Cơ sở trong không gian banach

Khoỏ lun tt nghip V Th Hng - K29K - Toỏn LI NểI U Lý chn ti Lớ thuyt hm v gii tớch hm cú tm quan trng c bit i vi toỏn hc c bn v toỏn hc ng dng Ni dung ca nú rt phong phỳ, a dng Do kin thc trờn lp vi lng thi gian eo hp nờn khú cú th i sõu nghiờn cu mt no ú ca gii tớch hm Vi mong mun c tỡm hiu sõu hn v b mụn ny, di gúc mt sinh viờn s phm toỏn v phm vi ca mt khoỏ lun tt nghip cựng vi s giỳp ca thy giỏo TS Bựi Kiờn Cng, em xin mnh dn trỡnh by nhng hiu bit ca mỡnh v ti : C s khụng gian Banach Mc ớch nghiờn cu Quỏ trỡnh thc hin ti ó giỳp em bc u lm quen vi vic nghiờn cu khoa hc v tỡm hiu sõu hn v gii tớch hm, c bit l tỡm hiu sõu v c s khụng gian Banach Nhim v nghiờn cu ti ny c nghiờn cu nhm i sõu khai thỏc lm ni bt nhng tớnh cht c trng ca c s tng quỏt khụng gian Banach, mi liờn h gia c s vi mt s dóy dc bit, tớnh i ngu ca c s T ú, nghiờn cu sõu cỏc tớnh cht c trng ca mt s c s c th: c s hi t tuyt i, c s yu v yu* khụng gian Banach Qua ú, b sung thờm nhng tớnh cht quan trng v lm phong phỳ thờm ni dung ca b mụn Gii tớch hm Phng phỏp nghiờn cu ti c hon thnh da trờn s kt hp cỏc phng phỏp: nghiờn cu lớ lun, phõn tớch, tng hp, ỏnh giỏ Khoỏ lun tt nghip V Th Hng - K29K - Toỏn Cu trỳc khoỏ lun Ngoi phn m u, kt lun, danh mc ti liu tham kho, khoỏ lun gm ba chng: Chng 1: Kin thc chun b Chng 2: C s khụng gian Banach Chng 3: C s hi t tuyt i, c s yu v yu * khụng gian Banach Trong sut quỏ trỡnh nghiờn cu, c thy giỏo TS Bựi Kiờn Cng ch bo, giỳp tn tỡnh, em ó hon thnh khoỏ lun ny Mt ln na cho em c gi li cm n sõu sc ti thy Em rt mong cỏc thy giỏo, cụ giỏo cựng cỏc bn sinh viờn khoa úng gúp ý kin ti ny c hon thin hn H Ni, thỏng 05 nm 2007 Tỏc gi V Th Hng Khoỏ lun tt nghip V Th Hng - K29K - Toỏn Chng KIN THC CHUN B Mt s kớ hiu F : kớ hiu l trng vụ hng, F = hoc F = A : lc lng ca A hu hn c n : ch chui mn c n hi t m n, : ch s Kronecker m n Cho X, Y l cỏc hp Khi ú : f : X Y l mt hm vi xỏc nh X , giỏ tr Y Range( f ) f ( X) f ( x) : x X : nh hoc giỏ tr ca f x : l phim hm tuyn tớnh liờn tc trờn X x, x x ( x) : tỏc ng ca x lờn x X x sup x, x x X Khoỏ lun tt nghip V Th Hng - K29K - Toỏn Đ1 Khụng gian Banach nh ngha khụng gian nh chun v vớ d nh ngha 1.1 Khụng gian vect X c gi l khụng gian tuyn tớnh nh chun (khụng gian nh chun) nu vi mi x X tn ti s thc x , gi l chun ca x , tho món: a) x 0, b) x nu v ch nu x , c) cx c x , vi mi vụ hng c, vi mi x X , d) x y x y , x, y X Nu ch cú tớnh cht a), c) v d) thỡ c gi l mt na chun nh ngha 1.2 Cho X l mt khụng gian tuyn tớnh nh chun a) Mt dóy cỏc vect xn X hi t ti x X nu lim xn x 0, ngha l, nu n 0, N 0, n N , xn x Trong trng hp ny, ta vit xn x hoc lim xn x n b) Mt dóy cỏc vect xn X l dóy Cauchy nu lim xn xm 0, ngha l, nu m ,n 0, N 0, m, n 0, xn xm c) D thy mi dóy hi t khụng nh chun u l dóy Cauchy Tuy nhiờn, iu ngc li núi chung khụng ỳng Ta núi rng X l khụng gian y nu nú tho mi dóy Cauchy u hi t Khụng gian tuyn tớnh nh chun y c gi l khụng gian Banach Khoỏ lun tt nghip V Th Hng - K29K - Toỏn nh ngha1.3 Dóy xn