Cơ sở trong không gian banach

Nhiệm vụ nghiên cứu Đề tài này được nghiên cứu nhằm đi sâu khai thác làm nổi bật những tính chất đặc trưng của cơ sở tổng quát trong không gian Banach, mối liên hệ giữa cơ sở với một số

Trang 1

Khoá luận tốt nghiệp Vũ Thị Hương - K29K - Toán

LỜI NÓI ĐẦU

2 Mục đích nghiên cứu

Quá trình thực hiện đề tài đã giúp em bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học và tìm hiểu sâu hơn về giải tích hàm, đặc biệt là tìm hiểu sâu về cơ sở trong không gian Banach

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Đề tài này được nghiên cứu nhằm đi sâu khai thác làm nổi bật những tính chất đặc trưng của cơ sở tổng quát trong không gian Banach, mối liên hệ giữa cơ sở với một số dãy dặc biệt, tính đối ngẫu của cơ sở Từ đó, nghiên cứu sâu các tính chất đặc trưng của một số cơ sở cụ thể: cơ sở hội tụ tuyệt đối, cơ sở yếu và yếu*

trong không gian Banach Qua đó, bổ sung thêm những tính chất quan trọng và làm phong phú thêm nội dung của bộ môn Giải tích hàm

4 Phương pháp nghiên cứu

Đề tài được hoàn thành dựa trên sự kết hợp các phương pháp: nghiên cứu lí luận, phân tích, tổng hợp, đánh giá

Trang 2

5 Cấu trúc khoá luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, khoá luận gồm ba chương:

 Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

 Chương 2: Cơ sở trong không gian Banach

 Chương 3: Cơ sở hội tụ tuyệt đối, cơ sở yếu và yếu*

trong không gian Banach

Trong suốt quá trình nghiên cứu, được thầy giáo – TS Bùi Kiên Cường chỉ bảo, giúp đỡ tận tình, em đã hoàn thành khoá luận này Một lần nữa cho em được gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy

Em rất mong các thầy giáo, cô giáo cùng các bạn sinh viên trong khoa đóng góp ý kiến để đề tài này được hoàn thiện hơn

Hà Nội, tháng 05 năm 2007

Tác giả

Vũ Thị Hương

Trang 3

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Một số kí hiệu

F : kí hiệu là trường vô hướng, F =  hoặc F = 

A : lực lượng của tập A hữu hạn

Range f  f X  f x xX ảnh hoặc miền giá trị của f

x: là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X

Trang 4

§1 Không gian Banach

1 Định nghĩa không gian định chuẩn và ví dụ

Định nghĩa 1.1 Không gian vectơ X được gọi là không gian tuyến tính

định chuẩn (không gian định chuẩn) nếu với mỗi x X tồn tại số thực x ,

gọi là chuẩn của x, thoả mãn:

a) x 0,

b) x 0nếu và chỉ nếu x0,

c) cx  c x , với mọi vô hướng c, với mọi xX ,

d) x y  x  y , x y, X

Nếu chỉ có tính chất a), c) và d) thì  được gọi là một nửa chuẩn

Định nghĩa 1.2 Cho X là một không gian tuyến tính định chuẩn

a) Một dãy các vectơ  x trong n X hội tụ tới xX nếu

c) Dễ thấy mọi dãy hội tụ trong không định chuẩn đều là dãy Cauchy

Tuy nhiên, điều ngược lại nói chung không đúng Ta nói rằng X là không

gian đầy nếu nó thoả mãn mọi dãy Cauchy đều hội tụ Không gian tuyến

Trang 5

Định nghĩa1.3 Dãy  x trong không gian Banach X là n

a) Bị chặn dưới nếu inf x n 0,

b) Bị chặn trên nếu sup x n  ,

c) Chuẩn hoá nếu x n 1 với mọi n

Định nghĩa 1.4 Cho không gian định chuẩn X và 1,  2 là hai chuẩn trên

X Hai chuẩn 1 và  2 gọi là tươmg đương nếu tồn tại hai số dương , sao cho

E

f   f x dx b) Trường hợp p = , đặt

Trang 6

Nếu E là một tập compact trong  thì mọi phiếm hàm liên tục trên

Eđều bị chặn Trong trường hợp này, C E là một không gian Banach với  

Trang 7

2 Tôpô trong không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.5 Tập X0  gọi là không gian định chuẩn con của không gian định chuẩn X nếu X là không gian tuyến tính con của không gian 0

