán tử dương trong không

gian Hilbert” để làm khóa luận tốt nghiệp

2 Mục đích nghiên cứu

Bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học và tìm hiểu sâu hơn

về giải tích hàm đặc biệt là lý thuyết toán tử

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu các toán tử dương trong không gian Hilbert

4 Phương pháp nghiên cứu

Cơ sở lí luận, phân tích, tổng hợp và đánh giá

5 Cấu trúc của khóa luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận gồm 3 chương:

Chương 1: Không gian Hilbert

Chương 2: Toán tử tuyến tính liên tục

Chương 3: Toán tử xác định dương

Nội dung

Chương 1 Không gian Hilbert

1.1 Không gian Vectơ

Cho X là tập tùy ý khác rỗng trên trường P với 2 phép toán “+” và “.” Giả sử có 2 phép toán trong X:

Khi P ta gọi không gian Vectơ X là không gian Vectơ thực

KhiP ta gọi không gian Vectơ X là không gian Vectơ phức

Ví dụ

Không gian  là không gian vectơ thực K chiều với các phần tử kí hiệu klà:

x( n)=( x( n))k j1k, n0,1,2 Thật vậy

Tiên đề 1 được thỏa mãn

' x

x x x x

Tiên đề 3 được thỏa mãn

(4)    1 ,

k

j j

x j n    j n,   1 ,



Suy ra:    x    x, x  k Tiên đề 5 được thỏa mãn

(6)    1 ; ,

k

j j

Suy ra:   x x x Tiên đề 6 được thỏa mãn

j n

    Tiên đề 7 được thỏa mãn

(8)    k 1

j j

x  ( 1 là phần tử đơn vị của ) j 1 ,k Suy ra: 1.xx,  x  k

Tiên đề 8 được thỏa mãn

Vậy k

 là không gian tuyến tính thực với 2 phép toán “+” và “.” xác định như trên

1.2 Không gian định chuẩn

Ta gọi không gian định chuẩn X là không gian tuyến tính trên trường P (P là trường số thực hoặc phức) cùng với một ánh xạ từ X vào tập số thực 

.Kí hiệu là  và đọc là “chuẩn” thỏa mãn các tiên đề sau:

1, xX, x  0 , x  0 x 0

2, xX,   P, ta có: x   x

3, x,yX ta có: xy  x  y

Số x được gọi là chuẩn của vectơ x Ta kí hiệu không gian định chuẩn

là X Các tiên đề 1;2;3 gọi là hệ tiên đề chuẩn

T1, x,yX  : x,y  y,x

T2, x,y,zX : xy,z     x,z  y,z

T3, x,yX ,   P : x,y  x,y

T4, xX  : x,x  0 nếu x 

 x,x  0 nếu x  Các phần tử x,y,z… gọi là các nhân tử của tích vô hướng, số (x,y) gọi

là tích vô hướng của 2 nhân tử x và y Các tiên đề T1,T2,T3,T4 là hệ tiên đề tích vô hướng

Ví dụ: Không gian  là không gian vectơ thực k chiều với k

j y x y

x x x y y

y x

j x y x

j y x x

, , ,

, , , ,

, , ,

,

2 1 2

1 2

1 2

1

2 1 1

1 2

1

n k n n n k n n n

k n n n k n n

n k n n n k n n n

k n n

z z z y y

y z

z z x x

x

z z z y y

y x

x x z

n j n

x z

y x

1 1

.

y y

y x x

x y

x,  1 , 2 , , , 1 , 2 , ,

k n n n k n

n

y y

y x x

x y

j y x y

x x

x x x x x

x x

1.4 Phần bù trực giao

Cho V là không gian con của X Ta gọi tập xX \xV là phần bù trực

giao của V và kí hiệu: V xX xV

1, H là không gian tuyến tính trên trường P

2, H được trang bị một tích vô hướng ( , )

3, H là không gian Banach với chuẩn x   x,x xH

 cùng với tích vô hướng (1.3) là không gian Hilbert

 là không gian Banach theo chuẩn sinh ra bởi tích vô hướng (1.3)

Ta có chuẩn sinh ra bởi tích vô hướng (1.3)

     2   

1 1

x là dãy cơ bản     0 ,    

: ,  

x x x

x x

Suy ra:  n   m    n   m    n   m  

x x x

x x

………

           m    n   m  

k n k m

k n

k n

k

n

x x

x x

khi n  

Đặt       0  0 

2 0 1 0

, , ,x x k x

1

k x

Vì    0

k n

x   nên có Nk sao cho:

