Biến đổi laplace và ứng dụng trong việc giải phương trình vi phân

LỜI CẢM ƠN Em xin chân thành cảm ơn giúp đỡ thầy giáo, cô giáo giảng dạy môn Giải tích bạn sinh viên chuyên ngành sư phạm Toán trường Đại học Tây Bắc Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô giáo Thạc sĩ Phạm Thị Thái tận tình giúp đỡ em trình hoàn thành khóa luận tốt nghiệp Đây lần em thực công tác nghiên cứu khoa học nên không tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn sinh viên để khóa luận đầy đủ hoàn thiện Cuối em xin kính chúc thầy cô giáo sức khỏe, công tác tốt, chúc bạn sinh viên mạnh khỏe, thành công học tập Sơn La, tháng 05 năm 2015 Người thực Đinh Thị Thùy Linh MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu CHƢƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ………….………………………… 1.1 Số phức 1.2 Hàm biến phức 1.3 Một số vấn đề phương trình vi phân CHƢƠNG 2: BIẾN ĐỔI LAPLACE 2.1 Một số khái niệm 2.2 Biến đổi Laplace đạo hàm 13 2.3 Sự hội tụ 16 2.4 Tính liên tục 17 2.5 Lớp hàm có biến đổi Laplace 18 2.6 Hội tụ 20 2.7 Biến đổi Laplace ngược 22 2.8 Các định lý biến đổi 26 2.9 Đạo hàm tích phân biến đổi Laplace 29 CHƢƠNG 3: ỨNG DỤNG CỦA BIẾN ĐỔI LAPLACE TRONG VIỆC GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN…………………………….…………… 32 3.1 Phương trình vi phân với hệ số số 32 3.2 Nghiệm tổng quát 36 3.3 Vấn đề giá trị biên 36 3.4 Phương trình vi phân với hệ số đa thức 38 KẾT LUẬN 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Biến đổi Laplace biến đổi tích phân với biến đổi Fourier hai biến đổi hữu ích, biến đổi thường sử dụng để giải toán lĩnh vực Vật lý Qua biến đổi Laplace, phép toán giải tích phức tạp đạo hàm, tích phân đơn giản hóa thành phép toán đại số (giống cách mà hàm logarit chuyển phép toán nhân số thành phép cộng logarit chúng) Nhờ số tính chất riêng mà biến đổi Laplace đặc biệt hữu ích giải phương trình vi phân thường, phương trình đạo hàm riêng, phương trình tích phân,… Những phương trình thuộc lĩnh vực thường xuất toán Vật lý, phân tích mạch điện, xử lý số liệu, dao động điều hòa, toán học,… Qua biến đổi Laplace phương trình chuyển thành phương trình đại số đơn giản Nghiệm phương trình hàm ảnh, dùng biến đổi Laplace ngược để có lại hàm gốc Về lịch sử biến đổi Laplace xuất phát điểm từ năm 1744, Leonhard Euler sử dụng biến đổi tích phân dạng F (s)    ( x)e sx dx F ( s)    ( x) x x dx, để giải số phương trình vi phân Về sau Joseph Louis Lagrange, nghiên cứu cách tính tích phân hàm mật độ xác suất, ông đưa biểu thức tích phân dạng   ( x )e ax a x dx Những dạng tích phân thu hút ý Lagrange Từ năm 1782, Lagrange tiếp tục công trình nghiên cứu Euler, sử dụng phép tính tích phân để giải phương trình vi phân Đến năm 1785, ông