Cho phép biến đổi bảo toàn độ đo trong không gian Ergodic

TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I KHOA TỐN NGUYEN TH± LANH CÁC PHÉP BIEN ĐOI BÁO TỒN đ O TRONG KHễNG GIAN ERGODIC KHểA LUắN TOT NGHIfiP ĐAI HOC Chuyên ngành : GIÁI TÍCH Ngưài hưáng dan khoa hoc: T.S TA NGOC TRÍ HÀ N®I - 2013 LèI CÁM ƠN Em xin cám ơn bo me nhung ngưòi thân gia đình ln bên canh đng viờn em suot quỏ trỡnh hoc Em xin chân thành cám ơn sn giúp đõ cna thay giáo to Giái tích, thay giáo giáo khoa tốn, thay giáo giáo trưòng ĐHSP Hà N®i ban sinh viên Đ¾c bi¾t em xin bày tó lòng biet ơn sâu sac cna tói T.S Ta Ngoc Trí ngưòi t¾n tình giúp đõ em suot q trình hồn thành khóa lu¾n Do lan đau tiên làm quen vói cơng tác nghiên cúu khoa hoc, nua m®t thòi gian ngan lnc cna bán thân han che, m¾c dù rat co gang chac chan khơng tránh khói nhung thieu sót Em kính mong nh¾n đưoc sn đóng góp ý kien cna thay giáo ban đe khóa lu¾n cna em đưoc hồn thi¾n bán thân em có thêm nhieu kien thúc Em xin chân thành cám ơn ! Hà N®i, tháng 05 năm 2013 Sinh viên Nguyen Th% Lanh LèI CAM ĐOAN Khóa lu¾n ket cna bán thân em trình hoc t¾p nghiên cúu, bên canh em đưoc sn quan tâm tao đieu ki¾n cna thay giáo giáo khoa tốn Trưòng ĐHSP Hà N®i 2, đ¾c bi¾t sn hưóng dan t¾n tình cna T.S Ta Ngoc Trí Trong nghiên cúu hồn thành khóa lu¾n ny em cú tham khỏo mđt so ti liắu ó ghi phan tài li¾u tham kháo Em xin cam đoan rang khóa lu¾n trung thnc, khơng chép tù tài li¾u có san, tên đe tài khơng trùng l¾p vói bat cú tên đe tài khác Hà N®i, tháng 05 năm 2013 Sinh viên Nguyen Th% Lanh Mnc lnc CÁC KIEN THÚC CƠ Sé 1.1 1.2 Khơng gian đ® đo 1.1.1 Các đ%nh nghĩa 1.1.2 Các ví du cna khơng gian đ® đo Tích phân 1.2.1 Các đ%nh nghĩa 1.2.2 Các không gian Lp 1.2.3 Các đ%nh lí h®i tu 1.2.4 Đ%nh lý bieu dien Riesz 10 CÁC PHÉP BIEN ĐOI BÁO TỒN Đ® ĐO 2.1 2.2 2.3 11 Đ® đo bat bien vói phép bien đoi liên tuc 11 2.1.1 Đ® đo bat bien 11 2.1.2 Đ® đo bat bien vói phép bien đoi liên tuc .12 Khơng gian cna đ® đo bat bien 14 2.2.1 Sn ton tai cna đ® đo bat bien 14 2.2.2 Các tính chat cna M(X,T) 15 Các ví du ve phép bien đoi báo tồn đ® đo .16 2.3.1 Sú dung đ%nh lý mó r®ng Kolmogorov .16 2.3.2 Sú dung chuoi Fouries 19 Đ® ĐO TRONG KHÔNG GIAN ERGODIC 3.1 21 Đ%nh nghĩa cna Ergodic 21 3.2 Đ¾c trưng cna Ergodic .22 3.3 Các ví du 23 3.4 Sn ton tai cna đ® đo Ergodic 25 3.5 Phép truy toán Ergodic đơn tr% 28 3.5.1 Đ%nh lý phép truy toán cna Poincare .28 3.5.2 Ergodic đơn tr% 29 3.5.3 Ví du .31 LèI Mé ĐAU Lý chon đe tài Tốn hoc m®t nhung