Nhóm lie các phép biến đổi và ứng dụng vào việc giải phương trình vi phân

Bộ Giáo Dục Đào tạo Trường Đại Học Vinh Nguyễn Thị Hương Nhóm Lie phép biến đổi ứng dụng vào việc giải phương trình vi phân Luận văn thạc sĩ toán học Nghệ An - 2015 Bộ Giáo Dục Đào tạo Trường Đại Học Vinh Nguyễn Thị Hương Nhóm Lie phép biến đổi ứng dụng vào việc giải phương trình vi phân Luận văn thạc sĩ toán học Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 62 46 01 04 Người hướng dẫn khoa học TS Nguyễn Quốc Thơ Nghệ An - 2015 Mục lục Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 Nhóm Lie phép biến đổi tham số 1.3 Nhóm Lie phép biến đổi hai tham số 21 ứ 2.1 2.2 2.3 Nhóm Lie ng dụng tính đối xứng vào việc giải phương trình vi phân ứ ứ Hệ tọa độ tắc 26 26 ng dụng nhóm Lie phép biến đổi tham số vào giải phương trình vi phân cấp I 30 ng dụng đại số Lie để giải phương trình vi phân bậc cao 33 Kết luận 41 Tài liệu tham khảo 42  Mở đầu Lý chọn đề tài Trong toán học, nhóm Lie đặt tên theo nhà toán học người Na Uy Sophus Lie, nhóm đa tạp trơn, với tính chất toán tử nhóm tương thích với cấu trúc trơn Nhóm Lie đại diện cho lý thuyết phát triển đối xứng liên tục cấu trúc toán học Điều làm cho nhóm Lie công cụ cho số ngành Toán học đại, Vật lý lý thuyết, Bởi nhóm Lie đa tạp, chúng nghiên cứu sử dụng giải tích vi phân, tương phản với trường hợp nhóm tôpô tổng quát Một ý tưởng lý thuyết nhóm Lie, đề Sophus Lie thay cấu trúc toàn cục, nhóm với phiên mang tính địa phương hay gọi phiên làm tuyến tính hóa, mà Lie gọi nhóm cực nhỏ mà biết đến đại số Lie Nhóm Lie cung cấp phương tiện tự nhiên để phân tích đối xứng liên tục phương trình vi phân, cách thức nhóm hoán vị sử dụng lý thuyết Galois để phân tích đối xứng rời rạc phương trình đại số Với nêu trên, luận văn tác giả xin trình bày lại số nghiên cứu nhóm Lie tham số, nhóm Lie hai tham số ứng dụng vào việc giải phương trình vi phân cấp phương trình vi phân cấp cao Xuất phát từ nhu cầu tìm hiểu giải số vấn đề nêu chọn đề tài Nhóm Lie phép biến đổi ứng dụng vào việc giải phương trình vi phân để làm đề tài luận văn tốt nghiệp Bản luận văn dựa vào kết biết đại số, nhóm Lie, nhóm Lie phép biến đổi khái niệm liên quan để đọc hiểu trình bày lại cách có hệ thống kết nhóm Lie phép biến đổi ứng dụng kết thu nhóm Lie phép biến đổi để giải phương trình vi phân cấp 1, phương trình vi phân cấp cao Nội dung nghiên cứu luận văn Luận văn tập trung trình bày lại cách có hệ thống kết nhóm Lie tham số, nhóm Lie hai tham số ứng dụng chúng việc giải phương trình vi phân Tổng quan cấu trúc luận văn Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo Danh mục công trình liên quan đến luận văn, nội dung luận văn trình bày hai chương Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Nội dung chương này, trước hết trình bày khái niệm bản, tổng quát nhóm phép biến đổi, nhóm Lie phép biến đổi tham số, hai tham số; đại số Lie, tính giải được, biến