đưa biến đổi Laplace mà sau trở nên phổ biến, từ tích phân dạng  x  ( x)ds s Tương tự với biến đổi Mellin, qua biến đổi Laplace phép toán vi phân trở thành phép toán đại số Sử dụng phép biến đổi ngược, người ta tìm lời giải phương trình vi phân Để tiếp cận với lý thuyết hiểu biết phần ứng dụng nó, định hướng thầy cô hướng dẫn em chọn đề tài “Biến đổi Laplace ứng dụng việc giải phương trình vi phân” để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp Đại học sư phạm chuyên ngành Toán – Lý Để trình bày vấn đề theo mục đích đặt ra, bố cục khóa luận thành ba chương bảng biến đổi Laplce hàm Nội dung chương sau: Chƣơng Kiến thức chuẩn bị Trình bày số kiến thức số phức, mặt phẳng phức số vấn đề hàm biến phức Trong phần trình bày số kiến thức phương trình vi phân thường Chƣơng Biến đổi Laplace Trình bày số vấn đề phép biến đổi Laplace là: Định nghĩa tính chất phép biến đổi Laplace; Vấn đề hội tụ biến đổi Laplace; Biến đổi Laplace ngược phương pháp tìm biến đổi Laplace ngược hàm cho trước; Đạo hàm tích phân biến đổi Laplace Chƣơng Ứng dụng phép biến đổi Laplace vào giải phƣơng trình vi phân Áp dụng biến đổi Laplace để giải phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng, hệ số đa thức với điều kiện ban đầu điều kiện biên Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu biến đổi Laplace áp dụng việc giải phương trình vi phân thường Đối tƣợng nghiên cứu Nghiên cứu phương trình vi phân thường biến đổi Laplace Ứng dụng biến đổi Laplace việc giải phương trình vi phân thường số toán cụ thể Phƣơng pháp nghiên cứu Tra cứu tài liệu, tổng hợp theo hướng dẫn giáo viên để hoàn thành nhiệm vụ nghiên cứu CHƢƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Số phức 1.1.1 Định nghĩa Số phức số có dạng z  a  bi, với a, b i đơn vị ảo mà i  1 Ta gọi a phần thực b phần ảo, ký hiệu a  Re( z), b  Im( z) Tập hợp số phức kí hiệu với mặt phẳng Tập hợp số phức đồng phép tương ứng  z  a  ib ( a, b) Khi trục Ox gọi trục thực trục Oy gọi trục ảo Phép cộng phép nhân số phức thực cách thông thường phép toán tập hợp số thực với lưu ý i  1 Với z1  a1  ib1 , z2  a2  ib2 ta có phép cộng hai số phức z1  z2  (a1  a2 )  i(b1  b2 ), phép nhân hai số phức z1.z2  (a1a2  b1b2 )  i(a1b2  b1a2 ) Modul số phức z  a  ib ký hiệu định nghĩa z  a  b2 Số phức liên hợp số phức z  a  bi kí hiệu z  a  ib Ta có kết sau: Re( z )  zz zz z  , z  ; Im( z )  ; z  z.z; z z 2i Dạng lượng giác số phức z  z  cos  i sin   , với cos  Re( z ) Im( z ) , sin   z z Số phức khác biểu diễn dạng mũ z  z ei , với ei  cos  i sin  ,   gọi argument số phức z (argument số phức z xác định cách với sai khác bội 2 ) góc hợp chiều dương trục Ox nửa đường thẳng xuất phát từ gốc tọa độ qua điểm z Cuối cùng, ta