mơn hoc có v% trí quan trong nhà trưòng, day tốn day phương pháp suy lu¾n khoa hoc Hoc tốn rèn luy¾n tư lụgic, cũn giỏi toỏn l mđt phng tiắn rat tot vi¾c nam vung tri thúc, phát trien tư duy, hình thành kĩ kĩ xáo Giái tích hàm m®t ngành tốn hoc đưoc xây dnng đau the kí XX đen van đưoc xem m®t ngành tốn hoc co đien Trong q trình phát trien giái tích hàm tích lũy đưoc m®t so n®i dung het súc phong phú, nhung ket mau mnc, tong qt cna giái tích hàm xâm nh¾p vào tat cá ngành tốn hoc có liên quan sú dung đen cơng cu giái tích khơng gian vectơ Chính đieu mó r®ng khơng gian nghiên cúu cho ngành tốn hoc Vói mong muon đưoc nghiên cúu, tìm hieu sâu sac ve b® mơn bưóc đau tiep c¾n vói cơng vi¾c nghiên cúu khoa hoc vói sn giúp đõ cna T.S Ta Ngoc Trí, em chon đe tài:” Các phép bien đoi báo tồn đ® đo khơng gian Ergodic ” Cau trúc cúa khóa lu¾n Khóa lu¾n gom chương Chương 1: Các kien thúc só Chương 2: Các phép bien đoi báo tồn đ® đo Chương 3: Đ® đo khơng gian Ergodic Mnc đích nghiên cNu Bưóc đau làm quen vói cơng vi¾c nghiên cúu khoa hoc tìm hieu sâu ve giái tích hàm, đ¾c bi¾t lý thuyet Ergodic Nghiên cúu ve phép bien đoi báo tồn đ® đo, đ® đo Ergodic Phương pháp nghiên cNu Đoc tài li¾u, phân tích, so sánh tong hop Chương CÁC KIEN THÚC CƠ Sé 1.1 1.1.1 Khơng gian đ® đo Các %nh ngha %nh ngha 1.1: Mđt lúp M cỏc cna X đưoc goi đai so neu: i ∅ ∈ M; ii Neu A, B ∈ M A ∪ B ∈ M; iii Neu A ∈ M Ac ∈ M Đ%nh nghĩa 1.2: M®t lóp β t¾p cna X đưoc goi σ-đai so neu: i ∅ ∈ β; ii Neu E ∈ B phan bù cna X\E ∈ β; iii Neu En ∈ β, n=1,2,3 dãy đem đưoc t¾p hop β ∞ [ En ∈ β n=1 Đ%nh nghĩa 1.3: Cho X m®t khơng gian metric compact Mđt hop -ai so Borel (X) đưoc xác đ%nh σ -đai so nhó nhat t¾p cna X mà bao hàm tat cá mú cna X Cho X l mđt v l mđt -ai so cỏc cna X, ta cú: %nh ngha 1.4: Mđt hm so : β → R+ ∪ {∞} đưoc goi m®t đ o neu: i à() = 0; ii Neu En l cỏc hop em oc, ụi mđt phõn biắt β thì: ∞ [∞ µ( En) = µ(En) n=1 n=1 Ta goi (X, β, µ) khơng gian đ o Neu à(X) < thỡ l đ đo huu han Neu µ (X) = µ l đ o xỏc suat v (X, , à) tng úng khơng gian xác suat Đ¾t M (X) = {à|à (X) = 1} l hop tat cỏ cỏc đ® đo xác suat (X, β) Đ%nh nghĩa 1.5: Mđt dóy cỏc đ o xỏc suat àn hđi tu yeu đen µ n → ∞ neu vói moi f C (X, R) á fdà n fdµ X n → ∞ X Đ%nh nghĩa 1.6: Ta nói m®t tính chat hau khap nơi X neu t¾p hop điem mà khơng có tính chat có đ® đo Chang han f=g h.k.n neu µ ({x ∈ X|f (x) ƒ= g (x)}) = 1.1.2 Các ví dn cúa khơng gian đ® đo Đ® đo Lebesgue [0,1] Lay X=[0,1] lay M lóp cna hop huu han tat cá khống