Toán tử compact trong không gian banach

của A, hay nói cách khác, nếu điểm x ∈ A thì tồn tại một lân cận của x bao hàm trong A.Tập A gọi là tập đóng trong không gian M, nếu mọi điểm không thuộc A đều là điểm ngoài của A, hay n

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

NGUYỄN THỊ HỒNG UYỂN

TOÁN TỬ COMPACT

TRONG KHÔNG GIAN BANACH

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: GIẢI TÍCH

Người hướng dẫn khoa học Th.s HOÀNG NGỌC TUẤN

Hà Nội - 2013

thành khóa luận tốt nghiệp này.

Do thời gian và kiến thức có hạn nên những vẫn đề trình bày trong khóaluận không tránh khỏi những thiếu sót Vì vậy, em rất mong nhận đượcnhững ý kiến đóng góp của các thầy cô và các bạn

Em xin chân thành cảm ơn !

Hà Nội, tháng 05 năm 2013

Sinh viên

Nguyễn Thị Hồng Uyển

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận này là kết quả của bản thân em trong quá trình học tập vànghiên cứu Bên cạnh đó em được sự quan tâm của các thầy cô giáo trong

khoa Toán, đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình của Th.S Hoàng Ngọc Tuấn.

Đây là đề tài độc lập không trùng lặp với đề tài của các tác giả khác

Trong khi nghiên cứu hoàn thành bài khóa luận này em đã tham khảomột số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo

Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô cùng các bạn

để khóa luận được hoàn thiện hơn

Hà Nội, tháng 05 năm 2013

Sinh viên

Nguyễn Thị Hồng Uyển

Mục lục

Mở đầu 1

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 3

1.1 Không gian Metric 3

1.2 Không gian định chuẩn 4

1.3 Không gian Hilbert 8

Chương 2 Toán tử compact trong không gian Banach 12

2.1 Định lý Schauder và Định lý thay phiên Fredholm 12

2.2 Lý thuyết phổ 21

2.3 Toán tử tự liên hợp 29

Kết luận 42

Tài liệu tham khảo 43

vi của một khóa luận tốt nghiệp cùng với sự giúp đỡ của thầy giáo – Th.S Hoàng Ngọc Tuấn em xin mạnh dạn trình bày những kiến thức của mình

về đề tài “Toán tử compact trong không gian Banach”.

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của bài khóa luận này là tìm hiểu về toán tử pact trong không gian Banach

com-3 Đối tượng phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu về toán tử compact trong không gian Banach bao gồm cácđịnh nghĩa và tính chất của nó

4 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu tài liệu tham khảo Tổng hợp, phân tích, hệ thống lại cáckhái niệm, tính chất

5 Cấu trúc khóa luận

Ngoài mục lục, phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, khóa luậngồm 2 chương:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Chương 2: Toán tử compact trong không gian Banach

Hà Nội, tháng 05 năm 2013

Sinh viên Nguyễn Thị Hồng Uyển

CHƯƠNG 1

Kiến thức chuẩn bị

1.1 Không gian Metric

Định nghĩa 1.1 Ta gọi là không gian metric một tập hợp X 6= /0 cùng với

một ánh xạ d từ tích Đề - các X × X vào tập hợp số thực R thỏa mãn các tiên đề sau đây:

(i) (∀x, y ∈ X ) d(x, y) ≥ 0, d(x, y) = 0 ⇔ x = y, (tiên đề đồng nhất);

(ii) (∀x, y ∈ X ) d(x, y) = (y, x), (tiên đề đối xứng);

(iii) (∀x, y, z ∈ X )d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), (tiên đề tam giác).

Ánh xạ d được gọi là metric trong X , số d(x, y) gọi là khoảng cách giữa hai phần tử x và y Các phần tử của X gọi là các điểm.

Không gian metric được kí hiệu là M = (X , d).

