Cơ sở trong không gian banach

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA KHOA: KHOA HỌC ỨNG DỤNG W™X TRẦN THỊ THỦY ĐỀ TÀI: Chuyên ngành : TOÁN ỨNG DỤNG Mã số ngành : 604636 LUẬN VĂN THẠC SĨ TP.HỒ CHÍ MINH, Tháng 12 năm 2011 ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA CỘNG HOÀ Xà HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc Lập - Tự Do - Hạnh Phúc -oOo Tp HCM, ngày 14 tháng 12 năm 2011 NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ Họ tên học viên: TRẦN THỊ THỦY Giới tính: Nữ Ngày, tháng, năm sinh: 20/9/1985 Nơi sinh: Bình Định Chuyên ngành : Toán ứng dụng Khoá (Năm trúng tuyển) : 2010 1- TÊN ĐỀ TÀI: CƠ SỞ TRONG KHÔNG GIAN BANACH 2- HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ HƯỚNG DẪN : TS Chu Đức Khánh 3- HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ PHẢN BIỆN 1: 4- HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ PHẢN BIỆN 2: Nội dung đề cương Luận văn thạc sĩ Hội Đồng Chuyên Ngành thông qua CÁN BỘ HƯỚNG DẪN (Họ tên chữ ký) TS Chu Đức Khánh CHỦ NHIỆM BỘ MÔN QUẢN LÝ CHUYÊN NGÀNH (Họ tên chữ ký) PGS.TS Nguyễn Đình Huy CƠNG TRÌNH ĐƯỢC HỒN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ™ Cán hướng dẫn khoa học: TS Chu Đức Khánh ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… …………………… ™ Cán chấm nhận xét 1: ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… …………………… ™ Cán chấm nhận xét 2: ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… …………………… Luận văn thạc sĩ bảo vệ HỘI ĐỒNG CHẤM BẢO VỆ LUẬN VĂN THẠC SĨ TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA, ngày……tháng…… năm 2011 Lời cảm ơn Đầu tiên, tơi bày tỏ lịng biết ơn chân thành sâu sắc đến Thầy hướng dẫn tôi: TS Chu Đức Khánh, người tận tình hướng dẫn cho nhiều ý kiến đóng góp quý báu để Luận văn hồn thành Tơi xin chân thành biết ơn cố PGS.TS Đậu Thế Cấp, người có định hướng ban đầu gợi ý đề tài Tôi xin chân thành cảm ơn Thầy, cô giáo phản biện đọc cho ý kiến nhận xét để Luận văn chỉnh sửa hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn tập thể Thầy cô giáo Khoa Khoa học ứng dụng, Bộ mơn Tốn ứng dụng - trường Đại học Bách khoa TP.HCM bạn học viên lớp Cao học Toán ứng dụng tạo điều kiện giúp đỡ cho tơi q trình học tập nghiên cứu trường Cuối cùng, xin chân thành cảm ơn gia đình, người thân bạn bè động viên tơi q trình học tập thực Luận văn Trần Thị Thủy Lời mở đầu Việc nghiên cứu sở không gian cần thiết mô tả không gian nghiên cứu đặc trưng Mọi khơng gian vectơ có sở thơng thường (cơ sở Hamel) Tuy nhiên, trường hợp không gian Banach vô hạn chiều, việc xác định dạng sở Hamel khơng phải đơn giản Để khắc phục khó khăn đó, ta nghiên cứu loại sở khác cho không gian Banach sở Schauder Cơ sở Schauder giống sở Hamel, nhiên có khác biệt sở Hamel sử dụng tổ hợp tuyến tính, tức tổng hữu hạn, sở Schauder sử dụng tổng vô hạn Điều giúp cho sở Schauder phù hợp không gian Banach vô hạn chiều Luận văn "Cơ sở không gian Banach" gồm chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2: Cơ sở Schauder Chương 3: Ứng dụng Chương trình bày kiến thức bản, trọng tâm sử dụng Luận văn Chương giới thiệu sở Schauder không gian Banach Mối liên hệ sở không gian thực khơng gian phức để từ kết luận: q trình nghiên cứu ta khảo sát khơng gian thực từ kết luận tương tự cho không gian phức Trong chương giới thiệu sở Schauder số không gian Banach quen thuộc tính chất sở Dựa kiến thức sở Schauder, chương tác giả giới thiệu ứng dụng sở Schauder việc tìm nghiệm xấp xỉ phương trình tích phân Fredholm loại Trong q trình làm luận văn, hướng dẫn ân cần chu đáo Thầy thân cố gắng, song luận văn không tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Vì vậy, mong đóng góp ý kiến Thầy, Cơ bạn để luận văn hồn chỉnh Bảng kí hiệu K: tập số ( thực hay phức ) : chuẩn lp : tập dãy số (xn ) cho ∞ |xn |p < ∞ n=1 l∞ : tập dãy số bị chặn c0 : tập dãy số (xn ) hội tụ C([a, b]): không gian hàm liên tục [a, b] Lp ([0, 1]): khơng gian hàm p - khả tích [0,1] L(X): khơng gian tốn tử tuyến tính liên tục từ X vào X L(X, Y ): không gian tốn tử tuyến tính liên tục từ X vào Y Mục lục Lời cảm ơn Lời mở đầu Bảng kí hiệu KIẾN THỨC CHUẨN BỊ CƠ SỞ SCHAUDER 16 Định nghĩa 17 Các ví dụ 18 Liên hệ sở Hamel sở Schauder 24 Tính chất 24 4.1 Mối quan hệ sở không gian Banach thực phức 24 4.2 Tính chất phiếm hàm hệ số liên kết 35 4.3 Điều kiện cần đủ để dãy sở 41 Bài toán sở 43 ỨNG DỤNG 46 Kết luận 54 Tài liệu tham khảo 55 Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tơi trình bày kiến thức sử dụng Luận văn Trước hết, nhắc lại kiến thức liên quan đến không gian vectơ tồn sở Hamel Cho K trường số (thực phức) Định nghĩa 1.1 Cho X không gian vectơ Hệ vectơ {x1 , x2 , , xp } ∈ X gọi độc lập tuyến tính với α1 , α2 , , αp ∈ K thỏa p αi xi = α1 = · · · = αp = i=1 Một tập hợp M ⊂ X gọi độc lập tuyến tính tập hữu hạn tùy ý độc lập tuyến tính Nếu M khơng độc lập tuyến tính ta nói phụ thuộc tuyến tính Định nghĩa 1.2 Khơng gian sinh tập M, kí hiệu spanM , tập tất tổ hợp tuyến tính hữu hạn phần tử M, tức N cn xn : với N > 0, c1 , c2 , , cN ∈ K, x1 , , xN ∈ M spanM = n=1 Định nghĩa 1.3 Một tập S không gian vectơ X gọi sở Hamel X nếu: Bài toán sở Mệnh đề 2.6 Mọi khơng gian Banach có sở Schauder không gian khả ly Chứng minh Cho X không gian Banach trường K với sở (en ) Xét tập hợp n ri ei |ri số hữu tỷ K n ∈ IN A= i=1 (Nếu K = C I số hữu tỷ C I số mà phần thực phần ảo thuộc Q I ) Rõ ràng A tập đếm X Bây ta chứng minh A trù mật X Cho ε > tùy ý Vì dãy (en ) sở X nên Span{en } = X Khi đó, ∀x ∈ X, ∃y ∈ Span{en } : x − y < 2ε Ta viết k y= αi eni i=1 với α1 , α2 , , αk ∈ K ta xác định số hữu tỷ ri (1 ≤ i ≤ n) thỏa mãn |αi − ri | ≤ ε 2k eni Ta có k x− k ri eni ≤ x − i=1 k |αi − ri | eni < αi eni + i=1 i=1 ε ε + =ε 2 n Điều cho x ∈ X tồn phần tử z = i=1 cho x − z < ε 43 ri eni ∈ A Vì A trù mật X Định nghĩa 2.2 Một khơng gian Banach X gọi có tính chất xấp xỉ với tập compact C ⊂ X với ε > 0, tồn toán tử