X và chuẩn xác định trên X là chuẩn xác định trên 0 X

Nếu X đồng thời là tập đóng trong không gian 0 X thì X gọi là 0không gian định chuẩn con đóng của không gian X

Định nghĩa 1.6 Không gian tuyến tính định chuẩn X gọi là không gian

tách được nếu tồn tại một tập đếm được trù mật trong X

Ví dụ 1.4 Với 1 p   thì l p là không gian tách được

Định nghĩa 1.7 Cho  x là một dãy tuỳ ý trong không gian tuyến tính n định chuẩn X

a) Bao tuyến tính hữu hạn của dãy  x là tập hợp tất cả các tổ hợp n

tuyến tính các phần tử của dãy  x Kí hiệu n

Trang 8

3 Toán tử tuyến tính

Định nghĩa 1.8 Cho hai không gian tuyến tính định chuẩn X vµ Y trên trường F Một ánh xạ : T XY được gọi là một toán tử Nếu YF thi toán tửT X: F là phiếm hàm trên X

T là tuyến tính nếu ( T a x by ) = aT x bTy , a b F,  , x y, X

T là đơn ánh hoặc 1 1 nếu TxTy khi và chỉ khi xy

Ảnh hay miền giá trị của T là Range T( )T X( )Tx x: X

T là toàn ánh hoặc lên nếu Range T( )Y

Chuẩn của toán tử tuyến tính hoặc đơn giản là chuẩn của toán tử T là

T được gọi là bị chặn nếu T  

T là bảo toàn chuẩn hoặc đẳng cự nếu Tx Y  x X  x X

Định lí 1.3 Cho : T XY là toán tử tuyến tính ánh xạ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y Khi đó

T liên tục T bị chặn

Do đó, ta dùng các thuật ngữ liên tục và bị chặn thay thế cho nhau khi

nói về các toán tử tuyến tính

4 Không gian liên hợp, toán tử liên hợp

Định nghĩa 1.9 Cho X là một không gian tuyến tính định chuẩn trên

trường F Ta gọi không gian X các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian X là không gian liên hợp (không gian đối ngẫu) của không gian

X

Định lí 1.4 Nếu X là không gian định chuẩn, khi đó không gian đối ngẫu

X là không gian Banach với chuẩn x  sup x x,  

Trang 9

Định lí 1.5 Giả sử X là không gian Banach Khi đó, x X 

Định nghĩa 1.10

a) Không gian liên hợp của không gian X gọi là không gian liên hợp

thứ hai của không gian định chuẩn X và kí hiệu là X

b) Mỗi phần tử x X xác định một phần tử ( )x X cho bởi công thức x, ( ) x x x,   với xX Ánh xạ  : X X được gọi là phép nhúng chính tắc X vµo X, từ đó đồng nhất X với không gian con

Định nghĩa 1.11 Giả sử X Y, là hai không gian tuyến tính định chuẩn, S là

toán tử tuyến tính bị chặn từ X vµo Y Toán tử S Y:  X xác định bởi

gọi là toán tử liên hợp của toán tử tuyến tính bị chặn S

Dễ thấy S tuyến tính và với mọi yY ta có

Trang 10

(S y x )  Sx y,    y S x , x X

Do đó, S y   S y Vậy S là một toán tử tuyến tính bị chặn

Định lí 1.6 Nếu S là toán tử tuyến tính liên hợp của toán tử tuyến tính bị chặn S từ không gian tuyến tính định chuẩn X vào không gian tuyến tính định chuẩn Y thì S  S