Định nghĩa 1.2 Cho không gian metric M = (X , d), dãy điểm (xn) ⊂ X ,

điểm x0 ∈ X Dãy điểm (xn) gọi là hội tụ tới điểm x0 trong không gian Mkhi

n→ ∞ nếu (∀ε > 0) (∃n0 ∈ N∗) (∀n ≥ n0) d(xn, x0) < ε, kí hiệu :

lim

n→∞xn = x0 hay xn → x0(n → ∞).

Điểm x0 còn gọi là giới hạn của dãy (xn) trong không gian M.

Định nghĩa 1.3 Cho không gian metric M = (X , d) Ta gọi là lân cận của

điểm x ∈ X trong không gian M mọi hình cầu mở tâm x, bán kính r > 0 nào

đấy.

Định nghĩa 1.4 Cho không gian metric M = (X , d) và tập A ⊂ X Tập A

gọi là tập mở trong không gian M, nếu mọi điểm thuộc A đều là điểm trong

của A, hay nói cách khác, nếu điểm x ∈ A thì tồn tại một lân cận của x bao hàm trong A.

Tập A gọi là tập đóng trong không gian M, nếu mọi điểm không thuộc A đều là điểm ngoài của A, hay nói cách khác, nếu điểm x / ∈ A thì tồn tại một

lân cận của x không chứa điểm nào thuộc tập A.

Định nghĩa 1.5 Cho không gian metric M = (X , d) Tập K ⊂ X gọi là tập

compact trong không gian M, nếu mọi dãy vô hạn các phần tử thuộc K đều chứa dãy con hội tụ tới phần tử thuộc tập K Tập K gọi là tập compact tương đối trong không gian M, nếu mọi dãy vô hạn các phần tử thuộc K đều chứa dãy con hội tụ (tới phần tử thuộc X ).

Định nghĩa 1.6 Cho không gian metric M = (X , d) Không gian M gọi là

không gian compact, nếu tập X là tập compact trong M.

Định lý 1.1 (Azela - Ascoli) Cho X là một không gian metric compact và Y

là một không gian metric Khi đó một tập hợp con F của C(X ,Y ) là compact khi và chỉ khi nó liên tục đồng bậc, bị chặn từng điểm và đóng.

Trong đó C(X ,Y ) là không gian metric với phần tử là tất cả các hàm liên tục từ X tới Y và metric được xác định bởi công thức:

1.2 Không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.7 Cho X là không gian vectơ trên trường K (K=R hoặc C).

Ánh xạ k.k : X → R được gọi là chuẩn trên X nếu

(i) kxk ≥ 0 với mọi x ∈ X ;

(ii) [kxk = 0 khi và chỉ khi x = 0;

(iii) kλ xk = |λ | kxk với mọi x ∈ X với mọi λ ∈ K;

Một không gian vectơ với một chuẩn (X , k.k) được gọi là không gian tuyến tính định chuẩn (hay là một không gian định chuẩn).

Định lý 1.2 Cho (X , k.k) Đặt d(x, y) = kx − yk ∀x, y ∈ X Khi đó, d là

metric trên X

Từ định lý trên suy ra một không gian định chuẩn có thể trở thành không gian metric (với metric định nghĩa như trong định lý) Do đó những khái niệm và tính chất đã có trong không gian metric thì cũng có trong không gian định chuẩn.

Một không gian Banach là một không gian tuyến tính định chuẩn (X , k.k)

là đủ trong metric chính tắc được xác định bởi d(x, y) = kx − yk với x, y ∈ X

Mệnh đề 1.1 Cho Y là không gian con của không gian Banach X Y là một

không gian Banach khi và chỉ khi Y là đóng trong X

Định nghĩa 1.8 Cho p ∈ [1,∞) Không gian `np được xác định không gian vectơ Kn n – chiều, với chuẩn kí hiệu với x = (x1, , xn) ∈ `np

Mệnh đề 1.2 (Riesz) Cho X là một không gian định chuẩn Nếu Y là một

không gian con đóng thực sự của X thì với mọi ε > 0 tồn tại x ∈ SX := {x ∈

X : kxk = 1} sao cho dist(x,Y ) ≥ 1 − ε.