lưu ý z  z ei , w  w ei zw  z w ei (  ) 1.2 Hàm biến phức 1.2.1 Định nghĩa Cho D  tập tùy ý cho trước Hàm biến phức ánh xạ f :D f  z  z 1.2.2 Đạo hàm hàm biến phức Cho hàm W  f ( z ) xác định D  Đạo hàm hàm f điểm z0  D ký hiệu định nghĩa f '( z0 )  lim z 0 f ( z0  z )  f ( z0 ) , z0  z  D z Hàm f ( z ) có đạo hàm z0  D gọi khả vi phức z0 Hàm f ( z ) gọi khả vi phức D khả vi phức điểm thuộc D Giả sử z  x  iy f ( z )  u  x, y   iv  x, y  Hàm f ( z ) gọi  khả vi điểm z  x  iy hàm u  x, y  , v  x, y  khả vi  x, y  Sau ta đưa điều kiện cần đủ để hàm số phức khả vi 1.2.3 Định lý Cauchy – Riemann Hàm f ( z ) khả vi phức điểm z  x  iy  D hàm f ( z)  u( x, y)  iv( x, y)  khả vi z điều kiện Cauchy – Riemann sau thỏa mãn z v  u  x ( x, y )  y ( x, y )    u ( x, y )   v ( x, y ) x  y Nhận xét Nếu hàm f ( z ) thỏa mãn điều kiện Cauchy - Riemann hàm u( x, y), v( x, y) đạo hàm riêng liên tục điểm điểm khả vi phức Quy tắc tính đạo hàm hàm biến phức tương tự hàm biến thực 1.3 Một số vấn đề phƣơng trình vi phân 1.3.1 Định nghĩa Phương trình vi phân phương trình chứa hàm cần tìm đạo hàm Nếu hàm cần tìm phụ thuộc vào biến độc lập, phương trình gọi phương trình vi phân thường (thường gọi phương trình vi phân) Nếu hàm cần tìm phụ thuộc hai nhiều biến độc lập phương trình gọi phương trình đạo hàm riêng Trong khóa luận ta nghiên cứu phương trình vi phân Phương trình vi phân cấp n có dạng tổng quát F (t , y, y ' , y" , , y ( n) )  (1.1) F hàm xác định miền G không gian n , t biến độc lập, y  y  t  hàm cần tìm y ', y '', , y   tương ứng đạo hàm cấp n một, cấp hai,…., cấp n hàm cần tìm Cấp phương trình vi phân thường xác định cấp cao đạo hàm xuất phương trình Nếu từ phương trình (1.1) ta tìm biểu diễn đạo hàm cấp cao y (n) dạng y ( n)  f (t , y, y ', y '', , y ( n1) ) (1.2) (1.2) gọi phương trình vi phân giải với đạo hàm cấp n Nghiệm phương trình (1.1) (1.2) hàm y  y(t ) khả vi n lần khoảng (a, b) thỏa mãn phương trình với t thuộc khoảng (a, b) Đường cong y  y(t ); t  (a, b) gọi đường cong tích phân phương trình cho Để giải phương trình vi phân ta dùng thuật ngữ “Tích phân phương trình vi phân” lý 1.3.2 Bài toán Cauchy Bài toán tìm nghiệm y  y(t ) xác định khoảng (a, b) phương trình (1.1) (1.2) thỏa mãn điều kiện y0  y(t0 ), y0'  y ' (t0 ), , y0( n1)  y ( n1) (t0 ), (1.3) gọi toán Cauchy Điều kiện (1.3) gọi điều kiện đầu 1.3.3 Vấn đề tồn nghiệm phƣơng trình vi phân Ở đưa định lý tồn nghiệm phương trình vi phân Việc chứng minh định lý này, tham khảo tài liệu trích dẫn [1] Định lý 1.1 (Tồn nghiệm) Cho phương trình vi phân cấp n dạng giải với đạo hàm y ( n)  f (t , y, y ' , y" , , y ( n1) ) Nếu vế phải phương trình hàm liên tục n  biến miền n1 chứa điểm (t0 , y0 , y '0 , , y0( n1) ) đạo hàm riêng f f f , ' , , ( n1) y y y liên tục tồn khoảng (a, b) chứa điểm t0 để khoảng tồn hàm y  y(t ) khả vi n lần khoảng thỏa mãn điều kiện đầu (1.3) 1.3.4 Nghiệm tổng quát Ta giả thiết G miền tồn nghiệm phương trình (1.2), tức nghiệm toán Cauchy tồn điểm x , y , y 0 ' , , y0( n1)   G, Hàm y    x, C1 , C2 , , Cn  , xác định miền biến thiên biến x, C1 , C2 , , Cn có tất đạo hàm riêng theo x liên tục đến cấp n gọi nghiệm tổng quát phương trình (1.2) miền G G từ hệ phương trình  y0    x0 , C1 , C2 , , Cn   ' '  y0   x  x0 , C1 , C2 , , Cn     y0( n1)   ( n1)  x0 , C1 , C2 , , Cn   Ta xác định C10    x0 , y0 , y0 ' , , y0 ( n1)    C20    x0 , y0 , y0 ' , , y0 ( n1)      Cn0   n  x0 , y0 , y0 ' , , y0 ( n1)   (1.4) hàm y    x, C10 , C20 , , Cn0  nghiệm phương trình (1.2) ứng với hệ C10 , C20 , , Cn0 xác định từ (1.4) x0 , y0 , y0' , , y0( n1) biến thiên G 1.3.5 Phƣơng trình vi phân tuyến tính Phương trình vi phân tuyến tính cấp n có dạng tổng quát y ( n)  f1 ( x) y ( n1)   f n ( x) y  g  x  , (1.5) f1 ( x), f ( x), , f n ( x), g  x  hàm số Nếu f1 ( x), f ( x), , f n ( x) đa thức phương trình (1.5) gọi phương trình vi phân tuyến tính với hệ số đa thức Đặc biệt, phương trình vi phân tuyến tính với hệ số có dạng y ( n)  a1 y ( n1)   an yn  g  x  , (1.6) a1 , a2 , , an số thực Bổ đề Nếu phương trình y ( n)  a1 y ( n1)   an y  có nghiệm phức y( x)  u( x)  iv( x) phần thực u ( x) phần ảo v( x) nghiệm thực phương trình Từ tính chất tuyến tính biến đổi Laplace ngược hàm gốc biết đây, ta nhận nghiệm phương trình cần giải 1     1   y   L1    L1    L1   L   s    s   s  1  s 1 1  t  t  et  et 2 Tổng quát, phương pháp biến đổi Laplace chứng minh áp dụng với phương trình vi phân tuyến tính cấp n với hệ số số, nghĩa giải với phương trình a dny d n1 y  a   a0 y  f (t ), dt n dt n1 (3.2) với điều kiện y(0)  y0 ; y '(0)  y1 ; ; y ( n1) (0)  yn1 Ví dụ 3.3 Giải phương trình y '' y  Eua (t ), với điều kiện đầu y(0)  0; y '(0)  Lấy biến đổi Laplace với  t  a E (hằng số) t  a ta nhận s L( y )  sy (0)  y '(0)  L( y)  Ee as s Từ ta có L( y )  s   as Ee as 1   E   e , s  s( s  1) s  s s 1  Khi s   as    1  y  L1    EL   e   s  1  s s     sin t  Eua (t )  t  cos(t  a)  Dựa vào định lý 2.8.1 viết y dạng  sin t y sin t  E 1  cos(t  a)  34  t  a t  a Ta ý y(a  )  y(a  )  sin a, y '(a  )  y '(a  )  cos a Do y ''(t ) liên tục Ví dụ 3.4 Giải phương trình vi phân  sin t y '' y   0  t     t với điều kiện đầu y(0)  y '(0)  Ta có  s L1 ( y)  L( y)   e st sin tdt  e st  ( s sin t  cos t ) s 1  e   s  s 1 s 1 Sử dụng kết   2 L1   (sin t  t cos t ), 2   ( s   )  2 định lý 2.8.3 ta nhận y 1  sin t  t cos t   u (t )   sin(t   )  (t   )cos(t   )  2  Ngoài ta có cách viết khác 