Luận văn sư phạm Toán tử chiếu trong không gian Hilbert

LỜI NĨI ĐẦU Lí chọn đề tài Giải tích ngành tốn học xây dựng vào nửa kỷ XX đến xem ngành tốn học cổ điển Trong q trình phát triển, giải tích tích lũy nội dung phong phú phương pháp kết mẫu mực,tổng quát Giải tích hàm xâm nhập vào tất ngành Tốn học có liên quan sử dụng đến cơng cụ Giải tích khơng gian véctơ Chính điều mở phạm vi nghiên cứu rộng lớn cho ngành Toán học Với lí định hướng thầy hướng dẫn em chọn đề tài “Tốn tử chiếu khơng gian Hilbert” khóa luận tốt nghiệp Đại học Khóa luận chia làm hai chương: Trong chương đưa kiến thức tập lồi, tập lồi đóng, tập lồi đa diện;không gian định chuẩn; không gian Hilbert; hội tụ yếu dãy khơng gian Hilbert; tốn tử tuyến tính Trong chương 2, phần đầu chúng tơi đưa định lý hình chiếu lên khơng gian đóng, chúng tơi trình bày nội dung khóa luận, tốn tử chiếu khơng gian Hilbert phép chiếu tốn tử tuyến tính lên số tập hợp đặc biệt Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu khơng gian Hilbert, tốn tử chiếu không gian Hilbert Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu tốn tử chiếu khơng gian Hilbert Đối tượng, phạm vi nghiên cứu Giải tích hàm Phương pháp nghiên cứu Phân tích, so sánh, tổng hợp, đánh giá Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Tập lồi, tập lồi đóng, tập lồi đa diện Định nghĩa(tập lồi): Giả sử X không gian tuyến tính, ฀ tập số thực.Tập A  X gọi lồi, nếu: x1 , x2  A,   R :      x1  (1   ) x2  A Định nghĩa (tập lồi đóng): Một tập lồi đồng thời tập đóng gọi tập lồi đóng Định nghĩa (hàm lồi): cho E không gian véctơtrên ฀ Một hàm  : E    ,   gọi hàm lồi   tu  1  t  v   t  u   1  t   v  , u, v  E, t  0;1 Định nghĩa (tập lồi đa diện): Tập M  ฀ k gọi tập lồi đa diện M biểu diễn dạng giao số hữu hạn nửa khơng gian đóng ฀ k Định nghĩa (tập affine) Tập A  ฀ n gọi tập affine, 1    x   y  A  x, y  A,  ฀  Nhận xét: Nếu A tập affine, với a฀ n , A  a   x  a : x  A tập affine 1.2 Không gian định chuẩn Định nghĩa 1.2.1 Cho X không gian véctơ trường K (thực phức) Một hàm thực : X  ฀ , x  x gọi chuẩn X thỏa mãn tiên đề sau: 1) x  0, x  X x   x   (phần tử không); 2)  x   x ,   K , x  X ; 3) x  y  x  y , x, y  X Với x  X , số x gọi chuẩn véctơ x Định nghĩa 1.2.2 Giả sử X không gian véctơ trường K , chuẩn X Khi cặp  X ,  gọi không gian định chuẩn  X ,  không gian định chuẩn thực hay phức K trường thực hay phức Ví dụ Khơng gian ฀ với chuẩn: x  x i 1 i , x   x1 , x2 , x3   ฀ không gian định chuẩn Định nghĩa1.2 Dãy điểm  xn  không gian định chuẩn X hội tụ đến điểm x  X lim xn  x  n Kí hiệu: lim xn  x hay xn  x n   n  Dãy  xn  không gian định chuẩn  X ,  gọi dãy ( hay dãy Cauchy) lim xn  xm  n , m  Không gian định chuẩn X không gian Banach dãy hội tụ Ví dụ Ca ,b tập hàm liên tục  a, b  Ca ,b không gian Banach với chuẩn: x  max x  t  , x  x  t   Ca ,b t a ,b  1.3 Khơng gian Hilbert 1.3.1.