Về sự tồn tại điểm bất động chung của các ánh xạ co kiểu tích phân

2 MỤC LỤC Mục lục Mở đầu Các ánh xạ co kiểu tích phân tồn điểm bất động chúng 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.2 ´anh xạ co kiểu tích phân, ánh xạ co suy rộng kiểu tích phân tồn điểm bất động chúng không gian mêtric đầy đủ Sự tồn điểm bất động chung ánh xạ co kiểu tích phân 17 2.1 Định lý điểm bất động chung ánh xạ co kiểu tích phân 17 2.2 Sự tồn điểm bất động bất động chung ánh xạ hầu co kiểu tích phân Kết luận 25 33 Tài liệu tham khảo 34 MỞ ĐẦU Định lí điểm bất động Banach ánh xạ co không gian mêtric đầy đủ kết kinh điển toán học Sau Banach chứng minh, định lí điểm bất động ánh xạ co trở thành vấn đề thu hút nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu Cho đến có khoảng 10.000 công trình định lý điểm bất động, công bố trên tạp chí toán học Các định lý điểm bất động mở rộng nghiên cứu phong phú đối cho nhiều kiểu ánh xạ suy rộng, nhiều loại không gian khác Các định lý điểm bất động có nhiều ứng dụng rộng rãi nhiều ngành toán học như: giải tích, phương trình vi tích phân Năm 2001, Branciari (xem [2]) phát triển ý tưởng Boyd Wong năm 1969 (xem [3]) đưa khái niệm ánh xạ co kiểu tích phân thu định lý điểm bất động kiểu ánh xạ co Một số điểm bất động ánh xạ co suy rộng kiểu tích phân Rhoades phát triển thêm [8] Nhằm nghiên cứu tồn điểm bất động chung ánh xạ co suy rộng kiểu tích phân ứng dụng, lựa chọn đề tài sau cho luận văn là: Về tồn điểm bất động chung ánh xạ co suy rộng kiểu tích phân Luận văn trình bày chi tiết, có hệ thống xây dựng ví dụ cho định lý điểm bất động, điểm bất động chung ánh xạ co suy rộng kiểu tích phân Hơn nữa, đề xuất số kết tồn điểm bất động, điểm bất động chung ánh xạ hầu co kiểu tích phân Ngoài phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, nội dung luận văn viết thành chương: Chương Các ánh xạ co kiểu tích phân tồn điểm bất động chúng Nội dung chương trình bày kiến thức sở không gian mêtric, ánh xạ co, ánh xạ co kiểu tích phân tồn điểm bất động ánh xạ co kiểu tích phân không gian mêtric đầy đủ Chương Sự tồn điểm bất động điểm bất động chung ánh xạ co kiểu tích phân Chương giới thiệu số kết tồn điểm bất động chung ánh xạ co kiểu tích phân đưa số kết tồn điểm bất động chung ánh xạ hầu co kiểu tích phân Luận văn thực trường Đại học Vinh hướng dẫn tận tình nghiêm khắc thầy giáo, TS Kiều Phương Chi Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Sau đại học, Ban chủ nhiệm khoa Toán Tác giả xin cảm ơn PGS TS Đinh Huy Hoàng, PGS TS Trần Văn Ân thầy, cô giáo khoa Toán nhiệt tình giảng dạy giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập Cuối xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt bạn lớp Cao học 19 Giải tích cộng tác, giúp đỡ động viên tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Mặt dù có nhiều cố gắng, luận văn không tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Chúng mong nhận ý kiến đóng góp thầy, cô giáo bạn bè để luận văn hoàn thiện Vinh, tháng năm 2013 Hoàng Thị Thương CHƯƠNG CÁC ÁNH XẠ CO KIỂU TÍCH PHÂN VÀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA CHÚNG Chương dành cho việc trình bày số định lý điểm bất động ánh xạ co kiểu tích phân định lý điểm bất động ánh xạ co suy rộng kiểu tích phân không gian mêtric đầy đủ 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị Trong mục này, trình bày kiến thức sở cần dùng sau 1.1.1 Định nghĩa ([1]) Cho X tập khác rỗng Hàm d : X ×X → R gọi mêtric X thoả mãn điều kiện sau 1) d(x, y) với x, y ∈ X; d(x, y) = x = y 2) d(x, y) = d(y, x) với