1  (sin t  t cos t )  t   y  2   cos t t    Ta có biểu diễn hàm f (t )  sin t 1  u (t )   sin t  u (t )sin(t   ) 35 Từ ta có L  f (t )   e  s  s2  s2  3.2 Nghiệm tổng quát Nếu điều kiện đầu (3.1) không xác định cụ thể, ta sử dụng biến đổi Laplace để tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân Ví dụ 3.5 Giải phương trình vi phân y '' y  et , với điều kiện đầu tổng quát y(0)  y0 ; y '(0)  y1 Biến đổi Laplace hai vế phương trình, ta s L( y)  sy(0)  y '(0)  L( y)  L(et ) Từ ta suy L( y )  sy y   21 ( s  1)  s  1 s  s  Sử dụng đồng thức ta giải L( y )   ( s  1) 1 s 2  y0 s  y1 s2  s2  s2  Sử dụng biến đổi Laplace ngược L1 , ta có 1 1   y  et   y0   cos t   y1   sin t 2 2   Với giá trị y0 , y1 ta tìm nghiệm tổng quát phương trình y  c0 cos t  c1 sin t  et , c0 , c1 số tùy ý Chú ý   t   3.3 Vấn đề giá trị biên Vấn đề giá trị biên tuân theo phương pháp giải biến đổi Laplace Ta xét ví dụ sau y ''  y  cost , 36   với điều kiện đầu y (0)  1; y     2  Sử dụng biến đổi Laplace ta có L( y '')   L( y)  L(cost ), Khi ta có s    L( y )  s  sy(0)  y '(0), s  2 Từ suy L( y )  s sy(0) y '(0)   , 2 s    s   s  2 Sử dụng biến đổi Laplace ngược ta y(t )  y '(0) t sin t  cost  sin t 2  (3.3) Sử dụng kết  s  L1   t sin t ,   s    2 thay giá trị y(0)  vào phương trình (3.3), ta nhận y '(0)    1 y    ,   2  4 Từ ta nhận y '(0)  1  4 Lại thay vào (3.3) ta y(t )     t sin t  cost  1   sin t 2  4  Tương tự, có điều kiện đầu thay điều kiện đầu toán điều kiện   y (0)  1; y '    1,  37 ta nhận hệ thức tương tự hệ thức (3.3) y '(t )  (sin t  tcost )   sin t  y '(0)cost 2 Từ hệ thức này, ta      y '    y '(0),    2    y '(0)   1   2   Khi nghiệm phương trình y(t )  1   t sin t  cost  1   sin t 2   2  3.4 Phƣơng trình vi phân với hệ số đa thức Như biết định lý 2.10.1, hàm f liên tục  0,   , có bậc mũ  dn  F (s)   (1)n L t n y(t ) ; (s   ), ds n với F (s)  L  y(t )  Khi n  1, ta L  ty(t )    F '(s) Giả thiết thêm y '(t ) thỏa mãn giả thiết định lý Khi đó, ta L  ty '(t )    d L( y '(t ))  sF '(s)  F (s) ds Tương tự y ''(t ) L  ty ''(t )    d d L  y ''(t )     s F (s)  sy(0)  y '(0)  ds ds  s F '(s)  2sF (s)  y(0) Trong nhiều trường hợp, biến đổi L  ty(t )  , L  ty '(t )  , L  ty ''(t )  sử dụng để giải phương trình vi phân tuyến tính có hệ số đa thức 38 Ví dụ 3.6 Giải phương trình y '' ty ' y  4; y(0)  1; y '(0)  Biến đổi Laplace hai vế phương trình, ta s F ( s)  s   sF '(s)  F ( s)   F ( s)  s Hay ta có 3  F '( s)    s  F ( s)    s s  Sử dụng kết s  3    ( s)  exp     s  ds   s 3e    s Ta nhận s   F ( s) s e  ' s  s    s e  s e s  2 Do F (s)s e Thay u    s2  4 se  s2 ds   s e  s2 ds s2 vào đẳng thức ta F ( s) s e  s2  4 eu du  2 ueu du  4e  2e  s2  s2  s  s  2 e2    s 2e  