Độ đo trong không gian metric

Khoỏ lun tt nghip TRNG I HC S PHM H NI KHOA TON ***** TRN TH PHNG O TRONG KHễNG GIAN METRIC KHO LUN TT NGHIP I HC CHUYấN NGNH: GII TCH Ngi hng dn khoa hc GVC.Th.S Phựng c Thng H NI - 2012 Trn Th Phng K34B - S phm Toỏn Khoỏ lun tt nghip LI CM N Trong thi gian hc ti khoa Toỏn, trng i hc s phm H Ni c s ch dn, dy d tn tỡnh ca cỏc thy cụ giỏo, em ó tip thu c nhiu tri thc khoa hc, kinh nghim cng nh phng phỏp hc mi v bc u ó c lm quen vi vic nghiờn cu khoa hc Qua õy em xin gi li cm n sõu sc ti ton th cỏc thy cụ khoa Toỏn, nhng ngi ó luụn chm lo, dỡu dt giỳp chỳng em trng thnh nh ngy hụm c bit em xin chõn thnh cm n thy Phựng c Thng ngi ó trc tip hng dn, ch bo v úng gúp nhiu ý kin quý bỏu thi gian em thc hin khoỏ lun ny H Ni, ngy 01 thỏng 05 nm 2012 Sinh viờn o Th Hng Võn Trn Th Phng K34B - S phm Toỏn Khoỏ lun tt nghip LI CAM OAN Khoỏ lun ny l kt qu ca bn thõn em quỏ trỡnh hc v nghiờn cu Bờn cnh ú em c s quan tõm, to iu kin ca cỏc thy cụ giỏo khoa Toỏn, c bit l s hng dn tn tỡnh ca thy Phựng c Thng Trong quỏ trỡnh nghiờn cu hon thnh bn khoỏ lun em cú tham kho mt s ti liu ó ghi phn Ti liu tham kho Vỡ vy em xin khng nh kt qu ca ti ng dng ca phộp tớnh tớch phõn toỏn s cp l thnh qu ca riờng cỏ nhõn em, khụng trựng lp vi bt k ti no ó c cụng b H Ni, ngy 01 thỏng 05 nm 2012 Sinh viờn o Th Hng Võn Trn Th Phng K34B - S phm Toỏn Khoỏ lun tt nghip MC LC LI CM N LI CAM OAN LI NểI U Chng 1: MT S KIN THC C BN 1.1 nh ngha tớch phõn 1.2 Mt s tớnh cht c bn v nh lý v tớch phõn Chng 2: MT S NG DNG CA TCH PHN TRONG I S 2.1 ng dng ca phộp tớnh tớch phõn chng minh ng thc 10 2.1.1 C s lý thuyt 10 2.1.2 Mt s vớ d 10 2.1.3 Bi ỏp dng 12 2.2 ng dng ca phộp tớnh tớch phõn chng minh bt ng thc 13 2.2.1 C s lý thuyt 13 2.2.2 Mt s vớ d 13 2.2.3 Bi ỏp dng 17 2.3 ng dng ca phộp tớnh tớch phõn bi toỏn cc tr 18 2.3.1 C s lý thuyt 18 2.3.2 Mt s vớ d 18 2.3.3 Bi ỏp dng 21 2.4 ng dng ca phộp tớnh tớch phõn chng minh s tn ti nghim 23 2.4.1 C s lý thuyt 23 2.4.2 Mt s vớ d 23 Trn Th Phng K34B - S phm Toỏn Khoỏ lun tt nghip 2.4.2 Bi ỏp dng 26 2.5 ng dng ca phộp tớnh tớch phõn gii phng trỡnh 26 2.5.1 C s lý thuyt 26 2.5.2 Mt s vớ d 26 2.5.3 Bi ỏp dng 29 2.6 ng dng ca phộp tớnh tớch phõn tớnh gii hn ca dóy 29 2.6.1 C s lý thuyt 29 2.6.2 Mt s vớ d 30 2.6.3 Bi ỏp dng 34 Chng 3: NG DNG CA TCH PHN TRONG HèNH HC 3.1 ng dng ca phộp tớnh tớch phõn tớnh din tớch gia hai ng cong 35 3.1.1 C s lý thuyt 35 3.1.2 Mt s vớ d 36 3.1.3 Bi ỏp dng 39 3.2 ng dng ca phộp tớnh tớch phõn tớnh th tớch trũn xoay 40 3.2.1 C s lý thuyt 40 3.2.2 Mt s vớ d 42 3.2.3 Bi ỏp dng 43 KT LUN 45 TI LIU THAM KHO 46 Trn Th Phng K34B - S phm Toỏn Khoỏ lun tt nghip LI NểI U I Lí DO CHN TI Gii tớch toỏn hc l mt nhng mụn hc c bn ca chng trỡnh khoa Toỏn Nú úng vai trũ quan trng vic hc ngnh Toỏn Gii tớch Toỏn hc cú nhiu ng dng nghiờn cu Toỏn hc v cỏc ngnh khoa hc khỏc Bi vy vic nm vng mụn hc ny l yờu cu