   

k k

n

k x

x  0   ,   

Đặt   max1, 2, , k

x n  0  1

………

   

k x

x k n  k0 

Suy ra:

2 2

0 2

0 1 1 0

k k

k x

x x

x x

Suy ra  là không gian đầy hay không gian Banach k

Vậy không gian vectơ thực k

 cùng với tích vô hướng (1.3) là không gian Hilbert

Chương 2 Toán tử tuyến tính liên tục

2.1 Toán tử tuyến tính

2.1.2 Định nghĩa

Cho 2 không gian tuyến tính X, Y trên cùng trường P ( P là trường số thực R hay phức C) ánh xạ A từ không gian tuyến tính X vào không gian tuyến tính Y ánh xạ A gọi là toán tử tuyến tính nếu:

1, '   ' '

: ,x X A x x Ax Ax

2.1.2 Hạt nhân

Cho A: X  Y là toán tử tuyến tính

Ta gọi tập xX \ Ax  là hạt nhân của A và kí hiệu là KerA Vậy KerA=xX \Ax 

 1

2 2

n n

2 1

2 2

x x

Ax Ax

n n n

Suy ra tồn tại A: l2  l2

+Chứng minh A tuyến tính

Tính cộng tính

Vậy A là toán tử tuyến tính

2.2 Toán tử tuyến tính liên tục

2.2.1 Toán tử tuyến tính bị chặn

Cho không gian Hilbert X và Y Toán tử tuyến tính bị chặn A từ không gian X vào không gian Y gọi là bị chặn nếu tồn tại hằng số C0 sao cho:

X x x C

Ax,y  x,By, xX, yY

Toán tử liên hợp B thường được kí hiệu là A*

2.2.3 Toán tử tự liên hợp

Toán tử tuyến tính bị chặn A ánh xạ không gian Hilbert H vào chính nó gọi là tự liên hợp nếu:

Ax,y  x,Ay, x,yH Toán tử tự liên hợp còn gọi là toán tử đối xứng

2.2.4 Ví dụ

Ví dụ 1

Cho A:  k k

x1,x2, ,x k  x1,x2, 0 , , 0 Thì A là toán tử tuyến tính liên tục

x Ax

n n

1

2 2

2 2

Từ Ax  x suy ra A bị chặn.Suy ra A liên tục

Ví dụ 2

Cho toán tử Ax0 ,x1 , 0 ,x2 , , x x n l2

Tìm toán tử liên hợp của A

Ta có A là toán tử tuyến tính liên tục nên tồn tại toán tử liên hợp A*

Giả sử A* là là toán tử liên hợp của toán tử A nghĩa là:

Cho toán tử Ax0 , 0 ,a1.x1,a2x2, ,,x x n l2

(an ) là dãy số phức đã cho

Tìm toán tử liên hợp của A

a M

M x

a Ax

n n n

n n

1 2 1

2 2

n n

n n k x

, 0 , 1

, 0

,

1

n n k

a x

a

k

k n

1

1

n n

n

n n n

k

a x

Vậy với a n n C

 1 bị chặn thì tồn tại

A :l2 l2

x x n  Ax0 , 0 ,a1x1,a2x2,  + A tuyến tính

Ax  , trong đó m là số dương cố định nào đó

Nhận xét: toán tử A là toán tử tự liên hợp vì:

Ta có :

Ax,x x12x1 3x2x2x1x2

2 2 1 2

Ax  với mọi số m dương

Nếu x  ta có:

2 2 1 2 2 2 1 2

0 1

2 1 0

0

'

m

m m a

 1 2 0

5 3

2 2

5 3

2 2 2

1 2 1 2

2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2

2 2 1 2

2 1 2

2 5

10 10

5

2 9

12 4

3 2

x x x x Ax

x x

x x

Ax

x x x x x x x x

Ax

x x x

x Ax

2 2 cos 5

1 2

5 2

3

5

2 sin 2 cos 2

1 2

3

5

2 cos 1 2 sin 2

2 cos 1

cos 5 1

Suy ra:    

2

5 3 5 2

5 2

3 5 2

cos 2

5 2

3 5

sup

1 , 



2

5 3

3.3 Tính chất

Định lí 1 : Nếu A là toán tử xác định dương (với hằng số m>0) và  là hằng

số nhỏ hơn m thì A I (I là toán tử đơn vị) cũng là toán tử xác định dương Chứng minh:

+ A, B là các toán tử xác định dương nên ta có:

H x x m x Ax

, ,

2 2

x Bx x Ax x Bx Ax x x B

, ,

, ,

2 2

2

Trong đó k=m+n>0

Vì vậy A+B là toán tử xác định dương

+ A là toán tử xác định dương nên Ax,xm.x 2, xH với m là số dương nào đó

Nếu   0 thì ta có:

 

A x,x  Ax,x   Ax,x m.x 2, xH.

