Độ đo hữu hạn và phân phối xác suất trong không gian banach

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA LÊ PHÚ HẢI ĐỘ ĐO HỮU HẠN VÀ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT TRONG KHÔNG GIAN BANACH Chuyên ngành : TOÁN ỨNG DỤNG Mã ngành : 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TP HỒ CHÍ MINH, tháng 06 năm 2008 CƠNG TRÌNH ĐƯỢC HÌNH THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Cán hướng dẫn khoa học: Cán chấm nhận xét 1: Cán chấm nhận xét 2: PGS-TS.Đậu Thế Cấp TS.Nguyễn Bá Thi PGS-TS.Nguyễn Anh Tuấn Luận văn Thạc sĩ bảo vệ HỘI ĐỒNG CHẤM BẢO VỆ LUẬN VĂN THẠC SĨ TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA, ngày 29 tháng 08 năm 2009 TRƯỜNG ĐH BÁCH KHOA TP HCM PHÒNG ĐÀO TẠO SĐH CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc Tp HCM, ngày 21 tháng 06 năm 2008 NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ Họ tên học viên: Lê Phú Hải Phái: Nam Ngày, tháng, năm sinh: 21/10/1958 Nơi sinh: Tiền Giang Chuyên ngành : Toán ứng dụng MSHV: 02407704 I- TÊN ĐỀ TÀI ĐỘ ĐO HỮU HẠN VÀ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT TRONG KHÔNG GIAN BANACH II - NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG Đọc tài liệu độ đo, tích phân, xác suất kiến thức tơpơ, giải tích hàm có liên quan Viết phần kiến thức chuẩn bị (chương I) Từ tính chất độ đo xác suất độ đo tổng quát, chứng minh số tính chất độ đo hữu hạn (chương II) Viết phần phân phối xác suất không gian Banach theo chủ đề hoàn chỉnh (chương III) III - NGÀY GIAO NHIỆM VỤ: 21/01/2008 IV- NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 30/06/2008 V - CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: Phó giáo sư - Tiến sĩ Đậu Thế Cấp CÁN BỘ HƯỚNG DẪN PGS – TS ĐẬU THẾ CẤP CN BỘ MÔN QL CHUYÊN NGÀNH PGS –TS NGUYỄN ĐÌNH HUY LỜI CẢM ƠN Em xin chân thành cảm ơn đến quý thầy cô Bộ mơn Tốn ứng dụng trường Đại học Bách Khoa Thành Phố Hồ Chí Minh tận tình dạy dỗ em hai năm học cao học Trường Em xin chân thành cảm ơn đến quý thầy