Một hướng mở rộng định lí về sự tồn tại điểm bất động của toán tử lõm trong không gian banach thực nửa sắp thứ tự

Một hướng mở rộng định lí về sự tồn tại điểm bất động của toán tử lõm trong không gian banach thực nửa sắp thứ tự Một hướng mở rộng định lí về sự tồn tại điểm bất động của toán tử lõm trong không gian banach thực nửa sắp thứ tự Một hướng mở rộng định lí về sự tồn tại điểm bất động của toán tử lõm trong không gian banach thực nửa sắp thứ tự Một hướng mở rộng định lí về sự tồn tại điểm bất động của toán tử lõm trong không gian banach thực nửa sắp thứ tự Một hướng mở rộng định lí về sự tồn tại điểm bất động của toán tử lõm trong không gian banach thực nửa sắp thứ tự Một hướng mở rộng định lí về sự tồn tại điểm bất động của toán tử lõm trong không gian banach thực nửa sắp thứ tự Một hướng mở rộng định lí về sự tồn tại điểm bất động của toán tử lõm trong không gian banach thực nửa sắp thứ tự Một hướng mở rộng định lí về sự tồn tại điểm bất động của toán tử lõm trong không gian banach thực nửa sắp thứ tự Một hướng mở rộng định lí về sự tồn tại điểm bất động của toán tử lõm trong không gian banach thực nửa sắp thứ tự Một hướng mở rộng định lí về sự tồn tại điểm bất động của toán tử lõm trong không gian banach thực nửa sắp thứ tự Một hướng mở rộng định lí về sự tồn tại điểm bất động của toán tử lõm trong không gian banach thực nửa sắp thứ tự Một hướng mở rộng định lí về sự tồn tại điểm bất động của toán tử lõm trong không gian banach thực nửa sắp thứ tự Một hướng mở rộng định lí về sự tồn tại điểm bất động của toán tử lõm trong không gian banach thực nửa sắp thứ tự Một hướng mở rộng định lí về sự tồn tại điểm bất động của toán tử lõm trong không gian banach thực nửa sắp thứ tự Một hướng mở rộng định lí về sự tồn tại điểm bất động của toán tử lõm trong không gian banach thực nửa sắp thứ tự Một hướng mở rộng định lí về sự tồn tại điểm bất động của toán tử lõm trong không gian banach thực nửa sắp thứ tự Một hướng mở rộng định lí về sự tồn tại điểm bất động của toán tử lõm trong không gian banach thực nửa sắp thứ tự Một hướng mở rộng định lí về sự tồn tại điểm bất động của toán tử lõm trong không gian banach thực nửa sắp thứ tự Một hướng mở rộng định lí về sự tồn tại điểm bất động của toán tử lõm trong không gian banach thực nửa sắp thứ tự Một hướng mở rộng định lí về sự tồn tại điểm bất động của toán tử lõm trong không gian banach thực nửa sắp thứ tự Một hướng mở rộng định lí về sự tồn tại điểm bất động của toán tử lõm trong không gian banach thực nửa sắp thứ tự Một hướng mở rộng định lí về sự tồn tại điểm bất động của toán tử lõm trong không gian banach thực nửa sắp thứ tự Một hướng mở rộng định lí về sự tồn tại điểm bất động của toán tử lõm trong không gian banach thực nửa sắp thứ tự Một hướng mở rộng định lí về sự tồn tại điểm bất động của toán tử lõm trong không gian banach thực nửa sắp thứ tự Một hướng mở rộng định lí về sự tồn tại điểm bất động của toán tử lõm trong không gian banach thực nửa sắp thứ tự

