Phép biến đổi laplace và ứng dụng trong việc giải phương trình vi phân thường

Nhờ một số tính chất riêng của nó mà biến đổi Laplace đặc biệt hữu ích trong giải các phương trình vi phân thường, phương trình đạo hàm riêng, phương trình tích phân.... Với phép biến đổ

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Phép biến đổi Laplace là một trong các phép biến đổi có vai trò quan trọng trong giải tích Qua phép biến đổi Laplace, các phép toán giải tích phức tạp như đạo hàm, tích phân được đơn giản hóa thành các các phép toán đại số Nhờ một số tính chất riêng của nó mà biến đổi Laplace đặc biệt hữu ích trong giải các phương trình vi phân thường, phương trình đạo hàm riêng, phương trình tích phân Phép biến đổi Laplace biến mỗi hàm gốc theo biến thành hàm ảnh theo biến Với phép biến đổi này việc tìm hàm gốc thỏa mãn các biểu thức chứa đạo hàm tích phân (nghiệm của phương trình vi phân, phương trình tích phân, phương tình đạo hàm riêng) được quy về tính toán các biểu thức đại số trên các hàm ảnh Khi biết hàm ảnh ta sử dụng phép biến đổi Laplace ngược để tìm hàm gốc

Ngoài ra, phép biến đổi Laplace còn được nghiên cứu trong vật lý

"Phép biến đổi Laplace và ứng dụng trong việc giải phương trình vi

phân thường" để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp đại học chuyên ngành

Toán giải tích

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu về phép biến đổi Laplace và ứng dụng của nó trong việc giải phương trình vi phân trình thường

3 Đối tượng nghiên cứu

Nghiên cứu về phép biến đổi Laplace và phương trình vi phân thường

Ứng dụng của biến đổi Laplace trong việc giải phương trình vi phân thường

4 Phương pháp nghiên cứu

Tra cứu tài liệu, tổng hợp và theo sự chỉ đạo của thầy hướng dẫn để hoàn thành mục đích đặt ra

5 Cấu trúc khóa luận

Ngoài phần mở đầu, phụ lục, kết luận, tài liệu tham khảo khóa luận gồm:

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị

Chương 2 Phép biến đổi Laplace

Chương 3 Ứng dụng của phép biến đổi Laplace trong việc giải phương trình vi phân thường

CHƯƠNG 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Sơ lược về giải tích phức

1.1.1 Số phức

Định nghĩa Một số phức là một biểu thức dạng x iy , trong đó x

và y là những số thực và số i thỏa mãn i2  1 Kí hiệu số phức là z và viết là z x iy

i được gọi là đơn vị ảo, x được gọi là phần thực, y là phần ảo của

Số phức liên hợp của z x iy là x iy và được kí hiệu là

và z 2z z, 1  z2,

z z với z0.

Số phức khác 0 được biểu diễn dưới dạng cực z re i với r0 là

module,  được gọi là argument của số phức z (argument của số

phức z được xác định một cách duy nhất với sự sai khác một bội của

2) và e i cosisin  Do e i 1 nên r z và  là góc hợp bởi

chiều dương của trục Ox và nửa đường thẳng xuất phát từ gốc tọa độ đi

Khi đó,  z  gọi là đạo hàm của f tại z

Hàm f được gọi là khả vi trong miền G nếu f khả vi tại mọi điểm

trong miền G

Hàm giải tích

Cho hàm f xác định trong miền G và z0 , z0 Khi đó hàm

f được gọi là hàm giải tích tại điểm z0 nếu hàm f khả vi trong một lân cận nào đó của điểmz0 Điểm mà tại đó hàm f không giải tích gọi là điểm kì dị hay f được gọi là có điểm kì dị

Nhận xét

Hàm f z  giải tích tại điểm z0 thì khả vi tại điểm đó Tuy nhiên

điều ngược lại nói chung không đúng

Trên miền G mở hàm f z  giải tích trên G khi và chỉ khi f khả

Như vậy, một khai triển được biết như là chuỗi Laurent, nó có thể là

độ phân giải đơn giản nhất của một điểm kì dị

1.2 Một số vấn đề cơ bản của phương trình vi phân

Định nghĩa Phương trình vi phân là một phương trình chứa hàm

cần tìm và các đạo hàm của nó Nếu hàm cần tìm chỉ phụ thuộc vào một

biến độc lập thì phương trình đó gọi là phương trình vi phân thường Nếu hàm cần tìm phụ thuộc hai hoặc nhiều biến độc lập thì phương trình đó gọi là phương trình vi phân đạo hàm riêng Trong khuôn khổ của đề tài này, ta chỉ xét phương trình vi phân thường