5 Sự hội tụ yếu

Định nghĩa 1.12 Giả sử X là một không gian Banach

a) Dãy  x các phần tử của n X hội tụ tới điểm xX nếu

Khi đó, ta nói rằng x nx yếu

c) Dãy  x n các phiếm hàm của X hội tụ yếu* đến xX nếu

Đặc biệt, nếu X là không gian phản xạ thì XX, do đó

n

x x yếu

Trang 11

Bổ đề 1.1 Cho X là một không gian Banach

a) Sự hội tụ mạnh trong X thì kéo theo sự hội tụ yếu trong X

b) Sự hội tụ yếu trong X kéo theo sự hội tụ yÕu trong X

Bổ đề 1.2 Mọi dãy hội tụ yếu thì đều có chuẩn bị chặn trên, nghĩa là, nếu

 x n X và x n  x X yếu thì sup x n  

§2 Không gian Hilbert

Định nghĩa 1.13 Cho không gian tuyến tính X trên trường F Ta gọi là

tích vô hướng trên không gian X mọi ánh xạ từ tích Descartes X X vào

F , kí hiệu    , thoả mãn tiên đề :

thì công thức này xác định một chuẩn trên X

Định nghĩa 1.14 Không gian tuyến tính trên trường F cùng với một tích

vô hướng gọi là không gian tiền Hilbert

Như vậy, mọi không gian tiền Hilbert đều là không gian định chuẩn với chuẩn (1.2)

Định nghĩa 1.15 Ta gọi một tập H gồm những phần tử x y z, , nào

đấy là không gian Hilbert nếu H thoả man các điều kiện:

Trang 12

1) H là không gian tuyến tính trên trường F ;

2) H được trang bị một tích vô hướng    , ;

3) H là không gian Banach với chuẩn x  x x,  , xH

Ta gọi mọi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert H

là không gian Hilbert con của không gian Hilbert H

Ví dụ 1.6 a) L E p( ) là không gian Hilbert khi p2 và tích vô hướng được xác định bởi , ( ) ( )

p thì l p không là không gian Hilbert

Định lí 1.7 Cho H là một không gian Hilbert và lấy , x y H

Định nghĩa 1.16 Cho  x là một dãy trong không gian Hilbert n H

a)  x n là dãy trực giao nếu x x n, m0 khi m n

b)  x n là dãy trực chuẩn nếu x x m, nmn, nghĩa là,  x n trực giao

và x 1 với mọi n

Trang 13

c)  x là cơ sở của n H nếu x H  đều cố thể viết

1

n n n

x c x





 với cách chọn các vô hướng c là duy nhất n

d) Dãy  x là cơ sở trực chuẩn nếu nó vừa là dãy trực chuẩn vừa là n

cơ sở Trong trường hợp này, sự biểu diễn duy nhất của x H theo cơ sở này là xx x, nx n(xem định lí 1.10)

Ví dụ 1.7 Sau đây là một vài ví dụ về cơ sở trực chuẩn

HL , không gian các hàm có bình phương khả tích trên

 0,1 Đặt e x n( )e2inx với n Khi đó  e n n là một cơ sở của H Nếu

được gọi là chuỗi Fourier của f và

( f e, n )n là dãy các hệ số Fourier của f Các hệ số Fourier thường được

kí hiệu bởi

1

^

2 0

f n  f e  f x e  dx Nếu  e là cơ sở trực chuẩn của không gian Hilbert n H bất kì thì biểu

diễn xx e, n e n được gọi là chuỗi Fourier suy rộng của x H và (x e, n) được gọi là dãy các hệ số Fourier suy rộng

Định lí 1.8 (Định lí Friesz) Nếu x là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian Hilbert H thì tồn tại duy nhất phần tử y của H sao cho

x x x y  x H và x  y

Trang 14

Nhờ định lí Friesz, mỗi phiếm hàm tuyến tính liên tục x trên không gian Hilbert H tương ứng với một phần tử y H Hiển nhiên tương ứng đó vừa tuyến tính vừa đẳng cự Vì vậy ta có thể đồng nhất mỗi phiếm hàm

xH với phần tử y H , nghĩa là H H

Định lí 1.9 Cho  x là một dãy trực chuẩn trong không gian Hilbert n H

a) Chuỗi xc x n n hội tụ nếu và chỉ nếu 2

( )c n l Trong trường hợp này, ta có công thức Plancherel x 2 c n2

b) Nếu xc x n n hội tụ thì c nx x, n  Đặc biệt, ( ) ( c n  x x, n )

là các hệ số được xác định duy nhất sao cho xc x n n

Định lí 1.11 Không gian Hilbert H có cơ sở trực chuẩn khi và chỉ khi

không gian đó là tách được

Định nghĩa 1.17 Cho S là toán tử tuyến tính bị chặn ánh xạ không gian

Hilbert X vào không gian Hilbert Y Toán tử S ánh xạ không gian Y vào

không gian X gọi là toán tử liên hợp của toán tử S nếu

Sx y x S y x X y Y

      