Định nghĩa tích vơ hướng Cho X không gian véctơ trường K (thực phức).Ánh xạ g: X  X  K , ( x, y )  g ( x, y ) gọi tích vơ hướng X thỏa mãn tiên đề sau: 1) g ( x, y)  g ( x, y), x, y  X ; 2) g ( x  y, z )  g ( x, z )  g ( y, z ), x, y, z  X ; 3) g ( x, y)   g ( x, y), x, y  X ,   K ; 4) g ( x, x)  0, x  X ; g ( x, x)   x   Khi phiếm hàmgđược gọi tích vơ hướng hai phần tử x, y Kí hiệu: x, y  x, y  Ví dụ X  ฀ n , x  ( x1 , x2 , , xn ); y  ( y1 , y2 , , yn )  ฀ n , n x, y  x1 y1  x2 y2   xn yn   xi yi i 1 Là tích vơ hướng ฀ n Một số tính chất bản: x  X , x ,  0; x, y  X ,   K , x,  y   x, y ; x, y , z  X , x, y  z  x , y  x, z 1.3.2.Bất đẳng thức Schwartz Giả sử , tích vơ hướng X đó: x, y  x, x y , y  x, y  X Dấu “=” xảy {x,y} phụ thuộc tuyến tính 1.3.3.Định nghĩa khơng gian Hilbert Giả sử , tích vơ hướng X Khi đó: x  x, x , x  X xác định chuẩn X gọi chuẩn sinh tích vơ hướng Định nghĩa (Khơng gian Hilbert) Ta gọi tập H   gồm phần tử x,y,z,… không gian Hilbert, tập H thỏa mãn điều kiện: H khơng gian tuyến tính trường P ; H trang bị tích vơ hướng , ; H khơng gian Banach với chuẩn x   x, x  , x  H Nếu K  ฀ (hoặc ฀ ) khơng Hilbert tương ứng khơng gian thực (hoặc phức) Ví dụ X  ฀ n với tích vô hướng: n x, y   xi yi , x   x1 , x2 , , xn  , y   y1 , y2 , , yn   R n i 1 chuẩn x  n x i i 1 ฀ n với tích vơ hướng khơng gian Hilbert Khơng gian l2 với tích vơ hướng cho  x, y   xn yn n 1 chuẩn x   x n 1 n l2 không gian Hilbert Định nghĩa (Không gian khơng gian Hilbert) Mọi khơng gian véctơ đóng không gian Hilbert gọi không gian Hilbert 1.3.4 Tính trực giao 1.3.4.1 Định nghĩa 1.3.4.1 Cho H khơng gian Hilbert Ta nói hai phần tử x, y  H trực giao x, y  Kí hiệu: x  y Nếu A  H , A  , x  H Ta nói x trực giao với A x trục giao với phần tử A.Kí hiệu: x  A Vậy x  A  x  y, y  A 1.3.4.2 Tính chất x  y, y  H  X     H Nếu x  A , A  {y1 , y2 , , yn }  H x trực giao với tổ hợp tuyến tính phần tử A Kí hiệu: x  span ( A) Giả sử x  xn , n  dãy xn hội tụ đến y n  x  y A trù mật khắp nơi H , x  A  x   1.3.4.3 Định lý Pythagore Nếu véctơ x1 , x2 , , xn đôi trực giao n  xi i 1 n   xi i 1 n ฀ * 1.3.4.4 Đẳng thức hình bình hành Cho H khơng gian Hilbert, x, y  H ta có 2  x y  x y 2 x  y  1.3.4.5 Định lý Chuỗi  x n 1 phần tử đôi trực giao không gian n Hilbert H hội tụ chuỗi  x n1 n hội tụ 1.3.4.6 Định nghĩa 1.3.4.2 Cho H không gian Hilbert, E không gian véctơ H tập hợp F  H phần tử trực giao với E gọi phần bù trực giao E H Kí hiệu: E  Ta chứng minh dược F khơng gian đóng H H có biểu diễn:Nếu E phần bù trực giao F F phần bù trực giao E ta có tổng trực giao H  E  F 1.3.5 Các định lý liên quan 1.3.5.1 