Phép chiếu trong không gian Hilbert

TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I KHOA TỐN TRAN TH± THU PHÉP CHIEU TRONG KHƠNG GIAN HILBERT KHĨA LU¾N T6T NGHIfiP ĐAI H6C Chun ngành: Tốn Giái tích Ngưèi hưéng dan khoa hoc TS TRAN VĂN BANG Hà N®i - 2012 LèI CÃM ƠN Em xin bày tó lòng biet ơn sâu sac tói thay Tran Văn Bang Ngưòi thay trnc tiep t¾n tình hưóng dan giúp đõ em hồn thành khố lu¾n cúa Đong thòi em xin chân thành cám ơn thay to Giái tích thay khoa Tốn - Trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i 2, Ban nhi¾m khoa Tốn tao đieu ki¾n cho em hồn thành tot khố lu¾n Trong khuụn kho cú han cỳa mđt bi khoỏ luắn, ieu kiắn thũi gian, trỡnh đ cú han v lan đau tiên nghiên cúu khoa hoc khơng tránh khói nhung han che, thieu sót nhat đ%nh Vì v¾y, em kính mong nh¾n đưoc nhung góp ý cúa thay cô ban Em xin chân thành cám ơn ! Hà N®i, tháng 05 năm 2012 Sinh viên Tran Th% Thu LèI CAM ĐOAN Khoá lu¾n ket cúa bán thân em q trình hoc t¾p nghiên cúu Bên canh em đưoc sn quan tâm cúa thay cô giáo khoa Tốn, đ¾c bi¾t sn hưóng dan t¾n tình cúa TS Tran Văn Bang Trong nghiên cúu hồn thành bán khố lu¾n em tham kháo mđt so ti liắu ó ghi phan ti liắu tham kháo Em xin khang đ%nh ket cúa đe tài “Phép chieu khơng gian Hilbert” khơng có sn trùng l¾p vói ket q cúa đe tài khác Hà N®i, tháng 05 năm 2012 Sinh viên Tran Th% Thu Mnc lnc Mé đau Chương Kien thNc mé đau 1.1 Không gian Banach 1.2 Không gian Hilbert Chương Phép chieu không gian Hilbert 10 2.1 Phép chieu lên t¾p loi đóng .10 2.2 Đ%nh lí Stampacchia Lax-milgram .20 2.3 Tong Hilbert, só trnc giao 24 Ket lu¾n .29 Tài li¾u tham kháo 30 Me ĐAU Lý chon đe tài Trong tốn hoc, khơng gian Hilbert m®t dang tong qt hóa cúa khơng gian Euclid mà khơng b% giói han ve van đe huu han chieu Các không gian Hilbert đưoc đ¾t tên theo David Hilbert, ngưòi nghiên cúu chúng đe phnc cho vi¾c nghiên cúu phương trình tích phân Đó m®t khơng gian có tích vơ hưóng, nghĩa có khái ni¾m ve khống cách góc (đ¾c bi¾t khái ni¾m trnc giao hay vng góc) Tính chat can thiet nghiên cúu, sú dnng giói han dãy Các khơng gian Hilbert cho phép sú dnng trnc giác hình hoc vào m®t so khơng gian hàm vơ han chieu Neu S l mđt cỳa khụng gian Hilbert H, ta đ%nh nghĩa t¾p vectơ trnc giao vói S S⊥ = {x ∈ H : (x, s) = 0, ∀s ∈ S} S⊥ m®t khơng gian đóng cúa H m®t khơng gian Hilbert Neu V m®t khơng gian đóng cúa H, V ⊥ đưoc goi phan bù trnc giao cúa V Ta biet rang moi x H đeu đưoc bieu dien nhat: x = v + w, (xem đ%nh lí 