khụng gian Banach X l a) B chn di nu inf xn 0, b) B chn trờn nu sup xn , c) Chun hoỏ nu xn vi mi n nh ngha 1.4 Cho khụng gian nh chun X v , l hai chun trờn X Hai chun v gi l tmg ng nu tn ti hai s dng , cho x x x x X nh lớ 1.1 Nu , l tng ng thỡ cựng xỏc nh mt s hi t vi mt dóy bt kỡ, ngha l lim x xn lim x xn n n Vớ d 1.1 Cho f l hm giỏ tr phc xỏc nh trờn E Khi ú a) Vi p , t p Lp ( E ) f : E : f ( x) dx E õy l mt khụng gian Banach vi chun f ( f ( x) dx)1/ p p p L E b) Trng hp p = , t L ( E ) f : E : f l hm b chn trờn E õy l khụng gian Banach vi chun_sup f x L ess sup f ( x) = inf M : f ( x) M hu khp ni xE Vớ d 1.2 t C ( E ) = f : E C : f liờn tc trờn E Khoỏ lun tt nghip V Th Hng - K29K - Toỏn Nu E l mt compact thỡ mi phim hm liờn tc trờn E u b chn Trong trng hp ny, C E l mt khụng gian Banach vi chun_sup f L sup f ( x) xE Vớ d 1.3 Vi p , t p l p c (cn ) : cn n õy l mt khụng gian Banach vi chun c lp (cn ) ( cn )1/ p p lp n nh lớ 1.2 (Bt ng thc Holder) Vi p v xỏc nh p tho h thc 1 1 t v p q a) Nu f Lp ( E ) v g Lp ( E ) thỡ fg L1 ( E ) v , fg f L1 g Lp Lp , Vi p bt ng thc ny tng ng vi mnh E f ( x) g ( x) dx ( f ( x) )1/ p ( g ( x) )1/ p p, p E , E b) Nu (an ) l p v (bn ) l p thỡ (anbn ) l1 v , (anbn ) l1 ( (an ) lp (bn ) lp , Vi p bt ng thc ny tng ng vi mnh anbn ( an )1/ p ( bn )1/ p p, p n n , n c bit, nu p p, =2 thỡ ta cú bt ng thc Schwarz hoc Cauchy Schwarz : Khoỏ lun tt nghip E V Th Hng - K29K - Toỏn f ( x) g ( x) dx ( f ( x) )1/ ( g ( x) )1/ v 2 E a b n n n E ( an )1/ ( bn )1/ 2 n n Tụpụ khụng gian nh chun nh ngha 1.5 Tp X gi l khụng gian nh chun ca khụng gian nh chun X nu X l khụng gian tuyn tớnh ca khụng gian X v chun xỏc nh trờn X l chun xỏc nh trờn X Nu X0 ng thi l úng khụng gian X thỡ X0 gi l khụng gian nh chun úng ca khụng gian X nh ngha 1.6 Khụng gian tuyn tớnh nh chun X gi l khụng gian tỏch c nu tn ti mt m c trự mt X Vớ d 1.4 Vi p thỡ l p l khụng gian tỏch c nh ngha 1.7 Cho xn l mt dóy tu ý khụng gian tuyn tớnh nh chun X a) Bao tuyn tớnh hu hn ca dóy xn l hp tt c cỏc t hp tuyn tớnh cỏc phn t ca dóy xn Kớ hiu span xn N = cn xn : N c1, , cN F n1 b) Bao úng tuyn tớnh ca xn l bao úng ca bao tuyn tớnh hu hn v c kớ hiu l span xn c) xn l y X nu span xn = X hay span xn trự mt X Khoỏ lun tt nghip V Th Hng - K29K - Toỏn Toỏn t tuyn tớnh nh ngha 1.8 Cho hai khụng gian tuyn tớnh nh chun X Y trờn trng F Mt ỏnh x T : X Y c gi l mt toỏn t Nu Y F thi toỏn t T : X F l phim hm trờn X T l tuyn tớnh nu T(a x by) = aT x bTy , a, b F , x, y X T l n ỏnh hoc nu Tx Ty v ch x y nh hay giỏ tr ca T l Range(T) T( X) Tx : x X T l ton ỏnh hoc lờn nu Range(T) Y Chun ca toỏn t tuyn tớnh hoc n gin l chun ca toỏn t T l T sup Tx x T c gi l b chn nu T T l bo ton chun hoc ng c nu Tx Y x X x X nh lớ 1.3 Cho T : X Y l toỏn t tuyn tớnh ỏnh x khụng gian nh chun X vo khụng gian nh chun Y Khi ú T liờn tc T b chn Do ú, ta dựng cỏc thut ng liờn tc v b chn thay th cho núi v cỏc toỏn t tuyn tớnh Khụng gian liờn hp, toỏn t liờn hp nh ngha 1.9 Cho X l mt khụng gian tuyn tớnh nh