Biến đổi laplace và ứng dụng trong việc giải phương trình vi phân

Lý do chọn đề tài Biến đổi Laplace là một biến đổi tích phân và cùng với biến đổi Fourier là hai biến đổi rất hữu ích, các biến đổi này thường được sử dụng để giải quyết các bài toán tr

LỜI CẢM ƠN

Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy giáo, cô giáo giảng dạy bộ môn Giải tích và các bạn sinh viên chuyên ngành sư phạm Toán trường Đại học Tây Bắc

Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới cô giáo Thạc sĩ Phạm Thị Thái đã tận tình giúp đỡ em trong quá trình hoàn thành khóa luận tốt

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 2

3 Đối tượng nghiên cứu 2

4 Phương pháp nghiên cứu 3

CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ………….……… 4

1.1 Số phức 4

1.2 Hàm biến phức 5

1.3 Một số vấn đề cơ bản về phương trình vi phân 6

CHƯƠNG 2: BIẾN ĐỔI LAPLACE 9

2.1 Một số khái niệm 9

2.2 Biến đổi Laplace của đạo hàm 13

2.3 Sự hội tụ 16

2.4 Tính liên tục 17

2.5 Lớp các hàm có biến đổi Laplace 18

2.6 Hội tụ đều 20

2.7 Biến đổi Laplace ngược 22

2.8 Các định lý biến đổi 26

2.9 Đạo hàm và tích phân của biến đổi Laplace 29

CHƯƠNG 3: ỨNG DỤNG CỦA BIẾN ĐỔI LAPLACE TRONG VIỆC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN……….………32

3.1 Phương trình vi phân với hệ số hằng số 32

3.2 Nghiệm tổng quát 36

3.3 Vấn đề giá trị biên 36

3.4 Phương trình vi phân với hệ số đa thức 38

KẾT LUẬN 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Biến đổi Laplace là một biến đổi tích phân và cùng với biến đổi Fourier là hai biến đổi rất hữu ích, các biến đổi này thường được sử dụng để giải quyết các bài toán trong lĩnh vực Vật lý Qua biến đổi Laplace, các phép toán giải tích phức tạp như đạo hàm, tích phân được đơn giản hóa thành các phép toán đại số (giống như cách mà hàm logarit chuyển phép toán nhân các số thành phép cộng logarit của chúng) Nhờ một số tính chất riêng của nó mà biến đổi Laplace đặc biệt hữu ích trong giải các phương trình vi phân thường, phương trình đạo hàm riêng, phương trình tích phân,… Những phương trình thuộc lĩnh vực đó thường xuất hiện trong các bài toán Vật lý, trong phân tích mạch điện, xử lý số liệu, dao động điều hòa, các bài toán cơ học,… Qua biến đổi Laplace các phương trình này có thể chuyển thành các phương trình đại số đơn giản hơn Nghiệm của các phương trình đó là các hàm ảnh, chúng ta dùng biến đổi Laplace ngược để có lại hàm gốc

Về lịch sử của biến đổi Laplace xuất phát điểm từ năm 1744, Leonhard Euler đã sử dụng các biến đổi tích phân dạng

( ) ax x

x e a dx



Những dạng tích phân này đã thu hút sự chú ý của Lagrange Từ năm

1782, Lagrange tiếp tục công trình nghiên cứu của Euler, đã sử dụng phép tính tích phân để giải các phương trình vi phân Đến năm 1785, ông đã đưa ra biến đổi Laplace mà sau này đã trở nên rất phổ biến, từ tích phân dạng

( )

s

x x ds

 

2

Tương tự với biến đổi Mellin, qua biến đổi Laplace các phép toán vi phân trở thành các phép toán đại số Sử dụng các phép biến đổi ngược, người ta tìm ra lời giải của phương trình vi phân Để tiếp cận với lý thuyết này và hiểu biết phần nào những ứng dụng của nó, được sự định hướng của thầy cô hướng dẫn em chọn