rt cn thit phi t c i vi mi sinh viờn khoa Toỏn Trong quỏ trỡnh hc mụn Gii tớch toỏn hc trng i hc, lý thuyt o rt c quan tõm Khi nghiờn cu v o ta ó nghiờn cu o trờn khụng gian tru tng bt k ( W, ), ú W l no ú v l _trng no ú gm cỏc ca W Trong chng ny ta s nghiờn cu cỏc tớnh cht ca o ly W= X l khụng gian metric (hoc khụng gian tụpụ) v = ( X ) l _trng Borel ca X (tc l _trng nht cha cỏc m) Vy khụng gian metric o cú nhng tớnh cht gỡ? ti ny s giỳp chỳng ta nghiờn cu v tỡm hiu v lý thuyt o khụng gian metric II MC CH NGHIấN CU Bc u lm quen vi nghiờn cu khoa hc, cung cp cho sinh viờn nhng kin thc v mụn gii tớch m ni dung ch yu l lý thuyt o khụng gian metric T ú nõng cao nng lc t logic c thự ca b mụn III NHIM V NGHIấN CU - a nhng kin thc v khụng gian metric, o v nhng kin thc liờn quan n o Nghiờn cu nhng kin thc v o khụng gian metric Trn Th Phng K34B - S phm Toỏn Khoỏ lun tt nghip IV I TNG V PHM VI NGHIấN CU - i tng nghiờn cu: o khụng gian metric - Phm vi nghiờn cu: nhng kin thc c bn v ụ o khụng gian metric V PHNG PHP NGHIấN CU Phng phỏp nghiờn cu lý lun v ỏnh giỏ tng hp Trn Th Phng K34B - S phm Toỏn Khoỏ lun tt nghip Chng KIN THC CHUN B Khụng gian metric nh ngha Ta gi khụng gian metric mt hp X ặ cựng vi mt ỏnh x d t tớch Descartes X X vo hp s thc Ă tha cỏc tiờn sau õy: 1) " x , y ẻ X , d (x , y ) 0; d (x , y ) = x = y ; 2) " x , y ẻ X , d (x , y ) = d (y , x ) ; 3) " x , y , z ẻ X , d (x , y ) Ê d (x , z ) + d (z , y ) ; nh x d gi l metric trờn X , s d (x , y ) gi l khong cỏch gia hai phn t x v y Khụng gian metric c kớ hiu l M = (X , d ) Vớ d: a) Vi hai phn t bt k x , y ẻ Ă ta t: d (x , y ) = x - y (1) D dng kim tra h thc (1) xỏc nh mt metric trờn Ă Khụng gian tng ng l mt khụng gian metric c kớ hiu l Ă b) Vi hai vecto bt k x = (x 1, , x k ), y = (y 1, , y k ) thuc khụng gian vecto thc k chiu Ă k ta t: k ( xj - yj d (x , y ) = j= ) (2) D dng thy h thc (2) tha cỏc tiờn v metric Vỡ vy h thc (2) xỏc nh mt metric trờn khụng gian Ă k Khụng gian metric tng ng kớ hiu l Ă k Trn Th Phng v thng c gi l khụng gian Eukleides K34B - S phm Toỏn Khoỏ lun tt nghip nh ngha Cho khụng gian metric M = ( X , d ) Dóy im (x n ) è X gi l dóy c bn M nu : " e > 0, $ n ẻ Ơ *, " m , n n 0, d (x n , x m ) < e Hay lim d (x n , x m ) = n ,m đ Ơ D dng thy mi dóy im (x n ) è X hi t M u l dóy c bn nh ngha Khụng gian metric M = ( X , d ) gi l khụng gian , nu mi dóy c bn khụng gian ny hi t Vớ d: a) Khụng gian metric Ă b) Khụng gian Ă k l khụng gian l khụng gian nh ngha Mt khụng gian metric X c gi l kh ly nu nú cú mt hu hn hoc m c trự mt X Khụng gian tụpụ 2.1 nh ngha v vớ d nh ngha Cho X l mt hp tựy ý Ta gi l tụpụ trờn X mt lp cỏc hp t ca X tha cỏc tiờn : 1) ặ, X ẻ t 2) G a ẻ t , " a ẻ L thỡ UG a ẻ t ; aẻ L n 3) Nu G j ẻ t ,( j = 1, n ) thỡ I Gj ẻ t j= Trn Th Phng K34B - S phm Toỏn Khoỏ lun tt nghip Ta gi khụng gian tụpụ mt cp ( X , t ) , ú X l mt hp, t l mt tụpụ trờn X Ta gi mi U ẻ t l m