đổi vi phân, ứ toán tử sinh vi phân, Định lý Lie thứ nhất, thứ hai, Chương 2: ng dụng tính đối xứng vào việc giải phương trình vi phân Nội dung chương trình bày ứng dụng tính đối xứng nhóm Lie phép biến đổi tham số để giải phương trình vi phân cấp ứng dụng đại số Lie để giải phương trình vi phân cấp cao Luận văn hoàn thành Trường Đại học Vinh hướng dẫn Thầy giáo TS Nguyễn Quốc Thơ Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới Thầy, người tận tình hướng dẫn, dạy bảo, giúp đỡ tận tình, chu đáo tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập thực luận văn Tác giả xin cảm ơn Thầy (Cô) giáo Chuyên ngành Đại số Lý thuyết số; Thầy (Cô) giáo Khoa Sư phạm Toán học, Phòng đào tạo Sau đại học, Ban Giám hiệu Phòng ban chức Trường Đại học Vinh tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành nhiệm vụ học viên cao học ! Mặc dù có nhiều cố gắng lực nhiều hạn chế, nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận góp ý nhà khoa học đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện tốt Nghệ An, ngày 19 tháng năm 2015 Tác giả " Chương Kiến thức chuẩn bị Nội dung chương này, trước hết trình bày lại cách có hệ thống khái niệm bản, tổng quát tác động nhóm Lie, nhóm Lie phép biến đổi tham số, nhóm Lie phép biến đổi hai tham số Các kiến thức thức làm sở cho việc nghiên cứu Chương 1.1 Nhóm Lie 1.1.1 Định nghĩa Giả sử (U, ) điểm x X Bộ X không gian tôpô Một đồ tọa độ địa phương tập mở U chứa x đồng phôi : Rn U n số (x1 , x2 , ã ã ã , xn ) Rn tương ứng với X điểm gọi tọa độ địa phương x đồ (U, ) Nếu điểm x X có đồ tọa độ địa phương tương thích theo nghĩa: ánh xạ : ((U ) (V )) ((U ) (V )) ánh xạ trơn lớp lớp C k Số n C k , với k = 1, ã ã ã , Khi ta nói X gọi chiều đa tạp ký hiệu n = 0, đa tạp trơn lớp trơn lớp C X dim(X) = n gọi đa tạp tôpô, n= Khi đa tạp X gọi đa tạp giải tích 1.1.2 Định nghĩa Giả sử gian C0 đa tạp trơn phủ mở X không gian tôpô Một tập đồ không {(U , )}I cho: # U tập mở : Rn U đồng phôi, Các đồ tương thích theo nghĩa ( )1 : ( )1 ( (U ) (U )) ( )1 ( (U ) (U )) ánh xạ trơn Hai tập đồ tương thích tương đương với hợp chúng tập đồ tương thích Một lớp tương đương đồ tương thích gọi cấu trúc trơn Một không gian tôpô với cấu trúc trơn gọi đa tạp trơn Số n gọi chiều đa tạp ký hiệu dim(X) = n 1.1.3 Định nghĩa Đa tạp trơn song ánh X hợp tập cong : Rn U U cho với tồn thỏa mãn điều kiện tương thích: ( )1 : ( )1 ( (U ) (U )) ( )1 ( (U ) (U )) ánh xạ trơn Số n gọi chiều đa tạp ký hiệu dim(X) = n 1.1.4 Định nghĩa Cho tập hợp hợp G gọi nhóm Tính đóng: Nếu G phép toán hai : G ì G G Tập thỏa mãn điều kiện a, b G (a, b) G Tính kết hợp: Với phần tử a, b, c G (a, (b, c)) = ((a, b), c) Phần tử đơn vị: Tồn phần tử đơn vị e G để cho (a, e) = (e, a) = a, a G Nghịch đảo: Với cho a G, tồn phần tử nghich đảo (a, a1 ) = (a1 , a) = e 1.1.5 Định nghĩa Tập hợp G gọi nhóm Lie, nếu: G nhóm G đa tạp khả vi $ a1 G Các ánh xạ tích G ì G