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGÔ QUANG HƯNG MỘT HƯỚNG MỞ RỘNG ĐỊNH LÝ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA TOÁN TỬ LÕM TRONG KHÔNG GIAN BANACH NỬA SẮP THỨ TỰ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số : 60 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học PGS. TS. GVCC. Nguyễn Phụ Hy HÀ NỘI, 2014 Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS. TS. GVCC. Nguyễn Phụ Hy, thầy định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn, giảng giải để hoàn thành luận văn này. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng Sau đại học, thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội trang bị kiến thức, giúp đỡ suốt trình học tập. Qua xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Ban giám hiệu toàn thể thầy cô giáo trường THPT Vân Nội, Đông Anh, Hà Nội giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi giúp hoàn thành luận văn này. Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè động viên, cổ vũ, giúp đỡ trình học tập hoàn thành luận văn. Hà Nội, tháng 12 năm 2014 Tác giả Ngô Quang Hưng Lời cam đoan Tôi xin cam đoan hướng dẫn PGS. TS. GVCC. Nguyễn Phụ Hy, luận văn: Một hướng mở rộng định lí tồn điểm bất động toán tử lõm không gian Banach nửa thự tự công trình nghiên cứu riêng tôi. Trong trình nghiên cứu viết luận văn, tác giả kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn, thông tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc. Hà Nội, tháng 12 năm 2014 Tác giả Ngô Quang Hưng Mục lục Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chương 1. Không gian định chuẩn nửa thứ tự . . . . . . . 1.1. Khái niệm nón không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Quan hệ thứ tự không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Các phần tử thông ước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4. Một số nón đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.5. Không gian định chuẩn thực l2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.5.1. Định nghĩa không gian l2 số tính chất quan trọng . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.5.2. Nón quan hệ thứ tự không gian l2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.5.3. Các phần tử thông ước không gian l2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Chương 2. Toán tử lõm không gian Banach nửa thứ tự . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.1. Khái niệm toán tử lõm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.1.1. Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.1.2. Một số tính chất đơn giản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.2. Toán tử lõm không gian Banach thực nửa thứ tự l2 42 2.3. Mở rộng định lí tồn điểm bất động toán tử lõm . . 