Biến đổi Laplace và ứng dụng trong việc giải phương trình vi phân

Lài cám ơn Em xin chân thành cám ơn sn giúp đõ cna thay giáo, cô giáo to Giái tích ban sinh viên khoa Tốn trưòng Đai hoc S pham H Nđi ắc biắt, em xin bày tó lòng biet ơn sâu sac cna tói TS Nguyen Văn Hào t¾n tình giúp đõ em q trình hồn thành khóa lu¾n tot nghi¾p Lan đau đưoc thnc hi¾n cơng tác nghiên cúu khoa hoc nên vi¾c trình bày khóa lu¾n khơng tránh khói nhung han che thieu sót Tác giá xin chân thành cám ơn nhung ý kien đóng góp cna thay giáo, giáo ban sinh viên Hà N®i, tháng năm 2011 Tác giá Pham Th% Hong Nhung Lài cam đoan Tơi xin cam đoan, dưói sn hưóng dan cna TS Nguyen Văn Hào, khóa lu¾n tot nghi¾p "Bien đoi Laplace Nng dnng vi¾c giái phương trình vi phân" đưoc hồn thành khơng trùng vói bat kỳ khóa lu¾n khác Trong q trình làm khóa lu¾n, tơi ke thùa nhung thành tnu cna nhà khoa hoc vói sn trân biet ơn Hà N®i, tháng năm 2011 Tác giá Pham Th% Hong Nhung Mnc lnc Má đau Chương Kien thNc chuan b% 1.1 So phúc 1.2 M®t so van đe bán ve phương trình vi phân Chương Bien đoi Laplace 2.1 Mđt so khỏi niắm 2.2 Sn h®i tu 10 2.3 Đòi hói tính liên tuc 11 2.4 Lóp L 12 2.5 Các tính chat bán cna bien đoi Laplace 15 2.6 H®i tu đeu 16 2.7 Bien đoi Laplace ngưoc 18 2.8 Các đ%nh lý bien đoi 22 2.9 Đao hàm tích phân cna bien đoi Laplace 25 Chương Áp dnng cúa bien đoi Laplace vi¾c giái phương trình vi phân thưàng 28 3.1 Bien đoi Laplace cna đao hàm 28 3.2 Phương trình vi phân vói h¾ so hang so 31 3.3 Nghi¾m tong quát 35 3.4 Van đe giá tr% biên 36 3.5 Phương trình vi phân vói h¾ so đa thúc 37 Phn lnc 41 Ket lu¾n 45 Tài li¾u tham kháo 46 Má đau Lí chon đe tài Bien đoi Laplace m®t bien đoi tích phân vói bien đoi Fourier hai bien đoi rat huu ích, bien đoi thưòng đưoc sú dung đe vi¾c giái quyet tốn lĩnh vnc v¾t lý Qua bien đoi Laplace, phép tốn giái tích phúc tap đao hàm, tích phân đưoc đơn gián hóa thành phép tốn đai so (giong cách mà hàm logarit chuyen phép toán nhân so thành phép c®ng logarit cna chúng) Nhò m®t so tính chat riêng cna mà bien đoi Laplace đ¾c bi¾t huu ích giái phương trình vi phân thưòng, phương trình đao hàm riêng, phương trình tích phân, Nhung phương trình thu®c lĩnh vnc thưòng xuat hi¾n tốn v¾t lý, phõn tớch mach iắn, xỳ lý so liắu, dao đng đieu hòa, tốn hoc, Qua bien đoi Laplace phương trình có the chuyen thành phương trình đai so đơn gián Nghi¾m cna phương trình hàm ánh không gian P , dùng bien đoi Laplace ngưoc đe có lai hàm goc khơng gian thnc t Ve l%ch sú cna bien đoi Laplace có the nói điem xuat phát tù năm 1744, Leonhard Euler sú dung bien đoi tích phân ¸ ¸ sx F (s) = χ(x)e dx F (s) = χ(x)xsdx đe giái m®t so phương trình vi phân Ve sau J L Langrange, nghiên cúu cách tính tích phõn cna hm mắt đ xỏc suat, ụng ó a bieu thúc tích phân ¸ ax x χ (x)e a dx Nhung dang tích phân thu