Phịng quản lý khoa học, Phịng đào tạo sau đại học trường Đại học Bách Khoa Thành Phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện tốt cho em học tập nghiên cứu Em xin chân thành cảm ơn thầy Phó Giáo Sư - Tiến Sĩ Nguyễn Đình Huy thường xun động viên, khích lệ em học tập tạo điều kiện tốt cho em học tập nghiên cứu Em xin chân thành cảm ơn thầy Phó Giáo Sư - Tiến Sĩ Đậu Thế Cấp dành nhiều thời gian nhiều công sức hướng dẫn em thực luận văn Tôi xin cảm ơn lãnh đạo Phòng Giáo Dục Quận Gò Vấp, Ban Giám Hiệu Trường Trung Học Cơ Sở Nguyễn Du Quận Gò Vấp bạn đồng nghiệp giúp đỡ động viên nhiều suốt năm học cao học TP.HCM, tháng năm 2008 Lê Phú Hải TÓM TẮT LUẬN VĂN Lý thuyết xác suất không gian Banach lĩnh vực phát triển mạnh mẽ gần có nhiều ứng dụng lý thuyết thực tiễn Luận văn đặt vấn đề học tập tìm hiểu lý thuyết quan trọng Luận văn có ba chương Chương I trình bày số kiến thức chuẩn bị giải tích hàm độ đo Không gian xác suất không gian độ đo ( Ω, F, P ) có P (Ω) = độ đo hữu hạn đặc biệt Do chương II luận văn khảo sát với chứng minh đầy đủ tính chất độ đo hữu hạn Đây phần quan trọng luận văn Cuối chương II khảo sát hội tụ yếu độ đo Chương III xem xét số vấn đề phân phối xác suất khơng gian Banach bao gồm tính chất phần tử ngẫu nhiên, dạng hội tụ phần tử ngẫu nhiên, nhận giá trị không gian Banach Cuối chương III cuối luận văn đề cập đến luật số lớn cho dãy phần tử ngẫu nhiên Do kiến thức, lực hạn chế nên cố gắng chúng tơi chắn luận văn cịn nhiều thiếu sót Kính mong q thầy giáo bổ sung TP.HCM, tháng năm 2008 Lê Phú Hải MỤC LỤC Trang CHƯƠNG I KIẾN THỨC CHUẨN BỊ § GIẢI TÍCH HÀM § ĐỘ ĐO 13 CHƯƠNG II ĐỘ ĐO HỮU HẠN .17 §1 ĐỘ ĐO CHÍNH QUY VÀ ĐỘ ĐO RADON 17 § SỰ HỘI TỤ YẾU CỦA ĐỘ ĐO 23 CHƯƠNG III PHÂN PHỐI XÁC SUẤT TRONG KHÔNG GIAN BANACH 29 § PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN 29 § CÁC DẠNG HỘI TỤ 33 § LUẬT SỐ LỚN 42 CHƯƠNG I KIẾN THỨC CHUẨN BỊ § GIẢI TÍCH HÀM 1.1 Không gian mêtric ⎯→ 1.1.1 Định nghĩa Cho X ≠ ∅ Một ánh xạ d: XXX ⎯ gọi