Phn bự ca m c gi l úng Vớ d: a) Cho X ặ l mt hp tựy ý Khi ú t = {ặ, X } l mt tụpụ trờn X , gi l tụpụ thụ H s = P (X ) tt c cỏc hp ca X cng l tụpụ trờn X , gi l tụpụ ri rc Cỏc tụpụ thụ v tụpụ ri rc l cỏc tụpụ tm thng trờn X b) Mi khụng gian metric u l khụng gian tụpụ vi tụpụ t l lp tt c cỏc hp m khụng gian metric ú, gi l tụpụ sinh bi metric hay tụpụ metric Tụpụ sinh bi metric khụng gian Euclide Ă k cũn gi l tụpụ t nhiờn Ă k 2.2 Lõn cn C s lõn cn, c s tụpụ nh ngha Gi s ( X , t ) l khụng gian tụ pụ, A è X Ta gi l lõn cn m ca A mt hp m cha A ; Ta gi l lõn cn ca A mt hp cha mt lõn cn m ca A ; Nu A l mt hp gm ch mt im thỡ tng ng ta cú cỏc khỏi nim lõn cn m, lõn cn ca mt im nh ngha Gi s ( X , t ) l khụng gian tụ pụ Mt h V nhng lõn cn ca im x ẻ X c gi l mt c s lõn cn ca x nu vi mi lõn cn U ca x , tn ti V ẻ V cho V è U H cỏc m c gi l c s lõn cn ca tụpụ t , nu vi mi m U v vi mi x ẻ U tn ti V ẻ Trn Th Phng cho x ẻ V è U 10 K34B - S phm Toỏn Khoỏ lun tt nghip 3.3 nh lớ Gi s X l khụng gian metric kh ly v , ú mi o xỏc sut X l Radon Chng minh Vỡ X kh ly nờn cú th ph X bng mt s m c cỏc hỡnh cu úng bỏn kớnh :X = n Ơ U[B ] Theo tớnh liờn tc ca o $ kn ẻ Ơ cho nj j= kn m( U[B nj ] j= kn t X n = e 2n Ơ U [B n ] v K e = j I X n Rừ rng K e l úng v hon ton b n= j= chn Do ú, K e l compact (vỡ X ) Hn na, ta cú Ơ m(X \ K e ) Ê e = e n n=1 Ơ m( X \ X n ) < n=1 T nh lớ 2.5 v mnh 3.2 ta suy rng m l Radon 3.4 nh lớ Lusin Gi s l o xỏc sut Radon khụng gian tụpụ hon ton chớnh quy X v f : X đ Ă l hm s o c (theo Borel) Khi ú, " e > $ K e ẻ cho m(X \ K e ) < e v f \ K e liờn tc Chng minh Gi s {fn } l dóy hm bc thang hi t ti f Theo nh lớ Egorov " e > $ A e ẻ B ( X ) cho m(X \ A e ) < e v fn hi t u ti f trờn Ae Hin nhiờn, fn cng l hm bc thang trờn Ae , nờn cú th biu din fn di dng kn f n Trn Th Phng = x n 1A j= j kn , Ae = nj Anj , { Anj } B ( X ) j= 27 K34B - S phm Toỏn Khoỏ lun tt nghip Bõy gi cú K nj ẻ cho K nj è Anj v m(Anj \ K nj ) < e (vỡ 4n kn Radon) kn t K n = K nj Bi vỡ X hon ton chớnh quy, fn bng hng s trờn K nj v j= Ơ K nj úng, ri nhau, nờn fn \ K n liờn tc t K e = K n Rừ rng K e ẻ I n= v m( X \ K e ) = m(X \ A e ) + m(A e \ K e ) Ơ Ê m( X \ A e ) + m(Ae \ K n ) < n=1 e + Ơ n=1 kn e = e kn n Cui cựng, K e è K n , nờn f \ K e liờn tc (bi vỡ nú l gii hn u ca dóy hm liờn tc fn \ K e ) Giỏ ca o Gi s l o xỏc sut khụng gian tụpụ X Ta t S m = { F ẻ F : m(F ) = }, tc l, S m l giao ca tt c cỏc úng cú o Tt nhiờn, S m l úng, nhng khụng cú gỡ m bo cú o 4.1 nh ngha Núi rng, X cú giỏ nu m(S m ) = v ú, S m c gi l giỏ ca o m Nh vy, giỏ ca o m l úng nht cú o 4.2 Mnh Gi s X l khụng gian tụpụ cú c s m c Khi ú, mi o xỏc sut X cú giỏ Trn Th Phng 28 K34B - S phm Toỏn Khoỏ lun tt nghip Chng minh Rừ rng: S mc = {G ẻ G : m(G ) = }, tc l, S mc c ph bi h cỏc m cú o Vỡ c s lõn cn ca X l m c, nờn mi G m vi m(G ) = l hp m c cỏc O ẻ vi m(O ) = T ú suy ra, m(S mc ) = hay m(S m) = 4.3 nh lớ Nu X