Cho phép biến đổi bảo toàn độ đo trong không gian ergodic

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN NGUYỄN THỊ LANH CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI BẢO TOÀN ĐỘ ĐO TRONG KHÔNG GIAN ERGODIC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành : GIẢI TÍCH Người hướng dẫn khoa học: T.S TẠ NGỌC TRÍ HÀ NỘI - 2013 LỜI CẢM ƠN Em xin cảm ơn bố mẹ người thân gia đình bên cạnh động viên em suốt trình học tập Em xin chân thành cảm ơn giúp đỡ thầy cô giáo tổ Giải tích, thầy giáo cô giáo khoa toán, thầy giáo cô giáo trường ĐHSP Hà Nội bạn sinh viên Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới T.S Tạ Ngọc Trí người tận tình giúp đỡ em suốt trình hoàn thành khóa luận Do lần làm quen với công tác nghiên cứu khoa học, thời gian ngắn lực thân hạn chế, cố gắng chắn không tránh khỏi thiếu sót Em kính mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn để khóa luận em hoàn thiện thân em có thêm nhiều kiến thức Em xin chân thành cảm ơn ! Hà Nội, tháng 05 năm 2013 Sinh viên Nguyễn Thị Lanh LỜI CAM ĐOAN Khóa luận kết thân em trình học tập nghiên cứu, bên cạnh em quan tâm tạo điều kiện thầy giáo cô giáo khoa toán Trường ĐHSP Hà Nội 2, đặc biệt hướng dẫn tận tình T.S Tạ Ngọc Trí Trong nghiên cứu hoàn thành khóa luận em có tham khảo số tài liệu ghi phần tài liệu tham khảo Em xin cam đoan khóa luận trung thực, không chép từ tài liệu có sẵn, tên đề tài không trùng lặp với tên đề tài khác Hà Nội, tháng 05 năm 2013 Sinh viên Nguyễn Thị Lanh Mục lục CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 1.2 Không gian độ đo 1.1.1 Các định nghĩa 1.1.2 Các ví dụ không gian độ đo Tích phân 1.2.1 Các định nghĩa 1.2.2 Các không gian Lp 1.2.3 Các định lí hội tụ 1.2.4 Định lý biểu diễn Riesz 10 CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI BẢO TOÀN ĐỘ ĐO 2.1 2.2 2.3 11 Độ đo bất biến với phép biến đổi liên tục 11 2.1.1 Độ đo bất biến 11 2.1.2 Độ đo bất biến với phép biến đổi liên tục 12 Không gian độ đo bất biến 14 2.2.1 Sự tồn độ đo bất biến 14 2.2.2 Các tính chất M(X,T) 15 Các ví dụ phép biến đổi bảo toàn độ đo 16 2.3.1 Sử dụng định lý mở rộng Kolmogorov 16 2.3.2 Sử dụng chuỗi Fouries 19 ĐỘ ĐO TRONG KHÔNG GIAN ERGODIC 3.1 Định nghĩa Ergodic 21 21 3.2 Đặc trưng Ergodic 22 3.3 Các ví dụ 23 3.4 Sự tồn độ đo Ergodic 25 3.5 Phép truy toán Ergodic đơn trị 28 3.5.1 Định lý phép truy toán Poincare 28 3.5.2 Ergodic đơn trị 29 3.5.3 Ví dụ 31 LỜI MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Toán học môn học có vị trí quan trọng nhà trường, dạy toán dạy phương pháp suy luận khoa học Học toán rèn luyện khả tư lôgic, giải toán phương tiện tốt việc nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kĩ kĩ xảo Giải tích hàm ngành toán học xây dựng đầu kỉ XX đến xem ngành toán