2.2) vói v thu®c V w thu®c V ⊥ Do đó, H m®t tong trnc tiep cúa V V ⊥ Toán tú tuyen tính PV : H → H, x ›→ v đưoc goi phép chieu trnc giao H lên không gian V Phép chieu trnc giao không gian Hilbert đóng vai trò vơ quan trong giái tích hàm nói riêng tốn hoc nói chung, đưoc nghiên cúu chương trình đai hoc Viắc mú rđng phộp chieu ny lờn mđt loi đóng nói chung m®t ket q có nhieu úng dnng lĩnh vnc khác cúa Toán hoc Vỡ vắy dúi gúc đ mđt sinh viờn s pham chun ngành Tốn khn kho cúa khố lu¾n tot nghi¾p, đong thòi đưoc sn hưóng dan nhi¾t tình cúa thay Tran Văn Bang em chon đe tài “Phép chieu không gian Hilbert” Trong khóa lu¾n em chí nghiên cúu khơng gian Hilbert thnc v¾y tat cá khơng gian tuyen tính, đ%nh chuan, Hilbert đeu đưoc hieu không gian thnc Mnc đích nhi¾m nghiên cNu Tìm hieu ve phép chieu không gian Hilbert Đoi tưeng pham vi nghiên cNu Không gian Hilbert: khái ni¾m tính chat bán; phép chieu lên khơng gian đóng; phép chieu lên t¾p loi đóng Phương pháp nghiên cNu Nghiên cúu tong quan Cau trúc khóa lu¾n Ngồi mnc lnc, phan mó đau, ket lu¾n tài li¾u tham kháo, khố lu¾n gom chương: Chương Kien thúc chuan b% Chương Phép chieu không gian Hilbert Chương Kien thNc mé đau 1.1 Không gian Banach Đ%nh nghĩa 1.1 Ta goi khơng gian đ%nh chuan (hay khơng gian tuyen tính đ%nh chuan) khơng gian tuyen tính X t¾p so thnc R vói ánh xa tù X vào t¾p so thnc R, kí hi¾u ||.|| đoc chuan, thóa mãn tiên đe sau: i) ∀u ∈ X : ||u|| ≥ 0, ||u|| = ↔ u = θ (θ − phan tú không) ii) ∀u ∈ X, ∀α ∈ R : ||αu|| = |α|||u|| iii) ∀u, v ∈ X : ||u + v|| ≤ ||u|| + ||v|| So ||u|| đưoc goi chuan cúa vector u Các tiên đe i), ii), iii) đưoc goi tiên tiên đe ve chuan Đ%nh nghĩa 1.2 Dãy điem (un) không gian đ%nh chuan X goi h®i tn tói u ∈ X neu lim ||un − u|| = n→ ∞ Kí hi¾u limn→∞ un = u hay un → u (n → ∞) M¾nh đe 1.1 Neu dãy un → u dãy ||un|| → ||u|| Nói cách khác ||.|| hàm giá tr% thnc liên tnc M¾nh đe 1.2 Neu dãy un → u dãy ||un|| b% ch¾n M¾nh đe 1.3 Neu dãy un → u ; dãy → v dãy αn → α dãy un + → u + v αnun → αu n → ∞ Đ%nh nghĩa 1.3 Dãy (un) không gian đ%nh chuan X dãy bán neu lim n,m→∞ ||un − um || = Đ%nh nghĩa 1.4 Không gian đ%nh chuan X đưoc goi không gian Banach neu moi dãy bán X đeu h®i tn Ví dn 1.1 Cho khơng gian vector k chieu Rk, Rk = {u = (u1, u2 , un ) : u j ∈ R} Đoi vói u = (u1, un) bat kỡ thuđc Rk, ta ||u|| = ∑ j= |u j| Ta chúng minh đưoc Rk khơng gian Banach Ví dn 1.2 Cho khơng gian vector l2 Đoi vói u = (un) ∈ l2, , ta đ¾t ||u|| = ∑∞ n= |un| Ta chúng minh