Toán tử chiếu trong không gian Hilbert

LỜI NĨI ĐẦU Lí chọn đề tài Giải tích ngành tốn học xây dựng vào nửa kỷ XX đến xem ngành tốn học cổ điển Trong q trình phát triển, giải tích tích lũy nội dung phong phú phương pháp kết mẫu mực,tổng quát Giải tích hàm xâm nhập vào tất ngành Tốn học có liên quan sử dụng đến cơng cụ Giải tích khơng gian véctơ Chính điều mở phạm vi nghiên cứu rộng lớn cho ngành Toán học Với lí định hướng thầy hướng dẫn em chọn đề tài “Tốn tử chiếu khơng gian Hilbert” khóa luận tốt nghiệp Đại học Khóa luận chia làm hai chương: Trong chương đưa kiến thức tập lồi, tập lồi đóng, tập lồi đa diện;không gian định chuẩn; không gian Hilbert; hội tụ yếu dãy khơng gian Hilbert; tốn tử tuyến tính Trong chương 2, phần đầu chúng tơi đưa định lý hình chiếu lên khơng gian đóng, chúng tơi trình bày nội dung khóa luận, tốn tử chiếu khơng gian Hilbert phép chiếu tốn tử tuyến tính lên số tập hợp đặc biệt Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu khơng gian Hilbert, tốn tử chiếu không gian Hilbert Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu tốn tử chiếu khơng gian Hilbert Đối tượng, phạm vi nghiên cứu Giải tích hàm Phương pháp nghiên cứu Phân tích, so sánh, tổng hợp, đánh giá Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Tập lồi, tập lồi đóng, tập lồi đa diện Định nghĩa(tập lồi): Giả sử X không gian tuyến tính, □ tập số thực.Tập A  X gọi lồi, nếu: x , 2x  A,  R :      x  (1   ) x  A Định nghĩa (tập lồi đóng): Một tập lồi đồng thời tập đóng gọi tập lồi đóng Định nghĩa (hàm lồi): cho E khơng gian véctơtrên □ Một hàm  : E   ,  gọi hàm lồi  tu  1 t  v  t  u  1 t   v , u, v  E, t 0;1 Định nghĩa (tập lồi đa diện): Tập M  □ k gọi tập lồi đa diện M biểu diễn dạng giao số hữu hạn nửa k khơng gian đóng □ Định nghĩa (tập affine) Tập A  □ gọi tập affine, n 1   x   y  A x, y  A,  □  n Nhận xét: Nếu A tập affine, với a □ , A  a   x  a : x  A tập affine 1.2 Không gian định chuẩn Định nghĩa 1.2.1 Cho X không gian véctơ trường K (thực phức) Một hàm thực : X  □ , x  x gọi chuẩn X thỏa mãn tiên đề sau: 1) x  0, x  X x   x   (phần tử không); 2)  x   x ,   K, x  X ; 3) x  y  x  y , x, y  X Với x  X , số x gọi chuẩn véctơ x Định nghĩa 1.2.2 Giả sử X không gian véctơ trường K , chuẩn X Khi cặp  X ,  gọi không gian định chuẩn  X ,  không gian định chuẩn thực hay phức K trường thực hay phức Ví dụ Khơng gian □ với chuẩn: x x, i i1 x   x1 , x2 , x3   □ không gian định chuẩn Định nghĩa1.2 Dãy điểm  xn  không gian định chuẩn X hội tụ đến điểm x  X lim xn  x  n Kí hiệu: lim x  x n hay x  x n  n n Dãy  xn  không gian định chuẩn  X ,  gọi dãy ( hay dãy Cauchy) lim x  x n,m n m  Không gian định chuẩn X không gian Banach dãy hội tụ Ví dụ Ca ,b tập hàm liên tục  a,b  Ca ,b không gian Banach với chuẩn: x  max x  t  , x  x  t  C ta,b a ,b 1.3 Khơng gian Hilbert 1.3.1.Định nghĩa tích vơ hướng Cho X không gian véctơ trường K (thực phức).