chun trờn trng F Ta gi khụng gian X cỏc phim hm tuyn tớnh liờn tc trờn khụng gian X l khụng gian liờn hp (khụng gian i ngu) ca khụng gian X nh lớ 1.4 Nu X l khụng gian nh chun, ú khụng gian i ngu X l khụng gian Banach vi chun x X sup x, x x X Khoỏ lun tt nghip V Th Hng - K29K - Toỏn nh lớ 1.5 Gi s X l khụng gian Banach Khi ú, x X x X sup x, x x nh ngha 1.10 a) Khụng gian liờn hp ca khụng gian X gi l khụng gian liờn hp th hai ca khụng gian nh chun X v kớ hiu l X b) Mi phn t x X xỏc nh mt phn t ( x) X cho bi cụng thc x , ( x) x, x vi x X nh x : X X c gi l phộp nhỳng chớnh tc X vào X , t ú ng nht X vi khụng gian ( x) X Nu l song ỏnh thỡ ta vit X X v núi rng X l khụng gian phn x Vớ d 1.5 Lp ( E) l p l cỏc khụng gian phn x nu p , nhng c p khụng l khụng gian phn x vi p 1hoặ Vi p , q tho 1 thỡ: p q ( Lp ( E)) Lq ( E), (l p ) l q nh ngha 1.11 Gi s X, Y l hai khụng gian tuyn tớnh nh chun, S l toỏn t tuyn tớnh b chn t X vào Y Toỏn t S : Y X xỏc nh bi S y y S, y Y , ngha l x, S y Sx, y , x X gi l toỏn t liờn hp ca toỏn t tuyn tớnh b chn S D thy S tuyn tớnh v vi mi y Y ta cú (1.1) Khoỏ lun tt nghip V Th Hng - K29K - Toỏn (S y ) x Sx, y y S x ,x X Do ú, S y S y Vy S l mt toỏn t tuyn tớnh b chn nh lớ 1.6 Nu S l toỏn t tuyn tớnh liờn hp ca toỏn t tuyn tớnh b chn S t khụng gian tuyn tớnh nh chun X vo khụng gian tuyn tớnh nh chun Y thỡ S S S hi t yu nh ngha 1.12 Gi s X l mt khụng gian Banach a) Dóy xn cỏc phn t ca X hi t ti im x X nu lim x xn Khi ú, ta cng gi s hi t ny l s hi t mnh hoc s n hi t theo chun b) Dóy xn cỏc phn t ca X hi t yu n x X nu x X , lim xn , x x, x n Khi ú, ta núi rng xn x yu c) Dóy xn cỏc phim hm ca X hi t yu* n x X nu x X , lim xn , x x , x n Trong trng hp ny, ta núi rng xn x yếu hoc tụpụ yếu Chỳ ý rng, s hi t yếu ch ỏp dng i vi s hi t ca cỏc phim hm khụng gian i ngu X Tuy nhiờn, X l khụng gian i ngu ca chớnh nú, ta cú th ch s hi t mnh hoc yu ca cỏc phim hm X cng chớnh l s hi t yếu ca cỏc phim hm ny c bit, nu X l khụng gian phn x thỡ X X , ú xn x yu X nu v ch nu xn x yếu X 10 Khoỏ lun tt nghip V Th Hng - K29K - Toỏn Do ú, theo nh lớ 2.6, ta cn chng t sup TN , ú TN l N tng riờng cỏc toỏn t liờn kt vi (an, ( xn )) , ngha l N N n1 n1 TN ( x ) x , ( xn ) an xn , x an , vi x spanan Thụng thng dựng SN kớ hiu cho tng riờng cỏc toỏn t liờn kt vi c s (xn,an) X Do SN l ỏnh x tuyn tớnh liờn tc t X vo chớnh nú, SN cú ỏnh x liờn hp SN : X X Do chun ca toỏn t lien hp bng chun ca toỏn t ban u nờn ta cú SN SN (xem nh lớ 1.6) Bõy gi nu x X x X thỡ t (1.1), ta cú x, SN ( x ) SN x, x N x, an xn , x n1 N x, xn , x an n1 x, TN ( x ) Do ú, TN SN Vỡ vy, sup TN sup SN sup SN b) Gi s (xn,an) l c s vụ iu kin ca X Khi ú, theo phn a), ta thy (an, ( xn )) l c s ca spanan Vỡ vy, ta cn ch c s ny l c s vụ iu kin Do ú, c nh bt kỡ x spanan Khi ú, x x , ( xn ) an l s biu din nht ca x c s (an, ( xn )) Ta phi ch chui ny hi t vụ iu kin Ly l mt phộp th bt kỡ ca Khi ú, vi mi x X , 50 Khoỏ lun tt nghip V Th Hng - K29K - Toỏn x, x x, x , ( xn ) an (do x x , ( xn ) an ) n x , ( xn ) x, an n xn , x x, an (theo nh ngha ca ) n x, an xn , x n x, a ( n) x ( n) , x x x, an xn (hi t n vụ iu kin) x, a ( n) x ( n) , x n x, x , ( x ( n) ) a ( n) Do ú, x x , ( x ( n) ) a ( n) Vỡ vy, chui x , ( x ) a n n hi t vụ iu kin c)Gi s (xn,an) l c s b chn ca X Khi ú, theo nh ngha, inf xn sup xn Hn na, t (2.5), ta cú an xn 2C , ú C l hng s c s ca (xn,an) Do ú, inf an sup an Kt hp vi phn a) suy (an, ( xn )) l mt c s b chn H qu 2.3 Nu (xn,an) l mt c s, c s vụ iu kin hoc c s bchn khụng gian Banach phn x X , ú (an, ( xn )) l mt c s, c s vụ iu kin hoc c s b chn ca X 51 Khoỏ lun tt nghip V Th Hng - K29K - Toỏn Chng minh Gi s (xn,an) l mt c s ca X Khi ú, theo nh lớ 2.10 suy (an, ( xn )) l mt c s ca spanan X Vỡ vy, ta cn ch an l y X Gi s x X tho an , x vớ i n Do X l phn x, X ( X) Do ú, x ( x) vi mt vi x X Nhng ú, x, an an , ( x) an, x vi mi n Do ú, x x, an xn Vỡ vy, x ( x) Theo nh lớ Haln Banach (h qu 1.4) suy an l y X Cỏc mnh i vi c s vụ iu kin hoc c s b chn c suy mt cỏch trc tip H qu 2.4 Cho H l mt khụng gian Hilbert Khi ú, (xn,yn) l mt c s, c s vụ iu kin hoc c s b chn nu v ch nu khng nh ú ỳng vi (yn,xn) Chng minh Kt qu ny suy t h qu 2.3 v thc t cỏc khụng gian Hilbert l t i ngu, ngha l H H 52 Khoỏ lun tt nghip V Th Hng - K29K - Toỏn Chng C S HI T TUYT I, C S YU V YU* TRONG KHễNG GIAN BANACH Đ1 C s hi t tuyt i khụng gian Banach nh ngha 3.1 C s (xn,an) khụng gian Banach X l hi t tuyt i nu chui x x, an xn hi t tuyt i X vi mi x X , ngha l ta cn cú x X, x, a n xn nh lớ 3.1 Nu khụng gian Banach X cú mt c s hi t tuyt i thỡ X ng phụi vi l Chng minh Gi s (xn,an) l mt c s hi t tuyt i ca X Xỏc nh ỏnh x T : X l cho bi Tx ( x, an xn ) Hin nhiờn T hon ton xỏc nh, l n ỏnh v l ỏnh x tuyn tớnh Gi s yN X, yN y X v TyN (cn ) l Khi ú N lim yN , an xn cn lim TyN (cn ) N n1 N l1 Do cỏc phim hm h s an l liờn tc v t (3.1) ta cú y, an xn lim yN , aN xn cn N 53 (3.1) Khoỏ lun tt nghip V Th Hng - K29K - Toỏn Do ú, Ty (cn ) Vỡ vy, T l ỏnh x úng T nguyờn lớ th úng (nh lớ 1.16) suy T l liờn tc Mt khỏc, ta cú th kt lun c iu ú t vic tớnh toỏn trc tip nh sau x x, a n n xn x, an xn Tx l1 n Vớ d 3.1 Cho H l mt khụng gian Hilbert vụ hn chiu tỏch c v ly en l mt c s trc chun bt kỡ ca c e n n H Ta ó bit vớ d 2.1, chui hi t nu v ch nu (cn ) l v trng hp ny s hi t l vụ iu kin Trong trng hp khỏc, en 1, ta thy c e n n hi t nu v ch nu (cn ) l Do l l thc s ca l , suy en khụng th l c s hi t tuyt i ca H Hn na, H ng phụi vi l v l khụng ng phụi vi l , t nh lớ trờn suy H khụng cú bt kỡ c s no hi t tuyt i * Đ2 C s yu v yu khụng gian Banach nh ngha 3.2 Cho X l khụng gian Banach a) Dóy xn cỏc phn t ca X l mt c s ca X nu nh ngha 2.5 ỳng, ngha l, vi mi x X , phi tn ti nht cỏc vụ hng an ( x) cho x an ( x)xn , vi s hi t ca chui ny tụpụ mnh, ngha N l lim x an ( x) xn N n1 Trong mc ny, nhn mnh kiu hi t ca chui ta thng liờn h vi mt c s mnh hoc c s chớnh tc T nh lớ 2.3, mi phim hm h s am liờn h vi mt c s mnh l liờn tc mnh, ngha l nu yn y 54 Khoỏ lun tt nghip V Th Hng - K29K - Toỏn mnh X thỡ am( yn ) am( y) Do ú, mi c s mnh u l c s Schauder mnh b) Dóy xn cỏc phn t ca X l c s yu ca X nu vi mi x X , tn ti nht cỏc vụ hng an ( x) cho x an ( x) xn vi s hi t ca chui ny tụpụ yu, ngha l N x X , lim an ( x)xn , x x, x (3.2) N n1 C s yu l c s Schauder yu nu mi phim hm h s am l liờn tc yu trờn X , ngha l, nu yn y yu X thỡ am( yn ) am( y) c) Dóy xn cỏc phim hm X l c s yếu ca X nu vi mi x X tn ti nht cỏc vụ hng an ( x ) cho x an ( x ) xn vi s hi t ca chui ny tụpụ yếu , ngha l N x X , lim an ( x )xn , x x , x N n1 C s yu* l mt c s Schauder yu* nu mi phim hm h s am liờn tc yu* X , ngha l yn y yu* X thỡ am ( yn ) am ( y ) Nh chỳ ý trờn, nu (xn,an) l mt c s mnh thỡ mi phim hm h s l mt phn t ca X Do ú, ta luụn vit x, an an ( x) ta núi v phim hm h s liờn kt vi mt c s mnh Tuy nhiờn, núi v cỏc phim hm m khụng bit l chỳng liờn tc hay cha ta ch vit an ( x) D thy, tt c cỏc c s mnh u l c s yu 55 Khoỏ lun tt nghip V Th Hng - K29K - Toỏn Cỏc tớnh cht ca c s yu v c s yu* khụng gian Banach nh lớ 3.2 Cho X l mt khụng gian Banach Nu xn l mt c s mnh X thỡ xn l c s yu X Hn na, trng hp ny, xn l c s Schauder yu X vi cỏc phim hm h s l liờn tc mnh trờn X Chng minh Gi s xn l mt c s mnh ca X Khi ú, xn l c s Schauder mnh theo nh lớ 2.3 Vỡ vy, cỏc phim hm h s liờn kt an l cỏc phim hm tuyn tớnh liờn tc mnh trờn X Ta s ch xn l c s yu v an l dóy cỏc phim hm h s liờn kt vi c s yu ny Do ta ó bit cỏc phim hm ny l liờn tc mnh, ú l iu kin cn liờn tc liờn tc yu v ú suy c xn l c s Schauder yu Do ú, vi x X bt kỡ, ta cú x x, an xn hi t mnh Do hi t mnh thỡ suy hi t yu nờn chui ny cng phi hi t yu ti x Hoc thy rừ iu ny, ý rng nu x X tu ý thỡ t tớnh liờn tc ca x , ta cú N N lim x, an xn , x lim x, an , x N N n1 n1 x, an xn , x n1 x, x 56 Khoỏ lun tt nghip V Th Hng - K29K - Toỏn Do ú, cn ch s khai trin x x, an xn l nht Gi s cng cú x cn xn m chui ny hi t yu c bit, c nh m bt kỡ, ú am X v t s hi t yu ca chui x cn xn ta cú N x, am lim cn xn , am N n1 N lim cn xn , am N n1 N lim cn mn N n1 cm Vỡ vy, s biu din l nht v ú xn l c s yu ca X Mnh 3.1 Cho xn l mt dóy khụng gian Banach v gi s xn vi mi n t Y (cn ) : cn xn hội tụ yếu X v t (cn ) Y sup N N c x n1 n n Khi ú, cỏc mnh sau luụn ỳng a) Y l khụng gian Banach b) Nu xn l mt c s yu ca X thỡ Y l ng phụi vi X qua ỏnh x (cn ) cn xn Chng minh a) Nh li rng cỏc dóy hi t yu l b chn (b 1.2) Do ú, nu (cn ) Y thỡ (cn ) Y vỡ N cn xn lim cn xn hi t yu Phn cũn li ca N n1 ca chng minh bõy gi l ng nht vi chng minh ca mnh 2.1 57 Khoỏ lun tt nghip V Th Hng - K29K - Toỏn b) Gi s xn l mt c s yu ca X Xỏc nh ỏnh x T : Y X cho bi T(cn ) cn xn , ú chui ny hi t yu nh x ny hon ton xỏc nh theo nh ngha ca Y Hin nhiờn ỏnh x ny l tuyn tớnh v l song ỏnh vỡ T(cn ) xn c x n1 n n l c sup N s N c x n1 n n yu Cui cựng, nu (cn ) Y thỡ (cn ) Y Li cỏc chui hi t yu u b chn nờn T l b chn Vỡ vy, T l phộp ng phụi ỏnh x Y lờn X T mnh ny ta thy rng tng riờng cỏc toỏn t i vi c s yu l liờn tc mnh (i chiu vi h qu 2.1) H qu 3.1 Cho (xn,an) l mt c s yu ca khụng gian Banach X Khi ú a) sup SN x vớ i x X b) Mi SN l liờn tc mnh v C sup SN Cho (xn,an) l mt c s yu ca khụng gian Banach X Khi ú c) x sup SN x cú dng mt chun trờn X tng ng vi chun ban u ca X v tho C Chng minh a) Ly Y nh mnh 3.1 Khi ú, T : X Y cho bi T(cn ) cn xn (hi t yu) l mt phộp ng phụi ỏnh x X lờn Y Gi s x X Khi ú, theo nh ngha ta cú x an ( x) xn hi t yu v cỏc vụ hng an ( x) l nht Vỡ vy, ta phi cú T1x (an ( x)) Do ú 58 Khoỏ lun tt nghip sup SN x sup N N V Th Hng - K29K - Toỏn N a ( x)x n1 n n (an ( x)) Y T1x Y T1 x (3.3) b) T (3.3), ta thy sup SN T1 c) D thy, cú cỏc tớnh cht ca na chun nh nht Bõy gi, ly x X , ta cú x sup SN x sup SN x C x N v N x lim SN x sup SN x x N N T hai kt qu trờn õy suy thc cht l mt chun tng ng vi S hu hn C sup SN l hng s c s yu N nh lớ 3.3 Mi c s yu khụng gian Banach l c s Schauder yu Thc cht, cỏc phim hm h s an l phim hm tuyn tớnh liờn tc mnh trờn X tho an xn 2C , ú C l hng s c s yu Chng minh Theo h qu 3.1, ta thy C , thm mc dự (xn,an) ch l c s yu ca X Do mi an l tuyn tớnh, ch an l liờn tc mnh, ta cn ch an b chn Ly x X , ta tớnh an ( x) xn an ( x) xn n1 n a ( x) x a ( x) x k1 k k n a ( x) x k1 k k Sn x Sn1x 2C x 59 k1 k k n1 a ( x) x k1 k k Khoỏ lun tt nghip V Th Hng - K29K - Toỏn Do mi xn , ta suy an 2C / xn Bt ng thc sau cựng ny suy t vic tớnh toỏn an ( xn ) an xn nh lớ 3.4 (nh lớ c s yu) Mi c s yu khụng gian Banach X l c s mnh ca X v hi t yu Chng minh Ta ó ch nh lớ 3.2 rng tt c cỏc c s mnh u l c s yu i vi s hi t, gi g rng (xn,an) l c s yu ca X T nh lớ 3.3, mi am l liờn tc nờn am X Hn na, t tớnh nht ca s khai trin (3.1), ta phi cú xn, am mn vi mi m, n Do ú, (xn,an) l h song trc giao theo nh ngha 2.10 Hn na, theo h qu 3.1 suy sup SN Theo nh lớ 2.6, ta ch xn l y X Do ú, gi s x X tho xn, x vi mi n Khi ú, vi mi x X , t (3.1) ta cú N x, x lim x, an xn , x N n1 N lim x, an xn , x N n1 Do ú, x Vỡ vy, xn l y X 60 Khoỏ lun tt nghip V Th Hng - K29K - Toỏn KT LUN Khoỏ lun: C s khụng gian Banach nghiờn cu tng quan v cỏc : + C s khụng gian Banach v nhng tớnh cht c trng ca nú + Mi liờn h gia c s v mt s dóy c bit: dóy c lp tuyn tớnh v dóy song trc giao + Tớnh i ngu ca c s khụng gian Banach, phn ny nghiờn cu mi quan h gia c s v c s i ngu ca nú khụng gian Spanan X * + Nghiờn cu sõu mt s c s c th khụng gian Banach: c s hi t tuyt i, c s yu v yu* khụng gian Banach Qua khoỏ lun ny, bn thõn em khụng ch c lnh hi thờm nhng tri thc mi ca gii tớch hm m cũn cú c nhng hiu bit nht nh nghiờn cu khoa hc Vic nghiờn cu sõu lớ thuyt c s khụng gian Banach gúp phn b sung thờm nhng kt qu quan trng vo lớ thuyt hm v gii tớch hm, b mụn cú tm quan trng c bit i vi toỏn hc c bn v toỏn hc ng dng Do thi gian nghiờn cu cú hn v kh nng bn thõn cũn hn ch nờn ti ny khụng trỏnh nhng thiu sút nht nh Vỡ vy, em rt mong c s úng gúp ý kin ca cỏc thy giỏo, cụ giỏo cựng cỏc bn sinh viờn Khoa ti ny c hon thin hn Em xin chõn thnh cm n! H Ni, thỏng 05 nm 2007 Sinh viờn Vũ Thị H-ơng 61 Khoỏ lun tt nghip V Th Hng - K29K - Toỏn TI LIU THAM KHO [1] Nguyn Ph Hy (2005), Gii tớch hm, Nxb Khoa hc v K thut, H