Độ đo xác suất trên không gian metric

Khoỏ lun tt nghip Trng HSP H Ni TRNG I HC S PHM H NI KHOA TON ******************** V TRNG GIANG O XC SUT TRấN KHễNG GIAN METRIC KHểA LUN TT NGHIP I HC Chuyờn ngnh: Toỏn ng dng h ni 2009 V Trng Giang K31B CN Toỏn Khoỏ lun tt nghip Trng HSP H Ni LI CM N Sau mt thi gian mit mi nghiờn cu cựng vi s giỳp ca cỏc thy cụ giỏo cựng cỏc bn sinh viờn, khúa lun ca em n ó c hon thnh Em xin by t long bit n sõu sc ca mỡnh n thy giỏo Nguyn Trung Dng ó tn tỡnh giỳp em sut quỏ trỡnh nghiờn cu v hon thnh khúa lun ny Em xin trõn thnh cm n s quan tõm, giỳp ca cỏc thy cụ khoa v cỏc thy cụ t Toỏn ng dng trng i hc S phm H Ni 2, s ng viờn, giỳp , úng gúp ý kin ca bn bố ó dnh cho em sut quỏ trỡnh hc tp, nghiờn cu v hon thnh khúa lun Do thi gian cú hn v cha cú kinh nghim cụng tỏc nghiờn cu khoa hc nờn khúa lun ca em khụng trỏnh nhng thiu xút Rt mong nhn c s úng gúp ý kin ca thy cụ v cỏc bn khúa lun ca em c hon thin hn H Ni, ngy 15 thỏng 05 nm 2009 Sinh viờn V Trng Giang V Trng Giang K31B CN Toỏn Khoỏ lun tt nghip Trng HSP H Ni LI CAM OAN Tụi xin cam oan khúa lun tt nghip i hc ny l thnh qu ca riờng cỏ nhõn tụi, nú khụng trựng lp vi bt kỡ ti no ó c cụng b Nu sai tụi xin chu hon ton trỏch nhim H Ni, ngy 15 thỏng 05 nm 2009 Sinh viờn V Trng Giang V Trng Giang K31B CN Toỏn Khoỏ lun tt nghip Trng HSP H Ni mc lc Li núi u Chng Kin thc chun b 1.1 Tp Borel 1.2 o xỏc sut Borel 1.3 S hi t yu ca o 15 1.4 Metric Prokhorov 20 Chng nh lý Riesz v nh lý Prokhorov 29 2.1 nh lý Prokhorov 29 2.2 nh lý Riesz 38 2.3 nh lý Riesz khụng gian khụng compact 44 Kt lun 50 Ti liu tham kho 51 V Trng Giang K31B CN Toỏn Khoỏ lun tt nghip Trng HSP H Ni li núi u Toỏn ng dng l mt ngnh toỏn hc cú ý ngha rt to ln v chim mt v trớ quan trng Nú l cu ni a nhng kt qu c nghiờn cu trờn lý thuyt ca gii tớch, i s, hỡnh hc vo ng dng cỏc ngnh khoa hc khỏc v thc t cuc sng Lý thuyt xỏc sut l mt b mụn cú ng dng rt rng rói cỏc ngnh khoa hc t nhiờn, khoa hc xó hi v thc t cuc sng Nú l cụng c gii quyt cỏc chuyờn mụn ca nhiu lnh vc nh kinh t, sinh hc, tõm lý xó hi Do ú b mụn ny c a vo ging dy hu ht cỏc trng i hc, cao ng Vi mong mun tỡm hiu sõu hn v b mụn xỏc sut em ó chn ti: o xỏc sut trờn khụng gian metric Nghiờn cu ti ny giỳp chỳng ta cú c hi tỡm hiu sõu hn v o xỏc sut trờn khụng gian metric tng quỏt v trờn mt s khụng gian c bit Ni dung ca khúa lun bao gm Chng 1: Kin thc chun b Trong chng ny trỡnh by v khỏi nim v cỏc tớnh cht ca Borel, o xỏc sut Borel, s hi t yu ca o v metric Prokhorov Chng 2: nh lý Prokhorov v nh lý Riesz Ni dung ca chng l nh lý Prokhorov, nh lý Riesz v nh lý Riesz khụng gian khụng compact V Trng Giang K31B CN Toỏn Khoỏ lun tt nghip Trng HSP H Ni Chng kin thc chun b 1.1.Tp Borel nh ngha 1.1 Cho X, d l khụng gian metric i s Borel B B X l i s nh nht X m cú cha tt c cỏc m ca X Cỏc phn t ca B c gi l