Ánh xạ g: X  X  K , ( x, y)  g ( x, y) gọi tích vơ hướng X thỏa mãn tiên đề sau: 1) g(x, y)  g(x, y), x, y  X ; 2) g(x  y, z)  g(x, z)  g( y, z), x, y, z  X ; 3) g( x, y)   g(x, y), x, y  X   K; , 4) g(x, x)  0, x  X g(x, x)   x   ; Khi phiếm hàmgđược gọi tích vơ hướng hai phần tử x, y Kí hiệu: x, y x, y   n n Ví dụ X  □ , x  (x1 , x2 , , xn y  ( y1 , y2 , , yn ) □ , ); x, y n  x1 y1  x2 y2   xn yn   xi yi i1 n Là tích vơ hướng □ Một số tính chất bản: x  X , x,  0; x, y  X ,   K , x, y, z  X , x,  y   x, y  z  x, y ; x, y  x, z 1.3.2.Bất đẳng thức Schwartz Giả sử , tích vơ hướng X đó: x, y  x, x y, y x, y  X Dấu “=” xảy {x,y} phụ thuộc tuyến tính 1.3.3 Định nghĩa khơng gian Hilbert Giả sử , tích vơ hướng X Khi đó: x x, x , x  X xác định chuẩn X gọi chuẩn sinh tích vơ hướng Định nghĩa (Khơng gian Hilbert) Ta gọi tập H   gồm phần tử x,y,z,… không gian Hilbert, tập H thỏa mãn điều kiện: H không gian tuyến tính trường P ; H trang bị tích vơ hướng , ; H khơng gian Banach với chuẩn  x, x  , x  H x  Nếu K  □ (hoặc □ ) khơng Hilbert tương ứng khơng gian thực (hoặc phức) Ví dụ X  □ với tích vô hướng: n x, y n , x   x1 , x2 , , xn   xi yi  i1 x i1 □ i2 với tích vô hướng không gian Hilbert Không gian l với tích vơ hướng cho  x, y   xn n1 y chuẩn x    n1   Rn n n chuẩn x  , y   y1 , y2 , , yn xn n l2 khơng gian Hilbert Định nghĩa (Không gian không gian Hilbert) Mọi khơng gian véctơ đóng khơng gian Hilbert gọi khơng gian Hilbert 1.3.4 Tính trực giao 1.3.4.1 Định nghĩa 1.3.4.1 Cho H không gian Hilbert Ta nói hai phần tử x, y  H trực giao x, y  Kí hiệu: x  y Nếu A  H , A  , x  H Ta nói x trực giao với A x trục giao với phần tử A.Kí hiệu: x  A Vậy x  A  x  y,y  A 1.3.4.2 Tính chất x  y,y  H  X   2.  H Nếu x  A , A  {y , y , , y }  H x trực giao với tổ hợp n tuyến tính phần tử A Kí hiệu: x  span( A) Giả sử x  x ,n  dãy x hội tụ đến y n  x  y n n A trù mật khắp nơi H , x  A  x   1.3.4.3 Định lý Pythagore Nếu x , x , , x đơi trực giao véctơ n n  i1 xi n   xi n □ * i 1 1.3.4.4 Đẳng thức hình bình hành x, y  H ta có Cho H không gian Hilbert, xy  xy 2 x  y  1.3.4.5 Định lý Chuỗi  x n1 n phần tử đôi trực giao không gian  Hilbert H hội tụ chuỗi  xn hội tụ n1 1.3.4.6 Định nghĩa 1.3.4.2 Cho H không gian Hilbert, E không gian véctơ H tập hợp F  H phần tử trực giao với E gọi phần bù trực  giao E H Kí hiệu: E Ta chứng minh dược F khơng gian đóng H H có biểu diễn:Nếu E phần bù trực giao F F phần bù trực giao E ta có tổng trực giao  HE F 1.3.5 Các định lý liên quan 1.3.5.1 Bất đẳng thức Bessel Định nghĩa 1.3.5.1.1 Cho không gian Hilbert H Một hệ thống gồm hữu hạn hay đếm phần tử  e   H gọi hệ trực chuẩn nếu: n n1 ei,e j   ij   1 0 i  j i  j Định lý (bất đẳng thức Bessel) Nếu  e  hệ trực chuẩn khơng gian Hilbert H n n1 x H ta có bất dẳng thức:  x,e n1 n  x (Bất đẳng thức Bessel) Định nghĩa 1.3.5.1.2 x, Tích vơ hướng e n ,n  ta gọi hệ số Fourier phần tử x hệ trực chuẩn  e  n n1 Nhận xét: Từ bất đẳng thức Bessel ta suy chuỗi  x,e n1 n hội tụ Do chuỗi  x,e e hội tụ khơng gian Hilbert H (vì chuỗi gồm n n1 n phần tử đôi trực giao hội tụ tuyệt đối hội tụ) Chuỗi