l khụng gian metric kh ly thỡ mi o xỏc sut X cú giỏ 4.4 nh lớ Nu l o xỏc sut Radon khụng gian tụpụ bt k thỡ cú giỏ Chng minh Gi s ngc li m(S m) < , ú m(S mc ) > Vỡ vy, K cho K è S c = {G ẻ G : m(G ) = }, v m(K ) > Mt khỏc K compact, nờn tn ti mt s hu hn cỏc m cú o v hp ca chỳng ph K T ú suy m(K ) = , vụ lớ Vy, m(S m) = tc l m cú giỏ 4.5 Mnh Trong mi trng hp S m = Q m Chng minh Gi s x ẻ S m Nu x ẽ Q m thỡ $ G ẻ G , x ẻ G cho m(G ) = hay m(G c ) = Vy x ẻ S m è G c iu ú vụ lớ (vỡ x ẻ G ) Núi cỏch khỏc, S m è Qm Ngc li, gi s x ẻ Q m Nu x ẽ S m thỡ $ F ẻ F , x ẽ F cho m(F ) = Ly G = F c Ta cú x ẻ G , m(G ) = iu ú vụ lớ (vỡ x ẻ Q m , nờn m(G ) > ) Trn Th Phng 29 K34B - S phm Toỏn Khoỏ lun tt nghip Vy Q m è S m Ta cú iu phi chng minh Hi t yu ca o Hi t yu ca o l mt nhng khỏi nim rt quan trng ca lý thuyt o v cú nhiu ỏp dng lý thuyt xỏc sut Hu ht cỏc nh lý gii hn quen thuc ca lý thuyt xỏc sut u hiu theo ngha hi t yu 5.1 nh ngha Gi s X l khụng gian tụpụ Ta kớ hiu P (X ) l tt c cỏc o xỏc sut (Borel) X Bõy gi ta s gn cho P (X ) mt tụpụ t O m( f1, , fn ; e1, , en ) = {n ẻ P ( X ) : ũ fkd n - ú f k Cb ( X ), k k 1, , n ũ f dm < k ek , " k = 1, , n } D dng nghim li rng, h cỏc nh th lp thnh mt c s lõn cn (tụpụ) Ta gi tụpụ (duy nht) sinh t c s ny l tụpụ yu P (X ) 5.2 nh ngha Gi s P ( X ) l mt li v P ( X ) Núi rng hi t yu ti (v vit ), nu li hi t ti tụpụ yu (núi trờn) Tt nhiờn, v ch lim fd fd f Cb ( X ) c bit, nu n l mt dóy, thỡ n v ch lim fd n fd n 5.3 Tớnh cht nh lớ Gi s X l khụng gian metric v P ( X ) l mt li Cỏc iu khng nh sau õy l tng ng vi nhau: Trn Th Phng 30 K34B - S phm Toỏn Khoỏ lun tt nghip a) ; b) lim gd gd " g ẻ U ( X ) , ú U ( X ) l gm tt c cỏc hm b chn v liờn tc u trờn X ; c) lim ( F ) ( F ) , F F ; d) lim (G ) (G ), G G ; e) lim ma (A ) = m(A ) " A ẻ B (X ) cho m( ả A ) = , ú ả A l biờn a ca A Chng minh Ta s tin hnh chng minh theo s sau: ( a ) (b) (c) ( d ) (e) (a ) (a ) đ (b) l tm thng vỡ U ( X ) è Cb (X ) (b) đ (c ) Gi s F F Khi ú, cú Gn G cho G n ] F (vỡ khụng gian metric mi úng l mt G ) Do ú, f n U ( X ) cho 1F f n 1G n T ú v t (b) ln lt suy ma (F ) = ũ dm F a Ê ũ f dm , n a lim a ma (F ) Ê lim a ũ fnd ma Ê ũ1 Cho n đ Ơ ta cú lim a ma (F ) Ê m(F ) (vỡ Gn (c) (d ) l tm thng, vỡ Gn d m Ê m(G n ) F ) (F c ) (F ) ự (d ) (e) Gi s ộ ởờA ỷỳ (A ) l bao kớn (phn trong) ca A Tt nhiờn, A è A è [A ] Nu (A) , thỡ ([ A]) ( A0 ) ( A) vỡ A [ A] \ A0 v ú lim ( A) lim ([ A]) ([ A]) ( A) (theo d ) đ c ) ), Trn Th Phng 31 K34B - S phm Toỏn Khoỏ lun tt nghip lim ( A) lim ( A0 ) ( A0 ) ( A) (theo d ) ) (e) (a ) Gi s f ẻ C b (X ) Xột o nh f ( ) : f ( )( B) x X : f ( x) B , ú B l Borel bt k ca ng thng thc Vỡ f b chn, nờn tn ti khong (a, b) hu hn cho f ( m)(a, b) = ó bit rng, f ( ) ch cú mt s m c im trung, nờn " e > 0, $ {t 0, , t m } cho 1) a = t < t < < t m = b ; 2) a < f (x ) < b x X ; 3) t j t j 4) x X : f ( x) t j j 1, , m j 1, , m; m t A j x : t j f ( x) t