tuyến tính bị chặn AC,ε từ X vào X có hạng hữu hạn cho AC,ε x − x < ε, ∀x ∈ C Định lý 2.4 Cho X không gian Banach với sở (en ) Khi đó, X có tính chất xấp xỉ Chứng minh Đặt C tập compact X ε > Theo bổ đề trên, tồn N ∈ IN : PN x − x < ε, x∈C Theo nguyên lý bị chặn đều, Π := sup Pn hữu hạn n∈ IN Vì tính compact C, ta chọn hữu hạn điểm y1 , , yl ∈ C cho i=1, ,l x − yi ≤ ε , 2(1 + Π) x∈C Đặt e0 ∈ C Khi ∃j ∈ IN : e0 − yj < ε 2(1 + Π) theo định nghĩa sở Schauder lim yj − Pn yj = n→∞ Suy ε ∃Nε ∈ IN : yj − Pn yj < , 44 n ≥ Nε Vậy P n e0 − e0 = Pn e0 − e0 ± yj ± Pn yj ≤ yj − e0 + Pn yj − Pn e0 + yj − Pn yj ≤ yj − e0 + Pn yj − e0 + yj − Pn yj ≤ yj − e0 + Π yj − e0 + ≤ (1 + Π) ε ε ε + =ε 2(1 + Π) Mệnh đề 2.6 cho thấy không gian Banach có sở khơng gian khả ly Câu hỏi đặt ra: điều ngược lại có khơng? Tức là, không gian Banach khả ly có tồn sở hay khơng? Câu hỏi đặt từ năm 1932 biết đến "bài toán sở" Sau 40 năm, năm 1973, Per Enflo tìm lời giải cho toán cách tồn khơng gian Banach khả ly khơng có sở Thực tế, Enflo xây dựng không gian Banach khả ly vơ hạn chiều khơng có tính chất xấp xỉ, theo định lý 2.4, khơng gian khơng có sở Schauder [9] 45 Chương ỨNG DỤNG Cơ sở Schauder có nhiều ứng dụng toán lý thuyết toán ứng dụng giải phương trình vi phân tích phân.[1], [4], [8], [9] Trong chương này, chọn ứng dụng sở Schauder vào việc giải phương trình tích phân Fredholm loại Xét phương trình tích phân Fredholm loại 2: b λu(x) − k(x, y)u(y)dy = f (x), (a ≤ x ≤ b), (3.1) a k : [a, b] × [a, b] f : [a, b] → IR hàm liên tục λ ∈ IR \ {0} Ta kí hiệu C([a, b]) (tương ứng C([a, b]2 )) không gian Banach hàm thực liên tục [a, b] (tương ứng [a, b] × [a, b]) trang bị chuẩn sup C ([a, b]) (tương ứng C ([a, b]2 )) không gian hàm liên tục có đạo hàm cấp liên tục [a, b] (tương ứng [a, b] × [a, b]) Xét tốn tử tích phân K : C([a, b]) −→ C([a, b]) 46 xác định b Ku(x) := k(x, y)u(y)dy, (u ∈ C([a, b]), a ≤ x ≤ b) (3.2) a Khi đó, phương trình tích phân Fredholm viết lại (λI − K)u = f hay (I − L)u = g L= K f ,g = λ λ Nếu ta giả sử L < 1, nghĩa b |k(x, y)|dy < |λ|, K = max a≤x≤b a theo định lý chuỗi hình học, phương trình (3.1) có nghiệm biểu diễn dạng ∞ −1 Ln g u = (I − L) g = n=0 n Do đó, xem {un }n≥1 dãy tổng riêng chuỗi trên, tức un = Lk g, k=0 nghiệm u giới hạn dãy Tuy nhiên, với n ≥ 1, biểu diễn Ln g 1n Ln g(t1 ) = λ b b (n) a k(t1 , t2 )k(t2 , t3 ) k(tn , kn+1 )g(tn+1 )dtn+1 dt2 (t1 ∈ [a, b]), a Do việc xác định rõ ràng nghiệm phức tạp 47 Để tìm nghiệm tốn ta làm sau: Ta viết dãy {un }:          u0 = g (3.3)         un = g + Lun−1 = g(.) + λ b k(., y)un−1 (y)dy, n≥1 a Với v ∈ C([a, b]), đặt Φv (x, y) = k(x, y)v(y) (x, y ∈ [a, b]) Ta thấy Φv (x, y) hàm C([a, b]2 ) biểu diễn chuỗi vô hạn cách sử dụng sở Schauder Đặt {ti : i ≥ 1} tập trù mật [a, b], với t1 = a, t2 = b Cơ sở Schauder (bn )n≥1 C([a, b]) xác định b1 (t) = 1, ∀t ∈ [a, b] với j ≥ 2, bj hàm liên tục khúc IR có đồ thị đoạn tuyến tính qua điểm (t1 , 0), , (tj−1 , 0), (tj , 