G; (x, y) xy ánh xạ lấy phần tử nghịch đảo G G; x x1 ánh xạ trơn 1.1.6 Một số ví dụ nhóm Lie Ví dụ Tập hợp G=R số thực với phép cộng số thực nhóm Lie, Ga gọi nhóm cộng tính ký hiệu Tập hợp G = R số thực khác không với phép nhân số thực nhóm Lie, gọi nhóm nhân ký hiệu Gm Tập hợp G = R+ số thực dương với phép nhân số thực dương nhóm + Lie, gọi nhóm nhân ký hiệu G Tồn ánh xạ đẳng cấu Ga = G+ m Ví dụ Cho m K = R (hoặc K = C) trường số thực (hoặc trường số phức) Khi nhóm tuyến tính tổng quát GLn (K) = {A M atn (K)|det(A) = 0} nhóm Lie Một nhóm đặc biệt GLn (K) nhóm tuyến tính đặc biệt SLn (K) = {A GLn (K)|det(A) = 1} nhóm Lie Ví dụ K trường Xét nhóm biến đổi Affine G = ax + b = Af f (K) = { : K K|(x) = ax + b} a, b K; a = 0.{[ Khi Af f (K) nhóm Lie, đẳng cấu với nhóm nhân ma ] } a b a, b K, a = trận tam giác dạng với Ví dụ Giả sử H = {a + bi + cj + dk|a2 + b2 + c2 + d2 = 0} quaternions khả nghịch Khi Lie H H = R4 \ {0} % với phép nhân lập thành nhóm Ví dụ Các mặt cầu S = {1, 1}, S = {ei2 | [0, 1)}, S = H1 = {q = a + bi + cj + dk H||q| = a2 + b2 + c2 + d2 = 1} = SO(3) nhóm Lie 1.1.7 Định nghĩa Với X XG cho G tập, ta xác định XG tập điểm bất động tập G quỹ đạo G, có nghĩa tập phần tử x X g.x = x, với g G X Ta thấy có cấu trúc đại số, ví dụ trường hợp ánh xạ X không gian véctơ : G X x g.x ánh xạ tuyến tính với X 1.1.8 Định nghĩa Cho xạ, ánh xạ ta có f g G X gọi đẳng biến hay G tập trái f : X X ánh Gđồng cấu với g G x X, g.f (x) = f (g.x) 1.1.9 Định nghĩa Cho G e G ký hiệu G0 nhóm Lie, thành phần liên thông đơn vị định nghĩa sau: G0 = {g G|g(t) cho g(0) = e, g(1) = g} Từ định nghĩa, ta có: G0 vừa đóng, vừa mở G0 nhóm nhóm Lie 1.2 G Nhóm Lie phép biến đổi tham số 1.2.1 Định nghĩa Cho eS G ánh xạ D R2 , S R, (S, ) nhóm với phần tử đơn vị X : D ì S D Tập hợp {X(., )} nhóm phép biến đổi tham số thỏa mãn điều kiện: & 2.1.3 Định lý Cho nhóm Lie phép biến đổi tập tọa độ tắc X = X(x, ) bất kỳ, tồn y = (y1 , y2 ) cho X = X(x, ) tương đương với hệ y1 = y1 y2 = y2 + Chứng minh Từ Định lý 1.2.15, ta có y1 = y1 (x ) = y1 (x) Xy1 (x) Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp I Xu(x) = (x) có nghiệm độc lập u u + (x) =0 x1 x2 u(x), nghiệm tổng quát hệ phương trình vi phân cấp I dx = (x), dt kết từ phương trình đặc trưng dx1 dx1 (x) = (x) Hệ tọa độ tắc thỏa mãn phương trình đầu y1 = y1 y2 = y2 + Do ta có y2 = y2 (x ) = y2 (x) + & Xy2 (x) Do vậy, y2 (x) tìm từ nghiệm riêng (x) phương trình đạo hàm riêng tuyến tính không cấp I X(x) = (x) + (x) =1 x1 x2 giải việc xác định nghiệm tổng quát tương ứng với phương trình đặc trưng hệ phương trình vi phân cấp I d = dt dx = (x) dt 2.1.4 Định lý Trong thành phần tập hợp tọa độ tắc y = (y1 (x), y2 (x)), số toán tử sinh vi phân nhóm phép biến đổi tham X = X(x, ) trở thành Y = Chứng minh Theo trên, ta có y2 Y = (y) + (y) y1 y2 Mặt khác, chứng minh Định lý 2.1.3, ta có Xy1 (x) Xy2 (x) Từ ta suy thành phần hệ tọa độ tắc (y) = Xy1 = (y) = Xy2 = Vậy Y = y2 ' 2.2 ứ ng dụng nhóm Lie phép biến đổi tham số vào giải phương trình vi phân cấp I Để giải phương trình vi phân cấp I việc sử dụng nhóm Lie phép biến đổi tham số, trước hết ta cần biết nhóm Lie phép biến đổi tham số phù hợp với phương trình vi phân 2.2.1 Định nghĩa Nhóm Lie phép biến đổi tham số phù hợp với phương trình vi phân {X(., )} gọi y = f (x, y), y = X(y, ), x = X(x, ) y = f (x , y ) x 2.2.2 Ví dụ Cho phương trình vi phân y =f Trong f R2 , (y ) x , hàm ta lấy x1 = x, x2 = y chọn hệ tọa độ tắc ký hiệu y1 = r, y2 = s Cho nhóm Lie phép biến đổi tham số x = X((x, y), ) = e x, y = Y ((x, y), ) = e y, với toán tử sinh vi phân X = x +y x y Từ dY = e dy, dX = e dx ( y) ( Y ) dY dy = =f f Khi tọa độ r(x, y) thỏa mãn dX dx x X Xr = x r r + y = x y Phương trình vi phân đặc trưng tương ứng quy dy y = dx x ! suy với nghiệm tổng quát y = const x r(x, y) = Tọa độ s(x, y) thỏa mãn Xs = x Nghiệm riêng s s + y = x y s(x, y) thỏa mãn ds = dy y Do s(x, y) = ln |y| đó, hệ x = X((x, y), ) = e x, y = Y ((x, y), ) = e y, có tọa độ tắc biến: x y = dx dy hay (r, s) = (y y = C, nên x x ) , ln |y| Ta có phương trình vi phân dạng tách [ y y 1 ( y )] = (r + f (r))dx, dr = + dy = + f x x x x x x ds = dy y Do ds = dr f (r) r Suy s = dr f (r) r Nghiệm tổng quát viết dạng tham số toán phương trình vi phân ban đầu es x = r y = es ! 2.2.3 Ví dụ Giải phương trình vi phân y y = xy x x Tương tự ví dụ trên, ta xét nhóm Lie phép biến đổi x = X((x, y), ) = e x y = Y ((x, y), ) = e2 y (X, Y ) = (X, 2Y() dY = e2) dy, dX = e dx dy 2y Y dY = e3 = e3 xy = XY Suy dX dx x x X X Tọa độ r(x, y) thỏa mãn Suy Tọa độ Suy Xr = x r r 2y = x y Xs = x s s 2y = x y r(x, y) = x2 y s(x, y) thỏa mãn s(x, y) = ln |x| Vậy hệ tọa độ tắc phương trình vi phân dạng tách biến là: x 2y = dx dy (r, s) = (x2 y, ln |x|) hay Ta có x2 y = C, nên dr = 2xydx + x2 dy = (2xy + x3 y 2xy x)dx, ds = dx x Suy 1 r1 ds = = Vậy s = ln +C dr x y r r+1 Do nghiệm tổng quát viết dạng tham số phương trình vi phân ban đầu x = es , r y = 2s e ! 2.3 ứ ng dụng đại số Lie để giải phương trình vi phân bậc cao 2.3.1 Nhóm Lie phép biến đổi tham số độc lập, tham số phụ thuộc Nghiên cứu tính bất biến phương trình vi phân cấp biến phụ thuộc y k với biến độc lập x nhằm mục đích tìm nhóm Lie phép biến đổi tham số nhận từ biến đổi điểm x = X(x, y; ), (1.11) y = Y (x, y; ) với y = y(x) Đặt yk = y Khai triển biểu thức yk = y (k) (k) dk y = k dx dk y = k , k dx không gian (x, y, y , ã ã ã , y (k) ), k đòi hỏi (1.11) phải đảm bảo điều kiện tiếp xúc liên kết vi phân dx, dy, dy1 , ã ã ã , dyk Khi đó, ta có dy = y1 dx, dyk = yy+1 dx, k Đặc biệt, tác động nhóm Lie phép biến đổi (1.11), đạo hàm xác định liên tục yk , k biến đổi dy = y1 dx , (1.12) dyk = yk+1 dx !! x Với y xác định công thức (1.12), ta có Y (x, y; ) Y (x, y; ) dx + dy x y X(x, y; ) X(x, y; ) dx + dy = dX(x, y; ) = x y dy = dY (x, y; ) = dx Bởi