Luận văn sư phạm Toán tử Compact trong không gian Banach

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN NGUYỄN THỊ HỒNG UYỂN TỐN TỬ COMPACT TRONG KHƠNG GIAN BANACH KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Người hướng dẫn khoa học Th.s HỒNG NGỌC TUẤN Hà Nội - 2013 LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành khóa luận này, trước hết em xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo tổ Giải tích, khoa Tốn, trường Đại học sư phạm Hà Nội động viên, giúp đỡ em suốt q trình làm khóa luận Đặc biệt, em xin chân thành cảm ơn thầy giáo hướng dẫn – Th.S Hoàng Ngọc Tuấn tạo điều kiện tốt bảo tận tình để em hồn thành khóa luận tốt nghiệp Do thời gian kiến thức có hạn nên đề trình bày khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, em mong nhận ý kiến đóng góp thầy bạn Em xin chân thành cảm ơn ! Hà Nội, tháng 05 năm 2013 Sinh viên Nguyễn Thị Hồng Uyển LỜI CAM ĐOAN Khóa luận kết thân em trình học tập nghiên cứu Bên cạnh em quan tâm thầy giáo khoa Toán, đặc biệt hướng dẫn tận tình Th.S Hồng Ngọc Tuấn Đây đề tài độc lập không trùng lặp với đề tài tác giả khác Trong nghiên cứu hoàn thành khóa luận em tham khảo số tài liệu ghi phần tài liệu tham khảo Rất mong nhận đóng góp ý kiến thầy bạn để khóa luận hoàn thiện Hà Nội, tháng 05 năm 2013 Sinh viên Nguyễn Thị Hồng Uyển Mục lục Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Metric 1.2 Không gian định chuẩn 1.3 Không gian Hilbert Chương Tốn tử compact khơng gian Banach 12 2.1 Định lý Schauder Định lý thay phiên Fredholm 12 2.2 Lý thuyết phổ 21 2.3 Toán tử tự liên hợp 29 Kết luận 42 Tài liệu tham khảo 43 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết hàm giải tích hàm có tầm quan trọng đặc biệt toán học toán học ứng dụng Nội dung phong phú, đa dạng Do kiến thức lớp với lượng thời gian eo hẹp nên khó sâu nghiên cứu vấn đề giải tích hàm Với mong muốn tìm hiểu sâu mơn này, góc độ sinh viên sư phạm Tốn phạm vi khóa luận tốt nghiệp với giúp đỡ thầy giáo – Th.S Hồng Ngọc Tuấn em xin mạnh dạn trình bày kiến thức đề tài “Tốn tử compact khơng gian Banach” Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu khóa luận tìm hiểu tốn tử compact khơng gian Banach Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu toán tử compact không gian Banach bao gồm định nghĩa tính chất Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu tài liệu tham khảo Tổng hợp, phân tích, hệ thống lại khái niệm, tính chất Cấu trúc khóa luận Ngồi mục lục, phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, khóa luận gồm chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2: Tốn tử compact khơng gian Banach Hà Nội, tháng 05 năm 2013 Sinh viên Nguyễn Thị Hồng Uyển CHƯƠNG Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Metric Định nghĩa 1.1 Ta gọi không gian metric tập hợp X = 0/ với ánh xạ d từ tích Đề - X × X vào tập hợp số thực R thỏa mãn tiên đề sau đây: (i) (∀x, y ∈ X) d(x, y) ≥ 0, d(x, y) = ⇔ x = y, (tiên đề đồng nhất); (ii) (∀x, y ∈ X) d(x, y) = (y, x), (tiên đề đối xứng); (iii) (∀x, y, z ∈ X)d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), (tiên đề tam giác) Ánh xạ d gọi metric X, số d(x, y) gọi khoảng cách hai phần tử x y Các phần tử X gọi điểm Không gian metric kí hiệu M = (X, d) Định nghĩa 1.2 Cho không gian metric M = (X, d), dãy điểm (xn ) ⊂ X, điểm x0 ∈ X Dãy điểm (xn ) gọi hội tụ tới điểm x0 không gian Mkhi n → ∞ (∀ε > 0) (∃n0 ∈ N ∗ ) (∀n ≥ n0 ) d(xn , x0 ) < ε, kí hiệu : lim xn = x0 hay xn → x0 (n → ∞) n→∞ Điểm x0 gọi giới hạn dãy (xn ) không gian M Định nghĩa 1.3 Cho không gian metric M = (X, d) Ta gọi lân cận điểm x ∈ X không gian M hình cầu mở tâm x, bán kính r > Định nghĩa 1.4 Cho không gian metric M = (X, d) tập A ⊂ X Tập A gọi tập mở không gian M, điểm thuộc A điểm A, hay nói cách khác, điểm x ∈ A tồn lân cận x bao hàm A Tập A gọi tập đóng không gian M, điểm không thuộc A điểm ngồi A, hay nói cách khác, điểm x ∈ / A tồn lân cận x không chứa điểm thuộc tập A Định nghĩa 1.5 Cho không gian metric M = (X, d) Tập K ⊂ X gọi tập compact không gian M, dãy vô hạn phần tử thuộc K chứa dãy hội tụ tới phần tử thuộc tập K Tập K gọi tập compact tương đối không gian M, dãy vô hạn phần tử thuộc K chứa dãy hội tụ (tới phần tử thuộc X) Định nghĩa 1.6 Cho không gian metric M = (X, d) Không gian M gọi không gian compact, tập X tập compact M Định lý 1.1 (Azela - Ascoli) Cho X không gian metric compact Y khơng gian metric Khi tập hợp F C(X,Y ) compact liên tục đồng bậc, bị chặn điểm đóng Trong C(X,Y ) khơng gian metric với phần tử tất hàm liên tục từ X tới Y metric xác định công thức: d( f , g) = max d ( f (x), g(x)) X Tập F gọi bị chặn điểm với x ∈ X tập hợp { f (x) : f ∈ F} bị chặn Y Tập F gọi liên tục đồng bậc X nếu: ∀x0 ∈ X, ∀ε > 0, ∃δ > ∀ f ∈ F, ∀x ∈ X : d(x, x0 ) < δ ⇒ d( f (x), f (x0 )) < ε 1.2 Không gian định chuẩn Định nghĩa 1.7 Cho X không gian vectơ trường K (K=R C) Ánh xạ : X → R gọi chuẩn X (i) x ≥ với x ∈ X; (ii) [ x = x = 0; (iii) λ x = |λ | x với x ∈ X với λ ∈ K; Một không gian vectơ với chuẩn (X, ) gọi khơng gian tuyến tính định chuẩn (hay không gian định chuẩn) Định lý 1.2 Cho (X, ) Đặt d(x, y) = x − y ∀x, y ∈ X Khi đó, d metric X Từ định lý suy khơng gian định chuẩn trở thành khơng gian metric (với metric định nghĩa định lý) Do khái niệm tính chất có khơng gian metric có khơng gian định chuẩn Một không gian Banach không gian tuyến tính định chuẩn (X, ) đủ metric tắc xác định d(x, y) = x − y với x, y ∈ X Mệnh đề 1.1 Cho Y không gian không gian Banach X Y không gian Banach Y đóng X Định nghĩa 1.8 Cho p ∈ [1,∞) Không gian ℓnp xác định không gian vectơ K n n – chiều, với chuẩn kí hiệu với x = (x1 , , xn ) ∈ ℓnp n x p = ∑ |xi | p p i=1 Mệnh đề 1.2 (Riesz) Cho X không gian định chuẩn Nếu Y không gian đóng thực X với ε > tồn x ∈ SX := {x ∈ X : x = 1} cho dist(x,Y ) ≥ − ε Định lý 1.3 Cho X không gian định chuẩn X hữu hạn chiều hình cầu đơn vị BX X compact Định nghĩa 1.9 Cho hai không gian tuyến tính X Y trường K (K trường số thực R trường số phức C) Một ánh xạ T : X → Y gọi tuyến tính, ′ ′ ′ (i) ∀x, x ∈ X : T (x + x ) = T x + T x ; (ii) ∀x ∈ X, ∀λ ∈ K : T λ x = λ T x Ta thường gọi ánh xạ tuyến tính tốn tử tuyến tính Khi Y = K tốn tử T thường gọi phiếm hàm tuyến tính Định nghĩa 1.10 Cho X, Y không gian định chuẩn, cho T ánh xạ tuyến tính từ X vào Y T gọi tốn tử tuyến tính bị chặn T (BX ) bị chặn Y Ta xác định chuẩn T là: T = sup { T (x) Y; x ∈ BX } Kí hiệu B(X,Y ) khơng gian tốn tử tuyến tính từ X vào Y Trong trường hợp X = Y , ta đặt B(X) = B(X, X) Định lý 1.4 Cho T : X → Y tốn tử tuyến tính ánh xạ khơng gian định chuẩn X vào khơng gian định chuẩn Y Khi đó, T liên tục T bị chặn Do đó, ta dùng thuật ngữ liên tục bị chặn thay cho nói tốn tử tuyến tính Định lý 1.5 Cho Y không gian không gian Banach X Nếu dim(Y ) = n, tồn phép chiếu P X vào Y cho P ≤ n Định nghĩa 1.11 Cho X, Y không gian Banach T ∈ B(X,Y ) – khơng gian tốn tử tuyến tính liên tục từ T : X → Y Ta định nghĩa toán tử đối ngẫu (hay gọi liên hợp) T ∗ ∈ B(Y ∗ , X ∗ ) với f ∈ Y ∗ , T ∗ ( f ) : x → f (T (x)) Mệnh đề 1.3 Cho A, B tập hợp compact khơng gian Banach X Khi đó, A + B compact Mệnh đề 1.4 B(ℓ2 ) chứa tập đẳng cự với ℓ∞ khơng tách Nếu n > m, T (zm ) ∈ Xm ⊂ Xn−1 yn − T (zn ) ∈ Xn−1 , ta có T (zn ) − T (zm ) ≥ dist(T (zn ), Xn−1 ) = dist(T (zn ) + yn − T (zn ), Xn−1 ) = dist(yn , Xn−1 ) ≥ Ta nhận dãy vô hạn bị chặn {zn } cho T (zn ) − T (zm ) ≥ với m = n, mâu thuẫn với tính compact T (BX ) Từ Định lí 2.2 Mệnh đề 2.8 ta có phát biểu sau Hệ 2.2 Cho không gian Banach X T ∈ κ(X) Thế σ (T) = {0, λ1 , λ2 , }, {λi } tập hợp hữu hạn (có thể rỗng) dãy hội tụ đến không, tạo giá trị riêng khác khơng, λi có khơng gian riêng hữu hạn chiều 2.3 Toán tử tự liên hợp Cho không gian Hilbert H T ∈ B(H) Sử dụng Định lý 1.14, ta thấy tồn toán tử Q ∈ B(H) thỏa mãn (T (x), y) = (x, Q(y)) với x, y ∈ H Định nghĩa 2.8 Cho tốn tử T khơng gian Hilbert H Tốn tử liên hợp T , kí hiệu T ∗ , xác định (T (x), y) = (x, T ∗ (y))với x, y ∈ H Cho không gian Hilbert H, T ∈ B(H) cho T ∗ ∈ B(H) toán tử liên hợp Dễ thấy T ∗∗ = T Lưu ý IH∗ = IH , (λ T )∗ = λ T ∗ , (ST )∗ = T ∗ S∗ , (T + S)∗ = T ∗ + S∗ với T, S ∈ B(H) Tương tự với Tính chất 2.2.1, ta chứng minh tính chất sau 29 Tính chất 2.3.1 Cho khơng gian Hilbert H, T ∈ B(H) λ ∈ σ (T ) λ ∈ σ (T ∗ ) Mệnh đề 2.9 Cho không gian Hilbert H T ∈ B(H) Khi Ker(T ) = T ∗ (H)⊥ Chứng minh Ker(T ) = {x ∈ H : T (x) = 0} = {x ∈ H; (T (x), y) = với y ∈ H} = {x ∈ H : (x, T ∗ (y)) = với y ∈ H} = T ∗ (H)⊥ Đặc biệt, H = Ker(T ) ⊕ T ∗ (H) Định nghĩa 2.9 Cho khơng gian Hilbert H Một tốn tử T ∈ B(H) gọi tự liên hợp hecmit T ∗ = T, tức là, (T (x), y) = (x, T (y)) với x, y ∈ H Nhớ T T ∗ tự liên hợp với T ∈ B(H) Mệnh đề 2.10 Cho H không gian Hilbert phức Với T ∈ B(H), tồn toán tử tự liên hợp T1 , T2 H cho T = T1 + iT2 Ngồi ra, phân tích Chứng minh Đặt T1 = 21 (T + T ∗ ), T2 = − 21 i(T − T ∗ ) Thế T1,2 tự liên hợp T1 + iT2 = T Nếu T1 , T2 toán tử tự liên hợp cho T1 + iT2 = 0, T1 − iT2 = (T1 + iT2 )∗ = Thực cộng trừ phương trình này, ta có T2 = T1 = 0, điều thỏa mãn tính Trong khơng gian Hilbert phức H với T ∈ B(H) ta có 4(T (x), y) = (T (x + y), x + y) − (T (x − y), x − y) + i(T (x + iy), x + iy) − i(T (x − iy), x − iy) 30 Nếu H không gian Hilbert thực T toán tử tự liên hợp H, 4(T (x), y) = (T (x + y), (x + y) − (T (x − y), x − y) Mệnh đề 2.11 Cho H không gian Hilbert phức T ∈ B(H) Nếu (T (x), x) = với x ∈ H, T = Cho H không gian Hilbert thực Nếu T tự liên hợp (T (x), x) = với x ∈ H, T = Chứng minh Bởi đồng phân cực toán tử, ta có (T (x), y) = với x, y ∈ H; đặc biệt, (T (x), T (x)) = với x ∈ H Cho nên T = Ví dụ Cho tốn tử T R2 lấy theo T ((x1 , x2 )) = (−x2 , x1 ) (phép quay theo π/2) Khi (T (x), x) = (−x2 x1 + x1 x2 ) = với x ∈ R2 , Mệnh đề 2.11 khơng tổng qt trường hợp tốn tử khơng tự liên hợp Mệnh đề 2.12 Cho toán tử T không gian Hilbert H Nếu T tự liên hợp, T = sup |(T (x), x)| x∈BH Chứng minh Nếu x ≤ |(T (x), x)| ≤ T (x) x ≤ T x ≤ T Do sup |(T (x), x)| ≤ T Đặt sup |(T (x), x)| = C Ta có |(T (z), z)| ≤ x∈BH x∈BH C z với z ∈ H T (z) z Nếu z ∈ H, z = 0, đặt λ = u = λ1 T (z) Sử dụng kiện (T (λ z), u) số thực đẳng thức hình bình hành, ta có T (z) = (T (λ z), λ1 T (z)) = (T (λ z), u) = 14 [T (λ z + u), λ z + u) − (T (λ z − u), λ z − u)] ≤ 41 C( λ z + u = 21 C(λ z Cho nên, T (z) 2 + λz−u = 12 C( λ z + u 2) + λ12 T (z) ) = C z T (z) ≥ C z với z ∈ H, T ≤ C 31 Bổ đề 2.6 Cho không gian Hilbert H, T ∈ B(H) Nếu T tự liên hợp, (T (x), x) số thực với x ∈ H, giá trị riêng T số thực Chứng minh Cho x ∈ H Thế (T (x), x) = (x, T (x)) = (T (x), x) Nếu λ giá trị riêng T với vectơ riêng x, (T (x), x) = (λ x, x) = λ (x, x), λ = (T (x),x) x thực Mệnh đề 2.13 Cho không gian Hilbert H T ∈ B(H) Nếu T tự liên hợp, T n = T n với n ≥ = sup (T (x), (x)) = sup (T ∗ T (x), x) Chứng minh Ta có T x∈BH x∈BH ≤ T ∗T ≤ T ∗ T = T Do T ∗ T = T T ∗ = T k T 2k 2k k = T2 k −n = T nT ; T n T 2k −n Vì T tự liên hợp, T tử T k tự liên hợp nên ta có T 2k , T = T = T 2k = T Toán với k Nếu ≤ n ≤ ≤ Tn T 2k 2k−n ≤ T Do T n = T n n T 2k −n = Mệnh đề 2.14 Cho toán tử tự liên hợp T không gian Hilbert T cho λ đại lượng vơ hướng Khi λ ∈ σ (T ) inf (λ IH − T )(x) = x∈SH Chứng minh Nếu λ ∈ ρ(T ), (λ IH − T )−1 ∈ B(H) với x ∈ SH ta có = x = (λ IH − T )−1 (λ IH − T )(x) ≤ (λ IH − T )−1 (λ IH − T )(x) Cho nên inf x =1 (λ IH − T )(x) ≥ (λ IH − T )−1 Bây giả sử inf x∈SH −1 (λ IH − T )(x) − C > với C > Thế ta có (λ IH − T )(x) ≥ C x với x ∈ X, λ IH − T phép 32 đẳng cấu vào (Mệnh đề 1.7) Đặc biệt, hạng đóng H Ta chứng tỏ λ IH − T trù mật H, chứng tỏ λ IH − T khả nghịch Ngược lại, giả sử (λ IH − T )(H) khơng trù mật H Khi đó, theo Mệnh đề 1.8 Định lí 1.14, có y0 ∈ H, y0 = 0, cho ((λ IH − T )(x), y0 ) = với x ∈ H Vì ((λ IH − T )(x), y0 ) = (x, (λ IH − T )(y0 )) với x ∈ H T toán tử tự liên hợp, ta có (x, (λ IH −T )(y0 )) = với x ∈ H; (λ IH − T )(y0 ) = y0 = Nghĩa λ giá trị riêng T Vì tất giá trị riêng T thực nên (λ IH − T )(y0 ) = y0 = 0, trái với (λ IH − T )(y0 ) ≥ C y0 Do (λ IH −T )(H) trù mật H Định lý 2.6 Cho toán tử tự liên hợp T không gian Hilbert H Đặt mT = inf (T (x), x) MT = sup (T (x), x) Khi σ (T ) ⊂ [mT , MT ] (khoảng x∈SH x∈SH đóng đường thẳng thực) mT , MT ∈ σ (T ) Chứng minh Đầu tiên, ta chứng tỏ σ (T ) nằm đường thẳng thực Giả sử H không gian Hilbert phức, lấy λ = α + iβ Với x ∈ SH , ta có (λ x − T (x), x) − (x, λ x − T (x)) = (λ − λ )(x, x) = 2iβ ; |β | = |(λ x − T (x), x) − (x, λ x − T (x))| ≤ |(λ x − T (x), x)| + |(x, λ x − T (x))| ≤ λ x − T (x) x + x λ x − T (x) Điều chứng tỏ inf (λ IH − T )(x) ≥ |β ,| λ ∈ σ (T ) kéo theo |β | = x∈SH Mệnh đề 2.14, tức là, λ số thực Xét S = T + µIH , ta có σ (S) = σ (T )+ µ, mS = mT + µ, MS = MT + µ, ta giả sử ≤ mT ≤ MT Vì T = MT theo Mệnh đề 2.12 σ (T ) ⊂ R, ta có σ (T) ⊂ [−MT , MT ] 33 theo Mệnh đề 2.6 Ta chứng tỏ λ = mT − d ∈ / σ (T ) với d > Với x ∈ SH , ta có ((T − λ IH )(x), x) = (T (x), x) − (λ x, x) ≥ mT − λ x Vì |((T − λ IH )(x), x)| ≤ (λ IH − T )(x) inf (λ IH − T )(x) x∈SH = mT − λ = d x = (λ IX − T )(x) , nên ta có ≥ d > Theo Mệnh đề 2.14, λ ∈ / σ (T ) σ (T) ⊂ [mT , MT ] Bây ta chứng tỏ MT ∈ σ (T ) Ta lại sử dụng Mệnh đề 2.13 Cho xn ∈ SH cho (T (xn ), xn ) → MT Ta giả sử ≤ mT ≤ MT ; MT = T , đặc biệt, T (xn ) ≤ MT Sử dụng kiện (T (xn ), xn ) thực, ta có ≤ (MT IH − T )(xn ) = MT2 xn 2 + T (xn ) = MT xn − T (xn ) 2 − 2MT (T (xn ), xn ) ≤ MT2 + MT2 − 2MT (T (xn ), xn ) → Do (MT IH − T )(xn ) → MT ∈ σ (T ) Vì S = T − MT IH , ta có mS ≤ MS = 0, nên |mS | = S ta chứng minh tương tự với mS ∈ σ (S), tức là, mT ∈ σ (T ) Đặc biệt, T ∈ σ (T ) T tự liên hợp Bổ đề 2.7 Cho tốn tử T khơng gian Hilbert H Nếu T tự liên hợp, vectơ riêng tương ứng với giá trị riêng khác trực giao Chứng minh Nếu T (x1 ) = λ x1 T (x2 ) = µx2 với x1 = x2 = 0, λ = µ, (λ , µ thực) (T (x1 ), x2 ) = (λ x1 , x2 ) = λ (x1 , x2 ) (T (x1 ), x2 ) = (x1 , T (x2 )) = (x1 , µx2 ) = µ(x1 , x2 ) Do (λ − µ)(x1 , x2 ) = Vì (λ − µ) = 0, ta có (x1 , x2 ) = Điều không gian riêng tương ứng giá trị riêng khác biệt toán tử tự liên hợp trực giao lẫn Giả sử không 34 gian riêng không gian bất biến với tốn tử cho Cho khơng gian đóng M khơng gian Hilbert H phần bù trực giao M ⊥ H thỏa mãn H = M ⊕ M ⊥ Mệnh đề 2.15 Cho toán tử tự liên hợp T không gian Hilbert H Cho M khơng gian đóng H bất biến T Khi N = M ⊥ bất biến T Kí hiệu T1 = T |M T2 = T |N Thế T1 tốn tử tự liên hợp M, T2 toán tử tự liên hợp N, T (H) = T1 (M) ⊕ T2 (N), σ (T ) = σ (T1 ) ∪ σ (T2 ) Chứng minh Cho y ∈ N Vì M bất biến T , với x ∈ M ta có = (T (x), y) = (x, T (y)) T (y) ∈ N Vì vậy, N bất biến T Vì M N bất biến, hạn chế tốn tử tự liên hợp khơng gian tương ứng Cho λ ∈ σ (T1 ) Theo Mệnh đề 2.14, ta có xn ∈ SM cho λ xn − T1 (xn ) → Cho nên λ xn − T (xn ) → 0, chứng tỏ λ ∈ σ (T1 ) Tương tự, ta chứng tỏ σ (T2 ) ⊂ σ (T ) Giả sử λ ∈ / σ (T1 ) ∪ σ (T2 ) Khi tồn C > cho với x ∈ M với y ∈ N, ta có λ x − T (x) ≥ C x λ y − Ty ≥ C y Ta có z ∈ H z = x + y với x ∈ M y ∈ N Vì λ x − T (x) ∈ M λ y − T (y) ∈ N, ta có λ z − T (z) = λ x − T (x) + λ y − T (y) ≥ C2 ( x + y ) = C2 z Vì vậy, λ ∈ / σ (T ) theo Mệnh đề 2.14 Mệnh đề 2.16 Mọi toán tử compact tự liên hợp khơng gian Hilbert có giá trị riêng Chứng minh Nếu T = 0, giá trị riêng Nếu T = 0, theo Định lý 2.6, T ∈ σ (T ), T = giá trị riêng theo Mệnh đề 2.7 35 Định lý 2.7 ([6]) Cho toán tử