j Rừ rng X A j j Ngoi ra, A j \ A0j x : f ( x) t j x : f ( x) t j Do ú, (A j ) v vỡ vy, t (e ) ta suy lim ( A j ) ( A j ) j 1, , m m t f * = t j - 11A Ta ln lt cú: j j= f * ( x ) f ( x) x X (do (3)), | fd fd | | f f * | d | f * f | d | f * d f * d | m ( A j ) ( A j ) t j , j lim fd fd 0, f Cb ( X ) iu ú hon ton chng minh nh lý Trn Th Phng 32 K34B - S phm Toỏn Khoỏ lun tt nghip Compact tng i tụpụ yu Mt nhng kt qu quan trng nht ca hi t yu l tiờu chun v tớnh compact tng i Prohorov l tỏc gi ca tiờu chun ni ting ny 6.1 iu kin ( , K ) ca Prohorov Gi s X l khụng gian tụpụ bt k v P ( X ) Ta núi rng, tha iu kin ( , K ) nu: 1) mi l o Radon; 2) 0, K cho sup m( X \ K e ) < e G Tp K e ch ph thuc vo , khụng ph thuc vo 6.2 iu kiờn ca compact tng i yu Ta s chng minh iu kin ( , K ) l iu kin compact tng i yu Gi s (, A ,P) l khụng gian cú o xỏc sut P gi s C Khi ú, rừ rng C ầ A = {C ầ A : A ẻ A } l _trng v gi ú l vt ca _trng trờn C Xột o ngoi caC : P * (C ) = inf{P(A):C è A ẻ A } Ta t m(C ầ A ) = (A ) " A ẻ B m l o xỏc sut trờn C ầ A cn v l * (C)=1 Chng minh Cn Gi s l o xỏc sut trờn C ầ A Khi ú, " A ẫ C v A ẻ , P (A ) = m(C ầ A ) = m(C ) = Do ú P * (C ) = Trn Th Phng 33 K34B - S phm Toỏn Khoỏ lun tt nghip u tiờn ta phi ch rng, m c xỏc nh ỳng n, ngha l, nu C ầ A1 = C ầ A2 , A1, A2 ẻ thỡ P (A1 ) = P (A2 ) Tht vy, trng hp ú ta cú: C ầ (A1 D A2 ) = ặ T ú suy rng, nu P * (C ) = thỡ P (A1 D A2 ) = hay P (A1 ) = P (A2 ) Tớnh khụng õm, chun húa v _cng tớnh ca l hin nhiờn 6.3 nh lớ Gi s X l khụng gian metric kh ly Khi ú, nu G ẻ P ( X ) tha iu kin ( , K ) thỡ G l compact tng i yu Chng minh Gi s X = I Ơ t (A ) = m(X ầ A ) m " A ẻ B ( X ) ẻ P (X ) chng minh G l D dng thy rng, nu m ẻ P (X ) thỡ m compact tng i yu, ta phi ch rng, mi li {ma }è G cú mt li hi t yu a }è P (X ) l khụng gian compact Gi s Tht vy, li tng ng {m a ị m ẻ P (X ) Theo gi thit, G ẻ P (X ) tha iu kin ( e, K ) , nờn m " n ẻ N, $ K n ẻ ( K n è X ) cho sup ma Â(K n ) a Vỡ K n l n compact ca X nờn K n cng l compact ca X , c bit K n è B (X ) Do ú a Â(K n ) sup m a "n ẻ Ơ n T nh lớ 5.3 rỳt (K n ) lim a Âm a Â(K n ) m Trn Th Phng 34 ,"n ẻ Ơ , n K34B - S phm Toỏn Khoỏ lun tt nghip V ú (E ) = m Ơ Vi E = UK n c bit ta cú n=1 * (X ) m (E ) = , m *(X ) = tc l m Theo b trờn (v ý rng, B ( X ) = X ầ B (X )) , tn ti m ẻ P ( X ) cho (A ), A ẻ B (X ) m(A ầ A ) = m Bõy gi, gi s F l úng ca X Khi ú, tn ti úng F ca X cho F = F ầ X p dng nh lớ 5.3 ( (a ) đ (c ) ) mt ln na ta cú a Â(F ) Ê m (F ) = m(F ) F ẻ lim a Âma Â(F ) = lim a Âm Vy ma  ị m 6.4 iu kin cn ca compact tng i yu Khỏc vi iu kin , iu kin cn ca compact tng i yu ũi hi thờm tớnh ca X nh lớ Gi s X l khụng gian kh ly v Khi ú, nu Gẻ (X ) compact tng i yu thỡ G tha iu kin ( e, K ) Chng minh Vỡ X kh ly nờn " n ẻ Ơ cú th ph X bng mt s m c cỏc hỡnh cu m bỏn kớnh : n Ơ X = US nj "n ẻ Ơ j= Trn Th Phng 35 K34B - S phm Toỏn Khoỏ lun tt nghip u tiờn ta ch rng, nu G è P ( X ) compact tng i yu thỡ kn " n ẻ Ơ , " d > 0, $ kn ẻ N cho: m( US nj ) > - d, " m ẻ G j= Tht vy, gi s (ngc li) iu ú khụng c thc hin, tc l $ n ẻ Ơ , $ d0 > cho " k ẻ Ơ , $ mk ẻ G tha k mk ( US n j ) < - d0 j= { }è {m }è Vỡ compact tng i yu, nờn cú mt dóy mk k m {m }ị km G cho m ẻ P (X ) T ú, ta ln lt cú kl US n j è j= km US j= n0 j ,"m > l, kl mk ( US n j ) < - d0, " m > l , m j= kl kl m( US n j ) Ê lim m mk ( US n j ) Ê - d0 j= e ta cú 2n kn m( US nj ) > j=1 kn t Fn = j= 1 = m(X ) Ê - d0 < (vụ lớ) Cho l Z Ơ ta c Vi d = m ộS ự, K = U ờở nj ỳỷ e j= e , " n ẻ Ơ , " m ẻ G 2n Ơ I Fn D dng thy rng, K e l úng v hon ton n= gii ni ú K e ẻ K (vỡ X ) Hn na, m(Fn ) > - Trn Th Phng e ,"n ẻ Ơ,"mẻ G 2n 36 K34B - S phm Toỏn Khoỏ lun tt nghip Ơ m( X \ K e ) Ê m(X \ Fn ) < e, " m ẻ G n=1 nh lý Prohorov 7.1 nh ngha Ta gi khụng gian tụpụ X l khụng gian Prohorov, nu iu kin ( e, K ) l cn v G è P ( X ) compact tng i yu 7.2 nh lý (Prohorov) Mi khụng gian metric kh ly v l khụng gian Prohorov Hi t yu ca hm phõn phi xỏc sut trờn ng thng Bõy gi ta xột hi t yu ca o xỏc sut trờn mt khụng gian metric c th: ng thng thc Ă 8.1 nh ngha Hm s F : Ă đ Ă c gi l (hm) phõn phi xỏc sut, nu nú khụng gim, liờn tc bờn trỏi v F (- Ơ ) = 0, F (+ Ơ ) = Nh ó núi, vi mi F nh th, o Lebesgue-Stieltjes tng ng mF l o xỏc sut: F ô mF ẻ P ( Ă ) mF ộa, b) = F (b) - F (a ) ờở Ta kớ hiu F1 l tt c cỏc hm phõn phi xỏc sut trờn ng thng nh ngha Gi s {Fn }è F 1, F ẻ F Núi rng dóy {F n } hi t c bn n F , nu lim Fn (x ) = F (x ), " x ẻ C (F ) , nđ + Ơ Trong ú C ( F ) l gm tt c cỏc im liờn tc ca hm F Trn Th Phng 37 K34B - S phm Toỏn Khoỏ lun tt nghip 8.2 nh lớ Gi s {F }è n F 1, F ẻ F v mn = mF , m = mF l o n Lebesgue-Stieltjes tng ng Khi ú, hai iu kin sau õy tng ng vi (a) mF ị m ; (b) Fn hi t v c bn n F Chng minh (a ) đ (b) Ta xột A = (- Ơ , x ) Rừ rng, biờn ca A ch gm mt im nht: ( A) x Do ú, nu mn ị m thỡ vi A x , ta cú: lim Fn ( x) lim n ( A) ( A) F ( x) , n n tc l, Fn hi t v c bn ti F x v ch x C (F ) (b) đ (a ) Ta kớ hiu U l lp gm rng v tt c cỏc khong hu hn a, b vi a, b ẻ C (F ) : { } = ộờởa, b) : a, b ẻ C (F ) ẩ ặ ý rng mn (ộờởa, b)) = F (b) n ( Fn (a ) , ) m ộờởa, b) = F (b) - F (a ) Do ú, nu Fn hi t v c bn n F thỡ lim mn (U ) = m(U ) , " U ẻ U (1) nđ + Ơ Mt khỏc, U kớn i vi phộp giao hu hn v mi m G G l hp m c cỏc thuc U (vỡ C (F ) trự mt khp ni Ă ) Trn Th Phng 38 K34B - S phm Toỏn Khoỏ lun tt nghip Ơ G = UU , {U }è k k U k=1 T ú v t (1) suy rng, vi mi m ẻ Ơ , ta cú ổm ữ= mn ỗỗUU k ữ ỗốk = ữ ữ ứ đ m m mn (U k ) - k= m mn (U iU k ) + i ,k = m(U k ) - ồ mn (U iU jU k ) - i , j ,k = m(U iU j ) + m(U iU jU k ) - (2) V $ m ẻ Ơ cho m m(G ) - e < m( U U k ) (3) k= Kt hp (2) v (3) ta c ổm m(G ) - e < lim mn ỗỗỗUU k ữ ữ Ê limmn (G ) , " G ẻ G hay mn ị m n ốk = ữ ứ Do nh lớ trờn, t v sau ta núi dóy hm phõn phi xỏc sut {Fn } hi t yu ti hm phõn phi xỏc sut F v vit Fn ị F Nu Fn hi t v c bn ti F KT LUN Trong khúa