vậy, từ (1.11) (1.13) ta thấy y1 (1.13) thỏa mãn điều kiện [ Y (x, y; ) Y (x, y; ) X(x, y; ) ] X(x, y; ) dx + dy = y1 dx + dy (1.14) x y x y Thay (1.12) vào (1.13) ta có Y (x, y; ) Y (x, y; ) + y1 x y y1 = Y1 (x, y, y1 ; ) = (1.15) X(x, y; ) Y (x, y; ) + y1 x x 2.3.2 Định lý Nhóm Lie tham số mở rộng thứ phép biến đổi điểm (1.11) không gian tọa độ gian (x, y) khai triển từ nhóm Lie phép biến đổi không (x, y, y1 ) x = X(x, y; ), y = Y (x, y; ), (1.16) y1 = Y1 (x, y, y1 ; ), với Y1 (x, y, y1 ; ) cho công thức (1.15) 2.3.3 Định lý Nhóm Lie tham số phép biến đổi điểm (1.11) nhóm Lie phép biến đổi tham số không gian (x, y, y1 , y2 ) x = X(x, y; ), y = Y (x, y; ), y1 = Y1 (x, y, y1 ; ), y1 (1.17) Y1 Y1 Y1 + y1 + y2 x y y1 , = Y1 (x, y, y1 , y2 ; ) = X(x, y; ) X(x, y; ) + y1 x y !" với Y1 = Y1 (x, y, y1 ; ) cho công thức (1.15) 2.3.4 Định lý Nhóm Lie tham số mở rộng thứ k phép biến đổi điểm (1.11) nhóm Lie phép biến đổi tham số không gian x = X(x, y; ), y = Y (x, y; ), y1 = Y1 (x, y, y1 ; ), (x, y, y1 , ã ã ã , yk ) (1.18) yk = Y1 (x, y, y1 , ã ã ã , yk ; ) với Yk1 Yk1 Yk1 + y1 + ã ã ã + yk x y yk1 , X(x, y; ) X(x, y; ) + y1 x y = Y1 = Y1 (x, y, y1 ; ) cho công thức (1.15) Yi = Yi (x, y, y1 , ã ã ã , yi ; ), i = 1, k Chú ý ta khai triển tập hợp phép biến đổi 1- (không thiết phải nhóm phép biến đổi) x = X(x, y) y = Y (x, y), từ miền hàm D không gian (1.19) (x, y) vào miền D khác không gian (x , y ) X(x, y), Y (x, y) đạo hàm k lần D Ta khai triển tự nhiên phép biến đổi (1.19) không gian (x, y, y1 , ã ã ã , yk ) để điều kiện tiếp xúc (1.15) đảm bảo dy = y1 dx dyk = dk+1 dx Ta thấy, phép biến đổi mở rộng thứ !# (1.20) k từ không gian (x, y, y1 , ã ã ã , yk ) vào không gian (x , y , y1 , ã ã ã , yk ) cho x = X(x, y), y = Y (x, y), y1 = Y1 (x, y, y1 ), yk = Y1 (x, y, y1 , ã ã ã , yk ) với = (1.21) Yk1 Yk1 Yk1 + y1 + ã ã ã + yk x y yk1 X(x, y) X(x, y) + y1 x y Y (x, y) Y (x, y) + y1 x y Y1 = Y1 (x, y, y1 ) = X(x, y) X(x, y) + y1 x y Yi = Yi (x, y, y1 , ã ã ã , yi ), i = 1, k Cho nhóm Lie phép biến đổi tham số biến đổi điểm x = X(x, y; ) = x + (x, y) + O(2 ), (1.22) y = Y (x, y; ) = y + (x, y) + O(2 ), (x, y) có vi phân (x, y); (x, y), với toán tử sinh vi phân tương ứng X = (x, y) + (x, y) x y Khai triển thứ k công thức (1.22), ta có tác động không gian x = X(x, y; ) = x + (x, y) + O(2 ), y = Y (x, y; ) = y + (x, y) + O(2 ), y1 = Y (x, y, y1 ; ) = y1 + (1) (x, y, y1 ) + O(2 ), (1.23) yk = Y (x, y, y1 , ã ã ã , yk ; ) = y1 + (k) (x, y, y1 , ã ã ã , yk ) + O(2 ) Vi phân mở rộng thứ k (x, y), (x, y), (1) (x, y, y1 ), ã ã ã , (k) (x, y, y1 , ã ã ã , yk ), !