Phép biến đổi Laplace và ứng dụng trong việc giải phương trình vi phân thường

Khóa luận tốt nghiệp MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Phép biến đổi Laplace phép biến đổi có vai trò quan trọng giải tích Qua phép biến đổi Laplace, phép tốn giải tích phức tạp đạo hàm, tích phân đơn giản hóa thành các phép tốn đại số Nhờ số tính chất riêng mà biến đổi Laplace đặc biệt hữu ích giải phương trình vi phân thường, phương trình đạo hàm riêng, phương trình tích phân Phép biến đổi Laplace biến hàm gốc theo biến thành hàm ảnh theo biến Với phép biến đổi việc tìm hàm gốc thỏa mãn biểu thức chứa đạo hàm tích phân (nghiệm phương trình vi phân, phương trình tích phân, phương tình đạo hàm riêng) quy tính tốn biểu thức đại số hàm ảnh Khi biết hàm ảnh ta sử dụng phép biến đổi Laplace ngược để tìm hàm gốc Ngồi ra, phép biến đổi Laplace nghiên cứu vật lý nhiều môn học khác Phương trình vi phân lĩnh vực quan trọng toán học Để giải trực tiếp loại phương trình nói chung khó, người ta sử dụng phép biến đổi Laplace để giải loại phương trình Để tiếp cận với lý thuyết hiểu biết phần ứng dụng nó, định hướng thầy hướng dẫn em chọn đề tài "Phép biến đổi Laplace ứng dụng việc giải phương trình vi phân thường" để hồn thành khóa luận tốt nghiệp đại học chun ngành Tốn giải tích Vũ Thị Mai K35D - SP Tốn Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu phép biến đổi Laplace ứng dụng việc giải phương trình vi phân trình thường Đối tượng nghiên cứu Nghiên cứu phép biến đổi Laplace phương trình vi phân thường Ứng dụng biến đổi Laplace việc giải phương trình vi phân thường Phương pháp nghiên cứu Tra cứu tài liệu, tổng hợp theo đạo thầy hướng dẫn để hồn thành mục đích đặt Cấu trúc khóa luận Ngồi phần mở đầu, phụ lục, kết luận, tài liệu tham khảo khóa luận gồm: Chương Một số kiến thức chuẩn bị Chương Phép biến đổi Laplace Chương Ứng dụng phép biến đổi Laplace việc giải phương trình vi phân thường CHƯƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Sơ lược giải tích phức 1.1.1 Số phức Định nghĩa Một số phức biểu thức dạng x  iy , x y số thực số i thỏa mãn i  1 Kí hiệu số phức z viết z  x  iy i gọi đơn vị ảo, x gọi phần thực, y phần ảo số phức z  x  iy Tập hợp số phức kí hiệu □ Tập hợp số phức đồng với mặt phẳng □ phép tương ứng: □ →□ z  x  iy   x, y  □ Một cách tự nhiên, người ta gọi Ox trục thực, Oy trục ảo Phép cộng phép nhân số phức thực cách thơng thường phép tốn tập hợp số thực với lưu ý i  1 Ta có: z1  z2   x1  x2   i  y1  y2  z1z2   x1  iy1   x2  iy2   x1x2  ix1 y2  iy1x2  i y1 y2   x1 x2  y1 y2   i  x1 y2  y1 x2  Với số phức ta xác định module số phức z z x2  y Số phức liên hợp z  x  iy x  iy kí hiệu z  x  iy  x  iy Khơng khó khăn ta kiểm tra Re z  zz z  zz, z  ; Im z  z z zz 2i , với z  Số phức khác biểu diễn dạng cực z  rei với r  module,  □ gọi argument số phức z (argument số phức z xác định cách với sai khác bội 2 ) i e  cos  i sin Do ei  nên r  z  góc hợp chiều dương trục Ox nửa đường thẳng xuất phát từ gốc tọa độ qua điểm z Nếu z  rei w  sei zw  rse i(    ) 1.1.2 Hàm số biến số phức Cho hàm số f biến số phức z Khi ta viết dạng sau: f  z  u  x, y  iv x, y  , u, v hàm số biến số thực Tính khả vi hàm số biến số phức Cho hàm số f xác định miền G  □ điểm z thuộc miền G , hàm f gọi khả vi điểm z tồn số phức   z  cho f  z  z   f  z     z  z  R R  z  z (1.1) Khi đó,   z  gọi đạo hàm f z Hàm f gọi khả vi miền G f khả vi điểm