x, y ∈ X 3) d(x, y) d(x, z) + d(z, y) với x, y, z ∈ X Khi (X, d) gọi không gian mêtric 1.1.2 Định nghĩa ([1]) Cho (X, d) không gian mêtric 1) Dãy {xn } ⊂ X gọi dãy Cauchy d(xm , xn ) → m, n → ∞ 2) Không gian mêtric X gọi đầy đủ dãy Cauchy hội tụ X 1.1.3 Định nghĩa ([1]) Cho (X, d) không gian mêtric A ⊂ X Đường kính A ký hiệu δ(A) xác định δ(A) = sup{d(x, y) : x, y ∈ A} Tập A gọi bị chặn có đường kính hữu hạn 1.1.4 Định nghĩa ([1]) Cho (X, d) không gian mêtric ánh xạ f : X → X gọi ánh xạ co tồn q ∈ (0, 1) cho d f x, f y qd(x, y), ∀x, y ∈ X 1.1.5 Định nghĩa ([1]) Cho X không gian mêtric f : X → X ánh xạ Điểm a ∈ X gọi điểm bất động f f (a) = a Định lý sau nguyên lý điểm bất động Banach 1.1.6 Định lý ([1]) Mọi ánh xạ co từ không gian mêtric đầy đủ X vào có điểm bất động 1.2 ánh xạ co kiểu tích phân, ánh xạ co suy rộng kiểu tích phân tồn điểm bất động chúng không gian mêtric đầy đủ 1.2.1 Định nghĩa ([2]) Cho φ : [0, +∞) → [0, +∞) hàm khả ε φ(t)dt > với tích Lebesgue tập compact [0, +∞) ε > ánh xạ f : X → X gọi ánh xạ co kiểu tích phân φ tồn q ∈ (0, 1) cho d(f x,f y) d(x,y) φ(t)dt φ(t)dt, ∀x, y ∈ X q (1.1) 1.2.2 Nhận xét Nếu chọn φ(t) = 1, ∀t ∈ [0, ∞) ta ánh xạ co theo kiểu tích phân φ ánh xạ co theo nghĩa thông thường 1.2.3 Định lý ([2]) Cho φ : [0, +∞) → [0, +∞) hàm khả tích ε Lebesgue tập compact [0, +∞) φ(t)dt > với ε > Giả sử X không gian mêtric đầy đủ f : X → X ánh xạ co kiểu tích phân hàm φ Khi đó, f có điểm bất động Chúng ta cần số kết bổ trợ sau cho chứng minh Định lý 1.2.3 1.2.4 Bổ đề ([2]) Giả sử f cho Định lý 1.2.3 Khi đó, với x ∈ X ta có d(f n x, f n+1 x) → 0, n → +∞ Chứng minh Với x ∈ X, áp dụng (1.1) ta d f n x,f n+1 x d f n−1 x,f n x φ(t)dt q d x,f x φ(t)dt q Từ q ∈ (0, 1) φ(t) n φ(t)dt 0 suy d f n x,f n+1 x φ(t)dt = 0, n → ∞ lim n→∞ (1.2) Bây giờ, giả sử d f n x, f n+1 x không hội tụ n → ∞ Khi đó, lim sup d f n x, f n+1 x = ε > n→∞ Từ suy tồn dãy số tự nhiên {nk } nk0 cho d f nk x, f nk +1 x → ε n → ∞ d f nk x, f nk +1 x ε với nk nk0 Kết hợp với (1.2) ta có ε φ(t)dt > d f nk x,f nk +1 x = lim n→∞ φ(t)dt Ta nhận mâu thuẫn Vậy, bổ đề chứng minh 1.2.5 Bổ đề ([2]) Dãy {f n x} Cauchy với x ∈ X Chứng minh Giả sử {f n x} dãy Cauchy Khi đó, tồn ε > cho với k ∈ N tồn mk , nk mà mk > nk > k d f mk x, f nk x ε Ta giả thiết {mk } {nk } cực tiểu theo nghĩa sau: Với k∈N d f mk x, f nk x ε d f h x, f nk x < ε với h ∈ {nk + 1, , mk − 1} Tiếp theo mô tả tính chất d f mk x, f nk x d f mk +1 x, f nk +1 x Ta có d f mk x, f mk −1 x + d f mk −1 x, f nk x d f mk x, f nk x ε l ta có d f mk +1 x, f nk +1 x < ε Thật vậy, giả sử ngược lại Khi đó, tồn dãy {kj } ⊂ N cho d f mkj +1 x, f nkj +1 x ε Ta có ε d f mkj +1 x, f nkj +1 x d f mkj +1 x, f mkj x + d f mkj x, f nkj x + d f nkj x, f nkj +1 x → ε j → ∞ Ta nhận d f mkj +1 x, f nkj +1 x → ε j → ∞ Bây giờ, bất đẳng thức d f mk +1 n +1 j x,f kj x d f φ(t)dt mk n j x,f kj x q φ(t)dt 0 cho j → ∞ ta ε ε φ(t)dt < q Vì q ∈ (0, 1) ε φ(t)dt φ(t)dt > nên ta nhận mâu thuẫn Suy tồn l ∈ N cho d f mk +1 x, f nk +1 x < ε với k > l Tiếp theo, ta chứng minh tồn δε ∈ (0, ε) p ∈ N (p phụ thuộc vào ε) cho d f mk +1 x, f nk +1 x < ε − δε với k > p Giả sử ngược lại Khi đó, tồn dãy {ki } ⊂ N cho d f mki +1 x, f nki +1 x → ε− i → ∞ Trong bất đẳng thức d f mk +1 n +1 i x,f ki x d f φ(t)dt mk n i x,f ki x q φ(t)dt 0 cho j → ∞ ta ε ε φ(t)dt φ(t)dt < q 0 Tương tự ta nhận mâu thuẫn Bây giờ, với số tự nhiên k > p ta có ε d f mk x, f nk x d f mk x, f mk +1 x + d f mk +1 x, f nk +1 x + d f nk +1 x, f nk x < d f mk x, f mk +1 x + ε − δε + d f