45 2.3.1. Định lí mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.3.2. Áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Mở đầu 1. Lý chọn đề tài Lý thuyết điểm bất động phần quan trọng môn giải tích hàm phi tuyến, từ đầu kỷ 19 nhà toán học giới quan tâm phát triển sâu rộng trở thành công cụ để giải nhiều toán thực tiễn đặt ra. Năm 1956, nhà toán học Nga tiếng Kraxnoxelxki M.A nghiên cứu lớp toán tử phi tuyến: Toán tử lõm tác dụng không gian Banach thực với nón cố định. Năm 1962, ông mở rộng cho toán tử lõm tác dụng không gian Banach thực với hai nón cố định, nón tập nón lại. Năm 1975, GS. TSKH Bkhatin I.A mở rộng kết công trình cho lớp toán tử phi tuyến (K, u0 )-lõm tác dụng không gian Banach thực với nón cố định không gian Banach thực với hai nón cố định chung phần tử khác không. Các lớp toán tử nhà toán học Kranoxelxki Bakhtin nghiên cứu có tính chất u0 -đo được. Năm 1987, PGS. TS. Nguyễn Phụ Hy mở rộng kết lớp toán tử lõm cho lớp toán tử phi tuyến mới: Toán tử lõm quy, không yêu cầu toán tử có tính chất u0 -đo được. Với mong muốn tìm hiểu sâu lớp toán tử phi tuyến này, nhờ hướng dẫn tận tình thầy giáo PGS. TS. GVCC. Nguyễn Phụ Hy, chọn nghiên cứu đề tài: Một hướng mở rộng định lí tồn điểm bất động toán tử lõm không gian Banach nửa thự tự. Trong báo, công trình tác giả nêu mục tài liệu tham khảo từ [1] đến [9], mở rộng định lí tác giả thường bổ sung điều kiện toán tử, đề tài mở rộng số định lí tồn điểm bất động toán tử lõm theo hướng bổ sung điều kiện cho nón. 2. Mục đích nghiên cứu Đề tài nhằm nghiên cứu, mở rộng số định lí tồn điểm bất động toán tử lõm theo hướng bổ sung điều kiện cho nón. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm hiểu không gian định chuẩn nửa thứ tự, bao gồm: khái niệm nón, quan hệ thứ tự không gian định chuẩn, phần tử u0 -đo được; - Tìm hiểu nón đặc biệt, nón phần tử với tọa độ không âm không gian l2 ; - Tìm hiểu khái niệm toán tử lõm, toán tử lõm tác dụng không gian l2 ; - Một hướng mở rộng số định lí tồn điểm bất động toán tử lõm áp dụng. 4. Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Các kiến thức sở cần thiết, kết toán tử lõm, điểm bất động toán tử lõm không gian Banach nửa thứ tự. Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, báo nước nước liên quan đến điểm bất động toán tử lõm không gian Banach nửa thứ tự. 5. Phương pháp nghiên cứu - Thu thập tài liệu báo liên quan đến điểm bất động toán tử lõm không gian Banach nửa thứ tự; - Tổng hợp, phân tích, hệ thống khái niệm, tính chất; - Tham khảo ý kiến giáo viên hướng dẫn. 6. Những đóng góp đề tài Trình bày tổng quan không gian định chuẩn nửa thứ tự, toán tử lõm tác dụng không gian l2 , tồn điểm bất động lớp toán tử trên, vận dụng lý thuyết tổng quan trình bày vào không gian l2 . Chương Không gian định chuẩn nửa thứ tự 1.1. Khái niệm nón không gian định chuẩn Định nghĩa 1.1.1. Giả sử E không gian định chuẩn thực K tập hợp khác rỗng E. Tập hợp K gọi nón tập hợp K thỏa mãn điều kiện sau: i) K tập đóng không gian E; ii) Với x, y ∈ K ta có x + y ∈ K; iii) Với x ∈ K α ∈ R+ ta có αx ∈ K; iv) Với x ∈ K x = θ ta có −x ∈ / K, θ kí hiệu phần tử không không gian E. Ta có vài tính chất đơn giản nón K không gian định chuẩn thực E. Định lý 1.1.1. Giả sử K nón không gian E. Khi K tập hợp lồi. Chứng minh. Với α ∈ [0, 1], với x, y ∈ K, theo tính chất iii) ta có αx ∈ K (1 − α)y ∈ K. Do đó, theo ii) suy αx ∈ K + (1 − α)y ∈ K ∀α ∈ [0, 1]. Vậy K tập hợp lồi. Định lý 1.1.2. Giả sử K1 , K2 hai nón không gian E. Khi đó, K = K1 ∩ K2 chứa phần