cna [0,1] Vói moi đoan [a,b], đ%nh ngha: ([a, b]) = b a l đ đo Lebesgue Đ® đo Lebesgue R/Z Lay X=R/Z=[0,1) mod lay M lóp cna hop huu han tat cá khống cna [0,1).Vói m®t đoan [a,b], đ%nh nghĩa: µ ([a, b]) = b − a đ® đo Lebesgue đưòng tròn Đ® đo Dirac Cho X không gian xác suat β m®t σ -đai so bat kì Cho x ∈ X Đ%nh nghĩa đ® đo δx bói:  1 ,x∈A δx(A) =  , x ∈/ A Thì δx đ® đo xác suat Nó đưoc goi đ® đo Dirac tai x 1.2 Tích phân Cho (X, , à) l khụng gian đ o 1.2.1 Cỏc %nh nghĩa Đ%nh nghĩa 1.7: Cho hàm so f : X → R đo đưoc neu f −1 ((c, ∞)) ∈ β vói ∀c ∈ R Đ%nh nghĩa 1.8: M®t hàm so f : X → R đơn gián X neu có the viet to hop tuyen tính hàm đ¾c trưng cna t¾p β, nghĩa f = r aiχiA i=1 r   1, x ∈ A S Ai, χA (x) =  vói ∈ R, Ai ∈ β, Ai đơi m®t khơng giao X 0, x ∈/ A i=1 = Đ%nh nghĩa 1.9: Vói m®t hàm đơn gián f : X → R Tích phân cna hàm f trờn X kớ hiắu l fdà xỏc %nh búi X r fdà = aià (Ai) i=1 X %nh nghĩa 1.10: Vói m®t hàm đo đưoc f : X → R, neu f ≥ ton tai m®t dãy hàm đơn gián tăng fn cho fn ↑ f n → ∞ Khi tích phân cna hm o oc khụng õm xỏc %nh búi: fdà = lim fndà n X X %nh ngha 1.11: Vói m®t hàm đo đưoc f : X → R, neu f có dau bat kì, ta đ¾t f =f + − f− , vói f + = max {f, 0} ≥ f− = max {−f, 0} ≥ Khi tích phân cna hàm đo đưoc có dau bat kì xác đ%nh bói: ¸ ¸ ¸ − + fdµ = f dµ − f dµ X X X Đ%nh nghĩa 1.12: f đưoc goi tích trờn X neu: fdà < + X 1.2.2 Cỏc không gian Lp Đ%nh nghĩa 1.13: ( Không gian L1 ) Hai hàm đo đưoc f, g : X → C tương đương neu f = g − h.k.n Ta viet L1 (X) = ¸ {f : X → C} cho |f | dµ < +∞ L1 khơng gian đ%nh chuan vói chuan "f"1 = X ¸ |f | dà X Khi ú, ắt: d(f, g) = "f − g"1 d (f, g) metric L1 (X) Đ%nh nghĩa 1.14: ( Khơng gian Lp) ¸ p Vói p > 1, ta viet Lp (X) = {f : X → C} cho |f | < +∞ Lp khơng gian đ %nh X 1/ p ¸ |f | dµ chuan vói chuan "f"p = p X Khi đó, đ¾t: d (f, g) = "f − g"p d (f, g) metric Lp (X) Neu (X, , à) l khụng gian đ đo huu han neu ≤ p < q Lq (X, β, µ) ⊂ Lp(X, β, µ) 1.2.3 Các đ%nh lí h®i tn Đ%nh lí 1.1: (Đ%nh lí hđi tn n iắu) Giỏ sỳ fn : X R m®t dãy tăng hàm tích (X, , à) Neu fn dà l dóy b% chắn cna cỏc so thnc thỡ lim fn ton tai h.k.n v khỏ tớch v lim fndà = lim fndµ n→∞ n→∞ n→∞ X X Đ%nh lí 1.2: (Đ%nh lí h®i tn tr®i) Giá sú rang g : X → R tích fn : X → R m®t dãy hàm đo đưoc vói |fn| ≤ g h.k.n lim fn = f h.k.n Thì f tích n →∞ lim ¸ ¸ fndµ = n→∞ X fdµ X vói ∀m ∈ Z, j=0,1,2, Bo đe Riemann-Lebesgue nói rang an → |n| → ∞ Do đó, neu m ƒ= 0, ta có am = a2jm → j → ∞ Do vói m ƒ= ta có am = Túc f có chuoi Fourier a0 phỏi l mđt