Borel ca X nh ngha 1.2 Khụng gian metric X, d c gi l tỏch c nu nú cú m c trự mt, tc l tn ti x1, x2, X cho x1, x2 , X ( A - bao úng ca A l úng nh nht cha A X B 1.1 Nu X l khụng gian metric tỏch c, ú trựng vi i s sinh bi tt c cỏc cỏc hỡnh cu m (hoc úng) ca X Chng minh Kớ hiu A i s sinh bi cỏc hỡnh cu m (hoc úng) ca X Hin nhiờn A B Gi s D l m c trự mt X U X l m Vi x U , ly r , r cho B x, r U ( B x, r l hỡnh cu m hoc úng vi tõm l x v bỏn kớnh r) v ly yx D B x, r / Khi ú x B yx , r / B x, r t rx r / Khi ú U B yx , rx : x U V Trng Giang K31B CN Toỏn Khoỏ lun tt nghip Trng HSP H Ni l hp m c Thnh U A suy B A B 1.2 Cho X, d l khụng gian metric tỏch c C B l m c Nu C tỏch ri cỏc hỡnh cu úng vi cỏc im, ngha l vi mi hỡnh cu úng B v x B thỡ tn ti C C cho B C v x C , ú i s sinh bi C l i s Borel Chng minh Hin nhiờn C B , ú C l i s sinh bi C Ly B l hỡnh cu úng X Khi ú B C C: B C l giao ca m c cỏc phn t ca C Theo b trờn ta nhn c B C nh ngha 1.3 Nu f : S T v AS, AT tng ng l i s S v T, ú f c gi l o c nu f A x S: f x A AS vi mi A AT Mnh 1.1 Cho X, d l khụng gian metric B X l i s nh nht cho vi mi hm (giỏ tr thc) liờn tc trờn X l o c V Trng Giang K31B CN Toỏn Khoỏ lun tt nghip Trng HSP H Ni 1.2 o xỏc sut Borel nh ngha 1.4 Cho X, d l khụng gian metric Mt o Borel hu hn trờn X l ỏnh x : B X [0, ) cho , A1, A2, B ri A i i i Ai , X B 1.3 Cho X l khụng gian metric v l o hu hn trờn X Cho A1, A2 , l dóy cỏc Borel Khi ú ta cú (1) Nu A1 A2 v A i Ai , thỡ A limn An (2) Nu A1 A2 v A i Ai , thỡ A limn An B 1.4 Nu l mt o Borel hu hn trờn X v A l mt h cỏc Borel ri ca X, ú cú nhiu nht m c cỏc phn t ca A cú o khỏc m 1, t Am A A : A 1/ m Vi mi Chng minh Vi A1, A2, Am phõn bit ta cú k X Ai A1 A2 Ak k / m , i Do ú Am cú nhiu nht m X phn t Vy V Trng Giang K31B CN Toỏn Khoỏ lun tt nghip Trng HSP H Ni A A : A A m1 m l m c Vớ d Nu l mt o Borel trờn , ú t vi mi t tr nhiu nht m c t Mnh 1.2 Mi o Borel hu hn trờn X l chớnh quy, tc l vi mi BB B sup C : C B, C đóng ( quy trong) inf U : U B, U mở (chính quy ngoài) Chng minh Tp R c xỏc nh bi A R A sup C : C A, C đóng A inf U : U A, U mở Ta chng t rng R cha cỏc Borel Bc 1: R l _i s: R Gi s AR v Ly C úng v U m vi C A U v A C A U Khi ú U c Ac Cc , U c úng, Cc m v Ac X A X C Cc , Ac X A X U U c Do ú Ac R Gi s A1, A2, R v Vi mi i ly V Trng Giang 10 K31B CN Toỏn Khoỏ lun tt nghip Trng HSP H Ni Ui m, Ci úng vi Ci A Ui , Ui Ai 2i , Ai Ci 2i / Khi ú C A U , U i i i i i i i i l m v i i Ui Ai Ui \ Ai i i Ui \ Ai Ui \ Ai i i i i Ui Ai 2i k Hn na Ci limk Ci , ú vi k ln no ú, i i k k Ci Ci / Khi ú C i Ci i Ai , C úng v i i Ai C Ai Ci / i i i Ai \ Ci / i i Ai \ Ci / i Ai \ Ci / i V Trng Giang 11 K31B CN Toỏn Khoỏ lun tt nghip Trng HSP H Ni 2.2 nh lý Riesz Trong chng minh nh lý Prokhorov ta cú s dng nh lý Riesz nh lý thu c s tng ng gia cỏc hm trờn khụng gian cỏc hm liờn tc v o trờn cỏc c bn nh