Định lý 1.3 Cho X là một không gian định chuẩn X là hữu hạn chiều khi

và chỉ khi hình cầu đơn vị BX của X là compact.

Định nghĩa 1.9 Cho hai không gian tuyến tính X và Y trên trường K (K là

trường số thực R hoặc trường số phức C) Một ánh xạ T : X → Y được gọi

là tuyến tính, nếu

(i) ∀x, x0 ∈ X : T (x + x0) = T x + T x0;

(ii) ∀x ∈ X , ∀λ ∈ K : T λ x = λ T x.

Ta thường gọi ánh xạ tuyến tính là toán tử tuyến tính Khi Y = K thì toán tử

T thường gọi là phiếm hàm tuyến tính.

Định nghĩa 1.10 Cho X , Y là không gian định chuẩn, và cho T là một ánh

xạ tuyến tính từ X vào Y T được gọi là toán tử tuyến tính bị chặn nếu T (BX)

bị chặn trong Y

Ta xác định chuẩn của T là: kT k =sup {kT (x)kY; x ∈ BX}

Kí hiệu B(X ,Y ) là không gian của các toán tử tuyến tính từ X vào Y

Trong trường hợp X = Y , ta đặt B(X ) = B(X , X ).

Định lý 1.4 Cho T : X → Y là toán tử tuyến tính ánh xạ không gian định

chuẩn X vào không gian định chuẩn Y Khi đó, T liên tục khi và chỉ khi T

bị chặn.

Do đó, ta dùng các thuật ngữ liên tục và bị chặn thay thế cho nhau khi nói về các toán tử tuyến tính.

Định lý 1.5 Cho Y là không gian con của không gian Banach X Nếu

dim(Y ) = n, thì tồn tại một phép chiếu P của X vào Y sao cho kPk ≤ n.

Định nghĩa 1.11 Cho X , Y là không gian Banach và T ∈ B(X ,Y ) – không

gian các toán tử tuyến tính liên tục từ T : X → Y Ta định nghĩa toán tử

đối ngẫu (hay được gọi là liên hợp) T∗ ∈ B(Y∗, X∗) với f ∈ Y∗, T∗( f ) :

Định nghĩa 1.12 Một không gian con Y của không gian Banach X được

gọi là bù được trong X nếu tồn tại một phép chiếu tuyến tính bị chặn của X lên Y

Mệnh đề 1.5 Cho Y là không gian con đóng của không gian Banach Y là

bù được trong X khi và chỉ khi tồn tại phần bù tôpô của Y trong X

Định nghĩa 1.13 Dãy {xn} trong không gian Banach X gọi là :

(i) Bị chặn dưới nếuinf kxnk > 0

(ii) Bị chặn trên nếusup kxnk < ∞

(iii) Chuẩn hóa nếu kxnk = 1 với mọi n.

Định nghĩa 1.14 Cho không gian tuyến tính X và k.k1, k.k2 là hai chuẩn trên X Hai chuẩn k.k1 và k.k2 được gọi là tương đương nếu tồn tại hai số dương α, β sao cho:

1 Tập E ⊂ X được gọi là trù mật trong X nếu E = X

2 Không gian định chuẩn X gọi là không gian tách được nếu tồn tại một tập đếm được, trù mật trong X

Định lý 1.7 (Hahn - Banach) Cho X là một không gian vectơ và p là

một hàm giá trị thực trên X thỏa mãn:∀x, y ∈ X , ∀a, b ∈ C, |a| + |b| = 1

⇒ p(ax + by) ≤ |a| p(x) + |b| p(y)

Lấy λ là một phiếm hàm tuyến tính trên không gian con Y của X và giả

sử λ thỏa mãn ∀x ∈ Y, |λ (x)| ≤ p(x) Khi đó, tồn tại một phiếm hàm tuyến tính ϕ trên X sao cho: ∀x ∈ X , |ϕ(x)| ≤ p(x) và ∀x ∈ Y, ϕ(x) = λ (x).