hang so h.k.n Vắy T l Ergodic c)Ánh xa liên phân so Ánh xa liên phân so T : [0, 1) → [0, 1) đưoc xác đ%nh bói:  0, x = T (x) =   =1 x x mod 1, < x < Ta biet rang T bỏo ton đ o Gauss xỏc %nh búi (B) = ¸ ln 3.4 B dx 1+ x SN ton tai cúa đ® đo Ergodic Đ%nh nghĩa 3.2: µ ∈ M (X, T ) đưoc goi điem cnc tr% neu có µ = αµ1 + (1 − α) µ2 vói µ1, µ2 ∈ M (X, T ), < α < ta có µ = µ1 = µ2 Đ%nh lý 3.7 Các m¾nh đe sau tương đương: i Đ® đo xác suat T- bat bien µ Ergodic; ii µ m®t điem cnc tr% cna M (X, T ) ChNng minh i ⇒ ii Hien nhiên ii⇒ i Giá sú µ khơng Ergodic Khi ton tai B ∈ β cho T −1 B = B < (B) < Ta %nh ngha đ o xác suat µ1 µ2 X bói µ1 (A) = µ (A ∩ B ) = µ (B) , µ (A) µ (A ∩ (X \B )) µ (X\B) Rõ ràng µ1 ƒ= µ2 µ1 (B) = µ2 (B) = Vì T −1 B = B nên T −1 (X\B) = X\B Do ta có µ (T −1 A ∩ B) µ1 T −1 A = = µ (B) µ (T −1 A T −1 B) ∩ µ (B) µ (A ∩ B ) = µ (B) = µ1 (A) Tương tn µ2 T −1 A = µ (T −1 A ∩ (X\B)) = µ2 (A) µ (X\B) nghĩa µ1 µ2 thu®c M (X, T ) Tuy nhiên, có the viet µ to hop loi khơng tam thưòng µ = µ (B) µ1 + (1 − µ (B)) µ2 Vì vắy khụng l cnc tr% ieu ny mõu thuan vúi giỏ thiet Vắy l Ergodic %nh lý 3.8 Cho T : X → X m®t ánh xa liên tuc cna m®t khơng gian metric compact ton tai nhat m®t đ® đo Ergodic M (X, T ) ChNng minh Theo đ%nh lý 3.7, tương đương vói chúng minh rang M (X, T ) có iem cnc tr% Chon mđt dóy trự mắt đem đưoc {fi} cna C (X, R) Xét hàm so au tiờn i=0 f0 Vỡ ỏnh xa f dà M (X, T ) → R : µ ›→ X liên tuc M (X, T ) compact, ton tai ν ∈ M (X, T ) cho á f0d = sup àM (X,T ) X X f0dà Neu chỳng ta %nh ngha ν ∈ M (X, T ) | f0dν = M = sup f0dà àM (X,T ) X X  ó chí rang M0 khơng rong Mà M0 đóng, compact Chúng ta xét hàm so tiep theo f1 %nh ngha á f1dà M1 = ν ∈ M0| f1dν = sup   àM0 X X Lắp luắn nh trờn M1 l mđt t¾p khơng rong đóng cna M0 Tiep tuc quy nap, đ%nh nghĩa   ¸ ¸   dµ ν ∈ M | f dν = sup j j−1 Mj =  j f  µ∈Mj−1 X X v ú thu oc mđt dóy cỏc long M (X, T ) ⊃ M0 ⊃ M1 ⊃ ⊃ Mj ⊃ vói moi Mj khơng rong đóng Bây giò xét giao j=∞ M∞ = ∩ j =0 Mj Nh¾n thay M∞ khơng rong nên có the chon đưoc µ∞ ∈ M∞ Ta se chí rang µ∞ cnc tr% Giá sú có the viet µ∞ = αµ1 + (1 − α) µ2 vói µ1, µ2 ∈ M (X, T ) , < α < ∞ Ta phái chí rang µ1 = µ2 Vì {fi} i=0 trù m¾t C (X, R) nên ta chí can á fjdà1 = fjdà2j X Xột f0 Giỏ sỳ X f0dà = X X f0dà1 + (1 ) X f0dà2 Trong ú f0dà max M M0 nờn f0dà1, X X X f0dà f0dà max = f0dà2 á X sup f0dà2 f0dà1, X    µ∈M (X,T ) X X Do ú á f0dà1 = f0dà2 = X X X á f0dà Tng tn oi vúi f1 ta có f1dµ1 = X f1dµ2 = X f1dµ∞ X Tiep tuc quy nap, chí rang vúi bat kỡ j á