Trang 15

Định nghĩa 1.18 Giả sử H là không gian Hilbert

a) Toán tử tuyến tính bị chặn S ánh xạ không gian Hilbert H vào

chính nó gọi là tự liên hợp nếu Sx y, x Sy,  x y, H Có thể chỉ ra

rằng S là tự liên hợp khi và chỉ khi Sx x,  là số thực và

c)S H: H xác định dương hữu hạn, kí hiệu S0, nếu Sx x,  là

và (aij)(a ji)

Trang 16

§3 Các nguyên lí cơ bản của giải tích hàm

Định lí 1.12 (Định lí Haln- Banach) Cho X là một không gian vectơ và p

là một hàm giá trị thực trên X thoả mãn

       x by ) a p x( ) b p y( ) Lấy  là một phiếm hàm tuyến tính trên không gian con Y của X và giả sử  thoả mãn  x Y, ( ) x p x( ) Khi đó, tồn tại một phiếm hàm tuyến tính  trên X sao cho:

x X  x p x

   và  x Y, ( ) x ( )x

Hệ quả 1.1 Cho X là một không gian tuyến tính định chuẩn và lấy Y là

một không gian con của X , Y Khi đó, tồn tại X sao cho:

Trang 17

Nếu H là một không gian Hilbert thì H H Do đó, hệ quả 4 suy ra rằng dãy  x trong không gian Hilbert n H là đầy nếu và chỉ nếu mỗi y Hthoả mãn x y n, 0 với mọi n thì y

Định lí 1.13 (Nguyên lí bị chặn đều) Cho X là một không gian Banach và

Y là một không gian tuyến tính định chuẩn Lấy  T  là một họ các toán

tử tuyến tính bị chặn ánh xạ X vào Y Khi đó,

T U  T x x U là tập mở trong Y khi U là tập mở trong X

Định lí 1.15 (Nguyên lí ánh xạ ngược) Một song ánh liên tục

Định nghĩa 1.19 Cho hai không gian định chuẩn Xvµ Y Nếu toán tử

tuyến tính liên tục T ánh xạ không gian X lên không gian Y có toán tử 1

Tliên tục thì toán tử T gọi là phép đồng phôi tuyến tính ánh xạ không gian X

lên không gian Y

Hệ quả 1.5 Song ánh tuyến tính liên tục T ánh xạ không gian Banach X

lên không gian Banach Y là một phép đồng phôi tuyến tính

Định lí 1.16 (Nguyên lí đồ thị đóng) Cho toán tử tuyến tính T ánh xạ

không gian Banach X lên không gian Banach Y Toán tử T liên tục khi và chỉ khi graph T( )( , )x y  X Y y: T x( ) là tập đóng trong X Y , nghĩa là T bị chặn nếu và chỉ nếu với mỗi  x n X ta có:

(x nx vµ ( )T x n   y) y T x( )

Trang 18

Chương 2

CƠ SỞ TRONG KHÔNG GIAN BANACH

§1 Sự hội tụ của chuỗi

1 Các định nghĩa

Định nghĩa 2.1 Cho  x là một dãy trong không gian Banach n X

a) Chuỗi x n hội tụ và bằng xX nếu dãy tổng riêng

b) Chuỗi x n là chuỗi Cauchy nếu dãy các tổng riêng  S là dãy N

Cauchy trong X , nghĩa là, nếu

Định nghĩa 2.2 Cho  x là một dãy trong không gian Banach n X

a) Chuỗi x n hội tụ vô điều kiện nếu x( )n hội tụ với mọi sự hoán vị  của  *

b) Chuỗi x n hội tụ tuyệt đối nếu  x n  

Ta thấy trong định nghĩa 2.2 không đòi hỏi chuỗi x( )n phải hội tụ tới cùng một giá trị với mọi sự hoán vị 