đề tài “Biến đổi Laplace và ứng dụng trong việc giải phương trình vi phân” để

hoàn thành khóa luận tốt nghiệp Đại học sư phạm chuyên ngành Toán – Lý

Để trình bày được vấn đề theo mục đích đặt ra, bố cục khóa luận thành ba chương và một bảng biến đổi Laplce của các hàm cơ bản Nội dung từng chương như sau:

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Trình bày một số kiến thức cơ bản về số phức, mặt phẳng phức cùng một

số vấn đề về hàm biến phức Trong phần này cũng trình bày một số kiến thức cơ bản về phương trình vi phân thường

Chương 2 Biến đổi Laplace

Trình bày một số vấn đề cơ bản về phép biến đổi Laplace đó là: Định nghĩa và các tính chất của phép biến đổi Laplace; Vấn đề hội tụ của biến đổi Laplace; Biến đổi Laplace ngược và các phương pháp tìm biến đổi Laplace ngược của một hàm cho trước; Đạo hàm và tích phân của biến đổi Laplace

Chương 3 Ứng dụng của phép biến đổi Laplace vào giải phương trình vi phân

Áp dụng biến đổi Laplace để giải phương trình vi phân tuyến tính với hệ

số hằng, hệ số là đa thức với điều kiện ban đầu và điều kiện biên

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu về biến đổi Laplace và áp dụng của nó trong việc giải phương trình vi phân thường

3 Đối tượng nghiên cứu

Nghiên cứu về phương trình vi phân thường và biến đổi Laplace

Ứng dụng của biến đổi Laplace trong việc giải phương trình vi phân thường của một số bài toán cụ thể

4 Phương pháp nghiên cứu

Tra cứu tài liệu, tổng hợp và theo sự hướng dẫn của giáo viên để hoàn thành nhiệm vụ nghiên cứu

4

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ



 

Khi đó trục Ox gọi là trục thực và trục Oy gọi là trục ảo

Phép cộng và phép nhân các số phức được thực hiện một cách thông thường như các phép toán trên tập hợp số thực với lưu ý rằng 2

1

i   Với z1 a1 ib z1, 2a2ib2 ta có phép cộng hai số phức

Số phức khác 0 được biểu diễn dưới dạng mũ

,

i

z z e

với i os sin ,

e c i   được gọi là argument của số phức z (argument

của số phức z được xác định một cách duy nhất với sự sai khác một bội của

2) là góc hợp bởi chiều dương của trục Ox và nửa đường thẳng xuất phát từ gốc tọa độ đi qua điểm z Cuối cùng, ta lưu ý rằng nếu i , i

1.2.2 Đạo hàm của hàm biến phức

Cho hàm W f z( ) xác định trên D Đạo hàm của hàm f tại điểm

Giả sử z x iy  khi đó f z( )u x y , iv x y , Hàm ( )f z được gọi là

2 khả vi tại điểm z x iy nếu các hàm u x y   , , v x y khả vi tại ,  x y , Sau đây ta đưa ra điều kiện cần và đủ để hàm số phức khả vi

Quy tắc tính đạo hàm hàm biến phức tương tự như hàm biến thực

1.3 Một số vấn đề cơ bản về phương trình vi phân

Trong khóa luận này ta chỉ nghiên cứu phương trình vi phân

Phương trình vi phân cấp n có dạng tổng quát

thì (1.2) được gọi là phương trình vi phân đã giải ra với đạo hàm cấp n

Nghiệm của phương trình (1.1) cũng như (1.2) là hàm yy t( ) khả vi n lần trên

khoảng ( , )a b nào đó thỏa mãn các phương trình đó với mọi t thuộc khoảng ( , ) a b

Đường cong yy t( ); t( , )a b gọi là đường cong tích phân của phương trình đã cho Để giải phương trình vi phân ta cũng dùng thuật ngữ “Tích phân phương trình vi phân” vì lý do này