học cổ điển Trong trình phát triển giải tích hàm tích lũy số nội dung phong phú, kết mẫu mực, tổng quát giải tích hàm xâm nhập vào tất ngành toán học có liên quan sử dụng đến công cụ giải tích không gian vectơ Chính điều mở rộng không gian nghiên cứu cho ngành toán học Với mong muốn nghiên cứu, tìm hiểu sâu sắc môn bước đầu tiếp cận với công việc nghiên cứu khoa học với giúp đỡ T.S Tạ Ngọc Trí, em chọn đề tài:” Các phép biến đổi bảo toàn độ đo không gian Ergodic ” Cấu trúc khóa luận Khóa luận gồm chương Chương 1: Các kiến thức sở Chương 2: Các phép biến đổi bảo toàn độ đo Chương 3: Độ đo không gian Ergodic Mục đích nghiên cứu Bước đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học tìm hiểu sâu giải tích hàm, đặc biệt lý thuyết Ergodic Nghiên cứu phép biến đổi bảo toàn độ đo, độ đo Ergodic Phương pháp nghiên cứu Đọc tài liệu, phân tích, so sánh tổng hợp Chương CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 1.1.1 Không gian độ đo Các định nghĩa Định nghĩa 1.1: Một lớp M tập X gọi đại số nếu: i ∅ ∈ M; ii Nếu A, B ∈ M A ∪ B ∈ M; iii Nếu A ∈ M Ac ∈ M Định nghĩa 1.2: Một lớp β tập X gọi σ-đại số nếu: i ∅ ∈ β; ii Nếu E ∈ B phần bù X\E ∈ β; iii Nếu En ∈ β, n=1,2,3 dãy đếm tập hợp β ∞ En ∈ β n=1 Định nghĩa 1.3: Cho X không gian metric compact Một tập hợp σ-đại số Borel β(X) xác định σ -đại số nhỏ tập X mà bao hàm tất tập mở X Cho X tập β σ-đại số tập X, ta có: Định nghĩa 1.4: Một hàm số µ : β → R+ ∪ {∞} gọi độ đo nếu: i µ(∅) = 0; ii Nếu En tập hợp đếm được, đôi phân biệt β thì: ∞ ∞ µ( En ) = n=1 µ(En ) n=1 Ta gọi (X, β, µ) không gian độ đo Nếu µ(X) < ∞ µ độ đo hữu hạn Nếu µ (X) = µ độ đo xác suất (X, β, µ) tương ứng không gian xác suất Đặt M (X) = {µ|µ (X) = 1} tập hợp tất độ đo xác suất (X, β) Định nghĩa 1.5: Một dãy độ đo xác suất µn hội tụ yếu đến µ n → ∞ với f ∈ C (X, R) f dµn → f dµ X X n → ∞ Định nghĩa 1.6: Ta nói tính chất hầu khắp nơi X tập hợp điểm mà tính chất có độ đo Chẳng hạn f=g h.k.n µ ({x ∈ X|f (x) = g (x)}) = 1.1.2 Các ví dụ không gian độ đo Độ đo Lebesgue [0,1] Lấy X=[0,1] lấy M lớp hợp hữu hạn tất khoảng [0,1] Với đoạn [a,b], định nghĩa: µ ([a, b]) = b − a độ đo Lebesgue Độ đo Lebesgue R/Z Lấy X=R/Z=[0,1) mod lấy M lớp hợp hữu hạn tất khoảng [0,1).Với đoạn [a,b], định nghĩa: µ ([a, b]) = b − a độ đo Lebesgue đường tròn Độ đo Dirac Cho X không gian xác suất β σ -đại số Cho x ∈ X Định nghĩa độ đo δx bởi:   ,x ∈ A δx (A) =  ,x ∈ /A Thì δx độ đo xác suất Nó gọi độ đo Dirac x 1.2 Tích phân Cho (X, β, µ) không gian độ đo 1.2.1 Các định nghĩa Định nghĩa 1.7: Cho hàm số f : X → R đo f −1 ((c, ∞)) ∈ β với ∀c ∈ R Định nghĩa 1.8: Một hàm số f : X → R đơn giản X viết tổ hợp tuyến tính hàm đặc trưng tập β, nghĩa r f= χAi i=1   1, x ∈ A r với ∈ R, Ai ∈ β, Ai đôi không giao X = Ai , χA (x) =  0, x ∈ i=1 /A Định nghĩa 1.9: Với hàm đơn giản f : X → R Tích phân hàm f X kí f dµ xác định hiệu X r f dµ = µ (Ai ) i=1 X Định nghĩa 1.10: Với hàm đo f : X → R, f ≥ tồn dãy hàm đơn giản tăng fn cho fn ↑ f n → ∞ Khi tích phân hàm đo không âm xác định bởi: f dµ = lim fn dµ n→∞ X X Định nghĩa 1.11: Với hàm đo f : X → R, f có dấu bất kì, ta đặt f = f + − f − , với f + = max {f, 0} ≥ f − = max {−f, 0} ≥ Khi tích phân hàm đo có dấu xác định bởi: X f − dµ f + dµ − f dµ = X X Định nghĩa 1.12: f gọi khả tích X nếu: f dµ < +∞ X 1.2.2 Các không gian Lp Định nghĩa 1.13: ( Không gian L1 ) Hai hàm đo f, g : X → C tương đương f = g − h.k.n Ta viết L1 (X) = |f | dµ < +∞ L1 không gian định chuẩn với chuẩn f {f : X → C} cho = X |f | dµ X Khi đó, đặt: d(f, g) = f − g d (f, g) metric L1 (X) Định nghĩa 1.14: ( Không gian Lp ) |f |p < +∞ Lp không gian định Với p > 1, ta viết Lp (X) = {f : X → C} cho X chuẩn với chuẩn f p 1/ p |f |p dµ = X Khi đó, đặt: d (f, g) = f − g p d (f, g) metric Lp (X) Nếu (X, β, µ) không gian độ đo hữu hạn ≤ p < q Lq (X, β, µ) ⊂ Lp (X, β, µ) 1.2.3 Các định lí hội tụ Định lí 1.1: (Định lí hội tụ đơn điệu) Giả sử fn : X → R dãy tăng hàm khả tích (X, β, µ) Nếu fn dµ dãy bị chặn số thực lim fn tồn h.k.n khả tích n→∞ lim fn dµ = lim n→∞ fn dµ n→∞ X X Định lí 1.2: (Định lí hội tụ trội) Giả sử g : X → R khả tích fn : X → R dãy hàm đo với |fn | ≤ g h.k.n lim fn = f h.k.n Thì f khả tích n→∞ lim fn dµ = n→∞ X f dµ X 10 ii Nếu f ∈ C (R/Z) δn hội tụ đến f n → ∞, nghĩa là: δn − f ∞ →0 n → ∞ Một số ví dụ: i)Phép quay đường tròn Cho T (x) = x + α mod phép quay đường tròn Ta µ T-bất biến sử dụng chuỗi Fourier Ta biết: µ T-bất biến f ◦ T dµ = f dµ X X với ∀f ∈ C (X, R) Ta thấy   0, n = f (x)e2πinx dµ =  1, n = cn e2πinx f ◦ T có chuỗi Fourier Nếu f ∈ C (X, R) có chuỗi Fourier x∈Z cn e2πinα e2πinx x∈Z Ta có cn e2πinα e2πinx dµ f ◦ T dµ = X X x∈Z cn e2πinα = x∈Z e2πinx dµ X = c0 = f dµ X ii)Ánh xạ kép Cho T : X → X xác định T (x) = 2x mod Ta µ T-bất biến sử dụng chuỗi Fourier cn e2πinx f ◦ T có chuỗi Fourier Nếu f có chuỗi Fourier n n cn e2πi2nx dµ = f ◦ T dµ = X cn e2πi2nx Do X n n = c0 = f dµ X 21 e2πi2nx dµ cn X Chương ĐỘ ĐO TRONG KHÔNG GIAN ERGODIC 3.1 Định nghĩa Ergodic Định nghĩa 3.1: Cho (X, β, µ) không gian xác suất cho T : X → X phép biến đổi bảo toàn độ đo Ta nói T phép biến đổi Ergodic( µ độ đo Ergodic) nếu, với B ∈ β, có T −1 B = B ⇒ µ (B) = Chú ý: Nếu T −1 A = A với < µ (A) < cắt T : X → X thành T : A → A T : (X\A) → (X\A) với độ đo xác suất bất biến tương ứng µ ( 1−µ(A) µ ( µ(A) ∩ A) ∩ (X\A)) Cách thuận lợi để làm suy yếu điều kiện T −1 B = B đến µ (T −1 B∆B) = 0, ∆ biểu thị hiệu số đối xứng A∆B = (A\B) ∪ (B\A) Mệnh đề 3.1 Nếu B ∈ β thỏa mãn µ (T −1 B∆B) = tồn B∞ ∈ β với T −1 B∞ = B∞ µ (B∆B∞ ) = (Đặc