Định lý 1.8 (Nguyên lí bị chặn đều) Cho X là một không gian Banach và Y

là một không gian tuyến tính định chuẩn Lấy {T γ}γ ∈Γ là một họ các toán tử tuyến tính bị chặn ánh xạ X vào Y Khi đó (∀x ∈ X; sup

γ ∈Γ

Tγ(x)

Y < ∞) ⇒sup Tγ < ∞

Định lý 1.9 (Nguyên lí ánh xạ mở) Cho T : X → Y là một toán tử tuyến

tính bị chặn từ không gian Banach X lên không gian Banach Y Khi đó:

T(U ) = {T (x) : x ∈ U } là tập mở trong Y khi U là tập mở trong X

Định lý 1.10 (Nguyên lí ánh xạ ngược) Một song ánh liên tục T : X → Y

ánh xạ không gian Banach X lên không gian Banach Y có song ánh ngược

1.3 Không gian Hilbert

Định nghĩa 1.16 Cho không gian tuyến tính X trên trường F Ta gọi là tích

vô hướng trên không gian X mọi ánh xạ từ tích Đềcác X × X vào F, kí hiệu

Nếu x ∈ X , ta đặt kxk = phx, xi thì công thức này xác định một chuẩn

trên X

Định nghĩa 1.17 Cho A là toán tử tuyến tính bị chặn ánh xạ không gian

Hilbert X và không gian Hilbert Y Toán tử B ánh xạ không gian Y vào không gian X gọi là toán tử liên hợp với toán tử A nếu:

(Ax, y) = (x, By), ∀x ∈ X , ∀y ∈ Y

Toán tử liên hợp B thường kí hiệu là A∗.

Định nghĩa 1.18 Ta gọi một tập H 6= /0 gồm những phần tử x, y, z, nào

đó là không gian Hilbert nếu tập H thỏa mãn các điều kiện:

(i) H là không gian tuyến tính trên trường F

(ii) H được trang bị một tích vô hướng

(iii) H là không gian Banach với chuẩn kxk =phx, xi, x ∈ H

Ta gọi mọi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert là không gian Hilbert con của không gian Hilbert H.

Định nghĩa 1.19 Cho F là không gian con của không gian Hilbert H Tập

hợp F⊥ = {h ∈ H; h⊥F} được gọi là phần bù trực giao của F trong H.

Định lý 1.11 Cho F là không gian con của không gian Hilbert H Nếu F là

đóng thì F + F⊥ = H Do đó, T : F ⊕ F⊥ → H được định nghĩa bởi T (x, y)

= x + y là một phép đẳng cấu của F ⊕ F⊥ lên H.

Định nghĩa 1.20 Cho H là không gian Hilbert và S ⊂ H S được gọi là tập

hợp trực chuẩn nếu (s1, s2) = 0 với bất kì s1 6= s2 ∈ S và (s, s) = 1 với mọi

Định lý 1.13 Mọi không gian Hilbert H vô hạn chiều tách được đều có một

cơ sở trực chuẩn {ei}∞

i=1 Hơn nữa, nếu {ei}∞

i=1 là một cơ sở trực chuẩn của H, thì với mọi x ∈ H

(iv) Nếu span({ei}∞

i=1) = H, thì {ei}∞

i=1 là một cơ sở trực chuẩn của H.