Bất đẳng thức Bessel Định nghĩa 1.3.5.1.1 Cho không gian Hilbert H Một hệ thống gồm hữu hạn hay đếm phần tử  en n 1  H gọi hệ trực chuẩn nếu: 1 ei , e j   ij   0 i  j i  j Định lý (bất đẳng thức Bessel) Nếu  en n 1 hệ trực chuẩn khơng gian Hilbert H x  H ta có bất dẳng thức:  n1 x, en 2  x (Bất đẳng thức Bessel) Định nghĩa 1.3.5.1.2 Tích vơ hướng x, en , n  ta gọi hệ số Fourier phần tử x hệ trực chuẩn  en n1 Nhận xét: Từ bất đẳng thức Bessel ta suy chuỗi  n 1 x, en hội tụ Do chuỗi  x, en en hội tụ không gian Hilbert H (vì chuỗi gồm n 1 phần tử đôi trực giao hội tụ tuyệt đối hội tụ) Chuỗi gọi khai triển Fourier phần tử x  H theo hệ trực chuẩn  en n1 1.3.5.2: Đẳng thức Parseval Định nghĩa Hệ trực chuẩn  en n 1 không gian Hilbert gọi sở trực chuẩn H không tồn véctơ khác không trực giao với hệ Định lý Cho  en n1 hệ trực chuẩn không gian Hilbert H Khi mệnh đề sau tương đương: a) Hệ e  n n 1 sở trực chuẩn H b) Mọi x  H có biểu diễn x   x, en en ; n 1 c) x, y  H , x, y   x, en en , y   x, en y, en ; n 1 n1 (đẳng thức Parseval) d) x  H , x   x, en n1 - phương trình đóng e) Bao tuyến tính hệ  en  n1 trù mật khắp nơi H (nghĩa tập tất tổ hợp tuyến tính số hữu hạn phần tử thuộc hệ  en  n1 trù mật khắp nơi không gian H ) 10 Định lý Riesz áp dụng định lý hình chiếu lên khơng gian đóng khơng gian Hilbert 1.3.5.3 Định lý F.Riesz (dạng tổng quát phiếm hàm tuyến tính liên tục) Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục khơng gian hilbert H biểu diễn dạng: f ( x )  x , a , x  H Với a phần tử thuộc H xác định theo f f  a Chú ý: Nhờ định lý ta đồng H * với H hay không gian Hilbert không gian tự liên hợp Vậy không gian Hilbet không gian phản xạ H  H *  H ** 1.4 Sự hội tụ yếu dãy không gian Hilbert 1.4.1 Định nghĩa Cho không gian Hilbert H Dãy điểm  xn   H gọi hội tụ yếu y tới điểm x  H , kí hiệu xn   x , với y  H ta có: lim xn , y  x, y n  Ta có nhận xét, dãy điểm  xn   H hội tụ tới điểm x  H theo chuẩn H (còn gọi hội tụ mạnh), nghĩa lim xn  x  , dãy n  điểm  xn  hội tụ yếu tới điểm x  H Điều suy từ hệ thức: xn , y  x, y  xn  x, y  xn  x y , y  H Tuy nhiên điều ngược lại nói chung khơng Chẳng hạn, khơng gian Hilbert H có hệ trực chuẩn vơ hạn  en  , theo bất đẳng thức Bessel, với phần tử y  H ta có:   n 1 y, en 11 n  y , nên lim en , y  0, y  H n  Do dãy  en  hội tụ yếu tới phần tử  Nhưng hiển nhiên dãy  e  không hội tụ mạnh tới phần tử , n en  em  (n  m) 1.4.2 Định lý 1.4.2 Cho không gian Hilbert H , dãy điểm  xn   H hội tụ yếu tới điểm x  H lim xn  x lim xn  x  n  n  Chứng minh 2 xn  x  xn  x, xn  x  xn  xn , x  x, xn  x Từ từ giả thuyết suy  lim xn  xn , x  x, xn  x n   x 2  x , x  x, x  x  Vì lim xn  x  n  Định lý chứng minh 1.4.3 Định lý 1.4.3 Cho không gian Hilbert H Dãy điểm  