biệt µ (B) = µ (B∞ ) ) Chứng minh Với j ≥ 0, ta có bao hàm thức j−1 T −1 B∆B ⊂ ∪ T −(i+1) B∆T −i B i=0 j−1 = ∪ T −i T −1 B∆B i=0 22 Vì T bảo toàn độ đo µ, ta có: µ T −j B∆B ≤ jµ T −1 B∆B = ∞ ∞ Đặt B∞ = ∩ ∪ T −i B j=0 i=j Ta có ∞ µ B∆ ∪ T ∞ −i i=j µ B∆T −i B = ≤ i=j ∞ Vì ∪ T −i B giảm j tăng, ta có µ (B∆B∞ ) = Ngoài i=j ∞ ∞ T −1 B∞ = ∩ ∪ T −(i+1) B j=0 i=j ∞ ∞ = ∩ ∪ T −i B = B∞ j=0 i=j Hệ 3.2 Nếu T Ergodic µ (B∆B∞ ) = µ (B) = 3.2 Đặc trưng Ergodic Mệnh đề 3.2 Cho T phép biến đổi bảo toàn độ đo (X, β, µ) Các mệnh đề sau tương đương: i T Ergodic; ii Bất kì f ∈ L1 (X, β, µ) thỏa mãn f ◦ T = f µ -h.k.n ta có f hàm µ -h.k.n Chứng minh (i) ⇒ (ii) Giả sử T Ergodic f ∈ L1 (X, β, µ) với f ◦ T = f µ -h.k.n Với k ∈ Z, n ∈ N, định nghĩa : X (k, n) = x ∈ X| 2kn ≤ f (x) ≤ k+1 2n = f −1 k k+1 , 2n 2n Vì f đo được, X (k, n) ∈ β Ta có T −1 X (k, n) ∆X (k, n) ⊂ {x ∈ X|f (T x) = f (x)} Nên µ T −1 X (k, n) ∆X (k, n) = 23 Do µ (X (k, n)) = µ (X (k, n)) = Với n cố định, ta có µ X∆ ∪ X (k, n) =0 k∈Z hợp rời Do đó, ta có µ (X (k, n)) = µ (X) = k∈Z có kn mà µ (X (k, n)) = Cho ∞ Y = ∩ X (kn , n) n=1 Thì µ (Y ) = theo cách xây dựng f hàm Y, nghĩa là, f hàm µ - h.k.n (ii) ⇒ (i) Giả sử B ∈ β với T −1 B = B ta có χB ∈ L1 (X, β, µ) χB ◦ T (x) = χB (x) ∀x ∈ X Mà χB hàm µ - h.k.n Vì µ (B) = B χB dµ = Vậy T Ergodic 3.3 Các ví dụ a)Các phép quay đường tròn Cố định α ∈ R định nghĩa T : R/Z → R/Z T (x) = x + α mod Ta biết T bảo toàn độ đo Lebesgue Định lý 3.4 Cho T (x) = x + α mod i Nếu α ∈ Q T không Ergodic ii Nếu α ∈ / Q T Ergodic Chứng minh (i) Giả sử α ∈ Q viết α = p q với p, q ∈ Z q = Định nghĩa f (x) = e2πiqx ∈ L2 (X, β, µ) 24 Giả sử T Ergodic Khi ta có f (T x) = e 2πiq x+p/q = e2πi(qx+p) = e2πiqx = f (x) Mà f không hàm Điều mâu thuẫn với mệnh đề 3.2 Vậy T không Ergodic (ii) Giả sử α ∈ / Q Giả sử f ∈ L2 (X, β, µ) cho f ◦ T = f h.k.n Giả sử f có chuỗi Fourier ∞ cn e2πinx n=−∞ Thì f ◦ T có chuỗi Fourier ∞ cn e2πinα e2πinx n=−∞ So sánh hệ số Fourier ta thấy cn = cn e2πinα với ∀n ∈ Z Khi α ∈ / Q , e2πinα = trừ n=0 Do cn = với n = Do f có chuỗi Fourier c0 , nghĩa là, f hàm h.k.n Vậy T Ergodic b)Ánh xạ kép Cho X = R/Z định nghĩa T : X → X T (x) = 2x mod Tính chất 3.5 Ánh xạ kép T Ergodic độ đo Lebesgue µ Chứng minh Cho f ∈ L2 (X, β, µ) giả sử f ◦ T = f µ -h.k.n Giả sử f có chuỗi Fourier ∞ am e2πimx trongL2 f (x) = m=−∞ Với j ≥ 0, f ◦ T j có chuỗi Fourier ∞ j am e2πim2 x m=−∞ So sánh hệ số Fourier ta thấy am = a2j m 25 với ∀m ∈ Z, j=0,1,2, Bổ đề Riemann-Lebesgue nói an → |n| → ∞ Do đó, m = 0, ta có am = a2j m → j → ∞ Do với m = ta có am = Tức f có chuỗi Fourier a0 phải số h.k.n Vậy T Ergodic c)Ánh xạ liên phân số Ánh xạ liên phân số T : [0, 1) → [0, 1) xác định bởi:   0, x = T (x) =  = mod 1, < x < x x Ta biết T bảo toàn độ đo Gauss