s2 2    C   C Từ suy 2 C s F ( s)    e s s s Bởi F (s)  s  , nên phải có C  ta nhận nghiệm phương trình 39 y(t )  t  Tuy nhiên, có số vấn đề khó khăn mà thấy vấn đề Cụ thể, ta xét toán tìm nghiệm phương trình y ' 2ty  0, y(0)  Ta thấy y (t )  et nghiệm phương trình này, biết hàm biến đổi Laplace Vậy điều xảy sử dụng phép biến đổi Laplace để giải phương trình Ngoài ý thêm rằng, phương trình vi phân có điểm kỳ dị quy, nghiệm kiểu hàm logt t  0 Trường hợp biến đổi Laplace đạo hàm không tồn Trong trường hợp này, phương pháp biến đổi Laplace cho ta nghiệm bị chặn gốc Ví dụ 3.7 Giải phương trình ty '' y ' y  Điểm t  điểm kỳ dị quy phương trình Ta xác định nghiệm phương trình thỏa mãn điều kiện y(0)  Biến đổi Laplace hai vế phương trình, ta  s F '(s)  2sF (s)  1   sF (s)  1)  2F (s)   0, Hay s F '(s)  sF (s)  2F ( s)  Từ đó, ta 1  F '( s)     F ( s)  0; s  s s  Bởi  ( s)  exp 1    s  s2 ds Nên ta nhận '   s  F ( s ) se     40  se s Từ đó, suy 2 Ce s F (s)  s  xn x   ta n ! s n 0 Sử dụng khai triển Taylor hàm e x   (1)n 2n  (1) n 2n n!s n n 0  C n 1 s n  n !s  F (s)  C  an t n , t  biến đổi n 0 ( n    1) Sử dụng công thức f (t )  L1 ( f (s))   Laplace ngược biết ta (1)n 2n t n (n!)2 n 0  y (t )  C  Từ điều kiện đầu y(0)  ta số C  cuối nhận nghiệm phương trình cho (1) n 2n t n (n!)2 n 0  y (t )    Lưu ý y(t )  J at  với a  từ kết biến đổi Laplace mục 2.7.3, J hàm Bessel bậc giới thiệu Phương trình có nghiệm không bị chặn điểm gốc tìm nghiệm theo phương pháp mà ta biết trước 41 BẢNG BIẾN ĐỔI LAPLACE CỦA CÁC HÀM CƠ BẢN STT Hàm gốc f (t ) Hàm ảnh F ( s) 1 s t s2 tn n! s n1 e at sa eat  a s( s  a) teat ( s  a)2 n at t e sin mt n! ( s  a) n1 m s  m2 42 cosmt s s  m2 10 sinh mt 11 cosh mt m s  m2 s s  m2 eat sin mt m ( s  a)2  m2 13 eat cos mt sa ( s  a)2  m2 14 eat sin hmt m ( s  a)2  m2 15 eat coshmt sa ( s  a)2  m2 t sin mt 2sm 12 s 16 17  m2  s  m2 t cos mt s 18 2 t sin hmt s 43  m2  2sm  m2  19 s  m2 tcoshmt s 20 21  m2  m( s  a ) teat sin mt  ( s  a) 23  m2  ( s  a)2  m2 teat cosmt  ( s  a) 22 2  m2  2 m( s  a ) teat sinhmt  ( s  a)  m2  ( s  a)2  m2 teat coshmt  ( s  a)  m2  m2 s  s  m2  24  cosmt 25 f (t )sin mt 26 f (t )cosmt  F (s  im)  F (s  im) 2i 27 f (t )sinhmt  F (s  m)  F (s  m) 2i  F (s  im)  F (s  im) 2i 44 28 f (t )coshmt  F (s  m)  F (s  m) 2i 29 eat  ebt ab ( s  a)( s  b) 30 e  t a  e ab t b (as  1)(bs  1) 31 (1  at )eat s ( s  a)2 32 a at  at  a2 s ( s  a) cos2 mt s  2m s  s  4m  33 2m s  s  4m  34 sin mt 35 cosh mt s  2m s  s  4m  36 sin h mt 2m s  s  4m  37 eat  ebt t ln 45 s b sa 38 e  at t 39 t m eat ; (m  1) (m  1) ( s  a) m1 40 t m eat ln t; (m  1)  (m  1)   '(m  1)  ln( s  a)  m1  ( s  a)  (m  1)  pa 46 KẾT LUẬN Khóa luận giải vấn