xn   H hội tụ yếu dãy thỏa mãn điều kiện: 1) Dãy điểm  xn  bị chặn theo chuẩn không gian H ; 2) Dãy số  xn , y  , n  1, 2,  hội tụ với y thuộc tập trù mật khắp nơi không gian H 12 P1 P2  ( P1 P2 )*  P2* P1* Vậy P1 P2 giao hoán với Ngược lại, P1 P2 giao hốn với nhau, PP tự liên hợp,  PP 2  PP PP  P1 PP P2  PP Do đó, PP toán tử chiếu (định lý 2.4.1) b)  a) Nếu P1 P2 giao hốn với nhau, đẳng thức (2.2) chứng tỏ P1' P2' giao hoán với Lấy x  H tuỳ ý, y  P1' P2 ' x  P1' ( P2 ' x )  N1 , y  P2 ' P1' x  P2 ' ( P1' x )  N Vậy y  N1  N  0 Do P1' P2 '  theo định lý 2.3.2 N1  N Cuối cùng, để ý c) đúng, tức P1P2  P P1  P2  P1 P2  P1  P2  P  P1'  P2 '  P  P1  P2 '  P1'  P2 Vì ta có ii) Ví dụ Giả sử H không gian Hilbert khả ly vô hạn chiều en ; n  1,  sở trực chuẩn đếm H Với n  1,2 toán tử Pn H , xác định công thức: n Pn x    x, ei  ei i 1 Rõ ràng toán tử chiếu H lên không gian n-chiều H gây nên véctơ e1 , e2 , , en Do P1  P2   Pn  I Và dãy toán tử chiếu  Pn ; n  1, 2,  hội tụ đơn giản đến I  lim Pn x    x, ei  ei ( x  X ) n  i 1 29 Tuy nhiên với m, n, m  n chẳng hạn n  m  p ( p nguyên dương), ta có Pn em 1  Pm em 1  Pn em 1  em 1  Do Pn  Pm  với n  m nên dãy tốn tử ( Pn ) khơng hội tụ theo chuẩn Ta gọi prox f : H  H toán tử lân cận toán tử ánh xạ f , ta có mệnh đề sau 2.4.5 Mệnh đề 2.4.5 Giả sử u véctơ khác véctơ không H ,lấy   T0  ฀  , đặt g    , u  x  H ta có Pr oxg x  x  Pr ox u  x, u  x, u u u Chú ý: Hàm C  X hàm 0 neá u x  C   neá u x  C C : X   ,   : x   2.5 Phép chiếu lên không gian đặc biệt khơng gian Hilbert 2.5.1 Phép chiếu lên tập lồi đóng Bổ đề 2.5.1 Lấy E không gian Banach phản xạ A  E   tập lồi đóng Nếu hàm  : A   ;   lồi, liên tục cho  ( x)   lim   x    (khơng có giả thiết A bị chặn  đạt x A , x  A Định lý (hình chiếu lên tập lồi đóng) Cho K  H tập lồi đóng, khác rỗng Khi với f  H tồn phần tử u  K cho 30 f  u  f  v =dist  f , K  (2.1) vK Với dist  f , K  khoảng cách từ f xuống K u đặc trưng tính chất:  f  u , v  u   0, v  K (2.2) uK Nhận xét: Phần tử u gọi hình chiếu f lên K kí hiệu u  PK f Chứng minh a) Sự tồn Hàm   v   f  v lồi, liên tục lim   v    Theo bổ đề v   đạt giá trị nhỏ K H khơng gian phản xạ b) Chứng minh (2.1) tương đương (2.2) Giả sử u  K thỏa mãn (2.1) w  K Ta có v  1  t  u  tw, t   0;1 f  u  f  1  t  u  tw    f  u   t  w  u  Nên f  u  f  u  2t  f  u, w  u   t w  u 2 Từ suy  f  u,w  u   t w  u , t   0,1 Cho t  ta thu (2.2) Giả sử có phần tử u thỏa mãn (2.2) ta có u  f  v  f   f  u, v  u   u  v  0, v  K 2 kéo theo (2.1) c) Sự Giả sử có u1 , u thỏa mãn (2.2) Ta có: 31 f  u1 , v  u1   0, v  K , (2.3) f  u , v  u   0, v  K , (2.4) Trong (2.3) ta chọn v  u2 (2.4) ta chọn v  u1 cộng bất đẳng thức tương ứng ta u1  u2  Chứng tỏ u1  u Mệnh đề 2.5.1 Giả sử K  H tập lồi