1.3.2 Bài toán Cauchy

Bài toán tìm nghiệm yy t( ) xác định trên khoảng ( , )a b nào đó của

phương trình (1.1) hoặc (1.2) thỏa mãn điều kiện

' ' ( 1) ( 1)

0 ( ), 0 0 ( ), ,0 0n n ( ),0

y y t y y t y  y  t (1.3) được gọi là bài toán Cauchy Điều kiện (1.3) được gọi là điều kiện đầu

1.3.3 Vấn đề tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi phân

Ở đây chỉ đưa ra định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi phân Việc chứng minh định lý này, chúng ta có thể tham khảo trong tài liệu được trích dẫn [1]

Định lý 1.1 (Tồn tại và duy nhất nghiệm) Cho phương trình vi phân cấp n dạng

đã giải ra với đạo hàm

( ) ' " ( 1)

( , , , , , )

y  f t y y y y Nếu vế phải của phương trình trên là một hàm liên tục của n1 biến trong một miền nào đó của n 1

1.3.4 Nghiệm tổng quát

Ta giả thiết rằng G là miền tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình

(1.2), tức là nghiệm bài toán Cauchy tồn tại và duy nhất đối với mỗi điểm

1.3.5 Phương trình vi phân tuyến tính

Phương trình vi phân tuyến tính cấp n có dạng tổng quát

Nếu f x f x1( ), 2( ), ,f x là các đa thức thì phương trình (1.5) được gọi là n( )

phương trình vi phân tuyến tính với hệ số đa thức

Đặc biệt, phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng có dạng

CHƯƠNG 2 BIẾN ĐỔI LAPLACE

một miền nào đó đối với s Trường hợp tích phân trên phân kỳ thì không tồn tại

biến đổi Laplace xác định đối với hàm f

Ký hiệu ( )L f được sử dụng cho biến đổi Laplace của hàm , f tích phân trên là tích phân Riemann thông thường với cận trên ở vô tận Hàm F s được ( )gọi là hàm ảnh của biến đổi Laplace Phép biến đổi Laplace được gọi là thực hay

phức nếu biến số s của hàm ảnh ( ) F s là thực hay phức

Tham số s thuộc một miền nào đó trên đường thẳng thực hoặc trong mặt phẳng phức Chúng ta sẽ chọn s thích hợp sao cho tích phân (2.1) hội tụ Trong toán học cũng như trong kỹ thuật, miền của biến s đóng một vai trò hết sức

quan trọng Tuy nhiên, trong một trường hợp đặc biệt, khi các phương trình vi

phân giải được, miền của tham số s thường không cần xét đến Nếu biến s là

phức thì nó được biểu diễn đại số s x iy, với x, y là các biến thực

Ký hiệu L là biến đổi Laplace, nó tác động lên hàm f  f t( ) và sinh ra một hàm mới là F s( )L f t ( ) 

2.1.2 Tính chất của biến đổi Laplace

Tính chất 1 (Tính chất tuyến tính) Nếu L f t 1( )F s L f t1( ),  2( )F s2( )

thì

10

L af t 1( )bf t2( )aF s1( )bF s2( ), (2.2) với a, b là hằng số

và nếu s0 thì tích phân trên phân kỳ và do đó không tồn tại phép biến đổi Laplace trong trường hợp này

Trường hợp s là biến phức với Re( ) 0, s  bằng tính toán tương tự ta cũng được

1(1)

L s

 Thật vậy, để có thể kiểm tra kết quả trên đây, ta cần đến công thức Euler

Thêm nữa, chúng ta cũng thu được đẳng thức (2.4) với số phức s x iy  nếu Re( )s 0 Vì

lim st lim x iy lim x 0

Sử dụng tính chất tuyến tính của phép biến đổi Laplace L và các tính chất

tích phân là toán tử tuyến tính, ta suy ra

1

2 0

Các hàm bị chặn sin , cost t và arc tant có bậc mũ 0 trong khi đó et có bậc mũ là 1.