tử khác không, K nón không gian E. Chứng minh. Ta kiểm tra điều kiện i)-iv) Định nghĩa 1.1.1. i) K tập đóng không gian E giao hữu hạn tập hợp đóng tập hợp đóng; ii) Với x, y ∈ K = K1 ∩ K2 ta có x, y ∈ K1 x, y ∈ K2 . Vì K1 , K2 nón nên x + y ∈ K1 x + y ∈ K2 . Do đó, x + y ∈ K1 ∩ K2 = K; iii) Với x ∈ K = K1 ∩ K2 α ∈ R+ , ta có αx ∈ K1 , αx ∈ K2 nên αx ∈ K1 ∩ K2 = K; iv) Với x ∈ K = K1 ∩ K2 x = θ ta có −x ∈ / K1 −x ∈ / K2 nên −x ∈ / K = K1 ∩ K2 . Vậy K = K1 ∩ K2 nón không gian E. Định lý 1.1.3. Giả sử M tập khác rỗng không gian định chuẩn E thỏa mãn điều kiện: lồi, đóng, bị chặn θ ∈ / M. Khi tập K(M ) = {tz : t ≥ 0, z ∈ M } nón. Chứng minh. Ta chứng minh An toán tử lõm với n ∈ N∗ quy nạp. Thật vậy, với n = 1, theo giả thiết định lý, A toán tử lõm. Giả sử với n = k ≥ 1, Ak toán tử lõm. Với n = k + ta Ak+1 toán tử lõm. 1) Ak+1 toán tử dương đơn điệu nón H. Thật vậy, theo giả thiết ta có AH ⊂ H, Ak H ⊂ H ⇒ (∀x ∈ H)Ax ∈ H, Ak x ∈ H Ak+1 x = A(Ak x) ∈ H hay Ak+1 H ⊂ H Nên toán tử Ak+1 toán tử dương nón H. Mặt khác, với x, y ∈ H mà x ≤ y ta có Ak x ≤ Ak y Ak x, Ak y ∈ H, Ak+1 x = A(Ak x) ≤ A(Ak y) = Ak+1 y. Nên toán tử Ak+1 đơn điệu nón H. 2) Do A, Ak toán tử u0 -đo nón H θ ∈ / H(u0 ) ⊂ H \ {θ} (vì u0 ∈ K ∩ H \ {θ}), nên với x ∈ H \ {θ}, ∃α1 = α1 (x) > 0, β1 = β1 (x) > cho α1 u0 ≤ Ak x ≤ β1 u0 , suy Ak x ∈ H(u0 ) Ak x ∈ H \ {θ}. Và tồn α > 0, β > cho αu0 ≤ A(Ak x) = Ak+1 x ≤ βu0 . 41 Do Ak+1 toán tử u0 -đo nón H. 3) (∀x ∈ H\{θ}) (∀t ∈ (0; 1)) , (∃d1 = d1 (x, t) > 0) (α2 = α2 (x) > 0) cho Ak tx > (1 + d1 )tAk x > tα2 u0 . Hơn nữa, (∃c1 = c1 (Ak x, t) > 0) Ak+1 tx = A(Ak tx) = A(tAk x) ≥ (1 + c1 )tA(Ak x) = (1 + c1 )tAk+1 x ≥ (1 + c)tAk+1 x. < c ≤ min(c1 , d1 ). Suy ra, (∀x ∈ H\{θ}) (∀t ∈ (0; 1)) , (∃c = c(x, t) > 0) Ak+1 tx ≥ (1 + c)tAk+1 x, nên Ak+1 toán tử lõm. Như vậy, theo phép quy nạp toán học, An toán tử lõm với n ∈ N∗ . 2.2. Toán tử lõm không gian Banach thực nửa thứ tự l2 Giả sử không gian l2 nửa thứ tự theo nón K ⊂ l2 , nón K H xác định trang 25, tức hai nón K, H Định lý 1.5.3, K = {x = (xn )∞ n=1 ∈ l2 : xn ≥ (n = 1, 2, .)} ⊂ l2 , H = {x = (xn )∞ n=1 ∈ l2 : x1 ≥ |x2 |, xn ≥ 0, n = 3, 4, .}. 42 Còn u0 = (un ) chọn sau I1 = {n ∈ N∗ \ {2} : un > 0}, I1 = ∅ I1 hữu hạn, I2 = {n ∈ N∗ : un = 0}. Xét toán tử A cho sau: ∞ Với x = (xn )∞ n=1 ∈ l2 , ta đặt Ax = (zn )n=1 = z,  √ xn + với n ∈ I1 , zn =  với n ∈ I . +) Do I1 hữu hạn ∞ ∞ √ | xn + 1|2 = |zn | = n=1 n=1 n∈I1 nên ∞ Ax l2 = z √ | xn + 1|2 < +∞, l2 = √ | xn + 1|2 < +∞. n∈I1 Do đó, Ax ∈ l2 . Vậy toán tử A : l2 → l2 . 1) A dương đơn điệu nón H. ∗ ∞ Thật vậy, ∀x = (xn )∞ n=1 ∈ H, Ax = (zn )n=1 = z, ∀n ∈ N ,  √ xn + với n ∈ I1 , zn =  với n ∈ I . Ta cần chứng minh z = (zn )∞ n=1 = Ax ∈ H. Với n ∈ I1 , ta có xn ≥ với n ∈ I1 . Do đó, zn = √ xn + > 0. 