đóng khác rỗng, PK khơng tăng khoảng cách nghĩa là: PK f1  PK f  f1  f , f1 , f  H Chứng minh Đặt u1  PK f1 Ta có f  u1 , v  u1   0, v  K , (2.5) f  u , v  u   0, v  K , (2.6) Trong (2.3) ta chọn v  u2 (2.4) ta chọn v  u1 cộng bất đẳng thức tương ứng ta u1  u2   f1  f , u1  u2  Từ suy u1  u  f1  f Vậy PK f1  PK f  f1  f , f1 , f  H Hệ 2.5.1 Giả sử M  H khơng gian tuyến tính đóng, f  H u  PM f đặc trưng u  M f  u , v   0, v  M Hơn PM toán tử tuyến tính gọi phép chiếu trực giao Định lý (định lý biểu diễn Riesz-Fréchet) Với   H * tồn f  H cho 32  , u    f , u  , u  H f   H* Chứng minh Xét ánh xạ T : H  H * Xác định sau: với f thuộc H , ánh xạ u   f , u  phiếm hàm tuyến tính liên tục H Nó phần tử H * ,ta kí hiệu phần tử Tf Tf , u    f , u  , Rõ ràng Tf H* u  H  f Do T tuyến tính đẳng cự từ H lên T  H  -một khơng gian đóng H * Để kết thúc chứng minh ta cần chứng minh T  H  trù mật H * Giả sử h hàm tuyến tính H * triệt tiêu T H  Khi H phản xạ nên h H thỏa mãn Tf , h   0, f  H nên chứng tỏ  f , h   0, f  H , suy h  2.5.2 Phép chiếu lên không gian Affine Bổ đề 2.5.2.1 Cho e  i iI hệ trực chuẩn hữu hạn H , lấy V  span ei iI x  H Khi PV x   x, ei ei iI Bổ đề 2.5.2.2 Cho  Cn n฀ …của H cho  n  ฀  Cn  Cn 1 , đặt C   n฀ Cn lấy x  H Khi PC x  PC x n Định lý 2.5.2.1 Cho C khơng gian Affine đóng H Khi ta có: i)  x  H  y  C  x  PC x, y  z  ii)  x  H  y  C  x  PC x  x  y, x  PC x 33 Chứng minh i) Lấy y, z  C ta có PC x  y  PC x  )(1  2) y  C  y  PC x, x  PC x   y  PC x, x  PC x   2PC x  y   PC x, x  PC x  suy y  PC x, x  PC x  Vậy y  z , x  PC x  ii) x  H y  C Từ i) ta x  PC x  x  PC x,  x  y    y  PC x   x  PC x, x  y Định lý 2.5.2.2 Cho ei iI hệ trực chuẩn đếm không gian H tập C  span ei iI Khi  x  H  PC x   x, ei ei iI Chứng minh Nếu I hữu hạn,từ C  span ei iI theo bổ đề 2.5.2.1 ta kết cần chứng minh Nếu I khơng hữu hạn ta lấy hữu hạn ,cùng bổ đề 2.5.2.2 ta có điều phải chứng minh Định lý 2.5.2.3 Cho I tập hữu hạn thứ tự toàn phần, lấy i iI tập số thực (0,1] cho  i  1, cho H không gian iI Hilbert thực thu cách lấy tích Đềcác iI H với cấu trúc khơng gian véctơ thơng thường tích vơ hướng  x, y     iI 34 i xi , yi , x   xi iI , y   yi iI  H Đặt D   xi iI | x  H  , lấy x  H p   i xi Khi PD x   p iI iI Chứng minh Đặt p   p iI , lấy y  H đặt y   yi iI Rõ ràng p  D y  H D khơng gian tuyến tính đóng H Hơn x  p, y   i xi  p, y   i xi  p, y  iI iI Do p  PD x Ví dụ Giả sử u véctơ khác véctơ không H , lấy   ฀ tập C   x  H | x, u    x  H  PC x  x    x, u u u Chứng minh Đặt    mệnh đề (2.4.5) ta điều cần chứng minh 2.5.3 Phép chiếu tập lồi đa diện đặc biệt Trong hai ví dụ sau chúng tơi đưa biểu diễn phép chiếu lên nửa không gian siêu phẳng tương ứng Ví dụ Cho u  H ,  ฀ đặt C   x  H | x, u   Khi ta có mệnh