gọi khai triển Fourier phần tử x  H theo hệ trực chuẩn  e  n n1 1.3.5.2: Đẳng thức Parseval Định nghĩa Hệ trực chuẩn  e  n n1 không gian Hilbert gọi sở trực chuẩn H không tồn véctơ khác khơng trực giao với hệ Định lý Cho  e  n n1 hệ trực chuẩn khơng gian Hilbert H Khi mệnh đề sau tương đương: a) Hệ sở trực chuẩn H e  n n1 có biểu x, en en ; b) Mọi x  H diễn x n1 c) x, y  H x, , y  n1 x,en en , y  n1 x, en y, en ; (đẳng thức Parseval) d) x  H, x  x,en - phương trình đóng n1 e) Bao tuyến tính hệ e  trù mật khắp nơi H (nghĩa n n1 tập tất tổ hợp tuyến tính số hữu hạn phần tử thuộc hệ  e  trù mật khắp nơi không gian H ) n n1 10 Giả sử có u , u thỏa mãn (2.2) Ta có: 1 f 2 u1 , v  u1   0, v  K ,  f  u , v  u   0, 2 (2.3) v  K , (2.4) Trong (2.3) ta chọn v  u (2.4) ta chọn v  u cộng bất đẳng thức tương ứng ta u1  u2  Chứng tỏ u1  u2 Mệnh đề 2.5.1 Giả sử K  H tập lồi đóng khác rỗng, PK khơng tăng khoảng cách nghĩa là: PK f1  PK f  f1  f , f1 , f  H Chứng minh Đặt u  P f Ta có K  f  u1 , v  u1   0, v  K , (2.5) v  K , (2.6)  f  u2 , v  u2   0, Trong (2.3) ta chọn v  u2 (2.4) ta chọn v  u1 cộng bất đẳng thức tương ứng ta uu suy u  u  f  f 2 Vậy P f  P f K Hệ 2.5.1 2   f  f ,u  u  Từ  ff 1 2 , f , f  H K Giả sử M  H khơng gian tuyến tính đóng, f  H u  P f đặc trưng M u  M  f  u, v   0, v  M Hơn PM tốn tử tuyến tính gọi phép chiếu trực giao 34 Định lý (định lý biểu diễn Riesz-Fréchet) cho * Với   H tồn f  H  ,u    f ,u  , u  H f Chứng minh  H * Xét ánh xạ T : H  H * Xác định sau: với f thuộc H , ánh xạ u   f ,u  phiếm hàm tuyến tính liên tục H Nó phần tử H * ,ta kí hiệu phần tử Tf Tf ,u    f ,u  , Rõ ràng Tf H * u  H  f Do T tuyến tính đẳng cự từ H lên T  H  -một không gian đóng * H Để kết thúc chứng minh ta cần chứng minh H * Giả sử h hàm tuyến tính T H H Khi  Tf , h   0, f  H H phản xạ nên T  H  trù mật H h * triệt tiêu thỏa nên chứng tỏ  f , h   0, f  H , suy h  2.5.2 Phép chiếu lên không gian Affine Bổ đề 2.5.2.1 Cho e  i V  span e  hệ trực chuẩn hữu hạn H , lấy iI iI i Bổ đề 2.5.2.2 Cho  Cn  x  H PV x   x, iI ei Khi n□ ei …của H cho  n  □  Cn  Cn 1 , đặt C  n□ Cn lấy x  H Khi P x  P x Cn C Định lý 2.5.2.1 35 mãn Cho C khơng gian Affine đóng H Khi ta có: i)  x  H  y  C  ii) x  H  y C  x  PC x, y  z xPx 2 C 36 0 x  y, x  P x C Chứng minh i) Lấy y, z C ta có 2PC x  y  2PC x)(1  2) y  C  y  PC x, x  PC x   y  PC x, x  PC   2PC x  y   PC x, x  PC x  x suy y  PC x, x  PC  x Vậy ii) x  H y  z, x  PC x  y  C Từ i) ta x  P x  x  P x, x  y    y  P x  C C C x  P x, x  y C Định lý 2.5.2.2 Cho e  iI i tập C  spane i hệ trực chuẩn đếm không gian H Khi iI x  H  PC x   x,e ei iI i Chứng minh Nếu I hữu hạn,từ C  span e i theo bổ đề 2.5.2.1 ta kết iI cần chứng minh Nếu I khơng hữu hạn ta lấy hữu hạn ,cùng bổ đề 2.5.2.2 ta có điều phải chứng minh Định lý 2.5.2.3 Cho I tập hữu hạn thứ tự toàn phần, lấy   i tập số thực (0,1] cho iI  i 1, cho H không gian iI  Hilbert thực thu cách lấy tích Đềcác iI H với cấu trúc không gian véctơ thông thường tích vơ hướng  x, y   i iI x x  iI , y  yi  iI  H.