Vì m 0 nên từ bất đẳng thức trên suy ra A là toán tử xác định dương

Định lý 2: Nếu A là toán tử xác định dương thì nó có toán tử nghịch đảo A-1

 và y n yH thì tồn tại  x n H sao cho

2 , 1 ,  

z

 thì 0 Az,zm z,z  0

Suy ra:  z,z  0

Suy ra:          

H A

Suy ra: A là toàn ánh

Vậy A là song ánh nên có toán tử nghịch đảo A-1

+ A-1 là toán tử xác định dương

Giả sử Ax,xm.x 2, xH.

Với mỗi xH ta đặt y A1x thì x Ay

Do đó:  1    2

, ,x y Ay m y x

m Ay y x x

,

Ta xét toán tử A trong không gian Hilbert 2

Bx Bx

x x x x x x x

2 1 2 1 2 1 2

1

,

2 3

, 2 3 3 2 5 1

Ax Ax

x x x

x x x x

2 1 2

1 2 1 2

1

,

2 3 2 , 3

3 2 5 1

5

2 2 1 2

Rõ ràng  x,y Ax,y là một dạng song tuyến tính đối xứng dương trong xác định trong không gian X áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Svacso vào dạng  x, y thì được:

,x A Ax Ax Ax x A Ax Ax

Bất đẳng thức này tương đương với (3.2)

Hệ quả 2: Nếu A là một toán tử dương và (xn)n là một dãy phần tử trong X sao cho (Axn,xn)0 thế thì Axn 0

Suy ra từ hệ quả 1 Một trường hợp đặc biệt của hệ quả 1 hoặc hệ quả 2

là : nếu (Ax,x)=0 thì Ax=0

1 ,

, sup

, inf

x X x

x Ax M

x Ax m

Thế thì:

M A

 A M  A m

b,   ,   và  A m,M

Chứng minh:

Từ định nghĩa các số m và M ta có:

  2 2

,x M x Ax

1 ,

, sup

A x Ax M

Mặt khác, theo (3.2) ta có:

  2 2

,

. Ax x A M x A

Do đó:

1 ,

2 2

sup

M A Ax

,

0 ,

inf ,

m x x

Theo hệ quả của định lí 3 ta có A m x n  0

Thành thử ta tìm được 1 dãy  x n  X với x n  1 và sao choA m x n  0 khi

x : điều đó chứng tỏ rằng toán tử A m  Am.I không có toán tử ngược liên tục, bởi vì nếu tồn tại toán tử ngược liên tục Am

1



thì ta phải có

C x

C

x

A m n  n  với mọi n, với C là một số dương nào đó

Tóm lại, ta đã chứng minh được rằng: m  A

Bây giờ ta hãy xem toán tử BMI A Thế thì:

Bx,x  MxAx,xM.x 2 Ax,x 0

Với mọi xX, vậy B là toán tử dương, hơn nữa:

       

1 , 1

, 1

,

0 , sup ,

inf ,

X x x

X

x

x Ax M

x Ax M x

Bx

Vì vậy, theo kết quả vừa mới chứng minh , ta suy ra rằng:

i, Toán tử B không có toán tử ngược liên tục vì B AMI nên ta suy

ra kết quả: M  A

ii, Với mọi số   0, toán tử B I có toán tử ngược liên tục

B I1 M IA 1   AM  I1.

Vì vậy: M    A với mọi   0

Vì phổ  A tập trung trên đường thẳng thực ,và

Trước hết ta hãy để ý đến 2 điều nhận xét sau đây:

10, Vì AB=BA nên phép quy nạp theo k chứng tỏ rằng Ak

B=BAk (k nguyên dương), từ đó suy ra rằng B giao hoán với mọi đa thức của A, tức là với mọi toán tử có dạng:

m A a A

a A a

C x Cx x

x C C C

2 1 1 2

2 0 0 1

n n

A

A A A

A A A

Cộng n+1 đẳng thức đầu tiên của (5.1) ta được:

 5 2

0

1 2

tử tuyến tính liên tục thì tùy ý giao hoán với A, thì T cũng giao hoán với B

Chú ý: Toán tử B thường được gọi là căn (dương) bậc hai của toán tử dương A và thường được kí hiệu là A1/2

, Chứng minh:

Cũng như trong phép chứng minh định lí 5, ở đây ta có thể giả thiết

1



A Do đó:

Ax,x Ax.x  A.x 2  x 2  x,x

Vậy 0  AI và C=I-A là một toán tử dương

Để thấy bản chất qua trình tìm toán tử B=A1/2, ta hãy tạm giả thiết rằng

B tồn tại Đặt S=I-B, thì B=I-S, do đó:

A=B2=(I-S)2=I-2S+S2 Vậy toán tử S là nghiệm của phương trình toán tử:

  .  6 1

2

1 2

1 2

1 2

S C S

A I

.