lý c ỏp dng vi cỏc khụng gian compact v s c tho lun phn ny Phn tip theo thu c t vic compact húa v m rng i vi khụng gian khụng compact Cho X, d l khụng gian metric Vi mi o Borel hu hn trờn X , ỏnh x c xỏc nh bi f fd , f Cb X , l tuyn tớnh t Cb X vo v f f d f X Do ú Cb X , ú Cb X l khụng gian Banach i ngu ca khụng gian Banach C X , b ( ú f supxX f x ) Hn na, X v vỡ X X ta cú X Hn na, f f nh ngha 2.2 Mt ỏnh x tuyn tớnh : Cb X c gi l dng nu f vi mi f Cb X , vi f V Trng Giang 39 K31B CN Toỏn Khoỏ lun tt nghip Trng HSP H Ni (Khi ú f g f g ) B 2.2 Vi mi ỏnh x dng Cb X ta cú Chng minh Hin nhiờn, f Vi f Cb X , f f , vỡ vy f f f , ú f f Do ú Nu X l compact, ú Cb X C X f : X : f liên tục v mi hm tuyn tớnh b chn dng trờn C X c biu din bng mt o Borel hu hn trờn X Chõn lớ ca mnh ny khụng ph thuc vo trờn X tn ti hay khụng mt khụng gian metric Trong vic m rng cho trng hp khụng compact m ta s tho lun phn tip theo ta cn nhng tớnh cht tng quỏt ca khụng gian compact Hausdorff khụng metric húa c V hỡnh thc ta khụng cú nh ngha Borel, o Borel, Cb X , v.v vi khụng gian topo m khụng metric húa c Cỏc nh ngha tng t cng b b qua V Trng Giang 40 K31B CN Toỏn Khoỏ lun tt nghip Trng HSP H Ni nh lý 2.2 (nh lý Riesz) Nu X, d l khụng gian compact Hausdorff v C X dng v 1, ú tn ti nht mt o Borel xỏc sut trờn X cho f fd vi mi f C X Bng s xỏc nh rừ rng, nh lý Riesz cú th c m rng tng ng cho hm b chn khụng nht thit phi dng trờn C X v o Borel hu hn trờn X Hn th na khụng gian topo cng vy Xột topo yu* trờn Cb X , ú l topo thụ nht cho hm f trờn Cb X l liờn tc vi mi f Cb X Mt dóy 1,2, Cb X hi t theo topo yu* ti Cb X v ch n f f vi mi f Cb X Mnh sau c suy trc tip Mnh 2.2 Cho X, d l khụng gian metric compact v , 1, , l cỏc o Borel hu hn trờn X Khi ú hai mnh sau l tng ng: (a) n tc l, fd n fd vi mi f Cb X (b) n theo topo yu*, tc l n f f vi mi f Cb X Cựng vi s phự hp ca phộp biu din o khụng dng, vic biu din bi o cũn cú th c m rng i vi mi phn t ca Cb X Ta a vo mnh trờn m khụng chng minh V Trng Giang 41 K31B CN Toỏn Khoỏ lun tt nghip Trng HSP H Ni nh ngha 2.3 Mt o cú du trờn khụng gian metric X, d l ỏnh x : B X cú dng ú v l cỏc o Borel hu hn trờn X iu ny tng ng vi 0, l _cng tớnh, tc l, A1, A2 , B X ri A i i i Ai , supAB X A nh lý 2.3 Cho X, d l khụng gian metric compact Vi o hu hn trờn X , t f fd , f C X , v T l ỏnh x Khi ú (1) T T T v T c cT vi mi o Borel hu hn v trờn X v mi c (2) T l mt phộp ng phụi liờn tc t { : l o Borel hu hn trờn X } lờn { Cb X : dng} vi topo yu*, v T P X { Cb X : 1, dng}, (3) T m rng nht thnh phộp ng phụi tuyn tớnh liờn tc t o Borel cú du trờn X lờn C X vi topo yu* V Trng Giang 42 K31B CN Toỏn Khoỏ lun tt nghip Trng HSP H Ni Nhn xột (1) cú th ch rng C X l tỏch c nu X l compact v metric húa c v (1) cú th nhn c t tớnh tỏch c ca C X ú l C X : l metric húa c Vỡ vy T nh lý trờn l phộp ng phụi v khụng phi l