xác định µ (B) = 3.4 ln B dx 1+x Sự tồn độ đo Ergodic Định nghĩa 3.2: µ ∈ M (X, T ) gọi điểm cực trị có µ = αµ1 + (1 − α) µ2 với µ1 , µ2 ∈ M (X, T ), < α < ta có µ = µ1 = µ2 Định lý 3.7 Các mệnh đề sau tương đương: i Độ đo xác suất T- bất biến µ Ergodic; ii µ điểm cực trị M (X, T ) Chứng minh i ⇒ ii Hiển nhiên ii ⇒ i Giả sử µ không Ergodic Khi tồn B ∈ β cho T −1 B = B < µ (B) < Ta định nghĩa độ đo xác suất µ1 µ2 X µ1 (A) = µ (A ∩ B) µ (A ∩ (X\B)) , µ2 (A) = µ (B) µ (X\B) 26 Rõ ràng µ1 = µ2 µ1 (B) = µ2 (B) = Vì T −1 B = B nên T −1 (X\B) = X\B Do ta có µ1 T −1 A = µ (T −1 A ∩ B) µ (B) µ (T −1 A ∩ T −1 B) = µ (B) = µ (A ∩ B) µ (B) = µ1 (A) Tương tự µ2 T −1 A = µ (T −1 A ∩ (X\B)) = µ2 (A) µ (X\B) nghĩa µ1 µ2 thuộc M (X, T ) Tuy nhiên, viết µ tổ hợp lồi không tầm thường µ = µ (B) µ1 + (1 − µ (B)) µ2 Vì µ không cực trị Điều mâu thuẫn với giả thiết Vậy µ Ergodic Định lý 3.8 Cho T : X → X ánh xạ liên tục không gian metric compact tồn độ đo Ergodic M (X, T ) Chứng minh Theo định lý 3.7, tương đương với chứng minh M (X, T ) có điểm cực trị Chọn dãy trù mật đếm {f i}∞ i=0 C (X, R) Xét hàm số f0 Vì ánh xạ M (X, T ) → R : µ → f0 dµ X liên tục M (X, T ) compact, tồn ν ∈ M (X, T ) cho f0 dν = f0 dµ sup µ∈M (X,T ) X X 27 Nếu định nghĩa   M0 = ν ∈ M (X, T ) |  f0 dν = f0 dµ sup µ∈M (X,T )  X X   M0 không rỗng Mà M0 đóng, compact Chúng ta xét hàm số f1 định nghĩa   M1 = ν ∈ M0 | f1 dν = sup  µ∈M0 X f1 dµ    X Lập luận M1 tập không rỗng đóng M0 Tiếp tục quy nạp, định nghĩa   Mj = ν ∈ Mj−1 | fj dν = sup  µ∈Mj−1 X X   fj dµ  thu dãy tập lồng M (X, T ) ⊃ M0 ⊃ M1 ⊃ ⊃ Mj ⊃ với Mj không rỗng đóng Bây xét giao j=∞ M∞ = ∩ Mj j=0 Nhận thấy M∞ không rỗng nên chọn µ∞ ∈ M∞ Ta µ∞ cực trị Giả sử viết µ∞ = αµ1 + (1 − α) µ2 với µ1 , µ2 ∈ M (X, T ) , < α < Ta phải µ1 = µ2 Vì {f i}∞ i=0 trù mật C (X, R) nên ta cần fj dµ2 ∀j ≥ fj dµ1 = X X Xét f0 Giả sử f0 dµ1 + (1 − α) f0 dµ∞ = α X X f0 dµ2 X 28 Trong f0 dµ∞ ≤ max   f0 dµ1 ,  X X X   f0 dµ2  Mà µ∞ ∈ M0 nên f0 dµ∞ = f0 dµ ≥ max sup µ∈M (X,T ) f0 dµ2 f0 dµ1 ,  X X X   X    Do X X X f0 dµ∞ f0 dµ2 = f0 dµ1 = Tương tự f1 ta có f1 dµ1 = X f1 dµ2 = X f1 dµ∞ X Tiếp tục quy nạp, với j ≥ fj dµ1 = X fj dµ2 X Vậy µ∞ cực trị 3.5 3.5.1 Phép truy toán Ergodic đơn trị Định lý phép truy toán Poincare Cho (X, β, µ) không gian xác suất Định lý 3.9 (Định lý phép truy toán poincare) Cho T : X → X phép biến đổi bảo toàn độ đo (X, β, µ) cho A ∈ β có µ (A) > với x ∈ A µ -h.k.n, quỹ đạo {T n x}∞ n=0 quay lại A vô hạn lần Chứng minh Đặt E = {x ∈ A|T n x ∈ A} với vô hạn n ta phải µ (A\E) = Nếu ta viết F = {x ∈ A|T n x ∈ / A∀n ≥ 1} 29 ta có đồng thức ∞ T kF ∩ A A\E = k=0 Do ta có ước lượng ∞ T kF ∩ A µ (A\E) = µ k=0 ∞ T −k F ≤µ k=0 ∞ µ T −k F ≤ k=0 Bây ta giả sử n>m T−m F ∩ T −n F = ∅ Nếu y nằm giao Tm y ∈ F ; T