Trang 19

Ví dụ 2.1 Cho  e là một dãy trực chuẩn vô hạn trong không gian Hilbert n

H vô hạn chiều Khi đó, từ định lí1.9a), chuỗi c e n n hội tụ nếu và chỉ nếu

( )c n l Trong trường hợp khác, do e n 1, ta có c e n n hội tụ tuyệt đối nếu

và chỉ nếu c n   Do đó, sự hội tụ của chuỗi đúng với 1

( )c n l Do l1 là tập con của 2

l nên có những chuỗi c e n n hội tụ vô điều kiện nhưng không hội tụ tuyệt đối

Chú ý rằng trong ví dụ này, ta có thể mô tả chính xác tập hợp các hệ

số ( )c sao cho n c e n n hội tụ vì ta đã biết  e là dãy trực chuẩn trong n

không gian Hilbert hoặc không gian Banach luôn gặp rất nhiều khó khăn để

mô tả chính xác tập hợp các hệ số ( )c sao cho n c a n n hội tụ hoặc hội tụ

vô điều kiện

2 Mối liên hệ giữa sự hội tụ tuyệt đối và sự hội tụ vô điều kiện của chuỗi trong không gian Banach

Bổ đề 2.1 Giả sử ( ) c là một dãy các vô hướng thực hoặc phức Khi đó, n

Trang 20

Lấy  là một hoán vị bất kì của   và lấy  1 1 

1 (1), , ( 0)

N    N Giả sử rằng NMN1 Nếu M  1 n N, khi đó n N 1 Do đó,

0

(1), , ( )

n  N , vì vậy ( ) 1, ,n  N0 Do đó, ( )n N0 Đặc biệt,Kmin(M1), , ( ) N N0 và Lmax(M+1), , (N) K

của các vô hướng và do đó nó phải hội tụ

] Trước hết, giả sử c n là một chuỗi các vô hướng thực hội tụ vô điều kiện nhưng không hội tụ tuyệt đối Lấy ( )p là một dãy các số hạng không n

âm của ( )c theo thứ tự và lấy ( ) n q là một dãy các số hạng âm của dãy ( ) n c n

theo thứ tự Nếu p n vµ q n đều hội tụ, khi đó dễ thấy c n hội tụ vã bằng p nq n, điều này mâu thuẫn Vì vậy, một trong hai chuỗi hoÆc

là sự hoán vị của c n mà chuỗi này phân kì Do đó, c n không thể hội

tụ vô điều kiện Chứng minh tương tự, ta cũng có c nkhông thể hội tụ vô

Trang 21

Vì vậy, nếu c nlà một chuỗi các vô hướng thực hội tụ vô điều kiện thì chuỗi đó phải hội tụ tuyệt đối Bây giờ, giả sử c nlà một chuỗi các vô hướng phức hội tụ vô điều kiện ta sẽ chỉ ra phần thực và phần ảo của

n

c

 hội tụ vô điều kiện

Viết c n a nib nvà lấy  là một hoán vị bất kì của  * Khi đó,

c  a ib  a  b  

Vì vậy, c nhội tụ tuyệt đối

Bổ đề 2.2 Cho  x là một dãy các phần tử của không gian Banach n X Nếu

Do  x n là một chuỗi Cauchy các số thực, điều đó cho thấy x n

là chuỗi Cauchy trong X Hơn nữa, ta lặp lại lí luận đối với hoán vị bất kì

 của  , ta luôn có   x( )n   theo bổ đề 2.1 Do đó, x nhội tụ vô điều kiện

Trang 22

§2 Cơ sở trong không gian Banach

1 Cơ sở Hamel

a) Định nghĩa

Định nghĩa 2.3 Một tập hợp hữu hạn các phần tử x1, ,x trong không gian n

vectơ phức(thực) được gọi là độc lập tuyến tính nếu và chỉ nếu

     , với 1, ,n(hoÆc ) thì suy ra 1  n 0 Tập con A của không

gian vectơ được gọi là độc lập tuyến tính nếu và chỉ nếu mỗi tập con hữu

hạn của A là độc lập tuyến tính

Định nghĩa 2.4 Tập con độc lập tuyến tính hữu hạn A trong không gian

vectơ X được gọi là cơ sở Hamel của X nếu và chỉ nếu phần tử khác không bất kì x X có thể viết được dưới dạng