Ni [2] Nguyn Vn Khuờ, Lờ Mu Hi(2001), C s lớ thuyt hm v gii tớch hm, Tp I, II, Nxb Giỏo dc H Ni [3] Hong Ty (2003), Hm thc v Gii tớch hm, Nxb i hc Quc gia H Ni [4] Christopher Heil, A Basic Theory Primer, School of Mathematics, Georgia Institute of Technology, Atlanta, USA [5] W Rudin (1991), Functional Analysis, Second Edition, McGraw Hill, New York 62 Khoỏ lun tt nghip V Th Hng - K29K - Toỏn MC LC Chng 1: KIN THC CHUN B Mt s kớ hiu Đ1 Khụng gian Banach nh ngha khụng gian nh chun v vớ d Tụpụ khụng gian nh chun Toỏn t tuyn tớnh Khụng gian liờn hp, toỏn t liờn hp S hi t yu 10 Đ2 Khụng gian Hilbert 11 Đ3 Cỏc nguyờn lớ c bn ca gii tớch hm 16 Chng 2: C S TRONG KHễNG GIAN BANACH 18 Đ1 S hi t ca chui 18 1.Cỏc nh ngha 18 Mi liờn h gia s hi t tuyt i v s hi t vụ iu kin ca chui khụng gian Banach 19 Đ2 C s khụng gian Banach 22 1.C s Hamel 22 Cỏc nh ngha, kớ hiu v vớ d v c s 26 Cỏc tớnh cht ca c s khụng gian Banach 28 Đ3 Mi liờn h gia c s vi dóy c lp tuyn tớnh v dóy song trc giao 36 Mi liờn h gia c s vi dóy c lp tuyn tớnh 36 Mi liờn h gia c s v dóy song trc giao 40 Đ4 Tớnh i ngu ca c s khụng gian Banach 49 Chng 3: C S HI T TUYT I, C S YU V YU* TRONG KHễNG GIAN BANACH 53 63 Khoỏ lun tt nghip V Th Hng - K29K - Toỏn Đ1 C s hi t tuyt i khụng gian Banach 53 nh ngha 3.1 53 nh lớ 3.1 53 Vớ d 3.1 54 Đ2 C s yu v yu* khụng gian Banach 54 nh ngha 3.2 54 Cỏc tớnh cht ca c s yu v c s yu* khụng gian Banach 56 KT LUN 61 TI LIU THAM KHO 62 64 [...]... toỏn t tuyn tớnh b chn t khụng gian Banach X lờn khụng gian Banach Y Khi ú T(U ) T( x) : x U l tp m trong Y khi U l tp m trong X nh lớ 1.15 (Nguyờn lớ ỏnh x ngc) Mt song ỏnh liờn tc T : X Y ỏnh x khụng gian Banach X lờn khụng gian Banach Y cú song ỏnh ngc T1 : Y X nh ngha 1.19 Cho hai khụng gian nh chun X và Y Nu toỏn t tuyn tớnh liờn tc T ỏnh x khụng gian X lờn khụng gian Y cú toỏn t T 1 liờn tc... gi l phộp ng phụi tuyn tớnh ỏnh x khụng gian X lờn khụng gian Y H qu 1.5 Song ỏnh tuyn tớnh liờn tc T ỏnh x khụng gian Banach X lờn khụng gian Banach Y l mt phộp ng phụi tuyn tớnh nh lớ 1.16 (Nguyờn lớ th úng) Cho toỏn t tuyn tớnh T ỏnh x khụng gian Banach X lờn khụng gian Banach Y Toỏn t T liờn tc khi v ch khi graph(T) ( x, y) X Y : y T( x) l tp úng trong X Y , ngha l T b chn nu v ch nu vi... nú khụng b chn Do mi khụng gian Banach l mt khụng gian vect nờn cú c s Hamel hoc c s khụng gian vect Trong khụng gian Banach vụ hn chiu tỏch c ũi hi cú c s Hamel khụng m c Hn na, phộp chng minh s tn ti ca c s Hamel i vi khụng gian vụ hn chiu tỏch c cn cú cỏc tiờn Chn (cú th ch ra c rng mnh mi khụng gian vect cú mt c s Hamel l tng ng vi tiờn Chn) Do ú, i vi khụng gian Banach khụng cú mt phng phỏp... riờng cỏc toỏn t 3 Cỏc tớnh cht ca c s trong khụng gian Banach Mnh 2.1 Cho xn l mt dóy trong khụng gian Banach X v gi s xn vi mi (cn ) Y sup N n t Y (cn ) : cn xn hi t trong X v N c x n 1 n n Khi ú, cỏc mnh sau luụn ỳng a) Y l mt khụng gian Banach b) Nu xn l mt c s ca X thỡ Y l ng phụi vi X qua ỏnh x (cn ) cn xn Chng minh a) D thy Y l mt