hút sn ý cna Langrange Tù năm 1782, Langrange tiep tuc cơng trình nghiên cúu cna Euler, sú dung phép tính tích phân đe giái phương trình vi phân Đen năm 1785, ông đưa bien đoi tích phân (bien đoi Laplace) mà sau tró nên rat bien, tù tích phân dang ¸ s x φ(x)ds Tương tn vói bien đoi Mellin, qua bien đoi Laplace phép toán vi phân tró thành phép tốn đai so Sú dung phép bien đoi ngưoc, ngưòi ta tìm lòi giái cna phương trình Đe tiep c¾n vói lý thuyet hieu biet phan nhung úng dung cna nó, đưoc sn đ%nh hưóng cna ngưòi hưóng dan em chon đe tài “Bien đoi Laplace Nng dnng vi¾c giái phương trình vi phân” đe hồn thành khóa lu¾n Tot nghi¾p Đai hoc chun ngành Tốn giái tích Đe trình bày đưoc van đe theo muc đích đ¾t ra, chúng tơi bo cuc khóa lu¾n thành 03 chương m®t báng phu luc ve báng bien đoi Laplace cna hàm bán Chương Chúng tơi trình bày mđt so kien thỳc cn bỏn ve so phỳc, mắt phang phúc m®t so van đe ve hàm bien phúc Muc đích cna khóa lu¾n sú dung bien đoi Laplace đe giái phương trình vi phân, nên phan chúng tơi trình bày m®t so kien thúc bán nhat ve phương trình vi phân thưòng Chương Chương dành cho trình bày m®t so van đe bán ve phép bien đoi Laplace gom: khái ni¾m tính chat cna phép bien đoi Laplace; Van đe h®i tu cna bien đoi Laplace; Bien đoi Laplace ngưoc phương pháp tìm bien đoi Laplace ngưoc cna m®t hàm cho trưóc; Đao hàm tích phân cna bien đoi Laplace Chương Đe có the sú dung bien đoi Laplace cho muc đích vi¾c giái phương trình vi phân thưòng, can đen bien đoi Laplace đoi vói đao hàm cna m®t hàm cho trưóc Ket q đưoc chúng tơi trình bày m®t cách chi tiet trưóc v¾n dung vào muc đích cna chương muc đích cna bán khóa lu¾n - sú dung bien đoi Laplace đe giái phương trình vi phân Mnc đích nhi¾m nghiên cNu Nghiên cúu ve bien đoi Laplace áp dung cna vi¾c giái phương trình vi phân thưòng Đoi tưang nghiên cNu Nghiên cúu ve phương trình vi phân thưòng bien đoi Laplace; Úng dung cna bien đoi Laplace vi¾c giái phương trình vi phân thưòng cna m®t so tốn cu the Phương pháp nghiên cNu Tra cúu tài li¾u, tong hop theo sn chí đao cna ngưòi hưóng dan đe hồn thành muc đích đ¾t Chương Kien thNc chuan b % 1.1 So phNc Đ%nh nghĩa So phúc so có dang z = x + iy; vói x, y ∈ R i đơn v% áo mà i2 = −1 Ta goi x phan thnc y phan áo, kí hi¾u x = Rez, y = Imz T¾p hop so phúc đưoc kí hi¾u bói C T¾p hop so phúc đưoc đong nhat vói m¾t phang R2 bói phép tương úng C → R2 z = x + iy ›→ (x, y) M®t cách tn nhiên, ngưòi ta goi Ox truc thnc, Oy truc áo Phép c®ng phép nhân so phỳc oc thnc hiắn mđt cỏch thụng thũng nh cỏc phép tốn t¾p hop so thnc vói lưu ý rang i2 = −1 Ta có z1 + z2 = (x1 + x2 ) + i (y1 + y2 ) z1.z2 = (x1 + iy1) (x2 + iy2) = x1x2 + ix1y2 + iy1x2 + i2y1y2 = (x1x2 − y1y2) + i (x1y2 + y1x2) Vói moi so phúc z = x + iy ta xác đ%nh modul cna so phúc z , |z| = x2 + y2 So phúc liên