mêtric (khoảng cách) X nếu, với x, y,z thuộc X i) d(x,y) ≥ ii) d(x,y) = ⇔ x = y iii) d(x,y) = d(y,x) iv) d(x,y) ≤ d(x,z) + d(z,x) Cặp X = (X, d) d mêtric X, gọi khơng gian mêtric 1.1.2 Ví dụ Với tập X, đặt d(x,y) = gọi mêtric rời rạc X x ≠ y x = y mêtric, Mọi tập xem khơng gian mêtric với mêtric rời rạc 1.1.3 Hình cầu đóng, hình cầu mở Giả sử X khơng gian mêtric, x0 ∈ X r>0 Tập B (x0, r) = {x ∈ X : d (x, x0) cho B(x,r) ⊂ A Tập A ⊂ X gọi đóng X Αc = X\A tập mở X 1.1.5 Định lí Giả sử X khơng gian mêtric, i) Hợp số tùy ý tập mở X tập mở X ii) Giao số hữu hạn tập mở X tập mở X 1.1.6 Định lí Giả sử X khơng gian mêtric, i) Giao số tùy ý tập đóng X tập đóng X ii) Hợp số hữu hạn tập đóng X tập đóng X 1.2 Không gian mêtric đủ 1.2.1 Sự hội tụ không gian mêtric Giả sử ( xn )n ∈ dãy không gian mêtric X, x0 ∈ X Dãy (xn)n gọi hội tụ x0 X, lim d(xn,x0) = Lúc ta gọi x0 giới hạn n →∞ dãy (xn)n kí hiệu lim xn = x0 hay xn → x0 n→ ∞ Theo định nghĩa giới hạn dãy số ta có lim xn = x0 ⇔ ∀ε > 0, ∃n0 , cho ∀n ≥ n0 d(xn, x0) < ε n→ ∞ ⇔ ∀ε > 0, ∃n0 , cho ∀n ≥ n0 xn ∈ B(xn, ε ) Tính chất: Giới hạn dãy (xn) có Nếu (xn)n ⊂ X hội tụ có giới hạn x0 ∈ X dãy hội tụ có giới hạn x0 1.2.2 Định nghĩa Giả sử (X,d) không gian mêtric Dãy (xn)n ⊂ X gọi dãy (hay dãy Cauchy) lim d ( xn , xm ) = n , m→ ∞ Hay nói xác (xn)n ⊂ X dãy ⇔ ∀ε > 0, ∃n0 > : ∀m, n ≥ n0 d(xn, xm)< ε 1.2.3 Định nghĩa Không gian mêtric X gọi đủ dãy X hội tụ 1.2.4 Tập compăc Trong không gian mêtric X Tập A ⊂ X gọi compăc dãy (xn)n ⊂ A tồn dãy ( xnk ) k ⊂ ( xn ) n hội tụ điểm x0 ∈ Α Nếu X tập compăc ta nói X khơng gian compăc Một khơng gian mêtric compăc đầy đủ A tập compăc A đóng X Nếu X khơng gian compăc tập đóng tập compăc 1.2.5 Định nghĩa Tập F khơng gian tơpơ gọi tập có tính chất Gδ F giao đếm tập mở 1.2.6 Định lí Trong khơng gian mêtric tập đóng có tính chất Gδ Chứng minh Giả sử F tập đóng khơng gian mêtric X n Ký hiệu d ( x, F) = inf{d ( x, y ) : y ∈ F} Đặt Gn = {x ∈ X : d ( x, F) < } Khi n x ∈ Gn ta có d(x,F) = a < n Đặt r = − a y ∈ Β ( x, r ) theo bất đẳng thức tứ giác d(y,F) ≤ d ( x, y ) + d ( x, F) lim P (sup Χ m − Χ > ε ) = n →∞ m≥ n Chứng minh Với ε > n = 1,2, …đặt ∞ Dn (ε ) = ( sup Χ m − Χ > ε ) = ∪ ( Χ m − Χ > ε ) m≥ n m =n ∞ Dn (ε ) ↓ n tăng Dnc (ε ) = ∩ ( Χ m − Χ ≤ ε ) m=n Khi ω ∈[ lim Χ n − Χ = 0] ⇔ lim Χ n (ω ) − Χ (ω ) = n →∞ n →∞ ⇔ ∀ε > 0, ∃n : Χ m (ω ) − Χ (ω ) ≤ ε ⇔ ∀k , ∃n : Χ m (ω ) − Χ (ω ) ≤ ⇔ ∀k , ∃n : ω ∈ DnC ( 1k ) ∞ ∞ ⇔ ω ∈ ∩∪ Dnc ( 1k ) k =1 n =1 ∞ ∞ ⎛1⎞ ⎝ ⎠ Do [ lim Χ m − Χ = 0] = ∩∪ Dnc ⎜ ⎟ Từ n →∞ k k =1 n =1 ∀m ≥ n , ∀m ≥ n k 35 ( h c c Χ n ⎯⎯⎯ →Χ ) ⇔ P lim Χ n − Χ = = n→ ∞ ⎛∞ ∞ ⎛ ⎞⎞ ⇔ P ⎜ ∩∪ Dnc ⎜ ⎟ ⎟ = ⎝ k =1 n =1 ⎝ k ⎠ ⎠ ⎛∞ ⎛ ⎞⎞ ⇔ P ⎜ ∪ Dnc ⎜ ⎟ ⎟ = ⎝ n =1 ⎝ k ⎠ ⎠ ∀k = 1, 2, ⎛∞ ⎛ ⎞⎞ ⇔ P ⎜ ∩ Dn ⎜ ⎟ ⎟ = ⎝ n =1 ⎝ k ⎠ ⎠ ∀k = 1, 2, ⎛ ⎛ ⎞⎞ ⇔ lim P ⎜ Dn ⎜ ⎟ ⎟ = n →∞ ⎝ ⎝ k ⎠⎠ ∀k = 1, 2, ⇔ lim P ( Dn (ε ) ) = Dn (ε ) ↓ n ∞→ Định lí chứng minh Lp h c c Ρ → Χ Χ n ⎯⎯→ Χ Χ n ⎯⎯ →Χ 2.4 Định lí Nếu Χ n ⎯⎯⎯ Ρ Χ n ⎯⎯ →Χ h c c → Χ Chứng minh i) Nếu Χ n ⎯⎯⎯ Thật ta có ∀ε > 0, ≤ P ( Χ n − Χ > ε ) ≤ P (sup Χ m − Χ > ε ) m ≥n h c c → Χ theo định lí 2.3 Mặt khác theo giả thiết Χ n ⎯⎯⎯ ∀ ε > 0, lim P (sup Χ m − Χ ≥ ε ) = n→∞ m ≥n p → Χ n → ∞ Vậy Χ n ⎯⎯ Lp p →Χ ii) Nếu Χ n ⎯⎯→ Χ Χ n ⎯⎯ Thật áp dụng bất đẳng thức Markov cho đại lượng ngẫu nhiên Χ n − Χ , ta có ∀ε > 0, P ( Χ m − Χ > ε ) ≤ p E Χn − Χ εp (do E Χ n − Χ → n → ∞ ) p →Χ Vậy Χ n ⎯⎯ n→ ∞ p ⎯⎯ →0 36 2.5 Định nghĩa Ta nói dãy phần tử ngẫu nhiên (Xn) - Dãy hầu chắn P ( lim Χ m − Χ n = 0) = m , n →∞ - Dãy theo xác suất lim P( Χ m − Χ n ≥ ε ) = 0, m , n →∞ ∀ε > - Dãy theo trung bình cấp p > lim E Χ m − Χ n m , n→∞ p =0 2.6 Định lí Dãy (Xn) hầu chắn dãy (Xn) hội tụ hầu chắn Ω1 ={ω : Χ n (ω ) hội tụ } Chứng minh Đặt Ω = {ω : Χ m (ω ) } Khi E không gian Banach nên Ω1 = Ω , (Xn)hội tụ hầu chắn ⇔ P(Ω1 ) = ⇔ P(Ω ) = ⇔ ( Χ n ) hầu chắn Định lí chứng minh 2.7 Định lí Dãy (Xn) hầu chắn hai điều kiện sau thỏa mãn i) lim P (sup Χ k − Χl > ε ) = ∀ε > ii) lim P (sup Χ k − Χ n > ε ) = ∀ε > n →∞ n →∞ k ,l ≥ n k ≥n Chứng minh