nk +1 x, f nk x Cho k → ∞ ta thu ε < ε − δε Ta nhận mâu thuẫn Do đó, {f n x} dãy Cauchy Chứng minh Định lý 1.2.3 Lấy x ∈ X cố định Khi đó, theo Bổ đề 1.2.5 ta có {f n x} dãy Cauchy Vì X không gian mêtric đầy đủ nên f n x → a n → ∞ Ta f n+1 x → f a n → ∞ Thật vậy, từ d(f n+1 x,f a) d(f n x,a) φ(t)dt φ(t)dt → q q 0 n → ∞ Từ suy φ(t)dt = 0 d(f n+1 x,f (a) φ(t)dt → n → ∞ Bây giờ, d(f n+1 x, f a) không hội tụ tới n → ∞ Khi đó, tồn ε > dãy {f nk +1 x} cho d(f nk +1 x, f a) ε > 10 Ta có 0< d f nk x,a d f nk +1 x,f a ε φ(t)dt φ(t)dt q 0 Cho k → ∞ ta φ(t)dt ε φ(t)dt = Ta thu mâu thuẫn Bây giờ, ta có d f a, a d a, f n+1 x + d f n+1 x, f a → n → ∞ Ta nhận f a = a Để kết thúc chứng minh ta a điểm bất động Giả sử tồn b ∈ X b = a cho f b = b Khi đó, d(a,b) 0< d f a,f b φ(t)dt = d(a,b) φ(t)dt q d(a,b) φ(t)dt < φ(t)dt Ta nhận mâu thuẫn Vậy, f có điểm bất động Định lý chứng minh Trong Định lý 1.2.3 lấy φ(t) = với t ta nhận Định lý 1.1.6 Ví dụ sau chứng tỏ Định lý 1.2.3 mạnh Định lý 1.1.6 1.2.6 Ví dụ Xét X = { : n ∈ N} ∪ {0} với mêtric thông thường cảm n sinh từ R Khi đó, X đóng R nên X không gian mêtric đầy đủ Xét ánh xạ f : X → X xác định fx = 1 x = , n ∈ N n+1 n x = 0, (1.4) Ta chứng minh hàm f không thoả mãn giả thiết Định lý 1.1.6 thoả mãn giả thiết Định lý 1.2.3 Thật vậy, ta có    −0    n +  sup x = y =   n  n∈N  −0 d f x, f y n sup = 1  x,y∈X:x=y d(x, y)  −   n + m + x = y =   sup   1 n m  m,n∈N,m=n − n m 11 Suy d f x, f y = x,y∈X:x=y d(x, y) sup Do đó, f ánh xạ co Để chứng minh f thoả mãn Định lý 1.2.3 ta f ánh xạ co kiểu tích phân hàm φ(t) xác định φ(t) = Đầu tiên để ý τ t t −2 − ln t) t > 0 t = φ(t)dt = τ τ , ∀τ > Vì điều kiện (1.1) tương đương với d f x, f y d f x, f y qd x, y d x, y (1.5) Bước tiếp theo, ta cần chứng minh (1.5) xảy với q ∈ (0, 1) 1 Cho m, n ∈ N với m > n x = , y = Khi đó, có m n d f x, f y d f x, f y = 1 − n+1 m+1 m−n = (m + 1)(n + 1) 1 d x, y d x, y = − n m n n+1 − m+1 (m + 1)(n + 1) m−n − m mn m−n m−n = mn Ta m−n (m + 1)(n + 1) (m + 1)(n + 1) m−n mn m−n m−n mn hay tương đương m−n (n + 1)(m + 1) m+n+1 m−n mn (m + 1)(n + 1) mn m−n (1.6) 20 Vậy, ta có δ(O(yk ,n)) δ(O(yi−1 ,j−i+1)) ϕ(t)dt φ( ϕ(t)dt) (2.7) Ta chứng minh δ(O(yk , n)) = d(yk , yj ), j số tự nhiên thỏa mãn k < j k + n Thật vậy, δ(O(yk , n)) = d(yi , yj ) với i > k từ (2.7) với i − k j k + n ta có điều mâu thuẫn sau δ(O(yk ,n)) δ(O(yi−1 ,j−i+1)) ϕ(t)dt φ( ϕ(t)dt) δ(O(yk ,n)) φ( δ(O(yk ,n)) ϕ(t)dt) < ϕ(t)dt, 0 δ(O(yk , n)) > theo tính chất φ Do vậy, từ (2.7) ta có δ(O(yk−1 ,j−k+1)) δ(O(yk ,n)) ϕ(t)dt ϕ(t)dt) φ( 0 δ(O(yk−1 ,n+1)) ϕ(t)dt) φ( Từ ta suy δ(O(yk ,n)) δ(O(yk−1 ,n+1)) ϕ(t)dt φ( ϕ(t)dt) δ(O(yk−2 ,n+2)) ϕ(t)dt)) φ(φ( δ(O(y0 ,n+k)) φk ( ϕ(t)dt) Vì δ(O(y0 , ∞)) < ∞ φ hàm không giảm nên ta có điều phải chứng minh 2.1.7 Định lý ([4]) Cho f g hai ánh xạ không gian mêtric đầy đủ (X, d) thỏa mãn điều kiện (2.2), (2.3) (2.4) với ϕ φ ánh xạ cho Bổ đề 2.1.6 Giả sử f (X) tập đóng X tồn x0 ∈ X cho δ(O(y0 , ∞)) < ∞ Khi đó, f g có điểm bất động chung 21 Chứng minh Nếu tồn k n cho δ(O(yk , n)) = hiển nhiên yk = yk+1 , nghĩa f (xk+1 ) = g(xk+1 ) hay f có điểm bất động Do vậy, ta giả sử δ(O(yk , n)) > với k n Vì ta có δ(O(yk ,n)) ϕ(t)dt 0 > Theo giả thiết, tồn x0 ∈ X cho δ(O(y0 , ∞)) < ∞ với số tự nhiên m, n với m > n ta thấy d(yn , ym ) δ(O(yn , m)) Do vậy, từ Bổ đề (2.1.6) ta có δ(O(yn ,m)) d(yn ,ym ) ϕ(t)dt ϕ(t)dt δ(O(y0 ,n+m)) n φ ( 0 ϕ(t)dt) Vì δ(O(y0 , ∞)) < ∞ nên theo Bổ đề (2.1.5) ta có d(ym ,yn ) ϕ(t)dt lim m,n→∞ δ(O(y0 ,∞)) n lim φ ( n→∞ ϕ(t)dt) = 0 Do đó, theo (2.6) ta suy limm,n→∞ d(ym , yn ) = Do vậy, {yn }n dãy Cauchy X Vì X không gian mêtric đầy đủ nên tồn z ∈ X cho z = lim yn = lim g(xn ) = lim f (xn+1 ) n→∞ n→∞ n→∞ Lại f (X) tập đóng nên tồn u ∈ X cho z = f (u) Từ (2.4) ta có d(gu,gxn ) M (u,xn ) ϕ(t)dt φ( ϕ(t)dt) Mặt khác, theo tính chất hàm φ limn→∞ M (u, xn ) = d(z, gu) nên n → ∞ ta có d(gu,gxn ) lim n d(z,gu) ϕ(t)dt = M (u,xn ) ϕ(t)dt lim supφ( n d(z,gu) d(z,gu) < φ( ϕ(t)dt) < d(z,gu) ϕ(t)dt = 0 ϕ(t)dt, điều dẫn đến ϕ(t)dt) 22 Từ (2.6) ta suy d(z, gu) = hay z = gu Vậy, z = f u = gu Từ điều kiện (2.4) , ta suy f gu = gf u Vậy ta có f z = gz (2.8) Chúng ta chứng minh z điểm bất động chung f g Thật vậy, từ điều kiện (2.2) ta có M (z,xn ) d(gz,gxn ) ϕ(t)dt ϕ(t)dt) φ( (2.9) 0 Do limn→∞ M (z, xn ) = d(z, gz) nên theo (2.4) ta có d(z,gz) d(gz,gxn ) lim n ϕ(t)dt ϕ(t)dt = 0 M (z,xn ) ϕ(t)dt) < lim φ( n d(z,gz) ϕ(t)dt Do đo, d(z,gz) ϕ(t)dt = 0 hay d(z, gz) = Vậy, z = gz Giả sử w, z hai điểm bất động chung f g Khi đó, từ điều kiện (2.4) ta có d(z,w) d(gz,gw) ϕ(t)dt = M (z,w) ϕ(t)dt φ( ϕ(t)dt) 0 d(z,w) d(z,w) φ( ϕ(t)dt) < ϕ(t)dt, điều mâu thuẫn Vậy, ta có điều phải chứng minh Trong Định lí 2.1.7 ta lấy f = I φ(t) = kt, với t ∈ [0; +∞) ta nhận Định lí Rhoades (Xem [8]) 23 2.1.8 Nhận xét Định lí 2.1.7 ta thay giả thiết "f (X) tập đóng" giả thiết "g(X) tập đóng" 2.1.9 Định lý ([4]) Giả sử f g hai ánh xạ không gian mêtric đầy đủ (X, d) thỏa mãn điều kiện (2.1), (2.3) (2.4) với ϕ φ ánh xạ cho Bổ đề 2.1.6 Giả sử f ánh xạ liên tục X tồn x0 ∈ X cho δ(O(y0 , ∞)) < ∞ Khi đó, f g có điểm bất động chung Chứng minh Từ chứng minh Định lí (2.1.7) thấy {yn }n dãy Cauchy không gian mêtric đầy đủ (X, d) nên tồn z ∈ X cho z = lim yn = lim g(xn ) = lim f (xn+1 ) n→∞ n→∞ n→∞ Vì f ánh xạ liên tục nên f (yn ) hội tụ tới f (z) Mặt khác, từ điều kiện (2.1) ta có d(gyn , z) d(gyn , f yn+1 ) + d(f yn+1 , f z) = d(gf xn+1 , f gxn+1 ) + d(f yn+1 , f z) d(f xn+1 , gxn+1 ) + d(f yn+1 , f z) = d(yn , yn+1 ) + d(f yn+1 , f z) Do đó, n → ∞ f yn hội tụ tới f z Bởi vậy, M (yn , z) = max{d(f yn , f z), d(f yn , gyn ), d(f z, gz), d(f yn , gz), d(f z, gyn )} hội tụ tới d(f z, gz) Mặt khác, từ điều kiện (2.4) ta có d(gyn ,gz) M (yn ,z) ϕ(t)dt φ( ϕ(t)dt) Từ tính chất hàm φ, n → ∞ ta có d(f z,gz) d(gyn ,gz) ϕ(t)dt = lim( n M (yn ,z) ϕ(t)dt lim sup φ( n d(f z,gz) φ( d(f z,gz) ϕ(t)dt) < ϕ(t)dt Suy d(f z,gz) ϕ(t)dt = 0, ϕ(t)dt) 24 kết hợp với điều kiện (2.6) có d(f z, gz) = hay f z = gz Do đó, f gz = gf z = ggz Mặt khác, từ điều kiện (2.4) ta lại có d(ggz,gz) M (gz,z) ϕ(t)dt φ( d(ggz,gz) ϕ(t)dt) φ( ϕ(t)dt) Từ tính chất hàm ϕ ta suy ggz = gz hay gz điểm bất động g Từ chứng minh ta suy gz điểm bất động f Tương tự chứng minh Định lí 2.1.7 ta chứng minh gz điểm bất động chung f g 2.1.10 Ví dụ Cho X = [2, 20] với mêtric cảm sinh từ R: d(x, y) = |x − y|, ∀x, y ∈ R Vì X tập đóng R nên X không gian mêtric đầy đủ Xét ánh xạ f, g : X → X xác định  x = 2, x f (x) = 13 + x x ∈ (2, 5],  x−3 x ∈ (5, 20], g(x) = x ∈ {2} ∪ (5, 20], x ∈ (2, 5] Ta lấy ϕ(t) = (t + 1)t+1 (1 + ln(t + 1)) cho ϕ(t)dt = (t + 1)t+1 − φ(t) = 2t Ta thấy g(X) = {2, 18}, f (X) = [2, 18], φ(t) < t với t > 0, f g hai ánh xạ tương thích yếu điểm x = có điểm bất động chung x = Tuy nhiên f g hai ánh xạ giao hoán yếu Thật vậy, với x ∈ (5, 8] ta có |f gx − gf x| = > |f x − gx| = x − Tiếp theo ta chứng minh điều kiện (2.4) thỏa mãn hay f g có điểm bất động chung Thật vậy, x = y ∈ (5, 20] (hoặc y = x ∈ (5, 20]) ta có d(gx,gy) ϕ(t)dt = điều kiện (2.4) thỏa mãn Nếu x = y ∈ (2, 5] (hoặc y = x ∈ (2, 5]) ta có d(gx,gy) ϕ(t)dt 7 −1 14 (14 − 1) 2 M (x,y) ϕ(t)dt (2.10) 25 điều kiện (2.4) thỏa mãn Bất đẳng thức (2.10) điều kiện (2.4) thỏa mãn x ∈ (2, 5] y ∈ (5, 20] (hoặc y ∈ (2, 5] x ∈ (5, 20] Vậy, f g có điểm bất động chung 2.2 Sự tồn điểm bất động bất động chung ánh xạ hầu co kiểu tích phân Khái niệm ánh xạ hầu co đề xuất Berinde (xem [5, 6]) Trong mục này, nghiên cứu tồn điểm bất động tồn điểm bất động chung ánh xạ hầu co kiểu tích phân 2.2.1 Định nghĩa ([5]) Cho Cho (X, d) không gian mêtric ánh xạ f : X → X gọi ánh xạ hầu co tồn δ ∈ (0, 1) L cho d(f x, f y) δd(x, y) + Ld(y, T x), ∀x, y ∈ X Chúng đề xuất định nghĩa sau 2.2.2 Định nghĩa Cho φ : [0, +∞) → [0, +∞) hàm khả tích ε φ(t)dt > với Lebesgue tập compact [0, +∞) ε > Giả sử (X, d) không gian mêtric f : X → X Khi đó, f gọi ánh xạ hầu co kiểu tích phân φ tồn δ ∈ (0, 1) L cho d(f x,f y) δd(x,y)+Ld(y,T x) φ(t)dt, ∀x, y ∈ X φ(t)dt (2.11) 2.2.3 Nhận xét Nếu chọn φ(t) = 1, ∀t ∈ [0, ∞) ánh xạ hầu co theo kiểu tích phân φ ánh xạ hầu co theo nghĩa thông thường Ta có kết sau: 2.2.4 Định lý Cho φ : [0, +∞) → [0, +∞) hàm khả tích Lebesgue ε tập compact [0, +∞) φ(t)dt > với ε > Giả sử X không gian mêtric đầy đủ f ánh xạ X → X Khi đó, tồn δ ∈ (0, 1) L < − δ thỏa mãn điều kiện (2.11) f có điểm bất động 26 Chúng ta cần số kết bổ trợ sau cho chứng minh Định lý 2.2.4 2.2.5 Bổ đề Giả sử f cho Định lý 2.2.4 Khi đó, với x ∈ X ta có d(f n x, f n+1 x) → 0, n → +∞ Chứng minh Với x ∈ X, áp dụng (2.11) ta d f n x,f n+1 x δd f n−1 x,f n x +Ld(f n x,f n x) φ(t)dt φ(t)dt 0 δd f n−1 x,f n x = φ(t)dt δ n d x,f x φ(t)dt Từ δ ∈ (0, 1) φ(t) suy d f n x,f n+1 x φ(t)dt = lim n→∞ (2.12) Bây giờ, giả sử d f n x, f n+1 x không hội tụ n → ∞ Khi đó, lim sup d f n x, f n+1 x = ε > n→∞ Từ suy tồn dãy số tự nhiên {nk } nk0 cho d f nk x, f nk +1 x → ε n → ∞ d f nk x, f nk +1 x ε với nk nk0 Kết hợp với (2.12) ta có ε φ(t)dt > d f nk x,f nk +1 x = lim n→∞ φ(t)dt Ta nhận mâu thuẫn Vậy, bổ đề chứng minh 2.2.6 Bổ đề Dãy {f n x} Cauchy với x ∈ X Chứng minh Giả sử {f n x} dãy Cauchy Khi đó, tồn ε > cho với k ∈ N tồn mk , nk mà mk > nk > k d f mk x, f nk x ε 27 Ta giả thiết {mk } {nk } cực tiểu theo nghĩa sau: Với k∈N d f mk x, f nk x ε d f h x, f nk x < ε với h ∈ {nk + 1, , mk − 1} Tiếp theo mô tả tính chất d f mk x, f nk x d f mk +1 x, f nk +1 x Ta có d f mk x, f mk −1 x + d f mk −1 x, f nk x d f mk x, f nk x ε < d f mk x, f mk −1 x + ε (2.13) Cho mk → ∞ áp dụng Bổ đề 2.2.5 ta d f mk x, f nk x → ε, mk → ∞ Ta tồn l ∈ N cho với số tự nhiên k > l ta có d f mk +1 x, f nk +1 x < ε Thật vậy, giả sử ngược lại Khi đó, tồn dãy {kj } ⊂ N cho d f mkj +1 x, f nkj +1 x ε Ta có ε d f mkj +1 x, f nkj +1 x d f mkj +1 x, f mkj x + d f mkj x, f nkj x + d f nkj x, f nkj +1 x → ε j → ∞ Ta nhận d f mkj +1 x, f nkj +1 x → ε j → ∞ Bây giờ, bất đẳng thức d f mk +1 j x,f nk +1 j x δd f mk j x,f nk jx +Ld(f φ(t)dt φ(t)dt 0 Cho i → ∞ ta ε (δ+L)ε φ(t)dt < mk +1 n j x,f kj x) φ(t)dt 28 − δ Vì L ε φ(t)dt > nên ta nhận mâu thuẫn Suy tồn l ∈ N cho d f mk +1 x, f nk +1 x < ε với k > l Tiếp theo, ta chứng minh tồn δε ∈ (0, ε) p ∈ N (p phụ thuộc vào ε) cho d f mk +1 x, f nk +1 x < ε − δε với k > p Giả sử ngược lại Khi tồn dãy {ki } ⊂ N cho d f mki +1 x, f nki +1 x → ε− i → ∞ Trong bất đẳng thức d f n +1 mk +1 i x,f ki x δd f mk n i x,f ki x +Ld(f n mk +1 i x,f ki x) φ(t)dt φ(t)dt 0 cho j → ∞ ta ε (δ+L)ε φ(t)dt < φ(t)dt Tương tự ta nhận mâu thuẫn Bây giờ, với số tự nhiên k > p ta có d f mk x, f nk x ε d f mk x, f mk +1 x + d f mk +1 x, f nk +1 x + d f nk +1 x, f nk x < d f mk x, f mk +1 x + ε − δε + d f nk +1 x, f nk x