Phép biến đổi Laplace và ứng dụng

Khoá luận tốt nghiệp đại học MỤC LỤC Trang LỜI MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài 2 Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Cấu trúc khóa luận NỘI DUNG Chương I: Một số khái niệm kết chuẩn bị 1.1 Sơ lược giải tích phức 1.2 Một số khái niệm phương trình hệ phương trình vi phân12 Chương II: Phép biến đổi Laplace 20 2.1 Biến đổi Laplace thuận 20 2.2 Biến đổi Laplace ngược 41 Chương III: Ứng dụng phép biến đổi Laplace 57 3.1 Ứng dụng giải phương trình vi phân hệ phương trình vi phân 57 3.2 Ứng dụng để tính tích phân suy rộng tính tổng chuỗi 97 Bảng đối chiếu gốc - ảnh 106 KẾT LUẬN 110 TÀI LIỆU THAM KHẢO 111 Sinh viên Nguyễn Thị Liên – K32E khoa Toán LỜI MỞ ĐẦU 1.Lý chọn đề tài: Phép biến đổi Laplace phép biến đổi tích phân Lý thuyết biến đổi tích phân ban đầu áp dụng để giải phương trình vi phân thường, phương trình vi phân đạo hàm riêng Phương trình vi phân mợ t lĩnh vực tốn học bản, vừa mang tính lý thuyết, vừa mang tính ứng dụng rộng rãi Thơng thường tốn phương trình vi phân rút từ vấn đề thực tế sau người ta tìm có nhiều ứng dụng nhiều lĩnh vực khác Vật lý, Kỹ thuật, Xử lý tín hiệu, Xác suất… Các sách tham khảo dành cho sinh viên nghiên cứu sử dụng phép biến đổi Laplace vào phương trình hệ phương trình vi phân chưa có nhiều Bởi việc nghiên cứu phép biến đổi cần thiết sinh viên Do mà em chọn đề tài: ”Phép biến đổi Laplace ứng dụng” để thực khóa luận tốt nghiệp đại học 2.Mục đích nghiên cứu: Bước đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học tìm hiểu sâu phương trình hệ phương trình vi phân, giải tích hàm đặc biệt phép biến đổi Laplace 3.Nhiệm vụ nghiên cứu: Nghiên cứu phép biến đổi Laplace thuận nghịch, ứng dụng phép biến đổi vào giải toán 4.Phƣơng pháp nghiên cứu: Nghiên cứu lý luận, phân tích, tổng hợp đánh giá 5.Cấu trúc khóa luận: Ngồi phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo, nội dung khóa luận gồm ba chương : Chương I : Một số khái niệm kết chuẩn bị Chương II : Phép biến đổi Laplace Chương III : Ứng dụng phép biến đổi Laplace NỘI DUNG CHƢƠNG I: MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ KẾT QUẢ CHUẨN BỊ 1.1 SƠ LƢỢC VỀ GIẢI TÍCH PHỨC 1.1.1 Hàm biến phức 1.1.1.1 Khái niệm hàm biến phức Cho tập Một hàm biến phức xác định quy luật đặt tương ứng Ký hiệu , + Nếu + Nếu + Đặt với với phần tử hàm gọi hữu hạn với ∈ hàm gọi bị chặn Khi đó: ) hàm hai biến thực gọi tương ứng phần thực phần ảo hàm Ký hiệu : ; 1.1.1.2 Hàm số liên tục Hàm , gọi liên tục , +) Nếu nếu: có: định nghĩa tương đương với: , +) Nếu hàm số , liên tục điểm thuộc gọi liên tục +) Hàm v(x, y) liên tục +) Tổng, hiệu, tích, thương (nếu mẫu khác 0) hai hàm số liên tục hàm số liên tục +) Hàm gọi liên tục nếu: , , 1.1.2 Hàm giải tích: Tập hợp gọi lân cận dương đấy) ( số Còn tập gọi lân cận điểm xa vô tận 1.1.2.1 Đạo hàm hàm phức: Cho hàm xác định miền , Cho có số gia , số gia hàm là: Nếu tồn hữu hạn: hàm gọi có đạo hàm giới hạn gọi đạo hàm hàm , ký hiệu Như vậy: Hàm có đạo hàm thì: ) vơ bé bậc cao Ta gọi: , vi phân hàm khả vi Chú ý: Đạo hàm hàm phức có cơng thức quy tắc tính tương tự hàm thực 1.1.2.2 Hàm giải tích: 1.1.2.2.1 Định lý Cauchy-Riemann: Hàm số khả vi điểm (như hàm số biến số phức ) hàm số khả vi (như hàm số giá trị thực hai biến thực , ) đạo hàm riêng chúng điểm thoả mãn điều kiện: 1.1.2.2.2 Định nghĩa hàm giải tích: +) Hàm hàm điểm xác định gọi giải tích (hay chỉnh hình) có đạo hàm điểm lân cận Hay: có đạo hàm +) Hàm số gọi hàm giải tích miền giải tích điểm thuộc miền +) Nhận xét: Ta mở rộng định nghĩa nêu tới trường hợp ánh xạ từ hạn cònta nói vào phép nghịch đảo Như giải tích ta nói giải tích nếu: giải tích Nếu khơng có đặc biệt ta ln coi Ví dụ: Hàm , miền tuỳ ý hữu hạn Nếu Nếu 1.1.3 Tích phân hàm