Phương trình vi phân thường có dạng tổng quát

khả vi n lần trên khoảng a b,  nào đó thỏa mãn các phương trình đó

với mọi x thuộc khoảng a b, 

Đường cong y y x , xa b,  gọi là đường cong tích phân của phương trình đã cho

Để giải phương trình vi phân ta cũng dùng thuật ngữ ''tích phân phương trình vi phân''

Bài toán Cauchy

Bài toán tìm nghiệm y y x  của phương trình (1.2) xác định trên khoảng a b,  nào đó thỏa mãn điều kiện :

    ( 1) ( 1) 

0 0 , 0   0 , , 0n  n 0

(1.4) được gọi là bài toán Cauchy Điều kiện (1.4) gọi là điều kiện ban đầu

Vấn đề tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi phân

Định lý 1.1 (Tồn tại và duy nhất nghiệm)

Cho phương trình vi phân cấp n dạng chính tắc:

Nếu vế phải của phương trình vi phân trên là một hàm liên tục của n1

biến trong một miền nào đó của n 1

CHƯƠNG 2 PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE

2.1 Phép biến đổi Laplace thuận

M và  0 sao cho với mọi t ta đều có: f t( ) Met

Số 0= inf   với tất cả các số  thỏa mãn  iii được gọi là tỷ số tăng của f

Ví dụ 2.1 Chứng minh rằng hàm đơn vị sau là hàm gốc

1 khi 0

t t

Điều kiện  i và  ii rõ ràng được thỏa mãn

Đối với điều kiện  iii ta có thể lấy

Giải

Điều kiện  i và  ii rõ ràng được thỏa mãn

Đối với điều kiện  iii ta thấy rằng



t t

e hay t22 e t

Từ đó suy ra với mọi t đều xảy ra đẳng thức: f t( )  t2( )t 2e t

có nghĩa là điều kiện  iii được thỏa mãn với M 2;1

Ví dụ 2.3 Hàm sau đây có phải là hàm gốc hay không





Do đó điều kiện  iii không được thỏa mãn và hàm f t( )e t2( )t

không là hàm gốc

2.1.2 Định nghĩa phép biến đổi Laplace

Cho hàm số gốc f t  ta gọi hàm số phức F p  của biến số phức

 

p  i được xác định bằng công thức sau đây:

0( ) ( )

giải tích trong miền đó

+) Còn có thể chứng minh được khi Rep  s thì F p( )0 Cho nên những hàm F p  nào đó không thỏa mãn điều kiện này sẽ không phải là hàm ảnh của một hàm gốc nào cả, chẳng hạn ( )p cosp

không phải là hàm ảnh của hàm gốc nào cả vì nếu lấy p2k thì khi

1sin ,p e p, p  , 1 p,

phải là hàm ảnh của hàm gốc nào cả

Ví dụ 2.4 Tìm biến đổi Laplace của hàm đơn vị Heaviside

Giải

Biến đổi Laplace của  là:

0 0

1( )

Chứng minh

Đặt F n là hàm định bởi

 0

,





n pt n

F e f t dt

với Rep0, dãy F n n 1,2 hội tụ đều về F trên miền Re02 , với  0 bất kì Thật vậy, với mọi p thuộc miền Re02, ta có     Re    Re   0 

Theo định lý Weierstrass hàm f cũng giải tích trên miền Rep0

2.1.3 Các tính chất của phép biến đổi Laplace

Nếu khi t0 hàm gốc f t  là một hàm tuần hoàn chu kỳ T thì

hàm ảnh của nó được tính theo công thức sau:

p e f t dt (2.6)

Ví dụ 2.10 Tính Lsint

GiảiHàm sin là hàm tuần hoàn chu kỳ 2 trước hết ta tính  p 

0 2

Vậy công thức đúng với n1.

Giả sử quy nạp đúng với n1,N, khi đó

Ví dụ 2.11 Tìm nghiệm của phương trình y2yy4

thỏa mãn điều kiện y 0 1,y 0 2,y 0  2

L t f t F p n p  (2.8) Hay  ( )   1   

g t f  d thì g liên tục, suy ra đo được

Gọi 0 là chỉ số tăng của f thì  0  1 ta có:

sin

arctan2

g xác định trên , triệt tiêu trên ,0 thì tích chập f g cũng là





F p

p

Nên theo định lí nhân Borel ta có   12 1

2.2 Phép biến đổi Laplace ngược

Kí hiệu biến đổi Laplace ngược là L1[ ( )]f t  f t t( ), 0

Biến đổi Laplace ngược có ý nghĩa quan trọng trong thực hành và cũng có rất nhiều cách khác nhau để tìm chúng, ở đây ta xem xét tới các

hàm phân thức của 2 đa thức dạng    

với L1F p   f t , L1G p  g t Điều này được suy ra từ tính  

chất tuyến tính của L và đẳng thức được xác định trong miền chung của

F và G

 