n−m (T m y) = T n F ∈ F ⊂ A Điều mâu thuẫn với định nghĩa F Vì T −m F ; T −n F rời Vì {T −k F }∞ n=0 họ rời nên ta có ∞ ∞ µ(T −k k=0 T −k F ) ≤ µ(X) = F ) = µ( k=0 Vì µ(T−k F ) = µ(F ) ∀k ≥ (do độ đo bảo toàn) nên số hạng phép lấy tổng có giá trị µ(F ) Tức phải có µ(F ) = Vậy µ(A\E) = 3.5.2 Ergodic đơn trị Định nghĩa 3.3 Cho (X, β) không gian độ đo cho T : X → X phép biến đổi đo Nếu có độ đo xác suất T-bất biến ta nói T Ergodic đơn trị Định lí 3.10 Cho X không gian metric compact cho T : X → X phép biến đổi liên tục Các mệnh đề sau tương đương: i T Ergodic đơn trị; ii Với f ∈ C(X) tồn số c(f ) cho với x ∈ X n → ∞ Chứng minh 30 n n−1 j=0 f (T j x) → c(f ) (ii) → (i): Giả sử µ, v độ đo xác suất T-bất biến, ta µ=v Lấy tích phân biểu thức (ii) ta có n−1 n→∞ n f ◦ T j dµ f dµ = lim j=0 X n−1 = lim n1 f j=0 X n→∞ X = ◦ T j dµ c(f ) dµ = c(f ) X Tương tự thế, ta có f dv = c(f ) X Do fµ= X f dv X µ= v (theo định lí biểu diễn Riesz) (i) → (ii) Cho M (X, T ) = {µ} Nếu (ii) theo định lí hội tụ Dominated f dµ Giả sử (ii) sai tìm f ∈ C(X) dãy ta cần phải có c (f ) = X nk ∈ N xk ∈ X cho k→∞ nk n−1 f (T j xk ) = lim j=0 f dµ X Với k ≥ 1, định nghĩa độ đo vk ∈ M (X) vk = nk nk −1 T j ∗ δx k j=0 Để f dvk = nk X nk −1 f (T j xk ) j=0 Khi vk có dãy hội tụ yếu đến độ đo v ∈ M (X, T ) Đặc biệt ta có f dv = lim f dvk = k→∞ X X f dµ X Do v = µ Điều mâu thuẫn với Ergodic đơn trị 31 3.5.3 Ví dụ Ví dụ 1: Cho T = R/Z, T : X → X : x → x+αmod1, α vô tỷ T Ergodic đơn trị (và µ= độ đo Lebesgue độ đo xác suất bất biến đơn trị) Chứng minh Cho m độ đo xác suất bất biến ta m =µ Viết ek (x) = e2πikx Thì ek (x) dm = X ek (T x) dm X = ek (x + α) dm X = e2πikα ek (x) dm X Vì α vô tỷ, k = e2πikα = nên ek (x) dm = 0.(1) X ∞ Cho f ∈ C(X) có chuỗi Fourier f dµ Với n ≥ 1, ta cho σn biểu ak ek mà a0 = k=−∞ X thị giá trị trung bình n tổng riêng Thì σn → f n → ∞ Do lim σn dm = n→∞ X f dm X Tuy nhiên sử dụng (1), ta tính toán σn dm = a0 = X X X f dµ với f ∈ C(X) Vì m = µ f dm = Do ta có f dµ X Ví dụ 2: Cho T : X → X Chứng minh rằng: XT −1 B = XB ◦ T Chứng minh Ta có XT −1 B (x) = ⇔ x ∈ T −1 B ⇔ T (x) ∈ B ⇔ XB(T (x)) = hay XT −1 B = XB ◦ T Ví dụ 3: Cho T : R2 /Z2 → R2 /Z2 xác định bởi: T (x, y) = (x + α, x + y) 32 Giả sử α ∈ / Q Bằng cách sử dụng chuỗi Fourier, chứng minh T Ergodic bảo toàn độ đo Lebesgue Chứng minh: Giả sử f ∈ L2 (X, β, µ) có chuỗi Fourier: c(n,m) e2πi(nx+my) (n,m)∈Z2 f ◦ T có chuỗi Fourier: c(n,m) e2πi(n(x+α)+m(x+y)) = (n,m)∈Z2 c(n,m) e2πiα e2πi((n+m)x+my) (n,m)∈Z2 So sánh hệ số ta có: c(n+m,m) = e2πinα c(n,m) Giả sử m = Khi với ∀j > 0, c(n+jm,m) = = c(n+m,m) = c(n,m) với |e2πinα | = Nếu m = (n + jm, m) → ∞ j → ∞ Sử dụng bổ đề Riemann-Lebesgue ta có c(n,m) = m = Khi f có chuỗi Fourier: c(n,0) e2πinx (n,0)∈Z2 f ◦ T có chuỗi