x u    u

với một vài m , các giá trị 1, ,m(hoÆc ) và các phần tử phân biệt u1, ,u mA

Nói cách khác, A là cơ sở Hamel của X nếu A là độc lập tuyến tính

và nếu phần tử bất kì của X có thể viết được dưới dạng một tổ hợp tuyến tính hữu hạn các phần tử của A

Chú ý rằng nếu A là tập con độc lập tuyến tính của X và nếu x X

có thể viết được dưới dạng x1 1u   m m u như trên thì sự khai triển này là duy nhất Để hiểu điều này, giả sử ta cũng có biểu diễn

x v    v , với 1, ,k khác không và các phần tử phân biệt v1, ,v kA Thực

Trang 23

Giả sử m k Lúc này, v không bằng bất kì một phần tử 1 v nào và j

vì vậy, từ tính độc lập, cũng không thể khác tất cả các u Nói cách khác, i v 1

bằng một trong các u Tương tự, ta thấy mọi i v bằng một vài j u và do đó i phải có m k và v1, ,v là một hoán vị của m u1, ,u Nhưng khi đó, lại do m

tính độc lập, 1, ,m cũng là hoán vị của 1, ,m Tính duy nhất của sự khai triển của x dưới dạng tổ hợp tuyến tính hữu hạn các phần tử của A suy

ra từ đó

b) Sự tồn tại của cơ sở Hamel trong không gian vectơ

Định lí 2.1 Mọi không gian vectơ X có thể có cơ sở Hamel

Chứng minh

Lấy  kí hiệu tập hợp các bộ phận độc lập tuyến tính của X , được

sắp xếp riêng rẽ bao hàm nhau Lấy S :Jlà một tập hợp được sắp thứ

tự toàn phần của  Đặt S S



 Ta cần chứng tỏ S là độc lập tuyến tính

Để hiểu rõ điều này, giả sử x1, ,x là các phần tử phân biệt của m S và giả

sử rằng 1 1x   m m x , với 1, ,m( Æho c ) khác không Khi đó,

tuyến tính, điều phải chứng minh

Từ đó suy ra S là bị chặn trên bởi  S của  Vì thế mọi tập sắp thứ

tự toàn phần trong  là bị chặn trên và vì vậy theo bổ đề Zorn,  có thể có

một phần tử lớn nhất, giả sử là M Ta cần chứng tỏ M là cơ sở Hamel Để

hiểu điều này, lấy xX x,  và giả sử rằng đẳng thức có dạng

xu    u

Trang 24

là không thể xảy ra với bất kì k , các phần tử phân biệt u1, ,u kMvà các phần tử khác không 1, ,k (hoặc  ) Khi đó, với bất kì

u u M và các phần tử khác không 1, ,m (hoặc  ), nghĩa là M

là cơ sở Hamel của X

Định lí 2.2 Cho A là tập con độc lập tuyến tính của không gian vectơ X

Khi đó, có một cơ sở Hamel của X chứa A, nghĩa là, tập con độc lập tuyến tính bất kì của không gian vectơ có thể được chứa trong một cơ sở Hamel

Chứng minh

Lấy  kí hiệu tập hợp các tập con độc lập tuyến tính của X mà chứa

A Khi đó,  được sắp thứ tự theo thuyết bao hàm tập Như trên, vận dụng

bổ đề Zorn ta thu được phần tử lớn nhất của  mà tập này là cơ sở Hamel

của X và chứa A

Sự tồn tại của cơ sở Hamel có ý nghĩa quan trọng trong việc xây dựng các ví dụ “ bệnh học ” khác nhau