Mệnh đề 1.7 Cho X , Y là không gian Banach và T ∈ B(X ,Y ) Nếu có δ > 0

sao cho kT (x)k ≥ δ kxk với mọi x ∈ X , thì T (X ) là đóng trong Y

Hơn nữa, T là một phép đẳng cấu từ X vào Y

Mệnh đề 1.8 Cho Y là không gian con đóng của không gian Banach X Nếu

x0∈ Y, thì có f ∈ S/ X∗ sao cho f (x) = 0 với mọi x ∈ Y, và f (x0) = dist(x0,Y )

Định lý 1.14 Cho H là không gian Hilbert Với mọi f ∈ H∗, tồn tại duy

nhất a ∈ H, sao cho f (x) = 0 với mọi x ∈ H Ánh xạ f 7→ a là liên hợp tuyến

tính đẳng cự của H∗ vào trong H.

Ví dụ

1 Lp(E) là không gian Hilbert khi p = 2 và tích vô hướng được xác địnhbởi h f , gi =R

E f(x)g(x) dxKhi p 6= 2 thì Lp(E) không là không gian Hilbert

2 p = 2 thì `p là không gian Hilbert với tích vô hướng

p6= 2 thì Lp(E) không là không gian Hilbert

Định nghĩa 1.21 Cho {xn} là một dãy trong không gian Hilbert H

(i) {xn} là dãy trực giao nếu hxn, xmi = 0 khi m 6= n

(ii) {xn} là dãy trực chuẩn nếu hxm, xni = δmn, nghĩa là, {xn} trực giao

và kxk = 1 với mọi n

(iii) {xn} là cơ sở của H nếu ∀x ∈ H đều có thể viết x = ∑∞

n=1

cnxn với cách chọn các vô hướng cn là duy nhất

(iv) Dãy {xn} cơ sở trực chuẩn nếu nó vừa là dãy trực chuẩn vừa là cơ

sở Trong trường hợp này, sự biểu diễn duy nhất của x ∈ H theo cơ sở này

là x = ∑ hx, xni xn.

Ví dụ Lấy H = `2 và xác định dãy en= (δmn)∞m=1 = (0, ,0, 1, 0 ) trong

đó số 1 ở vị trí thứ n Khi đó {en} là cơ sở trực chuẩn của `2, thường gọi là

cơ sở chính tắc

Định lý 1.15 Không gian Hilbert H có cơ sở trực chuẩn khi và chỉ khi

không gian đó là tách được.

Định nghĩa 1.22 Cho S là toán tử tuyến tính bị chặn ánh xạ không gian

Hilbert X vào không gian Hilbert Y Toán tử S∗ ánh xạ không gian Y vào không gian X gọi là toán tử liên hợp của toán tử S nếu:

hSx, yi = hx, S∗yi, ∀x ∈ X , ∀y ∈ Y

CHƯƠNG 2

Toán tử compact trong

không gian Banach

2.1 Định lý Schauder và Định lý thay phiên

Fred-holm.

Định nghĩa 2.1 Cho X và Y là không gian Banach T ∈ B(X ,Y ) được gọi

là một toán tử compact nếu T (BX) là compact trong Y

Không gian của tất cả các toán tử compact từ X vào Y với chuẩn được tạo thành từ B(X ,Y ) được kí hiệu là κ(X ,Y ) Nếu X = Y , thì viết κ(X ) thay cho

κ (X , X ).

T ∈ B(X,Y ) được gọi là một toán tử có hạng hữu hạn hoặc một toán tử hữu

hạn chiều nếudim(T (x)) < ∞

Bởi F(X ,Y ) ta kí hiệu không gian của tất cả các toán tử hữu hạn chiều từ X vào Y với chuẩn được tạo thành từ B(X ,Y ).

Nếu f ∈ SX∗ và f không đạt được chuẩn của nó trên BX thì

f(BX) = (-1,1) Do đó ta có f ∈ κ(X ,R), nhưng f (BX) không phải làcompact Bởi vậy, bao đóng T (BX) trong định nghĩa của toán tử compactkhông thể bỏ được

Mệnh đề 2.1 Cho X , Y là không gian Banach Khi đó F(X ,Y ) là không

gian con của κ(X ,Y ) κ(X ,Y ) là không gian con đóng của B(X ,Y ), và đó

là một không gian Banach.