Tuy nhiên, hàm e không có bậc mũ t2

14

0 0

Có thể xảy ra trường hợp hàm f có một điểm gián đoạn nhảy khác điểm gốc

Điều này có thể giải quyết bởi định lý dưới đây

L f t  sL f t  f   e f t  f t

Điều đó suy ra rằng ( ( ))L f t cũng hội tụ theo nghĩa thông thường như trong

định nghĩa (2.1)

Có một dạng khác của sự hội tụ đóng vai trò quan trọng nhất theo khía cạnh của Toán học đó là hội tụ đều

2.3.2 Định nghĩa

Tích phân (2.1) được gọi là hội tụ đều đối với s trong một miền  nào

đó của mặt phẳng phức nếu với mỗi 0 tồn tại số 0 sao cho với mọi   0 ta

2.4 Tính liên tục

Như trên ta đã biết có thể tồn tại phép biến đổi Laplace của một số hàm

này và cũng có thể không tồn tại phép biến đổi Laplace được đối với một số hàm

khác Vì vậy ta sẽ nghiên cứu lớp các hàm có biến đổi Laplace Trước hết ra đưa

ra một khái niệm đảm bảo cho sự tồn tại các lớp hàm như vậy

2.4.1 Định nghĩa

Hàm f được gọi là gián đoạn nhảy (gián đoạn loại một) tại điểm t nếu 0

tồn tại cả hai giới hạn hữu hạn

(ii) f liên tục trên mọi khoảng  0,b trừ một số hữu hạn điểm  1, 2, ,n trong

 0,b mà chúng là các điểm gián đoạn nhảy

Từ định lý Weierstrass chúng ta nhận được kết quả hiển nhiên sau đây:

Formatted: Bullets and Numbering

2.5 Lớp các hàm có biến đổi Laplace

Bây giờ chúng ta sẽ chỉ ra một lớp lớn các hàm mà đối với chúng tồn tại biến đổi Laplace

Hơn nữa, hàm f liên tục từng khúc trên đoạn  0,t và do đó bị chặn trên đoạn 0

đó Khi đó tồn tại số dương M sao cho 2

2

f t M t 0,t0 Bởi vì hàm t

e có một cực tiểu dương trên đoạn  0,t0 , nên ta có thể chọn được

một hằng số dương M đủ lớn sao cho

2 , Re( ) 0.

n n

n

s 

  với n  0,1,2, (2.9)

Ta ký hiệu lớp L là tập hợp các hàm nhận giá trị thực hoặc phức xác định

trên khoảng (0, ) mà biến đổi Laplace tồn tại với giá trị nào đó của s Ta cũng

thấy rằng khi F s ( )  L f t  ( )  tồn tại với một giá trị nào đó s thì nó cũng sẽ tồn 0,

tại với mọi giá trị s mà Re( )s Re( ).s0

Theo định lý 2.5.1 các hàm liên tục từng khúc trên 0, có bậc mũ thuộc

lớp L Tuy nhiên, có những hàm thuộc lớp L không thỏa mãn một hoặc cả hai

điều kiện này Các ví dụ dưới đây cho thấy điều đó

0 0

Người ta tính được biến đổi Laplace của nó khi xét đến hàm Gamma Trong khi

hàm đó có bậc mũ 0  f t( )1, t1 nhưng nó không liên tục từng khúc trên 0, vì ( )f t   khi t0 

Ví dụ 2.11 Cho f t( )a0a t1   a t n n là một đa thức bậc n Khi đó, từ (2.2)

và (2.9), ta nhận được

1

!( ( )) k ( )k k k

Chúng ta cũng đã thấy trong định lý 2.5.1, các hàm f liên tục từng khúc

trên 0, và có bậc mũ, tích phân Laplace hội tụ tuyệt đối, nghĩa là tích phân sau hội tụ

f t Me t

Chọn t đủ lớn ta có thể cho số hạng bên vế phải của (2.11) nhỏ tùy ý, nghĩa là 0

với mọi 0, tồn tại số T0 sao cho

Như đã chỉ ra ( )F s 0 khi Re( )s   Khi biến đổi Laplace tồn tại, tức

là với tất cả các hàm fL Như một hệ quả, bất kỳ hàm F s không có tính ( )