Fourier: c(n,0) e2πinα e2πinx (n,0)∈Z2 So sánh hệ số ta có: c(n,0) = c(n,0) e2πinα Giả sử n = Khi α ∈ / Q, e2πinα = c(n,0) = trừ n=0 Do f có chuỗi Fourier c(0,0) Vậy T Ergodic bảo toàn độ đo Lebesgue 33 KẾT LUẬN Khóa luận trình bày số vấn đề sau: -Các phép biến đổi bảo toàn độ đo ví dụ phép biến đổi bảo toàn độ đo - Độ đo Ergodic số ví dụ độ đo Ergodic Đây cố gắng thân em dựa vào việc tìm hiểu số tài liệu tham khảo Đặc biệt hoàn thành khòa luận em hướng dẫn tận tình T.S Tạ Ngọc Trí Em xin chân thành cảm ơn ! 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Phụ Hy-Giáo trình giải tích hàm, Đại học sư phạm Hà Nội 2(1992) [2] Bài giảng Dr Charles.Walkden-Đại học tổng hợp manchester Xem đường link: www.maths.manchester.ac.uk/ cwalkden/ergodic-theory/ergodic-theory.html 35 [...]... TOÀN ĐỘ ĐO 2.1 2.1.1 Độ đo bất biến với phép biến đổi liên tục Độ đo bất biến Cho (X, β, µ) là một không gian xác suất Một phép biến đổi T : X → X được gọi là đo được nếu T −1 B ∈ β với ∀B ∈ β Định nghĩa 2.1: Ta nói rằng T là một phép biến đổi bảo toàn độ đo hay µ được gọi là độ đo T-bất biến nếu µ(T −1 B) = µ(B) với ∀B ∈ β Bổ đề 2.1 Cho T : X → X Các mệnh đề sau tương đương: i T là một phép biến đổi. .. n=0 Do đó f có chuỗi Fourier c(0,0) Vậy T là Ergodic bảo toàn độ đo Lebesgue 33 KẾT LUẬN Khóa luận này trình bày một số vấn đề sau: -Các phép biến đổi bảo toàn độ đo và các ví dụ về các phép biến đổi bảo toàn độ đo - Độ đo Ergodic và một số ví dụ về độ đo Ergodic Đây là những cố gắng của bản thân em dựa vào việc tìm hiểu một số tài liệu tham khảo Đặc biệt trong khi hoàn thành khòa luận này em đã được... đơn trị Định nghĩa 3.3 Cho (X, β) là không gian độ đo và cho T : X → X là một phép biến đổi đo được Nếu có duy nhất độ đo xác suất T-bất biến thì ta nói rằng T là Ergodic đơn trị Định lí 3.10 Cho X là không gian metric compact và cho T : X → X là một phép biến đổi liên tục Các mệnh đề sau đây là tương đương: i T là Ergodic đơn trị; ii Với mỗi f ∈ C(X) tồn tại một hằng số c(f ) sao cho với x ∈ X khi n... ω2 xác định cùng một hàm số tuyến tính Theo tính duy nhất trong định lý biểu diễn Riesz có: T∗ µ = µ 2.2 2.2.1 Không gian của các độ đo bất biến Sự tồn tại của các độ đo bất biến Định lý 2.4 Cho T : X → X là một ánh xạ liên tục của một không gian metric compact thì tồn tại ít nhất một độ đo xác suất T-bất biến Chứng minh Cho σ ∈ M (X) là một độ đo xác suất Định nghĩa dãy µn ∈ M (X) bởi µn = 1 n n−1 T... nhất trong định lý mở rộng Kolmogorov, ta thấy T∗ µ = µ, nghĩa là độ đo Lebesgue là T- bất biến iii)Ánh xạ liên phân số Ánh xạ liên phân số T : [0, 1) → [0, 1) được xác định bởi:   0, x = 0 T (x) =  1 = 1 mod 1, 0 < x < 1 x x Dễ dàng thấy rằng ánh xạ liên phân số không bảo toàn độ đo Lebesgue vì tồn tại B ∈ β sao cho T −1 B và B