phộp ng phụi liờn tc nht Bõy gi ta cú c s quay li kt thỳc chng minh nh lý 5.3 nh lý 2.4 Cho X, d l khụng gian metric Khi ú (1) B Cb X : l compact yu* (nh lý Alaoglu) (2) Cb X : 1, dư ơng l úng yu* B Chng minh (2) Vi B dng, ta cú Do ú C X : 1, dư ơng b Cb X : 1, 1, f 0, f Cb X cho f B : B : f f Cb X , f Vỡ f l liờn tc yu* vi mi f Cb X , õy l úng yu* B H qu 2.1 Nu X, d l khụng gian metric compact, ú P X , dP l khụng gian metric compact V Trng Giang 43 K31B CN Toỏn Khoỏ lun tt nghip Trng HSP H Ni Chng minh ỏnh x T : P X C X : 1, dư ơng l mt phộp ng phụi liờn tc i vi topo yu* trờn Theo nh lý trờn, l compact yu* Nh vy P X l dóy compact Vỡ P X l khụng gian metric, P X l compact V Trng Giang 44 K31B CN Toỏn Khoỏ lun tt nghip Trng HSP H Ni 2.3 nh lý Riesz khụng gian khụng compact Vỡ phn ln chỳng ta quan tõm n cỏc khụng gian metric m khụng l compact, vic ú tt nhiờn s a chỳng ta i nghiờn cu s m rng ca nh lý Riesz i vi khụng gian khụng compact Vic m rng ú cú th thu c bng cỏch compact húa khụng gian S compact húa ca B 2.1 cú u im hn vic metric húa, nhng nú khụng phự hp vi mc ớch hin ti Ta mun tỡm mi liờn h gia cỏc hm liờn tc trờn khụng gian compact húa vi cỏc hm liờn tc, b chn trờn khụng gian ban u Nh vy s compact húa l s compact húa Stone Cech nh lý 2.5 Cho X, d l khụng gian metric Tn ti khụng gian compact Hausdorff Y v ỏnh x T : X Y cho (i)T l mt phộp ng phụi t X lờn T X (ii) T X l trự mt Y , (iii) Vi mi f Cb X tn ti mt v ch mt g C Y m khuch f, tc l g T f Cp Y, T nh lý trờn l nht v bn cht v c gi l compact húa Stone Cech ca X Ta s khụng cn phi xột chi tit v xem X nh l khụng gian ca Y Khi ú nh lý trờn núi rng mi khụng gian metric X l khụng gian trự mt ca khụng gian compact Hausdorff Y cho Cb X C Y theo ng cu t nhiờn ca s m rng v hn ch T nh lý Riesz vi khụng gian compact Hausdorff ta cú kt lun sau V Trng Giang 45 K31B CN Toỏn Khoỏ lun tt nghip Trng HSP H Ni H qu 2.2 Cho X, d l khụng gian metric Nu : Cb X l tuyn tớnh b chn v dng, ú tn ti nht o Borel hu hn trờn compact húa Stone Cech Y ca X cho f f d vi mi f Cb X ú f l m rng ca f Nh vy hm tuyn tớnh b chn dng trờn Cb X tng ng vi o Borel hu hn trờn compact húa Stone Cech ca X Mt iu cn bit l ú o nh vy trung trờn chớnh X S thay i ú cú quan h cht ch vi tớnh liờn tc ca cỏc hm hn so vi hi t thụng thng Khng nh nh lý tip theo l mt m rng ca nh lý Riesz i vi khụng gian compact Vi lý thuyt hi t ca dóy suy rng nh lý 2.6 Cho X, d l khụng gian metric v Cb X dng Cỏc mnh sau l tng ng: (a) Tn ti mt o Borel hu hn kớn trờn X cho f fd vi mi f Cb X (b) Vi mi tn ti compact K X cho f vi mi f Cb X vi f v f trờn K (c) Hn ch ca trờn hỡnh cu n v B f Cb X : f l liờn tc i vi topo ca hi t u trờn cỏc compact Nu (a) tha món, ú o l nht V Trng Giang 46 K31B CN Toỏn Khoỏ lun tt nghip Trng HSP H Ni Chng minh Vic chng minh tớnh nht l thng xuyờn Nú cng c suy t nh lý trự mt phn