miền G Hàm giải tích Cho hàm f xác định miền G z  , z □ 0 f gọi hàm giải tích điểm Khi hàm z0 hàm f khả vi lân cận điểm z0 Điểm mà hàm f khơng giải tích gọi điểm kì dị hay f gọi có điểm kì dị Nhận xét Hàm f z   giải tích điểm z0 khả vi điểm Tuy nhiên điều ngược lại nói chung khơng Trên miền G mở hàm f z   giải tích G f khả vi 1.1.3 Khai triển Laurent Tại cực điểm cấp n ta có hàm   z    z  a n f z hàm giải tích miền z  a   ta khai triển thành chuỗi Taylor    z    k  z  a  k 0 k  , f  z     z  a i0 k ,  i1, i  1, Như vậy, khai triển biết chuỗi Laurent, độ phân giải đơn giản điểm kì dị 1.2 Một số vấn đề phương trình vi phân Định nghĩa Phương trình vi phân phương trình chứa hàm cần tìm đạo hàm Nếu hàm cần tìm phụ thuộc vào biến độc lập phương trình gọi phương trình vi phân thường Nếu hàm cần tìm phụ thuộc hai nhiều biến độc lập phương trình gọi phương trình vi phân đạo hàm riêng Trong khn khổ đề tài này, ta xét phương trình vi phân thường Phương trình vi phân thường có dạng tổng quát F  x, y, y, y , , y    n (1.2) F hàm xác định miền G không gian □ n2 gồm biến độc lập x y hàm biến độc lập đạo hàm cấp đến cấp n Cấp phương trình vi phân thường xác định cấp cao đạo hàm xuất phương trình Nếu từ phương trình (1.2) ta tìm biểu diễn đạo hàm cấp  n qua biến lại ta nói phương trình giải đối cao y với  n y gọi phương trình dạng tắc, tức phương trình (1.2) có dạng :  n y  f  x, y, y, , y   n1 Nghiệm phương trình (1.2) (1.3) hàm khả vi n lần khoảng  a,b  với x thuộc khoảng  a,b  Đường cong (1.3) y  y  x thỏa mãn phương trình y  y  x , x   a,b gọi đường cong tích phân phương trình cho Để giải phương trình vi phân ta dùng thuật ngữ ''tích phân phương trình vi phân'' y  y  x Bài toán Cauchy Bài tốn tìm nghiệm phương trình (1.2) xác định khoảng  a,b  thỏa mãn điều kiện : y0  y  x0  , y0  y  x0  , , y(n1)  y(n1)  x0  (1.4) gọi toán Cauchy Điều kiện (1.4) gọi điều kiện ban đầu Vấn đề tồn nghiệm phương trình vi phân Định lý 1.1 (Tồn nghiệm) Cho phương trình vi phân cấp n dạng tắc: y   n f  x, y, y, y , , y   n1 Nếu vế phải phương trình vi phân hàm liên tục n  n1 biến miền □ n1 chứa điểm x , y , y , , y  f đạo hàm riêng chứa điểm f 0  f , , , liên tục tồn khoảng  a,b  y y ' y(n) x0 để khoảng tồn hàm y  y  x khả vi n lần khoảng thỏa mãn điều kiện đầu (1.4) CHƯƠNG PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE 2.1 Phép biến đổi Laplace thuận 2.1.1 Hàm gốc f  t  gọi hàm gốc Định nghĩa Hàm số biến số thực thỏa mãn điều kiện sau đây:  i  f  t  liên tục khúc khoảng hữu hạn trục thực t  ii f  t   t  iii f  t  không tăng nhanh hàm số mũ, nghĩa tìm số M    cho với t ta có: t f (t)  Me Số  = inf  với tất số  thỏa mãn  iii gọi tỷ số tăng f Ví dụ 2.1 Chứng minh hàm đơn vị sau hàm gốc t  0  t    1 t  Giải Điều kiện  i   ii rõ ràng thỏa mãn Đối với điều kiện  iii ta lấy M  2;   có  (t)  2e0t  Vậy   t  hàm gốc Ví dụ 2.2 Chứng minh hàm số sau hàm gốc f (t)  t  (t)  t t   0 t  Giải Điều kiện  i   ii rõ ràng thỏa mãn Đối với điều kiện  iii ta thấy t e 1t t Nên t  rõ ràng e  t 2! t  t 2! 