43 Với n ∈ I2 , ta có zn = 0, z2 = 0, z1 > = |z2 |. Do z ∈ H, hay Ax ∈ H, nghĩa AH ⊂ H. Vậy A toán tử dương nón H. +) Toán tử A đơn điệu nón H. Thật vậy, ∀x = (xn )∞ n=1 ∈ H, ∀y = ∞ ∞ (yn )∞ n=1 ∈ H x ≤ y. Đặt z = (zn )n=1 = Ax, w = (wn )n=1 = Ay, ta có x ≤ y ⇔ x n ≤ yn ∀n ∈ N∗ . Với n ∈ I1 ta có xn ≥ 0, yn ≥ 0, nên zn = √ xn + ≤ √ yn + = wn , ∀n ∈ I1 . Còn với n ∈ I2 có zn = wn = 0, Ax ≤ Ay. Vậy A toán tử đơn điệu nón H. 2) Toán tử A u0 -đo nón H. Thật vậy, với x = (xn )∞ n=1 ∈ H \ {θ}. Kí hiệu k = xn , h = max, n∈I1 n∈I1 λ = max un ≥ un = γ > 0. n∈I1 n∈I1 Với n ∈ I1 , ta có √ √ 5 xn + √ k+1 un √ un ≤ un = ( xn + 1) ≤ xn + = zn λ λ λ√ √ √ un h+1 5 ≤ h + ≤ ( h + 1) = un . γ γ Còn với n ∈ I2 có √ √ 5 k+1 h+1 un = ≤ zn = ≤ = un . λ γ 44 Suy √ k+1 u0 ≤ z = Ax ≤ γ √ h+1 u0 . γ Như vậy, A toán tử u0 -đo nón H. 3) Với n ∈ I1 , và∀x ∈ H\{θ} (∀t ∈ (0; 1)) , √ t − t) + − t xn ( n∈I1 ∃C = > 0. t( max xn + 1) n∈I1 Ta có tzn = √ √ txn + ≥ (1 + c)t xn + = (1 + c)tzn . Còn với n ∈ I2 zn = ≥ (1 + c)tAx. suy Atx > (1 + c)tAx. Vậy A toán tử lõm không gian l2 . 2.3. Mở rộng định lí tồn điểm bất động toán tử lõm Giả sử E không gian định chuẩn thực nửa thứ tự theo nón K ⊂ E, H nón không gian E, u0 ∈ K ∩ H \ {θ}, A : E → E toán tử đó. 2.3.1. Định lí mở rộng Định lý 2.3.1. Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: 45 1) A toán tử lõm; 2) Tồn x0 ∈ H(u0 ) cho x0 ≤ Ax0 dãy xn = Axn−1 , n = 1, 2, . . . bị chặn phần tử u ∈ H(u0 ), u0 phần tử cố định thuộc K ∩ H \ {θ}; 3) H nón h-cực trị. Khi đó, toán tử A có điểm bất động khác không. Chứng minh. Theo điều kiện 1) 2) dãy xn = Axn−1 , n = 1, 2, . . . không giảm theo điều kiện 2) ∃α = α(x0 ) > 0, β = β(u) > cho αu0 ≤ x0 ≤ xn = Axn−1 ≤ u ≤ βu0 , nên dãy (xn )∞ n=1 ⊂ H(u0 ) ⊂ H\{θ} bị chặn phần tử u (hay βu0 ). Theo điều kiện 3), ∃ sup(xn ) = x∗ ∈ H. Hiển nhiên αu0 ≤ x0 ≤ x∗ ≤ u ≤ βu0 , nghĩa x∗ ∈ H(u0 ) ⊂ H \ {θ} x∗ khác không. Lại theo điều kiện 1), ∀t ∈ (0; 1)(∃c = c(x∗ , t) > 0) cho Atx∗ > (1 + c)tAx∗ . Hiển nhiên, xn ≤ x∗ , ∀n ∈ N∗ , 46 (2.3.1) nên xn ≤ xn+1 = Axn ≤ Ax∗ , ∀n ∈ N∗ . Do x∗ ≤ Ax∗ . (2.3.2) Từ lập luận đây, ta nhận hệ thức xn ≥ x0 ≥ αu0 = α α βu0 ≥ x∗ , ∀n ∈ N∗ β β Suy α ∗ x ≥ θ, ∀n ∈ N∗ . β ≤ 1, αα−1 > 1, x∗ > θ nên xn − Hiển nhiên, < αβ −1 xn ≥ α.β −1 x∗ > x∗ , ∀n ∈ N∗ , điều mâu thuẫn với (2.3.1). Ta xét ánh xạ f : R −→ E t −→ f (t) = xn − tx∗ . Nhờ tính chất liên tục phép toán đại số không gian E nón H tập đóng, nên ánh xạ f liên tục f −1 (H) tập đóng R, f −1 (H) bị chặn 1. Gọi tn = max f −1 (H), ta có tn ≤ 1, ∀n ∈ N∗ . Vì xn+1 − tn x∗ ≥ xn − tn x∗ ≥ θ, ∀n ∈ N∗ nên tn+1 ≥ tn , ∀n ∈ N∗ . Do dãy số thực (tn )∞ n=1 không giảm bị chặn 1. Suy ra, tồn lim tn = t ∈ (0, 1]. n→∞ 47 Giả sử t < 1, ta có xn+2 = A2 xn ≥ A2 tn x∗ = A2 tn ∗ tn tx > Atx∗ ≥ (1 + c)tn x∗ , ∀n ∈ N∗ . t t Do xn+2 ≥ (1 + c)tn x∗ , ∀n ∈ N∗ . Đặc biệt, x2k+1 ≥ (1 + c)t2k−1 x∗ ≥ · · · ≥ (1 + c)k t1 x∗ , ∀k ∈ N∗ . Suy lim x2k+1 = +∞, k→∞ điều mâu thuẫn với tính bị chặn dãy số (tn )∞ n=1 . Nên t = 1. Mặt khác, tn Ax∗ ≤ Atn x∗ ≤ Axn = xn+1 ≤ x∗ , ∀n ∈ N∗ Cho qua giới hạn hệ thức n → ∞ ta Ax∗ ≤ x∗ . (2.3.3) Từ (2.3.2) (2.3.3) suy Ax∗ = x∗ . Vậy toán tử A có điểm bất động khác không. Định lý 2.3.2. Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: 1) A toán tử lõm; 2) Tồn y0 ∈ H(u0 ) cho Ay0 ≤ y0 dãy yn = Ayn−1 , n = 1, 2, . . . bị chặn phần tử v ∈ H(u0 ), u0 phần tử cố định thuộc K ∩ H \ {θ}; 48 3) H nón h-cực trị. Khi đó, toán tử A có điểm bất động khác không. Chứng minh. Theo điều kiện 1) dãy yn = Ayn−1 , n = 1, 2, . . . không tăng theo điều kiện 2) ∃λ = λ(y0 ) > 0, γ = γ(v) > cho λu0 ≥ y0 ≥ yn = Ayn−1 ≥ v ≥ γu0 , nên dãy (yn )∞ n=1 ⊂ H(u0 ) ⊂ H\{θ} bị chặn phần tử v (hay γu0 ). Theo điều kiện 3), ∃ inf(yn ) = y ∗ ∈ H. Hiển nhiên λu0 ≥ y0 ≥ y ∗ ≥ v ≥ γu0 , nghĩa y ∗ ∈ H(u0 ) ⊂ H \ {θ} y ∗ khác không. Lại theo điều kiện 1), ta có ∀t ∈ (0; 1) (∃c = c(x∗ , t) > 0) Aty ∗ > (1 + c)tAy ∗ . Hiển nhiên, yn ≥ y ∗ , ∀n ∈ N∗ , (2.3.4) nên yn ≥ yn+1 = Ayn ≥ Ay ∗ , ∀n ∈ N∗ . Do y ∗ ≥ Ay ∗ . 49 (2.3.5) Từ lập luận đây, ta nhận hệ thức yn ≤ y0 ≤ λu0 = λ λ γu0 ≤ y ∗ , ∀n ∈ N∗ γ γ Suy λ yn − y ∗ ≤ θ, ∀n ∈ N∗ . γ Hiển nhiên, λγ −1 ≥ 1, λγ −1 < 1, y ∗ > θ nên yn ≤ λ.γ −1 y ∗ < y ∗ , ∀n ∈ N∗ , điều mâu thuẫn với (2.3.4). Ta xét ánh xạ f : R −→ E −→ f (t) = yn − ty ∗ . t Nhờ tính chất liên tục phép toán đại số không gian E nón H tập đóng, nên ánh xạ f liên tục f −1 (H) tập đóng R, f −1 (H) bị chặn 1. Gọi tn = f −1 (H), ta có tn ≥ 1, ∀n ∈ N∗ . Vì yn+1 − tn+1 y ∗ ≤ yn − tn y ∗ ≤ θ, ∀n ∈ N∗ nên tn+1 ≤ tn , ∀n ∈ N∗ , dãy số thực (tn )∞ n=1 không tăng bị chặn 1. Suy ra, tồn lim tn = t t ≥ 1. n→∞ Giả sử t > 1, đó, tn+1 ≥ tn ≥ · · · ≥ t > 1. 50 Ta có yn+1 tn 1+c y ∗ ≥ Ay ∗ = A y ∗ ≥ Atn y ∗ tn tn t n ⇒Atn y ∗ ≤ y∗, 1+c tn ∗ tn ∗ y ⇒ tn+1 ≤ y . = Ayn ≤ Atn y ∗ ≤ 1+c 1+c Suy tn ≤ tn−1 t1 ≤ ··· ≤ . 1+c (1 + c)n Do t = lim tn = 0, n→∞ điều mâu thuẫn với điều giả sử dãy số (tn )∞ n=1 đó, t = 1. Mặt khác, tn Ay ∗ ≥ Atn y ∗ ≥ Ayn = yn+1 ≥ y ∗ , ∀n ∈ N∗ Cho qua giới hạn hệ thức n → ∞ ta Ay ∗ ≥ y ∗ . (2.3.6) Từ (2.3.5) (2.3.6) suy Ay ∗ = y ∗ . Vậy toán tử A có điểm bất động khác không. 2.3.2. Áp dụng Xét toán tử lõm A mục 2.2 đây: ∀x = (xn )∞ n=1 ∈ H, Ax = (zn )∞ n=1 = z với  √ xn + với n ∈ I1 , zn =  với n ∈ I . 51 Ta chứng tỏ toán tử A thỏa mãn điều kiện Định lý 2.3.1. Thật vậy, 1) Trong mục 2.2 ta chứng tỏ A toán tử lõm; 2) Với u0 = (u1 , u2 , . . .) mục 1.5.5, ta biết H(u0 ) = {x = (xn )∞ n=1 : xn > 0, n ∈ I1 ; xn = 0, n ∈ I2 , x1 ≥ x2 }. Ta chọn x0 = (xn )∞ n=1 = (3, 0, 0, . . .) ∈ H(u0 ), u0 = (u1 , 0, . . . , 0), u1 > 0. Ta có I1 = {1}, I2 = N \ {1}; Ax0 = x(1) = (x(1) n ) = (wn ) = w, wn = 0, ∀n ∈ N∗ \ {1}, w1 = √ + < = x1 . Do đó, x0 > Ax0 . dãy xn = Axn−1 = √ xn−1 + 1, n = 2, 3, . . . dãy giảm bị chặn dưới, tồn giới hạn lim xn = n→∞ nghiệm phương trình f( ) = − √ − = 0. Phương trình có nghiệm đoạn [0, 3] f (0)f (3) < 0. Do đó, dãy {xn } bị chặn phần tử u = ( , 0, 0, . . .) ∈ H(u0 ). 52 3) Trong Định lý 1.5.5 ta có H nón h-cực trị. Như tất điều kiện Định lý 2.3.1 thỏa mãn. Vậy toán tử A có điểm bất động khác không không gian l2 . 