đưoc l2 khơng gian Banach Ví dn 1.3 Cho khơng gian vector L[a,b] Đoi vói u(t) L[a,b], áb ta ||u|| a |u(t)|dt Ta chúng minh đưoc L[a,b] không gian = Banach Đ%nh nghĩa 1.5 Cho không gian đ%nh chuan X, dãy (un) ⊂ X Ta goi chuoi bieu thúc dang : u1 + u2 + + un + , kí hi¾u un n= ∞ ∑ Moi phan tú un đưoc goi so hang cúa chuoi Bieu thúc Sk = k ∑ un(k = 1, 2, ) n=1 tong riêng thú k cúa chuoi Neu ton tai lim Sk = S k→∞ Nh¾n xét 2.6 Chúng minh de dàng đưoc rang không gian Hilbert phán xa khơng can phái sú dnng tính loi đeu mà bang cách sú dnng cau Riesz-Fre’chet hai lan tù H vào H∗ sau tù H∗ vào H∗∗ Nh¾n xét 2.7 Giá sú H khơng gian Hilbert đưoc đong nhat vói khơng gian đoi ngau H ∗ cúa Cho M khơng gian cúa H, ta đ %nh nghĩa M⊥ m®t khơng gian cúa H ∗ ta có the coi khơng gian cúa H cn the: M⊥ = {u ∈ H : (u, v) = 0, ∀v ∈ M} Rõ ràng M ∩ M ⊥ = {0} Ngồi neu M đóng ta có M + M⊥ = H Th¾t v¾y, vói moi f ∈ H ta viet f = PM f + ( f − PM f ) f − PM f ∈ M ⊥ , cn the PM⊥ f = ( f − PM f ) Do moi khơng gian đóng cúa khơng gian Hilbert đeu có phan bù 2.2 Đ%nh lí milgram Stampacchia Lax- Đ%nh nghĩa 2.5 Mđt dang song tuyen tớnh a : H ì H → R goi i) liên tnc neu ton tai hang so C thoá mãn |a(u, v)| ≤ C|u||v|, ∀u, v ∈ H, ii) búc neu ton tai α > cho α(v, v) ≥ α|v|2, ∀v ∈ H Đ%nh lý 2.5 (Đ%nh lí Stampacchia) Giá sú a(u, v) m®t dang song tuyen tính liên tnc, búc H Lay K ⊂ H t¾p loi, đóng, khơng rong Khi vói moi ϕ ∈ H ∗ , ton tai nhat phan tú u ∈ K thoá mãn : a(u, v−u) ≥ (ϕ, v − u), ∀v ∈ K (2.9) Ngoài neu a đoi xúng u đưoc đ¾c trưng bói tính chat u∈K 1 a(u, u) −(ϕ, u) = a(v, v) − (ϕ, v)} v∈K 2 (2.10) Chúng minh cúa Đ%nh lí 2.5 dna ket rat co đien sau: Đ%nh lý 2.6 (Đ%nh lí ánh xa co Banach- Đ%nh lí điem bat đ®ng Banach) Cho X không gian metric đú khác rong S : X → X co nghiêm ng¾t nghĩa là: d(Sv1, Sv2) ≤ kd(v1, v2), ∀v1, v2 ∈ X, vói k < Khi S có m®t điem bat đ®ng thóa mãn u = Su Chúng minh (Đ%nh lí 2.5) Theo Đ%nh lí bieu dien Riesz-Fre’chet (Đ %nh lí 2.4) ton tai nhat phan tú f ∈ H thoá mãn: (ϕ, v) = ( f , v), ∀v ∈ H M¾t khác neu ta co đ%nh u, ánh xa v ›→ a(u, v) phiem hàm tuyen tính liên tnc H Sú dnng tiep Đ%nh lí 2.4 ta có ton tai phan tú cúa H, kí hi¾u bói Au cho a(u, v) = (Au, v), ∀v ∈ H Rõ ràng A toán tú tuyen tính tù H → H thố mãn: |Au| ≤ C|u|, ∀u ∈ H, (Au, u) ≥ α|u| 2, ∀u ∈ H (2.11) (2.12) Do tốn (2.9) tró thành tốn tìm u thu®c K cho (Au, v−u) ≥ ( f , v − u), ∀v ∈ K (2.13) Lay ρ > m®t hang so (xác đ%nh sau) Khi (2.13) tương đương vói (ρ f − ρAu + u−u, v−u) ≤ 0, ∀v ∈ K 38 (2.14) nghĩa u = PK (ρ f − ρAu + u) Vói moi v ∈ K, đ¾t Sv = PK (ρ f − ρAv + v) Ta chúng minh đưoc rang neu ρ > đưoc chon đ¾c bi¾t S có ng¾t Th¾t v¾y PK khơng làm tăng khống cách (xem m¾nh đe 2.2) ta có |Sv1 − Sv2 | ≤ |(v1 − v2 ) − ρ(Av1 − Av2 )| 2 |Sv1 − Sv2 | − 2ρ(Av1 − Av2 , = |v1 − v2 | v1 − v2 ) + ρ ≤ |v1 − v2 | (1 − |Av1 −2 Av2 | 2 C ) 2ρα + ρ Chon ρ > cho k2 = (1 − 2ρα + ρ2C22) C < nghĩa (0 < ρ < α ) S có điem bat đ®ng nhat Bây giò giá sú a(u, v) đoi xúng a(u, v) se xác đ%nh m®t tích vơ hưóng mói H chuan tương úng a(u, u)1/2 se tương đương vói chuan ban đau |u| Suy H se không gian Hilbert vói tích vơ hưóng mói Sú dnng Đ%nh lí 2.4 ta có the bieu dien phiem hàm ϕ thơng qua tích vơ hưóng mói, nghiã ton tai phan tú g ∈ H thoá mãn (ϕ, v) = v), ∀v ∈ H Lúc tốn (2.9) tró thành tìm u thu®c K cho: a (g − u, v−u) ≤ 0, ∀v ∈ K (2.15) Nghi¾ m cúa (2.15) m®t ket q cũ, u hình chieu cúa g lên K theo tích vơ hưóng mói a Ta biet (theo đ%nh lí 2.3) u phan tú nhat K nghi¾m cúa tốn: a(g − v, g − v)1/2 v∈K Đieu dan tói vi¾c cnc tieu K cúa hàm v ›→ a(g − v, g−v) = a(v, v) − 2a(g, v) + a(g, g) = a(v, v) − 2(ϕ, v) + a(g, g) ho¾c tương đương vói cnc tieu hoá hàm v ›→ a(v, v) − (ϕ, v) Nh¾n xét 2.8 Kiem tra de thay neu a(u, v) dang song tuyen tính vói tính chat: a(v, v) ≥ 0, ∀v ∈ H hàm v ›→ a(v, v) loi H¾ q 2.2 (Đ%nh lí Lax-Milgram) Giá sú a(u, v) dang song tuyen tính, liên tnc, búc H, vói moi ϕ ∈ H ∗ ton tai nhat phan tú u ∈ H thoá mãn a(u, v) = (ϕ, v), ∀v ∈ H (2.16) Ngồi neu a đoi xúng u đưoc đ¾c trưng bói tính chat u∈H a(u, u)− (ϕ, u) = v∈H a(v, v) − (ϕ, v)} (2.17) Chúng minh Dùng Đ%nh lí 2.5 vói K = H ta có đưoc đieu phái chúng minh Nh¾n xét 2.9 Đ%nh lí Max-Milgram đơn gián cơng cn hi¾u q đe giái phương trình đao hàm riêng tuyen tính eliptic Rat thú v% ta đe ý tói moi liên h¾ giua phương trình (2.16) tốn cnc tieu (2.17) Trong v¾t lí đieu thưòng goi m®t cách tn nhiên ngun lí tác đ®ng toi thieu, hay cnc tieu hố lưong Theo ngơn ngu cúa phép tính bien phân, (2.16) phương trình Ơle cúa tốn cnc tieu hố (2.17) Nói m®t cách nơm na (2.16) Fr (u) = vói F hàm F(v) = a(v, v) − (ϕ, v) Nh¾n xét 2.10 Có the dùng l¾p lu¾n đơn gián trnc tiep đe chúng minh (2.16) có nghi¾m nhat Th¾t v¾y đieu dan tói vi¾c chúng minh rang ∀ f ∈ H, ∃u ∈ H nhat cho Au = f , nghĩa A song ánh tù H lên H Đieu h¾ q hien nhiên cúa tính chat sau: a) A đơn ánh (vì A-búc), b) R(A) đóng α|v| ≤ |Av|, ∀v ∈ H, c) R(A) trù m¾t Th¾t v¾y, neu v ∈ H thóa