Chứng minh. Vì (T1+ T2)(X ) ⊂ T1(X ) + T2(X ), F(X ,Y ) là không gian concủa B(X ,Y ) Nếu T là một toán tử có hạng hữu hạn, thì T (BX) là tập hợp

bị chặn trong không gian đóng hữu hạn chiều T (X ), và do đó T (BX) làcompact

Đối với T1, T2 ta có

(αT1+ β T2)(BX) ⊂ αT1(BX) + β T2(BX) ⊂ αT1(BX) + β T2(BX)

và nếu Ti compact, vế phải là tập hợp compact (Mệnh đề 1.3) Do đó, κ(X ,Y )

là không gian con của B(X ,Y ) Ta sẽ chứng tỏ nó là đóng

Xét Tn ∈ κ(X,Y ) sao cho lim(Tn) = T trong κ(X ,Y ) Để chứng tỏ rằng

T là toán tử compact, cho ε > 0, ta tìm một ε - lưới hữu hạn với T (BX) Đầutiên, chú ý rằng Tn→ T trong B(X,Y ) có nghĩa là lim

n→∞(Tn(x)) = T (x) khôngđổi với x ∈ BX Do đó, tồn tại n0 sao cho kTn(x) − T (x)k < ε/2 để x ∈ BX và

n≥ n0 Vì Tn0(BX) bị chặn hoàn toàn trong Y nên ε/2 – lưới hữu hạn F trong

Tn0(BX) Ta có ε hữu hạn trong T (BX) Thật vậy, cho x ∈ BX, ta tìm được

y∈ F sao cho Tn0(x) − y < ε/2 Khi đó kT (x) − yk ≤ T(x) − Tn0(x) +

Tn0(x) − y < ε Bởi vậy, T là toán tử compact

Chú ý rằng nếu X là vô hạn chiều, thì không có phép đẳng cấu từ X vào

Y là toán tử compact theo Định lý 1.3 Đặc biệt, toán tử đồng nhất IX trongkhông gian Banach vô hạn chiều X không bao giờ là compact

Bổ đề 2.1 Cho X , Y là không gian Banach và T , T1, T2 ∈ B(X ,Y ) Nếu

lim(Tn(x)) = T (x) với mọi x ∈ X , thì với mỗi tập hợp compact K trong X ta

ta có M = sup{kT k , kT1k , kT2k , } < ∞ Do đó

k(Tn− T )(xn)k ≤ k(Tn− T )(x)k + k(Tn− T )(xn− x)k

≤ k(Tn− T )(xn)k + kTn− T k kxn− xk

≤ k(Tn− T )(x)k + 2M kxn− xk → 0,mâu thuẫn với kTn(xn) − T (xn)k ≥ ε

Định nghĩa 2.2 Cho X là một không gian tuyến tính định chuẩn vô hạn

chiều Một dãy {ei}∞

i=1 trong X được gọi là một cơ sở Schauder của X nếu với mọi x ∈ X thì tồn tại dãy vô hướng (ai)∞i=1 được gọi là tọa độ của x sao cho x =

Không phải mọi không gian đều có tính chất này Vì không gian củatoán tử compact là đóng nên ta có F(X ,Y ) ⊂ κ(X ,Y ) với X , Y là các khônggian Banach Không gian Banach Y được gọi là có tính chất xấp xỉ (A.P)nếu trong mọi không gian Banach X ta có F(X ,Y ) = κ(X ,Y ) Một thay đổinhỏ trong chứng minh định lí trước chứng tỏ rằng c0 và `p, p ∈ [1,∞), cóA.P

Mệnh đề 2.3 Cho X là không gian Banach với cơ sở Schauder Nếu X∗ là tách được, thì κ(X ,Y ) là tách được.