Ta có Χ k − Χ l ≤ Χ k − Χ n + Χ l − Χ n ε suy (sup Χ k − Χ n > ε ) ⊂ (sup Χ k − Χ l > ε ) ⊂ (sup Χ k − Χ n > ) k ≥n k ,l ≥ n k ≥n Do i) ⇔ ii ) Ta chứng minh (Xn) hầu chắn thỏa i) Đặt ∆ n (ε ) = ∞ ∪(Χ k ,l = n k ⎛ ⎞ − Χ l > ε ) = ⎜ sup Χ k − Χ l > ε ⎟ ⎝ k ,l ≥ n ⎠ Khi ∆ n (ε ) dãy giảm tương tự định lí 2.3 ta chứng minh 37 ∞ ∞ _ ⎛1⎞ ( lim Χ k − Χ l = 0) = ∩∪ ∆ n ⎜ ⎟ k ,l →∞ ⎝m⎠ m =1 n =1 ⎛ ∞ ∞ _ ⎞ ⎛1⎞ Suy (Xn) hầu chắn ⇔ P ⎜ ∩∪ ∆ n ⎜ ⎟ ⎟ = ⎜⎜ m =1 n =1 ⎝ m ⎠ ⎟⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ∞ ∞ ⎛ ⎞⎞ ⇔ P ⎜ ∪∩ ∆ n ⎜ ⎟ ⎟ = ⎝ m =1 n =1 ⎝ m ⎠ ⎠ ⎛ ∞ ⎛ ⎞⎞ ⇔ P ⎜ ∩ ∆ n ⎜ ⎟ ⎟ = ∀m ⎝ n =1 ⎝ m ⎠ ⎠ ⎛ ⎛ ⎞⎞ ⇔ lim P ⎜ ∆n ⎜ ⎟ ⎟ = n→∞ ⎝ ⎝ m ⎠⎠ ∀m ⇔ lim P ( ∆ n (ε ) ) = ∀ε > n →∞ Định lí chứng minh 2.8 Định lí Nếu dãy (Xn) theo xác suất tồn dãy ( Χ n cho ( Χ n k k ) ⊂ (Χ ) n ) hội tụ hầu chắn Chứng minh Trước hết ta chứng minh khẳng định: Cho Ε không gian Banach dãy (xn ) ⊂ Ε Khi tồn n0 cho xn +1 − xn < , ∀n ≥ n0 (xn ) dãy hội tụ 2n Thật vậy, với ε > tồn n1 , n1 −1 n2, với p > xn + p − xn ≤ xn + p − xn + p −1 + + xn +1 − xn p 1 < n + p −1 + + n = n 2 2 1− ⎛ ⎞ = n −1 ⎜ − p ⎟ < n −1 < ε ⎝ ⎠ 1− 38 Bây ta chứng minh định lí Dãy (Xn) theo xác suất nên với ε > ta có lim P ( Χ m − Χ n ≥ ε ) = m , n →∞ Lấy ε = , tồn n1, với m, n ≥ n1 1⎞ ⎛ P ⎜ Χm − Χn ≥ ⎟ < 2⎠ ⎝ Lấy ε = , tồn n2> n1, với m, n ≥ n2 22 ⎞ ⎛ P ⎜ Χm − Χn ≥ ⎟ < ⎠ ⎝ Lấy ε k = tồn nk > nk −1 , với m, n ≥ nk 2k ⎞ ⎛ P ⎜ Χm − Χn ≥ k ⎟ < k ⎠ ⎝ ⎛ ⎞ Suy dãy ( Χ n ) thỏa mãn P ⎜ Χ m − Χ n > k ⎟ < k ⎠ ⎝ k ∞ ∞ ⎞ ∞ ∞ ⎛ Đặt Α = ∩ ∪ ⎜ Χ nk +1 − Χ nk ≥ k ⎟ = ∩ ∪ Α k Ta có ⎠ m =1 k = m m =1 k = m ⎝ ∞ ⎛ ∞ ⎞ P ( Α ) = lim P ⎜ ∪ Α k ⎟ ≤ lim ∑ P ( Α k ) m →∞ ⎝ k = m ⎠ m →∞ k = m ⎛ ∞ ⎞ ≤ lim ⎜ ∑ k ⎟ = m→∞ ⎝ k =m ⎠ _ ∞ ∞ ⎛ m =1 k = m ⎝ Do P ( Α ) = 1, với Α = ∪ ∩ ⎜ Χ n − Χ n < k +1 k 2k ⎞ ⎟ ⎠ ∞ ⎛ k = m0 ⎝ _ Giả sử ω ∈ Α Khi tồn m0 cho ω ∈ ∩ ⎜ Χ n Suy Χ n k +1 (ω ) − Χ n (ω ) k < , 2k ∀k ≥ m0 k +1 − Χ nk < 2k ⎞ ⎟ ⎠ 39 Theo khẳng định dãy ( Χ n (ω ) ⊂ Ε ) hội tụ, nên k Α ⊂ { ω : Χ nk (ω ) hội tụ } Từ suy P(ω : Χ n (ω ) hội