fjdà2 fjdà1 = X Vắy l cnc tr % 3.5 3.5.1 X Phép truy toán Ergodic đơn tr% Đ%nh lý phép truy tốn cúa Poincare Cho (X, β, µ) không gian xác suat Đ%nh lý 3.9 (Đ%nh lý phép truy toán cúa poincare) Cho T : X → X phép bien đoi báo tồn đ® đo cna (X, β, µ) cho A ∈ β có µ (A) > vói x ∈ A µ -h.k.n, quy đao {T n x}∞n=0 quay lai A vô han lan ChNng minh Đ¾t E = {x ∈ A|T n x ∈ A} vói vơ han n ta phái chí rang µ (A\E) = Neu ta viet F = {x ∈ A|T nx ∈/ A∀n ≥ 1} ta có đong nhat thúc ∞ A\E = [ TkF ∩ A k=0 Do ta có ưóc lưong ∞ [ µ (A\E) = µ TkF ∩ A k=0 ≤µ ∞ [ T −k F k=0 ∞ ≤ µ T −k F k=0 Bây giò ta giá sú rang n>m T−mF ∩ T −n F ƒ= ∅ Neu y nam giao Tmy ∈ F ; T n−m (T m y) = T n F ∈ F ⊂ A Đieu mâu thuan vói đ%nh nghĩa cna F ∞ ho ròi nên ta có Vì v¾y T −mF ; T −n F ròi Vì {T −k F }n= ∞ ∞ [ µ(T −k F ) = µ( T −k F ) ≤ µ(X) = k=0 k=0 Vì µ(T−k F ) = µ(F ) ∀k ≥ (do đ® đo đưoc báo tồn) nên so hang phép lay tong có giá tr% hang µ(F ) Túc phái có µ(F ) = Vắy à(A\E) = 3.5.2 Ergodic n tr% %nh ngha 3.3 Cho (X, β) khơng gian đ® đo cho T : X → X m®t phép bien đoi đo đưoc Neu có nhat đ® đo xác suat T-bat bien ta nói rang T Ergodic đơn tr% Đ%nh lí 3.10 Cho X khơng gian metric compact cho T : X → X mđt phộp bien oi liờn tuc Cỏc mắnh e sau tương đương: i T Ergodic đơn tr%; ii.Vói moi f ∈ C(X) ton tai m®t hang so c(f ) cho n−1 n đeu j=0 vói x ∈ X n → ∞ ChNng minh f (T jx) → c(f ) (ii) → (i): Giá sỳ rang à, v l cỏc đ o xỏc suat T-bat bien, ta se chí rang µ=v Lay tích phân bieu thúc (ii) ta có ¸ n−1 ¸ f dµ = lim f ◦ T jdµ ¸n→∞ n j=0 X X = lim n−1 f T j dà n j=0 áX n = c(f ) dµ = c(f ) X Tương tn the, ta có ¸ f dv = c(f ) X ¸ Do f dv ¸ f µ= X X v vỡ vắy à= v (theo %nh lớ bieu dien Riesz) (i) → (ii) Cho M (X, T ) = {à} Neu (ii) l ỳng thỡ theo %nh lớ hđi tu Dominated ta ¸ can phái có c (f ) = fdµ Giá sú (ii) sai có the tìm f ∈ C(X) dãy X nk ∈ N xk ∈ X cho lim ¸ n−1 j f (T xk f dµ ) ƒ= k→∞ nk j=0 X Vói moi k ≥ 1, đ%nh nghĩa m®t đ® đo vk ∈ M (X) bói nk −1 vk = Đe nk ¸ j=0 nk −1 f dvk = X T j ∗ δ xk n k f jxk ) (T j=0 Khi vk có m®t dãy h®i tu yeu en đ o v M (X, T ) ắc biắt ta cú á f dv = lim k X X f dà f dvk = X Do v ƒ= µ Đieu mâu thuan vói Ergodic đơn tr% 3.5.3 Ví dn Ví dn 1: Cho T = R/Z, T : X → X : x ›→ x+αmod1, α vơ tý T Ergodic n tr% (v à= đ o Lebesgue l đ o xác suat bat bien đơn tr%) ChNng minh Cho m m®t đ® đo xác suat bat bien ta se chí rang m =µ Viet ek (x) = e2πikx Thì ¸ ¸ ek (x) dm = ek (T x) dm X X ¸ = ek (x + α) dm X ¸ = e2πikα ek (x) dm X Vì α vơ tý, neu k ƒ= e2πikα ƒ= nên ¸ ek (x) dm = 0.