a c : Gi s fi iI l li B v f B cho fi hi t u n f trờn cỏc compact Gi s Ta mun chng minh rng tn ti i0 I cho fi f vi mi i I ,i i0 Vỡ l kớn, tn ti mt compact K X vi X \ K / Khi ú fi hi t u n f trờn K, nh vy tn ti i0 I cho fi f / K trờn K vi mi i i Khi ú vi i i , fi f fi f d K X\ K K fi f d K fi f X \ K / / Do ú fi f v l liờn tc trờn B c b : Gi s b khụng ỳng Khi ú tn ti cho vi mi compact K X tn ti fK Cb X vi fK v fK trờn K cho fK Khi ú fK KK , ú K K X : K compact vi quan h bao hm c xem nh quan h th t, l li B m hi t ti khụng theo topo ca hi t u trờn cỏc compact Tht vy, vi mi compact K0 X , fK trờn K0 vi mi K K0 Vỡ fK vi mi K K , iu ú chng t khụng liờn tc trờn B V Trng Giang 47 K31B CN Toỏn Khoỏ lun tt nghip b a : Trng HSP H Ni Vi mi m ly mt compact Km X cho f 1/ m vi mi f Cb X , f v f trờn Km Gi s Y l compact húa Stone Cech ca X Vi mi g C Y , hn ch ca nú trờn X l phn t ca Cb X v ta cú th nh ngha g g X , g CY Khi ú : C Y l mt hm tuyn tớnh b chn v dng, nh vy theo nh lý Riesz tn ti mt o Borel hu hn trờn Y cho g gd vi mi g C Y Ta mun hn ch ca l mt o trờn X m biu din cho Vỡ vy ta cn ch khụng hi t ngoi X t E m Km X Vỡ mi Km l compact, E l Borel Y ch khụng hi t ngoi E ta s dng iu kin b bng cỏch xp x K c m bi mt hm liờn tc t hm x mind x, Km ,1 , x Y, m Khi ú hm C Y , hm K c v m n hm K c n , vỡ hm x vi m mi x Kmc Do ú theo nh lý hi t n iu, Y \ Km K d lim n hm d c m lim n V Trng Giang n n hm lim n 48 n hm X / m, K31B CN Toỏn Khoỏ lun tt nghip Trng HSP H Ni Theo gi thuyt (b) Thnh Y \ E Kmc m1 t A A E , AB X ( Chỳ ý rng AB X A E l Borel E ú Borel Y.) Khi ú l o Borel hu hn trờn X chng t rng biu din cho , ly f Cb X v f Cb Y l m rng ca f Vỡ Y \ E v X \ E , iu ú chng t rng fd f E d f Ed f d f f Cui cựng, chỳ ý rng X \ Km E \ Km Y \ Km 1/ m vi mi m, ú l o Radon Nhn xột (1) Nu X l compact, ú mi Cb X tha iu kin (c) Do ú ta cú th ỏp dng nh lý Riesz vi cỏc khụng gian metric compact (2) u tiờn ta ch rng nu X, d l khụng gian metric v tỏch c, ú mi o Borel hu hn trờn X l o Radon Do ú vi khụng gian nh vy iu kin (c) l cn thit cho vic biu din mt o Borel hu hn V Trng Giang 49 K31B CN Toỏn Khoỏ lun tt nghip Trng HSP H Ni Vớ d Cho X , d x, y x y , x, y X Ta s ch rng tn ti Cb X m khụng biu din c bng mt o Borel hu hn Chỳ ý rng Cb X l v t x lim x k k vi mi x c { y l : limk y k tn ti} Tp c l khụng gian úng ca l v l hm tuyn tớnh dng b chn trờn c t p x max limsup x k ,0 , x l k Khi ú p x y p x p y v p x p x vi mi x, y l , Hn na, x p x vi mi x c Do ú theo nh lý Hahn Banach, tn ti mt hm tuyn tớnh : l m l m rng ca cho x p x vi mi x l Khi ú x p x x vi mi x l ú l b chn, v vi x l , x ta cú x x p x , ú l dng Bõy gi ly xn n,n1, c , n 1,2, Khi ú xn xn vi mi n, nhng vi o Borel hu hn bt kỡ trờn ta cú V Trng Giang x d n n , vỡ xn theo tong im v 50 K31B CN Toỏn Khoỏ lun tt nghip Trng HSP H Ni xn vi mi n Do ú khụng th biu din