tụ) = k Do Χ n hội tụ hầu chắn k Định lí chứng minh 2.9 Định lí Dãy (Xn) hội tụ theo xác suất dãy (Xn) theo xác suất Chứng minh Điều kiện cần Giả sử (Xn) hội tụ theo xác suất, ω ∈ Ω ta có X m ( ω ) − X n ( ω ) ≤ Χ m ( ω ) − Χ ( ω ) + Χ n (ω ) − Χ ( ω ) (Χ m − Χn > ε ) ⊆ ( Χm − Χ ≥ ε ) ∪ ⎛⎜ ⎝ Χn − Χ ≥ ε ε⎞ ⎟ Từ suy 2⎠ ε P ( Χ m − Χ n ≥ ε ) ≤ P ( Χ m − Χ ≥ ) + P( Χ n − Χ ) ≥ 2 Do (Xn) hội tụ theo xác suất nên P ( Χ m − Χ n ≥ ε ) → m, n → ∞ Vậy (Xn) theo xác suất h c c → Χ (k → ∞) Điều kiện đủ ( Χ n ) ⊂ ( Χ n ) , Χ n ⎯⎯⎯ k k ≤ P ( Χn − Χ ≥ ε ) ∀ ε > 0, ε⎞ ε⎞ ⎛ ⎛ ≤ P ⎜ Χ n − Χ nk > ⎟ + P ⎜ Χ nk − Χ > ⎟ ⎯⎯ →0 2⎠ 2⎠ ⎝ ⎝ p →Χ Vậy Χ n ⎯⎯ n → ∞ Định lí chứng minh 2.10 Định lí Dãy (Xn) hội tụ theo trung bình cấp p dãy (Xn) theo trung bình cấp p (p ≥1) Chứng minh Điều kiện cần Giả sử Lp Χ n ⎯⎯ →Χ ( suy E Χ n − Χ E Χm − Χn p ) p p ⎯⎯ →0 = Χm − Χn p n ⎯⎯ →∞ ≤ Χm − Χ p + Χn − Χ p 40 ( = E Χm − Χ Vậy E Χ m − Χ p →0 p p ) + (E Χ −Χ n p ) p →0 m, n → ∞ m, n → ∞ Do dãy (Xn) theo trung bình cấp p Điều kiện đủ Giả sử (Xn) theo trung bình cấp p ta có (E Χ n − Χn p ) ( p p Ta có E Χ n m, n → ∞ →0 ) p = Χn p ( Χn − Χm ) + Χm = ≤ Χn − Χm p ( = E Χn − Χm ( p Do E Χ n ⎛ p m ( p Dãy số ⎜ E Χ n ⎜ ⎝ Vậy sup E Χ n p ) p p p p ) + (E Χ ) p p m p ) − (E Χ ) ≤ (E Χ p + Χm P m − Χn ⎞ ⎟ dãy ⎟ ⎠ p ) p →0 m, n → ∞ nên liên tục bị chặn < ∞ Theo bất đẳng thức Markov ta có P ( Χn − Χm ≥ ε ) ≤ E Χn − Χm p →0 εp m, n → ∞ Suy (Xn) theo xác suất, nên tồn h c c ( Χ nk ) ⊂ ( Χ n ) , Χ nk ⎯⎯⎯ →Χ k → ∞ Mặt khác (Xn) theo trung bình nên ∀ε > tồn N (ε ) cho E Χm − Χn p < ε, ∀m, n ≥ N ( ε ) Nên với nk ≥ N (ε ) theo bổ đề Fatou E Χ nk − Χ p = E lim Χ nk − Χ nm m →∞ Suy E Χ n − Χ k p p ≤ lim E Χ nk − Χ nm m →∞ p , nên lim E Χ nk − Χ k →∞ p < ε , ∀ε > 41 p Lp Do lim E Χ n − Χ = nên Χ n ⎯⎯ →Χ k →∞ ( k Ta có E Χ n − Χ k p ) ≤ (E Χ p Lp →Χ Vậy Χ n ⎯⎯ k Định lí chứng minh n − Χ nk p ) + (E Χ p nk −Χ p ) p → 0, n → ∞ 42 § LUẬT SỐ LỚN 3.1 Định nghĩa Giả sử Χ : Ω → Ε phần tử ngẫu nhiên, EΧ ∈Ε gọi kỳ vọng X với