hop cna so phúc z = x + iy đưoc kí hi¾u z = x − iy Khơng khó khăn, ta có the kiem tra đưoc ; Imz = z+ Rez = z¯ z− z¯ i s yt(0) sy(0) + L(y) = + (s + λ2 ) s2 + λ2 s + λ2 Sú dung bien đoi Laplace ngưoc ta đưoc y(t) = t sin λt + cos λt + 2π yt(0) λ sin λt (3.4) Sú dung ket L −1 s (s2 + ω2) = t sin ωt, 2ω thay giá tr% cna y(0) = vào phương trình (3.4), ta nh¾n đưoc π 1=y π yt(0) = + 4λ λ λ Tù đó, ta nh¾n π đưoc t = − y (0 ) λ 4λ2 Lai thay vào (3.4) ta đưoc π y(t) = 4λ2 t sin λt + cos λt +− sin λt 2λ Tương tn, neu có tđieu ki¾n đau thay đieu ki¾n đau cna tốn bang đieu ki¾n y(0) = 1, y π = ta nh¾n đưoc h¾ thúc tương tn h¾ thúc (3.4) λ t y (t) = (sin λt + λt cos λt) − λ sin λt + yt(0) cos λt 2λ Tù h¾ thúc này, ta đưoc −π π = yt = − yt(0) λ 2λ t y (0) = − + 2λ Khi đó, nghi¾m cna phương trình y= − 3.5 2λ t sin λt + cos λt π π 1+ sin λt 2λ λ Phương trình vi phân vái h¾ so đa thNc Như biet đ%nh lý 2.9.1, neu hàm f liên tuc [0, ∞), có b¾c mũ α dn L y(t)) ; (s > α), n n (t (F (s)) = dsn (−1) vói F (s) = L(y(t)) Khi n = 1, ta đưoc L(ty(t)) = −F t (s) Giá thiet thêm rang yt(t) thóa mãn giá thiet cna đ%nh lý Khi đó, ta đưoc d L(tyt(t)) = L(yt(t)) −ds = −sF t (s) − F (s) Tương tn đoi vói ytt(t) d tt L(ytt(t)) ds d t =− s F (s) − sy(0) − y (0) ds = −s2 F t (s) − 2sF (s) + y(0) L(ty ) = − Trong nhieu trưòng hop, bien đoi L (ty(t)) , L (tyt(t)), L (tytt(t)) đưoc sú dung đe giái phương trình vi phân tuyen tính có h¾ so đa thúc Ví dn 3.7 Giái phương trình ytt + tyt − 2y = 4; y(0) = −1, yt(0) = Bien đoi Laplace đoi vói hai ve cna phương trình, ta đưoc s2F (s) + s − (sF t(s) + F (s)) − 2F (s) = s hay ta có F (s) + s t + − s F (s) = Sú dung ket − µ(s) = exp s2 ¸ −s /2 , − s ds = s e s ta nh¾n đưoc Do F /2 s /2 (s)s33e−s = − t s e− s2 + s3 F (s)s3e−s2 = /2 −4 ¸ e−s se /2 −s /2 ¸ /2 ds + s3e−s2 ds Thay u = −s2/2 vào thúc ta đưoc F (s)s3e−s2 /2 u = ¸ e du + ¸ ue = 4e−s /2 +2 udu e−s /2 + −s C = 2e−s Tù đó, suy F (s) = /2 − s2e−s s3 C + s − /2 + C es /2 s3 Bói F (s) → s → ∞, nên phái có C = ta nh¾n đưoc nghi¾m cna phương trình y(t) = t2 − Tuy nhiên, có m®t so van đe khó khăn mà se thay đoi vói van đe Cu the, ta xét tốn tìm nghi¾m cna phương trình yt − 2ty = 0, y(0) = Ta có the thay rang y(t) = et2 nghi¾m cna phương trình này, biet hàm khơng có bien đoi Laplace V¾y đieu có the xáy sú dung phép bien đoi Laplace đe giái phương trình Ngoài ý rang thêm rang, neu phương trình vi phân có m®t điem kỳ d% chớnh quy, mđt nhung nghiắm cú the kieu nh hàm log t t → 0+ Trưòng hop bien đoi Laplace cna đao hàm không ton tai Trong trưòng hop này, phương pháp bien đoi Laplace có the cho ta nghi¾m b% ch¾n tai goc Ví dn 3.8 Giái phương trình tytt + yt + 2y = Điem t = m®t điem kì d% quy cna phương trình Ta se xác đ %nh nghi¾m cna phương trình thóa mãn đieu ki¾n y(0) = Bien đoi Laplace cá hai ve phương trình, ta đưoc t −s F (s) − 2sF (s) + + (sF (s) − 1) + 2F (s) = hay −s2 F t (s) − sF (s) + 2F (s) = Tù đó, ta đưoc Bói F (s) = 0; s > F t(s) + s− s2 ¸ nên ta nhắn oc à(s) = exp F Tự ú, suy ( 1s − s2 )ds = se2/s, (s)se2/s.t = Ce−2/s F (s) = s x ∞ Sú x dung khai trien Taylor đoi vói hàm e = n , tai x = ta đưoc − n! F (s) = C ∞ n=0 Sú dung công thúc f (t) = L −1 n=0 (−1) n n2 ∞ an y(t) = C n=0 n+ν t , t “ Γ(n + ν + 1) n=0 ∞ n!sn+1 (F (s)) = bien đoi Laplace ngưoc biet ta đưoc s n n n (−1) t (n!) Tù đieu ki¾n đau y(0) = ta đưoc hang so C = cuoi nh¾n đưoc nghi¾m cna phương trình cho ∞ Lưu ý rang y(t) = J0(2 n n n (−1) t y(t) = n=0 (n!) √ at) vói a = tù ket cna bien đoi Laplace muc 2.7.3, ú ú J0 l mđt hm Bessel bắc ó oc chỳng ta giúi thiắu Phng trỡnh ny cú mđt nghi¾m khơng b% ch¾n tai điem goc khơng the tìm đưoc nghi¾m cna theo phương pháp mà ta biet trưóc Phn lnc Báng bien đoi Laplace cúa hàm bán Hàm ánh F (s) c1F1(s) + c2F2(s) F (as), (a > 0) F (s − a) e F (s), (a “ 0) sF (s) − f (0+) s2F (s) − sf (0+) − f snFt(0 (s)+)− sn−1f (0+) − n−2 t s f (0+) + − − f (n−1) F(0 (s) ) −as Hàm goc f (t) c1f1(t) + c2f2(t) t f ( ) a a eatf (t) ua(t)f (t − a) f t(t) f tt(t) f F (s) F (n)(s) ∞F (x)dx s F (s)G(s) lim sF (s) s→∞ lim sF (s) s→0 ¸t −tf (t) (−1)ntnf (t) f (t) t f (τ )g(t − τ )dτ lim f (t) = f (0+) t→0+ lim f (t) t→∞ δ(t) 1 s 1 s2 , (n = 1, 2, ) sn , (ν > 0) νn s (s − 1) , (n = 0, 1, 2, ) sn+1 s−a (t) ¸t f (τ )dτ ts ¸ (n) t tn−1 (n − 1)! tν−1 Ln(t) = Γ(ν) et dn n! dt eat n t (t e− ) n (eat − 1) a eat − ebt a−b s(s − a) , (a ƒ= b) (s − a)(s − b) s , (a ƒ= b) (s − a)(s − b) s (s −a a) aeat−bebt a−b (1 + at)eat sin at s a2 s2 + cos at a a2 s2 + (s − b) + a2 s−b (s − b) + a2 a s2 − a2 s s − a2 a ebt cos at sinh at cosh at ebt sinh at a2 (s − b) − s−b (s − b) − a2 (s2 + a2) s ebt sin at 2 (s2 + a2) s2 (s2 + a2) s3 (s2 + a2) s2 − a2 (s2 + a2) (s2 − a2) s (s2 − a2) s2 (s2 − a2) s3 (s2 − a2) ebt coshat (sin at − at cos at) 2a3 (t sin at) 2a (sin at + at cos at) 2a cos at − t cos at sin at 2a3 (at cosh at − sinh at) (t sinh at) 2a (sinh at + at cosh at) 2a cosh at + at sinh at s2 + a2 (s2 − a2) ab (s2 + a2)(s2 + s t cosh at b 2) (s2 + a22)(s2 + b 2) s (s2 + a23)(s2 + b 2) s , 2(a ƒ= b) , 2(a ƒ= b) 2 2 , (a ƒ= b ) , (a ƒ= b ) (s2 + a2)(s2 + b 2) ab , (a2 (s2 − a2)(s2 − b2) s , (a2 (s2 − a2)(s2 − b2) s2 , (a2 (s2 − a2)(s2 − b2) s3 , (a2 (s2 − a2)(s2 − b2) a2 s2(s2 + a2 2 s (s − a 2) ƒ= b2) ƒ= b2) ƒ= b2) ƒ= b2) a sin bt − a2 − cos bt − a2 − a sin at − a2 − a cos at − a2 − b sinh at − a2 − cosh at − a2 − a sinh at − a2 − a2 cosh at − a2 − t − sin at a a2) sinh at − t √ πt −at e √ πt √ 1 a √ 1s √ s+a √ s s+a √ √ s+a+ s+b √ s s √ (s − a) s √ s−a+b √ s2 + a2 √ s2 − a2 b sin at b2 cos at b2 b sin bt b2 b2 cos bt b2 a sinh bt b2 cosh bt b2 b sinh bt b2 b2 cosh bt b2 √ erf ( at) a e−bt − √ e− at 2(b − a) πt3 t π√ at √a e erfb (t at) √ e be erfc(b t) √ − πt at J0(at) I0(at) √ ( s2 + a2 − s) ν aν Jν (at) √√ 2 , (ν > −1) (s −s2s+ − a2a ν) √ , (ν > −1) s2 − a2 (s2 + a2) ν, aν Iν (at) √ ν−2 Jν− (at) π t Γ(ν) 2a √ ν−2 π t Iν− (at) Γ(ν) 2aν νa Jν (at) tν νa Iν (at) t √ (ebt − eat) 2t πt √ cos at √ πt√ sin at √ πa ν/2 t Jν (2√at) a −a2/4t e√ πt a √ e−a /4t πt3 a √ erfc t 0, 0 0) √ (s2 − a2) ( s2 + a2 − s)ν, (ν > 0) √ (s − s2 − a2)ν, (ν > 0) √ √ s−a− s−b e−a/s √ √s e−a/s s s e−a/s , (ν > −1) √ sν+1 e−a s √ , (a > 0) s −a s e √ , (a > 0) √ e−a s , (a > 0) s √ 2 e−k s +a √ s2 + a2 √ −k s2−a2 e √ s2 − a2 −as e , (a > 0) e−as , (a > 0) s s es2/4 erfc e−as = s(eas − 1) s(1 − e−as) t a ua(t) −t2 e √ π , [t] so nguyên lón nhat ≤ t Ket lu¾n Khóa lu¾n giái quyet van đe dưói Muc đích cna khóa lu¾n sú dung bien đoi Laplace đe giái phương trình vi phân Tuy nhiên đe thnc hi¾n đieu đó, chúng tơi trình bày m®t so kien thúc cn bỏn ve so phỳc, mắt phang phỳc cựng mđt so van đe ve hàm bien phúc; H¾ thong hóa m®t so kien thúc bán nhat ve phương trình vi phõn thũng Trỡnh by mđt mđt cỏch hắ thong ve lý thuyet bien đoi Laplace gom: khái ni¾m tính chat cna phép bien đoi Laplace; Van đe h®i tu cna bien đoi Laplace; Bien đoi Laplace ngưoc phương pháp tìm bien đoi Laplace ngưoc cna m®t hàm cho trưóc; Đao hàm tích phân cna bien đoi Laplace Trình bày ket cna bien đoi Laplace đoi vói đao hàm cna m®t hàm cho trưóc Tù chúng tơi áp dung ket q giái phương trình vi phân gom: Phương trình vi phân vói đieu ki¾n đau; Phương trình vi phân tong qt; Phương trình vi phân vói h¾ so đa thúc; Bài toán giá tr% biên; Phương pháp xú lý đoi vói tốn tìm nghi¾m phương trình vi phân vói h¾ so đa thúc có điem kỳ d% quy Tài li¾u tham kháo [1] E A Coddington (1989), An Introduction to Ordinary Differential Equations, Dover Publications, inc, New York [2] G Doetsch (1963), Guide to the Applications of Laplace Transfroms, Van Nostrand Co [3] A C Grove (1991), An Introduction to the Laplace Transfrom and the Z - Transfrom, Prentice- Hall [4] P B Guest (1991), Laplace Transfroms and an Introduction to Distributions, Ellis Horwood [5] J L Schiff (1988), The Laplace Transfrom, Springer- Verlag ... bán ve phương trình vi phân Đ%nh nghĩa Phương trình vi phân m®t phương trình chúa hàm can tìm đao hàm cna Neu hm can tỡm phu thuđc mđt bien đc lắp, phương trình đưoc goi phương trình vi phõn... Laplace áp dung cna vi c giái phương trình vi phân thưòng Đoi tưang nghiên cNu Nghiên cúu ve phương trình vi phân thưòng bien đoi Laplace; Úng dung cna bien đoi Laplace vi c giỏi phng trỡnh vi. .. bien đc lắp thỡ phng trỡnh oc goi l phương trình vi phân đao hàm riêng Trong khóa lu¾n này, chúng tơi chí xét phương trình vi phân thưòng Như v¾y phương trình vi phân thưòng có dang tong quát F x,