Cho k → ∞ ta thu ε < ε − δε Ta nhận mâu thuẫn Do đó, {f n x} dãy Cauchy Chứng minh Định lý 2.2.4 Lấy x ∈ X cố định Khi đó, theo Bổ đề 2.2.6 ta có {f n x} dãy Cauchy Vì X không gian mêtric đầy đủ nên f n x → a n → ∞ Ta f n+1 x → f a n → ∞ Thật vậy, từ d(f n+1 x,f a) δd(f n x,a)+Ld(a,f n+1 x) φ(t)dt → φ(t)dt 0 φ(t)dt = 0 29 n → ∞ Từ suy d(f n+1 x,f (a) φ(t)dt → n → ∞ Bây giờ, d(f n+1 x, f a) không hội tụ tới n → ∞ tồn ε > dãy {f nk +1 x} cho d(f nk +1 x, f a) ε > Ta có d f nk +1 x,f a ε 0< φ(t)dt δd f nk x,a +Ld(a,f nk +1 x) φ(t)dt φ(t)dt Cho k → ∞ ta ε φ(t)dt = Ta thu mâu thuẫn Vậy, d(f n+1 x, f a) → n → ∞ Bây giờ, ta có d a, f n+1 x + d f n+1 x, f a → d f a, a n → ∞ Ta nhận f a = a Để kết thúc chứng minh ta a điểm bất động Giả sử tồn b ∈ X b = a cho f b = b Khi đó, d(a,b) d f a,f b φ(t)dt = 0< δd(a,b)+L(b,f a) φ(t)dt φ(t)dt (δ+L)d(a,b) < φ(t)dt Ta nhận mâu thuẫn Vậy, f có điểm bất động Định lý chứng minh 2.2.7 Định nghĩa ([9]) Cho X tập khác rỗng Khi đó, (X, d, ) gọi không gian mêtric thứ tự phận thỏa mãn điều kiện sau 1) (X, d) không gian mêtric; 2) (X, ) tập thứ tự phận 2.2.8 Định nghĩa ([9]) Giả sử (X, ) tập thứ tự phận Khi đó, hai phần tử x, y ∈ X gọi so sánh x y y x 30 2.2.9 Định nghĩa ([9]) Giả sử (X, ) tập thứ tự phận Khi đó, hai ánh xạ f, g : X → X gọi tăng ngặt yếu f x < gf x gx < f gx, với x ∈ X Ta có định lý sau: 2.2.10 Định lý Cho φ : [0, +∞) → [0, +∞) hàm khả tích ε Lebesgue tập compact [0, +∞) φ(t)dt > với ε > Giả sử (X, ) tập thứ tự phận mà X tồn mêtric d cho (X, d) không gian mêtric đầy đủ, f g hai ánh xạ tăng ngặt yếu X tồn δ ∈ (0, 1) L thỏa mãn điều kiện sau với x, y ∈ X mà x, y so sánh d(f x,gy) δM (x,y)+LN (x,y) φ(t)dt φ(t)dt, (2.14) M (x, y) = max{d(x, y), d(x, f x), d(y, gy), d(x, gy) + d(y, f x) }, N (x, y) = min{d(x, f x), d(y, gy), d(x, gy), d(y, f x)} Khi đó, f g liên tục f g có điểm bất động chung Chứng minh Lấy x0 ∈ X đặt x2n+1 = f x2n , x2n+2 = gx2n+1 , với n Ta dãy {xn } ⊂ X Vì f g hai ánh xạ tăng ngặt yếu nên ta có x1 = f x0 < gf x0 = gx1 = x2 = gx1 < f gx1 = f x2 = x3 Tiếp tục trình có x1 < x2 < x3 < < xn < xn+1 < 31 Khi đó, {xn } dãy tăng ngặt Ta có M (x2n , x2n+1 ) = max d(x2n , x2n+1 ), d(x2n , f x2n ), d(x2n , gx2n+1 ) + d(x2n+1 , f x2n ) = max{d(x2n , x2n+1 ), d(x2n , x2n+1 ), d(x2n+1 , x2n+2 ), d(x2n , x2n+2 ) + d(x2n+1 , x2n+1 ) } d(x2n , x2n+2 ) = max{d(x2n , x2n+1 ), d(x2n+1 , x2n+2 ), } d(x2n , x2n+1 ) + d(x2n+1 , x2n+2 ) max{d(x2n , x2n+1 ), d(x2n+1 , x2n+2 ), } = max{d(x2n , x2n+1 ), d(x2n+1 , x2n+2 )} d(x2n+1 , gx2n+1 ), N (x2n , x2n+1 ) = min{d(x2n , f x2n ), d(x2n+1 , gx2n+1 ), d(x2n , gx2n+1 ), d(x2n+1 , f x2n )} = min{d(x2n , x2n+1 ), d(x2n+1 , x2n+2 ), d(x2n , x2n+2 ), d(x2n+1 , x2n+1 )} = Vì xn xn+1 so sánh với n d(x2n+1 ,x2n+2 ) nên từ (2.14) ta có d(f x2n ,gx2n+1 ) φ(t)dt = φ(t)dt δM (x2n ,x2n+1 )+LN (x2n ,x2n+1 ) φ(t)dt δM (x2n ,x2n+1 ) φ(t)dt = δ max{d(x2n ,x2n+1 ),d(x2n+1 ,x2n+2 )} φ(t)dt Từ tính chất hàm φ ta suy d(x2n+1 , x2n+2 ) δ max{d(x2n , x2n+1 ), d(x2n+1 , x2n+2 )} Mặt khác, δ ∈ (0, 1) nên ta suy max{d(x2n , x2n+1 ), d(x2n+1 , x2n+2 )} = d(x2n , x2n+1 ) Do d(x2n+1 , x2n+2 ) δd(x2n , x2n+1 ) 32 Hoàn toàn tương tự ta chứng minh d(x2n+3 , x2n+2 ) δd(x2n+2 , x2n+1 ) Tổng quát lên ta có d(xn , xn+1 ) với n δd(xn−1 , xn ) δ n d(x0 , x1 ), Bây với số tự nhiên m, n, m > n, có d(xm , xn ) d(xn , xn+1 ) + d(xn+1 , xn+2 ) + + d(xm−1 , xm ) δ n d(x0 , x1 ) + δ n+1 d(x0 , x1 ) + + δ m−1 d(x0 , x1 ) δn d(x0 , x1 ) 1−δ Khi m, n → ∞ (xm , xn ) → Vậy, {xn } dãy Cauchy không gian mêtric đầy đủ (X, d) Do đó, tồn