53 Kết luận Luận văn trình bày vấn đề sau đây: 1. Trình bày hệ thống kiến thức không gian Banach nửa thứ tự, giới thiệu số nón chứng minh tính chất chúng; 2. Giới thiệu toán tử lõm không gian Banach tổng quát không gian l2 , chứng minh số tính chất toán tử lõm; 3. Mở rộng số định lý tồn điểm bất động toán tử lõm không gian Banach thực với hai nón theo hướng bổ sung điều kiện phù hợp cho nón. Do lực nghiên cứu trình độ thân hạn chế nên luận văn dừng lại việc tìm hiểu, xếp trình bày kết theo mục đích luận văn đề ra. Luận văn chắn khó tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong góp ý thầy cô bạn đọc để luận văn hoàn thiện hơn. 54 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu Tiếng Việt [1] Nguyễn Phụ Hy (1987), Các điểm bất động toán tử lõm quy, Tạp chí toán học, Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam, Tập 15, số 1, trang 27-32. [2] Nguyễn Phụ Hy (1987), Các vectơ riêng toán tử lõm quy, Tạp chí toán học, Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam, Tập 15, số 1, trang 17-23. [3] Nguyễn Phụ Hy (2002), Sự phụ thuộc liên tục vectơ riêng giá trị riêng lớp toán tử phi tuyến, Thông báo khoa học trường đại học, tập Toán-Tin, 2002, tr 62-64. [4] Nguyễn Phụ Hy (2006), Giải tích hàm, NXB Khoa học kĩ thuật, Hà Nội. [5] Nguyễn Phụ Hy (2013), Các điểm bất động toán tử (K, u0 )-lõm quy, Tạp chí khoa học, Trường ĐHSP Hà Nội 2, số 22/2012 trang 157-167. [6] Nguyễn Phụ Hy (2013), Các véc tơ riêng dương toán tử (K, u0 )lõm quy, Tạp chí khoa học, Trường ĐHSP Hà Nội 2, số 24/2013 trang 118-127. [B] Tài liệu Tiếng Nga 55 [7] Bakhtin I.A (1959), Về phương trình tuyến tính với toán tử lõm lõm đều, DAN Liên Xô (cũ), T.126, số 1, trang 9-12. [8] Kraxnoxelxki M.A(1962), Các nghiệm dương phương trình toán tử, NXB Toán-Lý, Maxkva. [9] Bakhtin I.A (1984), Các nghiệm dương phương trình không tuyến tính với toán tử lõm, Voronegiơ. 56 [...]... "≤" là một quan hệ thứ tự trên E Định nghĩa 1.2.2 Giả sử E là không gian định chuẩn thực, K là một nón trong không gian E và "≤" là một quan hệ sắp thứ tự trên E được xác định trên đây Khi đó ta gọi cặp (E, ≤) (ta thường viết gọn là E) là không gian định chuẩn thực nửa sắp thứ tự theo nón K Ta có một vài khái niệm liên quan trong không gian định chuẩn thực nửa sắp thứ tự như sau Định nghĩa 1.2.3 (Về dãy... trái với giả thiết M không chứa phần tử không Vậy K(M ) thỏa mãn điều kiện iv) về nón và do đó K(M ) là một nón trong E 1.2 Quan hệ thứ tự trong không gian định chuẩn Định nghĩa 1.2.1 Giả sử E là không gian định chuẩn thực, K là một nón trong không gian E Với x, y ∈ E ta viết x ≤ y nếu y − x ∈ K Định lý 1.2.1 Quan hệ "≤" xác định trong Định nghĩa 1.2.1 là một quan hệ sắp thứ tự trong E Chứng minh Ta... αy; 20 8)1.x = (1.xn )∞ = (xn )∞ = x, phần tử 1 là phần tử đơn vị của R n=1 n=1 Vậy l2 là không gian vector thực hay không gian tuyến tính thực với phép toán cộng hai vectơ và nhân một số thực với một vectơ được định nghĩa như trên Định lý 1.5.1 Không gian vector thực l2 cùng với ánh xạ · : l2 −→ R ∞ x= (xn )∞ n=1 −→ · x2 n = n=1 là một không gian định chuẩn thực Chứng minh 1) Xét ánh xạ →R : l2 1 2... quan hệ sắp thứ tự bộ phận Thật vậy, với hai phần tử x, y bất kỳ thuộc l2 có thể không có quan hệ thứ tự theo nón K Chẳng hạn, với x = (1, 0, 0, ), y = (0, 1, 0, ) ∈ l2 29 ta có y − x = (−1, 1, 0, , 0, ) ∈ K / x − y = (1, −1, 0, , 0, ) ∈ K / Do đó, ta không có quan hệ x ≤ y và y ≤ x Vì vậy l2 là không gian Banach sắp thứ tự bộ phận (hay không gian Banach thực nửa sắp thứ tự) theo