bng mt o Borel hu hn V Trng Giang 51 K31B CN Toỏn Khoỏ lun tt nghip Trng HSP H Ni kt lun Trong khúa lun ny em ó nghiờn cu mt s c bn sau õy: o xỏc sut Borel, s hi t yu ca o, metric Prokhorov, nh lý Prokhorov, nh lý Riesz, nh lý Riesz i vi khụng gian khụng compact Lun mang tớnh cht tng quan nhng em ó chng minh mt s nh lý, b v a cỏc vớ d c th lm rừ hn mt s tớnh cht, hiu rừ hn cỏc m khúa lun ó cp Mong rng õy s l mt ti liu b ớch cho nhng quan tõm n ny Do thi gian cú hn v cha cú kinh nghim cụng tỏc lm nghiờn cu khoa hc nờn khúa lun ca em khụng trỏnh nhng thiu sút Rt mong nhn c s úng gúp ý kin ca thy cụ v cỏc bn c Trc kt thỳc khúa lun em xin gi li cm n chõn thnh nht ti cỏc thy t Toỏn ng dng, cỏc thy cụ khoa v c bit l thy Nguyn Trung Dng ngi ó tn tỡnh ch bo, giỳp em sut thi gian qua cú th hon thnh khúa lun ny V Trng Giang 52 K31B CN Toỏn Khoỏ lun tt nghip Trng HSP H Ni ti liu tham kho Ting Vit [1] Nguyn Vit Phỳ, Nguyn Duy Tin, (2002), C s lý thut xỏc sut, NXB i hc Quc gia Ting Anh [1] Billingslay, Patrick, (1968), Convergence of Probability measures, Wiley and Sons, New York London [2] K.R.Parthasarathy, (1967), Probability measures on metric spaces, Academic [3] Onno Van Gaans, (2003), Probability measurộ on metric space, Delft University of Technology, Holand V Trng Giang 53 K31B CN Toỏn [...]... compact l compact Kt hp li ta cú iu phi chng minh Hin nhiờn, nu X, d l mt khụng gian metric compact, khi ú mi o Borel hu hn trờn X l o Radon Khụng gian metric tỏch c y ụi khi c gi l khụng gian Polish nh lý 1.1 Nu X, d l khụng gian metric tỏch c , khi ú mi o Borel hu hn trờn X l o Radon B 1.5 Nu X, d l khụng gian metric , khi ú mt tp úng K trong X l compact khi v ch khi hon ton b chn, tc l vi... vi V Trng Giang 28 K31B CN Toỏn Khoỏ lun tt nghip Trng HSP H Ni 2 x y , nh vy g x g aj vi mi x Ajm , mi j Khi ú vi m 1/ , t vic tớnh toỏn trờn suy ra gd gd m g 1/ m 2 / m g Do ú gdm gd khi m Nh vy, m Kt lun Nu X, d l khụng gian metric tỏch c, khi ú P X cng l khụng gian metric tỏch c vi metric Prokhorov cm sinh Hn na, mt dóy trong P X hi t theo metric khi v ch... khụng gian metric v kớ hiu Cb X f : X : f là liên tục và bịchặ n Mi f Cb X l kh tớch vi o Borel hu hn bt kỡ trờn X nh ngha 1.6 Cho , 1, 2 , l cỏc o Borel hu hn trờn X Ta núi rng i i hi t yu ti nu fd fd i khi i vi mi f Cb X Kớ hiu i (Cú nhiu nht mt gii hn nh vy, iu ú c kộo theo t vic metric húa bi metric Prokhorov, m s c cp ti phn tip theo.) nh lớ 1.2 Cho X, d l khụng gian metric, ... ý rng nu X l khụng gian metric compact, mi tp cỏc o Borel xỏc sut trờn X l Radon u, nh vy trong trng hp c bit t bn thõn P X l Radon u Nh vy vic chng minh b a khng nh rng P X l compact khi X l compact Chỳng ta s dng vn sau nh mt bc trung gian quan trng trong vic chng minh b a V Trng Giang 32 K31B CN Toỏn Khoỏ lun tt nghip Trng HSP H Ni 2 Mnh 2.1 Nu X, d l khụng