đề dƣới đây: Mục đích khóa luận sử dụng biến đổi Laplace để giải phương trình vi phân Tuy nhiên để thực điều đó, em trình bày số kiến thức số phức, mặt phẳng phức số vấn đề hàm biến phức; Hệ thống hóa số kiến thức phương trình vi phân thường Trình bày cách hệ thống lý thuyết biến đổi Laplace gồm: khái niệm tính chất phép biến đổi Laplace; Vấn đề hội tụ biến đổi Laplace; Biến đổi Laplace ngược phương pháp tìm biến đổi Laplace ngược hàm cho trước; Đạo hàm tích phân phép biến đổi Laplace Biến đổi Laplace đạo hàm hàm cho trước Áp dụng kết giải phương trình vi phân gồm dạng: Phương trình vi phân với điều kiện đầu; Phương trình vi phân tổng quát; Phương trình vi phân với hệ số đa thức; Bài toán giá trị biên; Phương pháp xử lý toán tìm nghiệm phương trình vi phân với hệ số đa thức có điểm kỳ dị quy 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Thế Hoàn (2000), Cơ sở phương trình vi phân lý thuyết ổn định, Nxb Giáo dục Việt Nam [2] Nguyễn Thế Hoàn, Trần Văn Nhung (2005), Bài tập phương trình vi phân, Nxb Giáo dục Việt Nam [3] Nguyễn Văn Khuê (2001), Hàm biến phức, NxbĐHQG Hà Nội [4] Phan Huy Thiện (2010), Phương trình vi phân, Nxb Giáo dục Việt Nam [5] Phan Quốc Khánh (2000), Toán chuyên đề: Hàm đặc biệt, biến đổi Laplace, giải tích Fourier, Phương trình đạo hàm riêng, NxbĐHQG Hồ Chí Minh [6] Vũ Tuấn (1992), Phương trình vi phân, Nxb Giáo dục Việt Nam 48 [...]... 3 ỨNG DỤNG CỦA BIẾN ĐỔI LAPLACE TRONG VI C GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN Để giải các phương trình vi phân, chúng ta cần biết đến biến đổi Laplace đối với đạo hàm f ' của hàm f Sự tiện dụng của L( f ') là nó có thể biểu diễn dưới dạng L( f ) Tuy nhiên, vấn đề chính ở đây là ở tầm quan trọng của nó mà chúng ta có thể giải một lớp lớn các phương trình vi phân có tính hiệu lực đáng kể 3.1 Phƣơng trình vi phân. .. vi c giải các phương trình vi phân có thể tổng quát hóa theo các bước sau: Bước 1 Lấy biến đổi Laplace cả hai vế của phương trình Các kết quả nhận được gọi là biến đổi phương trình Bước 2 Thu được phương trình L( y)  F (s) với F ( s) là một biểu thức đại số đối với biến s Bước 3 Sử dụng các kết quả của biến đổi Laplace ngược để suy ra nghiệm của phương trình y  L1  F (s)  Ví dụ 3.2 Giải phương trình. .. Khi biến đổi Laplace tồn tại, tức là với tất cả các hàm f  L Như một hệ quả, bất kỳ hàm F ( s) không có tính 21 chất này, chẳng hạn các hàm s  1 es hoặc s 2 , không thể là biến đổi Laplace ; s 1 s của bất cứ hàm f nào 2.7 Biến đổi Laplace ngƣợc 2.7.1 Một số khái niệm Để có thể áp dụng biến đổi Laplace tới các bài toán Vật lý cũng như vi c giải các phương trình vi phân, chúng ta cần đến phép biến đổi. .. biến đổi Laplace cả hai vế của phương trình đã cho ta nhận được L( y ")  L( y)  L(1) Từ (3.1) ta suy ra 1 s 2 L( y )  sy (0)  y '(0)  L( y )  , s Từ đó ta nhận được L( y )  1 1 s   s( s 2  1) s s 2  1 32 (3.1) Sử dụng các biến đổi Laplace đã biết ta nhận được nghiệm của phương trình đã cho là y  1  cos t Phƣơng trình vi phân với điều kiện ban đầu Phương pháp biến đổi Laplace đối với vi c. .. 