 

x i pt

công thức biến đổi Fourier và lưu ý g u  triệt tiêu khi u0 ta có

0 0

1

( )2

Đổi biến p x i ta được

x i



Định lý 2.4 Cho các hàm gốc f g, trơn từng khúc trên nửa trục

thực t0 có chỉ số tăng lần lượt là 0 và 0. Giả sử L f F,

các điều kiện gì để có thể là biến đổi Laplace của một hàm gốc nào đó, ta

có định lý dưới đây mà phần chứng minh được bỏ qua

Định lý 2.5 Cho hàm F thỏa mãn các điều kiện sau:

 i F giải tích trong miền Rep0

 ii Khi p   trong miền Rep0 thì hàm F phải tiến về 0

đều theo arg ,

Định lý 2.6 Giả sử rằng thác triển giải tích của F lên nửa mặt

phẳng trái là một hàm giải tích đơn trị Giả sử L f F và p  là

điểm chính quy của F , nghĩa là có khai triển tại vô cực sau:

t

n với t0 (2.14)

c t

R t n

R t t

Vậy chuỗi (2.14) hội tụ tuyệt đối và hội tụ đều trên đoạn N N, 

với N 0 tùy ý, hơn nữa tổng của chuỗi này hàm gốc

Do tính hội tụ đều, ta có

1 1

Ta khảo sát chuỗi thứ hai ở trên với RepR1R0, ta có

2.2.3 Tính không chỉnh của biến đổi Laplace ngược

Bài toán tìm hàm gốc của F có thể xem như bài toán giải phương

trình tích phân sau đây:

   0

Bài toán tìm f thỏa mãn phương trình (2.17) là bài toán không

chỉnh vì có thể vô nghiệm hoặc nghiệm không phụ thuộc liên tục vào g,

sự nhiễu rất nhỏ của g có thể dẫn đến sự nhiễu lớn của f

2

12

 hoặc F p ta chỉ việc tìm hàm gốc của F p  là L 1F p   f t  rồi sau đó sẽ có

Ta chỉ xét trường hợp F p  là một phân thức hữu tỷ, nghĩa là

Công thức tổng quát: Nếu    

muốn tìm hàm gốc của nó ta làm như sau:

+ Phân tích F p  thành tổng của các phân thức đơn giản

+ Sau đó tìm hàm gốc của từng phân thức đơn giản

+ Cộng các hàm gốc đó lại, ta sẽ được hàm gốc của hàm phân thức

đã cho

(4) Phương pháp tìm hàm gốc dưới dạng chuỗi

Nếu tại lân cận p  tức là tại những giá trị mà p M với M là

số dương khá lớn, hàm ảnh F p  khai triển được thành chuỗi sau:

  1 2

2

1

CHƯƠNG 3 ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TRONG VIỆC

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG

           

00

Các công thức từ (3.1)→(3.4) được gọi là các công thức tích phân

Duhamel rất thường gặp trong các bài toán tìm hàm gốc

3.1.2 Bài toán 2

Tìm nghiệm của phương trình vi phân

Ví dụ 3.1 Tìm nghiệm phương trình y t  y t e t

thỏa mãn y 0  y 0  y 0 0

0 0

1

21

cos sin 22

3.2 Giải phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng số

Cho phương trình vi phân có dạng:

Bước 2 Giải phương trình trình Y p 

Bước 3 Lấy biến đổi Laplace ngược tìm y t L1y p 

Ví dụ 3.2 Giải phương trình vi phân y t 2y t 1

với điều kiện ban đầu y 0 4

Ví dụ 3.3 Giải phương trình vi phân y t 4y t 9t

với điều kiện ban đầu y 0 0,y 0 7

Ví dụ 3.4 Giải phương trình vi phân y3y2ye3t

với điều kiện ban đầu y 0 1, y 0  1

2 2

32232

Ví dụ 3.6 Giải phương trình vi phân y t 4y t sin 2t

với điều kiện ban đầu y 0  y 0 0



Y p

p

Dùng phương pháp phân tích đại số phân tích vế phải thành tổng các phân thức đơn giản ta được:

Tra bảng đối chiếu gốc - ảnh ta có:

2 1

2 2

4

os24

2

sin 24

Ví dụ 3.8 Giải phương trình vi phân y 4  t y t 2cost

với điều kiện đầu y 0  2, y 0 1, y 0  y 0 0

Dùng phương pháp đại số để phân tích vế phải thành tổng các phân

thức đơn giản ta được

2

sin1

1

2

2

2cos1

Vậy y t  t tsint2cost là nghiệm cần tìm

Ví dụ 3.9 Giải phương trình vi phân y t 2y t 2y t te t

với điều kiện ban đầu y 0  y 0 0

Suy ra y t L1Y p tet etsint ettsint 

Vậy y t ett sint là nghiệm cần tìm

Ví dụ 3.10 Tìm nghiệm của phương trình vi phân

Dùng phương pháp đại số để phân tích vế phải thành tổng của các

phân thức đơn giản ta được:

3.3 Nghiệm tổng quát

Nếu điều kiện đầu không được xác định cụ thể thì ta vẫn có thể sử dụng biến đổi Laplace để tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân

Ví dụ 3.11 Giải phương trình vi phân y'' yet

với điều kiện đầu tổng quát y 0  y0, y 0  y1

Ví dụ 3.12 Tìm nghiệm tổng quát của phương trình

sin 24

3.4 Phương trình vi phân với hệ số hàm

Phép biến đổi Laplace còn có thể áp dụng để giải được phương trình vi phân tuyến tính hệ số hàm số là những đa thức

Xét phương trình vi phân tuyến tính sau:

        1       

a t y t a t y t a t y t f t (3.8)

trong đó a t i ,i0,n là những đa thức của t , bậc nhỏ hơn hoặc bằng n

Gọi L y t  Y p  Áp dụng tính chất đạo hàm của hàm gốc ta sẽ tìm được hàm ảnh của các đạo hàm của y t  rồi sau đó do các

 , 0, 

i

a t i n là những đa thức nên áp dụng được tính chất đạo hàm ta

sẽ tìm được hàm ảnh của các số hạng ở vế phải phương trình (3.8) về phương trình vi phân đối với hàm ảnh Y p  sẽ là một phương trình vi phân cấp nhỏ hơn hoặc bằng n

Giải phương trình vi phân đối với Y p  sẽ tìm được Y p  sau đó biến đổi Laplace ngược L 1Y p   y t  sẽ tìm được nghiệm y t 

Ví dụ 3.13 Tìm nghiệm tổng quát của phương trình

Biến đổi Laplace thuận hai vế của (3.9) ta được

Do đó biến đổi thuận 2 vế của (3.11) ta được phương trình đối với hàm ảnh Y p  sau đây

PHỤ LỤC Bảng đối chiếu gốc - ảnh

KẾT LUẬN

Trên đây là toàn bộ nội dung của khóa luận tốt nghiệp "Phép biến

đổi Laplace và ứng dụng trong việc giải phương trình vi phân thường"

Khóa luận đã giải quyết các vấn đề dưới đây:

1 Mục đích chính của khóa luận là sử dụng biến đổi Laplace để giải phương trình vi phân thường Tuy nhiên để thực hiện được điều đó, chúng tôi trình bày một số kiến thức căn bản về số phức, giải tích phức, hàm số biến số phức Hệ thống hóa một số kiến thức căn bản nhất về phương trình vi phân thường

2 Trình bày một cách hệ thống về lý thuyết biến đổi Laplace gồm: Khái niệm và các tính chất của phép biến đổi Laplace thuận, phép biến đổi Laplace ngược và các định lý

3 Áp dụng biến đổi Laplace giải phương trình vi phân thường gồm: Phương tình vi phân với hệ số hằng số, phương trình vi phân với hệ

số hàm, nghiệm tổng quát

Luận văn này có tính chất tổng quan nhưng qua đó em đã bắt đầu làm quen với phương pháp nghiên cứu đặc thù và làm rõ một số nhận xét, ví dụ, và giải một số bài tập có hướng dẫn hoặc đáp số của tài liệu đã được sử dụng trong khóa luận

Trong khi nghiên cứu và hoàn thành đề tài này do thời gian hạn chế nên luận văn có thể còn thiếu sót em rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Đặng Đình Áng, Trần Lưu Cường, Huỳnh Bá Lân, Nguyễn Văn Nhân,

Phạm Hoàng Quân (2002), Biến đổi tích phân, NXB Giáo dục

2 Nguyễn Minh Chương, Hà Tiến Ngoạn, Nguyễn Minh Trí, Lê Quang

Trung (2000), Phương trình đạo hàm riêng, NXB Giáo dục

3 Nguyễn Thừa Hợp (2001), Giáo trình phương trình đạo hàm riêng,

NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội

4 E.A Coddington (1989), An Introduction to Ordinary Differential

Equations, Dover Publications, New York

5 P.B Guest (1999), Laplace Transfroms and an Introduction to

Distributions, Ellis Horwood

LỜI CẢM ƠN

Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy giáo, cô giáo trong tổ Giải tích và các bạn sinh viên khoa Toán trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới PGS.TS Khuất Văn Ninh đã tận tình giúp đỡ em trong quá trình hoàn thành khóa luận tốt nghiệp

Lần đầu tiên thực hiện công tác nghiên cứu khoa học nên việc trình bày khóa luận không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót Tác giả xin chân thành cảm ơn những ý kiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo và các bạn sinh viên

Hà Nội, tháng 5 năm 2013

Tác giả

Vũ Thị Mai