biến phức giải tích hữu , 1.1.3.1 Định nghĩa cách tính - Tích phân hàm số xác định, liên tục đường cong khả trường L với mút a,b hướng từ a đến b, ký hiệu giới hạn tổng tích phân: điểm chia thành phần, - Giả sử điểm tuỳ ý thuộc cung với , Với giả thiết cho hàm số đường cong , ta ln có: phần thực phần ảo vế phải (1.1.1) tích phân đường loại lấy - Khi theo hướng từ a đến b đường cong khả trường đóng (1.1.1) có nghĩa tích phân lấy theo hướng dương (hướng mà chuyển động L, miền hữu hạn giới hạn L nằm bên trái) Như vậy, tính tích phân phức ta áp dụng cơng thức (1.1.1) tính tích phân đường loại tương ứng ta sử dụng phương pháp biết - Nếu L đường cong trơn, có phương trình dạng tham số: Thì ta có cơng thức: tích phân xác định hàm số biến số thực nhận giá trị phức 1.1.3.2 Tích phân Cauchy (một số định lý quan trọng) 1.1.3.2.1 Định lý tích phân Cauchy miền đơn liên Nếu hàm số giải tích miền D đơn liên L đường cong Jordan đóng, trơn khúc nằm D Lấy phép biến đổi Laplace ngược tra bảng đối chiếu gốc - ảnh ta nghiệm tổng quát hệ là: Đặt: Khi nghiệm hệ là: 3.2: ỨNG DỤNG ĐỂ TÍNH TÍCH PHÂN SUY RỘNG VÀ TÍNH TỞ NG CỦ A CH̃ I 3.2.1 Ứng dụng để tính tích phân suy rộng Ta chứng minh rằng: a) b) hàm gốc : c) tích với Nếu thì: (định lý Paseval) Chứng minh: a) Khi b) Ta có: c) Ta có: Với : ta có: ; ; , giải  Ví dụ áp dụng: Tính tích phân suy rộng sau Ta sử dụng công thức 3.2.1.a) từ Ta có: Theo tính chất tích phân ảnh ta có: Vậy: 3.2.2 Ứng dụng để tính tổng chuỗi Ta chứng minh rằng: a) Nếu b) Cho hàm , , cho: Chứng minh: có  Ví dụ áp dụng: Tính tổng chuỗi sau Ta biết với a, b có: Theo 3.2.2.a) ta có: Xét hàm Ta có: Theo cơng thức 3.2.2.b) ta có: BẢNG ĐỐI CHIẾU GỐC - ẢNH stt f(t) 1 t 10 11 12 F(p) 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 KẾT LUẬN Trên tồn nội dung khố luận tốt nghiệp:” Phép biến đổi Laplace ứng dụng” mà em mạnh dạn đưa Các tập phương pháp nghiên cứu để đến lời giải khoá luận tốt nghiệp em áp dụng học tập em học phương trình đạo hàm riêng giải tích hàm sự hướng dẫn thầy khoa Tốn So với phương pháp cổ điển để giải phương trình vi phân hệ số ta thấy phương pháp sử dụng phép biến đổi Laplace có ưu điểm vượt trội: + Dù n lớn ta cần giải phương trình đại số bậc Y(p) + Khối lượng tính tốn nói chung so với phương pháp biến thiên số Lagrance + Cho nghiệm riêng không cần thông qua nghiệm tổng quát Trong trường hợp muốn có nghiệm tổng quát ta cần đặt , ,…, , với số tuỳ ý Biến đổi Laplace nhiều ứng dụng tốn học lĩnh vực khác Trong khuôn khổ khoá luận tốt nghiệp em khai thác vấn đề trên, em mong nghiên cứu thêm vấn đề này, kính mong sự góp ý thầy cô giáo bạn sinh viên để khố luận tốt nghiệp em hồn thiện Em xin chân thành cảm ơn! TÀI LIỆU THAM KHẢO Đặng Đình Áng, Trần Lưu Cường, Huỳnh Bá Luân, Nguyễn Văn Nhân (2002), Biến đổi tích phân, Nxb Giáo dục Đậu Thế Cấp, Bài tập hàm biến phức (2000), Nxb Giáo dục Nguyễn Thế Hoàn, Trần Văn Nhung, Bài tập phương trình vi phân (1979), Nxb Đại học Trung học chuyên nghiệp Nguyễn Thế Hồn, Phạm Phu, Cơ sở phương trình vi phân lí thuyết ổn định (2003), Nxb Giáo dục Nguyễn Phụ Hy, Bài tập hàm số biến số phức (2006), Nxb Khoa học Kỹ thuật ... sử dụng phép biến đổi Laplace vào phương trình hệ phương trình vi phân chưa có nhiều Bởi việc nghiên cứu phép biến đổi cần thiết sinh viên Do mà em chọn đề tài: Phép biến đổi Laplace ứng dụng ... trình vi phân, giải tích hàm đặc biệt phép biến đổi Laplace 3.Nhiệm vụ nghiên cứu: Nghiên cứu phép biến đổi Laplace thuận nghịch, ứng dụng phép biến đổi vào giải toán 4.Phƣơng pháp nghiên cứu:... bị Chương II : Phép biến đổi Laplace Chương III : Ứng dụng phép biến đổi Laplace NỘI DUNG CHƢƠNG I: MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ KẾT QUẢ CHUẨN BỊ 1.1 SƠ LƢỢC VỀ GIẢI TÍCH PHỨC 1.1.1 Hàm biến phức 1.1.1.1