0 một miền nào đó đối với s Trường hợp tích phân trên phân kỳ thì không tồn tại biến đổi Laplace xác định đối với hàm f Ký hiệu L( f ) được sử dụng cho biến đổi Laplace của hàm f , tích phân trên là tích phân Riemann thông thường với cận trên ở vô tận Hàm F ( s) được gọi là hàm ảnh của biến đổi Laplace Phép biến đổi Laplace được gọi là thực hay phức nếu biến số s của hàm ảnh F ( s) là thực hay phức... hàm Bessel bậc n (iii) Biến đổi Laplace ngƣợc của một phân thức hữu tỉ Nhiều ứng dụng của phép biến đổi Laplace cần đến vi c tìm biến đổi ngược F ( s) của các phân thức hữu tỉ có dạng F ( s)  P( s) Q( s ) ở đó bậc của Q( s) lớn hơn bậc của P( s) và hệ số của lũy thừa lớn nhất của Q( s) bằng 1 Ta vi t Q(s)  (s  a)m (s 2  ps  q)n là tích của các thừa số có dạng ( s  a)m và ( s 2  ps  q)n với... bậc 0 Trong đó phương trình Bessel có dạng x 2 y ''  xy '   x 2  n2  y  0 Phương trình có điểm kỳ dị chính quy tại x  0, và một điểm kỳ dị cốt yếu tại x   Tham số n là một số lấy giá trị không âm Các biến của phương trình Bessel có giá trị từ 0 đến  Tìm nghiệm của phương trình dưới dạng một chuỗi vô hạn Vi t phương trình trên dưới dạng y ''  n2  1 y ' 1  2  y  0 x  x  Phương trình. .. Phƣơng trình vi phân với hệ số hằng số Định lý đạo hàm dưới dạng của định lý 2.2.1 cho ta khả năng sử dụng biến đổi Laplace như một công cụ hiệu lực đối với vi c giải các phương trình vi phân thường Để thấy được ý nghĩa của vấn đề, trước hết chúng ta tìm hiểu ví dụ sau Ví dụ 3.1 Giải phương trình vi phân sau d2y  y  1, dt 2 với điều kiện đầu y(0)  y '(0)  0 Chúng ta giả thiết rằng nghiệm y  y(t... Laplace được chứng minh ở trên có thể áp dụng với phương trình vi phân tuyến tính cấp n với hệ số hằng số, nghĩa là có thể giải được với phương trình a dny d n1 y  a   a0 y  f (t ), dt n dt n1 (3.2) với điều kiện y(0)  y0 ; y '(0)  y1 ; ; y ( n1) (0)  yn1 Ví dụ 3.3 Giải phương trình y '' y  Eua (t ), với điều kiện đầu y(0)  0; y '(0)  1 Lấy biến đổi Laplace với 0  t  a và E (hằng số)...CHƢƠNG 2 BIẾN ĐỔI LAPLACE 2.1 Một số khái niệm 2.1.1 Định nghĩa Giả sử f là hàm biến thực hoặc phức của biến t  0 và s là hàm tham số thực hoặc phức Biến đổi Laplace của hàm f được xác định và ký hiệu bởi   F ( s)  L(f (t ))   e  st f (t )dt  lim  e  st f (t )dt 0   (2.1) 0  Biến đổi Laplace của hàm f (t ) sẽ tồn tại nếu tích phân  e st f (t )dt hội tụ trong 0 một miền nào