Chứng minh. Đầu tiên, ta chứng tỏ rằng tập các toán tử một chiều là tậphợp con trong κ(X ) Chọn một tập hợp trù mật đếm được{ fi} trong X∗

và một tập hợp trù mật đếm được {xn} trong X Khi đó dãy các toán tử

Ti,n : x 7→ fi(x)xn là trù mật trong tập hợp các toán tử một chiều trên X Thật vậy, giả sử T là một toán tử một chiều không tầm thường trên X códạng T (x) = f (x) e, khi đó f ∈ X∗, e ∈ X Cho ε > 0, chọn fi sao cho

k f − fik ≤ ε/ kek và xn sao cho ke − xnk < ε/(k f k + ε/ kek) Với kxk ≤ 1,

→ x thì {xn} yếu và do đó chuẩn bị chặn, và ta giả sử

x, xn ∈ BX Ta có T (xn)→ T (x) bởi tính w - w - liên tục của T w

Tuy nhiên, T (BX) là không gian compact trong tôpô chuẩn, nên tôpô yếu làyếu hơn và Hausdorff; từ đó hai tôpô này trùng nhau trên T (BX)

Do đó, T (xn) → T (x)

Ta sẽ chứng tỏ rằng T là toán tử compact Đầu tiên, ta chứng tỏ rằng nếu

T là liên tục trên [0, 1] × [0, 1], thì T ánh xạ L2[0, 1] vào C[0, 1] Theo sự liêntục của K, ta có M = sup { |K(s,t)| ; (s,t) ∈ [0, 1] × [0, 1]} < ∞ và từ x ∈ BL2

ta có

|T (x)(t)| =

kxkL

2 ≤ ε

Cho nên, nếu K là liên tục trên [0, 1] × [0, 1], thì T (x) ∈ C[0, 1] Thậtvậy, ta cũng chứng tỏ rằng T (BL2) bị chặn đều (bởi M) và tập hợp liên tụcC[0, 1]; từ đó, theo Định lý Azela-Ascoli, T (BL2) là compact tương đối trongC[0, 1] Vì tôpô chuẩn của L2[0, 1] là yếu hơn tôpô của C[0, 1], ta có T (BL2)

là compact trong L2[0, 1] và T là một toán tử compact

Nếu K ∈ L2([0, 1] × [0, 1]), chọn dãy Kn của hàm kế tiếp trên[0, 1] × [0, 1], sao cho

→ 0 khi n → ∞

Với n ∈ N, xác định một toán tử compact Tn : L2[0, 1] → L2[0, 1] là

→ 0 khi n → ∞

Do đó T ∈ κ(L2[0, 1]) = κ(L2[0, 1])

Định lý 2.1 (Schauder) Cho X , Y là không gian Banach và T ∈ B(X ,Y ).

T∗ ∈ κ(Y∗, X∗) khi và chỉ khi T ∈ κ(X ,Y ).

Chứng minh. Giả sử T ∈ κ(X ,Y ) Ta phải chứng tỏ rằng T∗(BY∗) là hoàntoàn bị chặn trong X∗ Lấy { fn} ⊂ BY∗ là một dãy tùy ý

Xét fn hạn chế trên T (BX), là compact trong Y Khi đó { fn} bị chặn đều

và liên tục Theo định lý Azela-Ascoli, tập các hàm là hạn chế của fn trên

T(BX) hoàn toàn bị chặn trong C(T (BX)) Do đó có một dãy con fnk saocho sup

Do đó T∗( fnk) là Cauchy trong X∗ và T∗(BY∗) là compact

Để chứng minh chiều ngược lại, ta có T∗∗|X = T Theo phần trước,

T∗ ∈ κ(Y∗, X∗) kéo theo T∗∗(BX∗∗) là compact Vì T∗∗(BX) là tập hợpcon đóng của T∗∗(BX∗∗), ta có T∗∗(BX) là compact trong X∗∗ và vì vậy làcompact trong X Do đó T ∈ κ(X ,Y )