nón K Định lý 1.5.4... là x+y ≤ x + y Vậy là một chuẩn trên l2 Vậy l2 cùng với chuẩn xác định ở trên là một không gian định chuẩn thực Định lý 1.5.2 Không gian định chuẩn thực l2 là một không gian Banach thực (k) ∞ n=1 Chứng minh Giả sử (x(k) = xn ∈ l2 , (k = 1, 2, ) là một dãy cơ (k) ∞ n=1 bản bất kỳ trong l2 Ta chứng minh dãy xn hội tụ trong l2 Theo định nghĩa dãy cơ bản ta có (∀ε > 0)(∃k0 ∈ N∗ )(∀k ≥ k0 ), (∀s ∈ N∗... d(z)  β=  > 0; a(z) Suy ra αy ≤ x ≤ βy Vậy, phần tử x thông ước với phần tử y Giả sử E là không gian định chuẩn thực nửa sắp thứ tự theo nón K ⊂ E, và H là một nón trong không gian E, u0 ∈ H \ {θ}, kí hiệu H(u0 ) là tập hợp tất cả phần tử của không gian E thông ước với u0 Ta có tính chất của tập H(u0 ) qua định lý dưới đây Định lý 1.3.2 H(u0 ) là tập lồi Nếu u0 ∈ K \ {θ} thì H(u0 ) ⊂ K \ {θ} Chứng... ∈ l2 và bất đẳng thức (1.5.5) có thể viết lại ε x(0) − x(k) ≤ , ∀k ≥ k0 , 2 nghĩa là dãy (x(k) )∞ ∈ l2 hội tụ tới x(0) trong không gian l2 n=1 Vậy l2 là không gian Banach thực 1.5.2 Nón và quan hệ sắp thứ tự trong không gian l2 Định lý 1.5.3 Các tập hợp K = {x = (xn )∞ ∈ l2 : xn ≥ 0 (n = 1, 2, )} ⊂ l2 , n=1 và H = {x = (xn )∞ ∈ l2 : x1 ≥ |x2 |, xn ≥ 0, n = 3, 4, } n=1 là các nón trong không gian l2... vậy, x ∈ K, và do đó H(u0 ) ⊂ K \ {θ} 1.4 Một số nón đặc biệt Giả sử E là không gian định chuẩn thực nửa sắp thứ tự theo nón K ⊂ E, và H là một nón trong không gian E, u0 ∈ H \ {θ}, kí hiệu H(u0 ) là tập hợp tất cả phần tử của không gian E thông ước với u0 14 Định nghĩa 1.4.1 Nón H gọi là chuẩn tắc nếu ∃δ > 0 sao cho ∀e1 , e2 ∈ H : e1 = e2 = 1 thì e1 + e2 ≥ δ Định lý 1.4.1 Nón H là chuẩn tắc khi và... thuẫn với tính chất chuẩn tắc của nón H Vậy, nếu nón H là nón chuẩn tắc thì phải thỏa mãn (1.4.2) Định nghĩa 1.4.2 (Về nón h-cực trị) Giả sử E là không gian định chuẩn thực nửa sắp thứ tự theo nón K ⊂ E, H là một nón trong không gian E Nón H được gọi là h-cực trị, nếu: i) Mỗi dãy (xn )∞ ⊂ H không giảm và bị chặn trên bởi u ∈ H luôn n=1 có sup(xn ) thuộc H ii) Mỗi dãy (yn )∞ ⊂ H không tăng và bị chặn dưới... Suy ra lim zn = θ trong E n→∞ Khi đó, do M là tập đóng nên θ ∈ M, điều này trái với giả thiết M không chứa phần tử không Như vậy, tồn tại c > 0 sao cho ||z|| ≥ inf ||z|| = c > 0, ∀z ∈ M, ta thu được bất đẳng thức thứ nhất trong (1.1.1) Để chỉ ra K(M ) là một nón, ta chứng tỏ các điều kiện của Định nghĩa 1.1.1 được thỏa mãn Thật vậy, i) Ta chứng minh K(M ) là một tập đóng Lấy một dãy bất kỳ {zn }∞ ⊂ K(M . . . . . . . 38 2.2. Toán tử lõm trên không gian Banach thực nửa sắp thứ tự l 2 42 2.3. Mở rộng định lí về sự tồn tại điểm bất động của toán tử lõm . . 45 2.3.1. Định lí mở rộng. . . . . . . HƯNG MỘT HƯỚNG MỞ RỘNG ĐỊNH LÝ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA TOÁN TỬ LÕM TRONG KHÔNG GIAN BANACH NỬA SẮP THỨ TỰ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số : 60 46 01 02 Người hướng. này mở rộng một số định lí về sự tồn tại điểm bất động của toán tử lõm theo hướng bổ sung các điều kiện cho nón. 2. Mục đích nghiên cứu Đề tài này nhằm nghiên cứu, mở rộng một số định lí về sự tồn