2

1 2 1 2

1 2 1

2 1

2 1 2

2 0 1

S C S

I S

Vì C0 nêu rõ ràng các toán tử Sn (n=1,2,…) đều là dương

Phép quy nạp theo n chứng tỏ rằng các Sn là những đa thức của C=I-A, vậy các Sn là các đa thức của A Đặc biệt từ đây suy ra rằng các Sn là giao hoán với nhau

Ta hãy chứng tỏ rằng:

 6 2 0

2 1

Tức là chứng tỏ rằng S n S n1 n 0 , 1 , 2  là những toán tử dương Quả vậy, khi n=0 ta có:

  0

2 2

1 2

1 2

1 2

n n

n

S S S S

S S S

C S

C S

2 2 1 2

2 1 1

2 1

2

1 2

1 2

1 2

1 2

1

(Vì các Sn giao hoán với nhau nên ta có đẳng thức cuối cùng)

Nhưng Sn-1-Sn 0 , Sn-1+Sn 0 và các toán tử này giao hoán với nhau, vậy theo định lí 3 : S n S n1  0

Từ dãy bất đẳng thức (6.2), suy ra rằng dãy (Sn) hội tụ đơn giản đến 1 toán tử dương S

Lấy xX tùy ý Trong đẳng thức: S n 1x Cx S n2x

2

1 2

2

1 2

1



 (xX tùy ý)

Vậy S là nghiệm của phương trình (6.1) và B=I-S là toán tử phải tìm

Ta hãy kiểm nghiệm rằng toán tử B thỏa mãn tất cả các điều kiện còn lại của định lí

Giả thử T là một toán tử tuyến tính liên tục, giao hoán với A

Vì các Sn là những đa thức A, vậy T giao hoán với tất cả các Sn

Tức là TS n xST xvới mọi xX cho n  thì được TSx=STx với mọi xX

Vậy T giao hoán với S, và do đó giao hoán với B=I-S

Bây giờ ta giả sử B1 là một toán tử dương nào đó thỏa mãn điều kiện B12=A Thế thì B1A=B1.B12=A.B1 Vậy B1 giao hoán với A Do đó giao hoán với toán tử B đã tìm được ở trên

Vậy B1=B

3.4 Một số bài toán

Bài 1:

Giả sử H là không gian Hilbert, AL(H) là một toán tử tự liên hợp Ta gọi A là một toán tử dương nếu

Ax,x 0 với mọi xX Chứng minh rằng phép chiếu trực giao lên một không gian con tuyến tính đóng của không gian Hilbert là một toán tử dương

Bài làm:

Gọi L là một không gian con tuyến tính đóng của không gian Hilbert H

và P là phép chiếu trực giao không gian H lên không gian con L

Trước hết ta chứng minh P là một toán tử tự liên hợp

Ta biết rằng với mọi xH,xPxxPx

Py y Py Px x Px

,

, ,

, ,

Giả sử H là một không gian Hilbert, AL(H) là một toán tử tự liên hợp compac khác không Chứng minh rằng A là một toán tử dương khi và chỉ khi mọi giá trị riêng khác không của A đều là những số dương

Bài làm:

Gọi  e n là hệ thống trực chuẩn đầy đủ các phần tử riêng của toán tử A,

 n là dãy các giá trị riêng tương ứng.Khi đó, với mỗi xH , ta có

Giả sử H là một không gian Hilbert và Al(H) là một toán tử tự liên hợp Chứng minh rằng nếu Ax,x 0 với mọi x 0 của H và Ax,x 0 với một xH nào đó thì A là một toán tử dương

Bài làm:

Vì A là một toán tử tự liên hợp nên Ax, x là một số thực với mọi

H

Dễ chứng minh được rằng H\ 0 là một tâp con liên thông của H

Vì hàm số thực xAx,x liên tục trên tập liên thông H\ 0 và

Ax0,x0 0 nên nếu Ax1,x1 0 với một phần tử x 0 nào đó của H thì theo định lý Bolzano-Cauchy tồn tại ít nhất một phần tử yH \ 0 sao cho

Ay,y 0 Điều này mâu thuẫn với giả thiết

Vậy Ax,x 0 với mọi x 0