Bổ đề 2.2 Cho X là không gian Banach Lấy T ∈ B(X ); kí hiệu S = IX− T

và Y = S(X ) Nếu Y là không gian con đóng thực sự của X , thì với mọi ε > 0

có x0 ∈ BX nên dist(T (x0), T (Y )) > 1 − ε

Chứng minh. Theo Bổ đề Riesz (Mệnh đề 1.2), vì x0 ∈ SX nêndist(x0,Y ) > 1 − ε Ta có S(x0) ∈ Y và T (Y ) = (IX − S)(Y ) ⊂ Y Suy radist(T (x0), T (Y )) ≥ dist(T (x0) + S(x0), Y ) = dist(x0,Y ) > 1 − ε.

Định lý 2.2 Cho X là không gian Banach Giả sử T ∈ κ(X ) và λ 6= 0.

Thế thì Ker(λ IX − T ) là hữu hạn chiều, và (λ IX − T )(X) đóng và có đối

Theo Định lý 1.4 và Mệnh đề 1.5, tồn tại một không gian con đóng

X1 của X sao cho X = Nλ ⊕ X1 Kí hiệu S = IX− T , S1 = S|X

1, và chú ýrằng S(X ) = S(X1) = S1(X1) Vì Ker(S1) = Nλ∩ X1 = {0}, ta có S1 là ánh

xạ 1 - 1 Ta sẽ chứng tỏ inf

x∈S X1

kS1(x)k > 0.

Ngược lại, giả sử có xn ∈ SX1 sao cho kS1(x)k → 0 Vì T là compact, ta

có thể giả sử T (xn) → y Thế thì xn = (S1+ T )(xn) → y Cho nên,kyk = 1

và hơn nữa S1(xn) → S1(y), vì vậy S1(y) = 0 Mâu thuẫn với S1 là ánh xạ

1 – 1

Do đó, tồn tại c > 0 sao cho kS1(x)k ≥ c kxk với mọi x ∈ X1, từ Mệnh đề1.7, S1(X1) = S(X ) là đóng

Bây giờ ta sẽ chứng tỏ rằng S(X ) có đối chiều hữu hạn Với k ∈ N0

xác định Sk sao cho S0 = IX, S1 = S, Sk+1 = S ◦ Sk Cho Nk = Ker(Sk)

Vì Sk = (IX− T )k = IX − Tk với toán tử compact Tk tùy ý (lũy thừa của

T lại là những toán tử compact), ta có dim(Nk) < ∞ với mọi k Biểu thị

Mk = Sk(X ) = Sk(X1) Ta có N0 ⊂ N1 ⊂ N2 và M0 ⊃ M1 Ta chứng

tỏ rằng tồn tại n sao cho Mn = Mn+1 Ngược lại, nếu mọi sự bao hàm

M0 ⊃ M1 đúng, ta có thể thấy ở Bổ đề 2.2 được áp dụng đối với S|Mn :

Mn → Mn phần tử yn ∈ BMn sao cho dist(T (yn), T (Mn+1)) ≥ 12 Nói riêng

kT (yn) − T (ym)k ≥ 12 với n 6= m, mâu thuẫn với tính compact của T

... (BL2) compact tương đối trongC[0, 1] Vì tơpơ chuẩn L2[0, 1] yếu tôpô C[0, 1], ta có T (BL2)

là compact L2[0, 1] T toán tử compact. .. T ∈ κ(X ,Y )

Bổ đề 2.2 Cho X không gian Banach Lấy T ∈ B(X ); kí hiệu S = IX− T

và Y = S(X ) Nếu Y không gian đóng thực X , với ε > 0

có... (IX− T )k = IX − Tk với toán tử compact Tk tùy ý (lũy thừa

T lại tốn tử compact) , ta có dim(Nk) < ∞ với k Biểu thị

Mk