lun ny em ó nghiờn cu mt s c bn sau õy: o xỏc sut Borel, s hi t yu ca o, o Radon, nh lý Prohorov, Lun mang tớnh cht tng quan nhng em ó chng minh mt s nh lý, mnh v a cỏc vớ d c th lm rừ hn mt s tớnh cht, Trn Th Phng 39 K34B - S phm Toỏn Khoỏ lun tt nghip giỳp hiu rừ hn cỏc m khúa lun ó cp Mong rng õy s l mt ti liu b ớch cho nhng quan tõm n ny Do thi gian cú hn v cha cú kinh nghim cụng tỏc nghiờn cu khoa hc nờn khúa lun ca em khụng trỏnh nhng thiu sút Rt mong nhn c s úng gúp ý kin ca thy cụ v cỏc bn c Trc kt thỳc khúa lun, em xin gi li cm n chõn thnh ti thy Phựng c Thng - ngi ó tn tỡnh ch bo, giỳp em sut thi gian qua cú th hon thnh khúa lun ny TI LIU THAM KHO Phm K Anh, Trn c Long (2001), Giỏo trỡnh hm thc v gii tớch hm (NXBHQG H Ni ) Phan c Chớnh (1978), Gii tớch hm (NXB i hc v trung hc chuyờn nghip H Ni) PGS.TS Nguyn Ph Hy, Gii tớch hm (NXB khoa hc v k thut) Trn Th Phng 40 K34B - S phm Toỏn Khoỏ lun tt nghip Nguyn Vit Phỳ, Nguyn Duy Tin (1983), C s xỏc sut (NXB i hc v trung hc chuyờn nghip H Ni) Nguyn Duy Tin (2000), Bi ging gii tớch (NXBHQG H Ni) Nguyn Duy Tin, Trn c Long (2004), Bi ging gii tớch (NXBHQG H Ni) Trn Th Phng 41 K34B - S phm Toỏn [...]... d: Khụng gian tụ pụ ri rc l mt T 1 - khụng gian Khụng gian tụpụ thụ khụng l T 1 - khụng gian nh ngha Khụng gian tụpụ X c gi l T 2 - khụng gian hay khụng gian Hausdorff nu X tha món tiờn tỏch T 2 T 2 : Vi mi x , y ẻ X , x ạ y , tn ti mt lõn cn U ca x v mt lõn cn V ca y sao cho U ầV = ặ Hin nhiờn T 2 - khụng gian l T 1 - khụng gian Vớ d: Mi khụng gian metric u l T 2 - khụng gian 2.4.2 Khụng gian chớnh... Khụng gian tụpụ X gi l T 4 - khụng gian hay khụng gian chun tc nu X l T 1 - khụng gian tha món tiờn tỏch T 4 T 4 : Vi mi tp úng E, F X, E F = ặ, tn ti mt lõn cn U ca E v mt lõn cn V ca F sao cho U ầV = ặ Nhn xột Mi khụng gian chớnh quy l mt khụng gian Hausdorff; Mi khụng gian chun tc l mt khụng gian chớnh quy nh lớ Mi khụng gian metric u l khụng gian chun tc nh lớ T 1 - khụng gian X l khụng gian. .. t, nờn tp hp Ô cỏc s hu t trự mt trong khụng gian metric Ă cỏc s thc Mt khỏc, tp hp Ô cỏc s hu t l m c Vỡ vy Ă l khụng gian kh ly nh lớ Nu khụng gian tụpụ X cú mt c s tụpụ m c thỡ X l khụng gian kh ly 2.4 Mt s khụng gian tụ pụ c bn 2.4.1 T 1 - khụng gian v T 2 - khụng gian Trn Th Phng 11 K34B - S phm Toỏn Khoỏ lun tt nghip nh ngha Khụng gian tụpụ X c gi l T 1 - khụng gian nu X tha món tiờn tỏch T 1... tn ti V a sao cho 1 2 1 2 3 x ẻ V a è V a ầV a 3 1 2 2.3 Khụng gian tụpụ kh ly nh ngha Cho khụng gian tụpụ X , A, B è X Ta núi tp hp A trự mt trong tp hp B nu B è clA Nu clA = X thỡ ta núi A l trự mt khp ni trong X Khụng gian tụpụ X gi l kh ly nu tn ti tp hp A è X m c trự mt trong X Vớ d: a) Nu X l khụng gian tụpụ ri rc thỡ X l khụng gian kh ly khi v ch khi tp hp X l khụng quỏ m c b) Vỡ mi s thc... + p(y ), " x , y ẻ X Nu thờm iu kin p(x ) = 0 khi v ch khi x = 0 thỡ p c gi l chun Trong trng hp ny ta kớ hiu x = p(x ) v gi X l khụng gian nh chun nh ngha Gi s X l khụng gian nh chun Nu X l y theo metric d (x , y ) = x - y thỡ X c gi l khụng gian Banach nh ngha Khụng gian Banach X c gi l khụng gian Banach kh ly nu trong X cú mt tp hp con m c v trự mt 4 o 4.1 nh ngha Ta gi hm tp m l o nu Trn Th... khụng gian Banach vi chun ||.