f ∈ Ε* ta có f ( E Χ ) = E( f ( Χ))∈ 3.2 Định nghĩa Không gian Banach thực khả li Ε gọi có tính chất Rademacher loại p với ≤ p ≤ tồn số C cho với dãy phần tử ngẫu nhiên độc lập {Χ j : ≤ j ≤ n} nhận giá trị E với EΧ = 0, E Χj E p < ∞ ta có: n ∑Χj P j =1 n ≤ C∑ E Χ j p j =1 Sau ta giả thiết Ε không gian Banach thực khả li, có tính chất Rademacher loại p(1 ≤ p ≤ 2) 3.3 Định lí (Luật yếu số lớn) Giả sử Xn dãy phần tử ngẫu nhiên độc lập nhận giá trị E, (bn) dãy số dương, bn ↑ ∞, n → ∞ Đặt Χ n = Χ i χ (|| X ||≤ bn ) với ≤ i ≤ n Khi i i n Ρ bn −1 ∑ Χ i ⎯⎯ →0 n → ∞ i =1 thỏa điều sau n ∑P( Χ > bn ) → n → ∞ , (I) ∑ E(Χ ) → n → ∞ , (II) i =1 bn −1 i n i =1 ni n bn − p ∑ E Χ ni − E ( Χ ni ) → n → ∞ p i =1 n n i =1 i =1 Chứng minh Đặt S nn = ∑ X ni , S n = ∑ Χ i Khi ⎛S S P ⎜ nn ≠ n bn ⎝ bn ⎞ ⎛ n ⎞ ≤ P ⎟ ⎜ ∪ Χ ni ≠ Χ i ⎟ ⎝ i =1 ⎠ ⎠ { } (III) 43 ≤ n ∑ P(Χ i =1 ni ≠ Χi ) n = ∑ P ( Χ i > bn ) → n → ∞ (Theo I ) i =1 P Do để chứng minh bn −1Sn ⎯⎯ → n → ∞ ta cần chứng minh: P bn −1S nn ⎯⎯ → n → ∞ Mặt khác (II) ta cần chứng minh n P bn −1 ∑ ⎡⎣ Χ ni − E ( Χ ni ) ⎤⎦ ⎯⎯ → n → ∞ i =1 Do E khơng gian Banach có tính chất Rademacher loại p (1 ≤ p ≤ ) dãy (Χ ni − E ( Χ ni ) ) , (1 ≤ i ≤ n, n = 1, 2, ) dãy phần tử ngẫu nhiên độc lập có kỳ vọng khơng nên ∀ε > ta có n bn −1 ∑ ⎡⎣ Χ ni − E ( Χ ni ) ⎤⎦ P( >ε ) i =1 ≤ ε bn −P −P n E ∑ ⎡⎣ Χ ni − E ( Χ ni ) ⎤⎦ P (theo bất đẳng thức Markov) i =1 n ≤ Cε − p bn − P ∑ E Χ ni − E ( Χ ni ) → n → ∞ p i =1 Vậy bn −1 n ∑ ⎡⎣ Χ i =1 ni p − E ( Χ ni ) ⎤⎦ ⎯⎯ → n → ∞ p Từ ta có bn −1Sn ⎯⎯ → n → ∞ Định lí chứng minh Để chứng minh luật mạnh số lớn ta cần bổ đề sau chứng minh [3] 44 3.4 Bổ đề Giả sử {Xn, n ≥ 1} dãy phần tử ngẫu nhiên độc lập, kỳ vọng không, nhận giá trị không gian Banach Rademacher loại p, ≤ p ≤ j E(max 1≤ j ≤ n ∑Χ i =1 n ) p ≤ C ∑ E Χi p , n ≥1 i =1 C số không phụ thuộc vào n 3.5 Định lí (Luật mạnh số lớn) Giả sử E khơng gian Banach có tính chất Rademacher loại p, ≤ p ≤ Khi với dãy {Xn, n ≥ 1} phần tử ngẫu ∞ ∑ nhiên độc lập, kỳ vọng