p ∈ X cho xn → p n → ∞ Khi đó, ta có x2n → p x2n+1 → p n → ∞ Giả sử f ánh xạ liên tục Ta có x2n+1 = f x2n → f p Do vậy, ta có f p = p hay p điểm bất động f Giả sử gp = p Từ (2.14) ta có δM (p,p)+LN (p,p) d(f p,gp) δd(p,gp) φ(t)dt φ(t)dt 0 φ(t)dt Ta có mâu thuẫn d(p, gp) δd(p, gp) Vậy, gp = p hay p điểm bất động g Tiếp theo chứng minh p Thật vậy, giả sử tồn q ∈ X thỏa mãn f q = gq = q Từ (2.14) ta có d(p,q) d(f p,gq) φ(t)dt = δM (p,q)+LN (p,q) φ(t)dt φ(t)dt δd(p,q) = φ(t)dt Vì δ ∈ (0, 1) theo tính chất hàm φ ta suy d(p, q) = hay p = q 33 kết luận Luận văn thu kết sau: 1) Trình bày có hệ thống khái niệm ánh xạ co kiểu tích phân, ánh xạ co suy rộng kiểu tích phân định lý điểm bất động tương ứng loại ánh xạ này; trình bày số định lý tồn điểm bất động chung ánh xạ co suy rộng kiểu tích phân số ví dụ minh họa 2) Đề xuất lớp ánh xạ hầu co kiểu tích phân không gian mêtric chứng minh tồn điểm bất động chúng (Định lý 2.2.4) Đưa kết tồn điểm bất động chung ánh xạ hầu co kiểu tích phân (Định lý 2.2.10) 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải (2001), Cơ sở lý thuyết hàm giải tích hàm, Tập I, NXBGD [2] Branciaril A (2002), A fixed point theorem for mappings satisfying a general contractive condition of integral type, Int J Math Sci 29, 9, 531-536 [3] Boyd, D W and Wong, J S W.(1969), On nonlinear contractions, Proc Amer Math Soc.,20, 458-464 [4] Djoudi A and Merghadi F (2007), Common fixed point theorems for maps under a contractive conditions of integral type, J Math Anal Appl 341 (2008), 953-960 [5] Berinde V (2009) Some remarks on a fixed point theorem for Cirictype almost contractions, Carpathian J Math 25 (2009), no 2, 157-162 [6] Berinde V (2008) General constructive fixed point theorems for Ciric-type almost contractions in metric spaces, Carpathian J Math 24 , no 2, 10-19 ´ c L.B (1971), Genralized contraction and fixed point theorems, [7] Ciri´ Publ Inst Math., 12 (36), 19-26 [8] Rhoades B E (2003), Two fixed-point theorems for mappings satisfying a general contractive condition of integral type, Int J Math Sci, 63, 4007-4013 ´ c L et al (2010), Common fixed point of almost generalized con[9] Ciri´ traction mappings in ordered metric spaces, Applied Mathematics and Computation 217 (2011), 5784- 5789 [...]... tương ứng đối với các loại ánh xạ này; trình bày một số định lý về sự tồn tại điểm bất động chung của các ánh xạ co suy rộng kiểu tích phân và một số ví dụ minh họa 2) Đề xuất một lớp ánh xạ hầu co kiểu tích phân trong không gian mêtric và chứng minh sự tồn tại điểm bất động của chúng (Định lý 2.2.4) Đưa ra một kết quả về sự tồn tại điểm bất động chung của các ánh xạ hầu co kiểu tích phân (Định lý 2.2.10)... mãn Bất đẳng thức (2.10) và điều kiện (2.4) vẫn thỏa mãn nếu x ∈ (2, 5] và y ∈ (5, 20] (hoặc y ∈ (2, 5] và x ∈ (5, 20] Vậy, f và g có điểm bất động chung duy nhất 2.2 Sự tồn tại điểm bất động và bất động chung của các ánh xạ hầu co kiểu tích phân Khái niệm ánh xạ hầu co được đề xuất bởi Berinde (xem [5, 6]) Trong mục này, chúng tôi nghiên cứu về sự tồn tại điểm bất động và sự tồn tại điểm bất động chung. .. SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA CÁC ÁNH XẠ CO KIỂU TÍCH PHÂN Chương này dành cho việc trình bày sự tồn tại điểm bất động chung của ánh xạ co kiểu tích phân và ánh xạ hầu co kiểu tích phân 2.1 Định lý điểm bất động chung đối với các ánh xạ co kiểu tích phân 2.1.1 Định nghĩa ([4]) Cho f và g là hai ánh xạ trên không gian mêtric (X, d) 1) f và g được gọi là giao hoán yếu nếu thỏa mãn điều kiện sau d(f... được