Định nghĩa 2.9. Dãy xn trong không gian Banach X là :
a)Độc lập hữu hạn nếu
1 N n n n c x thì c1 cN 0. b)độc lập nếu 1 n n n
c x hội tụ và bằng không khi và chỉ khi cn0
với mọi n.
c) Nhỏ nhất nếu xmspan x n n m với mọi n.
Định lí 2.5. Cho xn là một dãy trong không gian Banach X. Khi đó a) xn là cơ sở xn là nhỏ nhất và đầy.
b) xn là nhỏ nhất xn là độc lập.
c) xn là độc lập xn là độc lập hữu hạn.
Chứng minh
a) Giả sử ( xn , an ) là một cơ sở của không gian Banach X. Khi đó, hiển nhiên xn là đầy. Vì vậy, ta cần chỉ ra xn là nhỏ nhất.Cố định m và đặt E span x n n m . Khi đó, do xn và an là song trực giao, ta có
x a, n 0 với mọi x E .
Do am liên tục nên x a, m0 với mọi x span x n n m . Tuy nhiên, ta lại có x am, m1. Vì vậy xmE. Do đó, xn là nhỏ nhất.
Khoá luận tốt nghiệp Vũ Thị Hương - K29K - Toán b) Giả sử xn là nhỏ nhất và c xn n hội tụ và bằng không. Chọn m
sao cho cm0. Khi đó,
1 m n n n n m n m m x c x span x
c , điều này mâu
thuẫn. Vậy cn0 với mọi n. c) Hiển nhiên.
Chiều ngược lại trong định lí 2.5 chưa chắc đúng. Các ví dụ sau sẽ cho thấy điều đó.
Ví dụ 2.6. Nhỏ nhất và đầy cơ sở.
Đặt C T( )f C( ) : ( f t 1) f t( ) là không gian tất cả các hàm liên tục, tuần hoàn với chu kì 1. Khi đó, C T( ) là không gian Banach với chuẩn đều L.
Xét các hàm 2 ( ) int
n
e t e với n. Những hàm này không chỉ là phần tử của C T( ) mà chúng còn xác định những phiếm hàm tuyến tính liên tục trên C T( ) qua tích vô hướng 1 2
0
, n ( ) int
f e f t e dt. Hơn nữa, en n
là hệ song trực giao với chính nó, vì e en, mmn. Theo bổ đề 2.4 sau đây chứng tỏ en n là nhỏ nhất trong C T( ). Định lí xấp xỉ Weierstrass cho thấy nếu f C T( ) thì
N n n
n N L
f c e với một vài vô hướng cn. Do đó,
n n
span e là trù mật trong C T( ) và do đó en là đầy trong C T( ).
Mặt khác, ta có thể chứng minh tính đầy như sau : giả sử fC T( )
thoả mãn f e, n 0 ví i mäi n. Do C T( ) 2
( )
L T và do en n là một cơ sở trực chuẩn của L T2( ), suy ra f là hàm không trong không gian L T2( ), vì thế bằng không hầu khắp nơi. Do f liên tục nên f t( )0 với mọi t. Do đó,
Khoá luận tốt nghiệp Vũ Thị Hương - K29K - Toán
en n là đầy trong cả C T( ) vµ ( )L T2 theo hệ quả 1.4. Vì vậy, en n vừa nhỏ nhất vừa đầy trong C T( ). Hơn nữa, nếu f c en n hội tụ trong C T( )
thì dễ thấy từ tính trực chuẩn của en suy ra cn f e, n. Tuy nhiên, ta đã biết tồn tại các hàm liên tục f C T( ) mà chuỗi Fourier của nó
, n n
f f e e không hội tụ đều. Do đó, en n không thể là cơ sở của
( )
C T .
Ví dụ 2.7. độc lập nhỏ nhất.
Giả sử X là một không gian Banach sao cho tồn tại dãy xn mà dãy đó vừa nhỏ nhất vừa đầy trong X nhưng không là cơ sở của X(chẳng hạn, ta có thể dùng X C T ( ) và 2
( ) ( ) int
n n
x t e t e như trong ví dụ 2.6). Do
xn là nhỏ nhất, từ bổ đề 2.4 sau cho thấy tồn tại một dãy an X mà dãy đó là song trực giao với xn . Do xn không là cơ sở nên tồn tại một vài yX sao cho chuỗi y a, n xn không hội tụ trong X.
Xét dãy y xn . Hiển nhiên dãy mới này là đầy và do
n
y span x nên dãy đó không thể là nhỏ nhất. Tuy nhiên, ta sẽ chỉ ra rằng
y xn là độc lập.
Giả sử cyc xn n, nghĩa là phép lấy tổng hội tụ và bằng không. Nếu c0 thì ta có 1
n n
y c x
c . Khi đó, từ tính song trực giao của xn
và an suy ra y a, n c cn/ . Nhưng khi đó y a, n xn hội tụ, điều này mâu thuẫn. Do đó, ta phải có c0, suy ra c xn n . Tuy nhiên, do
Khoá luận tốt nghiệp Vũ Thị Hương - K29K - Toán đó, y xn là độc lập nhưng không nhỏ nhất. Ngoài ra, ta có thể chỉ ra ví dụ về dãy độc lập đầy trong không gian Hilbert mà dãy đó không là cực tiểu. Lấy en là một cơ sở trực chuẩn bất kì của không gian Hilbert tách được bất kì H và đặt f1e1, fn e1 e nn/ với n2. Khi đó, dễ thấy fn
là đầy do span f n span e n . Tuy nhiên, f1 fn e nn/ 1 0
n .
Do đó, f1span f n n1. Vì vậy, fn không là nhỏ nhất. Để ý rằng
fn là độc lập. Giả sử c fn n hội tụ và bằng không. Khi đó, 1 1 1 2 ( ) N N N n n n n n n n n c f c e c e . Do đó, 2 2 2 1 1 2 1 2 ( ) 0 N N N N n n n n n n n n n c e c e c c .
Từ đó suy ra cn 0 với mỗi n2 và do đó c10.
Ví dụ 2.8. Độc lập hữu hạn độc lập.
Lấy ( xn , an ) là một cơ sở của không gian Banach Xvà lấy phần tử bất kì xX sao cho x a, n 0 với mọi n. Chẳng hạn, ta có thể lấy
2 n n n x x x . Chú ý rằng x không thể bằng bất kì xn vì x an, m0 khi m n .
Khi đó, xét dãy mới x xn . Hiển nhiên dãy này là đầy và
x c xn n . Vì vậy, dãy đó không là độc lập. Tuy nhiên, ta sẽ chỉ ra dãy đó là độc lập hữu hạn. Giả sử 1 N n n n cx c x . Thay xx a, nxn vào ta có
Khoá luận tốt nghiệp Vũ Thị Hương - K29K - Toán 1 1 ( , ) , N n n n n n n n N c x a c x c x a x .
Tuy nhiên, do xn là cơ sở nên đẳng thức trên chỉ có thể xảy ra nếu , n n 0
c x a c với n1,...,N và cx a, n 0 với n N . Do x a, n luôn khác không nên phải có c0. Nhưng khi đó c1 cN 0. Vì vậy
x xn là độc lập hữu hạn.