tự liên hợp T = không gian Hilbert H vô hạn chiều Thế σ (T ) = {0} ∪ {λi }, λi giá trị riêng thực khác T Tập hợp {λi } bao hàm T hữu hạn dãy đếm hội tụ đến Hơn nữa, không gian H có sở trực giao tạo vectơ riêng tương ứng với giá trị riêng T Chứng minh Vì H vơ hạn chiều T compact, ∈ σ (T ) Lại có T ∈ σ (T ) nên có giá trị riêng khác 0, theo Mệnh đề 2.8 Định lí 2.6 có vơ số giá trị riêng thực đếm T hội tụ đến Cịn phải chứng tỏ ta lập sở trực giao vectơ riêng T Với giá trị riêng λ , kí hiệu Nλ = Ker(λ IH − T ) Ta lập sở trực giao Bλ Nλ Theo Bổ đề 2.7, B = ∪ Bλ tập hợp trực giao H; rõ ràng, span(B) bao hàm vectơ riêng T Nếu span(B) = H, ta xét G = span(B)⊥ Vì khơng gian riêng bất biến T , nên span(B) đó, theo Mệnh đề 2.15, G khơng gian bất biến G Hơn nữa, σ (T ) = σ ( T |span(B) ) + σ ( T |G ) Tuy nhiên, T |G có giá trị riêng, có vectơ riêng v khác Nó vectơ riêng T v ∈ G ∩ span(B), điều mâu thuẫn Điều chứng tỏ span(B) = H; B sở trực giao H Hệ 2.3 Cho tốn tử compact tự liên hợp T khơng gian Hilbert H Khi σ (T ) bao đóng giá trị riêng T Chứng minh Nếu H hữu hạn chiều, λ ∈ σ (T ) giá trị riêng Nếu H vô hạn chiều, có điểm σ (T ) không giá trị riêng Nếu tập hợp giá trị riêng khác đếm được, hội tụ đến Trường hợp cuối tập hợp giá trị riêng khác hữu hạn H vơ hạn chiều Vì khơng gian riêng giá trị riêng khác hữu hạn chiều (Định lý 2.2), nên có khả cho việc vectơ riêng tạo thành sở trực giao là giá trị riêng 36 Định lý 2.8 (Sự phân tích phổ) Cho tốn tử compact tự liên hợp T không gian Hilbert H vơ hạn chiều tách Khi tồn sở trực giao {ei } H cho ei vectơ riêng tương ứng với giá trị riêng thực λi T , với x ∈ H ta có ∞ T (x) = ∑ λi (x, ei ) ei i=1 / σ (T ) x ∈ H, ta có Hơn nữa, với λ ∈ ∞ R(λ )(x) = ∑ i=1 (x, ei ) ei λ − λi Chứng minh Cho {ei } sở trực giao (đếm được) H theo Định lý 2.45 Ta có {ei } sở trực giao, với x ∈ H chuỗi ∑ λi (x, ei )ei hội tụ, m ∑ λi (x, ei )ei i=n m m i=n i=n = ∑ |λi (x, ei )|2 ≤ T ∑ |(x, ei )|2 → n, m → ∞ Ngồi ra, x ≤ 1, với n ∈ N ta có n ∑ λi (x, ei )ei n =∑ i=1 i=1 λi2 |(x, ei )|2 ≤ T n ∑ |(x, ei )|2 i=1 ∞ ≤ T ∑ |(x, ei )|2 = T x i=1 ∞ Do đó, tốn tử G xác định G(x) = ∑ λi (x, ei )ei ∈ B(H) liên i=1 tục Từ T (ei ) = λi ei ta có T (ei ) = G(ei ), theo tính chất tuyến tính liên tục, T = G H Xét λ ∈ ρ(T ) Vì σ (T ) đóng nên tồn δ > cho dist(λ , σ (T )) > δ Khi |λi − λ | ≥ δ với i Cho nên m ∑ i=n (x,ei ) λ −λi ei m |(x,ei )|2 i=n |λ −λi | = ∑ m ≤ δ −2 ∑ |(x, ei )|2 với trực tâm i=n {ei } Do chuỗi hội tụ với x ∈ H, ta xác định toán tử tuyến tính 37 H G(x) = ∑ n ∑ i=1 (x,ei ) λ −λi ei (x, ei ) ei (λ − λi ) Với x ≤ 1, ta có n =∑ i=1 |(x, ei )|2 |λ − λi )|2 n ≤ δ −2 ∑ |(x, ei )|2 i=1 ∞ ≤δ −2 ∑ |(x, ei )|2 = δ −2 x i=1 ≤ δ −2 đặc biệt, G tốn tử tuyến tính bị chặn H Với x = ∑ (x, e j ) e j , ta có T (x) = ∑ λ j (x, e j ) e j (λ IH − T )(x) = ∑ (λ − λ j )(x, e j ) e j ; đó, sử dụng j j (ei , e j ) = δi, j , ta có (λ IH − T )(G(x)) = ∑ (λ − λ j ) j = ∑ (λ − λ j ) i, j (x, ei ) ∑ λ − λi ei , e j ej i (x, ei ) (ei , e j ) e j = ∑ (x, e j )e j = x λ − λi j Tương tự, chứng tỏ G(λ IH − T ) , G = R(λ ) Định nghĩa 2.10 Cho khơng gian Hilbert H, cho T tốn tử H T gọi tắc T T ∗ = T ∗ T T gọi đơn khả nghịch T −1 = T ∗ Rõ ràng, toán tử đơn chuẩn toán tử tự liên hợp chuẩn Mệnh đề 2.17 Cho không gian Hilbert H, T ∈ B(H) T tắc T (x) = T ∗ (x) với x ∈ H Chứng minh Với x ∈ H, ta có T (x) − T ∗ (x) = (T (x), T (x)) − (T ∗ (x), T ∗ (x)) = (T ∗ T (x), x) − (T T ∗ (x), x) = ((T ∗ T − T T ∗ )(x), x) Nếu T tắc, kết cuối với x ∈ H, T (x) = T ∗ (x) với x ∈ H Nếu ((T ∗ T − T T ∗ )(x), x) = 0, 38 T ∗ T − T T ∗ luôn tự liên hợp nên ta có T ∗ T − T T ∗ = theo Mệnh đề 2.12 T tắc Mệnh đề 2.18 Cho khơng gian Hilbert H Nếu T ∈ B(H) lên, mệnh đề sau tương đương (i) T đơn nhất; (ii) T phép đẳng cự; (iii) (T (x), T (y)) = (x, y) với x, y ∈ H Nếu điều kiện (iii) thỏa mãn với tốn tử T ∈ B(H), ta nói T bảo tồn tích Chứng minh Theo đồng phân cực với không gian Hilbert thực phức, chứng tỏ T kết T phép đẳng cự Do đó, (ii) (iii) tương đương Nếu U đơn nhất, (T (x), T (y)) = (T ∗ T (x), y) = (x, y) với (x, y), nên T thỏa mãn (iii) Nếu T thỏa mãn (iii), phép đẳng cự lên, T −1 tồn Theo (iii) (T ∗ T (x), y) = (x, y) với x, y ∈ H; T ∗ T = IX T −1 = T ∗ Ta có P phép chiếu tuyến tính bị chặn khơng gian Banach X P(X), X = P(X) ⊕ Ker(P) Định nghĩa 2.11 Cho không gian Hilbert H P phép chiếu tuyến tính bị chặn H lên P(H) P gọi phép chiếu trực giao Ker(P)⊥P(H) Vì ta ln có Ker(P) ⊕ P(H) = H hai khơng gian đóng, nên P(H) = Ker(P)⊥ Ker(P) = P(H)⊥ tương đương Bổ đề 2.8 Cho không gian Hilbert H x, y ∈ H Nếu x + αy ≥ x với vơ hướng α, (x, y) = Chứng minh Ta có x ≤ x + αy = (x, x) + |α|2 (y, y) + 2Re (α(y, x)) Viết α = r1 eit (y, x) = r2 eiξ Khi |α|2 (y, y)+2Re (α(y, x)) = r12 (y, y)+ 39 2Re(r1 r2 ei(t+ξ ) ) Nếu ta chọn t cho t + ξ = π, 2Re(r1 r2 ei(t+ξ ) ) = −2r1 r2 ta có −2r1 r2 + r12 y ≥ r1 > Thế −2r2 + r1 > với r1 > 0, điều xảy r2 = Do (y, x) = Định lý 2.9 Cho T phép chiếu tuyến tính bị chặn khơng gian Hilbert H P(H) Thế điều sau tương đương (i) P phép chiếu trực giao; (ii) P toán tử tự liên hợp; (iii) P toán tử chuẩn; (iv) (x − P(x), P(x)) = với x ∈ H; (v) P = Chứng minh (i) ⇒ (ii): Dễ thấy từ Ker(P)⊥P(H) x − P(x) ∈ Ker(P) Rõ ràng, (ii) ⇒ (iii) (iii) ⇒ (i): Theo Mệnh đề 2.17, ta có Ker(P) = Ker(P∗ ); lại có Ker(P∗ ) = P(H)⊥ theo Mệnh đề 2.9 Ker(P) = P(H)⊥ (i) ⇒ (iv) : Nếu P(H) Ker(P) không gian bù trực giao H, x = y + z với y ∈ P(H) z ∈ Ker(P) Khi P(x) = y (x − P(x), P(x)) = (z, y) = (iv) ⇒ (i): Với y ∈ P(H) z ∈ Ker(P), tập hợp x = y + z Thế P(x) = y, x − P(x) = z, ta có (z, y) = (x − P(x), P(x)) = 0; tức y⊥z Vì vậy, Ker(P)⊥P(H) (i) ⇒ (v): Có x ∈ H x = y + z, y ∈ P(H), z ∈ Ker(P) Thế y⊥z, nên P(x) = y ≤ y + z = y + z Cho nên P ≤ Vì P(x) = y với x ∈ P(X), ta có P ≥ Do P = (v) ⇒ (i): x = y + z với y ∈ P(H), z ∈ Ker(P) Cho α vô hướng tùy ý Thế y = P(y + αz) ≤ y + αz Theo Bổ đề 2.8, ta có (y, z) = 0, Ker(P)⊥P(H) Định lý 2.10 (Sự phân tích Phổ) Cho H khơng gian Hilbert phức vô hạn 40 chiều tách Nếu T tốn tử compact chuẩn H, tồn sở trực giao {ei } của H, ei vectơ riêng tương ứng giá trị riêng λi T , cho với