(1) X Cho f ∈ C(X) có chuoi Fourier ∞ akek mà a0 = f dà Vúi n 1, ta cho σn bieu k=−∞ X th% giá tr% trung bình cna n tong riêng đau tiên Thì σn → f đeu n → ∞ Do ¸ ¸ f dm lim σn dm = n→∞ X X Tuy nhiên sú dung (1), ta có the tính tốn đưoc ¸ fdà ndm = a0 = X X Do ú ta cú f dm = X f dà vúi moi f C(X) Vỡ vắy m = X Ví dn 2: Cho T : X → X Chúng minh rang: XT −1B = XB ◦ T ChNng minh Ta có XT −1B (x) = ⇔ x ∈ T −1 B ⇔ T (x) ∈ B ⇔ XB(T (x)) = 42 hay XT −1B = XB ◦ T Ví dn 3: Cho T : R2/Z2 → R2/Z2 xác đ%nh bói: T (x, y) = (x + α, x + y) 43 Giá sú α ∈/ Q Bang cách sú dung chuoi Fourier, chúng minh T Ergodic báo tồn đ® đo Lebesgue ChNng minh: Giá sú f ∈ L2 (X, β, µ) có chuoi Fourier: (n,m)∈Z c(n,m)e2πi(nx+my) f ◦ T có chuoi Fourier: (n,m)∈Z c(n,m)e2πi(n(x+α)+m(x+y)) = c(n,m)e2πiαe2πi((n+m)x+my) (n,m)∈Z2 c(n+m,m) = e2πinαc(n,m) So sánh h¾ so ta có: Giá sú m ƒ= Khi vói ∀j > 0, c(n+jm,m) = = c(n+m,m) = c(n,m) vói |e2πinα| = Neu m ƒ= (n + jm, m) → ∞ j → ∞ Sú dung bo đe Riemann-Lebesgue ta có c(n,m) = neu m ƒ= Khi f có chuoi Fourier: (n,0)∈Z c(n,0)e2πinx f ◦ T có chuoi Fourier: (n,0)∈Z c(n,0)e2πinαe2πinx So sánh h¾ so ta có: c(n,0) = c(n,0)e2πinα Giá sú n ƒ= Khi α ∈/ Q, e2πinα ƒ= c(n,0) = trù n=0 Do f có chuoi Fourier c(0,0) Vắy T l Ergodic bỏo ton đ o Lebesgue KET LUắN Khúa luắn ny trỡnh by mđt so van đe sau: -Các phép bien đoi báo toàn đ® đo ví du ve phép bien đoi báo tồn đ® đo - Đ® đo Ergodic m®t so ví du ve đ® đo Ergodic Đây nhung co gang cna bán thân em dna vào vi¾c tỡm hieu mđt so ti liắu tham khỏo ắc biắt hồn thành khòa lu¾n em đưoc sn hưóng dan t¾n tình cna T.S Ta Ngoc Trí Em xin chân thành cám ơn ! TÀI LIfiU THAM KHÁO [1] Nguyen Phu Hy-Giáo trình giái tích hàm, Đai hoc sư pham Hà N®i 2(1992) [2] Bài giáng cna Dr Charles.Walkden-Đai hoc tong hop manchester Xem tai đưòng link: www.maths.manchester.ac.uk/ cwalkden/ergodic-theory/ergodic-theory.html ... Đ® ĐO TRONG KHƠNG GIAN ERGODIC 3.1 Đ%nh nghĩa cúa Ergodic Đ%nh nghĩa 3.1: Cho (X, β, µ) m®t khơng gian xác suat cho T : X → X m®t phép bien đoi báo tồn đ® đo Ta nói rang T m®t phép bien oi Ergodic( ... nhat đ® đo xác suat Borel M (X) cho (f ) = fdµ X Chương CÁC PHÉP BIEN ĐOI BÁO TỒN Đ® ĐO 2.1 2.1.1 Đ® đo bat bien vái phép bien đoi liên tnc Đ® đo bat bien Cho (X, , à) l mđt khụng gian xỏc... Trí, em chon đe tài:” Các phép bien đoi báo tồn đ® đo khơng gian Ergodic ” Cau trúc cúa khóa lu¾n Khóa lu¾n gom chương Chương 1: Các kien thúc só Chương 2: Các phép bien đoi báo tồn đ® đo Chương