Đặt xi , yi , D   xi  iI | x  H  , lấy x  H i p    x Khi P x  p  iI i D  iI Chứng minh Đặt p  p   iI , lấy y  H đặt y   yi  iI Rõ ràng p  D y  H D khơng gian tuyến tính đóng H Hơn x  p, y   i xi  p, y  i xi  p, y  iI p  PDx Do 0 iI Ví dụ Giả sử u véctơ khác véctơ khơng H , lấy  □ tập C   x  H | x, u   x  H    x,u PC x  x  u u Chứng minh Đặt    mệnh đề (2.4.5) ta điều cần chứng minh 2.5.3 Phép chiếu tập lồi đa diện đặc biệt Trong hai ví dụ sau chúng tơi đưa biểu diễn phép chiếu lên nửa không gian siêu phẳng tương ứng Ví dụ Cho u  H , □ đặt C   x  H | mệnh đề sau: x,u   Khi ta có i) u    , trường hợp C  H , P  Id C ii)u    trường hợp nàyC   iii) u  trường hợp C   x neáu x,u    PC x     x, u u neáu x,u   x    u  x  H  Chứng minh i) ii) hiển nhiên mệnh đề (2.4.5) ta điều cần chứng iii): Đặt  ; minh Ví dụ2 Cho u  H , 1 ,2 □ tập C   x  H |  x, u Khi ta có mệnh đề sau: i) u  0,     ii)   2 trường hợp nàyC  H , P  Id C u      trường hợp C   iii) u     trường hợp C   iv) u  trường hợp nàyC   x  H     x  1 Px x  C   x     xu , u nê  1 x,u   2; u nêu x, u ; u  x, uu u nêu x,u   Chứng minh i),ii),iii) hiển nhiên iv) Đặt    , ta điều cần chứng minh 2 Tiếp theo thường chiếu lên tương ứng hai nửa không gian giới hạn đường biên Định lý Cho u ,u  H ;  ,  □ Giả sử 2 u 2 u  u1 ,u 2 ; u ,u  phụ thuộc tuyến tính đặt C  x  H | x,u1  1   x  H | x,u2   2 Ta có trường hợp sau: i) u  u    ,  Khi C  H , P ii) u  u iii) u 1 2  0, u  0, u Px x  x 1 u1 u nÕ u nÕ u x,u   ;2  x,u    Khi C   x  H | x, u 1 Px x      x,u 1 C  0, u      Khi C   x  H  vi) u 2   v)u  Id    Khi C   x  H | x, u  0, u C C   ,   Khi C    x  H  iv)u 2   x,u x 2 u2 u nÕ u nÕ u    Khi C   1   x,u2   2;  x,u 2 vii)u u  u,  u  0, u 1 C   x  H | x, u Khi  =min 1 u2 , u2 u1 x  H  0   u1  x    x,u PC x   u u x   nÕ x,u   u x,u   nÕ u viii) u  0, u ix)u 0   u u, u 1  0, u  u , u 1 u  u u , 2   1 C   x    2  Khi C    u 2  Khi      u u 1   x  P x x   x  H    u C   x  H |  x, u  u x,u u nÕ u nÕ u 1  x,u   x,u   u 2  x,u u 2 u nÕ u x,u   Chứng minh i), ii), iv), vi): hiển nhiên iii) v) theo ví dụ iii) vii) Từ u u phụ thuộc tuyến tính u2 u1  u1 u2 Đặt u  u2 u1 ta có u ,u  ta có x,u1   u Tương tự x, u  x,u1   u  x,u    u x,u    u , suy x  C  x, u   cơng thức PC theo ví dụ viii) ix): Đặt u  u u   u u ,  1   u ,    u 2 Khi x,u1    u x,u2    u 2 x,u1   u2  x,u2   2u1 Từ x  C,   x,u   x,u      u  2 x,  u u  kết ví dụ iii) iv) x,u KẾT LUẬN Chính lẽ việc nghiên cứu, sâu tìm hiểu vấn đề tốn học, ứng dụng chúng vào ngành khoa học khác thực tiễn việc làm thiết thực cần thiết Khoá luận phần khái quát kiến thức toán tử chiếu Đồng thời sâu tìm hiểu tốn tử chiếu số tập hợp đặc biệt không gian Hilbert Vấn đề nhiều điều bổ ích lí thú kinh nghiệm thân thời gian nghiên cứu hạn chế nên khố luận nhiều thiếu sót cần bổ sung góp ý Em mong nhận bảo tận tình đóng góp ý kiến thầy bạn Bước đầu nghiên cứu khoa học, thời gian nghiên cứu hạn chế em khó tránh khỏi thiếu sót định Em mong