gian metric compact, khi... Nu X, d l khụng gian metric compact, khi ú P X , dP l mt khụng gian metric compact ( Chỳ ý rng mi khụng gian metric compact l tỏch c.) Chng minh (Gp li trong h qu 2.1) Do X l compact, Cb X C X f : X : f là liên tục , ú l mt khụng gian di Banach theo chun cn trờn ỳng c nh ngha bi f sup f x xX Kớ hiu C X l khụng gian Banach i ngu ca C X v xột C X : 1, f 0f C X vớ... Gi s n n l mt dóy trong Ta chng minh rng nú cú dóy con hi t Gi s Y, l khụng gian compact metric v T : X Y sao cho T l mt phộp ng phụi t X lờn T X Vi BB Y , T1 B l tp Borel trong X t n B n T1 B , BB Y , n 1,2, Khi ú n P Y vi mi n Vỡ Y l khụng gian compact metric nờn P Y cng l khụng gian compact metric, do ú tn ti P Y v dóy con nk k sao cho nk trong P Y Ta mun chuyn... R B H qu 1.1 Nu và l cỏc o hu hn trờn khụng gian metric X v A A vi mi A úng (hoc A m), khi ú nh ngha 1.5 ( o Radon) Mt o Borel hu hn trờn X c gi l o Radon nu vi mi 0 tn ti tp compact K X sao cho X \ K , hay núi cỏch khỏc X X H qu 1.2 Nu l o Radon trờn khụng gian metric X, khi ú A sup K : K A, K _compact V Trng Giang 12 K31B CN Toỏn Khoỏ lun tt nghip Trng HSP... 1 i j j limsupi gd i gd 2 Vy gd khi i V Trng Giang 19 K31B CN Toỏn Khoỏ lun tt nghip Trng HSP H Ni 2 Nhn xột iu kin cỏc o xỏc sut , 1, 2 , trong nh lớ trờn cú th thay th bi iu kin l o Borel hu hn sao cho i X X khi i V Trng Giang 20 K31B CN Toỏn Khoỏ lun tt nghip Trng HSP H Ni 2 1.4 Metric Prokhorov Cho X, d l khụng gian metric Kớ hiu P P X tt c cỏc o xỏc sut trờn X Ta cú... B X , trong ú A x : d x, A nu A v vi mi 0 ( õy d x, A inf d x, a : a A ) Hm dP c gi l metric Prokhorov trờn P (cm sinh bi d) m s c kim chng nh lý tip theo Nu X l tỏch c, khi ú s hi t theo metric chớnh l s hi t yu trong P nh lý 1.3 Cho X, d l khụng gian metric (1) dP l metric trờn P P X (2) Cho , 1, 2, P Khi ú dP i , 0 kộo theo i Chng minh (1) Vi mi 1 thuc vo tp... mt phộp ng phụi t X lờn x : x X P X v x : x X l úng trong P X V Trng Giang 33 K31B CN Toỏn Khoỏ lun tt nghip Trng HSP H Ni 2 Trong nhiu trng hp m ta mun xột n X thng khụng compact Chỳng ta cú th s dng mnh trờn bng cỏch xột tớnh compact húa ca X B 2.1 Nu X, d l khụng gian metric tỏch c, khi ú tn ti khụng gian metric compact Y, v ỏnh x T : X Y sao cho T l mt phộp ng phụi t X lờn T X ... nu X, d l mt khụng gian metric compact, ú mi o Borel hu hn trờn X l o Radon Khụng gian metric tỏch c y ụi c gi l khụng gian Polish nh lý 1.1 Nu X, d l khụng gian metric tỏch c , ú mi ... X, d l khụng gian metric tỏch c, ú P X cng l khụng gian metric tỏch c vi metric Prokhorov cm sinh Hn na, mt dóy P X hi t theo metric v ch nú hi t yu v ti cựng mt gii hn V Trng Giang 29 K31B... bc trung gian quan trng vic chng minh b a V Trng Giang 32 K31B CN Toỏn Khoỏ lun tt nghip Trng HSP H Ni Mnh 2.1 Nu X, d l khụng gian metric compact, ú P X , dP l mt khụng gian metric