1) Cơ sở Schauder (Bn )n≥1 không gian Banach C([a, b]2 ) xác định Bn (x, y) = bτ1 (n) (x)bτ2 (n) (y), (x, y ∈ [a, b]), τ = (τ1 , τ2 ) : IN −→ IN × IN song ánh tuyến tính xác định bởi: τ (n) :=      √ √   ( n, n),         √ √ √ [ n] = n √ (n − [ n]2 , [ n] + 1),           √ √ √     ([ n] + 1, n − [ n] − [ n]), 48 √ √ < n − [ n]2 ≤ [ n] √ √ [ n] ≤ n − [ n]2 Khi ∞ Bn∗ (Φv )Bn (x, y) Φv (x, y) = n=1 ta có (Lv)(x) = b Φv (x, y)dy λa = b ∞ ∗ ( B (Φv )Bn (x, y))dy λ a n=1 n = b ∞ ∗ ( Bn (Φv ) Bn (x, y)dy) λ n=1 a = b ∞ ∗ (Bn (Φv )bτ1 (n) (x) bτ2 (n) (y)dy) λ n=1 a Mệnh đề 3.1 Cho ϕ ∈ C ([a, b]2 ) M := max ∂ϕ ∂x ∂ϕ ∂y , ∞ ∞ giả sử M = Cho ε > 0, (ti )i≥1 dãy điểm trù mật [a, b] Kí hiệu ∆n := {a = e1 < e2 < · · · < en−1 < en = b} điểm {t1 , , tn } thứ tự tăng dần viết lại kí hiệu Giả sử max (ei − ei−1 ) < i=2, ,n ε 4M ϕ − Pn2 (ϕ) ∞ ≤ε Định lý 3.1 Cho k ∈ C([a, b]2 ), g ∈ C([a, b]), λ ∈ IR \{0} toán tử tích phân Fredholm tương ứng L Xét m ∈ IN , n1 , , nm ∈ IN với i = 1, , m ta định nghĩa hàm ui (x) := g(x) + λ b Pni (k(x, y)ui−1 (y))dy, a 49 (x ∈ [a, b]) đó, u0 = g Với mỗi, i=1, ,m, đặt εi > giả sử (g + Lui−1 ) − ui ∞ < εi Khi đó, m+1 u − um ∞ L ≤ g ∞ + 1− L m εi , i=1 với u nghiệm phương trình tích phân Fredholm Chứng minh: Áp dụng bất đẳng thức tam giác ta có u − um ∞ ≤ u − um ∞ + um − um ∞ (3.4) Mặt khác, u − um ∞ Lj g − = j≥0 m Lj g j=0 ∞ Lj g = j≥m+1 ≤ ∞ ∞ Lj g j≥m+1 ≤ (3.5) Lj g j≥m+1 ∞ m+1 = g ∞ L L )= g ∞ 1− L j ( j≥m+1 50 Ta lại có, um − um ∞ ≤ um − (g + Lum−1 ) ∞ + (g + Lum−1 ) − um ≤ g + Lum−1 − g − Lum−1 = L(um−1 − um−1 ) < um−1 − um−1 ∞ ∞ ∞ ∞ + εm + εm + εm Lặp lại trình ta m um − um ∞ ≤ εi (3.6) i=1 Từ 3.4, 3.5, 3.6 ta có điều cần chứng minh Cuối cùng, với mệnh đề cho ta hợp lý giả thiết định lý Mệnh đề 3.2 Cho k ∈ C ([a, b]2 ), g ∈ C ([a, b]), λ ∈ IR \{0} dãy hàm {un }n≥1 xác định định lý 3.1 Giả sử p ∈ IN , Mp = 0, Mp := max{ ∂k ∂x ∞ up−1 ∞ ; ∂k ∂y up−1 ∞ ∞ + k ∞ up−1 ∞ } Với εp > tùy ý, cố định np ≥ giả sử ∆np = {a = e1 < e2 < · · · < enp −1 < enp = b} thỏa max (ei − ei−1 ) < i=2, ,np εp |λ| 4Mp (b − a) (g + Lup−1 ) − up 51 ∞ ≤ εp Chứng minh Vì ∂(k(x, y)up−1 (y)) ∂k (x, y) = (x, y)up−1 (y) ∂x ∂x ∂(k(x, y)up−1 (y)) ∂k (x, y) = (x, y)up−1 (y) + k(x, y)up−1 (y), ∂y ∂y nên max{ ∂(k(x, y)up−1 (y)) ∂x , ∞ ∂(k(x, y)up−1 (y)) ∂x ∞ } ≤ Mp Áp dụng mệnh đề 3.1 với x ∈ [a, b] ta có |(g + Lup−1 )(x) − up (x)| = | b (k(x, y)up−1 (y) − Pnp (k(x, y)up−1 (y)))dy| λa ≤ b−a k(x, )up−1 (.) − Pnp (k(x, )up−1 (.)) |λ| ≤ b − a |λ| εp = εp |λ| b − a Vì x ∈ [a, b] nên (g + Lup−1 ) − up ∞ ≤ εp Ví dụ 3.1 Giải phương trình: exy u(y)dy = f (x), 5u(x) − (0 ≤ x ≤ 1) f(x) chọn cho nghiệm xác phương trình u(x) = e−x cosx Kết Matlab 52 ∞ Hình So sánh nghiệm xấp xỉ với nghiệm xác trường hợp n=3 điểm chia dãy trù mật an Gọi En = max |u(xj ) − un (xj )| sai số nghiệm xác nghiệm 1≤j≤n+1 giải phương pháp thông thường Gọi Fn = max |u(xj ) − un (xj )| sai số nghiệm xác nghiệm 1≤j≤n+1 giải phương pháp áp dụng sở Schauder