|| Kớ hiu X * l khụng gian liờn hp (i ngu tụpụ) ca X ; s = s (X , X * ) l tụpụ yu ca X ; B l _trng Borel ca X trong tụpụ mnh (tụpụ sinh ra t chun); B l _trng Borel ca X trong tụpụ yu Ta luụn luụn cú B B Ta s chng minh rng, nu X l khụng gian Banach kh ly (tc l cú mt dóy phn t ca X trự mt khp ni theo tụpụ mnh trong X ) thỡ B = B Núi cỏch khỏc, trong trng hp khụng gian. .. lớ Mi o xỏc sut trong khụng gian metric bt k l chớnh quy 3 o Radon Trn Th Phng 25 K34B - S phm Toỏn Khoỏ lun tt nghip Nu ũi hi tớnh chớnh quy trong mnh hn: o ca mi tp Borel c xp x bng o ca cỏc tp compact thỡ ta i n khỏi nim o Radon 3.1 nh ngha o m trong khụng gian tụ pụ X c gi l Radon nu m(A ) = sup{m(K ) : K è A , K ẻ K } " A ẻ B ( X ) 3.2 Mnh Gi s m l o xỏc sut trong khụng gian tụpụ X Khi... (nu X l khụng gian metric thỡ ly fn (x ) = Trn Th Phng r (x , Fn ) r (x , F ) + r (x , Fn ) 21 K34B - S phm Toỏn Khoỏ lun tt nghip Ơ t f = ồ 2- n fn n=1 Chui ny hi t u, nờn f Cb ( X ) Hn na, f (x ) = 1 khi v ch khi v do ú { } F = x : f (x ) = 1 = f - 1 ({} 1 ) ẻ Bb T ú rỳt ra iu phi chng minh 1.2 nh lớ Nu X l khụng gian metric thỡ B a = B Chng minh Vỡ khụng gian metric l khụng gian chun tc v mi... metric u l T 2 - khụng gian 2.4.2 Khụng gian chớnh quy Khụng gian chun tc nh ngha Khụng gian tụpụ X c gi l T 3 - khụng gian hay khụng gian chớnh quy nu X l T 1 - khụng gian tha món tiờn tỏch T 3 T 3 : Vi mi x ẻ X v mt tp hp úng F è X sao cho x ẽ F , tn ti mt lõn cn U ca x v mt lõn cn V ca F sao cho U ầV = ặ nh lớ T 1 - khụng gian l khụng gian chớnh quy khi v ch khi vi mi x ẻ X v mi tp hp m G cha x... tc gia hai khụng gian tụpụ l o c theo ngha Borel 5.4 Mnh nh x hp ca cỏc ỏnh x o c l o c Trn Th Phng 19 K34B - S phm Toỏn Khoỏ lun tt nghip Chng 2 O TRONG KHễNG GIAN METRIC Chng ny dnh cho bn c mun tip cn vi nhng vn hin i ca lý thuyt o núi chung v xỏc sut núi riờng , ) , trong Ta ó nghiờn cu o trờn khụng gian tru tng bt k (WA ú W l tp no ú v A l _trng no ú gm cỏc tp con ca W Trong chng ny ta s ... ngha Khụng gian metric M = ( X , d ) gi l khụng gian , nu mi dóy c bn khụng gian ny hi t Vớ d: a) Khụng gian metric Ă b) Khụng gian Ă k l khụng gian l khụng gian nh ngha Mt khụng gian metric X... T - khụng gian l T - khụng gian Vớ d: Mi khụng gian metric u l T - khụng gian 2.4.2 Khụng gian chớnh quy Khụng gian chun tc nh ngha Khụng gian tụpụ X c gi l T - khụng gian hay khụng gian chớnh... thng trờn X b) Mi khụng gian metric u l khụng gian tụpụ vi tụpụ t l lp tt c cỏc hp m khụng gian metric ú, gi l tụpụ sinh bi metric hay tụpụ metric Tụpụ sinh bi metric khụng gian Euclide Ă k cũn