có độ đo khác nhau Mặc dù ánh xạ liên phân số không bảo toàn độ đo Lebesgue... (X, β, µ) là một không gian xác suất và cho T : X → X là một phép biến đổi bảo toàn độ đo Ta nói rằng T là một phép biến đổi Ergodic( hoặc µ là một độ đo Ergodic) nếu, với B ∈ β, có T −1 B = B ⇒ µ (B) = 0 hoặc 1 Chú ý: Nếu T −1 A = A với 0 < µ (A) < 1 thì có thể cắt T : X → X thành T : A → A và T : (X\A) → (X\A) với các độ đo xác suất bất biến tương ứng 1 µ ( 1−µ(A) 1 µ ( µ(A) ∩ A) và ∩ (X\A)) Cách... ii Cho µn là một dãy trong M(X,T) và giả sử rằng µn hội tụ yếu đến µ ∈ M (X, T ) khi n → ∞ Với f ∈ C (X), f ◦ T dµn f dµn = X X Cho n → ∞, ta có f ◦ T dµ f dµ = X X Suy ra µ ∈ M (X, T ) Điều này chỉ ra rằng M (X, T ) là đóng Nó là compact vì nó là tập con đóng của tập compact M(X 16 2.3 Các ví dụ về các phép biến đổi bảo toàn độ đo Phần này chúng ta sẽ đưa ra một số ví dụ về các phép biến đổi bảo toàn. .. mệnh đề sau tương đương: i T là một phép biến đổi bảo toàn độ đo; ii Với mỗi f ∈ L1 (X, β, µ), ta có f ◦ T dµ f dµ = X X Chứng minh: (ii) ⇒ (i) Với B ∈ β, χB ∈ L1 (X, β, µ) và χB ◦ T = χT −1 B , ta có χB ◦ T dµ χB dµ = µ (B) = X X 12 χT −1 B dµ = µ T −1 B = X Vậy µ là độ đo T- bất biến (i) ⇒ (ii) Ngược lại, giả sử rằng T là một phép biến đổi bảo toàn độ đo Với hàm đặc trưng bất kì χB , B ∈ β, χB dµ =... một độ đo duy nhất µ : β (M ) → R+ là mở rộng của µ : M → R+ Hệ quả 2.7 Cho M là một đại số các tập con của X Giả sử µ1 và µ2 là 2 độ đo trên β (M ) sao cho µ1 (E) = µ2 (E) với ∀E ∈ M thì µ1 = µ2 trên β (M ) Để chỉ ra T bảo toàn một độ đo xác suất µ ta phải chỉ ra rằng T∗ µ = µ Bằng hệ quả trên ta chỉ cần chỉ ra rằng T∗ µ = µ trên một đại số Tức để chỉ ra rằng T xác định trên X bảo toàn một độ đo. .. ii)Ánh xạ kép Cho T : X → X xác định bởi T (x) = 2x mod 1 Ta sẽ chỉ ra rằng µ là T-bất biến bằng sử dụng chuỗi Fourier cn e2πinx thì f ◦ T có chuỗi Fourier Nếu f có chuỗi Fourier n n cn e2πi2nx dµ = f ◦ T dµ = X cn e2πi2nx Do đó X n n = c0 = f dµ X 21 e2πi2nx dµ cn X Chương 3 ĐỘ ĐO TRONG KHÔNG GIAN ERGODIC 3.1 Định nghĩa của Ergodic Định nghĩa 3.1: Cho (X, β, µ) là một không gian xác suất và cho T : X ... Chương ĐỘ ĐO TRONG KHÔNG GIAN ERGODIC 3.1 Định nghĩa Ergodic Định nghĩa 3.1: Cho (X, β, µ) không gian xác suất cho T : X → X phép biến đổi bảo toàn độ đo Ta nói T phép biến đổi Ergodic( µ độ đo Ergodic) ... Vậy T Ergodic bảo toàn độ đo Lebesgue 33 KẾT LUẬN Khóa luận trình bày số vấn đề sau: -Các phép biến đổi bảo toàn độ đo ví dụ phép biến đổi bảo toàn độ đo - Độ đo Ergodic số ví dụ độ đo Ergodic. .. Thì tồn độ đo xác suất Borel µ ∈ M (X) cho ω (f ) = f dµ X 11 Chương CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI BẢO TOÀN ĐỘ ĐO 2.1 2.1.1 Độ đo bất biến với phép biến đổi liên tục Độ đo bất biến Cho (X, β, µ) không gian