3! t hay t  2e f (t)  t  (t)  2e t Từ suy với t xảy đẳng thức: có nghĩa điều kiện  iii thỏa mãn với M  2;   Ví dụ 2.3 Hàm sau có phải hàm gốc hay không  t t0 t2 e f (t)  e  (t)   t  0 Giải Điều kiện  i   ii iii rõ ràng thỏa mãn Đối với điều kiện ta thấy rằng: Khi t  tồn tại M    cho t t t t  M Bất đẳng thức không xảy với t lớn e  Me lim t Do điều kiện  iii khơng hàm gốc e Met et    t M; không thỏa mãn hàm f (t)  t e  (t) y y Đặt c1  y0, c2  t ta nghiệm tổng quát: y  t   te sin 2t  e t  c1 cos 2t  c2 sin 2t  3.4 Phương trình vi phân với hệ số hàm Phép biến đổi Laplace áp dụng để giải phương trình vi phân tuyến tính hệ số hàm số đa thức Xét phương trình vi phân  tuyến1 tính sau: a0  t  y  t   a1  t  y  t    an  t  y  t   n   t  , i  0, n f t  (3.8) n  đa thức t , bậc nhỏ n Gọi L  y  t    Y  p  Áp dụng tính chất đạo hàm hàm gốc ta   tìm hàm ảnh đạo hàm y t     t  , i  0, n sau đa thức nên áp dụng tính chất đạo hàm ta tìm hàm ảnh số hạng vế phải phương trình (3.8) phương trình vi phân hàm ảnh Y  p  phương trình vi phân cấp nhỏ n Giải phương trình vi phân Y  p tìm Y  p sau biến đổi Laplace ngược L1 Y  p    y  t tìm nghiệm y  t     Ví dụ 3.13 Tìm nghiệm tổng quát phương trình ty   t   y  t   Giải Gọi L  y  t    Y  p  ta có L  y  t    pY  p   y  0 L  y   t    p 2Y  p   py    y   d L ty   t     (3.9)  p2Y  p  py  0  y  0    pY  y  0 dY p dp   dp Biến đổi Laplace thuận hai vế (3.9) ta  pY   pY  y  0  pY  y  0  Hay Y p Y (3.10) 3y  0 p2 Đây phương trình vi phân tuyến tính cấp hàm ảnh Y  p Giải ta Y  p  y  0  Vậy y  t   y  0  c1 t3 3! p4 p Biến đổi ngược ta được: c 1 y  t   L Y  p    y    c1 t3 3! nghiệm cần tìm Ví dụ 3.14 Tìm nghiệm riêng phương trình xy   t    x  2 y  y  2e x cos x (3.11) x biến số , y ẩn hàm L  y  x    Y  p  ta Gọi có Giải d L  x  2 y  L xy  2y    dp  pY  p   y  0   2 pY  p  y  0     pY   p  Y  p  pY  p  y  0 L y   p Y  p  py  0  y  0 d L xy     p2Y  p  py  0  y  0    p2Y   p  pY  p  y  0  dp  Do biến đổi thuận vế (3.11) ta phương trình hàm ảnh Y  p sau  p Y   p  pY  p  y  0  pY   p  Y  p  pY  p  y  0  Y  p 2 p1  p  1  Hay  p  p  1Y   p  y  0  2 p 2p p1 y  0  Y   p   p1 2 p  p  1   p2  p  2     p  p 1  Y  p   y  0   p p   p2    2 p p (3.12)  Biến đổi Laplace ngược (3.12) ta tìm nghiệm y  x ý 1 L Y   p     xy   p  1 L L1   1  1  1, L p  1        e x cos x  e x sin x    p  1  p 2p2 L   p  1    e x  cos x  sinx  et      p  p  Như biến đổi ngược (3.12) ta nhận đẳng thức  xy   y  0  e Suy y  y  0 1 e x 1 x e   1  ex cos x  sin x   cos x  sin x nghiệm riêng cần tìm  x x PHỤ LỤC Bảng đối chiếu gốc - ảnh STT f t 1 tn at e teat n at t e sint 10 11 p t F  p cost sht cht at e sint p2 n! pn1 pa p a n! pa n1  2 2 p  p p   2 2 p  p p   pa  at 12 e cost 13 e sht at at 14 e cht 15 t sint pa pa   p  a   2 p a  p  a   2 p  p2   2 16 t cost 17 tsht p  2 p  p2    p  tcht at 19 te sin t 20 te cost at at te sht  p   2 2 2  p  a   p  a        p  a    21  p   2 18 2  p  a    2  p  a    p  a        p  a   at 22 te cht 23 bt e sin at  a  b 24 e 25 bt       sin at  a   p  b at p  31 at t e 32 at  at  t 1 e   2  33 a b 2  e a a  p a  2 e  at  a2  at p  p  a p  b ppa p  p  a  p  b   eat  ebt   a  b tebt  2  p at 1 e   at ate  a2  a  b a  p  a p  b 1 p b at   p  b  a  b  beat   a  b ebt    ab a  b 29 30 cos at  1  cos  a2 27  aeat  bebt 26 28   p  a     2 pa p pa  p  a    sin bt  cosbt  b  p b  2 p  p  b   a    34 35 36 37  1 e 2 a b  a b   cos at  sin at    a bt   ae at b  a cosbt  bsin bt  p  p  a   p  b2  p2  p  a  1  at a e  absin bt  b cosbt  2 a b e  at a a3  t  2a a p b p p  p  a  p  a  KẾT LUẬN Trên tồn nội dung khóa luận tốt nghiệp "Phép biến đổi Laplace ứng dụng việc giải phương trình vi phân thường" Khóa luận giải vấn đề đây: Mục đích khóa luận sử dụng biến đổi Laplace để giải