$ k với toán tử vi phân mở rộng thứ X (k) = (x, y) tương ứng +(x, y) + (1) (x, y, y1 ) +ã ã ã+ (k) (x, y, y1 , ã ã ã , yk ) , x y y1 yk (1.24) với k = 1, 2, Công thức cho vi phân mở rộng (k) 2.3.5 Định lý Vi phân mở rộng kết định lý sau (k) thỏa mãn hệ thức đệ quy (k) (x, y, y1 , ã ã ã , yk ) = D (k1) (x, y, y1 , ã ã ã , yk1 ) k D, k = 1, 2, (1.25) = (x, y) đặc biệt (k) =D k k j=1 Ta thấy vi phân mở rộng i) ii) (k) (k) tuyến tính k! (k j)!j! có tính chất: yk , với k (k) hàm đa thức y1 , y2 , , yk mà hệ số tuyến tính (x, y), (x, y) đạo hàm riêng chúng lên đến bậc k 2.3.6.Ví dụ Ví dụ Xét phương trình vi phân y + yy = nhận từ nhóm Lie phép biến đổi tham số với toán tử sinh vi phân X1 = Khi đó, , X2 = x y x x y (2) [X1 , X2 ] = X1 Hàm bất biến X1 cho dạng u = y, v = y = y1 , v1 = Tương tự, (2) X2 = x dv y2 = du y1 y 2y1 3y2 , x y y1 y2 X2 u = y = u, X2 v = 2y1 = 2v, X2 v1 = (1) (2) !% y2 = v1 y1 (1) (2) X2 U (u, v) = 0, X2 V (u, v, v1 ) = 0; ta dẫn đến U= u v1 , V = v2 u Khi phương trình vi phân bậc cho đưa dạng d((yy1 )1 )y2 y y1 y3 y (y2 )2 y(y1 )2 y2 dV = = dU d(y y1 ) y(y1 )2 y2 2(y1 )4 y y1 y2 + y (y2 )2 + y(y1 )2 y2 = 2(y1 )4 y(y1 )2 y2 Biến đổi theo u v phương trình trở thành phương trình vi phân cấp I V [ + V + U] dV = dU U Nếu (1.26) V = (U ; C1 ) nghiệm tổng quát (1.26) phương trình vi phân cấp I (v ) dv = u ; C1 , du u v1 = nhận r= 2U V X2 = u (1) (1.27) 2v Biến đổi tương đương hệ tọa độ tắc u u v , s = ln |v|, phương trình vi phân (1.27) trở thành u2 (r; C1 ) ds = dr r((r; C 1) 2r) Điều dẫn đến phép cầu phương { v = C2 exp v = y1 , r = y1 y2 r } (; C1 ) d ((; C1 ) = 2) (1.28) Theo nguyên tắc, ta thấy (1.28) khai triển dạng nghiệm tổng quát y = (y; C1 ; C2 ) sau đưa dạng phép Quá trình biến đổi ta nhận X1 = x cầu phương sau dy = x + C3 (y; C1 ; C2 ) !& (1.29) Phương trình (1.29) biểu diễn nghiệm tổng quát phương trình vi phân y + yy = Ví dụ Xét phương trình vi phân cấp yy ( y ) y = (1.30) Phương trình vi phân (1.30) nhận từ nhóm Lie phép biến đổi tham số x = ax + b y = ay Ta dễ dàng thấy vi phân bất biến tương ứng với nhóm U = y , V = yy Do đó, phương trình vi phân (1.30) đưa dạng dV V U =2 dU U V (1.31) Ngẫu nhiên, phương trình vi phân cấp I (1.31) nhận từ nhóm Scalings U = U, V = V Cho nên, nghiệm tổng quát phương trình vi phân (1.31) tìm [( )2 ] U V U = const (1.32) Có hai trường hợp xảy phụ thuộc vào ký hiệu số (1.32) Ta xét trường hợp, số cho 0, = const Trong trường hợp này, để thuận tiện cho hàm vi phân bất biến cấp I tương ứng với hàm bất biến biến đổi x biến u = y; v = y = U Khi đó, (1.32) trở thành phương trình vi phân cấp I dv = du 2v u (1.33) Nghiệm tổng quát phương trình vi phân (1.33) ] 1[ (u) (u) , v= !' (1.34) đó, tùy ý Không tính tổng quát công thức biến đổi nhóm Scalings x y ta cho đưa dạng = Khi phương trình vi phân (1.30) ] 1[ y = y y Chuyển sang dạng tọa độ ta có: y = sinh( ln |y|), cosh( ln |y|) 2 Nếu số (1.32) cho 0, với trình làm tương tự ta y = thu dạng tọa độ gọn cho phương trình vi phân (1.30) y = sin( ln |y|) " Kết luận Mục đích luận văn hệ thống lại số tính chất phương trình vi phân, đặc biệt tính đối xứng, từ ứng dụng tính chất nhóm Lie đại số Lie nhằm biến đổi để giải phương trình vi phân, mà không giải