Ví dụ 2.2 Trước tiên ta chú ý đến sự tồn tại của các phiếm hàm tuyến

tính bị chặn Dễ dàng đưa ra các ví dụ trên không gian định chuẩn Chẳng

hạn, lấy X là không gian vectơ các dãy số phức mà các dãy này dần tới

không Vì thế ( )a n X nếu và chỉ nếu a n 0 với mọi n đủ lớn (phụ thuộc

vào dãy đặc biệt) Trang bị X với chuẩn ( ) a n supa n và xác định

Trang 25

Ví dụ 2.3 Ta có thể dùng khái niệm về cơ sở Hamel để đưa ra một ví dụ về

một không gian mà không gian này là không gian Banach với hai chuẩn không tương đương đương Dễ dàng đưa ra các ví dụ về các không gian vectơ với các chuẩn không tương đương Chẳng hạn, C 0,1 được trang bị bởi các chuẩn   và  1 là một ví dụ như vậy

Ví dụ 2.4 Ta sẽ dùng sự tồn tại của cơ sở Hamel để chỉ ra rằng nếu X là

một không gian Banach vô hạn chiều thì tồn tại các phiếm hàm tuyến tính trên X mà các hàm này không liên tục Lấy  x  là một cơ sở Hamel của

không gian Banach vô hạn chiều X , đã được chuẩn hoá Vì vậy, x 1 với mọi   Lấy  0  1, 2,  là dãy con đếm được bất kì của  Đặt

: X

  xác định bởi   n n với n và *   0 với   \ 0 và khi đó thác triển  tuyến tính đối với X Do đó,  là một phiếm hàm tuyến tính trên X nhưng nó không bị chặn

Do mỗi không gian Banach là một không gian vectơ nên có cơ sở Hamel hoặc cơ sở không gian vectơ Trong không gian Banach vô hạn chiều tách được đòi hỏi có cơ sở Hamel không đếm được Hơn nữa, phép chứng minh sự tồn tại của cơ sở Hamel đối với không gian vô hạn chiều tách được cần có các tiên đề Chọn (có thể chỉ ra được rằng mệnh đề “ mọi không gian vectơ có một cơ sở Hamel ” là tương đương với tiên đề Chọn) Do đó, đối với không gian Banach không có một phương pháp xây dựng nào để mở rộng cơ sở Hamel

Trang 26

Có ứng dụng hơn cơ sở Hamel là dãy đếm được  x sao cho mọi n phần tử x X có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng tổ hợp tuyến tính vô hạn

vô điều kiện với mỗi x X

c) Cơ sở  x là một cơ sở hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi (2.1) hội tụ tuyệt n đối với mỗi x X

d) Cơ sở  x là cơ sở bị chặn nếu n  x có chuẩn vừa bị chặn trên n

vừa bị chặn dưới, nghĩa là, nếu 0 inf x n sup x n  

e) Cơ sở  x là cơ sở đã được chuẩn hoá nếu n  x đã được chuẩn n

hoá, nghĩa là, nếu x n 1 với mọi n

Chú ý rằng nếu  x là cơ sở thì mỗi n xXcó thể được viết một cách duy nhất dưới dạng xa x x n( ) n, suy ra x n với mọi n Như là một hệ quả x n/ x n là một cơ sở đã được chuẩn hoá của X Nếu X có một cơ sở

 x thì n X phải tách được Do đó, tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính hữu

hạn N c x với c hữu tỉ (hoặc phần thực và phần ảo hữu tỉ nếu c là số

Trang 27

mọi không gian Banach tách được đều có một cơ sở được đặt ra như một bài toán cơ sở Từ Enflo[Enf73] có thể chỉ ra được rằng tồn tại những không gian Banach tách được, phản xạ mà không có bất kì một cơ sở nào

Kí hiệu 2.1 Chú ý rằng, các hệ số ( )a x được xác định trong (2.1) là các n hàm tuyến tính của X Hơn nữa, chúng được xác định duy nhất bởi cơ sở,

nghĩa là, cơ sở  x xác định một tập hợp duy nhất các phiếm hàm tuyến n

tính a n: XF Do đó, ta gọi  a là dãy liên kết các phiếm hàm hệ số n

Do đó, các phiếm hàm này được xác định một cách duy nhất, ta thường không trình bày cụ thể Khi ta cần làm rõ đối với cả cơ sở và các phiếm hàm