đề sau: i) u    , trường hợp C  H , PC  Id ii) u    trường hợp C   iii) u  trường hợp C   35 x neá u   x  H  PC x   x    x, u u neáu  u  x, u   x,u   Chứng minh i) ii) hiển nhiên iii): Đặt   ;  mệnh đề (2.4.5) ta điều cần chứng minh Ví dụ2 Cho u  H , 1 ,  ฀ tập C   x  H | 1  x, u  2 Khi ta có mệnh đề sau: i) u  0, 1    trường hợp C  H , PC  Id ii) u  1    trường hợp C   iii) u  1  2 trường hợp C   iv) u  trường hợp C     nêu 1  x, u   ; x    x, u  x  H  PC x   x  u nêu x, u  1; u     x, u x  u nêu x, u   2  u Chứng minh i),ii),iii) hiển nhiên iv) Đặt    ,  ta điều cần chứng minh 36 Tiếp theo thường chiếu lên tương ứng hai nửa không gian giới hạn đường biên Định lý Cho u1 , u  H ; 1 ,  ฀ Giả sử u1 2 u  u1 , u 2 ; u , u  phụ thuộc tuyến tính đặt C   x  H | x, u1  1   x  H | x, u2  2  Ta có trường hợp sau: i) u1  u   1 ,  Khi C  H , PC  Id ii) u1  u  1 ,   Khi C   iii) u1  0, u2    Khi C   x  H | x, u1  1 x   x  H  PC x   1  x, u1 u x  u  nÕu x, u1   ; nÕu x, u1  1 iv) u1  0, u2  2  Khi C   v) u  0, u1   1 Khi C   x  H | x, u2  2  nÕu x   x  H  PC x   2  x, u2 u nÕu x  u  x, u   ; x, u   vi) u2  0, u1  1  Khi C   vii) u  0, u1  u1 , u2  Khi u  u2 u1  =min 1 u2 ,2 u1  37 C   x  H | x, u    x   x  H  PC x     x, u u x  u  nÕu x, u   nÕu x, u   viii) u2  0, u1  u1 , u2  1 u2  2 u1  Khi C   ix) u  0, u1  u1 , u  1 u   u1  Khi C   x  H |  x, u    u  u u1 ,    u1   1 u   nÕu   x, u   x    x, u  x  H  PC x   x  u nÕu x, u   u     x, u x  u nÕu x, u   2  u Chứng minh i), ii), iv), vi): hiển nhiên iii) v) theo ví dụ iii) vii) Từ u1 u2 phụ thuộc tuyến tính u1 , u  ta có u u1  u1 u Đặt u  u u1 ta có x , u1  1  u x , u1  1 u  x, u   1 u Tương tự x, u    x, u    u1 , suy x  C  x, u   cơng thức PC theo ví dụ viii) ix): Đặt u  u u1   u1 u ,    u1 ,   1 u Khi x, u1  1  u x , u1  1 u  x , u    x, u2  2  u1 x, u2  2 u1  2 u1  x,  u1 u2    x, u Từ x  C ,   x, u   kết ví dụ iii) iv) 38 KẾT LUẬN Chính lẽ việc nghiên cứu, sâu tìm hiểu vấn đề toán học, ứng dụng chúng vào ngành khoa học khác thực tiễn việc làm thiết thực cần thiết Khoá luận phần khái quát kiến thức toán tử chiếu Đồng thời sâu tìm hiểu tốn tử chiếu số tập hợp đặc biệt khơng gian Hilbert Vấn đề cịn nhiều điều bổ ích lí thú kinh nghiệm thân thời gian nghiên cứu hạn chế nên khố luận cịn nhiều thiếu sót cần bổ sung góp ý Em mong nhận bảo tận tình đóng góp ý kiến thầy cô bạn Bước đầu nghiên cứu khoa học, thời gian nghiên cứu cịn hạn chế em khó tránh khỏi thiếu sót định Em mong nhận đóng góp, bảo thầy cô giáo, bạn để khố luận hồn thiện Một lần em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy khoa Tốn, thầy tổ Giải tích tạo điều kiện để em thực khoá luận Đặc biệt em xin chân thành cảm ơn Thày Phùng Đức Thắng tận tình giúp đỡ em hồn