phương pháp thông thường Các kết luận văn đạt là: Trình bày lại cách có hệ thống kiến thức lý thuyết nhóm Lie, đại số Lie Trình bày lại phân tích toán phương trình vi phân giải nhờ việc đưa tính chất đối xứng nghiệm; nêu lên ý nghĩa giải phương trình vi phân Sử dụng phương pháp nghiên cứu để ứng dụng giải số ví dụ cụ thể phương trình vi phân cấp 1, phương trình vi phân cấp cao; làm sáng tỏ số kết toán học ứng dụng tính đối xứng nghiệm giải phương trình vi phân " Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Đỗ Ngọc Diệp (2012), Lý thuyết biểu diễn nhóm, Bài giảng Sau đại học, Viện toán học Việt Nam [2] Đỗ Ngọc Diệp (2012), Lý thuyết nhóm Lie, Bài giảng Sau đại học, Viện toán học Việt Nam [3] Nguyễn Thế Hoàn, Phạm Phu (2003), Cơ sở phương trình vi phân lý thuyết ổn định, Nhà xuất giáo dục Tiếng Anh [4] H T Gilmore (1974), Lie groups, Lie algebras and some of their applications, Wiley, New York [5] N H Ibragimov (1985), Transformation groups applied to mathmatical physics, Reidel, Boston [6] George W Bluman and Stephen C Anco (2002), Symmetry and Integration Methods for Differential Equations, Springer - Vertal New York, Inc " [...]... phương trình vi phân cấp I bằng vi c sử dụng nhóm Lie các phép biến đổi một tham số, trước hết ta cần biết được thế nào là nhóm Lie các phép biến đổi một tham số phù hợp với phương trình vi phân 2.2.1 Định nghĩa Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số phù hợp với phương trình vi phân {X(., )} được gọi là y = f (x, y), nếu y = X(y, ), x = X(x, ) thì y = f (x , y ) x 2.2.2 Ví dụ Cho phương trình vi phân. .. của g Đặc biệt nếu a = b = 0, thì g số Lie Abel # là một đại Chương 2 ứng dụng tính đối xứng vào vi c giải phương trình vi phân Nội dung chính của chương này, chúng tôi sử dụng các kết quả đã biết về nhóm Lie một tham số, nhóm Lie hai tham số trình bày ở trong Chương 1 để giải phương trình vi phân cấp 1 và phương trình vi phân cấp 2 bằng cách dựa vào tính đối xứng nghiệm 2.1 Hệ tọa độ chính tắc 2.1.1... Trên đây ta xét nhóm các phép biến đổi có cấu trúc đại số Nếu ta thêm cấu trúc giải tích vào nhóm này một cách hợp lý thì nó trở thành nhóm Lie các phép biến đổi một tham số Bây giờ ta xét đến nhóm Lie các phép biến đổi một tham số 1.2.2 Định nghĩa Cho một khoảng trên R : S ì S S và D R2 (S, ) là một miền mở và là một nhóm với phần tử đơn vị là là hàm giải tích và ánh xạ phép biến đổi, ký hiệu là... Nhóm Lie các phép biến đổi 2 tham số tại lân cận =0 tương ứng với nghiệm bài toán ban đầu giá trị ban đầu của hệ phương trình vi phân cấp I X1 X2 1 1 = ()(x ) X1 X2 2 2 với điều kiện ban đầu x = x khi = 0 1.3.3 Toán tử sinh vi phân Toán tử sinh vi phân X ứng với tham số của nhóm Lie các phép biến đổi 2 tham số X1 = 11 + 12 , X2 = 21 + 22 x1 x2 x1 x2 Cách khác để biểu diễn nhóm Lie các phép. .. sinh vi phân của nhóm các phép biến đổi một tham X = X(x, ) trở thành Y = Chứng minh Theo trên, ta có y2 