hệ số liên kết, ta sẽ viết “    x n , a n  là cơ sở ” có nghĩa là  x là một cơ n

sở với các phiếm hàm hệ số liên kết  a n

Hơn nữa, chú ý rằng, do x m a x x n( m) n và x m mn x n là hai sự khai triển của x , ta phải có m a x n( m)mn với mọi m, n Khi đó, ta nói rằng dãy

 x n  X và  a n X là song trực giao và ta thường nói rằng  a là hệ n

song trực giao được liên kết với  x n

Ví dụ 2.5 Với 1 p   và xét không gian Xl p được xác định trong ví

dụ 1.3 Xác định dãy e n (mn m)1 (0, ,0,1,0, )



n Khi đó,  e là một cơ sở của n p

l và thường được gọi là cơ sở chính tắc

Ta quan tâm chủ yếu đến cơ sở mà liên kết với nó là các phiếm hàm

hệ số  a là liên tục Do đó, ta đưa ra cơ sở như vậy với tên cụ thể trong n

không gian

Trang 28

Định nghĩa 2.6 Cơ sở     x n , a n  là cơ sở Schauder nếu mỗi phiếm hàm

hệ số a liên tục Trong trường hợp này, mỗi n a là một phần tử của không n

gian đối ngẫu, nghĩa là a nX với mọi n

Kí hiệu 2.2 Tổng riêng các toán tử hoặc các phép chiếu tự nhiên, được liên

kết với cơ sở     x n , a n  là các ánh xạ S N :X X được xác định bởi

từ X vào chính nó Khi đó, tất cả các cơ sở đều là cơ sở Schauder Từ đó suy ra được tính liên tục của tổng riêng các toán tử

3 Các tính chất của cơ sở trong không gian Banach

Mệnh đề 2.1 Cho  x là một dãy trong không gian Banach n X và giả sử

Khi đó, các mệnh đề sau luôn đúng

a) Y là một không gian Banach

b) Nếu  x là một cơ sở của n X thì Y là đồng phôi với X qua ánh

Trang 29

Y

 là một chuẩn trên Y Tiếp theo, ta chỉ ra Y là đầy theo chuẩn này Lấy A N (c n N) là tập các dãy bất kì của Y có dạng một dãy Cauchy với chuẩn  Y Khi đó, với mỗi

Trang 30

Hơn nữa, 0

1

(c n N )n Y Vì vậy, N0

n n n

c x

 hội tụ theo định nghĩa Khi

0

1

,

N N

Trang 31

c) x sup S x N có dạng một chuẩn trên X tương đương với chuẩn ban đầu  của X và thoả mãn

C

     Chứng minh

a) Lấy Y xác định như trong mệnh đề 2.1 Khi đó, T X: Y được cho bởi ( )T c n c x n n là một phép đồng phôi ánh xạ X lên Y Giả sử

xX Khi đó, theo định nghĩa ta có xa x x n( ) n và các vô hướng a x n( )

là duy nhất Vì vậy, ta phải có 1

Từ đó, suy ra  thực chất là một chuẩn và chuẩn này tương đương với 

Định nghĩa 2.7 Nếu (   x n , a n ) là một cơ sở của không gian Banach X , khi đó hằng số cơ sở của nó là một số hữu hạn Csup S N Hằng số cơ sở thoả mãn C1 Nếu hằng số cơ sở C1 thì cơ sở đó được gọi là cơ sở đơn điệu

Hằng số cơ sở phụ thuộc vào chuẩn Trừ trường hợp đã được xác định

cụ thể, hằng số cơ sở luôn được xác định dựa theo chuẩn đã cho trên X Sự thay đổi một chuẩn tương đương trên X sẽ không làm thay đổi cơ sở  x n

nhưng có thể làm thay đổi hằng số cơ sở của  x Chẳng hạn, ta chỉ ra n

được ngay hằng số cơ sở trong  luôn luôn là 1

Trang 32

Mệnh đề 2.2 Mọi cơ sở là đơn điệu với mối quan hệ với chuẩn tương

đương  được xác định trong hệ quả 3.1c)

1 a n x n 2C , (2.5) Trong đó, C là hằng số cơ sở của (   x n , a n )

Định dạng
Số trang	64
Dung lượng	1,24 MB