mãn (Au, v) = 0, ∀u ∈ H v = 2.3 Tong Hilbert, sé trNc giao Đ%nh nghĩa 2.6 Giá sú (En)n≥1 dãy khơng gian đóng cúa H Nói H tong Hilbert cúa En ta viet H = n En neu: L a) Các không gian En đơi m®t trnc giao, nghĩa (u, v) = ∀u ∈ En, b) khơng gian tuyen tính sinh bói ∀v ∈ Em, S∞ m ƒ= n, En trù m¾t H n= Đ%nh lý 2.7 Giá sú H tong Hilbert cúa En Vói u ∈ H ta đ¾t un = PEn u n Sn = ∑ uk k=1 (2.18) lim Sn = u, Khi ta có n→∞ ∑ |uk|2 = |u2|(đang thúc ∞ Bessel-Parseval) (2.19) k=1 Đe thu¾n ti¾n cho chúng minh đ%nh lí ta dùng bo đe sau: Bo đe 2.2 Giá sú (vn) dãy bat kì H thoá mãn n, ta có |Sm − Sn | m = Nên Sn dãy Cauchy ∑ |vk|2 k = n + S = lim Sn n→∞ M ¾ t k h c 2 |Sn| cho n → ∞ ta thu đưoc (2.22) n = ∑ k = n + |vk| , ton tai Chúng minh (Đ%nh lí 2.6) Vì un = PEn u nên theo (2.7) ta có (2.23) (u − un , v) = 0, ∀v ∈ En, nói riêng (u, un) = |u|n C®ng thúc này, ta tìm đưoc n (u, Sn) = Nhưng ta có ∑ |uk|2 k=1 n ∑ |uk|2 = |Sn|2, (2.24) k=1 nên (u, Sn) = |Sn|2 Vì v¾y |Sn| ≤ |u| ∑n |uk| ≤ |u| Đen ta áp dnng Bo đe 2.2 k= n→∞ Sn ton tai Tiep theo ta xác đ%nh S ket lu¾n đưoc rang S = lim (th¾m chí khơng có giá thiet (b)) Giá sú F khơng gian tuyen tính sinh bói En Ta chúng minh rang (2.25) S = PF u Th¾t v¾y ta có (u − Sn , v) = 0, ∀v ∈ Em, m ≤ n (vì u−S n = (u − um ) − ∑ uk) kƒ=m Cho n → ta thu đưoc (u − S, v) = 0, ∀v ∈ Em, (u − S, v) = 0, ∀v ∈ F Tù suy (u − S, v) = 0, ∀v ∈ F ∀m M¾t khác Sn ∈ F, ∀n S ∈ F nên ta có (2.25) Neu giá thiet (b) đưoc co đ%nh F = H S = u Qua giói han n → ó (2.24) ta thu đưoc (2.19) Đ%nh nghĩa 2.7 Dãy (en)n≥1 H đưoc goi l mđt c sú trnc chuan cỳa H (hoắc mđt só Hilbert ho¾c đơn gián só) neu thố mãn : i) |en| = 1, ∀n (em, en) = 0, ∀m ƒ= n, ii) không gian tuyen tính sinh bói en trù m¾t H H¾ q 2.3 Lay (en) só trnc chuan, ∀u ∈ H ta có ∞ u= ∑ (u, ek)ek k=1 nghiã u = lim n→∞ |u| = n ∑ (u, ek)ek k=1 ∞ ∑ |(u, ek)| k=1 ∞ Ngưoc lai, vói bat kì dãy(αn) ∈ l , chuoi ∑k= αkek h®i tn tói m®t phan tú ∞ u ∈ H cho (u, ek) = αk, ∀k |u| = ∑1 α k=1 k Chúng minh Chú ý rang H tong Hilbert cúa không gian En = Ren PEn u = (u, en )en Tù dùng Đ%nh lí 2.7 Bo đe 2.2 ta có đieu phái chúng minh Nh¾n xét 2.11 Nói chung chuoi ∑ uk Đ%nh lí 2.7 chuoi (u, ek)ek hắ quỏ 2.3 l khụng hđi tn tuy¾t đoi nghĩa có the xáy |uk| = k= ∞ ∑ ∞ ∞ ho¾c ∑k= |(u, ek)| = ∞ Đ%nh nghĩa 2.8 Không gian M = (X, d) đưoc goi tách đưoc, neu t¾p X chỳa mđt em oc trự mắt khap nơi M Đ%nh lý 2.8 Moi không gian Hilbert tách đưoc đeu có m®t só trnc chuan Chúng minh Giá sú (vn) t¾p