phương trình vi phân thường Tuy nhiên để thực điều đó, chúng tơi trình bày số kiến thức số phức, giải tích phức, hàm số biến số phức Hệ thống hóa số kiến thức phương trình vi phân thường Trình bày cách hệ thống lý thuyết biến đổi Laplace gồm: Khái niệm tính chất phép biến đổi Laplace thuận, phép biến đổi Laplace ngược định lý Áp dụng biến đổi Laplace giải phương trình vi phân thường gồm: Phương tình vi phân với hệ số số, phương trình vi phân với hệ số hàm, nghiệm tổng qt Luận văn có tính chất tổng quan qua em bắt đầu làm quen với phương pháp nghiên cứu đặc thù làm rõ số nhận xét, ví dụ, giải số tập có hướng dẫn đáp số tài liệu sử dụng khóa luận Trong nghiên cứu hoàn thành đề tài thời gian hạn chế nên luận văn thiếu sót em mong nhận góp ý thầy cô giáo bạn sinh viên TÀI LIỆU THAM KHẢO Đặng Đình Áng, Trần Lưu Cường, Huỳnh Bá Lân, Nguyễn Văn Nhân, Phạm Hoàng Quân (2002), Biến đổi tích phân, NXB Giáo dục Nguyễn Minh Chương, Hà Tiến Ngoạn, Nguyễn Minh Trí, Lê Quang Trung (2000), Phương trình đạo hàm riêng, NXB Giáo dục Nguyễn Thừa Hợp (2001), Giáo trình phương trình đạo hàm riêng, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội E.A Coddington (1989), An Introduction to Ordinary Differential Equations, Dover Publications, New York P.B Guest (1999), Laplace Transfroms and an Introduction to Distributions, Ellis Horwood LỜI CẢM ƠN Em xin chân thành cảm ơn giúp đỡ thầy giáo, giáo tổ Giải tích bạn sinh viên khoa Toán trường Đại học sư phạm Hà Nội Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Khuất Văn Ninh tận tình giúp đỡ em q trình hồn thành khóa luận tốt nghiệp Lần thực cơng tác nghiên cứu khoa học nên việc trình bày khóa luận khơng tránh khỏi hạn chế thiếu sót Tác giả xin chân thành cảm ơn ý kiến đóng góp thầy giáo, giáo bạn sinh viên Hà Nội, tháng năm 2013 Tác giả Vũ Thị Mai Vũ Thị Mai K35D - SP Tốn LỜI CAM ĐOAN Khóa luận tốt nghiệp em hoàn thành hướng dẫn PGS.TS Khất Văn Ninh với cố gắng thân Trong q trình làm khóa luận, em kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Em xim cam đoan kết nghiên cứu riêng thân em, không trùng với kết tác giả khác Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, tháng năm 2013 Tác giả Vũ Thị Mai MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Sơ lược giải tích phức .3 1.2 Một số vấn đề phương trình vi phân CHƯƠNG PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE 2.1 Phép biến đổi Laplace thuận 2.2 Phép biến đổi Laplace ngược .24 CHƯƠNG ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TRONG VIỆC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG .35 3.1 Phương pháp chung .35 3.2 Giải phương trình vi phân tuyến tính với hệ số số 38 3.3 Nghiệm tổng quát 47 3.4 Phương trình vi phân với hệ số hàm 49 PHỤ LỤC .52 KẾT LUẬN 56 TÀI LIỆU THAM KHẢO 57 ... cứu phép biến đổi Laplace ứng dụng vi c giải phương trình vi phân trình thường Đối tượng nghiên cứu Nghiên cứu phép biến đổi Laplace phương trình vi phân thường Ứng dụng biến đổi Laplace vi c giải. .. kiến thức chuẩn bị Chương Phép biến đổi Laplace Chương Ứng dụng phép biến đổi Laplace vi c giải phương trình vi phân thường CHƯƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Sơ lược giải tích phức 1.1.1 Số... gọi phương trình vi phân thường Nếu hàm cần tìm phụ thuộc hai nhiều biến độc lập phương trình gọi phương trình vi phân đạo hàm riêng Trong khuôn khổ đề tài này, ta xét phương trình vi phân thường