Bảng So sánh sai số 53 Kết luận Xuất phát từ việc khảo sát không gian Banach, luận văn trình bày tìm hiểu sở Schauder không gian Banach, nêu ưu điểm sở Schauder so với sở Hamel thông thường Đồng thời, Luận văn giới thiệu ứng dụng sở Schauder việc tính xấp xỉ nghiệm phương trình Fredholm Hướng phát triển đề tài tiếp tục tìm hiểu ứng dụng sở Schauder việc giải phương trình vi phân, tích phân lập trình tính số cho phương trình cụ thể 54 Tài liệu tham khảo [1] A.Palomares, M.Pasadas, V.Ramírez, and M Ruiz Galán, Schauder in Banach spaces: Application to numerical solutions of differential equations, Spain, August 2001 [2] B Beauzamy, Introduction to Banach spaces and their geometry, NorthHoland, 1982 [3] Đậu Thế Cấp (2000), Giải tích hàm, NXB Giáo dục [4] D.Gámez, A.I Garralda Guillem, M Ruiz Galán, Linear initial - value problems countably determined, Spain 2005 [5] I Singer , Bases in Banach spaces I,II, Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York, 1970 [6] J Lindenstrauss, L Trafriri , Classical Banach spaces I,II, Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York,1977 [7] Math Daws, Introduction to Bases in Banach spaces, June 5, 2005 [8] M.Domingo Montesinos, A.I Garralda Guillem and M Ruiz Galán, Fredholm intergral equations and Schauder bases, 31, 121-128(2004) 55 [9] Per Enflo, A Counterexample to the Approximation Problem in Banach Spaces, Acta Math.130(173)309-317 [10] R.Kannan, On Banach spaces with basis and fixed point problem, 1968 [11] Viktor Zeh, A Counterexample to Banach’s Basis Problem [12] Z Semadeni , Schauder bases in Banach spaces of continuous functions, Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York, 1982 56 CỘNG HOÀ Xà HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc Lập - Tự - Hạnh phúc LÝ LỊCH TRÍCH NGANG I SƠ LƯỢC LÝ LỊCH Họ tên Ngày tháng năm sinh Mã số học viên Khoa Ngành học Địa thường trú : Trần Thị Thủy Phái: Nữ : 20-09-1985 Tại : Bình Định : 10240515 : Khoa học ứng dụng : Toán ứng dụng : xã Cát Hưng – Huyện Phù Cát – Tỉnh Bình Định II QUÁ TRÌNH ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC: Chế độ học : Chính quy Thời gian học: Từ 09/2004 đến 07/2008 Nơi học : Trường Đại Học Quy Nhơn Ngành học : Toán SAU ĐẠI HỌC: Ngành Toán ứng dụng trường Đại Học Bách Khoa TP HCM (2009 – 2011) Ngày 14 tháng 12 năm 2011 Người Khai Trần Thị Thủy ... Chương CƠ SỞ SCHAUDER Nhắc lại rằng, khơng gian vectơ có sở Hamel số chiều không gian số vectơ sở Do đó, khơng gian Banach ln tồn sở Hamel không gian Banach vô hạn chiều có vơ hạn phần tử sở Định... cứu sở không gian cần thiết mô tả không gian nghiên cứu đặc trưng Mọi khơng gian vectơ có sở thông thường (cơ sở Hamel) Tuy nhiên, trường hợp không gian Banach vô hạn chiều, việc xác định dạng sở. .. trên, cho trước không gian Banach phức X tồn không gian Banach thực liên kết X(r) Ngược lại, câu hỏi tự nhiên đặt ra: không gian Banach thực F có tính chất : tồn không gian Banach phức X cho