thành khố luận 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO PGS TS Nguyễn Phụ Huy; Giải tích hàm, NXB khoa Học Kĩ Thuật PGS TS Đỗ Đăng Lưu, Phan Huy Khải; Giải tích lồi, NXB Khoa Học Kỹ Thuật GS Hoàng Tụy; Hàm thực giải tích hàm, NXB đại học Quốc Gia Hà Nội Heinz H.Bauschke, Patrick L.Combettes; Convex Analysis and Monotone Operator Theory in Hilbert Spaces, 2010 Lokenath Debnath – Piotr Mikusinski, Introduction to Hilbert spaces with Applications – Academic Press, 2005 40 LỜI CẢM ƠN Khoá luận em hoàn thành giúp đỡ thầy tổ Giải tích - khoa Toán trường đại học sư phạm Hà Nội Cho phép em bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy tổ giải tích, đặc biệt Th.s Phùng Đức Thắng, người trực tiếp hướng dẫn em trình thu thập tài liệu, nghiên cứu để em hồn thành khố luận Bước đầu nghiên cứu khoa học, thời gian nghiên cứu hạn chế em khó tránh khỏi thiếu sót định Em mong nhận đóng góp, bảo thầy giáo, bạn để khố luận hoàn thiện Hà Nội, tháng năm 2013 Tác giả Nguyễn Thị Thủy LỜI CAM ĐOAN Khoá luận “Tốn tử chiếu khơng gian Hilbert” hồn thành giúp đỡ, hướng dẫn Th.s Phùng Đức Thắng cố gắng nghiên cứu, tìm tịi, học tập thân Trong trình nghiên cứu thực khố luận em có kế thừa kết kết tác giả với lịng biết ơn trân trọng Tơi xin cam đoan kết khoá luận tốt nghiệp kết nghiên cứu thân không trùng với kết tác giả khác Hà Nội, tháng năm 2013 Tác giả Nguyễn Thị Thủy MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Tập lồi, tập lồi đóng, tập lồi đa diện 1.2 Không gian định chuẩn 1.3 Không gian Hilbert 1.4 Sự hội tụ yếu dãy không gian Hilbert 11 1.5 Tốn tử tuyến tính 13 1.5.1 Định nghĩa 13 1.5.2 Ví dụ 13 1.5.3 Phiếm hàm song tuyến tính 14 1.5.4 Một số tốn tử tuyến tính khơng gian Hilbert 14 CHƯƠNG TỐN TỬ CHIẾU TRONG KHƠNG GIAN HILBERT.20 2.1 Định lý hình chiếu lên khơng gian đóng khơng gian Hilbert 20 2.2 Toán tử chiếu 21 2.3 Ví dụ 22 2.4 Tính chất phép tốn tốn tử chiếu 24 2.5 Phép chiếu lên tập hợp đặc biệt không gian Hilbert 30 2.5.1 Phép chiếu lên tập lồi đóng 30 2.5.2 Phép chiếu lên không gian Affine 33 2.5.3 Phép chiếu lên khối đa diện đặc biệt 35 KẾT LUẬN 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO 40 ... số tốn tử tuyến tính khơng gian Hilbert 14 CHƯƠNG TOÁN TỬ CHIẾU TRONG KHƠNG GIAN HILBERT. 20 2.1 Định lý hình chiếu lên khơng gian đóng khơng gian Hilbert 20 2.2 Toán tử chiếu ...  A  B, n  ฀ 1.5.4.6 Toán tử compact Toán tử c lớp toán tử quan trong số toán tử bị chặn 18 Định nghĩa (Tốn tử compact) Một tốn tử A khơng gian Hilbert H gọi toán tử compact với dãy bị chặn... tụ 19 Chương TOÁN TỬ CHIẾU TRÊN KHƠNG GIAN HILBERT 2.1 Định lý (về hình chiếu lên khơng gian đóng khơng gian Hilbert) Giả sử H khơng gian đóng khơng gian Hilbert H Khi với phần tử x H biểu diễn