( ( )) ( ), 0

L F s  f t tPhép biến đổi Laplace F s của một hàm trở lại thành hàm ban đầu, hàm ban ( )đầu ( )f t được gọi là hàm gốc Chẳng hạn

2.7.2 Định lý (Định lý Lerch)

Các hàm xác định liên tục trên 0, có biến đổi Laplace ngược hoàn toàn xác định

Nó có nghĩa là chúng ta hạn chế việc đề cập tới các hàm liên tục trên

0, thì biến đổi ngược

đề cập tới, chúng là nghiệm của các phương trình vi phân và dĩ nhiên chúng liên tục Do đó giả thiết trên là đủ cho những gì chúng ta cần đến Khi đó có thể viết

với L1( ( ))f t F s( ), L1( ( ))g t G s( ) Điều này được suy ra từ tính chất tuyến

tính của L và đẳng thức được xác định trong miền chung của F và G

2.7.3 Một số phương pháp tìm hàm gốc

(i) Sử dụng kết quả của biến đổi thuận và tính duy nhất của biến đổi ngược

Từ tính duy nhất của biến đổi ngược, ta suy ra rằng giữa biến đổi thuận

và biến đổi ngược có sự tương ứng 1 – 1 Như thế ta có thể sử dụng các kết quả

đã biết của biến đổi thuận để tìm lại hàm gốc

Ví dụ 2.14 Một hàm quan trọng xuất hiện trong hệ thống mạch điện là hàm

bước nhảy đơn vị

(ii) Khai triển chuỗi lũy thừa đối với hàm ảnh

Giả sử hàm ảnh của biến đổi Laplace có khai triển lũy thừa

x  Tham số n là một số lấy giá trị không âm Các biến của phương trình

Bessel có giá trị từ 0 đến 

Tìm nghiệm của phương trình dưới dạng một chuỗi vô hạn Viết phương trình trên dưới dạng

2 2

Phương trình trên gọi là hàm trụ bậc n hay hàm Bessel bậc n

(iii) Biến đổi Laplace ngƣợc của một phân thức hữu tỉ

Nhiều ứng dụng của phép biến đổi Laplace cần đến việc tìm biến đổi ngược ( )F s của các phân thức hữu tỉ có dạng

( )( )( )

 với Re( )s 0,nên

1,

!,

28

2.8.3 Định lý (Định lý biến đổi thứ hai)

Nếu ( ) F s L f t( ( )) với Re( ) s 0 thì  ( ) ( ) as ( )

( 1) khi 1

t t



 với Re( )s 0.Định lý biến đổi thứ hai cũng có thể xét dưới dạng ngược

Ví dụ 2.21 Tìm

2 1

1

s

e L s

1

s s

2.9 Đạo hàm và tích phân của biến đổi Laplace

Khi s là biến phức, biến đổi Laplace ( ) F s (với các hàm thích hợp) là một

hàm giải tích của tham số s Khi s là biến thực, chúng ta có một công thức đối

với đạo hàm của ( ),F s công thức này vẫn đúng trong trường hợp biến phức

2.9.1 Định lý (Đạo hàm của biến đổi Laplace)

Cho f là một hàm liên tục từng khúc trên 0, có bậc mũ  và

f t( ) 1L d F s( ) ,  t0,

  (2.14)

2.9.3 Định lý (Tích phân của biến đổi Laplace)

Cho f là một hàm liên tục từng khúc trên 0, có bậc mũ  và

( ( )) ( )

L f t F s Khi đó, nếu tồn tại

0

( )lim

t

f t t