nhận đóng góp, bảo thầy giáo, bạn để khố luận hồn thiện Một lần em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy cô khoa Tốn, thầy tổ Giải tích tạo điều kiện để em thực khố luận Đặc biệt em xin chân thành cảm ơn Thày Phùng Đức Thắng tận tình giúp đỡ em hồn thành khoá luận TÀI LIỆU THAM KHẢO PGS TS Nguyễn Phụ Huy; Giải tích hàm, NXB khoa Học Kĩ Thuật PGS TS Đỗ Đăng Lưu, Phan Huy Khải; Giải tích lồi, NXB Khoa Học Kỹ Thuật GS Hoàng Tụy; Hàm thực giải tích hàm, NXB đại học Quốc Gia Hà Nội Heinz H.Bauschke, Patrick L.Combettes; Convex Analysis and Monotone Operator Theory in Hilbert Spaces, 2010 Lokenath Debnath – Piotr Mikusinski, Introduction to Hilbert spaces with Applications – Academic Press, 2005 40 LỜI CẢM ƠN Khố luận em hồn thành giúp đỡ thầy cô tổ Giải tích - khoa Tốn trường đại học sư phạm Hà Nội Cho phép em bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy tổ giải tích, đặc biệt Th.s Phùng Đức Thắng, người trực tiếp hướng dẫn em trình thu thập tài liệu, nghiên cứu để em hồn thành khố luận Bước đầu nghiên cứu khoa học, thời gian nghiên cứu hạn chế em khó tránh khỏi thiếu sót định Em mong nhận đóng góp, bảo thầy giáo, bạn để khố luận hồn thiện Hà Nội, tháng năm 2013 Tác giả Nguyễn Thị Thủy LỜI CAM ĐOAN Khoá luận “Toán tử chiếu khơng gian Hilbert” hồn thành giúp đỡ, hướng dẫn Th.s Phùng Đức Thắng cố gắng nghiên cứu, tìm tòi, học tập thân Trong q trình nghiên cứu thực khố luận em có kế thừa kết kết tác giả với lòng biết ơn trân trọng Tơi xin cam đoan kết khố luận tốt nghiệp kết nghiên cứu thân không trùng với kết tác giả khác Hà Nội, tháng năm 2013 Tác giả Nguyễn Thị Thủy MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Tập lồi, tập lồi đóng, tập lồi đa diện 1.2 Không gian định chuẩn .4 1.3 Không gian Hilbert 1.4 Sự hội tụ yếu dãy không gian Hilbert 11 1.5 Tốn tử tuyến tính 13 1.5.1 Định nghĩa 13 1.5.2 Ví dụ 13 1.5.3 Phiếm hàm song tuyến tính 14 1.5.4 Một số tốn tử tuyến tính khơng gian Hilbert .14 CHƯƠNG TOÁN TỬ CHIẾU TRONG KHƠNG GIAN HILBERT.20 2.1 Định lý hình chiếu lên khơng gian đóng khơng gian Hilbert 20 2.2 Toán tử chiếu 21 2.3 Ví dụ .22 2.4 Tính chất phép tốn tốn tử chiếu 24 2.5 Phép chiếu lên tập hợp đặc biệt không gian Hilbert 30 2.5.1 Phép chiếu lên tập lồi đóng 30 2.5.2 Phép chiếu lên không gian Affine 33 2.5.3 Phép chiếu lên khối đa diện đặc biệt 35 KẾT LUẬN 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO .40 ... An  A  B, n □ 1.5.4.6 Toán tử compact Toán tử c lớp toán tử quan trong số toán tử bị chặn Định nghĩa (Toán tử compact) Một toán tử A khơng gian Hilbert H gọi tốn tử compact với dãy bị chặn... tốn tử bị chặn khơng gian hilbert H Toán tử * * T1  A A T2  A  A tự liên hợp 3) Tích hai toán tử tự liên hợp toán tử tự liên hợp hai toán tử giao hốn 4) Mọi tốn tử bị chặn T không gian hilbert. .. n n Chương TỐN TỬ CHIẾU TRÊN KHƠNG GIAN HILBERT 2.1 Định lý (về hình chiếu lên khơng gian đóng khơng gian Hilbert) Giả sử H khơng gian đóng khơng gian Hilbert H Khi với phần tử x H biểu diễn