Định nghĩa 2.5
a) Dãy xn trong không gian Banach X là cơ sở của X nếu x X, tồn tại duy nhất các vô hướng a xn( ) sao cho
n( ) n
n
xa x x . (2.1) b) Cơ sở xn là một cơ sở hội tụ vô điều kiện nếu chuỗi (2.1) hội tụ vô điều kiện với mỗi xX.
c) Cơ sở xn là một cơ sở hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi (2.1) hội tụ tuyệt đối với mỗi xX.
d) Cơ sở xn là cơ sở bị chặn nếu xn có chuẩn vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, nghĩa là, nếu 0 inf xn sup xn .
e) Cơ sở xn là cơ sở đã được chuẩn hoá nếu xn đã được chuẩn hoá, nghĩa là, nếu xn 1 với mọi n.
Chú ý rằng nếu xn là cơ sở thì mỗi xXcó thể được viết một cách duy nhất dưới dạng xa x xn( ) n, suy ra xn với mọi n. Như là một hệ quả xn/ xn là một cơ sở đã được chuẩn hoá của X. Nếu X có một cơ sở
xn thì X phải tách được. Do đó, tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính hữu hạn N c xn n với cn hữu tỉ (hoặc phần thực và phần ảo hữu tỉ nếu cn là số
Khoá luận tốt nghiệp Vũ Thị Hương - K29K - Toán mọi không gian Banach tách được đều có một cơ sở được đặt ra như một bài toán cơ sở. Từ Enflo[Enf73] có thể chỉ ra được rằng tồn tại những không gian Banach tách được, phản xạ mà không có bất kì một cơ sở nào.
Kí hiệu 2.1. Chú ý rằng, các hệ số a xn( ) được xác định trong (2.1) là các hàm tuyến tính của X. Hơn nữa, chúng được xác định duy nhất bởi cơ sở, nghĩa là, cơ sở xn xác định một tập hợp duy nhất các phiếm hàm tuyến tính an: XF. Do đó, ta gọi an là dãy liên kết các phiếm hàm hệ số. Do đó, các phiếm hàm này được xác định một cách duy nhất, ta thường không trình bày cụ thể. Khi ta cần làm rõ đối với cả cơ sở và các phiếm hàm hệ số liên kết, ta sẽ viết “ xn , an là cơ sở ” có nghĩa là xn là một cơ sở với các phiếm hàm hệ số liên kết an .
Hơn nữa, chú ý rằng, do xm a x xn( m) n và xm mnxn là hai sự khai triển của xm, ta phải có a xn( m)mn với mọi m, n. Khi đó, ta nói rằng dãy
xn X và an X là song trực giao và ta thường nói rằng an là hệ song trực giao được liên kết với xn .
Ví dụ 2.5. Với 1 p và xét không gian Xlp được xác định trong ví dụ 1.3. Xác định dãy en (mn m)1 (0,...,0,1,0,...)
, trong đó số 1 ở vị trí thứ
n. Khi đó, en là một cơ sở của lpvà thường được gọi là cơ sở chính tắc của p
l . Chú ý rằng en là dãy các phiếm hàm hệ số của chính nó vì
q ( )p n
e l l (với q thoả mãn hệ thức 1 1 1
p q ).
Ta quan tâm chủ yếu đến cơ sở mà liên kết với nó là các phiếm hàm hệ số an là liên tục. Do đó, ta đưa ra cơ sở như vậy với tên cụ thể trong không gian.
Khoá luận tốt nghiệp Vũ Thị Hương - K29K - Toán
Định nghĩa 2.6. Cơ sở xn , an là cơ sở Schauder nếu mỗi phiếm hàm hệ số an liên tục. Trong trường hợp này, mỗi an là một phần tử của không gian đối ngẫu, nghĩa là anX với mọi n.
Kí hiệu 2.2. Tổng riêng các toán tử hoặc các phép chiếu tự nhiên, được liên
kết với cơ sở xn , an là các ánh xạ SN :X X được xác định bởi 1 ( ) N N n n n S x a x x .
Tổng riêng các toán tử là tuyến tính. Ta sẽ chỉ ra trong hệ quả rằng nếu xn là một cơ sở thì mỗi tổng riêng toán tử SN là một ánh xạ bị chặn từ X vào chính nó. Khi đó, tất cả các cơ sở đều là cơ sở Schauder. Từ đó suy ra được tính liên tục của tổng riêng các toán tử.