Y = 1 (y) + 2 (y) y1 y2 Mặt khác, trong chứng minh Định lý 2.1.3, ta có Xy1 (x) 0 Xy2 (x) 1 Từ đó ta suy ra thành phần hệ tọa độ chính tắc là 1 (y) = Xy1 = 0 2 (y) = Xy2 = 1 Vậy Y = y2 ' 2.2 ứ ng dụng nhóm Lie các phép biến đổi một tham số vào giải phương trình vi phân cấp I Để giải được phương. .. cố định bất kỳ 1 , 2 xác định một nhóm Lie các phép biến đổi 1 tham số là nhóm Lie các phép biến đổi 2 tham số Bây giờ ta xét nhóm Lie các phép biến đổi 2 tham số với các toán tử vi phân X1 , X2 được xác định bởi X1 (x, ) [ ] (x) 12 (x) 1 (x) = 11 = X1 (x, ) 21 (x) 22 (x) 2 =0 =0 X2 (x, ) 1 X2 (x, ) 2 và + 12 , X2 = 21 + 22 x1 x2 x1 x2 Khi đó tích Lie của X1 và X2 là toán tử cấp I X1 = 11 [X1... một phép tham số hóa nhóm Lie các phép biến đổi () sao cho X = X(x, ) tương ứng với nghiệm của bài toán giá trị ban đầu của hệ phương trình vi phân cấp I dx = (x ) d với điều kiện ban đầu x = x, khi = 0 Trong đó: Phép tham số hóa () = ( )d , 0 với () = (a, b) b (a,b)=( ,) và (0) = 1 1.2.7 Ví dụ (Nhóm các phép tịnh tiến trên mặt phẳng) Cho nhóm các phép biến đổi x = x + y = y, (1.5) " với phép. .. (x) = (y1 (x), y2 (x)) thì nhóm Lie các phép biến đổi một tham số X = X(x, ), trở thành y = eY y Phép đổi tọa độ y = Y (x) = (y1 (x), y2 (x)) xác định một tập hợp các tọa độ chính xác cho nhóm Lie các phép biến đổi một tham số hệ tọa độ mới đó nhóm X = X(x, ) có dạng sau: y1 = y1 y2 = y2 + % X = X(x, ), nếu trong 2.1.3 Định lý Cho nhóm Lie các phép biến đổi tại một tập các tọa độ chính tắc X =... 1.2.3 Ví dụ (Nhóm các phép tịnh tiến trên mặt phẳng) Cho nhóm các phép biến đổi x = x + , y = y, R với phép toán (, ) = + Như vậy, nhóm các phép tịnh tiến trên mặt phẳng được cho bởi D = R2 , (S, ) là nhóm cộng và ánh xạ X : R2 ì R R2 ((x, y), ) (x , y ) = (x + , y) Ta chứng minh nhóm {X(., )}R các phép biến đổi này là nhóm Lie các phép biến đổi một tham số Thật vậy ' Trước hết ta cần chỉ ra rằng... phần tử đơn vị cận của (1.1) = 0 và phép toán Khai triển Taylor (1.1) tại = 0, trong lân = 0, ta có x = x+ ( X(x, ) ( X(x, ) = x+ ) 1( 2 X(x, ) + =0 ) 2 2 ) =0 +O(2 ) +ããã (1.2) =0 Đặt (x) = Phép biến đổi X(x, ) (1.3) =0 x + (x) được gọi là phép biến đổi vi phân của nhóm Lie các phép biến đổi (1.1) Các thành phần của (x) được gọi là vi phân các phép biến đổi (1.1) Một vấn đề đặt ra là nếu ... ng dụng nhóm Lie phép biến đổi tham số vào giải phương trình vi phân cấp I Để giải phương trình vi phân cấp I vi c sử dụng nhóm Lie phép biến đổi tham số, trước hết ta cần biết nhóm Lie phép biến. .. giải phương trình vi phân Nội dung chương trình bày ứng dụng tính đối xứng nhóm Lie phép biến đổi tham số để giải phương trình vi phân cấp ứng dụng đại số Lie để giải phương trình vi phân cấp cao... liên quan để đọc hiểu trình bày lại cách có hệ thống kết nhóm Lie phép biến đổi ứng dụng kết thu nhóm Lie phép biến đổi để giải phương trình vi phân cấp 1, phương trình vi phân cấp cao Nội dung