gọi là định lý điểm bất động đối với ánh xạ co suy rộng của Círi´c (xem [7]) 1.2.9 Hệ quả ([7]) Cho (X, d) là không gian mêtric đầy đủ và ánh xạ f : X → X Nếu tồn tại q ∈ (0, 1) sao cho d(f x, f y) q max d(x, y), d(x, f x), d(y, f y), d(x, f y) + d(y, f x) 2 với mọi x, y ∈ X thì f có duy nhất một điểm bất động 17 CHƯƠNG 2 SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA CÁC ÁNH XẠ CO KIỂU TÍCH PHÂN Chương này... vậy, giả sử tồn tại q ∈ X thỏa mãn f q = gq = q Từ (2.14) ta có d(p,q) d(f p,gq) φ(t)dt = 0 δM (p,q)+LN (p,q) φ(t)dt 0 φ(t)dt 0 δd(p,q) = φ(t)dt 0 Vì δ ∈ (0, 1) và theo tính chất của hàm φ ta suy ra d(p, q) = 0 hay p = q 33 kết luận Luận văn đã thu được các kết quả chính sau: 1) Trình bày có hệ thống khái niệm ánh xạ co kiểu tích phân, ánh xạ co suy rộng kiểu tích phân và các định lý điểm bất động tương... là ánh xạ hầu co kiểu tích phân đối với φ nếu tồn tại δ ∈ (0, 1) và L 0 sao cho d(f x,f y) δd(x,y)+Ld(y,T x) φ(t)dt, ∀x, y ∈ X φ(t)dt 0 (2.11) 0 2.2.3 Nhận xét Nếu chọn φ(t) = 1, ∀t ∈ [0, ∞) thì ánh xạ hầu co theo kiểu tích phân đối với φ chính là ánh xạ hầu co theo nghĩa thông thường Ta có kết quả sau: 2.2.4 Định lý Cho φ : [0, +∞) → [0, +∞) là một hàm khả tích Lebesgue ε trên mọi tập compact của. .. điểm bất động chung của các ánh xạ hầu co kiểu tích phân 2.2.1 Định nghĩa ([5]) Cho Cho (X, d) là không gian mêtric ánh xạ f : X → X được gọi là ánh xạ hầu co nếu tồn tại δ ∈ (0, 1) và L 0 sao cho d(f x, f y) δd(x, y) + Ld(y, T x), ∀x, y ∈ X Chúng tôi đề xuất định nghĩa sau 2.2.2 Định nghĩa Cho φ : [0, +∞) → [0, +∞) là một hàm khả tích ε φ(t)dt > 0 với mọi Lebesgue trên mọi tập compact của [0, +∞) và 0... hàm ϕ ta suy ra ggz = gz hay gz là điểm bất động của g Từ chứng minh trên ta suy ra gz là điểm bất động của f Tương tự như chứng minh Định lí 2.1.7 ta cũng chứng minh được gz là điểm bất động chung duy nhất của f và g 2.1.10 Ví dụ Cho X = [2, 20] với mêtric cảm sinh từ R: d(x, y) = |x − y|, ∀x, y ∈ R Vì X là tập đóng của R nên X là không gian mêtric đầy đủ Xét các ánh xạ f, g : X → X xác định bởi  nếu... mêtric đầy đủ (X, d) thỏa mãn các điều kiện (2.2), (2.3) và (2.4) với ϕ và φ là các ánh xạ được cho trong Bổ đề 2.1.6 Giả sử rằng f (X) là tập đóng của X và tồn tại x0 ∈ X sao cho δ(O(y0 , ∞)) < ∞ Khi đó, f và g có điểm bất động chung duy nhất 21 Chứng minh Nếu tồn tại k 0 và n 1 sao cho δ(O(yk , n)) = 0 thì hiển nhiên yk = yk+1 , nghĩa là f (xk+1 ) = g(xk+1 ) hay f có điểm bất động Do vậy, ta có thể giả... 1 n n+1 2 n Bất đẳng thức này đúng bởi vì n n 1 1 1 1 = n+1 n+1 2 2 với mọi n 1 Như vậy ta đã chứng minh được (1.5) được thoả mãn với 1 mọi x, y ∈ X và q = Do đó, f thoả mãn điều kiện Định lý 1.2.3 Rõ 2 ràng f có đúng một điểm bất động là x = 0 Tiếp theo chúng tôi sẽ trình bày định lý điểm bất động đối với ánh xạ co suy rộng kiểu tích phân Cho (X, d) là một không gian metric và ánh xạ f : X → X, ... Chương Sự tồn điểm bất động điểm bất động chung ánh xạ co kiểu tích phân Chương giới thiệu số kết tồn điểm bất động chung ánh xạ co kiểu tích phân đưa số kết tồn điểm bất động chung ánh xạ hầu co kiểu. .. có điểm bất động 17 CHƯƠNG SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA CÁC ÁNH XẠ CO KIỂU TÍCH PHÂN Chương dành cho việc trình bày tồn điểm bất động chung ánh xạ co kiểu tích phân ánh xạ hầu co kiểu tích. .. CHƯƠNG CÁC ÁNH XẠ CO KIỂU TÍCH PHÂN VÀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA CHÚNG Chương dành cho việc trình bày số định lý điểm bất động ánh xạ co kiểu tích phân định lý điểm bất động ánh xạ co suy rộng kiểu