không ,thoả mãn điều kiện j =1 S n h c c ⎯⎯⎯ →0 n E Χj p j n → ∞ Chứng minh Giả sử X có tính chất Rademacher loại p: Đặt Τn = k max 2n −1 2n−1 ≤ k ≤2n −1 Ta có EΤ ≤ p n 2n −1 C ∑Χ j = 2n−1 p ( n −1) ∑EΧ j = 2n−1 2n −1 ≤C ∑EΧ j = 2n−1 , n ≥ P j (Theo bổ đề 3.4) p j jp Theo giả thiết suy j ∞ ∑ EΤ n =1 , n ≥ p n < ∞ Áp dụng bất đẳng thức Markov bổ đề Borel – Cantelli suy h c c Τn ⎯⎯⎯ →0 n Chọn m cho m −1 ≤ n ≤ ta có Định lí chứng minh m ∑Χ j =1 n j ≤ 2m m ∑2 k =0 k −1 Τk → < ∞ ta có 45 Cho (Ω, F , P ) làm không gian xác xuất đầy đủ, E không gian Banach B(E) σ - đại số Borel E 3.6 Định nghĩa Cho Χ : Ω → Ε phần tử ngẫu nhiên G- đo (G σ - đại số F ) Khi phần tử ngẫu nhiên Y: Ω → Ε gọi kỳ vọng có điều kiện X G i) Y G – đo ii) E(Y χ A ) = E ( Χχ A ) với Α ∈ G Ta ký hiệu: Y = E (X|G) 3.7 Định nghĩa Cho (F n) dãy tăng σ -đại số F Khi dãy (Xn, F n) gọi martingale i) Χ n ∈ L1 (F n ,E) ii) E( Χ m | F n ) = Xn với m ≥ n Dãy (Xn, F n) gọi hiệu martingale thoả mãn i) ii’) E( Χ m | F n ) = với m ≥ n 3.8 Định nghĩa Không gian Banach khả li E gọi không gian Banach p- trơn (1 < p ≤ 2) ⎧ || x + y || + || x − y || − 1: x, y ∈ Ε,|| x ||= 1,|| y ||= τ ⎩ ρ (τ ) = sup ⎨ } ≤ Cτ p với C số 3.9 Định nghĩa Dãy phần tử ngẫu nhiên (Xn, F n) nhận giá trị không gian Banach E gọi dãy phù hợp Xn F n - đo với n Trong định lí sau ta giả thiết E không gian Banach p - trơn ( < p ≤ 2) , (F n) dãy tăng σ - đại số Hai định lí tổng quát sau chứng minh tương tự định lí 3.3 3.5 với việc sử dụng tính chất martingale 46 n 3.10 Định lí (Luật yếu số lớn) Giả sử ( S n = ∑ Χ i , F n) dãy phần từ ngẫu i =1 nhiên phù hợp nhận giá trị E, (bn) dãy số dương, bn ↑ ∞ n → ∞ Đặt Χ ni = Χ i χ (|| X i ||≤bn ) ,1 ≤ i ≤ n Khi P bn−1Sn ⎯⎯ →0 n → ∞ thỏa điều sau n ∑ P(|| Χ i =1 i || > bn ) → n bn−1 ∑ ( Χ ni P Fi -1 ) ⎯⎯ →0 n → ∞ , n → ∞ , i −1 bn− p ∑ E || Χ ni − E( Χ ni | Fi -1) || p → n → ∞ 3.11 Định lí (Luật mạnh số lớn) Giả sử (Xn, F n) hiệu martingale nhận giá trị E, (bn) dãy số cho < bn ↑ ∞ n → ∞ Khi E || Χ n || p