đem đưoc, trù m¾t cúa H, goi Fk kí hi¾u cho khơng gian tuyen tính sinh bói {v1, v2, , vk} Dãy (Fk ) dãy không S∞ giám không gian huu han chieu thóa mãn k= Fk trù m¾t H Lay véc tơ đơn v% bat kì e1 thu®c F1 Neu F1 ƒ=1 F2 ton tai e2 thu®c F2 cho {e1, e2} só trnc chuan cúa H Tiep tnc q trình ta thu đưoc m®t só trnc chuan cúa H Nh¾n xét 2.12 Đ%nh lí 2.8 ket hop vói H¾ q 2.3 chí rang tat cá khơng gian Hilbert tách đưoc đeu cn vói khơng gian l M¾c dù v¾y van can phái xét khơng gian khác L2(Ω) (ho¾c khơng gian Sobolev), có rat nhieu tốn tú tuyen tính (phi tuyen) quan có vé phúc tap bieu dien theo m®t só Nh¾n xét 2.13 Neu H khơng gian Hibert khơng tách đưoc tình huong tró nên phúc tap van có the chí sn ton tai cúa só trnc chuan khơng đem đưoc (ei )i∈I KET LU¾N Trong khóa lu¾n em t¾p trung nghiên cúu ve phép chieu không gian Hilbert bao gom: phép chieu lên khơng gian đóng sn tong quỏt húa l phộp chieu lờn mđt loi đóng Đóng góp cúa khóa lu¾n trình by khúa luắn mđt cỏch cú hắ thong, chi tiet húa viắc chỳng minh cỳa mđt so nhắn xột, hắ quỏ, tỡm hieu thờm mđt so khỏi niắm m chương trình đai hoc chưa đe c¾p tói moi liên h¾ cúa chúng vói kien thúc ve phép chieu khơng gian Hilbert Như v¾y có the nói đe tài hồn thành nhi¾m nghiên cúu đ¾t Đe hồn thành khố lu¾n tot nghi¾p em xin trân cám ơn thay cô to Giái tích, thay khoa Tốn đ¾c bi¾t thay Tran Văn Bang M¾c dù em có nhieu co gang, song nhieu han che ve thòi gian kien thúc nên khố lu¾n khơng tránh khói nhung thieu sót Em kính mong thay ban đoc đóng góp ý kien trao đoi đe khố lu¾n hồn thi¾n tot Em xin chân thành cám ơn! Tài li¾u tham kháo [A] Tài li¾u tieng Vi¾t [1] Nguyen Xuân Liêm, Giái tích hàm, NXB Giáo Dnc, 1997 [2] Hồng Tny, Hàm thnc giái tích hàm, Vi¾n Tốn Hoc , NXB Đai hoc QGHN, 2005 [3] Nguyen Phn Hy, Giái tích hàm, NXB Khoa Hoc Kĩ Thu¾t, 2005 [B] Tài li¾u tieng Anh [4] Haim Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, 2010 ... Chương Kien thNc mé đau 1.1 Không gian Banach 1.2 Không gian Hilbert Chương Phép chieu không gian Hilbert 10 2.1 Phép chieu lên t¾p loi đóng .10 2.2 Đ%nh... chuan b% Chương Phép chieu không gian Hilbert Chương Kien thNc mé đau 1.1 Không gian Banach Đ%nh nghĩa 1.1 Ta goi không gian đ%nh chuan (hay khơng gian tuyen tính đ%nh chuan) khơng gian tuyen tính... phiem hàm tuyen tính liên tnc X không gian liên hop (không gian đoi ngau) cúa X kí hi¾u X ∗ Đ%nh nghĩa 1.11 Không gian liên hop cúa không gian X ∗ đưoc goi không gian liên hop thú hai cúa X kí