khụng gian tuyn tớnh Nu (cn ) Y thỡ N cn xn... Chng 2 C S TRONG KHễNG GIAN BANACH Đ1 S hi t ca chui 1 Cỏc nh ngha nh ngha 2.1 Cho xn l mt dóy trong khụng gian Banach X N a) Chui xn hi t v bng x X nu dóy tng riờng SN xn n1 hi t ti x theo chun ca X , ngha l, nu N 0, N0 0, N N0 , x SN x xn n1 b) Chui x n l chui Cauchy nu dóy cỏc tng riờng SN l dóy Cauchy trong X , ngha l, nu 0, N0 0, N M N0 , SN SM Do X l khụng gian Banach, chui... Th Hng - K29K - Toỏn B 1.1 Cho X l mt khụng gian Banach a) S hi t mnh trong X thỡ kộo theo s hi t yu trong X b) S hi t yu trong X kộo theo s hi t yếu trong X B 1.2 Mi dóy hi t yu thỡ u cú chun b chn trờn, ngha l, nu xn X v xn x X yu thỡ sup xn Đ2 Khụng gian Hilbert nh ngha 1.13 Cho khụng gian tuyn tớnh X trờn trng F Ta gi l tớch vụ hng trờn khụng gian X mi ỏnh x t tớch Descartes X X vo F... khụng gian tuyn tớnh con úng ca khụng gian Hilbert H l khụng gian Hilbert con ca khụng gian Hilbert H Vớ d 1.6 a) Lp ( E) l khụng gian Hilbert khi p 2 v tớch vụ hng c xỏc nh bi f , g f ( x)g( x) dx Khi p 2 thỡ Lp ( E) khụng l khụng E gian Hilbert b) p 2 thỡ l p l khụng gian Hilbert vi tớch vụ hng (an ),(bn ) an bn n1 p 2 thỡ l p khụng l khụng gian Hilbert nh lớ 1.7 Cho H l mt khụng gian. .. Khụng gian tuyn tớnh trờn trng F cựng vi mt tớch vụ hng gi l khụng gian tin Hilbert Nh vy, mi khụng gian tin Hilbert u l khụng gian nh chun vi chun (1.2) nh ngha 1.15 Ta gi mt tp H gm nhng phn t x, y, z no y l khụng gian Hilbert nu H tho man cỏc iu kin: 11 Khoỏ lun tt nghip V Th Hng - K29K - Toỏn 1) H l khụng gian tuyn tớnh trờn trng F ; 2) H c trang b mt tớch vụ hng , ; 3) H l khụng gian Banach. .. gian m khụng gian ny l khụng gian Banach vi hai chun khụng tng ng ng D dng a ra cỏc vớ d v cỏc khụng gian vect vi cỏc chun khụng tng ng Chng hn, C 0,1 c trang b bi cỏc chun v 1 l mt vớ d nh vy Vớ d 2.4 Ta s dựng s tn ti ca c s Hamel ch ra rng nu X l mt khụng gian Banach vụ hn chiu thỡ tn ti cỏc phim hm tuyn tớnh trờn X m cỏc hm ny khụng liờn tc Ly x l mt c s Hamel ca khụng gian Banach vụ hn... sau l tng ng: a) xn l y trong b) xn l c s trc chun trong H c) (Cụng thc Plancherel) d) x x, xn xn H x, x n 2 x 2 x H x H nh lớ 1.11 Khụng gian Hilbert H cú c s trc chun khi v ch khi khụng gian ú l tỏch c nh ngha 1.17 Cho S l toỏn t tuyn tớnh b chn ỏnh x khụng gian Hilbert X vo khụng gian Hilbert Y Toỏn t S ỏnh x khụng gian Y vo khụng gian X gi l toỏn t liờn hp ca toỏn t Sx, y x, S y ... khụng gian Banach X lờn khụng gian Banach Y Khi ú T(U ) T( x) : x U l m Y U l m X nh lớ 1.15 (Nguyờn lớ ỏnh x ngc) Mt song ỏnh liờn tc T : X Y ỏnh x khụng gian Banach X lờn khụng gian Banach. .. tc T ỏnh x khụng gian Banach X lờn khụng gian Banach Y l mt phộp ng phụi tuyn tớnh nh lớ 1.16 (Nguyờn lớ th úng) Cho toỏn t tuyn tớnh T ỏnh x khụng gian Banach X lờn khụng gian Banach Y Toỏn... khụng gian tuyn tớnh nh chun trờn trng F Ta gi khụng gian X cỏc phim hm tuyn tớnh liờn tc trờn khụng gian X l khụng gian liờn hp (khụng gian i ngu) ca khụng gian X nh lớ 1.4 Nu X l khụng gian