x ∈ H ta có T (x) = ∑ λi (x, ei )ei i Đặc biệt, {λn } kí hiệu tập hợp tất giá trị riêng khác biệt T , Pn phép chiếu trực giao H không gian riêng Ker(λn IH −T ), T = ∑ λn Pn , tổng hội tụ B(H) n Chứng minh Xét toán tử tự liên hợp U = T T ∗ = T ∗ T Theo Định lý 2.7, có khơng gian riêng (trực giao đơi một) Hn tương ứng giá trị riêng phân biệt λn U cho H = span (∪ Hn ) ; đặc biệt, sở trực giao Hn (được tạo vectơ riêng U) vào dãy tạo nên sở trực giao H Ta địi hỏi Hn khơng gian bất biến T Vì UT = T T ∗ T = T T T ∗ = TU, với h ∈ Hn ta có (λn IH −U) (T (h)) = T (λn IH −U) (h) = 0; tức là, T (h) ∈ Ker(λn IH −U) = Hn Mỗi Hn có sở trực giao tạo vectơ riêng T Thật vậy, λ = 0, U = Hn T (x) = (T (x), T (x)) = (T ∗ T (x), x) = (U(x), x) = 0; tức T = Hn Do Do đó, vectơ khác Hn vectơ riêng Nếu λn = 0, Hn khơng gian vectơ phức hữu hạn chiều tồn sở từ đại số tuyến tính điều cho thấy T |Hn tắc Tập hợp tất sở Hn ta sở trực giao H Sự hội tụ ∑ λi (x, ei )ei chứng minh Định lý 2.8, tương tự chứng minh ∑ λn Pn hội tụ đến T n 41 KẾT LUẬN Trong trình tìm hiểu, nghiên cứu khóa luận, em bước đầu làm quen với cách thức làm việc khoa học, hiệu Qua em củng cố thêm kiến thức Giải tích học, đồng thời thấy phong phú, lí thú tốn học Đặc biệt khóa luận em nghiên cứu cách có hệ thống kĩ vấn đề tốn tử compact khơng gian Banach Để hồn thành tốt khóa luận tốt nghiệp em xin trân trọng cảm ơn thầy cô tổ Giải tích, thầy khoa Tốn Tuy nhiên thời gian có hạn trình độ cịn hạn chế nên khóa luận em khơng tránh khỏi thiếu sót Em mong đóng góp ý kiến thầy bạn sinh viên Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 05 năm 2013 Sinh viên Nguyễn Thị Hồng Uyển 42 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Nguyễn Phụ Hy (2006), Giải tích hàm, Nxb Khoa học Kỹ thuật [2] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải (2004), Bài tập giải tích hàm, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Hoàng Tụy (2000), Hàm thực giải tích hàm, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội [B] Tài liệu tiếng Anh [4] B Bollobas (1990), Linear Analysis: An Introductory Course, Cambridge Mathematics Textbooks, Cambridge University Cambridge, UK [5] G J Murphy (1996), C* - algebras and Operator Theory, Academic Press, New York [6] M Fabian, P Habala, P Hajek, V Montesinos Santalucia, J Pelant, V Zizler,(2001), Functional Analysis and Infinite Dimensional Geometry [7] W Rudin (1966), Real and Complex Analysis, New York 43 ... Cho không gian metric M = (X, d) Không gian M gọi không gian compact, tập X tập compact M Định lý 1.1 (Azela - Ascoli) Cho X không gian metric compact Y không gian metric Khi tập hợp F C(X,Y ) compact. .. Bởi vậy, T toán tử compact Chú ý X vơ hạn chiều, khơng có phép đẳng cấu từ X vào Y toán tử compact theo Định lý 1.3 Đặc biệt, toán tử đồng IX không gian Banach vô hạn chiều X không compact Bổ... ) compact Khơng phải khơng gian có tính chất Vì khơng gian tốn tử compact đóng nên ta có F(X,Y ) ⊂ κ(X,Y ) với X, Y không gian Banach Không gian Banach Y gọi có tính chất xấp xỉ (A.P) khơng gian